Elektrický prúd je smerový pohyb elektrických nábojov. Na prenos elektriny sa používajú vodiče, väčšinou kovové. Príkladmi takýchto materiálov sú meď a hliník a medzi nekovy patrí grafit. Tok prúdu má jednu zaujímavú vlastnosť, a to rozloženie nábojov vo vodiči po jeho objeme. Túto otázku zvážime v článku.

Nosiče náboja a ich pohyb

Vodič je látka, v ktorej sa nosiče začínajú pohybovať pod vplyvom najmenšieho vonkajšieho elektrického poľa. Ak neexistuje žiadne vonkajšie pole, polia kladných iónov a záporných elektrónov sa navzájom rušia. Podrobnejšie sme preskúmali súvisiaci problém a porovnali sme ho v článku uverejnenom skôr.

Predstavte si kovový predmet, ktorý je v elektrickom poli. Nosiče náboja sa začnú pohybovať pod vplyvom vonkajšieho poľa v dôsledku skutočnosti, že na nosiče náboja začnú pôsobiť Coulombove sily. Navyše, na pozitívnych a negatívnych nosičoch je smer pôsobenia týchto síl v rôznych smeroch. Pohyb sa zastaví, ak sa súčet intenzity vonkajšieho a vnútorného poľa zníži na nulu, to znamená:

Erez=Vnútorné+Vnútorné=0

V tomto prípade sa intenzita poľa rovná:

E = dФ/dt

Ak je napätie nulové, potom sa potenciál vo vnútri telesa rovná nejakému konštantnému číslu. To bude jasné, ak vyjadríme potenciál z tohto vzorca a vykonáme integráciu, to znamená:

Kladné ióny a elektróny z celého objemu tela sa vyrútia na jeho povrch, aby vyrovnali napätie. Potom sa intenzita elektrického poľa vo vnútri vodiča vynuluje, pretože je vyvážený nosičmi náboja z jeho povrchu.

Zaujímavé! Povrch, na ktorom je vo všetkých bodoch rovnaký potenciál, sa nazýva ekvipotenciál.

Ak zvážime túto otázku podrobnejšie, potom keď sa vodič zavedie do elektrického poľa, kladné ióny sa pohybujú proti jeho siločiaram a záporné elektróny v rovnakom smere. To sa deje, kým sa nerozložia a pole vo vodiči sa stane nulovým. Takéto poplatky sa nazývajú indukované alebo nadmerné.

Dôležité! Keď sa náboje udelia vodivému materiálu, rozložia sa tak, aby sa dosiahol rovnovážny stav. Podobné náboje sa budú odpudzovať a smerovať v súlade so smerom siločiar elektrického poľa.

Z toho vyplýva, že práca vykonaná na pohyb nosičov náboja je nulová, čo sa rovná potenciálnemu rozdielu. Potom sa potenciál v rôznych častiach vodiča rovná konštantnému číslu a nemení sa. Je dôležité vedieť, že v dielektriku, aby sa odtrhol nosič náboja, napríklad elektrón, z atómu, musia byť použité veľké sily. Preto sú opísané javy vo všeobecnom zmysle pozorované na vodivých telesách.

Elektrická kapacita osamelého vodiča

Najprv sa pozrime na koncept osamelého dirigenta. Toto je vodič, ktorý je odstránený z iných nabitých vodičov a telies. V tomto prípade bude potenciál na ňom závisieť od jeho nabitia.

Elektrická kapacita osamelého vodiča je schopnosť vodiča udržať rozložený náboj. V prvom rade to závisí od tvaru vodiča.

Ak sú dve takéto telesá oddelené dielektrikom, napríklad vzduch, sľuda, papier, keramika atď. - dostanete kondenzátor. Jeho kapacita závisí od vzdialenosti medzi platňami a ich plochy, ako aj od rozdielu potenciálov medzi nimi.

Vzorce opisujú závislosť kapacity od rozdielu potenciálov a od geometrických rozmerov plochého kondenzátora. Viac sa o tom môžete dozvedieť z nášho samostatného článku.

Rozloženie náboja a tvar tela

Hustota distribúcie nosičov náboja teda závisí od tvaru vodiča. Uvažujme o tom pomocou príkladu vzorcov pre guľu.

Predpokladajme, že máme určitú kovovú nabitú guľu s polomerom R, hustotou náboja na povrchu G a potenciálom Ф.

Z posledného odvodeného vzorca možno pochopiť, že hustota je približne nepriamo úmerná polomeru gule.

To znamená, že čím je objekt vypuklejší a ostrejší, tým väčšia je hustota nosičov v tomto mieste. Na konkávnych povrchoch je hustota minimálna. Dá sa to vidieť na videu:

Aplikácia v praxi

Ak vezmeme do úvahy vyššie uvedené, stojí za zmienku, že prúd preteká káblom a je rozdelený akoby pozdĺž vonkajšieho priemeru potrubia. Je to spôsobené zvláštnosťami rozloženia elektrónov vo vodivom tele.

Je zvláštne, že keď prúdy prúdia v systémoch s vysokofrekvenčným prúdom, pozoruje sa efekt kože. Ide o rozloženie nábojov po povrchu vodičov. V tomto prípade je však pozorovaná ešte tenšia „vodivá“ vrstva.

Čo to znamená? To naznačuje, že na to, aby vo vysokofrekvenčnom obvode pretekal prúd rovnakej veľkosti so sieťovou frekvenciou 50 Hz a s frekvenciou 50 kHz, bude potrebný väčší prierez vodiča. V praxi sa to pozoruje pri spínaných zdrojoch napájania. Sú to prúdy, ktoré tečú v ich transformátoroch. Ak chcete zväčšiť plochu prierezu, vyberte buď hrubý drôt, alebo navíjajte vinutia niekoľkými drôtmi naraz.

Závislosť rozloženia hustoty od tvaru povrchu popísaná v predchádzajúcej časti sa v praxi využíva v systémoch ochrany pred bleskom. Je známe, že na ochranu pred poškodením bleskom je inštalovaný jeden typ ochrany pred bleskom, napríklad bleskozvod. Na jeho povrchu sa hromadia nabité častice, vďaka čomu dochádza k výboju presne do neho, čo opäť potvrdzuje to, čo bolo povedané o ich rozložení.

To je všetko, čo sme vám chceli povedať o tom, ako sú náboje rozložené vo vodiči, keď tečie prúd. Dúfame, že poskytnuté informácie boli pre vás jasné a užitočné!

Materiály

Prednáška 14. Vodiče v elektrickom poli.

Elektrická kapacita vodičov a kondenzátorov.

Kapitola 11, § 92-95

Osnova prednášky

Rozloženie nábojov na vodiči. Vodič vo vonkajšom elektrickom poli.

Elektrická kapacita osamelého vodiča. Elektrická kapacita lopty.

Kondenzátory a ich elektrická kapacita. Sériové a paralelné zapojenie kondenzátorov.

Energia elektrostatického poľa.

Rozloženie nábojov na vodiči. Vodič vo vonkajšom elektrickom poli.

Slovo „vodič“ vo fyzike znamená vodivé teleso akejkoľvek veľkosti a tvaru obsahujúce voľné náboje (elektróny alebo ióny). Pre istotu, v nasledujúcom budeme uvažovať o kovoch.

Ak vodič dostane určitý náboj q, tak sa rozloží tak, aby bola splnená podmienka rovnováhy (keďže náboje sa odpudzujú, sú umiestnené na povrchu vodiča).

pretože potom aE=0

v ktoromkoľvek bode vo vnútri vodiča E=0.

vo všetkých bodoch vo vnútri vodiča je potenciál konštantný.

Pretože v rovnováhe sa náboje nepohybujú po povrchu vodiča, potom je práca vykonaná na ich pohyb nulová:

tie. povrch vodiča je ekvipotenciálny.

Ak S- povrch nabitého vodiča, potom v ňom E = 0,

tie. náboje sú umiestnené na povrchu vodiča.

6. Poďme zistiť, ako súvisí hustota povrchového náboja so zakrivením povrchu.

Pre nabitú guľu

P Hustota náboja je určená zakrivením povrchu vodiča: zvyšuje sa so zvyšujúcim sa pozitívnym zakrivením (konvexnosť) a klesá so zvyšujúcim sa negatívnym zakrivením (konkávnosť). Obzvlášť veľké na reznej hrane. V tomto prípade sú ióny oboch znakov a elektrónov prítomné vo vzduchu v malých množstvách urýchlené blízko špičky silným poľom a pri dopade na atómy plynu ich ionizujú. Vytvorí sa oblasť vesmírneho náboja, odkiaľ sú poľom vytlačené ióny rovnakého znamienka ako hrot a ťahajú so sebou atómy plynu. Tok atómov a iónov smerovaný z hrotu vytvára dojem „toku nábojov“. V tomto prípade je hrot riedený iónmi opačného znamienka, ktoré naň dopadajú. Výsledný hmatateľný pohyb plynu na špičke sa nazýva „elektrický vietor“.

Vodič vo vonkajšom elektrickom poli:

Keď sa nenabitý vodič zavedie do elektrického poľa, jeho elektróny (voľné náboje) sa začnú pohybovať, na povrchu vodiča sa objavia indukované náboje a pole vo vnútri vodiča je nulové. Toto sa používa na elektrostatickú ochranu, t.j. tienenie elektrických a rádiových zariadení (a ľudí) pred vplyvom elektrostatických polí. Zariadenie je obklopené vodivou clonou (pevnou alebo vo forme mriežky). Vonkajšie pole je vo vnútri obrazovky kompenzované poľom indukovaných nábojov vznikajúcich na jej povrchu.

Elektrická kapacita osamelého vodiča. Elektrická kapacita lopty.

Ak sa náboj na vodiči niekoľkokrát zvýši, potenciál v každom bode poľa obklopujúceho vodič sa zvýši:

Elektrická kapacita vodiča sa číselne rovná náboju, ktorý musí byť vodičovi odovzdaný, aby sa jeho potenciál zmenil o jednu.

1 F je kapacita vodiča, ktorému je potrebné dodať náboj 1 C, aby sa potenciál zmenil o 1 V.

Kapacita vodiča nezávisí od kovu, z ktorého je vyrobený.

Kapacita závisí od veľkosti a tvaru vodiča, prostredia a prítomnosti iných vodičov v blízkosti. V dielektriku sa kapacita zvyšuje  krát.

Vypočítajme kapacitu lopty:

Kondenzátory a ich elektrická kapacita. Sériové a paralelné zapojenie kondenzátorov.

Kapacita osamelých vodičov je malá, ale prudko sa zvyšuje, ak sú v blízkosti iné vodiče, pretože potenciál klesá v dôsledku opačne smerovaného poľa indukovaných nábojov.

Táto okolnosť umožnila vytvoriť zariadenia - kondenzátory, ktoré umožňujú pri malých potenciáloch v porovnaní s okolitými telesami akumulovať na sebe („kondenzovať“) náboje značnej veľkosti.

Kondenzátor- sústava dvoch vodičov oddelených dielektrikom, umiestnených v malej vzdialenosti od seba.

Pole je sústredené v priestore medzi platňami.

Kondenzátory sú rozdelené:

tvar: plochý, valcový, guľový;

podľa typu dielektrika medzi doskami:

vzduch, papier, sľuda, keramika;

podľa typu kapacity: konštantná a premenlivá kapacita.

Symboly na rádiových obvodoch

Kapacita kondenzátora sa číselne rovná náboju, ktorý musí byť odovzdaný jednej z dosiek, aby sa potenciálny rozdiel medzi nimi zmenil o jednu.

.

Závisí od veľkosti a tvaru dosiek, vzdialenosti a dielektrika medzi nimi a nezávisí od ich materiálu.

Kapacita paralelného doskového kondenzátora:

S- plocha krytiny, d- vzdialenosť medzi nimi.

Kapacita skutočného kondenzátora je určená týmto vzorcom, čím presnejšie, tým menšia d v porovnaní s lineárnymi rozmermi dosiek.

a) paralelné zapojenie kondenzátorov

podľa zákona o zachovaní náboja

Ak C1 = C2 = ... = C, C približne =CN.

b) sériové zapojenie kondenzátorov

Ak C1 = C2 = ... = C,
.

Energia elektrostatického poľa.

A. Energia nabitého vodiča.

Ak existuje nabitý vodič, tak jeho náboj je vlastne „vyrobený spolu“ z rovnomenných elementárnych nábojov, t.j. nabitý vodič má pozitívnu potenciálnu energiu interakcie medzi týmito elementárnymi nábojmi.

Ak je tomuto vodiču priradený náboj dq s rovnakým názvom, vykoná sa negatívna práca dA, o ktorých množstvo sa zvýši potenciálna energia vodiča

,

kde  je potenciál na povrchu vodiča.

Keď sa náboj q prenesie do nenabitého vodiča, jeho potenciálna energia sa rovná

pretože
.

B. Energia nabitého kondenzátora.

Celková energia nabitého kondenzátora sa rovná práci, ktorú je potrebné vykonať na jeho nabitie. Kondenzátor budeme nabíjať prenášaním nabitých častíc z jednej dosky na druhú. Nech v dôsledku takéhoto prenosu v určitom časovom okamihu dosky získajú náboj q a potenciálny rozdiel medzi nimi sa rovná

.

Previesť ďalšiu časť poplatku dq je potrebné vykonať prácu

Preto celková energia vynaložená na nabíjanie kondenzátora

od 0 do q

Všetka táto práca smerovala k zvýšeniu potenciálnej energie:

(1)

Objemová hustota energie elektrostatického poľa

Vyjadrime energiu elektrického poľa kondenzátora pomocou veličín charakterizujúcich elektrické pole:

(2)

kde V=Sd je objem, ktorý zaberá pole.

Vzorec (1) spája energiu kondenzátora s nábojom na jeho doskách, vzorec (2) s intenzitou poľa. Kde je energia lokalizovaná, čo je jej nosičom - náboje alebo pole? Odpoveď vyplýva z existencie elektromagnetických vĺn, ktoré sa šíria priestorom od vysielača k prijímaču a prenášajú energiu. Možnosť takéhoto prenosu naznačuje, že energia je lokalizovaná v poli a prenáša sa spolu s ním. V rámci elektrostatiky nemá zmysel oddeľovať energiu náboja a poľa, pretože časovo konštantné polia a náboje, ktoré ich spôsobujú, nemôžu existovať oddelene od seba.

Ak je pole rovnomerné (plochý kondenzátor), energia v ňom obsiahnutá je rozložená v priestore s konštantnou hustotou.

objemová hustota energie.

Vo vnútri kovovej kabíny bude úplne v bezpečí, ak sa z nej nepokúsi dostať, kým nebude vonkajšia časť vybitá alebo bez napätia. Cestujúci v lietadle sú v bezpečí, keď udrie blesk, pretože náboj je vedený okolo vonkajšej strany trupu do spodnej atmosféry. Uskutočnili sa experimenty, pri ktorých sa na strechu auta prechádzajúceho okolo vysokonapäťového generátora aplikoval potenciál 1 milión V. Napriek obrovskému náboju medzi generátorom a autom mohol vodič experiment zopakovať bez toho, aby sa sám poškodil. a pre auto. Tieto experimenty ukazujú, že náboj sa nachádza na vonkajšom povrchu vodiča.


Poznámka.

To platí rovnako pre duté a monolitické vodiče a samozrejme aj pre izolátory.

Ak je na kovovú guľu umiestnenú na izolačnom stojane umiestnený určitý záporný náboj, ako na obrázku 1, a, potom sa záporné náboje navzájom odpudzujú a pohybujú sa kovom. Elektróny sú distribuované, kým každý bod na gule nestúpne na rovnaký negatívny potenciál; prerozdeľovanie poplatkov sa potom zastaví. Všetky body na nabitej guli musia mať rovnaký potenciál, pretože ak by sa tak nestalo, musel by existovať potenciálny rozdiel medzi rôznymi bodmi na vodiči. To spôsobí, že sa náboje budú pohybovať, kým sa potenciály nezrovnajú. Nabitý vodič, bez ohľadu na jeho tvar, preto musí mať rovnaký potenciál vo všetkých bodoch na svojom povrchu aj vo vnútri. Valcový vodič na obrázku 1 b má konštantný kladný potenciál vo všetkých bodoch na svojom povrchu. Rovnakým spôsobom má negatívne nabitý hruškovitý vodič na obrázku 1b konštantný negatívny potenciál na celom svojom povrchu. Náboj je teda distribuovaný takým spôsobom, že potenciál je rovnomerný v celom vodiči. Na telesách pravidelného tvaru, ako je guľa, bude rozloženie náboja rovnomerné alebo homogénne. Na telesách nepravidelného tvaru, ako sú tie, ktoré sú znázornené na obrázku 1, b a c, nie je na ich povrchu rovnomerné rozloženie náboja. Náboj, ktorý sa akumuluje v akomkoľvek danom bode na povrchu, závisí od zakrivenia povrchu v tomto bode. Čím väčšie je zakrivenie, t.j. čím menší je polomer, tým väčší je náboj. Na „špicatom“ konci hruškovitého vodiča je teda prítomná veľká koncentrácia náboja, aby sa zachoval rovnaký potenciál vo všetkých bodoch na povrchu.


Podobné experimenty možno vykonať na kontrolu rozloženia náboja na povrchoch vodičov rôznych tvarov. Mali by ste zistiť, že nabitá guľa má na svojom povrchu rovnomerné rozloženie náboja.

Ak k vysokonapäťovému prenosu energie pripojíte vodič s tenkým hrotom, t. j. zasuniete ho do oblúka Van de Graaffovho generátora, ucítite „elektrický vietor“ podržaním ruky niekoľko centimetrov od špicatý koniec vodiča, ako na obrázku 2, a. Vysoká koncentrácia kladného náboja na špičke vodiča bude priťahovať záporné náboje (elektróny), kým náboj nebude neutralizovaný. Kladné ióny vo vzduchu sú zároveň odpudzované kladným nábojom na hrote. Medzi molekulami vzduchu v miestnosti sú vždy kladné ióny (molekuly plynu, ktoré tvoria vzduch, ktorý stratil jeden alebo dva elektróny) a určitý počet záporných iónov („stratené“ elektróny). Obrázok 2, b znázorňuje pohyb náboja vo vzduchu, t.j. kladne nabité ióny odpudzované od kladne nabitého ostrého vodiča a záporne nabité ióny k nemu priťahované. Priťahovanie záporných nábojov (elektrónov) ku kladne nabitému hrotu neutralizuje kladné náboje na hrote, a preto znižuje jeho kladný potenciál. Nabitý vodič sa teda vybíja spôsobom známym tzv výboj - tok náboja z hrotu. Kladné náboje, ktoré prúdia preč z bodového vodiča, sú kladné ióny (takmer molekuly vzduchu), a to je to, čo vytvára pohyb vzduchu alebo „vietor“.

Poznámka.

Tento proces je nepretržitý, pretože náboj z generátora sa neustále pridáva do kupoly Van de Graaffovho generátora. Toto vysvetlenie ukazuje, že špicatý vodič je veľmi vhodný na zbieranie náboja, ako aj na udržiavanie vysokej koncentrácie náboja.

Bleskozvod

Dôležitá aplikácia odvodu náboja z hrotu je ako bleskozvod. Pohyb oblakov v atmosfére môže na oblaku vytvoriť obrovský statický náboj. Toto zvýšenie náboja môže byť také veľké, že potenciálny rozdiel medzi oblakom a zemou (nulový potenciál) bude dostatočne veľký na to, aby prekonal izolačné vlastnosti vzduchu. Keď k tomu dôjde, vzduch sa stane vodivým a náboj prúdi smerom k zemi vo forme blesku, pričom zasiahne najbližšie alebo najvyššie prítomné budovy alebo objekty, t. j. náboj sa dostane najkratšou cestou k zemi. Počas búrky sa nikdy neukrývajte pod stromami; blesk môže udrieť do stromu a zraniť vás alebo vás zabiť, keď putuje po strome na zem. Najlepšie je pokľaknúť na otvorenom mieste, hlavu sklopiť čo najnižšie a ruky si položiť na kolená, pričom prsty smerujú k zemi. Ak do vás udrie blesk, mal by udrieť do vašich ramien, prejsť po rukách a z prstov do zeme. Táto poloha teda chráni vašu hlavu a životne dôležité orgány, ako je srdce.

Ak by do budovy udrel blesk, mohlo by dôjsť k veľkému poškodeniu. Pred tým môže stavbu ochrániť bleskozvod. Bleskozvod pozostáva z niekoľkých špicatých vodičov namontovaných na vysokom mieste v budove a pripojených k hrubému medenému drôtu, ktorý vedie po jednej zo stien a končí na kovovej platni zakopanej v zemi. Keď kladne nabitý oblak prechádza cez budovu, dochádza v nej k oddeleniu rovnakých a opačných nábojov medený drôt s vysokou koncentráciou záporných nábojov na okrajoch vodičov a kladným nábojom, ktorý má tendenciu sa hromadiť na kovovej platni. Zem má však obrovskú rezervu záporného náboja, a preto, akonáhle sa na doske vytvorí kladný náboj, je okamžite Postupne je neutralizovaný negatívnymi nábojmi (elektrónmi) vychádzajúcimi zo zeme. Elektróny sú tiež priťahované od zeme smerom nahor k zahroteným koncom vodiča pod vplyvom pozitívneho potenciálu na oblaku. Na špičkách sa môže koncentrovať veľmi vysoký elektrický náboj, čo pomáha znižovať pozitívny potenciál oblaku, čím sa znižuje jeho schopnosť prekonať izolačné vlastnosti vzduchu. Nabité ióny vo vzduchu sa pohybujú aj v „elektrickom vetre“; záporné náboje (elektróny) sú hrotmi odpudzované a priťahované mrak, tiež pomáha znižovať jeho pozitívny potenciál, teda vypúšťať mrak. Pozitívne ióny vo vzduchu sú priťahované kladne nabitými špicatými vodičmi, ale obrovské zásoby záporného náboja v zemi môžu poskytnúť neobmedzený záporný náboj špicatým vodičom, na ich neutralizáciu. Ak blesk udrie do vodiča, potom pošle svoj elektrický náboj cez vodič a „bezpečne“ do zeme.

Jedným zo všeobecných problémov elektrostatiky je určiť elektrické pole alebo potenciál pre dané rozloženie povrchového náboja. Gaussova veta (1.11) nám umožňuje okamžite napísať nejaký konkrétny vzťah pre elektrické pole. Ak na ploche S s jednotkovou normálou je náboj rozložený s plošnou hustotou a elektrické pole na oboch stranách plochy je rovnaké (obr. 1.4), potom podľa Gaussovej vety,

Tento vzťah ešte neurčuje samotné polia, jedinou výnimkou sú prípady, keď neexistujú žiadne iné zdroje poľa okrem povrchových nábojov s hustotou a rozloženie má obzvlášť jednoduchú formu. Vzťah (1.22) len ukazuje, že pri pohybe z „vnútornej“ strany povrchu, na ktorej sa nachádza povrchový náboj a, na „vonkajšiu“ stranu, normálna zložka elektrického poľa zaznamená skok.

Pomocou vzťahu (1.21) pre lineárny integrál E pozdĺž uzavretého obrysu je možné ukázať, že tangenciálna zložka elektrického poľa je pri prechode povrchom spojitá.

Obr. 1.4. Skok v normálnej zložke elektrického poľa pri prechode povrchovým rozložením nábojov.

Všeobecný výraz pre potenciál vytvorený rozložením povrchového náboja v ľubovoľnom bode v priestore (vrátane na samotnom povrchu S, na ktorom sa náboje nachádzajú) možno nájsť z (1.17) a nahradiť ho výrazom

Výraz pre elektrické pole tu možno získať diferenciáciou.

Zaujímavý je aj problém potenciálu vytvoreného dvojitou vrstvou, t.j. distribúcia dipólov po povrchu

Obr. 1.5. Prechod na limit pri tvorbe dvojitej vrstvy.

Dvojitú vrstvu si môžeme predstaviť takto: nech sa náboj nachádza na povrchu S s určitou hustotou a na povrchu S blízkom S je povrchová hustota v zodpovedajúcich (susedných) bodoch , t.j. v znamení (obr. 1.5). Dvojvrstvová, t.j. dipólová distribúcia s momentom na jednotku povrchu

sa ukáže ako obmedzujúci prechod, v ktorom sa S približuje nekonečne blízko k S a povrchová hustota má tendenciu k nekonečnu, takže súčin o vzdialenosť medzi v zodpovedajúcom bode smeruje k limitu

Dipólový moment vrstvy je kolmý na povrch S a smeruje od záporného k kladnému náboju.

Na nájdenie potenciálu vytvoreného dvojitou vrstvou je možné najprv zvážiť individuálny dipól a potom prejsť na rozloženie dipólov na povrchu. Rovnaký výsledok je možné dosiahnuť, ak vychádzame z potenciálu (1.23) pre distribúciu povrchového náboja a potom vykonáme prechod k vyššie opísanej hranici. Prvý spôsob výpočtu je možno jednoduchší, ale druhý je užitočným cvičením vo vektorovej analýze, takže tu uprednostňujeme druhý.

Obr. 1.6. Dvojvrstvová geometria.

Nech jednotkový normálový vektor smeruje z S na S (obr. 1.6). Potom sa potenciál v dôsledku dvoch blízkych plôch S a S rovná

Pre malé d môžeme výraz rozšíriť na rad. Uvažujme o všeobecnom výraze, v ktorom V tomto prípade

Je zrejmé, že toto je jednoducho rozšírenie Taylorovho radu v trojrozmernom prípade. Prejdením na limitu (1.24) teda dostaneme výraz pre potenciál

Vzťah (1.25) možno veľmi jednoducho geometricky interpretovať. Všimni si

kde je priestorový prvok, pri ktorom je plošný prvok viditeľný z pozorovacieho bodu (obr. 1.7). Hodnota je kladná, ak je uhol ostrý, t.j. „vnútorná“ strana dvojitej vrstvy je viditeľná z bodu pozorovania.

Obr. 1.7. Smerom k záveru dvojvrstvového potenciálu. Potenciál v bode P, vytvorený plošným prvkom dvojitej vrstvy s jednotkovým plošným momentom D, sa rovná súčinu momentu D s opačným znamienkom a priestorového uhla, pod ktorým je plošný prvok z bodu P viditeľný. .

Výraz pre dvojvrstvový potenciál možno zapísať ako

Ak je povrchová hustota dipólového momentu D konštantná, potom sa potenciál jednoducho rovná súčinu dipólového momentu s opačným znamienkom a priestorového uhla, pod ktorým je celý povrch viditeľný z pozorovacieho bodu, bez ohľadu na jeho tvar. .

Pri prechode cez dvojitú vrstvu potenciál podstúpi skok rovný časom hustoty povrchového dipólového momentu . To sa dá ľahko overiť, ak vezmeme do úvahy bod pozorovania, ktorý sa nekonečne približuje k povrchu S zvnútra. Potom podľa (1.26) potenciál na internom

strana bude rovná

pretože takmer celý priestorový uhol spočíva na malej časti povrchu S v blízkosti pozorovacieho bodu. Podobne, ak sa priblížite k povrchu S zvonku, potom sa potenciál vyrovná

znamienko je obrátené v dôsledku zmeny znamienka priestorového uhla. Potenciálny skok pri prechode dvojitou vrstvou sa teda rovná

Tento vzťah je analógom vzorca (1.22) pre skok v normálnej zložke elektrického poľa pri prechode „jednoduchou“ vrstvou, t. j. rozloženie povrchového náboja. Vzťah (1.27) možno fyzikálne interpretovať ako pokles potenciálu „vo vnútri“ dvojitej vrstvy. Tento potenciálny pokles možno vypočítať (pred dosiahnutím limitu) ako súčin intenzity poľa medzi oboma vrstvami nesúcimi povrchový náboj a vzdialenosti medzi nimi.

V prípade rovnovážneho rozloženia sú náboje vodiča rozložené v tenkej povrchovej vrstve. Napríklad, ak vodič dostane záporný náboj, potom v dôsledku prítomnosti odpudivých síl medzi prvkami tohto náboja budú rozptýlené po celom povrchu vodiča.

Vyšetrenie pomocou testovacej platne

Na experimentálne štúdium toho, ako sú náboje rozložené na vonkajšom povrchu vodiča, sa používa takzvaná testovacia doska. Táto doska je taká malá, že keď príde do kontaktu s vodičom, možno ju považovať za súčasť povrchu vodiča. Ak sa táto platňa priloží na nabitý vodič, časť náboja ($\trojuholník q$) sa naň prenesie a veľkosť tohto náboja sa bude rovnať náboju, ktorý bol na povrchu vodiča na ploche rovnajúcej sa do oblasti taniera ($\trojuholník S$).

Potom sa hodnota rovná:

\[\sigma=\frac(\triangle q)(\triangle S)(1)\]

sa nazýva hustota rozloženia povrchového náboja v danom bode.

Vybitím testovacej platne cez elektrometer je možné posúdiť hodnotu hustoty povrchového náboja. Takže napríklad, ak nabijete vodivú guľu, pomocou vyššie uvedenej metódy môžete vidieť, že v rovnovážnom stave je hustota povrchového náboja na loptičke vo všetkých jej bodoch rovnaká. To znamená, že náboj je rozložený rovnomerne po povrchu gule. Pre vodiče zložitejších tvarov je rozloženie náboja zložitejšie.

Povrchová hustota vodiča

Povrch akéhokoľvek vodiča je ekvipotenciálny, ale vo všeobecnosti sa hustota rozloženia náboja môže v rôznych bodoch značne líšiť. Hustota rozloženia povrchového náboja závisí od zakrivenia povrchu. V časti, ktorá bola venovaná popisu stavu vodičov v elektrostatickom poli, sme zistili, že sila poľa v blízkosti povrchu vodiča je kolmá na povrch vodiča v akomkoľvek bode a má rovnakú veľkosť:

kde $(\varepsilon )_0$ je elektrická konštanta, $\varepsilon $ je dielektrická konštanta média. teda

\[\sigma=E\varepsilon (\varepsilon )_0\ \left(3\right).\]

Čím väčšie je zakrivenie povrchu, tým väčšia je intenzita poľa. V dôsledku toho je hustota náboja na výstupkoch obzvlášť vysoká. V blízkosti priehlbín vo vodiči sa ekvipotenciálne plochy nachádzajú menej často. V dôsledku toho je intenzita poľa a hustota náboja v týchto miestach nižšia. Hustota náboja pri danom potenciáli vodiča je určená zakrivením povrchu. Zvyšuje sa so zvyšujúcou sa konvexnosťou a klesá so zvyšujúcou sa konkávnosťou. Hustota náboja je obzvlášť vysoká na okrajoch vodičov. Intenzita poľa na hrote teda môže byť taká vysoká, že môže dôjsť k ionizácii molekúl plynu, ktoré obklopujú vodič. Ióny plynu opačného znamienka náboja (vzhľadom na náboj vodiča) sú priťahované k vodiču a neutralizujú jeho náboj. Ióny rovnakého znamienka sú odpudzované z vodiča a „ťahajú“ so sebou molekuly neutrálneho plynu. Tento jav sa nazýva elektrický vietor. Náboj vodiča klesá v dôsledku procesu neutralizácie, zdá sa, že steká z hrotu. Tento jav sa nazýva výtok náboja z hrotu.

Už sme povedali, že keď zavedieme vodič do elektrického poľa, dôjde k oddeleniu kladných nábojov (jadier) a záporných nábojov (elektrónov). Tento jav sa nazýva elektrostatická indukcia. Náboje, ktoré sa objavia ako výsledok, sa nazývajú indukované. Indukované náboje vytvárajú dodatočné elektrické pole.

Pole indukovaných nábojov je nasmerované v opačnom smere ako je smer vonkajšieho poľa. Preto náboje, ktoré sa hromadia na vodiči, oslabujú vonkajšie pole.

Redistribúcia náboja pokračuje, kým nie sú splnené podmienky rovnováhy náboja pre vodiče. Ako napríklad: nulová intenzita poľa všade vo vnútri vodiča a kolmosť vektora intenzity nabitého povrchu vodiča. Ak je vo vodiči dutina, potom pri rovnovážnom rozložení indukovaného náboja je pole vo vnútri dutiny nulové. Na tomto jave je založená elektrostatická ochrana. Ak chcú chrániť zariadenie pred vonkajšími poľami, je obklopené vodivou clonou. V tomto prípade je vonkajšie pole kompenzované vo vnútri obrazovky indukovanými nábojmi vznikajúcimi na jej povrchu. To nemusí byť nevyhnutne súvislé, ale tiež vo forme hustej siete.

Zadanie: Nekonečne dlhý závit nabitý lineárnou hustotou $\tau$ je umiestnený kolmo na nekonečne veľkú vodivú rovinu. Vzdialenosť od závitu k rovine $l$. Ak budeme pokračovať v závite, kým sa nepretne s rovinou, tak v priesečníku dostaneme určitý bod A. Napíšte vzorec pre závislosť povrchovej hustoty $\sigma \left(r\right)\ $indukovaných nábojov na rovina vo vzdialenosti bodu A.

Zoberme si nejaký bod B na rovine. Nekonečne dlhé nabité vlákno v bode B vytvára elektrostatické pole, v poli je vodivá rovina, v rovine sa vytvárajú indukované náboje, ktoré zase vytvárajú pole, ktoré zoslabuje vonkajšie pole vlákna. Normálna zložka rovinného poľa (indukované náboje) v bode B sa bude rovnať normálnej zložke poľa závitu v tom istom bode, ak je systém v rovnováhe. Izolujme elementárny náboj na vlákne ($dq=\tau dx,\ kde\ dx-elementárny\ kus\ vlákna\ $) a nájdime v bode B napätie vytvorené týmto nábojom ($dE$):

Nájdite normálnu zložku prvku sily poľa vlákna v bode B:

kde $cos\alpha $ môže byť vyjadrené ako:

Vyjadrime vzdialenosť $a$ pomocou Pytagorovej vety ako:

Nahradením (1.3) a (1.4) za (1.2) dostaneme:

Nájdite integrál z (1.5), kde sú hranice integrácie od $l\ (vzdialenosť\ k\ najbližšiemu\ koncu\ vlákna\ od\ roviny)\ do\ \infty $:

Na druhej strane vieme, že pole rovnomerne nabitej roviny sa rovná:

Dajme rovnítko (1.6) a (1.7) a vyjadrime hustotu povrchového náboja:

\[\frac(1)(2)\cdot \frac(\sigma)(\varepsilon (\varepsilon )_0)=\frac(\tau )(4\pi (\varepsilon )_0\varepsilon )\cdot \frac (1)((\left(r^2+x^2\right))^(1)/(2)))\to \sigma=\frac(\tau )(2\cdot \pi (\left (r^2+x^2\vpravo))^((1)/(2))).\]

Odpoveď: $\sigma=\frac(\tau )(2\cdot \pi (\left(r^2+x^2\right))^(1)/(2))).$

Príklad 2

Zadanie: Vypočítajte hustotu povrchového náboja, ktorý vzniká v blízkosti zemského povrchu, ak je intenzita poľa Zeme 200$\ \frac(V)(m)$.

Budeme predpokladať, že dielektrická vodivosť vzduchu je $\varepsilon =1$ ako vodivosť vákua. Ako základ pre riešenie problému vezmeme vzorec na výpočet napätia nabitého vodiča:

Vyjadrime hustotu povrchového náboja a získame:

\[\sigma=E(\varepsilon )_0\varepsilon \ \left(2.2\right),\]

kde elektrická konštanta je nám známa a rovná sa SI $(\varepsilon )_0=8,85\cdot (10)^(-12)\frac(F)(m).$

Vykonajte výpočty:

\[\sigma=200\cdot 8,85\cdot (10)^(-12)=1,77\cdot (10)^(-9)\frac(Cl)(m^2).\]

Odpoveď: Hustota rozloženia náboja na povrchu Zeme sa rovná $1,77\cdot (10)^(-9)\frac(C)(m^2)$.