Vybavte si potrebné informácie o komplexných číslach.

Komplexné číslo je vyjadrením formy a + bi, kde a, b sú reálne čísla a i- tzv pomyselná jednotka, symbol, ktorého štvorec je -1, t.j. i 2 = -1. číslo a volal reálna časť a číslo b - imaginárnu časť komplexné číslo z = a + bi. Ak b= 0, potom namiesto a + 0i napíš jednoducho a. Je vidieť, že reálne čísla sú špeciálnym prípadom komplexných čísel.

Aritmetické operácie s komplexnými číslami sú rovnaké ako s reálnymi číslami: možno ich navzájom sčítať, odčítať, násobiť a deliť. Sčítanie a odčítanie prebieha podľa pravidla ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, a násobenie - podľa pravidla ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (inzerát + bc)i(tu sa používa len to i 2 = -1). Číslo = a – bi volal komplexný konjugát do z = a + bi. Rovnosť z · = a 2 + b 2 vám umožní pochopiť, ako rozdeliť jedno komplexné číslo iným (nenulovým) komplexným číslom:

(Napríklad, .)

Komplexné čísla majú pohodlnú a vizuálnu geometrickú reprezentáciu: číslo z = a + bi môže byť reprezentovaný ako vektor so súradnicami ( a; b) na karteziánskej rovine (alebo, čo je takmer to isté, bod - koniec vektora s týmito súradnicami). V tomto prípade je súčet dvoch komplexných čísel znázornený ako súčet zodpovedajúcich vektorov (ktoré možno nájsť pomocou pravidla rovnobežníka). Podľa Pytagorovej vety dĺžka vektora so súradnicami ( a; b) rovná sa . Táto hodnota sa nazýva modul komplexné číslo z = a + bi a označuje sa | z|. Nazýva sa uhol, ktorý tento vektor zviera s kladným smerom osi x (počítané proti smeru hodinových ručičiek). argument komplexné číslo z a označené Arg z. Argument nie je jednoznačne definovaný, ale iba do súčtu násobku 2 π radiánov (alebo 360°, ak počítate v stupňoch) - je predsa jasné, že otočením cez takýto uhol okolo počiatku sa vektor nezmení. Ale ak vektor dĺžky r tvorí uhol φ s kladným smerom osi x sa jej súradnice rovnajú ( r cos φ ; r hriech φ ). Preto sa ukazuje trigonometrická notácia komplexné číslo: z = |z| (cos(Arg z) + i hriech (Arg z)). Často je vhodné písať komplexné čísla v tejto forme, pretože to výrazne zjednodušuje výpočty. Násobenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare vyzerá veľmi jednoducho: z jeden · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + i hriech (Arg z 1+arg z 2)) (pri násobení dvoch komplexných čísel sa ich moduly vynásobia a argumenty sa sčítajú). Odtiaľ nasledujte De Moivre vzorce: z n = |z|n(cos( n(Arg z)) + i hriech( n(Arg z))). Pomocou týchto vzorcov je ľahké sa naučiť extrahovať korene ľubovoľného stupňa z komplexných čísel. n-tý koreň z je také komplexné číslo w, čo w n = z. To je jasné , A kde k môže nadobudnúť akúkoľvek hodnotu z množiny (0, 1, ..., n- jeden). To znamená, že vždy existuje presne n korene n stupňa z komplexného čísla (v rovine sú umiestnené vo vrcholoch regulárnej n-gon).