Základná učebnica matematickej analýzy, ktorá prešla mnohými vydaniami a preložená do mnohých cudzích jazykov, sa vyznačuje na jednej strane systematickým a dôsledným podaním a na druhej strane jednoduchým jazykom a podrobnými vysvetleniami. a množstvo príkladov ilustrujúcich teóriu.
Kurz je určený pre študentov vysokých škôl, pedagogických a technických vysokých škôl a je dlhodobo využívaný v rôznych vzdelávacích inštitúciách ako jedna z hlavných učebných pomôcok. Umožňuje študentovi nielen zvládnuť teoretickú látku, ale získať aj najdôležitejšie praktické zručnosti. Matematici kurz vysoko uznávajú ako jedinečnú zbierku rôznych faktov analýzy, z ktorých niektoré nemožno nájsť v iných knihách v ruštine.
Prvé vydanie vyšlo v roku 1948.
PREDSLOV REDAKCIE
Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu Grigorij Michajlovič Fikhtengolts je vynikajúce dielo vedeckej a pedagogickej literatúry, ktoré prešlo mnohými vydaniami a bolo preložené do mnohých cudzích jazykov. Kurz nemá obdobu, čo sa týka množstva preberaného faktografického materiálu, množstva rôznych aplikácií všeobecných viet v geometrii, algebre, mechanike, fyzike a technike. Mnohí známi moderní matematici poznamenávajú, že to bol práve Fikhtengolzov kurz, ktorý im v študentských rokoch vštepil chuť a lásku k matematickej analýze a dal im prvé jasné pochopenie tohto predmetu.
Za 50 rokov, ktoré uplynuli od prvého vydania Kurzu, jeho text prakticky nezastaral a v súčasnosti je stále použiteľný a využívajú ho študenti vysokých škôl, ale aj rôznych technických a pedagogických univerzít ako jedna z hlavné učebné pomôcky v matematickej analýze a priebehu vysokoškolského vzdelávania.matematika. Navyše, napriek tomu, že sa objavili nové dobré učebnice, čitateľská obec Kurzu G. M. Fikhtengoltsa sa počas jeho existencie len rozšírila a v súčasnosti zahŕňa študentov viacerých fyzikálnych a matematických lýceí, študentov pokročilých matematických kvalifikačných kurzov pre inžinierov.
Vysoký dopyt po kurze je spôsobený jeho jedinečnými vlastnosťami. Hlavným teoretickým materiálom zahrnutým v kurze je klasická časť modernej matematickej analýzy, ktorá sa nakoniec sformovala začiatkom 20. storočia (neobsahuje teóriu miery a všeobecnú teóriu množín). Táto časť analýzy sa vyučuje v prvých dvoch kurzoch vysokých škôl a je zahrnutá (celkovo alebo z veľkej časti) do programov všetkých vysokých škôl technického a pedagogického zamerania. Zväzok I kurzu obsahuje diferenciálny počet jednej a viacerých reálnych premenných a jeho hlavné aplikácie, Zväzok II je venovaný teórii Riemannovho integrálu a teórii sérií, Zväzok III - viacnásobným, krivočiarym a plošným integrálom, Stieltjes integrál, rad a Fourierova transformácia.
Obrovské množstvo príkladov a aplikácií, spravidla veľmi zaujímavých, z ktorých niektoré nemožno nájsť v inej literatúre v ruštine, je jednou z hlavných čŕt vyššie uvedeného kurzu.
Ďalšou podstatnou vlastnosťou je dostupnosť, detailnosť a dôkladnosť prezentácie materiálu. Významný objem kurzu sa nestáva prekážkou jeho asimilácie. Naopak, umožňuje autorovi venovať dostatočnú pozornosť motiváciám nových definícií a problémov, podrobným a dôkladným dôkazom hlavných teorémov a mnohým ďalším aspektom, ktoré čitateľovi uľahčujú pochopenie predmetu. Vo všeobecnosti je problém kombinácie jasnosti a dôslednosti prezentácie (neprítomnosť druhej jednoducho vedie k skresleniu matematických faktov) dobre známy každému učiteľovi. Obrovská pedagogická zručnosť Grigorija Michajloviča mu umožňuje v priebehu kurzu uvádzať mnoho príkladov riešenia tohto problému; to spolu s ďalšími okolnosťami robí z Kurzu nepostrádateľný model pre začínajúceho lektora a objekt výskumu pre špecialistov v metodológii vyučovania vyššej matematiky.
Ďalšou črtou kurzu je veľmi mierne použitie akýchkoľvek prvkov teórie množín (vrátane notácie). Zároveň je zachovaná plná prísnosť prezentácie; vo všeobecnosti, podobne ako pred 50 rokmi, tento prístup značnej časti čitateľov uľahčuje počiatočné zvládnutie predmetu.
V novom vydaní Kurzu od G. M. Fikhtengoltsa, ktoré je čitateľom ponúknuté, boli odstránené typografické chyby, ktoré sa našli v niekoľkých predchádzajúcich vydaniach. Publikácia je navyše opatrená stručnými komentármi týkajúcimi sa tých miest v texte (veľmi málo), pri práci s ktorými môže čitateľ pocítiť isté nepríjemnosti; poznámky sa robia najmä v prípadoch, keď sa výraz alebo slovné spojenie použité autorom nejakým spôsobom odlišuje od v súčasnosti najbežnejších. Za obsah poznámok je plne zodpovedný redaktor publikácie.
Redaktor je hlboko vďačný profesorovi B. M. Makarovovi, ktorý prečítal texty všetkých poznámok a vyjadril množstvo cenných názorov. Chcel by som sa poďakovať aj všetkým pracovníkom Katedry matematickej analýzy Fakulty matematiky a mechaniky Štátnej univerzity v Petrohrade, ktorí s autorom týchto riadkov diskutovali o rôznych problémoch týkajúcich sa textov predchádzajúcich vydaní a myšlienky tzv. nové vydanie kurzu.
Redakcia vopred ďakuje všetkým čitateľom, ktorí chcú svojimi komentármi ďalej skvalitňovať publikáciu.
A. A. Florinsky
Fikhtengolts G.M. (2003) Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu. T.1.
knihy. Stiahnite si knihy DJVU, PDF zadarmo. Bezplatná elektronická knižnica
G.M. Fikhtengoltz, Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu (zväzok 2)
Môžete (program to označí žltou farbou)
Zoznam kníh o vyššej matematike si môžete pozrieť zoradený podľa abecedy.
Môžete si pozrieť zoznam kníh o vyššej fyzike zoradený podľa abecedy.
Dámy a páni!! Ak chcete stiahnuť súbory elektronických publikácií bez „závad“, kliknite na podčiarknutý odkaz so súborom PRAVÉ tlačidlo myši vyberte príkaz "Uložiť cieľ ako ..." ("Uložiť cieľ ako...") a uložte súbor e-pub do svojho lokálneho počítača. Elektronické publikácie sú zvyčajne vo formátoch Adobe PDF a DJVU.
ÔSMA KAPITOLA. DERIVÁTOVÁ FUNKCIA (NEURČITÝ INTEGRÁL)
§ 1. Neurčitý integrál a najjednoduchšie spôsoby jeho výpočtu
263. Pojem primitívnej funkcie (a neurčitého integrálu)
264. Integrálny a plošný problém
265. Tabuľka základných integrálov
266. Najjednoduchšie integračné pravidlá
267. Príklady
268. Integrácia zmenou premennej
269. Príklady
270. Integrácia po častiach
271. Príklady
§ 2. Integrácia racionálnych výrazov
272. Vyhlásenie o integračnom probléme v konečnej podobe
273. Jednoduché zlomky a ich integrácia
274. Rozklad vlastných zlomkov na jednoduché
275. Stanovenie koeficientov. Integrácia vlastných zlomkov
276. Oddelenie racionálnej časti integrálu
277. Príklady
§ 3. Integrácia niektorých výrazov obsahujúcich radikály
278. Integrácia výrazov
279. Integrácia binomických diferenciálov. Príklady
280. Redukčné vzorce
281. Integrácia výrazov. Eulerove substitúcie
282. Geometrické spracovanie Eulerových substitúcií
283. Príklady
284. Iné metódy výpočtu
285. Príklady
§ 4. Integrácia výrazov obsahujúcich goniometrické a exponenciálne funkcie
286. Integrácia diferenciálov R(sin x, cos x)
287. Integrácia výrazov
288. Príklady
289. Prehľad iných prípadov
§ 5. Eliptické integrály
290. Všeobecné poznámky a definície
291. Pomocné premeny
292. Redukcia na kánonickú formu
293. Eliptické integrály 1., 2. a 3. druhu
DEVIATA KAPITOLA. DEFINÍCIA INTEGRÁLNA
§ 1. Definícia a podmienky existencie určitého integrálu
294. Iný prístup k plošnému problému
295. Definícia
296. Darboux sumy
297. Podmienka existencie integrálu
298. Triedy integrovateľných funkcií
299. Vlastnosti integrovateľných funkcií
300. Príklady a dodatky
301. Dolné a horné integrály ako limity
§ 2. Vlastnosti určitých integrálov
302. Integrál cez orientovaný interval
303. Vlastnosti vyjadrené rovnosťami
304. Vlastnosti vyjadrené nerovnosťami PO
305. Určitý integrál ako funkcia hornej hranice
306. Druhá veta o strednej hodnote
§ 3. Výpočet a transformácia určitých integrálov
307. Výpočet pomocou celočíselných súčtov
308. Základný vzorec integrálneho počtu
309. Príklady
310. Iné odvodenie hlavného vzorca
311. Redukčné vzorce
312. Príklady
313. Vzorec na zmenu premennej v určitom integráli
314. Príklady
315. Gaussov vzorec. Landenova transformácia
316. Iné odvodenie zmeny vzorca premennej
§ 4. Niektoré aplikácie určitých integrálov
317. Wallisova formula
318. Taylorov vzorec s dodatočným členom
319. Transcendencia čísla e
320. Legendrove mnohočleny
321. Integrálne nerovnosti
§ 5. Približný výpočet integrálov
322. Vyjadrenie problému. Vzorce pre obdĺžniky a lichobežníky
323 Parabolická interpolácia
324. Rozdelenie intervalu integrácie
325. Doplnkový člen vzorca obdĺžnikov
326. Doplnkový člen lichobežníkového vzorca
327. Dodatočný termín Simpsonovho vzorca
328. Príklady
DESIATA KAPITOLA. APLIKÁCIE INTEGRÁLNEHO POČTU V GEOMETRII, MECHANIKE A FYZIKE
§ 1. Dĺžka krivky
329 Výpočet dĺžky krivky
330. Iný prístup k definícii pojmu dĺžka krivky a jej výpočtu
331. Príklady
332. Prirodzená rovnica rovinnej krivky
333. Príklady
334. Dĺžka oblúka priestorovej krivky
§ 2. Plochy a objemy
335. Vymedzenie pojmu plocha. Aditívna vlastnosť
336. Oblasť ako limit
337. Triedy kvadratúrnych oblastí
338. Vyjadrenie plochy integrálom
339. Príklady
340. Vymedzenie pojmu objem. Jeho vlastnosti
341. Triedy telies s objemom
342. Vyjadrenie objemu integrálom
343. Príklady
344. Plocha rotácie
345. Príklady
346. Plocha valcového povrchu
347. Príklady
§ 3. Výpočet mechanických a fyzikálnych veličín
348. Schéma aplikácie určitého integrálu
349. Hľadanie statických momentov a ťažiska krivky
350. Príklady
351. Hľadanie statických momentov a ťažiska rovinného útvaru
352. Príklady
353. Mechanická práca
354. Príklady
355. Práca trecej sily v plochej päte
356. Úlohy na sčítanie nekonečne malých prvkov
§ 4. Najjednoduchšie diferenciálne rovnice
357. Základné pojmy. Rovnice prvého poriadku
358. Rovnice prvého stupňa vzhľadom na deriváciu. Separácia premenných
359. Úlohy
360. Poznámky k zostavovaniu diferenciálnych rovníc
361. Úlohy
JEDENÁSTA KAPITOLA. NEKONEČNÉ RADY S STÁLÝMI ČLENMI
§ 1. Úvod
362. Základné pojmy
363. Príklady
364. Základné vety
§ 2. Konvergencia kladných sérií
365. Podmienka pre konvergenciu pozitívneho radu
366. Vety o porovnávaní sérií
367. Príklady
368. Cauchyho a D'Alembertove znaky
369. Znamenie Raabe
370. Príklady
371. Znamenie Kummer
372. Gaussov príznak
373. Integrálny znak Maclaurina-Cauchyho
374. Znak Ermakov
375. Dodatky
§ 3. Konvergencia ľubovoľných sérií
376. Všeobecná podmienka pre konvergenciu radu
377. Absolútna konvergencia
378. Príklady
379. Mocninný rad, jeho interval konvergencie
380. Vyjadrenie polomeru konvergencie pomocou koeficientov
381. Striedavé série
382. Príklady
383. Ábelova premena
384. Znamenia Abela a Dirichleta
385. Príklady
§ 4. Vlastnosti konvergentných radov
386. Asociačné vlastníctvo
387. Komutatívna vlastnosť absolútne konvergentných radov
388. Prípad neabsolútne konvergentných sérií
389. Násobenie riadkov
390. Príklady
391. Všeobecná veta z teórie limitov
392. Ďalšie vety o násobení radov
§ 5. Opakované a dvojrady
393. Opakované riadky
394. Dvojrady
395. Príklady
396 Výkonový rad s dvoma premennými; oblasti konvergencie
397. Príklady
398. Viaceré riadky
§ 6. Nekonečné produkty
399. Základné pojmy
400. Príklady
401. Základné vety. Vzťah s riadkami
402. Príklady
§ 7. Rozšírenia elementárnych funkcií
403. rozšírenie funkcie v mocninnom rade; Taylorova séria
404. Expanzia v rade exponenciálnych, základných goniometrických funkcií atď.
405. Logaritmický rad
406. Stirlingova formula
407. Binomický rad
408. Rozklad sínusu a kosínusu na nekonečné súčiny
§ 8. Približné výpočty pomocou sérií. Konverzia série
409. Všeobecné poznámky
410. Výpočet počtu tt
411. Výpočet logaritmov
412. Výpočet koreňov
413. Transformácia Eulerovej série
414. Príklady
415. Kummerova premena
416. Markovova premena
§ 9. Sčítanie divergentných radov
417. Úvod
418. Metóda mocninových radov
419. Tauberova veta
420. Metóda aritmetických priemerov
421. Vzťah medzi Poisson-Abelovou a Cesarovou metódou
422. Hardyho-Landauova veta
423. Aplikácia zovšeobecneného sčítania na násobenie radov
424. Iné metódy zovšeobecneného sčítania radov
425. Príklady
426. Všeobecná trieda metód lineárneho pravidelného súčtu
KAPITOLA 12. FUNKČNÉ SEKVENCIE A SÉRIE
§ 1. Rovnomerná konvergencia
427. Úvodné poznámky
428. Rovnomerná a nejednotná konvergencia
429. Podmienka rovnomernej konvergencie
430. Kritériá pre rovnomernú konvergenciu sérií
§ 2. Funkčné vlastnosti súčtu radu
431. Spojitosť súčtu radu
432. Poznámka ku kvázi-jednotnej konvergencii
433. Prechod na limitný termín po termíne
434. Termínová integrácia sérií
435. Termínová diferenciácia sérií
436. Uhol pohľadu sekvencie
437. Spojitosť súčtu mocninového radu
438. Integrácia a diferenciácia mocninných radov
§ 3. Prihlášky
439. Príklady spojitosti súčtu radu a prechodu k limitnému členu po člene
440. Príklady integrácie sérií po členoch
441. Príklady členenia radov podľa členenia
442. Metóda postupných aproximácií v teórii implicitných funkcií
443. Analytická definícia goniometrických funkcií
444. Príklad spojitej funkcie bez derivácie
§ 4. Ďalšie informácie o mocninných radoch
445. Akcie na mocninných radoch
446. Nahradenie riadku radom
447. Príklady
448. Delenie mocninových radov
449. Bernoulliho čísla a rozšírenia, v ktorých sa vyskytujú
450. Riešenie rovníc v sérii
451. Inverzia mocninového radu
452. Lagrangeova séria
§ 5. Elementárne funkcie komplexnej premennej
453. Komplexné čísla
454. Komplexný variant a jeho limit
455. Funkcie komplexnej premennej
456. Mocninný rad
457. Exponenciálna funkcia
458. Logaritmická funkcia
459. Goniometrické funkcie a ich inverze
460. Funkcia napájania
461. Príklady
§ 6. Obálkové a asymptotické rady. Euler-Maclaurin vzorec
462. Príklady
463. Definície
464. Základné vlastnosti asymptotických expanzií
465. Odvodenie Euler-Maclaurinovho vzorca
466. Štúdium dodatočného termínu
467. Príklady výpočtov pomocou Euler-Maclaurinovho vzorca
468. Iná forma Euler-Maclaurinovho vzorca
469. Sterlingov vzorec a séria
TRINÁSTA KAPITOLA. Nesprávne integrály
§ 1. Nevlastné integrály s nekonečnými limitami
470. Definícia integrálov s nekonečnými limitami
471. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu
472. Príklady
473. Analógia so sériou. Najjednoduchšie vety
474. Konvergencia integrálu v prípade kladnej funkcie
475. Konvergencia integrálu vo všeobecnom prípade
476. Znamenia Abela a Dirichleta
477. Redukcia nesprávneho integrálu na nekonečný rad
478. Príklady
§ 2. Nevlastné integrály neobmedzených funkcií
479. Definícia integrálov neobmedzených funkcií
480. Poznámka o jednotných bodoch
481. Aplikácia základného vzorca integrálneho počtu Príklady
482. Podmienky a znaky existencie integrálu
483. Príklady
484. Hlavné hodnoty nesprávnych integrálov
485. Poznámka k zovšeobecneným hodnotám divergentných integrálov
§ 3. Vlastnosti a transformácia nevlastných integrálov
486. Najjednoduchšie vlastnosti
487. Vety o strednej hodnote
488 Integrácia po častiach v prípade nesprávnych integrálov
489. Príklady
490. Zmena premenných v nevlastných integráloch
491. Príklady
§ 4. Špeciálne metódy na výpočet nevlastných integrálov
492. Niektoré pozoruhodné integrály
493. Výpočet nevlastných integrálov pomocou integrálnych súčtov. Prípad integrálov s konečnými limitami
494. Prípad integrálov s nekonečnou hranicou
495 Frullani Integrals
496. Integrály racionálnych funkcií medzi nekonečnými limitami
497. Zmiešané príklady a cvičenia
§ 5. Približný výpočet nevlastných integrálov
498. Integrály s konečnými limitami; zvýraznenie funkcií
499. Príklady
500. Poznámka o približnom výpočte vlastných integrálov
501. Približný výpočet nevlastných integrálov s nekonečnou limitou
502. Použitie asymptotických expanzií
KAPITOLA ŠTRNÁSŤ. INTEGRÁLY V ZÁVISLOSTI NA PARAMETRE
§ 1. Elementárna teória
503. Vyhlásenie problému
504. Rovnomerná aspirácia na limitnú funkciu
505. Permutácia dvoch prechodov na limit
506. Prechod na hranicu pod znamienkom integrálu
507. Diferenciácia pod znakom integrálu
508. Integrácia pod znakom integrálu
509. Prípad, kedy a hranice integrálu závisia od parametra
510. Zavedenie násobiteľa závislého len od x
511. Príklady
512. Gaussovský dôkaz základnej vety algebry
§ 2. Rovnomerná konvergencia integrálov
513. Definícia rovnomernej konvergencie integrálov
514. Podmienka rovnomernej konvergencie. Vzťah s riadkami
515. Dostatočné testy na rovnomernú konvergenciu
516. Ďalší prípad rovnomernej konvergencie
517. Príklady
§ 3. Použitie rovnomernej konvergencie integrálov
518. Prechod na limitu pod znamienkom integrálu
519. Príklady
520. Spojitosť a diferencovateľnosť integrálu vzhľadom na parameter
521. Integrácia cez parameter
522. Aplikácia na výpočet určitých integrálov
523. Príklady na diferenciáciu podľa integrálneho znaku
524. Príklady integrácie pod znamienkom integrálu
§ 4. Dodatky
525. Arzelova lemma
526. Prechod na limitu pod znamienkom integrálu
527. Diferenciácia pod znakom integrálu
528. Integrácia pod znakom integrálu
§ 5. Eulerove integrály
529. Eulerov integrál prvého druhu
530. Eulerov integrál druhého druhu
531. Najjednoduchšie vlastnosti funkcie Γ
532. Jedinečná definícia funkcie Γ jej vlastnosťami
533. Ďalšia funkčná charakteristika funkcie Г
534. Príklady
535. Logaritmická derivácia funkcie Г
536. Veta o násobení pre funkciu Г
537. Niektoré rozšírenia do sérií a produktov
538. Príklady a dodatky
539. Výpočet určitých určitých integrálov
540. Stirlingova formula 9
541 Výpočet Eulerovej konštanty
542. Zostavenie tabuľky desiatkových logaritmov funkcie G
KAPITOLA Pätnásta. KRIVÉ INTEGRÁLY. Stieltjes integrál
§ 1. Krivkové integrály prvého typu 11
543. Definícia krivočiareho integrálu prvého typu 11
544. Redukcia na obyčajný určitý integrál 13
545. Príklady 15
§ 2. Krivkové integrály druhého typu 20
546. Definícia krivočiarych integrálov druhého typu 20
547. Existencia a výpočet krivočiareho integrálu druhého typu
548. Prípad uzavretého okruhu. Orientácia v rovine 25
549. Príklady 27
550. Aproximácia pomocou integrálu prevzatého prerušovanou čiarou 30
551 Výpočet plôch pomocou krivočiarych integrálov 32
552. Príklady 35
553. Vzťah medzi krivočiarymi integrálmi oboch typov 38
554. Fyzikálne úlohy 40 § 3. Podmienky nezávislosti krivočiareho integrálu od dráhy 45
555. Vyjadrenie problému, súvislosť s otázkou presného diferenciálu 45
556. Odvodenie integrálu nezávislého od dráhy 46
557. Výpočet krivočiareho integrálu cez primitívnu 49
558. Test presného diferenciálu a nájdenie primitívneho prvku v prípade pravouhlej oblasti
559. Zovšeobecnenie na prípad ľubovoľného regiónu 52
560. Konečné výsledky 55
561 Integrály s uzavretou slučkou 56
562. Prípad jednoducho prepojeného regiónu alebo prítomnosť singulárnych bodov 57
563. Gaussov integrál 62
564. Trojrozmerný prípad 64
565. Príklady 67
566. Aplikácia na telesné problémy 71
§ 4. Funkcie s obmedzenou variáciou 74
567. Definícia funkcie s obmedzenou zmenou 74
568. Triedy funkcií s obmedzenou variáciou 76
569. Vlastnosti funkcií s obmedzenou variáciou 79
570. Kritériá pre funkcie s obmedzenou zmenou 82
571 Spojité funkcie s ohraničenou variáciou 84
572 Napraviteľné krivky 87
§ 5. Stieltjesov integrál 89
573. Definícia Stieltjesovho integrálu 89
574 Všeobecné podmienky existencie integrálu Stieltjes 91
575. Triedy prípadov existencie Stieltjesovho integrálu 92
576 Vlastnosti Stieltjes Integral 95
577. Integrácia podľa častí 97
578 Redukcia Stieltjesovho integrálu na Riemannov integrál 98
579 Výpočet Stieltjesových integrálov 100
580. Príklady 104
581. Geometrické znázornenie Stieltjesovho integrálu 111
582. Priemerná veta, odhady 112
583 Prechod na limit pod znamienkom Stieltjesovho integrálu 114
584. Príklady a dodatky 115
585. Redukcia krivočiareho integrálu druhého typu na Stieltjesov integrál
ŠESTNÁSTA KAPITOLA. DVOJITÉ INTEGRÁLY
§ 1. Definícia a elementárne vlastnosti dvojitého integrálu 122
586. Problém objemu valcovej tyče 122
587. Redukcia dvojitého integrálu na iterovaný 123
588. Definícia dvojitého integrálu 125
589. Podmienky existencie dvojitého integrálu 127
590 Triedy integrovateľných funkcií 128
591. Dolné a horné integrály ako limity 130
592. Vlastnosti integrovateľných funkcií a dvojitých integrálov 131
593. Integrál ako aditívna funkcia regiónu; regionálnej diferenciácie
§ 2. Výpočet dvojitého integrálu 137
594. Redukcia dvojitého integrálu na iterovaný v prípade pravouhlej oblasti
595. Príklady 141
596. Redukcia dvojitého integrálu na iterovaný v prípade krivočiarej oblasti
597. Príklady 152
598. Mechanické aplikácie 165
599. Príklady 167
§ 3. Greenova Formula 174
600. Odvodenie Greenovho vzorca 174
601. Aplikácia Greenovho vzorca na štúdium krivočiarych integrálov
602. Príklady a dodatky 179
§ 4. Zmena premenných v dvojitom integráli 182
603. Premena rovinatých plôch 182
604. Príklady 184
605. Vyjadrenie plochy v krivočiarych súradniciach 189
606. Doplňujúce poznámky 192
607. Geometrická derivácia 194
608. Príklady 196
609 Zmena premenných v dvojitých integráloch 204
610. Analógia s jednoduchým integrálom. Integrálna nadorientovaná oblasť
611. Príklady 207
§ 5. Nepravé dvojité integrály 214
612. Integrály rozšírené do neohraničenej oblasti 214
613. Veta o absolútnej konvergencii nevlastného dvojného integrálu
614. Redukcia dvojitého integrálu na iterovaný 219
615. Integrály neobmedzených funkcií 221
616 Zmena premenných v nesprávnych integráloch 223
617. Príklady 225
KAPITOLA 71. PLOCHA POVRCHU. POVRCHOVÉ INTEGRÁLY
§ 1. Obojstranné plochy 241
618. Povrchová strana 241
617. Príklady 243
620. Orientácia plôch a priestoru 244
621. Výber znamienka vo vzorcoch pre smerové kosínusy normály 246
622. Prípad kusa hladkého povrchu 247
§ 2. Oblasť zakriveného povrchu 248
623. Schwartz Príklad 248
624. Určenie plochy zakrivenej plochy 251
625. Poznámka 252
626. Existencia rozlohy a jej výpočet 253
627. Prístup cez vpísané polyedrické plochy 258
628. Špeciálne prípady plošného určenia 259
629. Príklady 260
§ 3. Plošné integrály prvého druhu 274
630. Definícia povrchového integrálu prvého typu 274
631. Redukcia na obyčajný dvojitý integrál 275
632. Mechanické aplikácie plošných integrálov prvého typu 277
633. Príklady 279
§ 4. Plošné integrály druhého druhu 285
634. Definícia plošného integrálu druhého typu 285
635. Najjednoduchšie zvláštne prípady 287
636. Všeobecný prípad 290
637. Detail dôkazu 292
638. Vyjadrenie objemu telesa plošným integrálom 293
639. Stokesov vzorec 297
640. Príklady 299
641. Aplikácia Stokesovho vzorca na štúdium krivočiarych integrálov v priestore
18. KAPITOLA. TROJITÉ A VIACNÁSOBNÉ INTEGRÁLY
§ 1. Trojný integrál a jeho výpočet 308
642. Problém výpočtu hmotnosti telesa 308
643. Trojitý integrál a podmienky jeho existencie 309
644. Vlastnosti integrovateľných funkcií a trojných integrálov 310
645. Hodnotenie trojitého integrálu rozšíreného na rovnobežník
646. Výpočet trojného integrálu na ľubovoľnej ploche 314
647 Nesprávne trojité integrály 315
648. Príklady 316
649. Mechanické aplikácie 323
650. Príklady 325
§ 2. Gaussov-Ostrogradského vzorec 333
651. Ostrogradského Formula 333
652. Aplikácia Ostrogradského vzorca na štúdium povrchových integrálov
653 Gaussov integrál 336
654. Príklady 338
§ 3. Zmena premenných v trojných integráloch 342
655. Transformácia priestorov a krivočiarych súradníc 342
656. Príklady 343
657 Vyjadrenie objemu v krivočiarych súradniciach 345
658. Doplňujúce poznámky 348
659. Geometrická derivácia 349
660. Príklady 350
661 Zmena premenných v trojitých integráloch 358
662. Príklady 359
663. Príťažlivosť od tela a potenciálu k vnútornému bodu 364
§ 4 Prvky vektorovej analýzy 366
664. Skaláre a vektory 366
665. Skalárne a vektorové polia 367
666. Prechod 368
667 Vektorový tok cez povrch 370
668. Ostrogradského vzorec. Divergencia 371
669. Obeh vektorov. Stokesov vzorec. Víchrica 372
670. Špeciálne polia 374
671. Inverzný problém vektorovej analýzy 378
672. Prihlášky 378
§ 5. Viacnásobné integrály 384
673. Problém príťažlivosti a potenciálu dvoch telies 384
674. Objem n-rozmerného telesa, n-násobný integrál 386
675 Zmena premenných v n-násobnom integráli 388
676. Príklady 391
KAPITOLA 19. SÉRIA FOURIER
§ 1 Úvod 414
677 Periodické veličiny a harmonická analýza 414
678. Stanovenie koeficientov Euler-Fourierovou metódou 417
679. Ortogonálne sústavy funkcií 419
680. Trigonometrická interpolácia 424
§ 2. Fourierove rozšírenie funkcií 427
681. Vyjadrenie otázky. Dirichletov integrál 427
682. Prvá hlavná lemma 429
683. Princíp lokalizácie 432
684. Diniho a Lipschitzov test na konvergenciu Fourierovho radu 433
685. Druhá hlavná lemma 436
686. Znamenie Dirichlet-Jordan 438
687. Prípad neperiodickej funkcie 440
688. Prípad ľubovoľného intervalu 441
689. Rozšírenia len v kosínusoch alebo len v sínusoch 442
690. Príklady 446
691. Rozklad In T(x) 461
§ 3. Dodatky 463
692. Séria s klesajúcimi koeficientmi 463
693. Sumácia goniometrických radov pomocou analytických funkcií komplexnej premennej
694. Príklady 472
695. Komplexná forma Fourierovej série 477
696. Konjugovaný rad 480
697 Viacnásobná Fourierova séria 483
§ 4. Povaha konvergencie Fourierovho radu 484
698. Niektoré dodatky k hlavným lemám 484
699. Testy rovnomernej konvergencie Fourierovho radu 487
700 Správanie Fourierovho radu blízko bodu diskontinuity; špeciálny prípad 490
701. Prípad svojvoľnej funkcie 495
702. Singularity Fourierovho radu; predbežné poznámky 497
703. Konštrukcia singularít 500
§ 5. Odhad zvyšku v závislosti od diferenciálnych vlastností funkcie 502
704. Súvislosť medzi Fourierovými koeficientmi funkcie a jej deriváciami 502
705 Odhad čiastkového súčtu v prípade obmedzenej funkcie 503
706 Odhad zvyšku v prípade funkcie s ohraničenou k-tou deriváciou 505
707. Prípad funkcie s k-tou deriváciou s ohraničenou variáciou
708. Vplyv diskontinuít funkcie a jej derivácií na rádovo malosť Fourierových koeficientov
709. Prípad funkcie definovanej v intervale 514
710. Spôsob extrakcie prvkov 516
§ 6. Fourierov integrál 524
711. Fourierov integrál ako limitný prípad Fourierovho radu 524
712. Predbežné poznámky 526
713. Dostatok znakov 527
714. Úprava základného predpokladu 529
715. Rôzne formy Fourierovho vzorca 532
716. Fourierova transformácia 534
717. Niektoré vlastnosti Fourierových transformácií 537
718. Príklady a dodatky 538
719. Prípad funkcie dvoch premenných 545
Časť 7 Dodatky 547
720. Vyjadrenie excentrickej anomálie planéty z hľadiska jej strednej anomálie
721. Problém kmitania struny 549
722. Problém šírenia tepla v konečnej tyči 553
723. Prípad nekonečného prúta 557
724. Úprava limitných podmienok 559
725. Rozloženie tepla v okrúhlej doske 561
726 Praktická harmonická analýza Schéma pre dvanásť ordinátov
727. Príklady 565
728. Schéma pre dvadsaťštyri ordinátov 569
729. Príklady 570
730. Porovnanie približných a presných hodnôt Fourierových koeficientov
KAPITOLA DVADSIATA. SÉRIA FOURIER (pokračovanie)
§ 1. Operácie na Fourierových radoch. Úplnosť a uzavretosť 574
731. Jednorazová integrácia Fourierovej série 574
732. Diferenciácia pojmov Fourierovho radu 577
733. Úplnosť goniometrickej sústavy 578
734. Rovnomerná aproximácia funkcií. Weierstrassove vety 580
735. Aproximácia funkcií na priemer. Extrémne vlastnosti segmentov Fourierovho radu
736. Uzatvorenosť goniometrickej sústavy. Ljapunovova veta 586
737. Zovšeobecnená uzatváracia rovnica 589
738. Násobenie Fourierovho radu 592
739. Niektoré aplikácie uzavieracej rovnice 593
§ 2. Aplikácia metód zovšeobecneného súčtu na Fourierov rad 599
740. Hlavná lemma 599
741. Poisson-Abelov súčet Fourierovej série 601
742. Riešenie Dirichletovej úlohy pre kruh 605
743. Sumácia Fourierových radov Ces'aro-Fejérovou metódou 607
744. Niektoré aplikácie zovšeobecneného súčtu Fourierovho radu 609
745. Diferenciácia termínov Fourierových radov 611
§ 3. Jedinečnosť goniometrického rozšírenia funkcie 613
746. Pomocné tvrdenia o zovšeobecnených derivátoch 613
747. Riemannova metóda sčítania trigonometrických radov 616
748. Lema o koeficientoch konvergentného radu 620
749. Jedinečnosť goniometrickej expanzie 621
750. Záverečné vety o Fourierovom rade 623
751. Zovšeobecnenie 626
DOPLNENIE. VŠEOBECNÝ POHĽAD NA LIMITE
752. Rôzne druhy limitov, s ktorými sa stretávame pri analýze 631
753. Objednané sady (Správne) 632
754. Objednané sady (vo zovšeobecnenom zmysle) 633
755. Usporiadaná premenná a jej limit 636
756. Príklady 637
757. Poznámka o limite funkcie 639
758. Rozšírenie teórie limitov 640
759. Rovnako usporiadané premenné 643
760 Objednávanie s číselným parametrom 644
761. Redukcia na variant 645
762. Najväčšie a najmenšie limity usporiadanej premennej 647
