V tejto lekcii sa naučíme, ako aplikovať vzorce a pravidlá diferenciácie.
Príklady. Nájdite derivácie funkcií.
1. y = x 7 + x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 9. Uplatňovanie pravidla ja, vzorce 4, 2 a 1. Dostaneme:
y'=7x 6 +5x4-4x3+3x2-2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Riešime podobne, pomocou rovnakých vzorcov a vzorca 3.
y’=3∙6x 5-2=18x 5-2.
Uplatňovanie pravidla ja, vzorce 3, 5
A 6
A 1.
Uplatňovanie pravidla IV, vzorce 5 A 1 .
V piatom príklade podľa pravidla ja derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií a práve sme našli deriváciu 1. člena (príklad 4 ), preto nájdeme deriváty 2 A 3 podmienky a za 1 termín, môžeme hneď napísať výsledok.
Rozlišovanie 2 A 3 termíny podľa vzorca 4
. Aby sme to dosiahli, transformujeme korene tretieho a štvrtého stupňa v menovateľoch na mocniny so zápornými exponentmi a potom podľa 4
formule, nájdeme deriváty mocnín.
Pozrite si tento príklad a výsledok. Zachytili ste vzor? Dobre. To znamená, že máme nový vzorec a môžeme ho pridať do našej tabuľky derivátov.
Vyriešme šiesty príklad a odvodíme ešte jeden vzorec.
Používame pravidlo IV a vzorec 4
. Výsledné frakcie zredukujeme.
Pozrime sa na túto funkciu a jej deriváciu. Vy ste, samozrejme, pochopili vzorec a ste pripravení pomenovať vzorec:
Naučte sa nové vzorce!
Príklady.
1. Nájdite prírastok argumentu a prírastok funkcie y= x2 ak bola počiatočná hodnota argumentu 4 a nové 4,01 .
Riešenie.
Nová hodnota argumentu x \u003d x 0 + Δx. Dosaďte údaje: 4,01=4+Δx, teda prírastok argumentu Δх= 4,01-4 = 0,01. Prírastok funkcie sa podľa definície rovná rozdielu medzi novou a predchádzajúcou hodnotou funkcie, t.j. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Keďže máme funkciu y=x2, To Δy\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
odpoveď: prírastok argumentov Δх=0,01; prírastok funkcie Δy=0,0801.
Prírastok funkcie bolo možné nájsť iným spôsobom: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.
2. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y=f(x) v bode x 0, Ak f "(x 0) \u003d 1.
Riešenie.
Hodnota derivátu v bode kontaktu x 0 a je hodnotou dotyčnice sklonu dotyčnice (geometrický význam derivácie). Máme: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45°, pretože tg45°=1.
odpoveď: dotyčnica ku grafu tejto funkcie zviera s kladným smerom osi Ox uhol rovný 45°.
3. Odvoďte vzorec pre deriváciu funkcie y=xn.
Diferenciácia je akt nájdenia derivácie funkcie.
Pri hľadaní derivátov sa používajú vzorce, ktoré boli odvodené na základe definície derivátu, rovnako ako sme odvodili vzorec pre stupeň derivátu: (x n)" = nx n-1.
Tu sú vzorce.
Tabuľka derivátovľahšie sa zapamätá vyslovením verbálnych formulácií:
1. Derivácia konštantnej hodnoty je nula.
2. X zdvih sa rovná jednej.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie.
4. Derivácia stupňa sa rovná súčinu exponentu tohto stupňa podľa stupňa s rovnakým základom, ale exponent je o jeden menší.
5. Derivácia koreňa sa rovná jednej delenej dvoma rovnakými koreňmi.
6. Derivácia jednoty delená x je mínus jedna delená x na druhú.
7. Derivácia sínusu sa rovná kosínusu.
8. Derivácia kosínusu sa rovná mínus sínusu.
9. Derivácia dotyčnice sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu.
10. Derivácia kotangensu je mínus jedna delená druhou mocninou sínusu.
Učíme pravidlá diferenciácie.
1.
Derivácia algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu derivačných členov.
2. Derivát súčinu sa rovná súčinu derivácie prvého faktora druhým plus súčinu prvého faktora derivácie druhého.
3. Derivácia „y“ delená „ve“ sa rovná zlomku, v čitateli ktorého „y je ťah vynásobený „ve“ mínus „y, vynásobený ťahom“ a v menovateli – „ve na druhú “.
4. Špeciálny prípad vzorca 3.
Poďme sa spolu učiť!
Strana 1 z 1 1
Pri odvodení úplne prvého vzorca tabuľky budeme vychádzať z definície derivácie funkcie v bode. Vezmime kam X- akékoľvek reálne číslo, tj. X– ľubovoľné číslo z oblasti definície funkcie . Napíšme limit pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu na: 
Treba poznamenať, že pod znamienkom limity sa získa výraz, ktorý nie je neistota nuly delená nulou, pretože čitateľ neobsahuje nekonečne malú hodnotu, ale práve nulu. Inými slovami, prírastok konštantnej funkcie je vždy nula.
teda derivácia konštantnej funkciesa rovná nule na celej doméne definície.
Derivácia mocninovej funkcie.
Vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie má tvar 
, kde exponent p je akékoľvek reálne číslo.
Dokážme najprv vzorec pre prirodzený exponent, teda pre p = 1, 2, 3, ...
Použijeme definíciu derivátu. Napíšme limitu pomeru prírastku mocninnej funkcie k prírastku argumentu: 
Aby sme zjednodušili výraz v čitateli, obrátime sa na Newtonov binomický vzorec: 
teda 
To dokazuje vzorec pre deriváciu mocninnej funkcie pre prirodzený exponent.
Derivácia exponenciálnej funkcie.
Odvodený vzorec odvodíme na základe definície:
Došlo k neistote. Na jej rozšírenie uvádzame novú premennú , a pre . Potom . Pri poslednom prechode sme použili vzorec na prechod na nový základ logaritmu.
Vykonajte substitúciu v pôvodnom limite: 
Ak si spomenieme na druhú pozoruhodnú limitu, dostaneme sa k vzorcu pre deriváciu exponenciálnej funkcie: 
Derivácia logaritmickej funkcie.
Dokážme vzorec pre deriváciu logaritmickej funkcie pre všetkých X z rozsahu a všetkých platných základných hodnôt a logaritmus. Podľa definície derivátu máme: 
Ako ste si všimli, v dôkaze boli transformácie vykonané pomocou vlastností logaritmu. Rovnosť 
platí kvôli druhej pozoruhodnej hranici.
Derivácie goniometrických funkcií.
Aby sme odvodili vzorce pre derivácie goniometrických funkcií, budeme si musieť pripomenúť niektoré trigonometrické vzorce, ako aj prvú pozoruhodnú limitu.
Podľa definície derivácie funkcie sínus máme 
.
Na rozdiel sínusov používame vzorec: 
Zostáva sa obrátiť na prvý pozoruhodný limit: 
Takže derivácia funkcie hriech x Existuje cos x.
Vzorec pre kosínusový derivát je dokázaný presne rovnakým spôsobom. 
Preto derivácia funkcie cos x Existuje - hriech x.
Odvodenie vzorcov pre tabuľku derivácií pre tangens a kotangens sa uskutoční pomocou osvedčených pravidiel diferenciácie (derivácia zlomku). 
Deriváty hyperbolických funkcií.
Pravidlá diferenciácie a vzorec pre deriváciu exponenciálnej funkcie z tabuľky derivácií nám umožňujú odvodiť vzorce pre derivácie hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. 
Derivácia inverznej funkcie.
Aby v prezentácii nedošlo k zámene, označme v dolnom indexe argument funkcie, ktorou sa derivácia vykonáva, teda je to derivácia funkcie. f(x) Autor: X.
Teraz formulujeme pravidlo na nájdenie derivácie inverznej funkcie.
Nechajte funkcie y = f(x) A x = g(y) vzájomne inverzné, definované na intervaloch resp. Ak v určitom bode existuje konečná nenulová derivácia funkcie f(x), potom v bode existuje konečná derivácia inverznej funkcie g(y), a 
. V inom zázname 
.
Toto pravidlo je možné preformulovať pre kohokoľvek X z intervalu , potom dostaneme 
.
Overme si platnosť týchto vzorcov.
Nájdite inverznú funkciu pre prirodzený logaritmus 
(Tu r je funkcia a X- argument). Riešenie tejto rovnice pre X, dostaneme (tu X je funkcia a r jej argument). teda 
a vzájomne inverzné funkcie.
Z tabuľky derivátov to vidíme 
A 
.
Uistime sa, že vzorce na nájdenie derivácií inverznej funkcie nás vedú k rovnakým výsledkom: 
Operácia hľadania derivátu sa nazýva diferenciácia.
V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) boli prví, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov.
Preto v našej dobe, aby sme našli deriváciu akejkoľvek funkcie, nie je potrebné vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku derivátov a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.
Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod znakom ťahu rozobrať jednoduché funkcie a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.
Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.
Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „X“ sa rovná jednej a derivácia sínusu je kosínus. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:
Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. Diferencovať ako deriváciu súčtu, v ktorej druhý člen s konštantným faktorom, možno vyňať zo znamienka derivácie:
Ak stále existujú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, spravidla sa vyjasnia po prečítaní tabuľky derivátov a najjednoduchších pravidiel diferenciácie. Práve k nim ideme.
Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií
| 1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy nula. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často | |
| 2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie „x“. Vždy sa rovná jednej. Toto je tiež dôležité mať na pamäti | |
| 3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte previesť iné ako odmocniny na mocninu. | |
| 4. Derivácia premennej na mocninu -1 | |
| 5. Derivácia odmocniny | |
| 6. Sínusová derivácia | |
| 7. Kosínový derivát |  |
| 8. Tangentová derivácia |  |
| 9. Derivácia kotangens |  |
| 10. Derivácia arksínusu |  |
| 11. Derivácia oblúkového kosínusu |  |
| 12. Derivácia arkustangens |  |
| 13. Derivácia inverznej tangenty |  |
| 14. Derivácia prirodzeného logaritmu | |
| 15. Derivácia logaritmickej funkcie |  |
| 16. Derivácia exponentu | |
| 17. Derivácia exponenciálnej funkcie |
Pravidlá diferenciácie
| 1. Derivát súčtu alebo rozdielu |  |
| 2. Derivát produktu |  |
| 2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom | |
| 3. Derivácia kvocientu |  |
| 4. Derivácia komplexnej funkcie |  |
Pravidlo 1Ak funkcie
sú v určitom bode diferencovateľné, potom v tom istom bode funkcie
a
tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.
Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantou, potom ich derivácie sú, t.j.
Pravidlo 2Ak funkcie
sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt v rovnakom bode tiež diferencovateľný
a
tie. derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.
Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:
Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého z faktorov a všetkých ostatných.
Napríklad pre tri multiplikátory:
Pravidlo 3Ak funkcie
v určitom bode rozlíšiteľné A , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľný.u/v a
tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa .
Kde hľadať na iných stránkach
Pri hľadaní derivácie súčinu a kvocientu v reálnych úlohách je vždy potrebné aplikovať viacero pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto derivácie."Derivácia produktu a kvocient".
Komentujte. Konštantu (čiže číslo) by ste si nemali zamieňať za člen v súčte a za konštantný faktor! V prípade člena sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Toto je typická chyba, ktorá sa vyskytuje v počiatočnom štádiu štúdia derivátov, ale keďže priemerný študent rieši niekoľko jedno-dvojzložkových príkladov, priemerný študent už túto chybu nerobí.
A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (takýto prípad je analyzovaný v príklade 10) .
Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie venovaný samostatnému článku. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.
Po ceste sa nezaobídete bez transformácií výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručky v novom systéme Windows Akcie so silami a koreňmi A Akcie so zlomkami .
Ak hľadáte riešenia na derivácie s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá 
, potom postupujte podľa lekcie "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami".
Ak máte úlohu napr 
, potom ste na lekcii "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií".
Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát
Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. Určujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, z ktorých druhý obsahuje konštantný súčiniteľ. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií a derivácie druhej:
Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade v každom súčte druhý člen so znamienkom mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže "x" sa zmení na jeden a mínus 5 - na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce hodnoty derivátov:
Nájdené derivácie dosadíme do súčtu súčinov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:
Príklad 4 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalého čitateľa. Dostaneme:
Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabudnime tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:
Ak hľadáte riešenia na také úlohy, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a stupňov, ako napr. 
potom vitaj v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami" .
Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom máte lekciu "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .
Príklad 5 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s ktorej deriváciou sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Podľa pravidla diferenciácie produktu a tabuľkovej hodnoty derivácie druhej odmocniny dostaneme:
Príklad 6 Nájdite deriváciu funkcie
Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhá odmocnina nezávislej premennej. Podľa pravidla diferenciácie kvocientu, ktoré sme zopakovali a použili v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:
Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateľovi, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .
Derivácia funkcie je jednou z najťažších tém v školských osnovách. Nie každý absolvent odpovie na otázku, čo je derivát.
Tento článok jednoducho a jasne vysvetľuje, čo je derivát a prečo je potrebný.. Teraz sa nebudeme snažiť o matematickú prísnosť prezentácie. Najdôležitejšie je pochopiť význam.
Pripomeňme si definíciu:
Derivácia je rýchlosť zmeny funkcie.
Na obrázku sú znázornené grafy troch funkcií. Ktorá podľa vás rastie najrýchlejšie?
Odpoveď je zrejmá - tretia. Má najvyššiu mieru zmeny, teda najväčší derivát.
Tu je ďalší príklad.
Kostya, Grisha a Matvey dostali prácu v rovnakom čase. Pozrime sa, ako sa zmenili ich príjmy v priebehu roka:
Všetko na grafe vidíte hneď, však? Kosťov príjem sa za šesť mesiacov viac ako zdvojnásobil. A Grishov príjem sa tiež zvýšil, ale len trochu. A Matejov príjem sa znížil na nulu. Východiskové podmienky sú rovnaké, ale rýchlosť zmeny funkcie, t.j. derivát, - rôzne. Pokiaľ ide o Matveyho, derivát jeho príjmu je vo všeobecnosti negatívny.
Intuitívne môžeme ľahko odhadnúť rýchlosť zmeny funkcie. Ale ako to urobíme?
V skutočnosti sa pozeráme na to, ako strmo stúpa graf funkcie nahor (alebo nadol). Inými slovami, ako rýchlo sa y mení s x. Je zrejmé, že tá istá funkcia v rôznych bodoch môže mať rôznu hodnotu derivácie – to znamená, že sa môže meniť rýchlejšie alebo pomalšie.
Derivácia funkcie sa označuje ako .
Ukážme si, ako nájsť pomocou grafu.
Nakreslí sa graf nejakej funkcie. Označte na ňom bod úsečkou. V tomto bode nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie. Chceme vyhodnotiť, ako strmo stúpa graf funkcie. Šikovná hodnota za to je dotyčnica sklonu dotyčnice.
Derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Upozorňujeme - ako uhol sklonu dotyčnice berieme uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi.
Niekedy sa študenti pýtajú, aká je dotyčnica ku grafu funkcie. Toto je priamka, ktorá má jediný spoločný bod s grafom v tejto časti, navyše, ako je znázornené na našom obrázku. Vyzerá to ako dotyčnica ku kruhu.
Poďme nájsť. Pamätáme si, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru protiľahlej nohy k susednej. Z trojuholníka:
Našli sme deriváciu pomocou grafu bez toho, aby sme poznali vzorec funkcie. Takéto úlohy sa často nachádzajú na skúške z matematiky pod číslom.
Je tu ešte jedna dôležitá súvislosť. Pripomeňme, že priamka je daná rovnicou
Množstvo v tejto rovnici sa nazýva sklon priamky. Rovná sa dotyčnici uhla sklonu priamky k osi.
.
Chápeme to
Zapamätajme si tento vzorec. Vyjadruje geometrický význam derivácie.
Derivácia funkcie v bode sa rovná sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v tomto bode.
Inými slovami, derivácia sa rovná dotyčnici sklonu dotyčnice.
Už sme povedali, že tá istá funkcia môže mať v rôznych bodoch rôzne derivácie. Pozrime sa, ako derivácia súvisí so správaním funkcie.
Nakreslíme graf nejakej funkcie. Nechajte túto funkciu v niektorých oblastiach rásť a v iných znižovať a rôznymi rýchlosťami. A nech má táto funkcia maximálny a minimálny počet bodov.
V určitom bode sa funkcia zvyšuje. Dotyčnica ku grafu nakreslená v bode zviera ostrý uhol; s kladným smerom osi. Takže derivácia je v bode kladná.
V tomto bode naša funkcia klesá. Dotyčnica v tomto bode zviera tupý uhol; s kladným smerom osi. Keďže tangens tupého uhla je záporný, derivácia v bode je záporná.
Čo sa stane:
Ak je funkcia rastúca, jej derivácia je kladná.
Ak klesá, jeho derivácia je záporná.
A čo sa stane pri maximálnom a minime bodov? Vidíme, že v (maximálnom bode) a (minimálnom bode) je dotyčnica vodorovná. Preto je dotyčnica sklonu dotyčnice v týchto bodoch nulová a derivácia je tiež nulová.
Bod je maximálny bod. V tomto bode je zvýšenie funkcie nahradené poklesom. V dôsledku toho sa znamienko derivácie mení v bode z „plus“ na „mínus“.
V bode - minimálnom bode - sa derivácia tiež rovná nule, ale jej znamienko sa mení z "mínus" na "plus".
Záver: pomocou derivácie môžete zistiť všetko, čo nás o správaní funkcie zaujíma.
Ak je derivácia kladná, funkcia je rastúca.
Ak je derivácia záporná, funkcia je klesajúca.
V maximálnom bode je derivácia nula a mení znamienko z plus na mínus.
V minimálnom bode je derivácia tiež nulová a mení znamienko z mínus na plus.
Tieto zistenia zapíšeme vo forme tabuľky:
| zvyšuje | maximálny bod | klesajúci | minimálny bod | zvyšuje | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Urobme dve malé upresnenia. Pri riešení problému budete potrebovať jeden z nich. Ďalší - v prvom ročníku, s vážnejším štúdiom funkcií a derivátov.
Je možný prípad, keď sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, ale funkcia v tomto bode nemá ani maximum, ani minimum. Tento tzv :
V bode je dotyčnica ku grafu vodorovná a derivácia je nula. Pred bodom sa však funkcia zvýšila - a po bode sa naďalej zvyšuje. Znamienko derivátu sa nemení – zostalo kladné tak, ako bolo.
Stáva sa tiež, že v bode maxima alebo minima derivácia neexistuje. Na grafe to zodpovedá prudkému zlomu, keď nie je možné nakresliť dotyčnicu v danom bode.
Ako však nájsť deriváciu, ak funkcia nie je daná grafom, ale vzorcom? V tomto prípade platí
