Sínus 3 pi delené 4. Stupňová miera uhla

Miera stupňa uhla. Radiánová miera uhla. Previesť stupne na radiány a naopak.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme si osvojili počítanie uhlov na trigonometrickej kružnici. Naučte sa počítať pozitívne a negatívne uhly. Uvedomil si, ako nakresliť uhol väčší ako 360 stupňov. Je čas zaoberať sa meraním uhlov. Najmä s číslom "Pi", ktoré sa nás snaží zmiasť v zložitých úlohách, áno ...

Štandardné úlohy v trigonometrii s číslom "Pi" sú vyriešené celkom dobre. Vizuálna pamäť pomáha. Ale akákoľvek odchýlka od šablóny - zrazí na mieste! Aby nespadol - rozumieť nevyhnutné. Čo teraz úspešne urobíme. V istom zmysle - rozumieme všetkému!

takze čo počítajú sa uhly? V školskom kurze trigonometrie sa používajú dve opatrenia: miera stupňa uhla a radiánová miera uhla. Poďme sa pozrieť na tieto opatrenia. Bez tohto, v trigonometrii - nikde.

Miera stupňa uhla.

Na stupne sme si akosi zvykli. Geometria prinajmenšom prešla ... Áno, a v živote sa často stretávame napríklad s frázou "otočené o 180 stupňov". Titul, skrátka jednoduchá vec...

Áno? Tak mi odpovedz čo je titul? Čo nefunguje hneď na začiatku? Niečo...

Stupne boli vynájdené v starovekom Babylone. Bolo to dávno... pred 40 storočiami... A práve na to prišli. Vzali a rozbili kruh na 360 rovnakých častí. 1 stupeň je 1/360 kruhu. A to je všetko. Dalo by sa rozložiť na 100 kusov. Alebo o 1000. Ale rozbili to na 360. Mimochodom, prečo práve o 360? Prečo je 360 lepších ako 100? 100 sa zdá byť akosi rovnomernejšie... Skúste si odpovedať na túto otázku. Alebo slabý proti Starovekému Babylonu?

Niekde v tom istom čase, v starovekom Egypte, ich trápila iná záležitosť. Koľkokrát je obvod kruhu väčší ako dĺžka jeho priemeru? A tak merali, a tak ... Všetko sa ukázalo o niečo viac ako tri. Ale nejako sa to ukázalo strapaté, nerovnomerné ... Ale oni, Egypťania, za to nemôžu. Po nich trpeli ďalších 35 storočí. Až nakoniec dokázali, že bez ohľadu na to, ako jemne nakrájame kruh na rovnaké kúsky, z takýchto kúskov vyrobiť hladká dĺžka priemeru je nemožná ... V zásade je to nemožné. Samozrejme, koľkokrát je obvod väčší ako priemer. O. 3,1415926... krát.

Toto je číslo "Pi". To je strapaté, také strapaté. Za desatinnou čiarkou - nekonečný počet číslic bez akéhokoľvek poradia... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. To, mimochodom, znamená, že z rovnakých kúskov kruhu, priemer hladká neskladať. Nikdy.

Pre praktické použitie je zvykom zapamätať si len dve číslice za desatinnou čiarkou. Pamätajte:

Keďže sme pochopili, že obvod kruhu je väčší ako priemer o krát „Pi“, má zmysel zapamätať si vzorec pre obvod kruhu:

Kde L je obvod a d je jeho priemer.

Užitočné v geometrii.

Pre všeobecné vzdelanie dodám, že číslo „Pi“ sedí nielen v geometrii... V rôznych častiach matematiky a najmä v teórii pravdepodobnosti sa toto číslo objavuje neustále! Sám od seba. Nad rámec našich túžob. Páči sa ti to.

Ale späť k stupňom. Už ste prišli na to, prečo bol v starovekom Babylone kruh rozdelený na 360 rovnakých častí? Ale nie napríklad 100? nie? OK Dám vám verziu. Nemôžete sa opýtať starých Babylončanov... Pre stavbu, alebo, povedzme, astronómiu, je vhodné rozdeliť kruh na rovnaké časti. Teraz zistite, aké čísla sú deliteľné úplne 100 a ktoré - 360? A v akej verzii tieto rozdeľovače úplne- viac? Toto rozdelenie je pre ľudí veľmi výhodné. Ale...

Ako sa ukázalo oveľa neskôr ako v starovekom Babylone, nie každý má rád tituly. Vyššia matematika ich nemá rada... Vyššia matematika je vážna dáma, zariadená podľa zákonov prírody. A táto dáma vyhlási: „Dnes si rozbil kruh na 360 dielov, zajtra ho rozbiješ na 100 dielov, pozajtra na 245... A čo mám robiť? Naozaj nie...“ Musel som poslúchnuť. Prírodu neoklameš...

Musel som zaviesť mieru uhla, ktorá nezávisí od ľudských predstáv. Zoznámte sa - radián!

Radiánová miera uhla.

čo je radián? Definícia radiánu je v každom prípade založená na kruhu. Uhol 1 radiánu je uhol, ktorý vyreže oblúk z kruhu, ktorého dĺžka je ( L) sa rovná dĺžke polomeru ( R). Pozeráme sa na obrázky.

Taký malý uhol, z toho skoro nič... Prejdeme kurzorom po obrázku (alebo sa dotkneme obrázku na tablete) a vidíme asi jeden radián. L=R

Cítiť rozdiel?

Jeden radián je oveľa väčší ako jeden stupeň. Koľko krát?

Pozrime sa na ďalší obrázok. Na ktorý som nakreslil polkruh. Rozšírený uhol má samozrejme veľkosť 180°.

A teraz tento polkruh rozrežem na radiány! Prejdeme na obrázok a vidíme, že 3 radiány s chvostom sa zmestia do 180 °.

Kto uhádne, čo je to za chvost!?

Áno! Tento chvost je 0,1415926.... Ahoj Pi, ešte sme na teba nezabudli!

V skutočnosti existuje 3,1415926 ... radiánov v 180 stupňoch. Ako si viete predstaviť, písať stále 3,1415926... je nepohodlné. Preto namiesto tohto nekonečného čísla vždy píšu jednoducho:

A tu je číslo na internete

je nepohodlné písať ... Preto to v texte píšem menom - "Pi". Nenechajte sa zmiasť...

Teraz je celkom zmysluplné napísať približnú rovnosť:

Alebo presná rovnosť:

Určte, koľko stupňov je v jednom radiáne. ako? Jednoducho! Ak je v 3,14 radiánoch 180 stupňov, potom 1 radián je 3,14-krát menej! To znamená, že prvú rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) vydelíme číslom 3,14:

Tento pomer je dobré si zapamätať: v jednom radiáne je približne 60°. Pri trigonometrii často musíte prísť na to, zhodnotiť situáciu. Tu vedomosti veľmi pomáhajú.

Ale hlavná zručnosť tejto témy je prevod stupňov na radiány a naopak.

Ak je uhol uvedený v radiánoch s číslom "pi", všetko je veľmi jednoduché. Vieme, že "pi" radiány = 180°. Takže namiesto "Pi" dosadíme radiány - 180 °. Uhol dostaneme v stupňoch. Znížime to, čo sa zníži, a odpoveď je pripravená. Musíme napríklad zistiť, koľko stupňa v rohu "Pi"/2 radián? Tu píšeme:

Alebo exotickejší výraz:

Jednoduché, však?

Opačný preklad je trochu komplikovanejší. Ale nie veľa. Ak je uhol daný v stupňoch, musíme zistiť, koľko je jeden stupeň v radiánoch a vynásobiť toto číslo počtom stupňov. Koľko je 1° v radiánoch?

Pozrieme sa na vzorec a uvedomíme si, že ak 180° = "Pi" radiány, tak 1° je 180-krát menšie. Alebo, inými slovami, rovnicu (vzorec je tiež rovnica!) delíme číslom 180. Nie je potrebné uvádzať „Pi“ ako 3,14, aj tak sa vždy píše s písmenom. Dostaneme, že jeden stupeň sa rovná:

To je všetko. Vynásobením počtu stupňov touto hodnotou získate uhol v radiánoch. Napríklad:

Alebo podobne:

Ako vidíte, v pokojnom rozhovore s lyrickými odbočkami sa ukázalo, že radiány sú veľmi jednoduché. Ano a preklad je bez problemov ... A "Pi" je uplne znesitelna vec... Takze odkial je ten zmatok !?

Prezradím tajomstvo. Faktom je, že v goniometrických funkciách je napísaná ikona stupňov. Je vždy. Napríklad sin35°. Toto je sínus 35 stupňa . A ikona radiánov ( rád) nie je napísané! On je naznačený. Buď chytila lenivosť matematikov, alebo niečo iné... Ale rozhodli sa nepísať. Ak vo vnútri sínusu - kotangens nie sú žiadne ikony, potom uhol - v radiánoch ! Napríklad cos3 je kosínus troch radiánov .

To vedie k nedorozumeniam ... Osoba vidí "Pi" a verí, že je to 180 °. Kedykoľvek a kdekoľvek. Mimochodom, toto funguje. Zatiaľ sú príklady štandardné. Ale Pi je číslo! Číslo 3,14 nie sú stupne! To sú "Pi" radiány = 180°!

Ešte raz: „Pí“ je číslo! 3.14. Iracionálne, ale číslo. Rovnako ako 5 alebo 8. Môžete napríklad urobiť približne kroky „Pi“. Tri kroky a trochu viac. Alebo si kúpte „Pi“ kilogramy sladkostí. Ak sa chytí vzdelaný predavač...

"Pí" je číslo! Čo, dostal som ťa touto frázou? Už si všetko pochopil? OK Skontrolujme to. Môžete mi povedať, ktoré číslo je väčšie?

Alebo čo je menej?

Toto je zo série trochu neštandardných otázok, ktoré môžu viesť k strnulosti ...

Ak ste aj vy upadli do strnulosti, spomeňte si na kúzlo: „Pí“ je číslo! 3.14. Hneď v prvom sínuse je jasne uvedené, že uhol - v stupňoch! Preto nie je možné nahradiť „Pi“ o 180 °! "Pí" stupňov je asi 3,14°. Preto môžeme napísať:

V druhom sínuse nie sú žiadne symboly. Takže tam - radiánov! Tu bude nahradenie "Pi" 180 ° fungovať celkom dobre. Prevedením radiánov na stupne, ako je napísané vyššie, dostaneme:

Zostáva porovnať tieto dva sínusy. Čo. zabudol ako? S pomocou trigonometrického kruhu, samozrejme! Nakreslíme kruh, nakreslíme približné uhly 60° a 1,05°. Pozeráme sa na sínusy týchto uhlov. Skrátka všetko, ako na konci témy o trigonometrickom kruhu, je vymaľované. Na kruhu (aj na krivom!) to bude jasne vidieť sin60° výrazne viac ako sin1,05°.

Presne to isté urobíme s kosínusmi. Na kružnicu nakreslíme uhly asi 4 stupňa a 4 radián(pamätajte, čo je približne 1 radián?). Kruh povie všetko! Samozrejme, cos4 je menšie ako cos4°.

Poďme si precvičiť manipuláciu s mierami uhla.

Preveďte tieto uhly zo stupňov na radiány:

360°; 30°; 90°; 270 °C; 45°; 0°; 180°; 60°

Mali by ste skončiť s týmito hodnotami v radiánoch (v inom poradí!)

0

Mimochodom, odpovede som špeciálne vyznačil v dvoch riadkoch. No, poďme zistiť, aké sú rohy v prvom riadku? Či už v stupňoch alebo v radiánoch?

Áno! Toto sú osi súradnicového systému! Ak sa pozriete na trigonometrický kruh, potom na pohyblivú stranu uhla pri týchto hodnotách pasuje presne na nápravu. Tieto hodnoty je potrebné poznať ironicky. A nie nadarmo som si všimol uhol 0 stupňov (0 radiánov). A potom niektorí nevedia nájsť tento uhol na kružnici žiadnym spôsobom ... A preto sa mýlia v goniometrických funkciách nuly ... Ďalšia vec je, že poloha pohyblivej strany pri nula stupňoch sa zhoduje s polohou pri 360 °, takže náhody na kruhu sú neustále vedľa.

V druhom riadku sú aj špeciálne uhly... Ide o 30°, 45° a 60°. A čo je na nich také výnimočné? Nič zvláštne. Jediný rozdiel medzi týmito rohmi a všetkými ostatnými je ten, že by ste o týchto rohoch mali vedieť. všetky. A kde sa nachádzajú a aké sú goniometrické funkcie týchto uhlov. Povedzme hodnotu hriech 100° nemusíš vedieť. ALE sin45°- buď láskavý! Toto sú povinné znalosti, bez ktorých sa v trigonometrii nedá nič robiť ... Ale viac o tom v ďalšej lekcii.

Dovtedy pokračujme v cvičení. Preveďte tieto uhly z radiánov na stupne:

Mali by ste dostať takéto výsledky (v neporiadku):

210°; 150°; 135 °C; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225 °C.

Stalo? Potom to môžeme predpokladať prevod stupňov na radiány a naopak- to už nie je váš problém.) Ale prekladanie uhlov je prvým krokom k pochopeniu trigonometrie. Na tom istom mieste musíte stále pracovať so sínusom-kosínusom. Áno, a s tangentami, kotangens tiež ...

Druhým mocným krokom je schopnosť určiť polohu akéhokoľvek uhla na trigonometrickom kruhu. V stupňoch aj v radiánoch. Práve o tejto zručnosti vám nudne naznačím v celej trigonometrii, áno ...) Ak viete všetko (alebo si myslíte, že viete všetko) o trigonometrickom kruhu a počítaní uhlov na trigonometrickom kruhu, môžete si to overiť von. Vyriešte tieto jednoduché úlohy:

1. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°;

ľahko? Pokračujeme:

2. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Tiež žiadny problém? No pozri...)

3. Rohy môžete umiestniť na štvrtiny:

Bol si schopný? no dáš..)

4. Na aké osi bude roh padať:

a roh:

Je to tiež ľahké? Hm...)

5. Do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

A podarilo sa!? Tak potom fakt neviem...)

6. Určte, do ktorej štvrtiny spadajú rohy:

1, 2, 3 a 20 radiánov.

Odpoveď dám len na poslednú otázku (je mierne záludná) poslednej úlohy. Do prvej štvrtiny bude spadať uhol 20 radiánov.

Ostatné odpovede nedám z chamtivosti.) Len ak si nerozhodol niečo pochybovať ako výsledok, alebo vynaložené na úlohu č.4 viac ako 10 sekúnd zle sa orientujete v kruhu. Toto bude váš problém v celej trigonometrii. Je lepšie sa toho (problém, nie trigonometria!) hneď zbaviť. Dá sa to urobiť v téme: Praktická práca s trigonometrickou kružnicou v časti 555.

Hovorí, ako jednoducho a správne vyriešiť takéto úlohy. No, tieto úlohy sú, samozrejme, vyriešené. A štvrtá úloha bola vyriešená za 10 sekúnd. Áno, rozhodol som sa, že môže každý!

Ak ste si svojimi odpoveďami absolútne istý a nemáte záujem o jednoduché a bezproblémové spôsoby práce s radiánmi, nemôžete navštíviť 555. Netrvám na tom.)

Dobré porozumenie je dostatočný dôvod, prečo ísť ďalej!)

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Jednoducho povedané, ide o zeleninu varenú vo vode podľa špeciálnej receptúry. Zvážim dve počiatočné zložky (zeleninový šalát a vodu) a konečný výsledok - boršč. Geometricky to môže byť znázornené ako obdĺžnik, v ktorom jedna strana označuje šalát a druhá strana vodu. Súčet týchto dvoch strán bude označovať boršč. Uhlopriečka a plocha takéhoto obdĺžnika „boršč“ sú čisto matematické pojmy a nikdy sa nepoužívajú v receptoch na boršč.

Ako sa z matematického hľadiska zmení šalát a voda na boršč? Ako sa môže súčet dvoch segmentov zmeniť na trigonometriu? Aby sme to pochopili, potrebujeme funkcie lineárnych uhlov.

V učebniciach matematiky nenájdete nič o lineárnych uhlových funkciách. Ale bez nich nemôže existovať matematika. Zákony matematiky, rovnako ako zákony prírody, fungujú, či už vieme, že existujú alebo nie.

Lineárne uhlové funkcie sú zákony sčítania. Pozrite sa, ako sa algebra mení na geometriu a geometria na trigonometriu.

Je možné sa zaobísť bez lineárnych uhlových funkcií? Môžete, pretože matematici sa zaobídu aj bez nich. Trik matematikov spočíva v tom, že nám vždy hovoria len o tých problémoch, ktoré sami vedia vyriešiť, a nikdy nám nehovoria o problémoch, ktoré nevedia vyriešiť. Pozri. Ak poznáme výsledok sčítania a jedného člena, pomocou odčítania nájdeme druhý člen. Všetko. Iné problémy nepoznáme a nie sme schopní ich riešiť. Čo robiť, ak poznáme len výsledok sčítania a nepoznáme oba pojmy? V tomto prípade je potrebné výsledok sčítania rozložiť na dva členy pomocou lineárnych uhlových funkcií. Ďalej si sami vyberáme, čo môže byť jeden člen, a lineárne uhlové funkcie ukazujú, aký by mal byť druhý člen, aby výsledok sčítania bol presne taký, aký potrebujeme. Takýchto dvojíc výrazov môže byť nekonečné množstvo. V bežnom živote nám to ide bez rozkladu súčtu veľmi dobre, stačí nám odčítanie. Ale pri vedeckých štúdiách prírodných zákonov môže byť rozšírenie sumy na pojmy veľmi užitočné.

Ďalší zákon sčítania, o ktorom matematici neradi hovoria (ďalší ich trik), vyžaduje, aby výrazy mali rovnakú mernú jednotku. Pre šalát, vodu a boršč to môžu byť jednotky hmotnosti, objemu, ceny alebo mernej jednotky.

Obrázok ukazuje dve úrovne rozdielu pre matematiku. Prvou úrovňou sú rozdiely v poli čísel, ktoré sú uvedené a, b, c. Toto robia matematici. Druhou úrovňou sú rozdiely v oblasti merných jednotiek, ktoré sú uvedené v hranatých zátvorkách a sú označené písmenom U. Toto robia fyzici. Môžeme pochopiť tretiu úroveň - rozdiely v oblasti opísaných objektov. Rôzne objekty môžu mať rovnaký počet rovnakých merných jednotiek. Ako je to dôležité, môžeme vidieť na príklade borščovej trigonometrie. Ak k rovnakému zápisu merných jednotiek rôznych objektov pridáme dolné indexy, môžeme presne povedať, aká matematická veličina opisuje konkrétny objekt a ako sa mení v čase alebo v súvislosti s našimi činmi. list W Vodu označím písmenom SŠalát označím písmenom B- boršč. Tu je návod, ako by vyzerali funkcie lineárneho uhla pre boršč.

Ak odoberieme časť vody a časť šalátu, razom nám vznikne jedna porcia boršču. Tu vám navrhujem, aby ste si trochu oddýchli od boršču a zaspomínali si na svoje vzdialené detstvo. Pamätáte si, ako nás učili spájať zajačiky a kačice? Bolo potrebné zistiť, koľko zvierat sa ukáže. Čo sme sa potom naučili robiť? Naučili nás oddeľovať jednotky od čísel a sčítať čísla. Áno, k akémukoľvek inému číslu je možné pridať akékoľvek číslo. Toto je priama cesta k autizmu modernej matematiky – nerozumieme čomu, nie je jasné prečo a veľmi zle chápeme, ako to súvisí s realitou, pretože matematici fungujú len na jednej úrovni. Bude správnejšie naučiť sa prechádzať z jednej meracej jednotky do druhej.

A zajačiky, kačice a malé zvieratká sa dajú spočítať na kusy. Jedna spoločná jednotka merania pre rôzne objekty nám umožňuje ich sčítanie. Toto je detská verzia problému. Pozrime sa na podobný problém pre dospelých. Čo získate, keď k tomu pridáte zajačikov a peniaze? Tu sú dve možné riešenia.

Prvá možnosť. Určíme trhovú hodnotu zajačikov a pripočítame ju k dostupnej hotovosti. Dostali sme celkovú hodnotu nášho bohatstva v peniazoch.

Druhá možnosť. K počtu bankoviek, ktoré máme, môžete pridať počet zajačikov. Množstvo hnuteľného majetku dostaneme na kusy.

Ako vidíte, rovnaký zákon o sčítaní vám umožňuje získať rôzne výsledky. Všetko závisí od toho, čo presne chceme vedieť.

Ale späť k nášmu boršču. Teraz môžeme vidieť, čo sa stane pre rôzne hodnoty uhla funkcií lineárneho uhla.

Uhol je nulový. Máme šalát, ale bez vody. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je tiež nulové. To vôbec neznamená, že nulový boršč sa rovná nule vody. Nulový boršč môže byť aj pri nulovom šaláte (pravom uhle).

Pre mňa osobne je to hlavný matematický dôkaz toho, že . Nula po pridaní číslo nezmení. Je to preto, že samotné sčítanie je nemožné, ak existuje iba jeden výraz a druhý výraz chýba. Môžete sa k tomu vzťahovať ako chcete, ale pamätajte – všetky matematické operácie s nulou vymysleli samotní matematici, takže zahoďte logiku a hlúpo napchajte definície vymyslené matematikmi: „delenie nulou je nemožné“, „akékoľvek číslo vynásobené nulou“ rovná sa nule“, „za bodom nula“ a iné nezmysly. Stačí si raz zapamätať, že nula nie je číslo, a už nikdy nebudete mať otázku, či je nula prirodzené číslo alebo nie, pretože takáto otázka vo všeobecnosti stráca zmysel: ako možno považovať číslo za číslo, ktoré nie je číslom? . Je to ako pýtať sa, akej farbe pripísať neviditeľnú farbu. Pridanie nuly k číslu je ako maľovanie farbou, ktorá neexistuje. Zamávali suchým štetcom a všetkým povedali, že „máme natreté“. Ale to som trochu odbočil.

Uhol je väčší ako nula, ale menší ako štyridsaťpäť stupňov. Máme veľa šalátu, ale málo vody. V dôsledku toho získame hustý boršč.

Uhol je štyridsaťpäť stupňov. Máme rovnaké množstvo vody a šalátu. Toto je perfektný boršč (nech mi kuchárky odpustia, je to len matematika).

Uhol je väčší ako štyridsaťpäť stupňov, ale menší ako deväťdesiat stupňov. Máme veľa vody a málo šalátu. Získajte tekutý boršč.

Pravý uhol. Máme vodu. Na šalát ostali len spomienky, keďže pokračujeme v meraní uhla od čiary, ktorá kedysi šalát označovala. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je nulové. V takom prípade vydržte a pite vodu, kým je k dispozícii)))

Tu. Niečo také. Môžem tu rozprávať ďalšie príbehy, ktoré tu budú viac než vhodné.

Dvaja priatelia mali svoje podiely v spoločnom obchode. Po vražde jedného z nich prešlo všetko k druhému.

Vznik matematiky na našej planéte.

Všetky tieto príbehy sú rozprávané v jazyku matematiky pomocou lineárnych uhlových funkcií. Inokedy vám ukážem skutočné miesto týchto funkcií v štruktúre matematiky. Medzitým sa vráťme k trigonometrii boršču a zvážme projekcie.

Sobota 26. októbra 2019

Pozrel som si zaujímavé video o Grandiho rad Jedna mínus jedna plus jedna mínus jedna - Numberphile. Matematici klamú. Vo svojich úvahách nevykonali test rovnosti.

To rezonuje s mojou úvahou o .

Pozrime sa bližšie na znaky toho, že nás matematici podvádzajú. Hneď na začiatku úvahy matematici hovoria, že súčet postupnosti ZÁVISÍ od toho, či je počet prvkov v nej párny alebo nie. Toto je OBJEKTÍVNE STANOVENÝ FAKT. Čo bude ďalej?

Potom matematici odčítajú postupnosť od jednoty. K čomu to vedie? To vedie k zmene počtu prvkov v postupnosti – párne číslo sa zmení na nepárne, nepárne na párne. Do postupnosti sme totiž pridali jeden prvok rovný jednej. Napriek všetkej vonkajšej podobnosti sa postupnosť pred transformáciou nerovná postupnosti po transformácii. Aj keď hovoríme o nekonečnej postupnosti, musíme si uvedomiť, že nekonečná postupnosť s nepárnym počtom prvkov sa nerovná nekonečnej postupnosti s párnym počtom prvkov.

Vložením znamienka rovnosti medzi dve postupnosti odlišné v počte prvkov matematici tvrdia, že súčet postupnosti NEZÁVISÍ od počtu prvkov v postupnosti, čo je v rozpore s OBJEKTÍVNE ZISTENÝM FAKTOM. Ďalšie úvahy o súčte nekonečnej postupnosti sú nesprávne, pretože sú založené na falošnej rovnosti.

Ak vidíte, že matematici v priebehu dôkazov umiestňujú zátvorky, preusporiadavajú prvky matematického výrazu, niečo pridávajú alebo uberajú, buďte veľmi opatrní, pravdepodobne sa vás snažia oklamať. Podobne ako zaklínači kariet, aj matematici odvádzajú vašu pozornosť rôznymi manipuláciami s výrazom, aby vám nakoniec poskytli falošný výsledok. Ak nemôžete zopakovať kartový trik bez toho, aby ste poznali tajomstvo podvádzania, potom je v matematike všetko oveľa jednoduchšie: o podvádzaní nemáte ani potuchy, ale opakovanie všetkých manipulácií s matematickým výrazom vám umožní presvedčiť ostatných o tom, správnosť výsledku, ako keď vás presvedčili.

Otázka z publika: A nekonečno (ako počet prvkov v postupnosti S), je párne alebo nepárne? Ako môžete zmeniť paritu niečoho, čo nemá paritu?

Nekonečno pre matematikov je ako Kráľovstvo nebeské pre kňazov - nikto tam nikdy nebol, ale každý presne vie, ako tam všetko funguje))) Súhlasím, po smrti vám bude absolútne ľahostajné, či ste prežili párny alebo nepárny počet dní , ale ... Pridaním jedného dňa na začiatku vášho života dostaneme úplne inú osobu: jeho priezvisko, krstné meno a priezvisko sú úplne rovnaké, len dátum narodenia je úplne iný - narodil sa ako jeden deň pred vami.

A teraz k veci))) Predpokladajme, že konečná postupnosť, ktorá má paritu, túto paritu stratí, keď ide do nekonečna. Potom musí každý konečný segment nekonečnej postupnosti stratiť paritu. Toto nepozorujeme. To, že nevieme s istotou povedať, či je počet prvkov v nekonečnej postupnosti párny alebo nepárny, vôbec neznamená, že parita zmizla. Parita, ak existuje, nemôže zmiznúť v nekonečne bez stopy, ako v obale ostrejšej karty. Pre tento prípad existuje veľmi dobrá analógia.

Spýtali ste sa niekedy kukučky sediacej v hodinách, ktorým smerom sa otáča hodinová ručička? Pre ňu sa šípka otáča opačným smerom, ako nazývame "v smere hodinových ručičiek". Môže to znieť paradoxne, ale smer otáčania závisí výlučne od toho, z ktorej strany rotáciu pozorujeme. A tak máme jedno koleso, ktoré sa otáča. Nevieme povedať, ktorým smerom rotácia prebieha, keďže ju môžeme pozorovať z jednej strany roviny rotácie aj z druhej. O tom, že dochádza k rotácii, môžeme len dosvedčiť. Úplná analógia s paritou nekonečnej postupnosti S.

Teraz pridajme druhé rotujúce koleso, ktorého rovina rotácie je rovnobežná s rovinou rotácie prvého rotujúceho kolesa. Stále nevieme presne povedať, ktorým smerom sa tieto kolesá točia, ale vieme s absolútnou istotou povedať, či sa obe kolesá točia rovnakým smerom alebo opačným smerom. Porovnanie dvoch nekonečných sekvencií S a 1-S, pomocou matematiky som ukázal, že tieto postupnosti majú rôznu paritu a dávať medzi ne znamienko rovnosti je chyba. Osobne verím v matematiku, neverím matematikom))) Mimochodom, aby sme úplne pochopili geometriu transformácií nekonečných postupností, je potrebné zaviesť pojem "simultánnosť". Toto bude potrebné nakresliť.

Streda 7. augusta 2019

Na záver rozhovoru o , musíme zvážiť nekonečnú množinu. Z toho vyplýva, že pojem „nekonečno“ pôsobí na matematikov ako boa constrictor na králika. Chvejúca sa hrôza z nekonečna pripravuje matematikov o zdravý rozum. Tu je príklad:

Pôvodný zdroj sa nachádza. Alfa označuje reálne číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, uvažované príklady možno znázorniť takto:

Aby matematici vizuálne dokázali svoj prípad, prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na tance šamanov s tamburínami. V podstate všetci prídu na to, že buď nie sú niektoré izby obsadené a usadia sa v nich noví hostia, alebo časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantastického príbehu o Blondínke. Na čom je založená moja úvaha? Presun nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Po tom, čo uvoľníme prvú hosťovskú izbu, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca vekov. Časový faktor sa dá samozrejme hlúpo ignorovať, ale toto už bude z kategórie „zákon nie je písaný pre hlupákov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.

Čo je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, ktorý má vždy ľubovoľný počet voľných miest, bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej chodbe „pre návštevy“ obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s izbami pre „hostí“. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Zároveň má „nekonečný hotel“ nekonečný počet poschodí v nekonečnom počte budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom množstve vesmírov vytvorených nekonečným počtom Bohov. Na druhej strane matematici sa nedokážu vzdialiť od banálnych každodenných problémov: Boh-Alah-Budha je vždy len jeden, hotel je jeden, chodba je len jedna. Matematici sa teda snažia žonglovať s poradovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť do nešťastia“.

Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže sme sami vymysleli čísla, v prírode žiadne čísla nie sú. Áno, príroda vie perfektne počítať, no na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Ako si príroda myslí, to vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážte obe možnosti, ako sa na skutočného vedca patrí.

Možnosť jedna. „Dajme nám“ jediný súbor prirodzených čísel, ktorý pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke už žiadne ďalšie prirodzené čísla nezostali a nie je ani kde vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Môžeme zobrať jednotku z už odobratej sady a vrátiť ju do police. Potom môžeme z police vybrať jednotku a pridať ju k tomu, čo nám zostalo. Výsledkom je, že opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie môžete napísať takto:

Zapísal som operácie v algebraickom zápise a zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej odčíta jedno a pridá sa rovnaká jednotka.

Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Berieme jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Dokonca môžeme sčítať dve sady prirodzených čísel. Tu je to, čo získame:

Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak sa k jednej nekonečnej množine pridá ďalšia nekonečná množina, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.

Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na merania. Teraz si predstavte, že ste na pravítku pridali jeden centimeter. Toto už bude iný riadok, ktorý sa nebude rovnať pôvodnému.

Môžete prijať alebo neprijať moje odôvodnenie - je to vaša vlastná vec. Ak však niekedy narazíte na matematické problémy, zamyslite sa, či nie ste na ceste falošných úvah, vyšliapaných generáciami matematikov. Hodiny matematiky v nás totiž v prvom rade vytvárajú ustálený stereotyp myslenia a až potom nám pridávajú rozumové schopnosti (alebo naopak oberajú o slobodné myslenie).

pozg.ru

Nedeľa 4. augusta 2019

Písal som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:

Čítame: „...bohatý teoretický základ babylonskej matematiky nemal holistický charakter a bol zredukovaný na súbor rôznorodých techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne.“

Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás slabé pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je redukovaný na súbor nesúrodých sekcií, bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová – má jazyk a konvencie, ktoré sú odlišné od jazyka a konvencií mnohých iných odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším chybám modernej matematiky chcem venovať celý cyklus publikácií. Do skorého videnia.

Sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú mernú jednotku, ktorá sa nachádza v niektorých prvkoch vybranej sady. Zvážte príklad.

Nech máme veľa ALE pozostávajúci zo štyroch ľudí. Tento súbor je tvorený na základe "ľudí" Označme prvky tohto súboru prostredníctvom písmena a, dolný index s číslom bude označovať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „sexuálna charakteristika“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru ALE o pohlaví b. Všimnite si, že naša množina „ľudia“ sa teraz stala množinou „ľudia s pohlavím“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw rodové charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, nezáleží na tom, ktorá je mužská alebo ženská. Ak je v človeku prítomný, vynásobíme ho jedným, ak také znamenie neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom aplikujeme obvyklú školskú matematiku. Pozrite sa, čo sa stalo.

Po vynásobení, redukciách a preskupeniach sme dostali dve podmnožiny: mužskú podmnožinu bm a podskupina žien bw. Približne rovnakým spôsobom uvažujú matematici, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepúšťajú nás do detailov, ale dávajú nám konečný výsledok – „veľa ľudí pozostáva z podmnožiny mužov a podskupiny žien“. Prirodzene, môžete mať otázku, ako správne aplikovať matematiku vo vyššie uvedených transformáciách? Dovolím si vás ubezpečiť, že v skutočnosti sú transformácie urobené správne, stačí poznať matematické opodstatnenie aritmetiky, Booleovej algebry a iných úsekov matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.

Čo sa týka nadmnožín, je možné spojiť dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky, ktorá je prítomná v prvkoch týchto dvoch sád.

Ako vidíte, jednotky merania a bežná matematika robia z teórie množín minulosť. Znakom, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici robili to, čo kedysi robili šamani. Len šamani vedia „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Tieto „vedomosti“ nás učia.

Na záver vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú
Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Za čas, ktorý potrebuje Achilles prebehnúť túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá ako spomalenie času, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém ešte musíme preštudovať, premyslieť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Postup ukážem na príklade. Vyberáme "červenú tuhú látku v pupienku" - to je náš "celok". Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom z "celku" vyberieme časť a zostavíme "s mašličkou". Takto sa šamani živia spájaním svojej teórie množín s realitou.

Teraz urobme malý trik. Zoberme si "pevné v pupienke s lukom" a zjednoťme tieto "celé" podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz záludná otázka: sú prijaté súpravy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou súpravou alebo dvoma rôznymi súpravami? Odpoveď poznajú iba šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak je.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme sadu "červený pevný pupienok s mašľou". Formovanie prebiehalo podľa štyroch rôznych merných jednotiek: farba (červená), sila (plná), drsnosť (v hrboľke), ozdoby (s mašličkou). Iba súbor meracích jednotiek umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.

Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. V zátvorkách sú zvýraznené merné jednotky, podľa ktorých je „celok“ priradený v prípravnom štádiu. Jednotka merania, podľa ktorej je zostava vytvorená, sa vyberie zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tance šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc „samozrejmosťou“, pretože jednotky merania nie sú zahrnuté v ich „vedeckom“ arzenáli.

Pomocou meracích jednotiek je veľmi jednoduché rozbiť jednu alebo spojiť niekoľko sád do jednej nadmnožiny. Pozrime sa bližšie na algebru tohto procesu.

Existuje niekoľko možností na výpočet hodnoty výrazu cos (3 / 2 Pi).

Prvá možnosť. Použitie
Táto možnosť je najjednoduchšia a najjednoduchšia a spočíva v tom, že musíte nájsť zodpovedajúce hodnoty v tabuľke.

Existuje mnoho variácií tabuľky, z ktorých niektoré predstavujú argumenty iba v radiánoch, iné v stupňoch a niektoré obsahujú hodnoty pre radiány aj stupne.
Niekedy je ešte užitočné previesť hodnotu uhla na stupne, aby ste ľahšie vnímali hodnotu kosínusu. Nie je však zakázané používať tabuľku so stupňami a radiánmi)).
Z tabuľky určíme hodnotu kosínusu z 3 Pi / 2 - to je 0.
Matematický zápis:

Druhá možnosť. .
Pohodlná možnosť, ak nie je k dispozícii tabuľka goniometrických funkcií. Tu možno hodnotu goniometrickej funkcie určiť pomocou goniometrickej kružnice.

Na trigonometrickom kruhu (alebo kruhu) na osi x sú hodnoty kosínusovej funkcie.
Podľa zadania je argument funkcie 3 Pi / 2. Na kruhu je táto hodnota na osi y úplne dole. Na výpočet hodnoty danej funkcie je potrebné znížiť kolmicu na os Ox, po ktorej dostaneme hodnotu 0. Kosínus 3 Pi / 2 je teda 0.

Tretia možnosť. Použitie .
Ak neexistuje žiadna tabuľka a je ťažké sa pohybovať po trigonometrickom kruhu, potom je užitočné použiť kosínusový graf, ktorý možno použiť aj na určenie hodnoty.