Racionálny výraz je algebraický výraz, ktorý neobsahuje radikály. Inými slovami, ide o jednu alebo viac algebraických veličín (čísla a písmená) prepojených znakmi aritmetických operácií: sčítanie, odčítanie, násobenie ... ... Wikipedia

Algebraický výraz, ktorý neobsahuje radikály a zahŕňa iba operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Napríklad a2 + b, x/(y z2) … Veľký encyklopedický slovník

Algebraický výraz, ktorý neobsahuje radikály a zahŕňa iba operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Napríklad a2 + b, x/(y z2). * * * RATIONAL EXPRESSION RATIONAL EXPRESSION, algebraický výraz, ktorý neobsahuje ... ... encyklopedický slovník

Algebraický výraz, ktorý neobsahuje radikály, ako napríklad a2 + b, x/(y z3). Ak je zaradený do R. storočia. písmená sa považujú za premenné, potom R. v. definuje racionálnu funkciu (pozri racionálnu funkciu) týchto premenných ... Veľká sovietska encyklopédia

Algebraický výraz, ktorý neobsahuje radikály a zahŕňa iba operácie sčítania, odčítania, násobenia a delenia. Napríklad a2 + b, x/(y z2) ... Prírodná veda. encyklopedický slovník

VÝRAZ- primárny matematický pojem, ktorým sa rozumie záznam písmen a číslic spojených znamienkami aritmetických operácií, pričom možno použiť zátvorky, označenie funkcií a pod.; zvyčajne B je vzorec miliónovej časti. Rozlišovať v (1) ... ... Veľká polytechnická encyklopédia

RATIONAL- (Rational; Racionálny) termín používaný na opis myšlienok, pocitov a činov v súlade s mysľou; postoj založený na objektívnych hodnotách získaných ako výsledok praktických skúseností. „Objektívne hodnoty sú založené na skúsenostiach ... ... Slovník analytickej psychológie

RACIONÁLNE VEDOMOSTI- subjektívny obraz objektívneho sveta, získaný pomocou myslenia. Myslenie je aktívny proces zovšeobecneného a nepriameho odrazu reality, ktorý zabezpečuje objavovanie jej pravidelných súvislostí na základe zmyslových údajov a ich vyjadrenie ... Filozofia vedy a techniky: Tematický slovník

ROVNICE, RACIONÁLNY- Logický alebo matematický výraz založený na (racionálnych) predpokladoch o procesoch. Takéto rovnice sa líšia od empirických rovníc tým, že ich parametre sú získané ako výsledok deduktívnych záverov z teoretických ... ... Výkladový slovník psychológie

RATIONAL, racionálny, racionálny; racionálny, racionálny, racionálny. 1. adj. k racionalizmu (kniha). racionálna filozofia. 2. Celkom rozumné, opodstatnené, účelné. Dal racionálny návrh. Racionálne...... Vysvetľujúci slovník Ushakova

1) R. algebraická rovnica f(x)=0 stupňa p algebraická rovnica g(y)=0 s koeficientmi racionálne závislými od koeficientov f (x), takže znalosť koreňov tejto rovnice nám umožňuje nájsť korene z tejto rovnice...... Matematická encyklopédia

Od kurzu algebry školského kurikula prejdeme k špecifikám. V tomto článku budeme podrobne študovať špeciálny druh racionálnych výrazov − racionálne zlomky a tiež analyzovať, ktorá charakteristika je identická transformácie racionálnych zlomkov konať.

Hneď si všimneme, že racionálne zlomky v zmysle, v akom ich definujeme nižšie, sa v niektorých učebniciach algebry nazývajú algebraické zlomky. To znamená, že v tomto článku budeme chápať to isté pod racionálnymi a algebraickými zlomkami.

Ako obvykle, začneme definíciou a príkladmi. Ďalej si povedzme o privedení racionálneho zlomku k novému menovateľovi a o zmene znamienok členov zlomku. Potom budeme analyzovať, ako sa vykonáva redukcia frakcií. Nakoniec sa zastavíme pri zobrazení racionálneho zlomku ako súčtu niekoľkých zlomkov. Všetky informácie budú uvedené s príkladmi s podrobným popisom riešení.

Navigácia na stránke.

Definícia a príklady racionálnych zlomkov

Racionálne zlomky sa študujú na hodinách algebry v 8. ročníku. Použijeme definíciu racionálneho zlomku, ktorá je uvedená v učebnici algebry pre 8. ročník od Yu.N. Makarycheva a ďalších.

Táto definícia nešpecifikuje, či polynómy v čitateli a menovateli racionálneho zlomku musia byť polynómy štandardného tvaru alebo nie. Preto budeme predpokladať, že racionálne zlomky môžu obsahovať štandardné aj neštandardné polynómy.

Tu je niekoľko príklady racionálnych zlomkov. Takže, x/8 a - racionálne zlomky. A zlomky a nezodpovedajú znejúcej definícii racionálneho zlomku, keďže v prvom z nich čitateľ nie je polynóm a v druhom čitateľ aj menovateľ obsahujú výrazy, ktoré nie sú mnohočlenmi.

Prevod čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku

Čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku sú sebestačné matematické výrazy, v prípade racionálnych zlomkov sú to polynómy, v konkrétnom prípade sú to monočleny a čísla. Preto s čitateľom a menovateľom racionálneho zlomku, ako s každým výrazom, môžu byť uskutočnené rovnaké transformácie. Inými slovami, výraz v čitateli racionálneho zlomku možno nahradiť výrazom, ktorý sa mu identicky rovná, rovnako ako menovateľ.

V čitateli a menovateli racionálneho zlomku je možné vykonávať identické transformácie. Napríklad v čitateli môžete zoskupovať a zmenšovať podobné pojmy a v menovateli možno súčin viacerých čísel nahradiť ich hodnotou. A keďže čitateľom a menovateľom racionálneho zlomku sú polynómy, je možné s nimi vykonávať transformácie charakteristické pre polynómy, napríklad redukciu na štandardný tvar alebo zobrazenie ako súčin.

Pre prehľadnosť zvážte riešenia niekoľkých príkladov.

Príklad.

Previesť racionálny zlomok takže čitateľ je polynóm štandardného tvaru a menovateľ je súčinom mnohočlenov.

Riešenie.

Redukovanie racionálnych zlomkov na nový menovateľ sa používa najmä pri sčítaní a odčítaní racionálnych zlomkov.

Zmena znamienka pred zlomkom, ako aj v jeho čitateľovi a menovateľovi

Základná vlastnosť zlomku sa dá použiť na zmenu znamienka členov zlomku. Vynásobenie čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku číslom -1 sa totiž rovná zmene ich znamienka a výsledkom je zlomok, ktorý sa identicky rovná danému. Takáto transformácia sa musí pri práci s racionálnymi zlomkami používať pomerne často.

Ak teda súčasne zmeníte znamienka čitateľa a menovateľa zlomku, dostanete zlomok rovný pôvodnému. Toto tvrdenie zodpovedá rovnosti.

Vezmime si príklad. Racionálny zlomok možno nahradiť rovnako rovnakým zlomkom s opačnými znamienkami čitateľa a menovateľa tvaru.

So zlomkami je možné vykonať ešte jednu identickú transformáciu, pri ktorej sa znamienko zmení buď v čitateli alebo v menovateli. Poďme na príslušné pravidlo. Ak nahradíte znamienko zlomku spolu so znamienkom čitateľa alebo menovateľa, dostanete zlomok, ktorý sa identicky rovná originálu. Písomné vyhlásenie zodpovedá rovnosti a .

Nie je ťažké dokázať tieto rovnosti. Dôkaz je založený na vlastnostiach násobenia čísel. Dokážme prvý z nich: . Pomocou podobných transformácií sa dokazuje aj rovnosť.

Napríklad zlomok môže byť nahradený výrazom alebo .

Na záver tejto podsekcie uvádzame ďalšie dve užitočné rovnosti a . To znamená, že ak zmeníte znamienko iba čitateľa alebo len menovateľa, zlomok zmení svoje znamienko. Napríklad, a .

Uvažované transformácie, ktoré umožňujú meniť znamienko členov zlomku, sa často používajú pri transformácii zlomkovo racionálnych výrazov.

Redukcia racionálnych zlomkov

Nasledujúca transformácia racionálnych zlomkov, nazývaná redukcia racionálnych zlomkov, je založená na rovnakej základnej vlastnosti zlomku. Táto transformácia zodpovedá rovnosti , kde a , b a c sú nejaké polynómy a b a c sú nenulové.

Z vyššie uvedenej rovnosti je zrejmé, že redukcia racionálneho zlomku znamená zbavenie sa spoločného činiteľa v jeho čitateľovi a menovateli.

Príklad.

Znížte racionálny zlomok.

Riešenie.

Spoločný súčiniteľ 2 je hneď viditeľný, zmenšme ho (pri písaní je vhodné spoločné súčiniteľy, ktorými sa zmenšenie robí, prečiarknuť). Máme . Pretože x 2 \u003d x x a y 7 \u003d y 3 y 4 (pozri, ak je to potrebné), je zrejmé, že x je spoločným faktorom čitateľa a menovateľa výsledného zlomku, ako je y 3 . Znížime o tieto faktory: . Tým je redukcia hotová.

Vyššie sme vykonali redukciu racionálnej frakcie postupne. A bolo možné vykonať redukciu v jednom kroku, okamžite znížiť zlomok o 2 x x y 3 . V tomto prípade by riešenie vyzeralo takto: .

odpoveď:

.

Pri znižovaní racionálnych zlomkov je hlavným problémom to, že spoločný činiteľ čitateľa a menovateľa nie je vždy viditeľný. Navyše nie vždy existuje. Ak chcete nájsť spoločný faktor alebo sa ubezpečiť, že neexistuje, musíte rozdeliť čitateľa a menovateľa racionálneho zlomku na faktor. Ak neexistuje žiadny spoločný faktor, potom nie je potrebné redukovať pôvodný racionálny zlomok, inak sa redukcia vykoná.

V procese znižovania racionálnych zlomkov môžu vzniknúť rôzne nuansy. Hlavné jemnosti s príkladmi a podrobnosťami sú diskutované v článku redukcia algebraických zlomkov.

Na záver rozhovoru o redukcii racionálnych zlomkov poznamenávame, že táto transformácia je identická a hlavný problém pri jej implementácii spočíva v faktorizácii polynómov v čitateľovi a menovateli.

Znázornenie racionálneho zlomku ako súčtu zlomkov

Celkom špecifická, no v niektorých prípadoch veľmi užitočná je transformácia racionálneho zlomku, ktorá spočíva v jeho zobrazení ako súčtu niekoľkých zlomkov, prípadne súčtu celočíselného výrazu a zlomku.

Racionálny zlomok, v čitateľovi ktorého je mnohočlen, ktorý je súčtom viacerých jednočlenov, možno vždy zapísať ako súčet zlomkov s rovnakými menovateľmi, v čitateľoch ktorých sú zodpovedajúce jednočleny. Napríklad, . Toto znázornenie sa vysvetľuje pravidlom sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Vo všeobecnosti môže byť akýkoľvek racionálny zlomok reprezentovaný ako súčet zlomkov mnohými rôznymi spôsobmi. Napríklad zlomok a/b možno znázorniť ako súčet dvoch zlomkov – ľubovoľného zlomku c/d a zlomku, ktorý sa rovná rozdielu medzi zlomkami a/b a c/d. Toto tvrdenie je pravdivé, pretože rovnosť . Napríklad racionálny zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet zlomkov rôznymi spôsobmi: Pôvodný zlomok reprezentujeme ako súčet celočíselného výrazu a zlomku. Po vydelení čitateľa menovateľom stĺpcom dostaneme rovnosť . Hodnota výrazu n 3 +4 pre ľubovoľné celé číslo n je celé číslo. A hodnota zlomku je celé číslo práve vtedy, ak jeho menovateľ je 1, −1, 3 alebo −3. Tieto hodnoty zodpovedajú hodnotám n=3, n=1, n=5 a n=−1.

odpoveď:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 13. vydanie, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: chor. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Celočíselný výraz je matematický výraz tvorený číslami a doslovnými premennými pomocou operácií sčítania, odčítania a násobenia. Celé čísla zahŕňajú aj výrazy, ktoré zahŕňajú delenie iným číslom ako nula.

Príklady celočíselných výrazov

Nižšie je niekoľko príkladov celočíselných výrazov:

1. 12*a^3 + 5*(2*a-1);

3. 4*y-((5*y+3)/5)-1;

Zlomkové výrazy

Ak výraz obsahuje delenie premennou alebo iným výrazom obsahujúcim premennú, potom takýto výraz nie je celé číslo. Takýto výraz sa nazýva zlomkový výraz. Uveďme úplnú definíciu zlomkového výrazu.

Zlomkový výraz je matematický výraz, ktorý okrem operácií sčítania, odčítania a násobenia vykonávaných s číslami a doslovnými premennými, ako aj delenia číslom, ktoré sa nerovná nule, obsahuje aj delenie na výrazy s doslovnými premennými.

Príklady zlomkových výrazov:

1. (12*a^3 +4)/a

3. 4*x-((5*y+3)/(5-y))+1;

Zlomkové a celočíselné výrazy tvoria dve veľké množiny matematických výrazov. Ak sa tieto množiny spoja, dostaneme novú množinu, ktorá sa nazýva racionálne výrazy. To znamená, že všetky racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy.

Vieme, že celočíselné výrazy majú zmysel pre všetky hodnoty premenných, ktoré sú v nich zahrnuté. Vyplýva to zo skutočnosti, že na nájdenie hodnoty celočíselného výrazu je potrebné vykonať akcie, ktoré sú vždy možné: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie iným číslom ako nula.

Zlomkové výrazy na rozdiel od celých čísel nemusia dávať zmysel. Pretože existuje operácia delenia premennou alebo výraz obsahujúci premenné a tento výraz sa môže zmeniť na nulu, ale delenie nulou je nemožné. Premenné hodnoty, pre ktoré bude mať zmysel zlomkový výraz, sa nazývajú platné premenné hodnoty.

racionálny zlomok

Jedným zo špeciálnych prípadov racionálnych výrazov bude zlomok, ktorého čitateľom a menovateľom sú polynómy. Pre takýto zlomok v matematike existuje aj názov - racionálny zlomok.

Racionálny zlomok bude mať zmysel, ak sa jeho menovateľ nerovná nule. To znamená, že všetky hodnoty premenných, pre ktoré je menovateľ zlomku odlišný od nuly, budú platné.

Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj

Často počujeme túto nepríjemnú frázu: "zjednodušiť výraz." Zvyčajne v tomto prípade máme nejaké monštrum, ako je toto:

"Áno, oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.

Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh.

Navyše, na konci hodiny si tento príklad sami zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s týmito písmenami).

Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zaoberať sa zlomkami a faktorizujte polynómy.

Preto, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite ovládať témy "" a "".

Čítať? Ak áno, ste pripravení.

Poďme! (Poďme!)

Základné operácie na zjednodušenie výrazov

Teraz budeme analyzovať hlavné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.

Najjednoduchší z nich je

1. Prinášanie podobného

Čo sú podobné? Prešli ste si tým v 7. ročníku, keď sa v matematike namiesto číslic prvýkrát objavili písmená.

Podobný sú termíny (monómy) s rovnakou písmenovou časťou.

Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.

Pamätáte si?

Prineste podobné- znamená pridať niekoľko podobných výrazov medzi sebou a získať jeden výraz.

Ale ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.

To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety.

Napríklad list je stolička. Aký je potom výraz?

Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .

Teraz skúste tento výraz:

Aby ste sa neplietli, nech rôzne písmená označujú rôzne predmety.

Napríklad - toto je (ako obvykle) stolička a - toto je stôl.

stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly

Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty.

Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A je rovnocenný.

Takže pravidlo pre prinesenie podobného:

Príklady:

Prineste podobné:

odpovede:

2. (a sú podobné, pretože tieto výrazy majú preto rovnakú časť písmena).

2. Faktorizácia

To je zvyčajne najdôležitejšia časť pri zjednodušovaní výrazov.

Potom, čo ste dali podobné, je najčastejšie potrebný výsledný výraz faktorizovať, teda predstavovať ako produkt.

Hlavne toto dôležité v zlomkoch: pretože s cieľom znížiť zlomok, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.

Prešli ste si podrobnými metódami faktoringu výrazov v téme "", takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili.

Ak to chcete urobiť, vyriešte niekoľko príkladov (treba faktorizovať)

Príklady:

Riešenia:

3. Zníženie frakcií.

Nuž, čo môže byť krajšie, ako vyškrtnúť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo svojho života?

V tom je krása skratky.

Je to jednoduché:

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.

Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).

Ak chcete znížiť zlomok, potrebujete:

1) čitateľ a menovateľ faktorizovať

2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, môžu byť vymazané.

Príklady:

Myslím, že princíp je jasný?

Chcel by som upozorniť na jednu typickú chybu v skratke. Aj keď je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom si to neuvedomujú rezať- to znamená rozdeliťčitateľa a menovateľa rovnakým číslom.

Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.

Napríklad: musíte zjednodušiť.

Niektorí to robia: čo je absolútne nesprávne.

Ďalší príklad: znížiť.

Tí "najmúdrejší" urobia toto:

Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, takže môžete znížiť.

Ale nie: - toto je faktor iba jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok sa na faktory nerozkladá.

Tu je ďalší príklad: .

Tento výraz je rozložený na faktory, čo znamená, že môžete znížiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:

Môžete okamžite rozdeliť podľa:

Aby ste sa vyhli takýmto chybám, zapamätajte si jednoduchý spôsob, ako určiť, či je výraz zohľadnený:

Aritmetická operácia, ktorá sa pri výpočte hodnoty výrazu vykoná ako posledná, je „hlavná“.

To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozloží na faktory).

Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je rozkladaný na faktor (a preto ho nemožno zmenšiť).

Ak to chcete opraviť sami, niekoľko príkladov:

Príklady:

Riešenia:

4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa.

Pripomeňme si:

odpovede:

1. Menovatelia a sú coprime, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:

2. Tu je spoločný menovateľ:

3. Tu najskôr zmeníme zmiešané frakcie na nesprávne a potom - podľa obvyklej schémy:

Iná vec je, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:

Začnime jednoducho:

a) Menovatele neobsahujú písmená

Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame / odčítame čitateľa:

teraz v čitateli môžete priniesť podobné, ak nejaké existujú, a rozpočítať ich:

Vyskúšajte sami:

odpovede:

b) Menovateľ obsahuje písmená

Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:

Najprv určíme spoločné faktory;

Potom raz vypíšeme všetky spoločné faktory;

a vynásobte ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozložíme na jednoduché faktory:

Zdôrazňujeme spoločné faktory:

Teraz raz vypíšeme spoločné faktory a pridáme k nim všetky nie spoločné (nepodčiarknuté) faktory:

Toto je spoločný menovateľ.

Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:

Menovateľov rozložíme na faktory;

určiť spoločné (identické) multiplikátory;

raz zapíšte všetky spoločné faktory;

Násobíme ich všetkými ostatnými faktormi, nie bežnými.

Takže v poradí:

1) rozložte menovateľov na faktory:

2) určiť spoločné (identické) faktory:

3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:

Takže spoločný menovateľ je tu. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:

Mimochodom, existuje jeden trik:

Napríklad: .

V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky majú iné ukazovatele. Spoločným menovateľom bude:

do tej miery

do tej miery

do tej miery

v stupni.

Skomplikujme si úlohu:

Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?

Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:

Nikde nie je povedané, že od čitateľa a menovateľa zlomku možno odčítať (alebo sčítať) rovnaké číslo. Pretože to nie je pravda!

Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo sa naučilo?

Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:

Keď privediete zlomky k spoločnému menovateľovi, použite iba operáciu násobenia!

Čo však potrebujete znásobiť, aby ste získali?

Tu ďalej a množte sa. A vynásobte:

Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“.

Napríklad je to elementárny faktor. - tiež. Ale - nie: rozkladá sa na faktory.

A čo vyjadrovanie? Je to elementárne?

Nie, pretože to možno faktorizovať:

(o faktorizácii ste už čítali v téme "").

Takže elementárne faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A to isté urobíme s nimi.

Vidíme, že oba menovatele majú faktor. Bude to mať spoločného menovateľa v moci (pamätáte prečo?).

Násobiteľ je elementárny a nemajú ho spoločný, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Pred vynásobením týchto menovateľov v panike musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:

Výborne! potom:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Ako obvykle delíme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vysunieme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:

Zdalo by sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, už sú si také podobné ... A pravdou je:

Tak si napíšme:

To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme si vymenili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.

Teraz sa dostávame k spoločnému menovateľovi:

Mám to? Teraz to skontrolujeme.

Úlohy na samostatné riešenie:

odpovede:

5. Násobenie a delenie zlomkov.

No, to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:

Postup

Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Pamätajte, že vzhľadom na hodnotu takéhoto výrazu:

Počítal si?

Malo by to fungovať.

Takže pripomínam.

Prvým krokom je výpočet stupňa.

Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, môžete ich vykonať v ľubovoľnom poradí.

A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.

Ale: výraz v zátvorkách je vyhodnotený mimo poradia!

Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vyhodnotíme výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.

Čo ak sú v zátvorkách ďalšie zátvorky? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo treba urobiť ako prvé pri hodnotení výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.

Takže poradie akcií pre vyššie uvedený výraz je nasledovné (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):

Dobre, všetko je jednoduché.

Ale to nie je to isté ako výraz s písmenami, však?

Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií je potrebné robiť algebraické operácie, to znamená operácie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (často ho používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie na faktorizáciu musíte použiť i alebo jednoducho vyňať spoločný faktor zo zátvoriek.

Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.

Napríklad:

Zjednodušme výraz.

1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je reprezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:

Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).

2) Dostávame:

Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.

3) Teraz môžete skrátiť:

Dobre, teraz je po všetkom. Nič zložité, však?

Ďalší príklad:

Zjednodušte výraz.

Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.

Riešenie:

V prvom rade si definujme postup.

Najprv pridajme zlomky v zátvorkách, namiesto dvoch zlomkov nám vyjde jeden.

Potom urobíme delenie zlomkov. No a výsledok sčítame s posledným zlomkom.

Schematicky očíslujem kroky:

Na záver vám dám dva užitočné tipy:

1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. V každom okamihu, keď máme podobné, je vhodné ich hneď priniesť.

2. To isté platí pre redukciu zlomkov: akonáhle sa naskytne príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.

Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:

A hneď na začiatku sľúbil:

odpovede:

Riešenia (stručne):

Ak ste sa vyrovnali aspoň s prvými tromi príkladmi, potom, považujte, ste tému zvládli.

Teraz k učeniu!

KONVERZIA VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÝ VZOREC

Základné zjednodušujúce operácie:

• Prinášať podobné: ak chcete pridať (zmenšiť) podobné výrazy, musíte pridať ich koeficienty a priradiť časť písmena.
• Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, uplatnenie atď.
• Zníženie frakcií: čitateľa a menovateľa zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, od ktorého sa hodnota zlomku nemení.
  1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
  2) ak sú v čitateli a menovateli spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

  DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!

• Sčítanie a odčítanie zlomkov:
  ;
• Násobenie a delenie zlomkov:
  ;

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.

Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestaňte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Táto lekcia bude obsahovať základné informácie o racionálnych výrazoch a ich transformáciách, ako aj príklady transformácie racionálnych výrazov. Táto téma zhŕňa témy, ktoré sme doteraz študovali. Transformácie racionálnych výrazov zahŕňajú sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie algebraických zlomkov, redukciu, faktorizáciu atď. V rámci lekcie sa pozrieme na to, čo je racionálny výraz, a tiež analyzujeme príklady ich transformácie .

téma:Algebraické zlomky. Aritmetické operácie na algebraických zlomkoch

lekcia:Základné informácie o racionálnych prejavoch a ich premenách

Definícia

racionálne vyjadrenie je výraz pozostávajúci z čísel, premenných, aritmetických operácií a umocňovania.

Zvážte príklad racionálneho vyjadrenia:

Špeciálne prípady racionálnych výrazov:

1. stupeň: ;

2. jednočlenný: ;

3. zlomok: .

Transformácia racionálnych výrazov je zjednodušenie racionálneho vyjadrenia. Poradie operácií pri prevode racionálnych výrazov: najprv sú akcie v zátvorkách, potom operácie násobenia (delenia) a potom operácie sčítania (odčítania).

Uvažujme o niekoľkých príkladoch transformácie racionálnych výrazov.

Príklad 1

Riešenie:

Vyriešme tento príklad krok za krokom. Najprv sa vykoná akcia v zátvorkách.

odpoveď:

Príklad 2

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 3

Riešenie:

odpoveď: .

Poznámka: možno vás pri pohľade na tento príklad napadla myšlienka: zmenšiť zlomok pred zmenšením na spoločného menovateľa. V skutočnosti je to úplne správne: po prvé, je žiaduce čo najviac zjednodušiť výraz a potom ho transformovať. Skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom.

Ako vidíte, odpoveď sa ukázala byť úplne podobná, ale riešenie sa ukázalo byť o niečo jednoduchšie.

V tejto lekcii sme sa pozreli na racionálne prejavy a ich premeny, ako aj niekoľko konkrétnych príkladov týchto premien.

Bibliografia

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. ročník. - M.: Osveta, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra 8. - 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.