„Nie ani jedno jeden dieťa nie schopný, priemerný. dôležité, do toto myseľ, toto talent stať sa základ úspech V vyučovanie, do ani jedno jeden študent nie študoval nižšie ich príležitosti“ (Sukhomlinsky V.A.)

Čo je to matematická schopnosť? Alebo nie sú ničím iným ako kvalitatívnou špecializáciou všeobecných duševných procesov a osobnostných vlastností, teda všeobecných intelektových schopností rozvíjaných vo vzťahu k matematickej činnosti? Je matematická schopnosť jednotnou alebo integrálnou vlastnosťou? V druhom prípade môžeme hovoriť o štruktúre matematických schopností, o zložkách tohto komplexného vzdelávania. Odpovede na tieto otázky hľadajú psychológovia a pedagógovia už od začiatku storočia, no stále neexistuje jednotný pohľad na problém matematických schopností. Pokúsme sa pochopiť tieto problémy analýzou práce niektorých popredných odborníkov, ktorí na tomto probléme pracovali.

Veľký význam sa v psychológii prikladá problému schopností vo všeobecnosti a problému schopností školákov zvlášť. Množstvo štúdií psychológov je zamerané na odhalenie štruktúry schopností školákov pre rôzne druhy aktivít.

Vo vede, najmä v psychológii, pokračuje diskusia o samotnej podstate schopností, ich štruktúre, pôvode a vývoji. Bez toho, aby sme zachádzali do detailov tradičných a nových prístupov k problému schopností, poukážeme na niektoré z hlavných kontroverzných bodov rôznych uhlov pohľadu psychológov na schopnosti. Medzi nimi však neexistuje jediný prístup k tomuto problému.

Rozdiel v chápaní podstaty schopností sa nachádza predovšetkým v tom, či sú považované za spoločensky získané vlastnosti alebo sú uznané za prirodzené. Niektorí autori chápu schopnosti ako komplex individuálnych psychologických vlastností človeka, ktoré spĺňajú požiadavky tejto činnosti a sú podmienkou jej úspešného vykonávania, ktoré sa neredukujú na pripravenosť, na existujúce vedomosti, zručnosti a schopnosti. Tu si treba dať pozor na niekoľko faktov. Po prvé, schopnosti sú individuálne vlastnosti, teda to, čo odlišuje jednu osobu od druhej. Po druhé, nejde len o črty, ale o psychologické črty. A nakoniec, schopnosti nie sú všetky individuálne psychologické vlastnosti, ale iba tie, ktoré spĺňajú požiadavky určitej činnosti.

S iným prístupom, najvýraznejšie v K.K. Platonova sa za schopnosť považuje akákoľvek kvalita „dynamickej funkčnej štruktúry osobnosti“, ak zabezpečuje úspešný rozvoj a vykonávanie činností. Ako však poznamenal V.D. Shadrikov, „s týmto prístupom k schopnostiam sa prenáša ontologický aspekt problému tvorby, ktoré sa chápu ako anatomické a fyziologické vlastnosti človeka, ktoré tvoria základ pre rozvoj schopností. Riešenie psychofyziologického problému viedlo v kontexte schopností ako takých do slepej uličky, keďže schopnosti ako psychologická kategória neboli považované za vlastnosť mozgu. Znak úspechu nie je o nič produktívnejší, pretože úspešnosť činnosti je daná cieľom, motiváciou a mnohými ďalšími faktormi.“ Podľa jeho teórie schopností možno schopnosti produktívne definovať ako vlastnosti len vo vzťahu k ich individuálnemu a univerzálny.

Univerzálny (všeobecný) pre každú schopnosť V.D. Shadrikov pomenúva vlastnosť, na základe ktorej sa realizuje konkrétna mentálna funkcia. Každá vlastnosť je základnou charakteristikou funkčného systému. Práve na realizáciu tejto vlastnosti sa v procese evolučného vývoja človeka vytvoril špecifický funkčný systém, napríklad vlastnosť adekvátne odrážať objektívny svet (vnímanie) alebo vlastnosť zachytávať vonkajšie vplyvy (pamäť) a pod. . Vlastnosť sa prejavuje v procese činnosti. Teraz je teda možné definovať schopnosti z hľadiska univerzálneho ako vlastnosť funkčného systému, ktorý realizuje jednotlivé duševné funkcie.

Existujú dva typy vlastností: tie, ktoré nemajú intenzitu, a preto ju nemôžu zmeniť, a tie, ktoré intenzitu majú, to znamená, že môžu byť viac alebo menej. Humanitné vedy sa zaoberajú najmä vlastnosťami prvého druhu, prírodné vedy vlastnosťami druhého druhu. Mentálne funkcie sú charakterizované vlastnosťami, ktoré majú intenzitu, mieru závažnosti. To vám umožňuje určiť schopnosť z hľadiska jedného (samostatného, ​​individuálneho). Jeden bude reprezentovaný mierou závažnosti majetku;

Schopnosti teda možno podľa vyššie prezentovanej teórie definovať ako vlastnosti funkčných systémov, ktoré realizujú jednotlivé psychické funkcie, ktoré majú individuálnu mieru závažnosti, prejavujúcej sa v úspešnosti a kvalitatívnej originalite rozvoja a realizácie činností. Pri hodnotení individuálnej miery závažnosti schopností je vhodné použiť rovnaké parametre ako pri charakterizácii akejkoľvek činnosti: produktivitu, kvalitu a spoľahlivosť (z hľadiska uvažovanej psychickej funkcie).

Jedným z iniciátorov štúdia matematických schopností školákov bol vynikajúci francúzsky matematik A. Poincaré. Konštatoval špecifickosť tvorivých matematických schopností a vyčlenil ich najdôležitejšiu zložku – matematickú intuíciu. Odvtedy sa začalo štúdium tohto problému. Následne psychológovia identifikovali tri typy matematických schopností – aritmetické, algebraické a geometrické. Zároveň zostala neriešiteľná otázka prítomnosti matematických schopností.

Výskumníci W. Haeker a T. Ziegen zase identifikovali štyri hlavné komplexné zložky: priestorové, logické, numerické, symbolické, ktoré sú „jadrom“ matematických schopností. V týchto komponentoch rozlišovali medzi porozumením, zapamätaním a operáciou.

Spolu s hlavnou zložkou matematického myslenia – schopnosťou selektívneho myslenia, deduktívneho uvažovania v numerickej a symbolickej sfére, schopnosťou abstraktného myslenia, A. Blackwell vyzdvihuje aj schopnosť manipulovať s priestorovými objektmi. Všíma si aj verbálnu schopnosť a schopnosť ukladať dáta v ich presnom a prísnom poradí a význame do pamäte.

Značná časť z nich je dnes zaujímavá. V knihe, ktorá sa pôvodne volala „Psychológia algebry“, najprv formuluje E. Thorndike sú bežné matematický schopnosti: schopnosť narábať so symbolmi, vyberať a nadväzovať vzťahy, zovšeobecňovať a systematizovať, určitým spôsobom vyberať podstatné prvky a údaje, vnášať nápady a zručnosti do systému. Tiež zvýrazňuje špeciálne algebraické schopnosti: schopnosť porozumieť a skladať vzorce, vyjadrovať kvantitatívne vzťahy ako vzorec, transformovať vzorce, písať rovnice vyjadrujúce dané kvantitatívne vzťahy, riešiť rovnice, vykonávať identické algebraické transformácie, graficky vyjadrovať funkčnú závislosť dvoch veličín atď.

Jedna z najvýznamnejších štúdií matematických schopností od publikovania prác E. Thorndikea patrí švédskemu psychológovi I. Verdelinovi. Podáva veľmi širokú definíciu matematickej schopnosti, ktorá odráža reprodukčné a produktívne aspekty, chápanie a aplikáciu, ale zameriava sa na najdôležitejší z týchto aspektov - produktívny, ktorý skúma v procese riešenia problémov. Vedec sa domnieva, že vyučovacia metóda môže ovplyvniť povahu matematických schopností.

Významný švajčiarsky psychológ J. Piaget prikladal veľký význam mentálnym operáciám, pričom v ontogenetickom vývoji intelektu rozlišoval štádium mierne formalizovaných špecifických operácií spojených s konkrétnymi údajmi a štádium zovšeobecnených formalizovaných operácií, keď sú organizované operátorské štruktúry. Poslednú menovanú koreloval s tromi základnými matematickými štruktúrami, ktoré identifikoval N. Bourbaki: algebraickou, štruktúrou rádu a topologickou. Všetky typy týchto štruktúr J. Piaget objavuje vo vývine aritmetických a geometrických operácií v mysli dieťaťa a v znakoch logických operácií. Z toho vyplýva záver o potrebe syntézy matematických štruktúr a operátorských štruktúr myslenia v procese vyučovania matematiky.

V psychológii V.A. Krutetsky. Vo svojej knihe „Psychológia matematických schopností školákov“ podáva nasledujúcu všeobecnú schému štruktúry matematických schopností školákov. Po prvé, získanie matematických informácií je schopnosť formalizovať vnímanie matematického materiálu, pochopiť štruktúru problému. Po druhé, spracovaním matematických informácií je schopnosť logického myslenia v oblasti kvantitatívnych a priestorových vzťahov, číselnej a symbolickej symboliky, schopnosť myslieť v matematických symboloch, schopnosť rýchlo a široko zovšeobecňovať matematické objekty, vzťahy a akcie, schopnosť obmedzovať proces matematického uvažovania a systémovo vhodné akcie, schopnosť myslieť v zložených štruktúrach. Vyžaduje si to aj flexibilitu myšlienkových procesov v matematickej činnosti, túžbu po jasnosti, jednoduchosti, hospodárnosti a racionalite rozhodovania. Podstatnú úlohu tu zohráva schopnosť rýchlo a voľne reštrukturalizovať smerovanie myšlienkového procesu, prejsť z priameho na spätný priebeh myslenia (reverzibilita myšlienkového procesu v matematickom uvažovaní). Po tretie, uchovávaním matematických informácií je matematická pamäť (zovšeobecnená pamäť pre matematické vzťahy, typické charakteristiky, schémy uvažovania a dôkazov, metódy riešenia problémov a princípy ich prístupu). A napokon, všeobecnou syntetickou zložkou je matematická orientácia mysle. Všetky vyššie citované štúdie umožňujú konštatovať, že faktor všeobecného matematického uvažovania je základom všeobecných rozumových schopností a matematické schopnosti majú všeobecný rozumový základ.

Z odlišného chápania podstaty schopností vyplýva odlišný prístup k odhaľovaniu ich štruktúry, ktorá sa u rôznych autorov javí ako súbor rôznych vlastností, klasifikovaných na rôznych základoch a v rôznych pomeroch.

Na otázku genézy a rozvoja schopností, ich spojitosti s činnosťou neexistuje jednotná odpoveď. Spolu s tvrdením, že schopnosti vo svojej generickej podobe existujú u človeka pred aktivitou ako predpoklad jej realizácie. Zaznel aj iný, protichodný názor: schopnosti pred činnosťou B.M. Termálne. Posledné ustanovenie vedie do slepej uličky, keďže nie je jasné, ako sa činnosť začína vykonávať bez možnosti tak urobiť. V skutočnosti schopnosti na určitom stupni svojho rozvoja existujú pred činnosťou a s jej začiatkom sa prejavujú a potom rozvíjajú v činnosti, ak to na človeka kladie stále vyššie nároky.

To však neodhaľuje koreláciu zručností a schopností. Riešenie tohto problému navrhol V.D. Šadrikov. Domnieva sa, že podstata ontologických rozdielov medzi schopnosťami a zručnosťami je nasledovná: schopnosť je opísaná funkčným systémom, jedným z jeho podstatných prvkov je prirodzená zložka, ktorou sú funkčné mechanizmy schopností, a zručnosti sú opísané pomocou tzv. izomorfný systém, jednou z jeho hlavných zložiek sú schopnosti, vykonávajúce v tomto systéme tie funkcie, ktoré v systéme schopností realizujú funkčné mechanizmy. Funkčný systém zručností teda akoby vyrastal zo systému schopností. Ide o systém sekundárnej úrovne integrácie (ak berieme systém schopností ako primárny).

Keď už hovoríme o schopnostiach vo všeobecnosti, treba zdôrazniť, že schopnosti sú rôznej úrovne, vzdelávacie a tvorivé. Učebné schopnosti sú spojené s asimiláciou už známych spôsobov vykonávania činností, osvojovaním si vedomostí, zručností a schopností. Kreativita je spojená s tvorbou nového, originálneho produktu, s hľadaním nových spôsobov vykonávania činností. Z tohto hľadiska ide napríklad o schopnosť asimilácie, štúdium matematiky a tvorivé matematické schopnosti. Ale ako napísal J. Hadamard, „medzi prácou študenta riešiacou problém... a tvorivou prácou je rozdiel len v úrovni, keďže obe práce sú podobného charakteru“ .

Dôležité sú prirodzené predpoklady, nie sú to však schopnosti, ale sklony. Samotné sklony neznamenajú, že človek vyvinie zodpovedajúce schopnosti. Rozvoj schopností závisí od mnohých sociálnych podmienok (výchova, potreba komunikácie, vzdelávací systém).

Typy schopností:

1. Prirodzené (prirodzené) schopnosti.

Sú spoločné pre ľudí a zvieratá: vnímanie, pamäť, schopnosť elementárnej komunikácie. Tieto schopnosti priamo súvisia s vrodenými sklonmi. Na základe týchto sklonov si človek za prítomnosti elementárnych životných skúseností prostredníctvom mechanizmov učenia rozvíja špecifické schopnosti.

2. Špecifické schopnosti.

Všeobecne: určiť úspešnosť človeka v rôznych činnostiach (schopnosť myslenia, reč, presnosť manuálnych pohybov).

Špeciálne: určujú úspešnosť človeka v konkrétnych činnostiach, ktorých realizácia si vyžaduje špeciálne schopnosti a ich rozvoj (hudobné, matematické, jazykové, technické, umelecké schopnosti).

Okrem toho sú schopnosti rozdelené na teoretické a praktické. Teoretické predurčujú inklináciu človeka k abstraktno-teoretickým úvahám a praktické - ku konkrétnym praktickým činom. Najčastejšie sa teoretické a praktické schopnosti navzájom nekombinujú. Väčšina ľudí má jeden alebo druhý typ schopnosti. Spolu sú mimoriadne zriedkavé.

Existuje aj rozdelenie na vzdelávacie a tvorivé schopnosti. Prvé určujú úspech školenia, asimiláciu vedomostí, zručností a druhé určujú možnosť objavov a vynálezov, vytváranie nových predmetov materiálnej a duchovnej kultúry.

3. Tvorivé schopnosti.

Ide v prvom rade o schopnosť človeka nájsť osobitný pohľad na známe a každodenné veci alebo úlohy. Táto zručnosť je priamo závislá od horizontov človeka. Čím viac vie, tým ľahšie sa na skúmanú problematiku pozrie z rôznych uhlov pohľadu. Kreatívny človek sa neustále snaží spoznávať svet okolo seba nielen v oblasti svojej hlavnej činnosti, ale aj v súvisiacich odvetviach. Kreatívny človek je vo väčšine prípadov predovšetkým originálne mysliaci človek, schopný neštandardných riešení.

Úrovne rozvoja schopností:

• 1) Sklony – prirodzené predpoklady schopností;
• 2) Schopnosti - komplexná, integrálna, mentálna formácia, druh syntézy vlastností a komponentov;
• 3) Nadanie – druh kombinácie schopností, ktoré človeku poskytuje možnosť úspešne vykonávať akúkoľvek činnosť;
• 4) Majstrovstvo – dokonalosť v určitom druhu činnosti;
• 5) Talent - vysoká úroveň rozvoja špeciálnych schopností (ide o určitú kombináciu vysoko rozvinutých schopností, pretože izolovanú schopnosť, dokonca aj veľmi rozvinutú, nemožno nazvať talentom);
• 6) Genius - najvyššia úroveň rozvoja schopností (v celej histórii civilizácie nebolo viac ako 400 géniov).

Sú bežné duševný schopnosti- to sú schopnosti, ktoré sú potrebné na vykonávanie nie jednej, ale mnohých druhov činností. Všeobecné duševné schopnosti zahŕňajú napríklad také vlastnosti mysle, ako je duševná aktivita, kritickosť, systematickosť, sústredená pozornosť. Človek je prirodzene obdarený všeobecnými schopnosťami. Akákoľvek činnosť je zvládnutá na základe všeobecných schopností, ktoré sa pri tejto činnosti rozvíjajú.

Ako V.D. Shadrikov,“ špeciálne schopnosti" existujú všeobecné schopnosti, ktoré pod vplyvom požiadaviek činnosti nadobudli znaky efektívnosti. "Špeciálne schopnosti sú schopnosti, ktoré sú potrebné na úspešné zvládnutie akejkoľvek jednej konkrétnej činnosti. Tieto schopnosti zároveň predstavujú jednotu individuálnych súkromných schopností." Napríklad v zložení matematický schopnosti matematická pamäť hrá dôležitú úlohu; schopnosť logického myslenia v oblasti kvantitatívnych a priestorových vzťahov; rýchle a široké zovšeobecnenie matematického materiálu; jednoduché a bezplatné prepínanie z jednej mentálnej operácie na druhú; snaha o jasnosť, hospodárnosť, racionalitu uvažovania a pod. Všetky partikulárne schopnosti spája základná schopnosť matematickej orientácie mysle (ktorá sa chápe ako tendencia izolovať priestorové a kvantitatívne vzťahy, funkčné závislosti pri vnímaní), spojená s potrebou matematickej aktivity.

A. Poincare dospel k záveru, že najdôležitejšie miesto v matematických schopnostiach má schopnosť logicky zostaviť reťazec operácií, ktoré povedú k riešeniu problému. Matematikovi navyše nestačí len dobrá pamäť a pozornosť. Podľa Poincareho sa ľudia schopní matematiky vyznačujú schopnosťou pochopiť poradie, v ktorom by sa prvky potrebné na matematický dôkaz mali nachádzať. Prítomnosť tohto druhu intuície je základným prvkom matematickej tvorivosti.

L.A. Wenger označuje matematické schopnosti také črty duševnej činnosti, ako je zovšeobecňovanie matematických predmetov, vzťahov a akcií, to znamená schopnosť vidieť všeobecné v rôznych špecifických výrazoch a úlohách; schopnosť myslieť v „zložených“, veľkých jednotkách a „ekonomicky“, bez prílišných detailov, schopnosť prepínať z priameho na spätné myslenie.

Aby vedci pochopili, aké ďalšie vlastnosti sú potrebné na dosiahnutie úspechu v matematike, výskumníci analyzovali matematickú aktivitu: proces riešenia problémov, metódy dokazovania, logické uvažovanie a vlastnosti matematickej pamäte. Táto analýza viedla k vytvoreniu rôznych variantov štruktúr matematických schopností, zložitých v ich komponentnom zložení. Názory väčšiny výskumníkov sa zároveň zhodli na jednej veci: že neexistuje a nemôže existovať jediná výrazná matematická schopnosť, ide o kumulatívnu charakteristiku, ktorá odráža znaky rôznych duševných procesov: vnímanie, myslenie, pamäť, predstavivosť.

Výber najdôležitejších zložiek matematických schopností je znázornený na obrázku 1:

Obrázok 1

Niektorí výskumníci tiež vyčleňujú ako nezávislú zložku matematickú pamäť pre schémy uvažovania a dôkazov, metódy riešenia problémov a spôsoby, ako k nim pristupovať. Jedným z nich je V.A. Krutetsky. Matematické schopnosti definuje takto: „Pod schopnosťou študovať matematiku rozumieme individuálne psychologické vlastnosti (predovšetkým vlastnosti duševnej činnosti), ktoré zodpovedajú požiadavkám výchovno-matematickej činnosti a určujú za iných rovnakých podmienok úspešnosť tvorivého zvládnutia matematiku ako vzdelávací predmet, najmä pomerne rýchle, ľahké a hlboké osvojenie vedomostí, zručností a schopností v oblasti matematiky“.

V našej práci sa budeme opierať najmä o výskum tohto konkrétneho psychológa, keďže jeho výskum tohto problému je stále najglobálnejší a jeho závery sú najviac experimentálne podložené.

takže, V.A. Krutetskiy rozlišuje deväť komponentov matematický schopnosti:

• 1. Schopnosť formalizovať matematický materiál, oddeľovať formu od obsahu, abstrahovať od konkrétnych kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem a operovať s formálnymi štruktúrami, štruktúrami vzťahov a väzieb;
• 2. Schopnosť zovšeobecniť matematický materiál, izolovať to hlavné, odkloniť sa od nepodstatného, ​​vidieť všeobecné navonok odlišné;
• 3. Schopnosť pracovať s číselnými a symbolickými symbolmi;
• 4. Schopnosť „konzistentného, ​​správne rozdeleného logického uvažovania“, spojená s potrebou dôkazov, odôvodnení, záverov;
• 5. Schopnosť skrátiť proces uvažovania, myslieť v skladaných štruktúrach;
• 6. Schopnosť reverzibility myšlienkového procesu (k prechodu od priameho k spätnému mysleniu);
• 7. Flexibilita myslenia, schopnosť prejsť z jednej mentálnej operácie do druhej, oslobodenie od obmedzujúceho vplyvu vzorov a šablón;
• 8. Matematická pamäť. Dá sa predpokladať, že jej charakteristické črty vyplývajú aj z čŕt matematickej vedy, že je pamäťou na zovšeobecnenia, formalizované štruktúry, logické schémy;
• 9. Schopnosť priestorových zobrazení, ktorá priamo súvisí s prítomnosťou takého odvetvia matematiky, ako je geometria.

Okrem tých, ktoré sú uvedené, existujú aj také zložky, ktorých prítomnosť v štruktúre matematických schopností, hoci je užitočná, nie je potrebná. Učiteľ pred klasifikáciou žiaka ako schopného alebo neschopného matematiky s tým musí počítať. Nasledujúce zložky nie sú povinné v štruktúre matematického talentu:

• 1. Rýchlosť myšlienkových procesov ako časová charakteristika.
• 2. Individuálne tempo práce nie je kritické. Žiak dokáže myslieť pomaly, pomaly, ale dôkladne a hlboko.
• 3. Schopnosť rýchlych a presných výpočtov (najmä v mysli). V skutočnosti výpočtové schopnosti zďaleka nie sú vždy spojené s formovaním skutočne matematických (tvorivých) schopností.
• 4. Pamäť na čísla, čísla, vzorce. Ako akademik A.N. Kolmogorov, mnohí vynikajúci matematici nemali žiadnu vynikajúcu pamäť tohto druhu.

Väčšina psychológov a učiteľov, keď hovoríme o matematických schopnostiach, sa spolieha práve na túto štruktúru V.A. Krutetsky. V procese rôznych štúdií matematickej činnosti študentov, ktorí vykazujú schopnosti pre tento školský predmet, však niektorí psychológovia identifikovali iné zložky matematických schopností. Predovšetkým nás zaujali výsledky výskumnej práce Z.P. Gorelčenko. U študentov schopných matematiky zaznamenal nasledujúce črty. Najprv objasnil a rozšíril zložku štruktúry matematických schopností, nazývanú v modernej psychologickej literatúre „zovšeobecnenie matematických pojmov“ a vyjadril myšlienku jednoty dvoch protikladných tendencií myslenia žiaka smerom k zovšeobecňovaniu a „zužovaniu“ matematické pojmy. V tejto zložke možno vidieť odraz jednoty induktívnej a deduktívnej metódy učenia sa nových vecí v matematike žiakmi. Po druhé, dialektické základy v myslení študentov počas asimilácie nových matematických poznatkov. Prejavuje sa to v tom, že takmer v každom jednotlivom matematickom fakte tí najschopnejší študenti majú tendenciu vidieť, chápať opačnú skutočnosť, alebo aspoň uvažovať o obmedzujúcom prípade skúmaného javu. Po tretie, zaznamenal osobitnú zvýšenú pozornosť na vznikajúce nové matematické vzorce, ktoré sú v protiklade k tým, ktoré boli predtým zavedené.

Za jeden z charakteristických znakov zvýšených matematických schopností žiakov a ich prechodu k zrelému matematickému mysleniu možno považovať pomerne skoré pochopenie potreby axióm ako východiskových právd v dôkazoch. Prístupné štúdium axióm a axiomatickej metódy veľkou mierou prispieva k urýchleniu rozvoja deduktívneho myslenia študentov. Bolo tiež zaznamenané, že estetické cítenie v matematickej práci sa u rôznych študentov prejavuje rôznymi spôsobmi. Rôznymi spôsobmi reagujú rôzni žiaci aj na snahu vychovávať a rozvíjať v nich estetické cítenie, ktoré zodpovedá ich matematickému mysleniu. Okrem naznačených zložiek matematických schopností, ktoré sa môžu a majú rozvíjať, je potrebné brať do úvahy aj skutočnosť, že úspešnosť matematickej činnosti je derivátom určitej kombinácie vlastností: aktívneho pozitívneho vzťahu k matematike, záujmu v ňom túžba zapojiť sa do toho, premeniť sa na vášnivého na vysokej úrovni rozvoja.vášeň. Vyzdvihnúť môžete aj množstvo charakteristických čŕt, ako sú: pracovitosť, organizovanosť, samostatnosť, cieľavedomosť, vytrvalosť, ale aj stabilné intelektuálne vlastnosti, pocit zadosťučinenia z ťažkej duševnej práce, radosť z tvorivosti, objavovania a pod.

Prítomnosť v čase vykonávania činností priaznivých pre výkon psychických stavov, napríklad stav záujmu, koncentrácie, dobrá „duševná“ pohoda a pod. Určitý fond vedomostí, zručností a schopností v príslušnej oblasti. Určité individuálne psychologické charakteristiky v zmyslovej a duševnej sfére, ktoré spĺňajú požiadavky tejto činnosti.

Najschopnejší študenti matematiky sa vyznačujú zvláštnym estetickým skladom matematického myslenia. Umožňuje im pomerne ľahko pochopiť niektoré teoretické jemnosti v matematike, zachytiť bezchybnú logiku a krásu matematického uvažovania, opraviť najmenšiu kostrbatosť, nepresnosť v logickej štruktúre matematických pojmov. Samostatná vytrvalá snaha o originálne, nekonvenčné, elegantné riešenie matematického problému, o harmonickú jednotu formálnej a sémantickej zložky riešenia problému, brilantné odhady, niekedy pred logickými algoritmami, niekedy ťažko preložiteľné do jazyka symbolov, svedčia o prítomnosti zmyslu pre rozvinutú matematickú predvídavosť v myslení, ktorá je jedným z aspektov estetického myslenia v matematike. Zvýšené estetické emócie pri matematickom myslení sú vlastné predovšetkým žiakom s vysoko rozvinutými matematickými schopnosťami a spolu s estetickým skladom matematického myslenia môžu slúžiť ako významný znak prítomnosti matematických schopností u školákov.

Odoslanie dobrej práce do databázy znalostí je jednoduché. Použite nižšie uvedený formulár

Študenti, postgraduálni študenti, mladí vedci, ktorí pri štúdiu a práci využívajú vedomostnú základňu, vám budú veľmi vďační.

Hostené na http://www.allbest.ru/

SARATOV ŠTÁTNA UNIVERZITA IM. N.G. ČERNYŠEVSKÝ

ZHRNUTIE O DISCIPLÍNE

Psychologické a pedagogické základy vyučovania matematiky

"Matematické schopnosti"

HOTOVO: študentka

korešpondenčné oddelenie Dudrová L.V.

KONTROLOVANÉ: Gumenskaya O.M.

Saratov 2013

Úvod

1. Matematické schopnosti

4. Vekové znaky matematických schopností0

Záver

Bibliografia

Úvod

Schopnosti - súbor duševných vlastností so zložitou štruktúrou. Napríklad v štruktúre matematických schopností sú: schopnosť matematicky zovšeobecňovať, schopnosť zastaviť proces matematického uvažovania a konania, flexibilita pri riešení matematických problémov atď.

Štruktúra literárnych schopností sa vyznačuje prítomnosťou vysoko rozvinutého estetického cítenia, živými obrazmi pamäti, zmyslom pre krásu jazyka, fantáziou a potrebou sebavyjadrenia.

Štruktúra schopností v hudbe, pedagogike a medicíne má tiež dosť špecifický charakter. Medzi osobnostnými črtami, ktoré tvoria štruktúru určitých schopností, sú tie, ktoré zastávajú vedúce postavenie, a existuje aj pomocná. Napríklad v štruktúre schopností učiteľa budú vedúce postavenie: takt, schopnosť selektívne pozorovať, láska k žiakom, ktorá nevylučuje náročnosť, potreba učiť, schopnosť organizovať vzdelávací proces atď. Pomocné: umenie, schopnosť stručne a jasne vyjadrovať svoje myšlienky atď.

Je zrejmé, že tak vedúce, ako aj pomocné prvky schopností učiteľa tvoria jedinú zložku úspešného vzdelávania a výchovy.

1. Matematické schopnosti

K štúdiu matematických schopností prispeli aj takí vynikajúci predstavitelia určitých smerov v psychológii ako A. Binet, E. Thorndike a G. Reves a takí vynikajúci matematici ako A. Poincaré a J. Hadamard. Široká škála smerov tiež určuje širokú škálu prístupov k štúdiu matematických schopností. Samozrejme, štúdium matematických schopností by sa malo začať definíciou. Pokusy tohto druhu sa robili opakovane, ale stále neexistuje žiadna ustálená, uspokojivá definícia matematických schopností. Jediné, na čom sa všetci bádatelia zhodujú, je snáď názor, že treba rozlišovať medzi bežnými, „školskými“ schopnosťami osvojiť si matematické poznatky, ich reprodukciu a samostatnú aplikáciu, a tvorivými matematickými schopnosťami spojenými so samostatnou tvorbou originálu a spoločenskej hodnoty.produkt.

Ešte v roku 1918 boli v práci A. Rogersa zaznamenané dve stránky matematických schopností, reprodukčná (spojená s funkciou pamäti) a produktívna (spojená s funkciou myslenia). W. Betz definuje mat. schopnosti ako schopnosť jasne pochopiť vnútornú súvislosť matematických vzťahov a schopnosť presne myslieť v matematických pojmoch. Z prác ruských autorov je potrebné spomenúť pôvodný článok D. Mordukhai-Boltovského „Psychológia matematického myslenia“, publikovaný v roku 1918. Autor, špecialista na matematiku, písal z idealistickej pozície, pričom napríklad pripisoval osobitný význam „nevedomému myšlienkovému procesu“ a tvrdil, že „myslenie matematika je hlboko zakorenené v nevedomej sfére, teraz vystupuje na povrch, teraz sa ponorí do hĺbky. Matematik si nie je vedomý každého kroku svojej myšlienky, ako virtuóz pohybu luku.

Veľmi zaujímavý je pokus Mordukhaia-Boltovského izolovať zložky matematických schopností. Hovorí najmä o takýchto komponentoch: „silná pamäť“, pamäť pre „predmety typu, ktorými sa zaoberá matematika“, pamäť skôr ako pre fakty, ale pre nápady a myšlienky „vtip“, čo znamená schopnosť „objímať sa v jeden úsudok“ pojmov z dvoch voľne prepojených myšlienkových oblastí, nájsť podobnosti s daným v už známom, hľadať podobnosti v najoddelenejších, zdanlivo úplne heterogénnych objektoch.

Sovietska teória schopností vznikla spoločnou prácou najvýznamnejších ruských psychológov, z ktorých B.M. Teplov, ako aj L.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein a B.G. Ananiev.

Okrem všeobecných teoretických štúdií o probléme matematických schopností V.A. Krutetsky svojou monografiou „Psychológia matematických schopností školákov“ položil základ pre experimentálnu analýzu štruktúry matematických schopností. Pod schopnosťou študovať matematiku rozumie individuálne psychologické vlastnosti (predovšetkým vlastnosti duševnej činnosti), ktoré zodpovedajú požiadavkám výchovno-matematickej činnosti a pri zachovaní ostatných podmienok určujú úspešnosť tvorivého zvládnutia matematiky ako výchovno-vzdelávacieho predmetu. najmä relatívne rýchle, ľahké a hlboké osvojenie vedomostí a zručností., zručnosti v matematike. D.N. Bogoyavlensky a N.A. Menchinskaya, keď hovoríme o individuálnych rozdieloch v schopnosti učiť sa detí, predstavuje koncept psychologických vlastností, ktoré určujú úspech v učení, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké. Nepoužívajú pojem „schopnosť“, ale v podstate sa zodpovedajúci pojem približuje definícii uvedenej vyššie.

Matematické schopnosti sú komplexnou štrukturálnou mentálnou formáciou, druhom syntézy vlastností, integrálnou kvalitou mysle, ktorá pokrýva jej rôzne aspekty a rozvíja sa v procese matematickej činnosti. Tento súbor je jeden kvalitatívne originálny celok - len pre potreby analýzy vyčleňujeme jednotlivé komponenty, v žiadnom prípade ich nepovažujeme za izolované vlastnosti. Tieto zložky sú úzko prepojené, navzájom sa ovplyvňujú a tvoria vo svojom celku jeden systém, ktorého prejavy bežne nazývame „syndróm matematického nadania“.

2. Štruktúra matematických schopností

Veľký prínos k rozvoju tohto problému urobil V.A. Krutetsky. Experimentálny materiál, ktorý zhromaždil, nám umožňuje hovoriť o zložkách, ktoré zaujímajú významné miesto v štruktúre takej integrálnej kvality mysle, ako je matematický talent.

Všeobecná schéma štruktúry matematických schopností v školskom veku

1. Získavanie matematických informácií

A) Schopnosť formalizovať vnímanie matematického materiálu, pokrývajúceho formálnu štruktúru problému.

2. Spracovanie matematických informácií.

A) Schopnosť logického myslenia v oblasti kvantitatívnych a priestorových vzťahov, číselnej a symbolickej symboliky. Schopnosť myslieť v matematických symboloch.

B) Schopnosť rýchlo a široko zovšeobecniť matematické objekty, vzťahy a akcie.

C) Schopnosť obmedziť proces matematického uvažovania a systém zodpovedajúcich akcií. Schopnosť myslieť v zložených štruktúrach.

D) Flexibilita myšlienkových procesov v matematickej činnosti.

E) Snaha o jasnosť, jednoduchosť, hospodárnosť a racionalitu rozhodnutí.

E) Schopnosť rýchlo a slobodne reštrukturalizovať smer myšlienkového procesu, prepínať z priameho na spätné myslenie (reverzibilita myšlienkového procesu v matematickom uvažovaní.

3. Ukladanie matematických informácií.

A) Matematická pamäť (zovšeobecnená pamäť na matematické vzťahy, typické charakteristiky, schémy uvažovania a dokazovania, metódy riešenia problémov a princípy prístupu k nim)

4. Všeobecná syntetická zložka.

A) Matematická orientácia mysle.

Do štruktúry matematického nadania nie sú zahrnuté tie zložky, ktorých prítomnosť v tejto štruktúre nie je nevyhnutná (hoci užitočná). V tomto zmysle sú neutrálne vo vzťahu k matematickému nadaniu. Ich prítomnosť alebo absencia v štruktúre (presnejšie stupeň rozvoja) však určuje typy matematickej mentality.

1. Rýchlosť myšlienkových procesov ako časová charakteristika. Individuálne tempo práce nie je kritické. Matematik vie myslieť pomaly, aj pomaly, ale veľmi dôkladne a hlboko.

2. Výpočtové schopnosti (schopnosť rýchlo a presne počítať, často v mysli). Je známe, že existujú ľudia, ktorí sú schopní v mysli vykonávať zložité matematické výpočty (takmer okamžitú druhú mocninu a druhú mocninu trojciferných čísel), ale nie sú schopní riešiť žiadne zložité problémy. Je tiež známe, že existovali a stále existujú fenomenálne „počítadlá“, ktoré matematike nič nedali a vynikajúci matematik A. Poincaré o sebe napísal, že ani sčítanie sa nezaobíde bez chyby.

3. Pamäť na čísla, vzorce, čísla. Ako akademik A.N. Kolmogorov, mnohí vynikajúci matematici nemali žiadnu vynikajúcu pamäť tohto druhu.

4. Schopnosť priestorových zobrazení.

5. Schopnosť vizualizovať abstraktné matematické vzťahy a závislosti

Treba zdôrazniť, že schéma štruktúry matematických schopností sa vzťahuje na matematické schopnosti žiaka. Nedá sa povedať, do akej miery ju možno považovať za všeobecnú schému štruktúry matematických schopností, do akej miery ju možno pripísať etablovaným nadaným matematikom.

3. Typy matematického myslenia

Je dobre známe, že v každom odbore vedy je nadanie ako kvalitatívna kombinácia schopností vždy rôznorodé a v každom jednotlivom prípade jedinečné. Ale pri kvalitatívnej rozmanitosti nadania je vždy možné načrtnúť niektoré základné typologické rozdiely v štruktúre nadania, vyčleniť určité typy, ktoré sa od seba výrazne líšia, a rôznymi spôsobmi dospieť k rovnako vysokým úspechom v zodpovedajúcej oblasti. Analytické a geometrické typy sú uvedené v prácach A. Poincarého, J. Hadamarda, D. Mordukhai-Boltovského, ale s týmito pojmami spájajú skôr logický, intuitívny spôsob tvorivosti v matematike.

Z domácich bádateľov N.A. Menchinskaya. Vyčlenila žiakov s relatívnou prevahou: a) figuratívneho myslenia nad abstraktným; b) abstraktné nad obrazným c) harmonický rozvoj oboch typov myslenia.

Nemožno si myslieť, že analytický typ sa vyskytuje iba v algebre a geometrický typ v geometrii. Analytický sklad sa môže prejaviť v geometrii a geometrický - v algebre. V.A. Krutetsky podrobne opísal každý typ.

Analytický typ

Myslenie predstaviteľov tohto typu sa vyznačuje jasnou prevahou veľmi dobre rozvinutej verbálno-logickej zložky nad slabou vizuálno-figuratívnou. Ľahko pracujú s abstraktnými schémami. Nepotrebujú vizuálne opory, pre využitie námetovej alebo schematickej vizualizácie pri riešení problémov, a to ani takých, keď matematické vzťahy a závislosti dané v probléme „nasvedčujú“ vizuálnym reprezentáciám.

Zástupcovia tohto typu sa nelíšia v schopnosti vizuálno-figuratívneho znázornenia, a preto využívajú ťažšiu a zložitejšiu cestu logicko-analytického riešenia, kde spoliehanie sa na obrázok poskytuje oveľa jednoduchšie riešenie. Veľmi úspešne riešia problémy vyjadrené v abstraktnej forme, pričom problémy vyjadrené konkrétno-vizuálnou formou sa ich snažia v rámci možností pretaviť do abstraktného plánu. Operácie spojené s analýzou konceptov vykonávajú jednoduchšie ako operácie spojené s analýzou geometrického diagramu alebo výkresu.

Geometrický typ

Myslenie predstaviteľov tohto typu sa vyznačuje veľmi dobre rozvinutou vizuálno-figuratívnou zložkou. V tomto smere môžeme podmienečne hovoriť o prevahe nad dobre vyvinutou verbálno-logickou zložkou. Títo študenti cítia potrebu vizuálnej interpretácie vyjadrenia abstraktného materiálu a v tomto smere preukazujú veľkú selektivitu. Ale ak nedokážu vytvárať vizuálne opory, používať objektívnu alebo schematickú vizualizáciu pri riešení problémov, potom sotva operujú s abstraktnými schémami. Tvrdohlavo sa snažia operovať s vizuálnymi schémami, obrazmi, nápadmi aj tam, kde sa problém dá ľahko vyriešiť uvažovaním a použitie vizuálnych opôr je zbytočné alebo náročné.

harmonického typu

Tento typ sa vyznačuje relatívnou vyváženosťou dobre rozvinutých verbálno-logických a vizuálno-figuratívnych zložiek, pričom vedúcu úlohu zohráva prvá. Priestorové reprezentácie v predstaviteľoch tohto typu sú dobre vyvinuté. Sú selektívne vo vizuálnej interpretácii abstraktných vzťahov a závislostí, ale vizuálne obrazy a schémy podliehajú ich verbálno-logickej analýze. Pomocou vizuálnych obrazov si títo študenti jasne uvedomujú, že obsah zovšeobecnenia nie je obmedzený na konkrétne prípady. Úspešne implementujú aj figuratívno-geometrický prístup k riešeniu mnohých problémov.

Zdá sa, že ustálené typy majú všeobecný význam. Ich prítomnosť je potvrdená mnohými štúdiami.

4. Vekové znaky matematických schopností

matematická schopnosť myseľ

V zahraničnej psychológii sú stále rozšírené predstavy o vekovo podmienených črtách matematického vývoja školáka, vychádzajúce z raných štúdií J. Piageta. Piaget veril, že dieťa bude schopné abstraktného myslenia až vo veku 12 rokov. Analýzou štádií vývoja matematického uvažovania tínedžera dospela L. Schoanne k záveru, že z hľadiska vizuálneho špecifického myslenia študent myslí do 12-13 rokov a myslenia v zmysle formálnej algebry, spojenej so zvládnutím operácií, symbolov, sa vyvíja len o 17 rokov.

Štúdia domácich psychológov dáva rôzne výsledky. Viac P.P. Blonsky písal o intenzívnom rozvoji u tínedžera (11-14 rokov) zovšeobecňujúceho a abstrahujúceho myslenia, schopnosti dokázať a pochopiť dôkazy. Vynára sa legitímna otázka: do akej miery môžeme hovoriť o matematických schopnostiach vo vzťahu k mladším žiakom? Výskum vedený I.V. Dubrovina, dáva dôvod odpovedať na túto otázku nasledujúcim spôsobom. Samozrejme, ak vylúčime prípady špeciálneho nadania, nemôžeme hovoriť o žiadnej formovanej štruktúre matematických schopností, ktorá je vlastná tomuto veku. Preto je pojem „matematické schopnosti“ podmienený pri aplikácii na mladších školákov – deti vo veku 7 – 10 rokov, pri štúdiu komponentov matematických schopností v tomto veku môžeme zvyčajne hovoriť len o elementárnych formách takýchto komponentov. Ale jednotlivé zložky matematických schopností sa formujú už v základných ročníkoch.

Experimentálny výcvik, ktorý na viacerých školách realizovali pracovníci Psychologického ústavu (D.B. Elkonin, V.V. Davydov), ukazuje, že špeciálnou vyučovacou metódou získavajú mladší žiaci väčšiu schopnosť rozptyľovania a uvažovania, než sa bežne predpokladá. Aj keď vekové charakteristiky študenta vo väčšej miere závisia od podmienok, v ktorých sa učenie uskutočňuje, bolo by nesprávne tvrdiť, že sú úplne vytvorené učením. Preto extrémny pohľad na túto otázku, keď sa verí, že v prirodzenom duševnom vývoji neexistuje pravidelnosť, je nesprávny. Efektívnejším systémom výučby sa môže „stať“ celý proces, ale do určitých hraníc sa postupnosť vývoja môže trochu zmeniť, ale nemôže dať vývojovej línii úplne iný charakter.

Spomínané vekové znaky sú teda trochu svojvoľným pojmom. Preto sú všetky štúdie zamerané na všeobecný trend, na všeobecný smer rozvoja hlavných zložiek štruktúry matematických schopností pod vplyvom učenia.

Záver

Problém matematických schopností v psychológii predstavuje pre výskumníka široké pole pôsobnosti. Vzhľadom na rozpory medzi rôznymi prúdmi v psychológii, ako aj v rámci samotných prúdov, nemôže byť reč o exaktnom a rigoróznom pochopení obsahu tohto pojmu.

Knihy recenzované v tomto článku tento záver potvrdzujú. Zároveň treba poznamenať nehynúci záujem o tento problém vo všetkých prúdoch psychológie, čo potvrdzuje nasledujúci záver.

Praktická hodnota výskumu na túto tému je zrejmá: matematické vzdelávanie hrá vedúcu úlohu vo väčšine vzdelávacích systémov, a to sa naopak stane efektívnejším po vedeckom zdôvodnení jeho základu – teórie matematických schopností.

Takže, ako V.A. Krutetsky: "Úloha komplexného a harmonického rozvoja osobnosti človeka si absolútne vyžaduje, aby sa problém schopnosti ľudí vykonávať určité druhy činností hlboko vedecky rozvinul. Rozvoj tohto problému je predmetom teoretického aj praktického záujmu."

Bibliografia

1. Gabdreeva G.Sh. Hlavné aspekty problému úzkosti v psychológii // Tonus. 2000 №5

2. Gurevič K.M. Základy kariérového poradenstva M., 72.

3. Dubrovina I.V. Individuálne rozdiely v schopnosti zovšeobecňovať matematický a nematematický materiál vo veku základnej školy. // Problematika psychológie., 1966 č.5

4. Izyumova I.S. Individuálno-typologické črty školákov s literárnymi a matematickými schopnosťami.// Psychol. časopis 1993 č. T.14

5. Izyumova I.S. K problému povahy schopností: vytváranie mnemotechnických schopností u školákov matematických a literárnych tried. // Psych. časopis

6. Elseev O.P. Workshop o psychológii osobnosti. SPb., 2001

7. Kovalev A.G. Myasishchev V.N. Psychologické vlastnosti človeka. T.2 "Schopnosti" Leningradská štátna univerzita.: 1960

8. Kolesnikov V.N. Emocionálnosť, jej štruktúra a diagnostika. Petrozavodsk. 1997.

9. Kochubey B.I. Novikov E.A. Emocionálna stabilita školákov. M. 1988

10. Krutetsky V.A. Psychológia matematických schopností. M. 1968

11. Levitov V.G. duševný stav úzkosti, úzkosti.//Otázky psychológie 1963. č.1

12. Leitis N.S. Vekové nadanie a individuálne rozdiely. M. 1997

Hostené na Allbest.ru

...

Podobné dokumenty

Zložky matematických schopností, miera ich prejavu v primárnom školskom veku, prirodzené predpoklady a podmienky formovania. Hlavné formy a metódy mimoškolských aktivít: krúžkové hodiny, matematické večery, olympiády, hry.

práca, pridané 11.06.2010


Špecifiká rozvoja matematických schopností. Formovanie matematických schopností detí predškolského veku. Logické myslenie. Úloha didaktických hier. Metódy výučby počítania a základov matematiky pre predškolákov prostredníctvom herných aktivít.

abstrakt, pridaný 03.04.2008


Psychologická a pedagogická charakteristika detí vo veku 5-6 rokov, špecifiká rozvoja ich matematických schopností. Požiadavky na pripravenosť vychovávateľa a úlohu didaktickej hry. Zapojenie rodičov do aktivít na rozvoj matematických schopností.

abstrakt, pridaný 22.04.2010


Schopnosti a ich vzťah k zručnostiam a schopnostiam. Všeobecná štruktúra matematických schopností podľa V.A. Krutetsky. Rozbor materiálu úlohy k téme "Teória deliteľnosti". Vlastnosti formovania schopnosti formalizovaného vnímania matematického materiálu.

práca, pridané 26.08.2011


Pojmy kreativity a kreativity. Druhy matematických hier. Hry B. Finkelsteina s blokmi Gyenesh ako prostriedok rozvoja tvorivých schopností. Výsledky experimentálnej a praktickej práce o využití hier s matematickým obsahom.

ročníková práca, pridaná 8.11.2014


Podstata pojmu „schopnosť“. Klasifikácia zložiek matematických schopností žiakov, zabezpečenie plnohodnotnej aktivity dieťaťa. Logický a didaktický rozbor témy "Obyčajné zlomky" pre rozvoj matematických schopností.

semestrálna práca, pridaná 4.10.2014


Rysy rozvoja matematických schopností mladších žiakov ako psychologický a pedagogický problém. Analýza využitia origami v modernej vzdelávacej literatúre pre študentov. Rozvoj všeobecných matematických zručností u detí na hodinách techniky.

práca, pridané 25.09.2017


Vlastnosti rozvoja matematických schopností, výhody používania didaktických hier v triede. Metódy výučby detí staršieho predškolského veku základom matematiky prostredníctvom didaktických hier a úloh, hodnotenie ich efektívnosti.

ročníková práca, pridaná 13.01.2012


Podstata pojmov „kreativita“, „tvorivé schopnosti“. Rozvoj schopností dieťaťa v primárnom školskom veku. Diagnostika tvorivých schopností. Rozvoj tvorivých schopností žiakov. Intelektuálny talent a kreativita.

semestrálna práca, pridané 04.07.2014


Základy metodológie štúdia matematických pojmov. Matematické pojmy, ich obsah a rozsah, klasifikácia pojmov. Psychologické a pedagogické črty vyučovania matematiky v 5.-6. Psychologické aspekty tvorby konceptov.

K štúdiu matematických schopností prispeli takí predstavitelia určitých smerov v psychológii ako A. Binet, E. Thorndike a G. Reves a takí vynikajúci matematici ako A. Poincaré a J. Hadamard. Široká škála smerov tiež určuje širokú škálu prístupov k štúdiu matematických schopností. Všetci vedci sa zhodujú v tom, že je potrebné rozlišovať medzi bežnými, „školskými“ schopnosťami ovládať matematické poznatky, reprodukovať ich, samostatne aplikovať, a tvorivými matematickými schopnosťami spojenými so samostatnou tvorbou originálneho a spoločensky hodnotného produktu.

A. Rogers si všíma dva aspekty matematických schopností: reprodukčné (spojené s funkciou pamäti) a produktívne (spojené s funkciou myslenia). W. Betz definuje matematické schopnosti ako schopnosť jasne pochopiť vnútornú súvislosť matematických vzťahov a schopnosť presne myslieť v matematických pojmoch.

V článku „Psychológovia matematického myslenia“ D. Mordukhai-Boltovsky pripisoval mimoriadny význam „procesu nevedomého myslenia“ a tvrdil, že „myslenie matematika je hlboko zakorenené v nevedomej sfére, buď vystupuje na povrch, alebo sa ponára. do hĺbky. Matematik si nie je vedomý každého kroku svojej myšlienky, ako virtuóz pohybov lukom. Náhle objavenie sa v mysli hotového riešenia problému, ktorý dlho nevieme vyriešiť, vysvetľujeme nevedomým myslením, ktoré sa ďalej zaoberalo úlohou a výsledok sa vynára za prah vedomia. Podľa D. Morduchai-Boltovského je naša myseľ schopná vykonávať starostlivú a komplexnú prácu v podvedomí, kde sa vykonáva všetka „hrubá“ práca a nevedomá práca myslenia je ešte menšia chyba ako tá vedomá.

D. Mordukhai-Boltovsky si všíma úplne špecifickú povahu matematického talentu a matematického myslenia. Tvrdí, že schopnosť robiť matematiku nie je vždy vlastná ani geniálnym ľuďom, že medzi matematickou a nematematickou mysľou je podstatný rozdiel.

Existujú tieto zložky matematických schopností:

• - „silná pamäť“ (pamäť, nie na fakty, ale na nápady a myšlienky);
• - „důvtip“ ako schopnosť „prijať jedným úsudkom“ koncepty z dvoch voľne prepojených oblastí myslenia, nájsť v už známom niečo podobné danému, hľadať niečo podobné v najvzdialenejších, úplne heterogénnych objektoch;
• - "rýchlosť myslenia" (rýchlosť myslenia sa vysvetľuje prácou, ktorú nevedomá myseľ vykonáva, aby pomohla vedomej mysli).

D. Morduchai-Boltovsky rozlišuje typy matematickej predstavivosti, ktoré sú základom rôznych typov matematikov – „algebraistov“ a „geometrov“. Aritmetici, algebraisti a analytici vo všeobecnosti, ktorých objav sa uskutočňuje v tej najabstraktnejšej forme prelomových kvantitatívnych symbolov a ich vzájomných vzťahov, si od „geometra“ nevedia predstaviť.

Domáca teória schopností vznikla spoločnou prácou najvýznamnejších psychológov, z ktorých B.M. Teplov, ako aj L.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein a B.G. Ananiev. Okrem všeobecných teoretických štúdií o probléme matematických schopností V.A. Krutetsky svojou monografiou „Psychológia matematických schopností školákov“ položil základ pre experimentálnu analýzu štruktúry matematických schopností. Pod schopnosťou študovať matematiku rozumie individuálne psychologické vlastnosti (predovšetkým črty duševnej činnosti), ktoré zodpovedajú požiadavkám výchovno-matematickej činnosti a pri zachovaní všetkých ostatných podmienok určujú úspešnosť tvorivého zvládnutia matematiky ako vzdelávacieho predmetu, najmä , relatívne rýchle, ľahké a hlboké osvojenie vedomostí a zručností., zručnosti v matematike.

D.N. Bogoyavlensky a N.A. Menchinskaya, keď hovoríme o individuálnych rozdieloch v schopnosti učiť sa detí, predstavuje koncept psychologických vlastností, ktoré určujú úspech v učení, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké.

Matematické schopnosti sú komplexnou štrukturálnou mentálnou formáciou, druhom syntézy vlastností, integrálnou kvalitou mysle, ktorá pokrýva jej rôzne aspekty a rozvíja sa v procese matematickej činnosti. Tento súbor je jeden kvalitatívne originálny celok - len pre potreby analýzy vyčleňujeme jednotlivé komponenty, nepovažujeme ich za izolované vlastnosti. Tieto zložky sú úzko prepojené, navzájom sa ovplyvňujú a tvoria vo svojom celku jeden systém, ktorého prejav sa nazýva „syndróm matematického nadania“.

Veľký prínos k rozvoju tohto problému urobil V.A. Krutetsky. Experimentálny materiál, ktorý zhromaždil, nám umožňuje hovoriť o zložkách, ktoré zaujímajú významné miesto v štruktúre takej integrálnej kvality mysle, ako je matematický talent. V.A. Krutetsky predstavil schému štruktúry matematických schopností v školskom veku:

• · Získavanie matematických informácií (schopnosť formalizovať vnímanie matematického materiálu, pokrývajúceho formálnu štruktúru problému).
• Spracovanie matematických informácií
• A) Schopnosť logického myslenia v oblasti kvantitatívnych a priestorových vzťahov, číselnej a znakovej symboliky. Schopnosť myslieť v matematických symboloch.
• B) Schopnosť rýchlo a široko zovšeobecniť matematické objekty, vzťahy a akcie.
• C) schopnosť obmedziť proces matematického uvažovania a systém zodpovedajúcich akcií. Schopnosť myslieť v zložených štruktúrach.
• D) Flexibilita myšlienkových procesov v matematickej činnosti.
• E) Snaha o jasnosť, jednoduchosť, hospodárnosť a racionalitu rozhodnutí.
• E) Schopnosť rýchlo a slobodne reštrukturalizovať smerovanie myšlienkového procesu, prechod z priameho na spätné myslenie (reverzibilita myšlienkového procesu v matematickom uvažovaní).
• · Ukladanie matematických informácií.

Matematická pamäť (zovšeobecnená pamäť na matematické vzťahy, typické charakteristiky, schémy uvažovania, dôkazy, metódy riešenia problémov a princípy prístupu k nim).

· Všeobecná syntetická zložka. Matematické myslenie.

Do štruktúry matematického nadania nie sú zahrnuté tie zložky, ktorých prítomnosť v tejto štruktúre nie je potrebná. Vo vzťahu k matematickému nadaniu sú neutrálne. Ich prítomnosť alebo absencia v štruktúre (presnejšie stupeň rozvoja) však určuje typy matematickej mentality. Rýchlosť myšlienkových procesov ako dočasná charakteristika, individuálne tempo práce nie sú rozhodujúce. Matematik vie myslieť pomaly, aj pomaly, ale veľmi dôkladne a hlboko. K neutrálnym zložkám možno pripísať aj výpočtové schopnosti (schopnosť rýchlo a presne počítať, často v mysli). Je známe, že existujú ľudia, ktorí sú schopní v mysli reprodukovať zložité matematické výpočty (takmer okamžitú druhú mocninu a druhú mocninu trojciferných čísel), ale nie sú schopní riešiť žiadne zložité problémy. Je tiež známe, že existovali a stále existujú fenomenálne „počítadlá“, ktoré matematike nič nedali a vynikajúci matematik A. Poincret o sebe napísal, že ani sčítanie sa nezaobíde bez chyby.

Pamäť na čísla, vzorce a čísla je vo vzťahu k matematickému nadania neutrálna. Ako akademik A.N. Kolomogorov, mnohí vynikajúci matematici nemali žiadnu vynikajúcu pamäť tohto druhu.

Neutrálnym komponentom je aj schopnosť priestorových reprezentácií, schopnosť vizualizovať abstraktné matematické vzťahy a závislosti.

Je dôležité poznamenať, že schéma štruktúry matematických schopností sa vzťahuje na matematické schopnosti žiaka. Nedá sa povedať, do akej miery ju možno považovať za všeobecnú schému štruktúry matematických schopností, do akej miery ju možno pripísať etablovaným nadaným matematikom.

Je známe, že v akejkoľvek oblasti vedy je nadanie ako kvalitatívna kombinácia schopností vždy rôznorodé a jedinečné v každom jednotlivom prípade. Ale pri kvalitatívnej rôznorodosti nadania je vždy možné načrtnúť niektoré základné typologické charakteristiky rozdielov v štruktúre nadania, vyčleniť určité typy, ktoré sa navzájom výrazne líšia, prichádzajú rôznymi spôsobmi s rovnako vysokými úspechmi v zodpovedajúcej oblasti. .

Analytické a geometrické typy sú uvedené v prácach A. Poincreta, J. Hadamarda, D. Mordukhai-Boltovského, ale s týmito pojmami spájajú skôr logický, intuitívny spôsob tvorivosti v matematike.

Z domácich bádateľov N.A. Menchinskaya. Vyčlenila žiakov s relatívnou prevahou: a) figuratívneho myslenia nad abstraktným c) harmonického rozvoja oboch typov myslenia.

Nemožno si myslieť, že analytický typ sa vyskytuje iba v algebre a geometrický typ v geometrii. Analytický sklad sa môže prejaviť v geometrii a geometrický - v algebre. V.A. Krutetsky podrobne opísal každý typ.

Analytický typ. Myslenie tohto typu sa vyznačuje prevahou veľmi dobre vyvinutej verbálno-logickej zložky nad slabou vizuálno-figuratívnou. Ľahko pracujú s abstraktnými schémami. Nepotrebujú vizuálnu podporu, použitie námetovej alebo schematickej vizualizácie pri riešení problémov, aj keď matematické vzťahy a závislosti uvedené v probléme „naznačujú“ vizuálne znázornenia.

Zástupcovia tohto typu sa nelíšia v schopnosti vizuálno-figuratívneho znázornenia, a preto využívajú ťažšiu a zložitejšiu cestu logicko-analytického riešenia, kde spoliehanie sa na obrázok poskytuje oveľa jednoduchšie riešenie. Veľmi úspešne riešia problémy vyjadrené v abstraktnej forme, pričom problémy vyjadrené konkrétno-vizuálnou formou sa ich snažia v rámci možností pretaviť do abstraktného plánu. Operácie spojené s analýzou konceptov sa vykonávajú ľahšie ako operácie spojené s analyzátorom geometrického diagramu alebo výkresu.

• - Geometrický typ. Myslenie predstaviteľov tohto typu sa vyznačuje veľmi dobre rozvinutou vizuálno-figuratívnou zložkou. V tomto smere môžeme hovoriť o prevahe dobre vyvinutej verbálno-logickej zložky. Títo študenti cítia potrebu vizuálnej interpretácie vyjadrenia abstraktného materiálu a v tomto smere preukazujú veľkú selektivitu. Ale ak nedokážu vytvárať vizuálne opory, používať objektívnu alebo schematickú vizualizáciu pri riešení problémov, potom sotva operujú s abstraktnými schémami. Tvrdohlavo sa snažia operovať s vizuálnymi schémami, obrazmi, nápadmi aj tam, kde sa problém dá ľahko vyriešiť uvažovaním a použitie vizuálnych opôr je zbytočné alebo náročné.
• - Harmonický typ. Tento typ sa vyznačuje vyváženosťou dobre rozvinutých verbálno-logických a vizuálno-figuratívnych zložiek, pričom vedúcu úlohu zohráva tá prvá. Priestorové reprezentácie v predstaviteľoch tohto typu sú dobre vyvinuté. Sú selektívne vo vizuálnej interpretácii abstraktných vzťahov a závislostí, ale vizuálne obrazy a schémy podliehajú ich verbálno-logickej analýze. Pomocou vizuálnych obrazov si títo študenti jasne uvedomujú, že obsah zovšeobecnenia nie je obmedzený na konkrétne prípady. Zástupcovia tohto typu úspešne implementujú figuratívno-geometrický prístup k riešeniu mnohých problémov.

Zavedené typy majú všeobecný význam. Ich prítomnosť je potvrdená mnohými štúdiami.

V zahraničnej psychológii sú stále rozšírené predstavy o vekových črtách matematického vývoja školáka, vychádzajúce zo štúdií J. Piageta. Piaget veril, že dieťa bude schopné abstraktného myslenia až vo veku 12 rokov. Analýzou štádií vývoja matematického uvažovania tínedžera L. Schoann dospel k záveru, že vo vizuálno-konkrétnom pláne študent uvažuje do 12-13 rokov a myslí v zmysle formálnej algebry, spojenej so zvládnutím operácií, symbolov, sa rozvíja do 17. roku života.

Štúdia domácich psychológov dáva rôzne výsledky. P.P. Blonsky písal o intenzívnom rozvoji tínedžera, zovšeobecňovaní a abstrahovaní myslenia, schopnosti dokázať a pochopiť dôkazy. Výskum I.V. Dubrovina dáva dôvod povedať, že vo vzťahu k veku mladších školákov nemôžeme presadzovať žiadnu vlastnú formovanú štruktúru matematických schopností, samozrejme, s výnimkou prípadov špeciálneho nadania. Preto je pojem „matematická schopnosť“ podmienený pri aplikácii na mladších školákov – deti vo veku 7 – 10 rokov, pri štúdiu komponentov matematických schopností v tomto veku môžeme hovoriť len o elementárnych formách takýchto komponentov. Ale jednotlivé zložky matematických schopností sa formujú už v základných ročníkoch.

Experimentálny výcvik, ktorý sa uskutočnil na viacerých školách Psychologického ústavu (D.B. Elkonin, V.V. Davydov), ukazuje, že špeciálnou vyučovacou metódou získavajú mladší žiaci väčšiu schopnosť rozptyľovania a uvažovania, než sa bežne predpokladá. Aj keď vekové charakteristiky študenta vo väčšej miere závisia od podmienok, v ktorých sa učenie uskutočňuje, bolo by nesprávne predpokladať, že sú úplne vytvorené učením. Preto extrémny pohľad na túto otázku, keď sa verí, že v prirodzenom duševnom vývoji neexistuje pravidelnosť, je nesprávny. Efektívnejším systémom výučby sa môže „stať“ celý proces, ale do určitých hraníc sa postupnosť vývoja môže trochu zmeniť, ale nemôže dať vývojovej línii úplne iný charakter. Tu nemôže existovať svojvôľa. Napríklad schopnosť zovšeobecňovať zložité matematické vzťahy a metódy nemožno formovať skôr ako schopnosť zovšeobecňovať jednoduché matematické vzťahy. Vekové znaky sú teda trochu svojvoľným pojmom. Preto sú všetky štúdie zamerané na všeobecný trend, na všeobecný smer rozvoja hlavných zložiek štruktúry matematických schopností pod vplyvom učenia.

V zahraničnej psychológii existujú práce, kde sa pokúša identifikovať jednotlivé kvalitatívne znaky matematického myslenia chlapcov a dievčat. V. Stern hovorí o svojom nesúhlase s názorom, podľa ktorého sú rozdiely v mentálnej sfére mužov a žien výsledkom nerovnakého vzdelania. Dôvody podľa neho spočívajú v rôznych vnútorných sklonoch. Preto sú ženy menej náchylné na abstraktné myslenie a sú v tomto smere menej schopné.

Ch.Spearman a E. Thorndike vo svojich štúdiách dospeli k záveru, že „v schopnostiach nie je veľký rozdiel“, no zároveň u dievčat zaznamenávajú väčší sklon k detailom, zapamätaniu si detailov.

Relevantný výskum v ruskej psychológii sa uskutočnil pod vedením I. V. Dubrovina a S. I. Shapira. V matematickom myslení chlapcov a dievčat nezistili žiadne kvalitatívne špecifiká. Na tieto rozdiely nepoukázali ani učitelia, s ktorými robili rozhovory.

Samozrejme, v skutočnosti chlapci skôr prejavia matematické schopnosti. Chlapci majú väčšiu šancu vyhrať matematické olympiády ako dievčatá. Tento skutočný rozdiel však treba pripísať rozdielom v tradíciách, vo vzdelávaní chlapcov a dievčat, kvôli rozšírenému pohľadu na mužské a ženské povolania. To vedie k tomu, že matematika je často mimo stredobodu záujmu dievčat.

Ak matematika nie je vašou silnou stránkou a zdá sa vám, že nie je bez problémov, prečítajte si tento článok až do konca a dozviete sa, ako zlepšiť svoje matematické zručnosti a uspieť pri štúdiu tohto ťažkého predmetu.

Kroky

Požiadať o pomoc.

• Počas lekcie požiadajte, aby vám vysvetlil význam konkrétneho pojmu. Ak odpoveď stále neosvetlí všetky tmavé miesta, zostaňte po hodine a znova sa porozprávajte s učiteľom. Možno vám v osobnom rozhovore vysvetlí látku podrobnejšie a viac, ako sa zmestilo do určeného času.

1. Uistite sa, že rozumiete významu všetkých slov. Matematika, ak hovoríme o problémoch vyššej úrovne, je spravidla súbor jednoduchých operácií. Napríklad násobenie používa sčítanie, zatiaľ čo delenie vyžaduje odčítanie. Predtým, ako sa naučíte akýkoľvek koncept, musíte pochopiť, aké matematické operácie zahŕňa. Pre každý matematický výraz (napríklad „premenná“) vykonajte toto:

   • Naučte sa definíciu z učebnice: "Symbol pre číslo, ktoré nepoznáme, je zvyčajne písmeno, napríklad x alebo y."
   • Precvičte si riešenie príkladov na danú tému. Napríklad "4x - 7 = 5," kde x je neznáma premenná a 4, 7 a 5 sú "konštantné" (definíciu tohto pojmu nájdete aj v učebnici).

2. Venujte zvláštnu pozornosť štúdiu matematických pravidiel. Vlastnosti, vzorce, rovnice a metódy na riešenie problémov sú všetky základné nástroje matematickej vedy. Naučte sa na ne spoľahnúť tak, ako sa dobrý stolár spolieha na svoju pílu, meter, kladivo atď.

   Aktívne sa podieľajte na práci v triede. Ak nepoznáte odpoveď na otázku, požiadajte o vysvetlenie. Povedzte učiteľovi presne, čo ste už pochopili, aby mohol venovať väčšiu pozornosť bodom, ktoré vám spôsobovali ťažkosti.

   • Zvážte situáciu na príklade vyššie uvedeného problému s premennou. Povedzte učiteľovi toto: "Chápem, že ak vynásobíte neznámu premennú (x) 4, odčítate 7, dostanete 5. Kde mám začať riešenie?" Teraz bude učiteľ vedieť, čo presne vám spôsobuje ťažkosti a ako vás zapojiť do riešenia úlohy. Ale ak jednoducho poviete: „Nerozumiem“, učiteľ si môže myslieť, že vám musí najprv vysvetliť, čo je to premenná a konštanta.
   • Nikdy sa nebojte klásť otázky. Dokonca aj Einstein kládol otázky (a potom na ne sám odpovedal)! Riešenie k vám nepríde samo, ak neurobíte nič. Ak nechcete požiadať učiteľa, požiadajte o pomoc spolužiaka alebo kamaráta.

3. Vyhľadajte pomoc zvonku. Ak stále potrebujete pomoc a učiteľ vám nevie vysvetliť látku tak, aby ste jej rozumeli, požiadajte niekoho, aby vám odporučil podrobnejšie hodiny. Zistite, či sú k dispozícii nejaké špeciálne kurzy alebo doučovacie programy, alebo požiadajte svojho učiteľa, aby s vami spolupracoval pred školou alebo po nej.

   • Spolu s rôznymi spôsobmi štúdia látky (audio, vizuálne vnímanie atď.) existujú aj rôzne prístupy k výučbe. Ak najlepšie vnímate informácie vizuálne a váš učiteľ, aj ten najlepší na svete, je v procese učenia vedený tými, ktorí dobre vnímajú informácie sluchom, potom sa vám s takýmto učiteľom bude učiť len ťažko. Preto by bolo užitočné získať ďalšiu pomoc od tých, ktorí učia spôsobom, ktorý je pre vás pohodlnejší.

4. Zapíšte si každú akciu v riešení. Napríklad pri riešení rovníc rozdeľte svoje riešenie do samostatných krokov a zapíšte si všetko, čo ste urobili, kým prejdete na ďalší krok.

   • Podrobný záznam pomôže vysledovať cestu riešenia a nájsť chyby.
   • Napísané riešenie krok za krokom vám presne ukáže, kde ste urobili chybu.
   • Zapísaním každej akcie do matematického riešenia si ju zopakujete a lepšie si zapamätáte, čo ste už vedeli.

5. Pokúste sa vyriešiť všetky úlohy, ktoré ste dostali. Po niekoľkých príkladoch to pochopíte. Ak sú úlohy stále ťažké, potom presne pochopíte, kde máte ťažkosti.

6. Skontrolujte svoje úlohy skontrolované učiteľom. Preštudujte si jeho poznámky a opravy a urovnajte svoje chyby. Ak nie je všetko jasné, požiadajte učiteľa, aby spoločne porozumeli.

   • Neváhajte požiadať o pomoc, poučte sa zo svojich chýb!
   • Aj keď je pre vás matematika ťažká, nebojte sa jej. Obavy veci len zhoršujú. Namiesto toho buďte trpezliví a naučte sa to krok za krokom.
   • Nezabudnite si urobiť domácu úlohu! Môžete si dokonca vytvoriť vlastné príklady a problémy na precvičenie.
   • Neseďte zo strachu, že urobíte chyby. Pokúste sa niečo vyriešiť, aj keď si nie ste úplne istí správnosťou svojho rozhodnutia.
   • Opýtajte sa, ak nerozumiete. Požiadajte učiteľa, aby vysvetlil všetko, čomu nerozumiete počas alebo po lekcii. Nenechajte strach predbehnúť motor. Nestrácajte vieru v seba a nevšímajte si ostatných.
   • Keď aritmetika zostane pozadu a budete študovať algebru a geometriu, vedzte, že všetko nové, čo sa naučíte v týchto častiach matematiky, bude založené na už preštudovanom materiáli. Takže sa uistite, že ste sa dobre naučili každú lekciu predtým, ako budete pokračovať.
   • Bude to pre vás oveľa jednoduchšie, ak svojmu učiteľovi ukážete svoju prácu.
   • Vždy požiadajte o pomoc svojho učiteľa, ak niečomu nerozumiete.
   • Snažte sa pochopiť všetko, čo robíte, a nie len bezmyšlienkovite riešiť podobné úlohy rovnakým spôsobom. Povedzme, že ak sa učíte sčítať veľké čísla, zvážte, prečo treba k súčtu v nasledujúcom stĺpci pripočítať číslo predstavujúce desiatky. A ak stále nerozumieš, tak sa pýtaj.
   • Či chceme alebo nie, schopnosť rýchlo a správne počítať hrá dôležitú úlohu v našom obchodnom i osobnom živote.
   • Užite si to. Koniec koncov, aj keď vás to zatiaľ veľmi nezaujíma, napriek tomu môže byť matematika vo svojom elegantnom poradí skutočne krásna.
   • Cvičte matematiku aspoň pol hodiny denne.

   Varovania

   • Nesnažte sa zapamätať si analyzované príklady naspamäť. Namiesto toho trvajte na tom, aby vám ich učiteľ vysvetlil a uistite sa, že rozumiete tomu, čo hovorí. Každý príklad má svoje vlastné riešenie a hlavnou vecou je pochopiť, prečo je potrebné ich riešiť týmto spôsobom. Nezapamätajte si tiež nesprávne vzorce.

SPRÁVA

K TÉME:

"Rozvoj matematických schopností mladších žiakov vo vyučovaní matematiky"

Vykonané:

Sidorová Jekaterina Pavlovna

MOU "Bendery uprostred

stredná škola №15 "

učiteľka na základnej škole

Bender, 2014

Téma: "Rozvoj matematických schopností mladších žiakov vo vyučovaní matematiky"

Kapitola 1: Psychologické a pedagogické základy formovania matematických schopností u mladších žiakov

1.1 Definícia pojmu "matematické schopnosti"

1.3 Vyučovanie matematiky je hlavným spôsobom rozvoja matematických schopností mladších žiakov

Kapitola 2: Metódy identifikácie znakov formovania matematických schopností v procese riešenia matematických problémov

2.1.experimentálna práca na formovaní matematických schopností u mladšieho žiaka v procese riešenia matematických úloh. Jeho výsledky

2.2 Zisťovanie úrovne matematických schopností u detí vo veku základnej školy

Úvod

Problém matematických schopností v psychológii predstavuje pre výskumníka široké pole pôsobnosti. Vzhľadom na rozpory medzi rôznymi prúdmi v psychológii, ako aj v rámci samotných prúdov, sa nehovorí o presnom a dôslednom pochopení obsahu tohto pojmu. Zároveň treba poznamenať neutíchajúci záujem o tento problém vo všetkých prúdoch psychológie, čím je problém rozvíjania matematických schopností aktuálny.

Praktická hodnota výskumu na túto tému je zrejmá: matematické vzdelávanie hrá vedúcu úlohu vo väčšine vzdelávacích systémov, a to sa naopak stane efektívnejším po vedeckom zdôvodnení jeho základu – teórie matematických schopností. Ako uviedol V. A. Krutetsky: „Úloha komplexného a harmonického rozvoja osobnosti človeka si absolútne vyžaduje hlboko vedecky rozvinúť problém schopnosti ľudí vykonávať určité druhy činností. Vývoj tohto problému je zaujímavý z teoretického aj praktického hľadiska.

Rozvoj efektívnych prostriedkov na rozvoj matematických schopností je dôležitý pre všetky stupne školy, ale najmä pre systém základného vzdelávania, kde sa kladú základy školského výkonu, formujú sa základné stereotypy výchovno-vzdelávacej činnosti a postoje k vychovávajú výchovnú prácu.

K štúdiu matematických schopností prispeli takí významní predstavitelia určitých smerov zahraničnej psychológie ako A. Binet, E. Trondike a G. Reves. S. L. Rubinshtein, A. N. Leontiev, A. R. Luria študovali vplyv sociálnych faktorov na schopnosti dieťaťa. Uskutočnil výskum o sklonoch, ktoré sú základom schopností A.G. Kovaleva, Myasishcheva. Všeobecnú schému štruktúry matematických schopností v školskom veku navrhol V. A. Krutetsky.

cieľ práca je rozvoj matematických schopností mladších žiakov v procese riešenia matematických úloh.

Predmet štúdia: výchovno-vzdelávacieho procesu v 1. ročníku, zameraného na rozvoj matematických schopností žiakov.

Predmet výskumu sú znaky formovania matematických schopností u mladších žiakov.

Výskumná hypotéza je nasledovná: v procese riešenia matematických úloh dochádza k rozvoju matematických schopností u mladších žiakov, ak:

ponúknuť mladším študentom riešenie heuristických problémov;

úlohy na štúdium matematických symbolov a geometrických obrazov čísel;

Ciele výskumu:

Prezraďte obsah pojmu matematické schopnosti.

Študovať skúsenosti efektívnej psychologickej činnosti na rozvoj matematických schopností u mladších študentov;

Odhaliť obsah pojmu matematické schopnosti;

Zohľadniť skúsenosti efektívnej psychologickej činnosti pri formovaní matematických schopností u mladších študentov;

Výskumné metódy:

Štúdium skúseností z efektívnej činnosti psychologických služieb pri formovaní matematických schopností u mladších študentov v procese riešenia matematických problémov.

Sledovanie výchovno-vzdelávacej činnosti mladších žiakov a procesu riešenia matematických úloh.

pedagogický experiment.

Praktický význam štúdie spočíva v tom, že zistený systém tried s deťmi na rozvoj matematických schopností, ktorý zahŕňa rôzne typy matematických problémov, môžu využiť psychológovia, učitelia a rodičia pri práci s deťmi vo veku základnej školy. . Metódy rozvoja matematických schopností navrhnuté v kurze práce u detí v predškolskom veku prostredníctvom riešenia problémov, metódami konkretizácie, abstrakcie, variácie, analógie, kladenia analytických otázok, je možné využiť v práci školského psychológa.

kapitola ja . Psychologické a pedagogické základy pre formovanie matematických schopností u mladších žiakov.

1. Definícia pojmu "matematické schopnosti"

Štúdium kognitívnych čŕt, ktoré sú základom získavania vedomostí, je jedným z hlavných smerov pri hľadaní rezerv na zvýšenie efektívnosti školského vzdelávania.

Moderná škola stojí pred úlohou poskytovať všeobecné vzdelanie, zabezpečovať rozvoj všeobecných schopností a všetkými možnými spôsobmi podporovať klíčky špeciálnych talentov. Zároveň je potrebné brať do úvahy, že výcvik a výchova „majú formujúci vplyv na mentálne možnosti adolescentov nie priamo, ale prostredníctvom vnútorných podmienok – vekových a individuálnych“.

Schopnosťami sa podľa Teplova rozumejú individuálne psychologické vlastnosti, ktoré určujú ľahkosť a rýchlosť osvojovania vedomostí a zručností, ktoré sa však neobmedzujú len na tieto vlastnosti. Za prirodzené predpoklady rozvoja schopností sa považujú anatomické a fyziologické vlastnosti mozgu a nervového systému, typologické vlastnosti nervového systému, pomer 1 a 2 signálnych systémov, jednotlivé štrukturálne vlastnosti analyzátorov a špecifiká interhemisférickej interakcie.

Jednou z najťažších otázok v psychológii schopností je otázka pomeru vrodených (prirodzených) a získaných v schopnostiach. Hlavnou pozíciou v domácej psychológii v tejto veci je postavenie o rozhodujúcom význame sociálnych faktorov pri rozvoji schopností, vedúcej úlohe sociálnej skúsenosti človeka, podmienkach jeho života a činnosti. Psychologické vlastnosti nemôžu byť vrodené. Všetko je to o schopnostiach. Formujú sa a rozvíjajú v živote, v procese činnosti, v procese vzdelávania a výchovy.

A.N.Leontiev hovoril o potrebe rozlišovať medzi dvoma druhmi ľudských schopností, prirodzenými alebo prirodzenými (v zásade biologickými, napr. schopnosť rýchlo vytvárať podmienené spojenia) a špecificky ľudskými schopnosťami (sociálno-historický pôvod). "Človek je od narodenia obdarený len jednou schopnosťou - schopnosťou formovať špecifické ľudské schopnosti." Ďalej sa budeme baviť len o špecificky ľudských schopnostiach.

Rozhodujúcu a rozhodujúcu úlohu zohrávajú sociálne skúsenosti, spoločenský vplyv a výchova.

Základné riešenie tohto problému v ruskej psychológii je nasledovné: schopnosti nemôžu byť vrodené, vrodené môžu byť iba vlastnosti schopností - niektoré anatomické a fyziologické vlastnosti mozgu a nervového systému, s ktorými sa človek rodí.

Prirodzené dáta sú jednou z najdôležitejších podmienok pre komplexný proces formovania a rozvoja schopností. Ako poznamenal S. L. Rubinshtein, schopnosti nie sú vopred určené, ale nemožno ich jednoducho implantovať zvonku. Jednotlivci musia mať predpoklady, vnútorné podmienky na rozvoj schopností.

Ale uznanie skutočného významu vrodených sklonov v žiadnom prípade neznamená uznanie fatálnej podmienenosti rozvoja schopností vrodenými vlastnosťami. Schopnosti nie sú obsiahnuté vo výrobe. V ontogenéze sa neobjavujú, ale tvoria sa.

Trochu iné chápanie sklonov je uvedené v dielach A.G. Kovaleva a V.N. Myasishcheva. Pod sklonmi rozumejú psychofyziologické vlastnosti, predovšetkým tie, ktoré sa nachádzajú v najranejšej fáze zvládnutia určitej činnosti (napríklad dobré rozlišovanie farieb, vizuálna pamäť). Inými slovami, sklony sú primárnou prirodzenou schopnosťou, ktorá ešte nie je vyvinutá, ale prejavuje sa pri prvom pokuse o aktivitu. Základné postavenie schopnosti vo vlastnom zmysle slova je však zachované, formujú sa v činnosti, sú celoživotnou výchovou.

Keď hovoríme o výtvoroch schopností, zvyčajne majú na mysli predovšetkým typologické vlastnosti nervového systému. Ako viete, typologické vlastnosti sú prirodzeným základom individuálnych rozdielov medzi ľuďmi. Na tomto základe vznikajú najzložitejšie systémy rôznych dočasných spojení - rýchlosť ich vzniku, ich sila a jednoduchosť diferenciácie. Určujú silu sústredenej pozornosti, duševnej výkonnosti.

Viaceré štúdie ukázali, že popri všeobecných typologických vlastnostiach, ktoré charakterizujú nervový systém ako celok, existujú osobitné typologické vlastnosti, ktoré charakterizujú prácu jednotlivých oblastí kôry, ktoré sa odhaľujú vo vzťahu k rôznym analyzátorom a rôznym systémom mozog. Na rozdiel od všeobecných typologických vlastností, ktoré určujú temperament, pri štúdiu špeciálnych schopností majú najväčší význam konkrétne typologické vlastnosti.

A.G. Kovalev a V.N. Myasishchev majú tendenciu prikladať o niečo väčší význam ako iní psychológovia prirodzenej stránke, prirodzeným predpokladom rozvoja. A.N.Leontiev a jeho nasledovníci majú tendenciu zdôrazňovať úlohu vzdelávania pri formovaní schopností.

K štúdiu matematických schopností prispeli takí vynikajúci predstavitelia určitých smerov v psychológii ako A. Binet, E. Thorndike a G. Reves a takí vynikajúci matematici ako A. Poincare a J. Hadamard. Široká škála smerov tiež určuje širokú škálu prístupov k štúdiu matematických schopností. Samozrejme, štúdium matematických schopností by sa malo začať definíciou. Pokusy tohto druhu sa robili opakovane, ale stále neexistuje žiadna ustálená, uspokojivá definícia matematických schopností. Jediné, na čom sa všetci bádatelia zhodujú, je snáď názor, že treba rozlišovať medzi bežnými, „školskými“ schopnosťami osvojiť si matematické poznatky, ich reprodukciu a samostatnú aplikáciu, a tvorivými matematickými schopnosťami spojenými so samostatnou tvorbou originálu a spoločenskej hodnoty.produkt.

Už v roku 1918 A. Rogers v práci A. Rogersa zaznamenal dve stránky matematických schopností, reprodukčné (spojené s funkciou pamäti) a produktívne (spojené s funkciou myslenia). W. Betz definuje matematické schopnosti ako schopnosť jasne pochopiť vnútornú súvislosť matematických vzťahov a schopnosť presne myslieť v matematických pojmoch.

Z diel domácich autorov treba spomenúť originálčlánok D. Mordukhai-Boltovského „Psychológia matematického myslenia“, publikovaný v roku 1918diskutovali sme o potrebe používania prameňov do konca minulého storočia!

rok. Autor, špecialista na matematiku, písal z idealistickej pozície, pričom napríklad pripisoval osobitný význam „nevedomému myšlienkovému procesu“ a tvrdil, že „myslenie matematika je hlboko zakorenené v nevedomej sfére, teraz vystupuje na povrch, teraz sa ponorí do hĺbky. Matematik si nie je vedomý každého kroku svojej myšlienky, ako virtuóz pohybu luku. Náhly objavenie sa vo vedomí hotového riešenia problému, ktorý dlho nevieme vyriešiť, - píše autor, - vysvetľujeme nevedomým myslením, ktoré sa ďalej zaoberalo úlohou, a výsledok sa objaví za hranicami prah vedomia. Podľa Mordukhai-Boltovského je naša myseľ schopná vykonávať starostlivú a komplexnú prácu v podvedomí, kde sa vykonáva všetka „hrubá“ práca a nevedomá práca myslenia je ešte menšia chyba ako tá vedomá.

Autor si všíma úplne špecifickú povahu matematického talentu a matematického myslenia. Tvrdí, že schopnosť robiť matematiku nie je vždy vlastná ani geniálnym ľuďom, že medzi matematickou a nematematickou mysľou je podstatný rozdiel. Veľmi zaujímavý je pokus Mordukhaia-Boltovského izolovať zložky matematických schopností. Hovorí najmä o týchto komponentoch:

* „silná pamäť“, pamäť na „predmety typu, ktorými sa zaoberá matematika“, pamäť skôr ako na fakty, ale na myšlienky a myšlienky.

* „důvtip“, ktorý sa chápe ako schopnosť „obsiahnuť jedným úsudkom“ koncepty z dvoch voľne prepojených myšlienkových oblastí, nájsť v už známom niečo podobné danému, hľadať niečo podobné v najoddelenejšom zdanlivo úplne heterogénne objekty.

* „rýchlosť myslenia“ (rýchlosť myslenia sa vysvetľuje prácou, ktorú nevedomé myslenie vykonáva, aby pomohlo vedomému). Nevedomé myslenie podľa autora postupuje oveľa rýchlejšie ako vedomé.

D. Mordukhai-Boltovsky tiež vyjadruje svoje názory na typy matematickej predstavivosti, ktoré sú základom rôznych typov matematikov – „geometrov“ a „algebraistov“. Aritmetici, algebraisti a všeobecne analytici, ktorých objavy sa robia v tej najabstraktnejšej forme prelomových kvantitatívnych symbolov a ich vzťahov, si nevedia predstaviť ako „geometer“.

Sovietska teória schopností vznikla spoločnou prácou najvýznamnejších ruských psychológov, z ktorých B.M.Teplov, ako aj L.S.Vygotskij, A.N.Leontiev, S.L.Rubinstein a B.G.

Okrem všeobecných teoretických štúdií o probléme matematických schopností položil V.A. Krutetsky so svojou monografiou „Psychológia matematických schopností školákov“ základ pre experimentálnu analýzu štruktúry matematických schopností.

Pod schopnosťou študovať matematiku rozumie individuálne psychologické vlastnosti (predovšetkým črty duševnej činnosti), ktoré zodpovedajú požiadavkám výchovno-matematickej činnosti a pri zachovaní ostatných podmienok určujú úspešnosť tvorivého zvládnutia matematiky ako vzdelávacieho predmetu, najmä , relatívne rýchle, ľahké a hlboké osvojenie vedomostí a zručností., zručnosti v matematike. D.N. Bogoyavlensky a N.A. Menchinskaya, keď hovoria o individuálnych rozdieloch v schopnosti učiť sa detí, predstavujú koncept psychologických vlastností, ktoré určujú úspech v učení, pričom všetky ostatné veci sú rovnaké. Nepoužívajú pojem „schopnosť“, ale v podstate sa zodpovedajúci pojem približuje definícii uvedenej vyššie.

Matematické schopnosti sú komplexnou štrukturálnou mentálnou formáciou, druhom syntézy vlastností, integrálnou kvalitou mysle, ktorá pokrýva jej rôzne aspekty a rozvíja sa v procese matematickej činnosti. Tento súbor je jeden kvalitatívne originálny celok - len pre potreby analýzy vyčleňujeme jednotlivé komponenty, v žiadnom prípade ich nepovažujeme za izolované vlastnosti. Tieto zložky sú úzko prepojené, navzájom sa ovplyvňujú a tvoria vo svojom celku jeden systém, ktorého prejavy bežne nazývame „syndróm matematického nadania“.

Štúdium matematických schopností zahŕňa aj riešenie jedného z najdôležitejších problémov - hľadanie prirodzených predpokladov, či sklonov k tomuto typu schopností. Sklony zahŕňajú vrodené anatomické a fyziologické vlastnosti jedinca, ktoré sú považované za priaznivé podmienky pre rozvoj schopností. Sklony boli dlho považované za faktor fatálne predurčujúci úroveň a smer rozvoja schopností. Klasici ruskej psychológie B.M. Teplov a S.L. Rubinshtein vedecky dokázal nelegitímnosť takéhoto chápania sklonov a ukázal, že zdrojom rozvoja schopností je úzka interakcia vonkajších a vnútorných podmienok. Závažnosť jednej alebo druhej fyziologickej kvality v žiadnom prípade nenaznačuje povinný rozvoj určitého typu schopnosti. Môže to byť len priaznivá podmienka pre tento vývoj. Typologické vlastnosti, ktoré tvoria sklony a sú ich dôležitou súčasťou, odrážajú také individuálne črty fungovania tela, ako je hranica pracovnej kapacity, rýchlostné charakteristiky nervovej reakcie, schopnosť reštrukturalizovať reakciu v reakcii na zmeny. vo vonkajších vplyvoch.

Všeobecná schéma štruktúry matematických schopností v školskom veku podľa V. A. Krutetského. Materiál, ktorý zhromaždil V. A. Krutetsky, mu umožnil zostaviť všeobecnú schému štruktúry matematických schopností v školskom veku:

Získavanie matematických informácií.

Schopnosť formalizovať vnímanie matematického materiálu, uchopenie formálnej štruktúry problému.

Spracovanie matematických informácií.

Schopnosť logického myslenia v oblasti kvantitatívnych a priestorových vzťahov, číselnej a znakovej symboliky.

Schopnosť myslieť v matematických symboloch.

Schopnosť rýchlo a široko zovšeobecniť matematické objekty, vzťahy a akcie.

Schopnosť obmedziť proces matematického uvažovania a systém zodpovedajúcich akcií. Schopnosť myslieť v zložených štruktúrach.

Flexibilita myšlienkových procesov v matematickej činnosti.

Snaha o prehľadnosť, jednoduchosť, hospodárnosť a racionalitu rozhodnutí.

Schopnosť rýchlo a voľne reštrukturalizovať smerovanie myšlienkového procesu, prejsť z priameho na spätné myslenie (reverzibilita myšlienkového procesu v matematickom uvažovaní).

Ukladanie matematických informácií.

Matematická pamäť (zovšeobecnená pamäť na matematické vzťahy, typické charakteristiky, schémy uvažovania a dokazovania, metódy riešenia problémov a princípy ich prístupu).

Všeobecná syntetická zložka.

Matematické myslenie.

Vybrané zložky sú úzko prepojené, navzájom sa ovplyvňujú a tvoria vo svojom celku jednotný systém, integrálnu štruktúru, akýsi syndróm matematického talentu, matematické myslenie.

Do štruktúry matematického talentu nie sú zahrnuté tie zložky, ktorých prítomnosť v tomto systéme nie je nevyhnutná (hoci užitočná). V tomto zmysle sú neutrálne vo vzťahu k matematickému nadaniu. Ich prítomnosť alebo absencia v štruktúre (presnejšie, stupeň ich rozvoja) však určuje typ matematického myslenia.

1.2 Podmienky pre formovanie matematických schopností mladších žiakov v procese vyučovania matematiky.

Keďže zmyslom našej práce nie je len zoznam odporúčaní potrebných na úspešné osvojenie si matematických vedomostí deťmi, ale vypracovanie odporúčaní pre triedy, ktorých účelom je rozvíjať matematické schopnosti, budeme sa podrobnejšie venovať podmienkam pre formovanie vlastných matematických schopností. Ako už bolo uvedené, schopnosti sa formujú a rozvíjajú iba v činnosti. Aby však činnosť mala pozitívny vplyv na schopnosti, musí spĺňať určité podmienky.

Po prvé, aktivita by mala v dieťati vyvolať silné a stabilné pozitívne emócie a potešenie. Dieťa by malo zažiť pocit radostného uspokojenia z činnosti, potom má chuť sa do nej pustiť z vlastnej iniciatívy, bez nátlaku. Živý záujem, chuť robiť prácu čo najlepšie, a nie formálny, ľahostajný, ľahostajný postoj k nej, sú nevyhnutnými podmienkami, aby činnosť pozitívne ovplyvnila rozvoj schopností.Ak dieťa predpokladá, že si nevie poradiť úlohu, snaží sa ju obísť, vytvára sa negatívny postoj k úlohe a k predmetu vôbec. Aby sa tomu zabránilo, musí učiteľ vytvoriť pre dieťa „úspešnú situáciu“, musí si všimnúť a schváliť všetky úspechy študenta a zvýšiť jeho sebaúctu. To platí najmä pre matematiku, keďže tento predmet nie je pre väčšinu detí ľahký.

Keďže schopnosti môžu prinášať ovocie len vtedy, keď sú spojené s hlbokým záujmom a stálou náklonnosťou k príslušnej činnosti, učiteľ musí aktívne rozvíjať záujmy detí a snažiť sa, aby tieto záujmy neboli povrchné, ale aby boli vážne, hlboké, stabilné. a efektívne.

Po druhé, činnosť dieťaťa by mala byť čo najkreatívnejšia. Kreativita detí v matematike sa môže prejaviť v nezvyčajnom, neštandardnom riešení problému, v odhaľovaní metód a techník výpočtov deťmi. Na to musí učiteľ klásť deťom realizovateľné problémy a zabezpečiť, aby ich deti riešili samy pomocou navádzacích otázok.

Po tretie, je dôležité organizovať činnosť dieťaťa tak, aby sledovalo ciele, ktoré vždy mierne prevyšujú jeho aktuálne možnosti, úroveň aktivity, ktorú už dosiahlo. Tu môžeme hovoriť o zameraní sa na „zónu proximálneho vývoja“ študenta. Ale na splnenie tejto podmienky je nutný individuálny prístup ku každému žiakovi.

Pri skúmaní štruktúry schopností vo všeobecnosti a najmä matematických schopností, ako aj vekových a individuálnych charakteristík detí vo veku základnej školy môžeme vyvodiť tieto závery:

Psychologická veda zatiaľ nevypracovala jednotný pohľad na problém schopností, ich štruktúru, vznik a vývoj.

Ak pod matematickými schopnosťami rozumieme všetky individuálne psychologické vlastnosti človeka, ktoré prispievajú k úspešnému zvládnutiu matematickej činnosti, potom je potrebné vyčleniť tieto skupiny schopností: najvšeobecnejšie schopnosti (podmienky) potrebné na úspešnú realizáciu akejkoľvek aktivita:

 pracovitosť;

 vytrvalosť;

 výkon;

okrem toho dobre vyvinutá dobrovoľná pamäť a dobrovoľná pozornosť, záujem a náklonnosť k tejto činnosti;

všeobecné prvky matematických schopností, tie všeobecné znaky duševnej činnosti, ktoré sú potrebné pre veľmi širokú škálu činností;

špecifické prvky matematických schopností - znaky duševnej činnosti, ktoré sú charakteristické iba pre matematiku, špecifické špecificky pre matematickú činnosť, na rozdiel od všetkých ostatných.

Matematické schopnosti sú komplexné, integrované vzdelávanie, ktorého hlavnými zložkami sú:

Schopnosť formalizovať matematický materiál;

Schopnosť zovšeobecniť matematický materiál;

Schopnosť logického uvažovania;

Schopnosť reverzibilnosti myšlienkového procesu;

Flexibilita myslenia;

matematická pamäť;

Túžba šetriť duševné sily.

Zložky matematických schopností vo veku základnej školy sú prezentované len v ich „embryonálnom“ stave. V procese školskej dochádzky je však ich vývoj badateľný, pričom najplodnejší je pre tento vývoj mladší školský vek.

Pre rozvoj matematických schopností existujú aj prirodzené predpoklady, medzi ktoré patria:

Vysoká úroveň všeobecnej inteligencie;

Prevaha verbálnej inteligencie nad neverbálnou;

Vysoký stupeň rozvoja verbálno-logických funkcií;

Silný typ nervového systému;

Niektoré osobnostné črty, ako rozumnosť, rozvážnosť, vytrvalosť, samostatnosť, sebestačnosť.

Pri rozvíjaní tried na rozvoj matematických schopností by sa malo brať do úvahy nielen vek a individuálne typologické charakteristiky detí, ale aj dodržiavanie určitých podmienok, aby bol tento rozvoj čo najviac možný:

Aktivita by mala v dieťati vyvolať silné a stabilné pozitívne emócie;

Činnosti by mali byť čo najkreatívnejšie;

Aktivity by mali byť zamerané na „zónu proximálneho vývinu“ žiaka.

1.3 Vyučovanie matematiky je hlavným spôsobom rozvoja matematických schopností mladších žiakov

Jedným z najdôležitejších teoretických a praktických problémov modernej pedagogiky je skvalitnenie procesu výučby mladších žiakov. História vývoja zahraničnej a ruskej pedagogiky a psychológie je neoddeliteľne spojená so štúdiom rôznych aspektov problémov s učením. Podľa mnohých autorov (N. P. Vaizman, G. F. Kumarina, S. G. Shevchenko a ďalší) počet detí, ktoré sú už v základných ročníkoch, nie sú schopné zvládnuť program vo vyhradenom čase a v požadovanom objeme, kolíše od 20 % do 30 % z celkového počtu študentov. Keďže sú mentálne neporušené, nemajú klasické formy vývinových anomálií, takéto deti majú ťažkosti so sociálnou a školskou adaptáciou, pričom vykazujú zlyhanie v učení.

Ťažkosti, s ktorými sa stretávajú mladší žiaci v procese učenia, možno rozdeliť do troch skupín: biogénne, sociogénne a psychogénne, čo vedie k oslabeniu kognitívnych schopností (pozornosť, vnímanie, pamäť, myslenie, predstavivosť, reč) dieťaťa a výrazne znižuje efektívnosť učenia. Okrem všeobecných predpokladov pre ťažkosti v učení existujú špecifické – ťažkosti so zvládnutím matematického materiálu.

Problému výučby elementárneho kurzu matematiky sa venuje množstvo štúdií moderných autorov (N. B. Istomina, N. P. Lokalova, A. R. Luria, G. F. Kumarina, N. A. Menchinskaya, L. S. Tsvetkova atď.). Analýzou menovaných literárnych prameňov a vlastným výskumom boli zistené u mladších žiakov pri vyučovaní matematiky tieto hlavné ťažkosti:

Nedostatok stabilných schopností počítania.

Neznalosť vzťahu medzi susednými číslami.

Neschopnosť prejsť z konkrétnej roviny do abstraktnej.

Nestabilita grafických foriem, t.j. nedostatok formovania pojmu "pracovná čiara", zrkadlové písanie čísel.

Neschopnosť riešiť aritmetické problémy.

“Intelektuálna pasivita“.

Na základe analýzy psychologických a psychofyzických príčin, ktoré sú základom týchto ťažkostí, možno rozlíšiť tieto skupiny:

Skupina 1 - ťažkosti spojené s nedostatočnosťou operácií abstrakcie, ktorá sa prejavuje pri prechode od konkrétneho k abstraktnému akčnému plánu. V tomto ohľade vznikajú ťažkosti pri asimilácii číselného radu a jeho vlastností, významu počítacej akcie.

Skupina 2 - ťažkosti spojené s nedostatočným rozvojom jemných motorických zručností, nedostatok formovania zrakovo-motorickej koordinácie. Tieto dôvody sú základom takých ťažkostí pre študentov, ako je zvládnutie písania čísel, ich zrkadlový obraz.

3. skupina - ťažkosti spojené s nedostatočným rozvojom asociačných väzieb a priestorovou orientáciou. Tieto dôvody sú základom takých ťažkostí pre študentov, ako sú ťažkosti pri prekladaní z jednej formy (verbálnej) do druhej (digitálnej), pri určovaní geometrických čiar a obrazcov, ťažkosti pri počítaní a pri vykonávaní počítacích operácií s prechodom cez tucet.

4. skupina - ťažkosti spojené s nedostatočným rozvojom duševnej činnosti a individuálnych psychických vlastností osobnosti žiakov. V tomto ohľade majú mladší študenti ťažkosti pri vytváraní pravidiel na základe analýzy niekoľkých príkladov, ťažkosti v procese rozvíjania schopnosti uvažovať pri riešení problémov. Tieto ťažkosti sú založené na nedostatočnosti takejto duševnej operácie, ako je generalizácia.

Skupina 5 - ťažkosti spojené s nesformovaným kognitívnym postojom k realite, ktorý sa vyznačuje "intelektuálnou pasivitou". Deti vnímajú výchovnú úlohu až vtedy, keď sa premietne do praktického plánu. Ak je potrebné riešiť intelektuálne problémy, majú túžbu používať rôzne riešenia (zapamätanie bez memorovania, hádanie, chuť konať podľa vzoru, používať rady).

Nemalý význam pri výučbe žiakov má motivácia pre budúce aktivity. Pre mladšieho žiaka je prvoradou úlohou pri organizovaní motivácie prekonať strach z ťažkých, abstraktných, nezrozumiteľných matematických informácií, prebudiť dôveru v možnosť ich asimilácie a záujem o učenie.

Učiteľ potrebuje v každom prípade profesionálne pristupovať ku konštrukcii a realizácii výchovno-vzdelávacieho procesu so zameraním na osobnostný rast dieťaťa, berúc do úvahy individuálne charakteristiky jeho duševnej činnosti, vytvárať pozitívne vyhliadky na rozvoj osobnosti žiaka, organizovať študentsky orientované vzdelávacie prostredie, ktoré umožňuje v praxi identifikovať a realizovať tvorivý potenciál dieťaťa. Na základe teoretických vedomostí musí učiteľ vedieť predvídať ťažkosti dieťaťa v učení a odstraňovať ich; plánovať nápravnú a rozvojovú prácu, vytvárať problémové situácie na aktiváciu dynamiky rozvoja kognitívnych procesov; organizovať produktívnu samostatnú prácu, vytvárať priaznivé emocionálne a psychologické zázemie pre proces učenia. Osobitosť metodických vedomostí a zručností spočíva v tom, že úzko súvisia s psychologickými, pedagogickými a matematickými poznatkami.

Závislosť niektorých matematických vedomostí a zručností od iných, ich konzistentnosť a konzistentnosť ukazujú, že medzery na tej či onej úrovni oneskorujú ďalšie štúdium matematiky a sú príčinou školských ťažkostí. Rozhodujúcu úlohu v prevencii školských ťažkostí zohráva diagnostika matematických vedomostí a zručností žiakov. Pri organizovaní a realizácii ktorých je potrebné dodržiavať určité podmienky: formulujte otázky jasne a konkrétne; poskytnúť čas na premyslenie odpovede; pristupujte k odpovediam študentov pozitívne.

Zvážte typickú situáciu, ktorá sa v praxi často vyskytuje. Žiak dostal úlohu: „Doplňte chýbajúce číslo tak, aby bola nerovnica pravdivá 5> ? ". Žiak vykonal úlohu nesprávne: 5 > 9. Čo má urobiť učiteľ? Obrátiť sa na iného študenta alebo sa pokúsiť zistiť príčiny chyby?

Voľba konania učiteľa v tomto prípade môže byť spôsobená množstvom psychologických a pedagogických dôvodov: individuálnymi charakteristikami študenta, úrovňou jeho matematickej prípravy, účelom, pre ktorý bola úloha ponúknutá atď. Predpokladajme, že druhá cesta bol vybraný, t.j. rozhodol identifikovať príčiny chyby.

V prvom rade je potrebné vyzvať žiaka, aby si vyplnený záznam prečítal.

Ak to študent prečíta ako „päť menej ako deväť“, chyba je v tom, že matematický symbol nezvládol. Na odstránenie chyby je potrebné vziať do úvahy osobitosti vnímania mladšieho študenta. Keďže má vizuálno-figurálny charakter, je potrebné použiť metódu porovnania znaku s konkrétnym obrázkom, napríklad so zobákom, ktorý je otvorený pre väčšie číslo a zatvorený pre menšie.

Ak študent číta heslo ako „päť je väčšie ako deväť“, chyba je v tom, že niektoré matematické pojmy nezvládli: pomer „viac“, „menej“; nadviazanie osobnej korešpondencie; kvantitatívne číslo; prirodzený rad čísel; skontrolovať. Vzhľadom na vizuálno-obrazový charakter myslenia dieťaťa je potrebné organizovať prácu na týchto konceptoch pomocou praktických úloh.

Učiteľ vyzve jedného študenta, aby rozložil na stôl 5 trojuholníkov a druhého - 9 a premýšľal o tom, ako ich možno usporiadať, aby zistil, kto má viac alebo menej trojuholníkov.

Dieťa si na základe svojich životných skúseností vie samostatne navrhnúť postup alebo ho s pomocou učiteľa nájsť, t.j. vytvoriť vzájomnú korešpondenciu medzi dátovými prvkami súborov predmetov (trojuholníky):

Ak študent úspešne dokončil úlohy na porovnávanie čísel, potom je potrebné zistiť, do akej miery sú jeho činy vedomé. Tu bude učiteľ potrebovať znalosť takých matematických pojmov, ako je „počítanie“ a „prirodzený rad čísel“, pretože sú základom zdôvodnenia: „Číslo, ktoré sa volá skôr pri počítaní, je vždy menšie ako akékoľvek nasledujúce číslo.“

Praktická činnosť učiteľa si vyžaduje celý rad vedomostí z psychológie, pedagogiky a matematiky. Na jednej strane musia byť poznatky syntetizované a zjednotené okolo konkrétneho praktického problému, ktorý má multilaterálny holistický charakter. Na druhej strane musia byť preložené do jazyka praktických činov, praktických situácií, to znamená, že sa musia stať prostriedkom riešenia skutočných praktických problémov.

Pri vyučovaní matematiky mladších žiakov musí učiteľ vedieť vytvárať problémové situácie pre rozvoj kognitívnych procesov; organizovať produktívnu samostatnú prácu, vytvárať priaznivé emocionálne a psychologické zázemie pre proces učenia.

V psychologicko-pedagogickom výskume venovanom problematike vyučovania matematiky sa zaznamenávajú ťažkosti žiakov základných škôl pri osvojovaní si schopnosti riešiť počtové úlohy. Riešenie aritmetických úloh má však veľký význam pre rozvoj kognitívnej činnosti žiakov, pretože. prispieva k rozvoju logického myslenia.

G.M. Kapustina poznamenáva, že deti s poruchami učenia v rôznych fázach práce na úlohe majú ťažkosti: pri čítaní stavu, pri analýze objektívne efektívnej situácie, pri vytváraní vzťahov medzi veličinami, pri formulovaní odpovede. Často konajú impulzívne, bezmyšlienkovito, nedokážu pokryť rôznorodosť závislostí, ktoré tvoria matematický obsah úlohy. Riešenie aritmetických úloh má však veľký význam pre rozvoj kognitívnej činnosti žiakov, pretože. prispieva k rozvoju ich verbálno-logického myslenia a svojvôle činnosti. V procese riešenia počtových úloh sa deti učia plánovať a kontrolovať svoje činnosti, osvojujú si techniky sebaovládania, rozvíjajú vytrvalosť, vôľu, rozvíjajú záujem o matematiku.

M. N. Perova vo svojom výskume navrhla nasledujúcu klasifikáciu chýb, ktorých sa žiaci pri riešení úloh dopúšťajú:

1. Predstavenie ďalšej otázky a akcie.

2. Vylúčenie želanej otázky a akcie.

3. Nesúlad otázok s činmi: správne položené otázky a nesprávna voľba činov, alebo naopak správna voľba činov a nesprávna formulácia otázok.

4. Náhodný výber čísel a akcií.

5. Chyby v názvoch veličín pri vykonávaní úkonov: a) názvy sa nepíšu; b) mená sú napísané chybne, mimo objektívneho chápania obsahu úlohy; c) názvy sa píšu len pre jednotlivé zložky.

6. Chyby vo výpočtoch.

7. Nesprávne znenie odpovede na úlohu (formulovaná odpoveď nezodpovedá otázke problému, je nesprávne štylisticky postavená a pod.).

Pri riešení úloh si mladší žiaci rozvíjajú svojvoľnú pozornosť, postreh, logické myslenie, reč, bystrý rozum. Riešenie problémov prispieva k rozvoju takých procesov kognitívnej činnosti, ako je analýza, syntéza, porovnávanie, zovšeobecňovanie. Riešenie počtových úloh pomáha odhaliť hlavný zmysel počtových operácií, konkretizovať ich, spájať s určitou životnou situáciou. Úlohy prispievajú k asimilácii matematických pojmov, vzťahov, vzorcov. V tomto prípade spravidla slúžia na konkretizáciu týchto pojmov a vzťahov, pretože každá dejová úloha odráža určitú životnú situáciu.

kapitola II . Technika na identifikáciu znakov formovania matematických schopností v procese riešenia matematických problémov.

2.1 Experimentálna práca na formovaní matematických schopností u mladšieho žiaka v procese riešenia matematických úloh.

Na účely praktického zdôvodnenia záverov získaných počas teoretického štúdia problému: aké sú najúčinnejšie formy a metódy zamerané na rozvoj matematických schopností školákov v procese riešenia matematických problémov, bola vykonaná štúdia. Experimentu sa zúčastnili dve triedy: experimentálna 2 (4) "B", kontrolná - 2 (4) "C" UVK "Škola-gymnázium" č.1 p.g.t. sovietsky.

Etapy experimentálnej činnosti

I - Prípravné. Účel: určenie úrovne matematických schopností na základe výsledkov pozorovaní.

II - Zisťovacia fáza experimentu. Účel: určenie úrovne formovania matematických schopností.

III - Formatívny experiment. Účel: vytvorenie nevyhnutných podmienok pre rozvoj matematických schopností.

IV - Kontrolný experiment Účel: zistiť účinnosť foriem a metód, ktoré prispievajú k rozvoju matematických schopností.

V prípravnom štádiu boli pozorovaní žiaci kontrolnej - 2 "B" a experimentálnej 2 "C" triedy. Pozorovania sa uskutočnili tak v procese štúdia nového materiálu, ako aj pri riešení problémov. Pre pozorovania boli identifikované tie znaky matematických schopností, ktoré sa najjasnejšie prejavujú u mladších študentov:

1) relatívne rýchle a úspešné zvládnutie matematických vedomostí, zručností a schopností;

2) schopnosť dôsledne korigovať logické uvažovanie;

3) vynaliezavosť a vynaliezavosť pri štúdiu matematiky;

4) flexibilita myslenia;

5) schopnosť pracovať s číselnými a symbolickými symbolmi;

6) znížená únava počas matematiky;

7) schopnosť skrátiť proces uvažovania, myslieť v zrútených štruktúrach;

8) schopnosť prejsť z priameho na opačný smer myslenia;

9) rozvoj figuratívno-geometrického myslenia a priestorových zobrazení.

V novembri 2011 sme vyplnili tabuľku matematických schopností školákov, v ktorej sme každú z uvedených vlastností ohodnotili bodmi (0-nízka úroveň, 1-priemerná úroveň, 2-vysoká úroveň).

Na druhom stupni bola realizovaná diagnostika rozvoja matematických schopností v experimentálnych a kontrolných triedach.

Na tento účel sa použil test „Riešenie problémov“:

1. Z týchto jednoduchých úloh poskladajte zložené úlohy. Vyriešte jeden zložený problém rôznymi spôsobmi, podčiarknite racionálny.

Krava mačky Matroskin v pondelok dala 12 litrov mlieka. Mlieko sa nalialo do trojlitrových pohárov. Koľko plechoviek dostala mačka Matroskin?

Kolya kúpil 3 perá za 20 rubľov. Koľko peňazí zaplatil?

Kolya kúpil 5 ceruziek za cenu 20 rubľov. Koľko stoja ceruzky?

Matroskinova krava dala v utorok 15 litrov mlieka. Toto mlieko sa nalialo do trojlitrových pohárov. Koľko plechoviek dostala mačka Matroskin?

2. Prečítajte si problém. Prečítajte si otázky a výrazy. Priraď ku každej otázke správny výraz.

a + 18

trieda 18 chlapcov a dievčat.

Koľko žiakov je v triede?

18 - a

O koľko viac chlapcov ako dievčat?

a - 18

O koľko menej dievčat ako chlapcov?

3. Vyriešte problém.

Strýko Fjodor vo svojom liste rodičom napísal, že jeho dom, dom poštára Pechkina a studňa sú na tej istej strane ulice. Od domu strýka Fjodora k domu poštára Pechkina 90 metrov a od studne k domu strýka Fjodora 20 metrov. Aká je vzdialenosť od studne k domu poštára Pechkina?

Pomocou testu boli preverené rovnaké zložky štruktúry matematických schopností ako pri pozorovaní.

Účel: zistiť úroveň matematických schopností.

Vybavenie: študentský preukaz (hárok).

Test preveruje zručnosti a matematické schopnosti:

Zručnosti potrebné na vyriešenie problému.

Schopnosti prejavujúce sa v matematickej činnosti.

Schopnosť odlíšiť úlohu od iných textov.

Schopnosť formalizovať matematický materiál.

Schopnosť zapísať riešenie úlohy, robiť výpočty.

Schopnosť pracovať s číselnými a symbolickými symbolmi.

Schopnosť zapísať riešenie problému do výrazu. Schopnosť riešiť problémy rôznymi spôsobmi.

Flexibilita myslenia, schopnosť skrátiť proces uvažovania.

Schopnosť vykonávať konštrukciu geometrických útvarov.

Rozvoj figuratívno-geometrického myslenia a priestorových zobrazení.

V tejto fáze sa študovali matematické schopnosti a určili sa tieto úrovne:

Nízka úroveň: Matematické schopnosti sa prejavujú vo všeobecnej, prirodzenej potrebe.

Stredná úroveň: schopnosti sa objavujú v podobných podmienkach (podľa modelu).

Vysoká úroveň: tvorivé prejavy matematických schopností v nových, neočakávaných situáciách.

Kvalitatívna analýza testu ukázala hlavné dôvody obtiažnosti pri vykonávaní testu. Medzi ne patrí: a) nedostatok špecifických znalostí pri riešení problémov (nevie určiť, koľko akcií je problém vyriešený, nevedia zapísať riešenie problému výrazom (v 2 "B" (experimentálnej) triede 4 osoby - 15 %, v 2. triede „C“ – 3 osoby – 12 %) b) nedostatočné formovanie výpočtových zručností (v 2. triede „B“ 7 osôb – 27 %, v 2. triede „C“ 8 osôb – 31 %. Rozvoj matematických schopností študentov je zabezpečený predovšetkým rozvojom štýlu matematického myslenia.Na určenie rozdielov vo vývoji schopnosti uvažovania u detí sa uskutočnila skupinová lekcia na materiáli diagnostickej úlohy “ rôzne-rovnaké" podľa metódy A. Z. Zaka. Boli odhalené tieto úrovne rozumovej schopnosti:

vysoká úroveň - vyriešené úlohy č. 1-10 (obsahujú 3-5 znakov)

Stredne pokročilá úroveň – vyriešené úlohy 1-8 (obsahujú 3-4 znaky)

nízka úroveň - vyriešené úlohy #1 - 4 (obsahujú 3 znaky)

V experimente boli použité tieto metódy práce: vysvetľovacia-ilustračná, reprodukčná, heuristická, prezentácia problému, metóda výskumu. V skutočnej vedeckej tvorivosti prechádza formulácia problému cez problémovú situáciu. Usilovali sme sa o to, aby sa žiak samostatne naučil vidieť problém, formulovať ho, skúmať možnosti a spôsoby jeho riešenia. Výskumná metóda sa vyznačuje najvyššou úrovňou kognitívnej nezávislosti žiakov. Na hodinách sme organizovali samostatnú prácu žiakov, zadávali sme im problematické kognitívne úlohy a zadania praktického charakteru.

2.2. Zisťovanie úrovne matematických schopností u detí vo veku základnej školy.

Naša štúdia nám teda umožňuje tvrdiť, že práca na rozvoji matematických schopností v procese riešenia slovných úloh je dôležitá a potrebná. Hľadanie nových spôsobov rozvoja matematických schopností je jednou z naliehavých úloh modernej psychológie a pedagogiky.

Náš výskum má určitý praktický význam.

V priebehu experimentálnych prác možno na základe výsledkov pozorovaní a analýzy získaných údajov konštatovať, že rýchlosť a úspešnosť rozvoja matematických schopností nezávisí od rýchlosti a kvality osvojenia si programových znalostí, zručností a schopnosti. Podarilo sa nám dosiahnuť hlavný cieľ tohto štúdia – určiť najefektívnejšie formy a metódy, ktoré prispievajú k rozvoju matematických schopností žiakov v procese riešenia slovných úloh.

Ako ukazuje analýza výskumnej činnosti, rozvoj matematických schopností detí sa rozvíja intenzívnejšie, pretože:

a) je vytvorená vhodná metodická podpora (tabuľky, inštruktážne karty a pracovné listy pre žiakov s rôznou úrovňou matematických schopností, softvérový balík, séria úloh a cvičení na rozvoj určitých zložiek matematických schopností;

b) bol vytvorený program voliteľného predmetu „Neštandardné a zábavné úlohy“, ktorý zabezpečuje realizáciu rozvoja matematických schopností žiakov;

c) bol vypracovaný diagnostický materiál, ktorý umožňuje včasné zistenie úrovne rozvoja matematických schopností a korekciu organizácie vzdelávacích aktivít;

d) je vypracovaný systém rozvoja matematických schopností (podľa plánu formatívneho experimentu).

Potreba použitia súboru cvičení na rozvoj matematických schopností sa určuje na základe zistených rozporov:

Medzi potrebou používať úlohy rôznej náročnosti na hodinách matematiky a ich absenciou na vyučovaní;

Medzi potrebou rozvíjať matematické schopnosti u detí a skutočnými podmienkami pre ich rozvoj;

Medzi vysokými požiadavkami na úlohy formovania tvorivej osobnosti žiakov a slabým rozvojom matematických schopností školákov;

Medzi uznaním priority zavádzania systému foriem a metód práce na rozvoj matematických schopností a nedostatočnou úrovňou rozvoja spôsobov implementácie tohto prístupu.

Základom pre štúdium je výber, štúdium, implementácia najefektívnejších foriem, metód práce pri rozvoji matematických schopností.

Záver

Stručne povedané, treba poznamenať, že téma, o ktorej uvažujeme, je relevantná pre modernú školu. Na predchádzanie a odstraňovanie ťažkostí pri vyučovaní matematiky u mladších žiakov musí učiteľ: poznať psychologické a pedagogické charakteristiky mladšieho žiaka; byť schopný organizovať a vykonávať preventívnu a diagnostickú prácu; vytvárať problémové situácie a vytvárať priaznivé emocionálne a psychologické zázemie pre proces vyučovania matematiky u mladších žiakov.

V súvislosti s problémom formovania a rozvoja schopností treba poukázať na to, že množstvo štúdií psychológov je zameraných na odhalenie štruktúry schopností predškolákov pre rôzne druhy činností. Schopnosti sú zároveň chápané ako komplex individuálnych – psychických vlastností človeka, ktoré spĺňajú požiadavky tejto činnosti a sú podmienkou úspešnej realizácie. Schopnosti sú teda komplexná, integrálna, mentálna formácia, druh syntézy vlastností alebo ako sa nazývajú zložky.

Všeobecným zákonom formovania schopností je, že sa formujú v procese osvojovania a vykonávania tých druhov činností, pre ktoré sú potrebné.

Schopnosti nie sú niečo raz a navždy vopred určené, formujú sa a rozvíjajú v procese učenia, v procese cvičenia, osvojovania si zodpovedajúcej činnosti, preto je potrebné formovať, rozvíjať, vychovávať, zdokonaľovať schopnosti detí a to nie je možné presne predvídať, kam až môže tento vývoj zájsť.

Keď už hovoríme o matematických schopnostiach ako o znakoch duševnej činnosti, treba v prvom rade poukázať na niekoľko mylných predstáv, ktoré sú medzi učiteľmi bežné.

Po prvé, mnohí veria, že matematické schopnosti spočívajú predovšetkým v schopnosti rýchlo a presne počítať (najmä v mysli). V skutočnosti výpočtové schopnosti zďaleka nie sú vždy spojené s formovaním skutočne matematických (tvorivých) schopností. Po druhé, veľa ľudí si myslí, že predškoláci schopní matematiky majú dobrú pamäť na vzorce, čísla, čísla. Ako však upozorňuje akademik A. N. Kolmogorov, úspech v matematike je najmenej zo všetkého založený na schopnosti rýchlo a pevne si zapamätať veľké množstvo faktov, čísel, vzorcov. Napokon sa verí, že jedným z ukazovateľov matematických schopností je rýchlosť myšlienkových procesov. Obzvlášť rýchle tempo práce samo o sebe nesúvisí s matematickými schopnosťami. Dieťa môže pracovať pomaly a neunáhlene, no zároveň premyslene, tvorivo, úspešne napredovať v asimilácii matematiky.

Krutetsky V.A. v knihe „Psychológia matematických schopností predškolákov“ rozlišuje deväť schopností (zložiek matematických schopností):

1) Schopnosť formalizovať matematický materiál, oddeliť formu od obsahu, abstrahovať od konkrétnych kvantitatívnych vzťahov a priestorových foriem a operovať s formálnymi štruktúrami, štruktúrami vzťahov a väzieb;

2) Schopnosť zovšeobecňovať matematický materiál, izolovať to hlavné, abstrahovať od nepodstatného, ​​vidieť všeobecné v navonok odlišnom;

3) Schopnosť pracovať s číselnými a symbolickými symbolmi;

4) Schopnosť „konzistentného, ​​správne rozdeleného logického uvažovania“, spojená s potrebou dôkazov, odôvodnení, záverov;

5) Schopnosť zredukovať proces uvažovania, myslieť v zrútených štruktúrach;

6) Schopnosť reverzibility myšlienkového procesu (k prechodu od priameho k spätnému mysleniu);

7) Flexibilita myslenia, schopnosť prejsť z jednej mentálnej operácie do druhej, oslobodenie od obmedzujúceho vplyvu vzorov a šablón;

8) Matematická pamäť. Dá sa predpokladať, že jej charakteristické črty vyplývajú aj z čŕt matematickej vedy, že je pamäťou na zovšeobecnenia, formalizované štruktúry, logické schémy;

9) Schopnosť priestorových zobrazení, ktorá priamo súvisí s prítomnosťou takého odvetvia matematiky, ako je geometria.

Bibliografia

1. Aristová, L. Činnosť výučby študenta [Text] / L. Aristova. - M: Osvietenstvo, 1968.

2. Balk, M.B. Matematika po škole [Text]: príručka pre učiteľov / M.B. Balk, G.D. Balk. - M: Osvietenstvo, 1671. - 462. roky.

3. Vinogradová, M.D. Kolektívna kognitívna aktivita a vzdelávanie školákov [Text] / M.D. Vinogradová, I.B. Pervin. - M: Osvietenstvo, 1977.

4. Vodžinský, D.I. Zvyšovanie záujmu o vedomosti u adolescentov [Text] / D.I. Vodžinský. - M: Uchpedgiz, 1963. - 183s.

5. Ganičev, Yu. Intelektuálne hry: otázky ich klasifikácie a rozvoja [Text] // Vzdelávanie školáka, 2002. - č.

6. Gelfand, M.B. Mimoškolská práca z matematiky na osemročnej škole [Tex] / M.B. Gelfand. - M: Osvietenstvo, 1962. - 208. roky.

7. Gornostaev, P.V. Hrajte sa alebo študujte v triede [Text] // Matematika v škole, 1999. - č.1.

8. Domoryad, A.P. Matematické hry a zábava [Text] / A.P. Domoryad. - M: Štát. vydanie Fyzikálnej a matematickej literatúry, 1961. - 267s.

9. Dyshinsky, E.A. Herná knižnica matematického krúžku [Text] / E.A. Dyšinskij. – 1972.-142s.

10. Hra v pedagogickom procese [Text] - Novosibirsk, 1989.

11. Hry - učenie, tréning, voľný čas [Text] / ed. V.V. Perušínsky. - M: Nová škola, 1994. - 368. roky.

12. Kalinin, D. Matematický krúžok. Nové herné technológie [Text] // Matematika. Príloha novín "Prvý september", 2001. - č.28.

13. Kovalenko, V.G. Didaktické hry na hodinách matematiky [Text]: kniha pre učiteľa / V.G. Kovalenko. - M: Osvietenstvo, 1990. - 96. roky.

14. Kordemský, B.A. Zaujať školáka matematikou [Text]: materiál na vyučovanie a mimoškolské aktivity / B.A. Kordemsky. - M: Osveta, 1981. - 112s.

15. Kulko, V.N. Formovanie schopnosti žiakov učiť sa [Text] / V.N. Kulko, G.Ts. Cechmistrov. - M: Osvietenie, 1983.

16. Lenivenko, I.P. K problémom organizácie mimoškolských aktivít v 6.-7.ročníku [Text] // Matematika v škole, 1993. - č.4.

17. Makarenko, A.S. O výchove v rodine [Text] / A.S. Makarenko. - M: Uchpedgiz, 1955.

18. Metnlsky, N.V. Didaktika matematiky: všeobecná metodológia a jej problémy [Text] / N.V. Metelsky. - Minsk: Vydavateľstvo BGU, 1982. - 308. roky.

19. Minsky, E.M. Od hry k poznaniu [Text] / E.M. Minsky. - M: Osvietenie, 1979.

20. Morozová, N.G. Učiteľovi o kognitívnom záujme [Text] / N.G. Morozov. - M: Osveta, 1979. - 95. roky.

21. Pakhutina, G.M. Hra ako forma učiacej sa organizácie [text] / G.M. Pakhutina. - Arzamas, 2002.

22. Petrová, E.S. Teória a metódy vyučovania matematiky [Text]: Učebná pomôcka pre študentov matematických odborov / E.S. Petrov. - Saratov: Saratov University Press, 2004. - 84s.

23Samoylik, G. Edukačné hry [Text] // Matematika. Príloha novín "Prvý september", 2002. - č.24.

24. Sidenko, A. Herný prístup vo vyučovaní [Text] // Verejné školstvo, 2000. - č.8.

25Štěpanov, V.D. Aktivizácia mimoškolskej práce z matematiky na strednej škole [Text]: kniha pre učiteľa / V.D. Stepanov. - M: Osveta, 1991. - 80. roky.

26Talyzina, N.F. Formovanie kognitívnej aktivity žiakov [Text] / N.F. Talyzin. - M: Vedomosti, 1983. - 96. roky.

27Technológia hernej činnosti [Text]: študijná príručka / L.A. Bayková, L.K. Terenkina, O.V. Eremkin. - Ryazan: Vydavateľstvo RGPU, 1994. - 120s.

28 Nepovinné hodiny z matematiky v škole [Text] / komp. M.G. Luskin, V. I. Zubarev. - K: VGGU, 1995. - 38. roky

29Elkonin D.B. psychológia hier [text] / D.B. Elkonin. M: Pedagogika, 1978