Jednoducho povedané, ide o zeleninu varenú vo vode podľa špeciálnej receptúry. Zvážim dve počiatočné zložky (zeleninový šalát a vodu) a konečný výsledok - boršč. Geometricky si to možno predstaviť ako obdĺžnik, pričom jedna strana predstavuje šalát a druhá strana predstavuje vodu. Súčet týchto dvoch strán bude označovať boršč. Uhlopriečka a plocha takéhoto obdĺžnika „boršč“ sú čisto matematické pojmy a nikdy sa nepoužívajú v receptoch na boršč.
Ako sa šalát a voda premenia na boršč z matematického hľadiska? Ako sa súčet dvoch úsečiek môže stať trigonometriou? Aby sme to pochopili, potrebujeme lineárne uhlové funkcie.
V učebniciach matematiky nenájdete nič o lineárnych uhlových funkciách. Ale bez nich nemôže existovať matematika. Zákony matematiky, rovnako ako zákony prírody, fungujú bez ohľadu na to, či o ich existencii vieme alebo nie.
Lineárne uhlové funkcie sú zákony sčítania. Pozrite sa, ako sa algebra mení na geometriu a geometria na trigonometriu.
Je možné sa zaobísť bez lineárnych uhlových funkcií? Je to možné, pretože matematici sa zaobídu aj bez nich. Trik matematikov je v tom, že nám vždy hovoria len o tých problémoch, ktoré sami vedia vyriešiť, a nikdy nehovoria o problémoch, ktoré nevedia vyriešiť. Pozri. Ak poznáme výsledok sčítania a jedného člena, pomocou odčítania nájdeme druhý člen. Všetky. Iné problémy nepoznáme a nevieme, ako ich riešiť. Čo máme robiť, ak poznáme len výsledok sčítania a nepoznáme oba pojmy? V tomto prípade je potrebné výsledok sčítania rozložiť na dva členy pomocou lineárnych uhlových funkcií. Ďalej si sami vyberieme, čo môže byť jeden člen, a lineárne uhlové funkcie ukážu, aký by mal byť druhý člen, aby výsledok sčítania bol presne taký, aký potrebujeme. Takýchto dvojíc výrazov môže byť nekonečné množstvo. V bežnom živote sa máme dobre bez rozkladu súčtu, stačí nám odčítanie. Ale pri vedeckom výskume prírodných zákonov môže byť rozloženie sumy na jej zložky veľmi užitočné.
Ďalší zákon sčítania, o ktorom matematici neradi hovoria (ďalší z ich trikov), vyžaduje, aby výrazy mali rovnaké merné jednotky. Pre šalát, vodu a boršč to môžu byť jednotky hmotnosti, objemu, hodnoty alebo jednotky merania.
Obrázok ukazuje dve úrovne rozdielu pre matematické . Prvou úrovňou sú rozdiely v poli čísel, ktoré sú uvedené a, b, c. Toto robia matematici. Druhou úrovňou sú rozdiely v oblasti merných jednotiek, ktoré sú uvedené v hranatých zátvorkách a označené písmenom U. Toto robia fyzici. Môžeme pochopiť tretiu úroveň - rozdiely v oblasti popisovaných objektov. Rôzne objekty môžu mať rovnaký počet rovnakých merných jednotiek. Aké dôležité to je, môžeme vidieť na príklade borščovej trigonometrie. Ak k rovnakému označeniu jednotky pre rôzne objekty pridáme dolné indexy, môžeme presne povedať, aká matematická veličina popisuje konkrétny objekt a ako sa mení v čase alebo v dôsledku nášho konania. List W Vodu označím písmenom SŠalát označím písmenom B- boršč. Takto budú vyzerať lineárne uhlové funkcie pre boršč.
Ak zoberieme časť vody a časť šalátu, razom sa premenia na jednu porciu boršču. Tu vám navrhujem, aby ste si trochu oddýchli od boršču a zaspomínali si na svoje vzdialené detstvo. Pamätáte si, ako nás učili spájať zajačiky a kačice? Bolo potrebné zistiť, koľko zvierat tam bude. Čo nás vtedy naučili robiť? Naučili nás oddeľovať merné jednotky od čísel a sčítať čísla. Áno, k akémukoľvek inému číslu možno pridať jedno číslo. Toto je priama cesta k autizmu modernej matematiky – robíme to nepochopiteľne čo, nepochopiteľne prečo a veľmi zle rozumieme tomu, ako to súvisí s realitou, pretože kvôli trom úrovniam rozdielov matematici pracujú len s jednou. Správnejšie by bolo naučiť sa prechádzať z jednej meracej jednotky do druhej.
Zajačiky, kačice a malé zvieratká sa dajú spočítať na kusy. Jedna spoločná jednotka merania pre rôzne objekty nám umožňuje ich sčítanie. Toto je detská verzia problému. Pozrime sa na podobnú úlohu pre dospelých. Čo získate, keď k tomu pridáte zajačikov a peniaze? Tu sú dve možné riešenia.
Prvá možnosť. Určíme trhovú hodnotu zajačikov a pripočítame ju k dostupnej sume peňazí. Dostali sme celkovú hodnotu nášho bohatstva v peňažnom vyjadrení.
Druhá možnosť. K počtu bankoviek, ktoré máme, môžete pridať počet zajačikov. Množstvo hnuteľného majetku dostaneme po kusoch.
Ako vidíte, rovnaký zákon sčítania vám umožňuje získať rôzne výsledky. Všetko závisí od toho, čo presne chceme vedieť.
Ale vráťme sa k nášmu boršču. Teraz môžeme vidieť, čo sa stane pre rôzne hodnoty uhla lineárnych uhlových funkcií.
Uhol je nulový. Máme šalát, ale bez vody. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je tiež nulové. To vôbec neznamená, že nulový boršč sa rovná nule vody. Môže byť nulový boršč s nulovým šalátom (pravý uhol).
Pre mňa osobne je to hlavný matematický dôkaz toho, že . Nula po pridaní číslo nezmení. Stáva sa to preto, že samotné sčítanie nie je možné, ak existuje iba jeden výraz a druhý výraz chýba. Môžete to vnímať ako chcete, ale pamätajte – všetky matematické operácie s nulou vymysleli samotní matematici, takže zahoďte logiku a hlúpo napchajte definície vynájdené matematikmi: „delenie nulou je nemožné“, „akékoľvek číslo vynásobené nula sa rovná nule“, „za bodom vpichu nula“ a iné nezmysly. Stačí si raz zapamätať, že nula nie je číslo, a už nikdy nebudete mať otázku, či je nula prirodzené číslo alebo nie, pretože takáto otázka stráca zmysel: ako možno niečo, čo nie je číslo, považovať za číslo? ? Je to ako pýtať sa, do akej farby by mala byť klasifikovaná neviditeľná farba. Pridanie nuly k číslu je rovnaké ako maľovanie farbou, ktorá tam nie je. Zamávali sme suchým štetcom a všetkým sme povedali, že „maľovali sme“. Ale to som trochu odbočil.
Uhol je väčší ako nula, ale menší ako štyridsaťpäť stupňov. Máme veľa šalátu, ale málo vody. V dôsledku toho dostaneme hustý boršč.
Uhol je štyridsaťpäť stupňov. Máme rovnaké množstvo vody a šalátu. Toto je perfektný boršč (odpustite mi, kuchári, je to len matematika).
Uhol je väčší ako štyridsaťpäť stupňov, ale menší ako deväťdesiat stupňov. Máme veľa vody a málo šalátu. Dostanete tekutý boršč.
Pravý uhol. Máme vodu. Zo šalátu ostali len spomienky, keďže pokračujeme v meraní uhla od čiary, ktorá kedysi označovala šalát. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je nulové. V tomto prípade vydržte a pite vodu, kým ju máte)))
Tu. Niečo také. Môžem tu rozprávať iné príbehy, ktoré by sa sem hodili viac ako vhodné.
Dvaja priatelia mali podiely v spoločnom podniku. Po zabití jedného z nich prešlo všetko k druhému.
Vznik matematiky na našej planéte.
Všetky tieto príbehy sú rozprávané jazykom matematiky pomocou lineárnych uhlových funkcií. Inokedy vám ukážem skutočné miesto týchto funkcií v štruktúre matematiky. Medzitým sa vráťme k borščovej trigonometrii a zvážme projekcie.
Sobota 26. októbra 2019
Streda 7. augusta 2019
Na záver rozhovoru o, musíme zvážiť nekonečnú množinu. Ide o to, že pojem „nekonečno“ ovplyvňuje matematikov tak, ako boa constrictor ovplyvňuje králika. Chvejúca sa hrôza z nekonečna zbavuje matematikov zdravého rozumu. Tu je príklad:
Pôvodný zdroj sa nachádza. Alpha znamená skutočné číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, potom uvažované príklady môžu byť reprezentované v nasledujúcom tvare:
Aby jasne dokázali, že mali pravdu, matematici prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na šamanov tancujúcich s tamburínami. V podstate sa všetko scvrkáva na to, že buď sú niektoré izby neobsadené a nasťahujú sa tam noví hostia, alebo že časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantasy príbehu o Blondýne. Na čom je založená moja úvaha? Premiestnenie nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Potom, čo uvoľníme prvú izbu pre hosťa, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca vekov. Samozrejme, časový faktor možno hlúpo ignorovať, ale bude to patriť do kategórie „žiadny zákon nie je napísaný pre bláznov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.
Čo je to „nekonečný hotel“? Nekonečný hotel je hotel, ktorý má vždy ľubovoľný počet prázdnych postelí bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej „návštevnej“ chodbe obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s „hosťovskými“ izbami. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Navyše, „nekonečný hotel“ má nekonečný počet poschodí v nekonečnom počte budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom počte vesmírov vytvorených nekonečným počtom bohov. Matematici sa nedokážu dištancovať od banálnych každodenných problémov: vždy je len jeden Boh-Alah-Budha, je len jeden hotel, je len jedna chodba. Matematici sa teda snažia žonglovať so sériovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť aj nemožné“.
Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže čísla sme si vymysleli sami, čísla v prírode neexistujú. Áno, príroda je skvelá v počítaní, ale na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Čo si myslí príroda, vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážme obe možnosti, ako sa na skutočných vedcov patrí.
Možnosť jedna. „Dajme nám“ jednu jedinú sadu prirodzených čísel, ktorá pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke nezostali žiadne ďalšie prirodzené čísla a ani ich niet kam vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Jednu z už odobratej sady si môžeme zobrať a vrátiť do poličky. Potom môžeme jeden vybrať z police a pridať k tomu, čo nám zostalo. V dôsledku toho opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie si môžete zapísať takto:
Zapísal som akcie v algebraickom zápise a v zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej odčíta jedno a pridá sa rovnaká jednotka.
Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Zoberme si jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Môžeme dokonca sčítať dve sady prirodzených čísel. Toto dostaneme:
Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak k jednej nekonečnej množine pridáte ďalšiu nekonečnú množinu, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.
Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na meranie. Teraz si predstavte, že ste pridali jeden centimeter na pravítko. Toto bude iná línia, ktorá sa nebude rovnať pôvodnej.
Môžete prijať alebo neprijať moju úvahu - je to vaša vlastná vec. Ale ak sa niekedy stretnete s matematickými problémami, zamyslite sa nad tým, či nejdete cestou falošného uvažovania vyšliapaného generáciami matematikov. Štúdium matematiky v nás totiž v prvom rade formuje ustálený stereotyp myslenia a až potom pridáva na našich rozumových schopnostiach (alebo nás naopak zbavuje voľnomyšlienkárstva).
pozg.ru
Nedeľa 4. augusta 2019
Dokončoval som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:
Čítame: "...bohatý teoretický základ matematiky Babylonu nemal holistický charakter a bol zredukovaný na súbor rôznorodých techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne."
Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás ťažké pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:
Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je zredukovaný na súbor nesúrodých častí bez spoločného systému a dôkazovej základne.
Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová – má jazyk a konvencie, ktoré sa líšia od jazyka a konvencií mnohých iných odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším chybám modernej matematiky chcem venovať celú sériu publikácií. Do skorého videnia.
Sobota 3. augusta 2019
Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú jednotku merania, ktorá je prítomná v niektorých prvkoch vybranej sady. Pozrime sa na príklad.
Nech máme veľa A pozostávajúci zo štyroch ľudí. Táto množina je tvorená na základe „ľudí“. Prvky tejto množiny označme písmenom A, dolný index s číslom bude uvádzať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „pohlavie“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru A na základe pohlavia b. Všimnite si, že náš súbor „ľudí“ sa teraz stal súborom „ľudí s rodovými charakteristikami“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw sexuálne charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, bez ohľadu na to, ktorá z nich - mužská alebo ženská. Ak ho má človek, tak ho vynásobíme jednou, ak také znamienko neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom používame bežnú školskú matematiku. Pozrite, čo sa stalo.
Po znásobení, zmenšení a preskupení sme skončili s dvomi podskupinami: podskupinou mužov Bm a podskupina žien Bw. Matematici uvažujú približne rovnakým spôsobom, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepovedia nám podrobnosti, ale dávajú nám konečný výsledok - "veľa ľudí pozostáva z podskupiny mužov a podskupiny žien." Prirodzene, môžete si položiť otázku: ako správne bola matematika použitá vo vyššie načrtnutých transformáciách? Dovolím si vás uistiť, že transformácie boli v podstate urobené správne, stačí poznať matematický základ aritmetiky, booleovskej algebry a iných odvetví matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.
Pokiaľ ide o nadmnožiny, môžete skombinovať dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky prítomnej v prvkoch týchto dvoch sád.
Ako vidíte, jednotky merania a obyčajná matematika robia z teórie množín relikt minulosti. Znakom toho, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici sa správali ako kedysi šamani. Iba šamani vedia, ako „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Učia nás týmto „vedomostiam“.
Na záver vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú .
Pondelok 7. januára 2019
V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Eley svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:
Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas toho, ako Achilles prebehne túto vzdialenosť, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónovu apóriu. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú dodnes, vedecká obec zatiaľ nedokázala dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky sa zapojila matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, v čom spočíva ten podvod.
Z matematického hľadiska Zeno vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od kvantity k . Tento prechod znamená aplikáciu namiesto trvalých. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na používanie premenných meracích jednotiek buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónovu apóriu. Uplatnenie našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zo zotrvačnosti myslenia aplikujeme na recipročnú hodnotu konštantné jednotky času. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomaľuje, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles korytnačku dobehne. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme našu obvyklú logiku, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci úsek jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať: „Achilles dohoní korytnačku nekonečne rýchlo“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné jednotky. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý potrebuje Achilles prejsť tisíc krokov, korytnačka preplazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neodolateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme stále študovať, premýšľať a riešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože je v každom okamihu v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ďalší bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Ak chcete zistiť, či sa auto pohybuje, potrebujete dve fotografie nasnímané z rovnakého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemôžete určiť vzdialenosť od nich. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov vo vesmíre v jednom časovom bode, ale z nich nemôžete určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria ). Osobitne chcem upozorniť na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú rozdielne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.
Ukážem vám postup na príklade. Vyberáme „červenú tuhú látku v pupienku“ - to je náš „celok“. Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom vyberieme časť „celku“ a vytvoríme sadu „s mašličkou“. Takto sa šamani dostávajú k potrave spájaním svojej teórie množín s realitou.
Teraz urobme malý trik. Vezmime si „pevné s pupienkom s mašľou“ a skombinujeme tieto „cely“ podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz posledná otázka: sú výsledné zostavy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou sadou alebo dvoma rôznymi zostavami? Odpoveď poznajú iba šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak bude.
Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme súbor "červenej pevnej látky s pupienkom a lukom." Formovanie prebiehalo v štyroch rôznych merných jednotkách: farba (červená), sila (pevná), drsnosť (pupienok), zdobenie (s mašľou). Iba súbor meracích jednotiek nám umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.
Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. Jednotky merania, podľa ktorých sa rozlišuje „celok“ v predbežnej fáze, sú zvýraznené v zátvorkách. Jednotka merania, ktorou je zostava vytvorená, je vybratá zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky merania na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tanec šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc, že je to „zrejmé“, pretože merné jednotky nie sú súčasťou ich „vedeckého“ arzenálu.
Pomocou jednotiek merania je veľmi jednoduché rozdeliť jednu sadu alebo spojiť niekoľko sád do jednej nadmnožiny. Pozrime sa bližšie na algebru tohto procesu.
Prednáška: Sínus, kosínus, tangens, kotangens ľubovoľného uhla
Sínus, kosínus ľubovoľného uhla
Aby sme pochopili, čo sú goniometrické funkcie, pozrime sa na kruh s jednotkovým polomerom. Táto kružnica má stred v počiatku v rovine súradníc. Na určenie daných funkcií použijeme vektor polomeru ALEBO, ktorý začína v strede kruhu, a bod R je bod na kruhu. Tento vektor polomeru tvorí uhol alfa s osou OH. Pretože kruh má polomer rovný jednej OR = R = 1.
Ak z bodu R znížte kolmicu na os OH, potom dostaneme pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa jednej.
Ak sa vektor polomeru pohybuje v smere hodinových ručičiek, potom sa tento smer nazýva negatívne, ak sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek - pozitívne.
Sínus uhla ALEBO, je ordináta bodu R vektor na kruhu.
To znamená, že na získanie hodnoty sínusu daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu U na povrchu.
Ako bola táto hodnota získaná? Keďže vieme, že sínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone, dostaneme, že
A odvtedy R = 1, To sin(α) = y 0 .
V jednotkovom kruhu nemôže byť hodnota ordináty menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená
Sínus má kladnú hodnotu v prvej a druhej štvrtine jednotkového kruhu a zápornú hodnotu v tretej a štvrtej.
Kosínus uhla daný kruh tvorený vektorom polomeru ALEBO, je úsečka bodu R vektor na kruhu.
To znamená, že na získanie kosínusovej hodnoty daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu X na povrchu.
Kosínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone, dostaneme, že
A odvtedy R = 1, To cos(α) = x 0 .
V jednotkovom kruhu nemôže byť úsečka menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená
Kosínus nadobúda kladnú hodnotu v prvej a štvrtej štvrtine jednotkového kruhu a zápornú hodnotu v druhej a tretej štvrtine.
Tangentaľubovoľný uhol Vypočíta sa pomer sínusu ku kosínusu.
Ak vezmeme do úvahy pravouhlý trojuholník, potom je to pomer protiľahlej strany k susednej strane. Ak hovoríme o jednotkovej kružnici, potom je to pomer ordináty k úsečke.
Súdiac podľa týchto vzťahov je možné pochopiť, že dotyčnica nemôže existovať, ak je hodnota úsečky nula, to znamená v uhle 90 stupňov. Tangenta môže nadobúdať všetky ostatné hodnoty.
Tangenta je kladná v prvej a tretej štvrtine jednotkového kruhu a záporná v druhej a štvrtej.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No, v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, že môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Máme dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
Spomeňme si na kurz školskej matematiky a porozprávame sa o tom, čo je to tangens a ako nájsť tangens uhla. Najprv definujme, čo sa nazýva tangenta. V pravouhlom trojuholníku je dotyčnica ostrého uhla pomerom protiľahlej strany k susednej strane. Susedná noha je tá, ktorá sa podieľa na vytváraní uhla, opačná noha je tá, ktorá sa nachádza oproti uhlu.
Tangenta ostrého uhla je tiež pomer sínusu tohto uhla k jeho kosínusu. Aby sme to pochopili, pripomeňme si, čo je sínus a kosínus uhla. Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone, kosínus je pomer priľahlej strany k prepone.
Existuje aj kotangens, je opačný ako tangenta. Kotangens je pomer priľahlej strany k opačnej strane a teda pomer kosínusu uhla k jeho sínusu.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú trigonometrické funkcie uhla; zobrazujú vzťah medzi uhlami a stranami trojuholníka a pomáhajú vypočítať strany trojuholníka.
Vypočítajte tangens ostrého uhla
Ako nájsť dotyčnicu v trojuholníku? Aby ste nestrácali čas hľadaním dotyčnice, môžete nájsť špeciálne tabuľky, ktoré označujú goniometrické funkcie mnohých uhlov. V úlohách školskej geometrie sú určité uhly veľmi bežné a učitelia sú požiadaní, aby si zapamätali hodnoty svojich sínusov, kosínusov, dotyčníc a kotangens. Ponúkame Vám malý tanierik s požadovanými hodnotami týchto uhlov.
Ak uhol, ktorého dotyčnicu potrebujete nájsť, nie je v tejto tabuľke uvedený, môžete použiť dva vzorce, ktoré sme uviedli vyššie vo verbálnej forme.
Prvým spôsobom, ako vypočítať tangens uhla, je vydeliť dĺžku protiľahlého ramena dĺžkou susedného ramena. Povedzme, že opačná strana je 4 a susedná strana je 8. Na nájdenie dotyčnice potrebujete 4:8. Tangenta uhla bude ½ alebo 0,5.
Druhý spôsob výpočtu tangensu je vydeliť sínusovú hodnotu daného uhla hodnotou jeho kosínusu. Napríklad máme uhol 45 stupňov. Jeho hriech = koreň dvoch delený dvoma; jeho cos sa rovná rovnakému číslu. Teraz vydelíme sínus kosínusom a dostaneme dotyčnicu rovnú jednej.
Stáva sa, že musíte použiť presne tento vzorec, ale je známy iba jeden prvok - buď sínus alebo kosínus. V tomto prípade bude užitočné zapamätať si vzorec
sin2 α + cos2 α = 1. Toto je základná trigonometrická identita. Vyjadrením neznámeho prvku pomocou známeho prvku môžete zistiť jeho význam. A keď poznáme sínus a kosínus, nie je ťažké nájsť dotyčnicu.
A ak geometria zjavne nie je vašou úlohou, ale stále si musíte urobiť domácu úlohu, potom môžete použiť online kalkulačku na výpočet tangens uhla.
Na jednoduchých príkladoch sme vám povedali, ako nájsť dotyčnicu. Podmienky úlohy však môžu byť zložitejšie a nie vždy je možné rýchlo zistiť všetky potrebné údaje. V tomto prípade vám pomôže Pytagorova veta a rôzne goniometrické funkcie.
Tabuľka obsahuje hodnoty dotyčníc od 0° do 360°.
Tabuľka dotyčníc je potrebná, keď nemáte po ruke kalkulačku. Ak chcete zistiť, čo je tangens uhla, stačí si ho vyhľadať v tabuľke. Najprv krátka verzia tabuľky:
https://uchim.org/matematika/tablica-tangensov - uchim.org
Tangentový stôl pre 0°-180°
|
|
|
Tangentový stôl pre 180° - 360°
|
|
|
V geometrii existujú aj nasledujúce tabuľky goniometrických funkcií: sínusová, kosínusová a kotangensová.
Všetko na štúdium » Matematika v škole » Tabuľka dotyčníc uhlov (uhly, hodnoty)
Ak chcete pridať stránku medzi záložky, stlačte Ctrl+D.
Skupina s množstvom užitočných informácií (prihláste sa, ak máte jednotnú štátnu skúšku alebo jednotnú štátnu skúšku):
Znaky goniometrických funkcií
Znamienko goniometrickej funkcie závisí výlučne od súradnicového kvadrantu, v ktorom sa nachádza číselný argument.
Minule sme sa naučili konvertovať argumenty z radiánovej miery na mieru stupňov (pozri lekciu „Radián a miera uhla“) a potom určiť rovnakú súradnicovú štvrtinu. Teraz vlastne určme znamienko sínus, kosínus a tangens.
uhol α je ordináta (súradnica y) bodu na trigonometrickej kružnici, ktorá vzniká, keď sa polomer otočí o uhol α.
uhol α je úsečka (súradnica x) bodu na trigonometrickej kružnici, ktorá vzniká, keď sa polomer otočí o uhol α.
uhol α je pomer sínusu ku kosínusu.
Alebo, čo je to isté, pomer súradnice y k súradnici x.
Zápis: sin α = y ; cos α = x; tg α = y: x .
Všetky tieto definície sú vám známe zo stredoškolskej algebry. Nás však nezaujímajú samotné definície, ale dôsledky, ktoré vznikajú na trigonometrickom kruhu. Pozri sa:
Modrá farba označuje kladný smer osi OY (os ordináta), červená označuje kladný smer osi OX (os x).
Na tomto "radare" sú znaky goniometrických funkcií zrejmé. Konkrétne:
- sin α > 0, ak uhol α leží v I alebo II súradnicovom kvadrante. Je to preto, že podľa definície je sínus ordináta (súradnica y).
A súradnica y bude kladná presne v súradnicových štvrtiach I a II;
- cos α > 0, ak uhol α leží v 1. alebo 4. súradnicovom kvadrante. Pretože iba tam bude súradnica x (aka úsečka) väčšia ako nula;
- tan α > 0, ak uhol α leží v I alebo III súradnicovom kvadrante. Vyplýva to z definície: veď tan α = y:x, preto je kladné len tam, kde sa znamienka x a y zhodujú.
Stáva sa to v prvej súradnicovej štvrtine (tu x > 0, y > 0) a tretej súradnicovej štvrtine (x< 0, y < 0).
Pre prehľadnosť si všimnime znamienka každej goniometrickej funkcie - sínus, kosínus a tangens - na samostatných „radaroch“. Dostávame nasledujúci obrázok:
Poznámka: vo svojich diskusiách som nikdy nehovoril o štvrtej goniometrickej funkcii - kotangens.
Faktom je, že kotangensové znaky sa zhodujú s dotyčnicovými znakmi - neexistujú tam žiadne špeciálne pravidlá.
Teraz navrhujem zvážiť príklady podobné úlohám B11 zo skúšobnej Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, ktorá sa konala 27. septembra 2011. Napokon, najlepší spôsob, ako pochopiť teóriu, je prax. Je vhodné mať veľa praxe. Samozrejme, mierne sa zmenili podmienky úloh.
Úloha. Určite znamienka goniometrických funkcií a výrazov (hodnoty samotných funkcií sa nemusia počítať):
- hriech(3π/4);
- cos(7π/6);
- tg(5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- tan (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Akčný plán je takýto: najprv prevedieme všetky uhly z radiánových mier na stupne (π → 180°) a potom sa pozrieme, v ktorej štvrtine súradníc leží výsledné číslo.
Poznaním štvrtí ľahko nájdeme znamenia – podľa práve opísaných pravidiel. Máme:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Od 135° ∈ je to uhol z II súradnicového kvadrantu. Ale sínus v druhej štvrtine je kladný, takže sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Pretože 210° ∈ , to je uhol z tretieho súradnicového kvadrantu, v ktorom sú všetky kosínusy záporné.
Preto cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Od 300° ∈ sme v IV štvrťroku, kde dotyčnica nadobúda záporné hodnoty. Preto opálenie (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Poďme sa zaoberať sínusom: pretože 135° ∈ , ide o druhú štvrtinu, v ktorej sú sínusy kladné, t.j.
sin (3π/4) > 0. Teraz pracujeme s kosínusom: 150° ∈ - opäť druhá štvrtina, tam sú kosínusy záporné. Preto cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Pozeráme sa na kosínus: 120° ∈ je štvrtina súradníc II, takže cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ - это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии).
Tangenta je tam kladná, teda tan (π/4) > 0. Opäť dostaneme súčin, v ktorom majú faktory rôzne znamienka. Keďže „mínus plus dáva mínus“, máme: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Pracujeme so sínusom: od 150° ∈ hovoríme o súradnicovej štvrtine II, kde sú sínusy kladné.
Preto je sin (5π/6) > 0. Podobne 315° ∈ je IV súradnicová štvrtina, kosínusy sú tam kladné.
Preto cos (7π/4) > 0. Získali sme súčin dvoch kladných čísel – takýto výraz je vždy kladný. Dospeli sme k záveru: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°.
Ale uhol 135° ∈ je druhá štvrtina, t.j. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ - это IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0.
Keďže „mínus od plus dáva znamienko mínus“, máme: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Pozrieme sa na argument kotangens: 240° ∈ je III súradnicová štvrtina, preto ctg (4π/3) > 0. Podobne pre dotyčnicu máme: 30° ∈ je I súradnicová štvrtina, t.j. najjednoduchší uhol. Preto tan (π/6) > 0. Opäť tu máme dva kladné výrazy – ich súčin bude tiež kladný.
Preto detská postieľka (4π/3) tg (π/6) > 0.
Nakoniec sa pozrime na niektoré zložitejšie problémy. Okrem toho, že prídete na znamienko goniometrickej funkcie, budete tu musieť trochu počítať – presne tak, ako sa to robí v skutočných úlohách B11. V zásade ide o takmer reálne problémy, ktoré sa skutočne objavujú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky.
Nájdite sin α, ak sin2 α = 0,64 a α ∈ [π/2; π].
Keďže sin2 α = 0,64, máme: sin α = ±0,8.
Zostáva sa len rozhodnúť: plus alebo mínus? Podľa podmienky uhol α ∈ [π/2; π] je súradnicová štvrť II, kde sú všetky sínusy kladné. V dôsledku toho sin α = 0,8 - neistota so znamienkami je eliminovaná.
Úloha. Nájdite cos α, ak cos2 α = 0,04 a α ∈ [π; 3π/2].
Postupujeme podobne, t.j.
vezmite druhú odmocninu: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Podľa podmienky uhol α ∈ [π; 3π/2], t.j. Hovoríme o treťom súradnicovom štvrťroku. Všetky kosínusy sú záporné, takže cos α = −0,2.
Úloha. Nájdite sin α, ak sin2 α = 0,25 a α ∈ .
Máme: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5.
Goniometrické funkcie ľubovoľného uhla
Opäť sa pozrieme na uhol: α ∈ je IV súradnicová štvrtina, v ktorej, ako vieme, bude sínus záporný. Dospeli sme teda k záveru: sin α = −0,5.
Úloha. Nájdite tan α, ak tan2 α = 9 a α ∈ .
Všetko je rovnaké, len pre dotyčnicu.
Vyberte druhú odmocninu: tan2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Ale podľa podmienky je uhol α ∈ I súradnicová štvrtina. Všetky goniometrické funkcie, vrát. dotyčnica, sú kladné, takže tan α = 3. To je všetko!
