čísla v trigonometrickom tvare.

Moivreov vzorec

Nech z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) az 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla je vhodná na vykonávanie operácií násobenia, delenia, umocňovania na celé číslo a extrakcie odmocniny stupňa n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Pri násobení dvoch komplexných čísel v trigonometrickej forme sa ich moduly vynásobia a ich argumenty sa sčítajú. Pri delení ich moduly sú rozdelené a ich argumenty sú odčítané.

Dôsledkom pravidla násobenia komplexného čísla je pravidlo zvyšovania komplexného čísla na mocninu.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Tento pomer sa nazýva Moivreov vzorec.

Príklad 8.1 Nájdite súčin a podiel čísel:

A

Riešenie

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Príklad 8.2 Napíšte číslo v trigonometrickom tvare

∙
–i) 7.

Riešenie

Označme
a z2=
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arktan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arktan
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Extrahovanie odmocniny komplexného čísla

Definícia. Rootnmocnina komplexného čísla z (označiť
) je komplexné číslo w také, že w n = z. Ak z = 0, potom
= 0.

Nech z  0, z = r(cos + isin). Označme w = (cos + sin), potom napíšeme rovnicu w n = z v nasledujúcom tvare

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Preto  n = r,

 =

Teda wk =
·
.

Medzi týmito hodnotami je presne n rôznych.

Preto k = 0, 1, 2, …, n – 1.

V komplexnej rovine sú tieto body vrcholmi pravidelného n-uholníka vpísaného do kruhu s polomerom
so stredom v bode O (obrázok 12).

Obrázok 12

Príklad 9.1 Nájdite všetky hodnoty
.

Riešenie.

Predstavme si toto číslo v trigonometrickom tvare. Poďme nájsť jeho modul a argument.

w k =
kde k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

V komplexnej rovine sú tieto body vrcholy štvorca vpísaného do kruhu s polomerom
so stredom v počiatku (obrázok 13).

Obrázok 13 Obrázok 14

Príklad 9.2 Nájdite všetky hodnoty
.

Riešenie.

z = – 64 = 64 (cos +isin);

w k =
kde k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

V komplexnej rovine sú tieto body vrcholy pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu s polomerom 2 so stredom v bode O (0; 0) - obrázok 14.

§ 10 Exponenciálny tvar komplexného čísla.

Eulerov vzorec

Označme
= cos  + isin  a
= cos  - isin  . Tieto vzťahy sa nazývajú Eulerove vzorce .

Funkcia
má obvyklé vlastnosti exponenciálnej funkcie:

Nech sa komplexné číslo z zapíše v goniometrickom tvare z = r(cos + isin).

Pomocou Eulerovho vzorca môžeme napísať:

z = r
.

Tento záznam sa nazýva exponenciálny tvar komplexné číslo. Pomocou neho získame pravidlá pre násobenie, delenie, umocňovanie a extrakciu odmocniteľov.

Ak z 1 = r 1 ·
a z2 = r2 ·
?To

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, kde k = 0, 1, …, n – 1.

Príklad 10.1 Napíšte číslo v algebraickom tvare

z =
.

Riešenie.

Príklad 10.2 Riešte rovnicu z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Riešenie.

Pre akékoľvek komplexné koeficienty má táto rovnica dva korene z 1 a z 1 (pravdepodobne sa zhodujú). Tieto korene možno nájsť pomocou rovnakého vzorca ako v skutočnom prípade. Pretože
má dve hodnoty, ktoré sa líšia iba znamienkom, potom tento vzorec vyzerá takto:

Keďže –9 = 9 e  i, potom hodnoty
budú čísla:

Potom
A
.

Riešenie.

Požadované korene rovnice budú hodnoty
.

Pre z = –1 máme r = 1, arg(–1) = .

w k =
k = 0, 1, 2.

Cvičenia

9 Prítomné čísla v exponenciálnom tvare:

10 Napíšte čísla v exponenciálnych a algebraických formách:

11 Napíšte čísla v algebraických a geometrických tvaroch:

Je uvedených 12 čísel

Uveďte ich v exponenciálnej forme, nájdite
.

13 Pomocou exponenciálneho tvaru komplexného čísla vykonajte tieto kroky:

A)
b)

V)
G)

s a prirodzené číslo n 2 .

Komplexné číslo Z volal koreňn– c, Ak Z n = c.

Nájdite všetky hodnoty koreňa n– ach mocniny komplexného čísla s. Nechaj c=| c|·(cos Arg c+ i· hriech Args), A Z = | Z|·(sos Arg Z + i· hriech Arg Z) , Kde Z koreň n- ach mocniny komplexného čísla s. Potom to musí byť = c = | c|·(cos Arg c+ i· hriech Args). Z toho vyplýva
A n· Arg Z = Args
Arg Z =
(k=0,1,…) . teda Z =
(cos
+ i· hriech
), (k=0,1,…) . Je ľahké vidieť, že niektorá z hodnôt
, (k=0,1,…) sa líši od jednej zo zodpovedajúcich hodnôt
,(k = 0,1,…, n-1) viacnásobným 2π. Preto , (k = 0,1,…, n-1) .

Príklad.

Vypočítajme odmocninu z (-1).

, samozrejme |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i· hriech π )

, (k = 0,1).

= i

Moc s ľubovoľným racionálnym exponentom

Zoberme si ľubovoľné komplexné číslo s. Ak n teda prirodzené číslo s n = | c| n · (Sos nArgs +i· hriech nArgs)(6). Tento vzorec platí aj v prípade n = 0 (s≠0)
. Nechaj n < 0 A n Z A s ≠ 0, Potom

s n =
(cos nArgs+i·sin nArgs) = (cos nArgs+ i·sin nArgs) . Vzorec (6) teda platí pre všetky n.

Zoberme si racionálne číslo , Kde q prirodzené číslo a R je celý.

Potom pod stupňa c r budeme rozumieť číslu
.

Chápeme to ,

(k = 0, 1, …, q-1). Tieto hodnoty q kusov, ak zlomok nie je redukovateľný.

Prednáška č. 3 Limita postupnosti komplexných čísel

Komplexne hodnotená funkcia prirodzeného argumentu sa nazýva postupnosť komplexných čísel a je určený (S n ) alebo s 1 , S 2 , ..., S n . s n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) komplexné čísla.

s 1 , S 2 , … - členovia postupnosti; s n – spoločný člen

Komplexné číslo s = a+ b· i volal limit postupnosti komplexných čísel (c n ) , Kde s n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , kde pre hociktorého

že pred všetkými n > N nerovnosť platí
. Postupnosť s konečnou limitou sa nazýva konvergentné sekvencie.

Veta.

Aby sa vytvorila postupnosť komplexných čísel (s n ) (s n = a n + b n · i) konvergovalo k číslu s = a+ b· i, je nevyhnutné a postačujúce, aby rovnosť platilalim a n = a, lim b n = b.

Dôkaz.

Vetu dokážeme na základe nasledujúcej zjavnej dvojitej nerovnosti

, Kde Z = X + r· i (2)

Nevyhnutnosť. Nechaj lim(S n ) = s. Ukážme, že rovnosť je pravdivá lim a n = a A lim b n = b (3).

Jednoznačne (4)

Pretože
, Kedy n → ∞ , potom z ľavej strany nerovnosti (4) vyplýva, že
A
, Kedy n → ∞ . preto sú splnené rovnosti (3). Potreba bola preukázaná.

Primeranosť. Nech sú teraz splnené rovnosti (3). Z rovnosti (3) vyplýva, že
A
, Kedy n → ∞ , preto v dôsledku pravej strany nerovnosti (4) bude
, Kedy n→∞ , Prostriedky lim(S n )=c. Dostatočnosť bola preukázaná.

Takže otázka konvergencie postupnosti komplexných čísel je ekvivalentná s konvergenciou dvoch postupností reálnych čísel, preto všetky základné vlastnosti limity postupností reálnych čísel platia pre postupnosti komplexných čísel.

Napríklad pre postupnosti komplexných čísel platí Cauchyho kritérium: v poradí komplexných čísel (s n ) konverguje, je potrebné a postačujúce, aby pre akékoľvek

, že pre akékoľvekn, m > Nnerovnosť platí
.

Veta.

Nech postupnosť komplexných čísel (s n ) A (z n ) konvergujú k c a respz, potom sú rovnosti pravdivélim(S n z n ) = c z, lim(S n · z n ) = c· z. Ak je to s určitosťou známezsa nerovná 0, potom je rovnosť pravdivá
.