Elementárny uhol rotácie, uhlová rýchlosť
Obrázok 9. Základný uhol natočenia ()
Elementárne (nekonečne malé) rotácie sa považujú za vektory. Modul vektora sa rovná uhlu rotácie a jeho smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu špičky skrutky, ktorej hlava sa otáča v smere pohybu bodu pozdĺž kruhu, tj. , dodržuje pravidlo správnej skrutky.
Uhlová rýchlosť
Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania podľa pravidla pravej skrutky, t.j. rovnakým spôsobom ako vektor (pozri obrázok 10).
Obrázok 10.
Obrázok 11
Vektorová hodnota určená prvou deriváciou uhla natočenia telesa vzhľadom na čas.
Vzťah medzi modulmi lineárnych a uhlových rýchlostí
Obrázok 12
Vzťah medzi vektormi lineárnej a uhlovej rýchlosti
Poloha uvažovaného bodu je daná polomerovým vektorom (nakresleným z počiatku súradníc 0 ležiacich na osi rotácie). Vektorový súčin sa zhoduje v smere s vektorom a má modul rovný
Jednotkou uhlovej rýchlosti je .
Pseudovektory (axiálne vektory) sú vektory, ktorých smery sú spojené so smerom otáčania (napríklad). Tieto vektory nemajú špecifické aplikačné body: môžu byť nakreslené z akéhokoľvek bodu na osi rotácie.
Rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici
Rovnomerný pohyb po kružnici - pohyb, pri ktorom hmotný bod (teleso) prechádza rovnako dlhými oblúkmi kružnice rovnakej dĺžky.
Uhlová rýchlosť
: (-- uhol natočenia).
Obdobie otáčania T je čas, počas ktorého materiálový bod vykoná jednu úplnú otáčku po obvode, t.j. otočí sa o určitý uhol.
Keďže to zodpovedá časovému intervalu, potom.
Frekvencia otáčania - počet úplných otáčok vykonaných hmotným bodom jeho rovnomerným pohybom po kruhu za jednotku času.
Obrázok 13
Charakteristickým znakom rovnomerného pohybu v kruhu
Rovnomerný kruhový pohyb je špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu. Pohyb po kružnici s konštantnou rýchlosťou modulo () je zrýchlený. Je to spôsobené tým, že pri konštantnom module sa smer rýchlosti neustále mení.
Zrýchlenie hmotného bodu rovnomerne sa pohybujúceho po kružnici
Tangenciálna zložka zrýchlenia pri rovnomernom pohybe bodu po kružnici sa rovná nule.
Normálna zložka zrýchlenia (dostredivé zrýchlenie) smeruje pozdĺž polomeru k stredu kružnice (pozri obrázok 13). V ktoromkoľvek bode kruhu je normálový vektor zrýchlenia kolmý na vektor rýchlosti. Zrýchlenie hmotného bodu pohybujúceho sa rovnomerne po kružnici v ktoromkoľvek z jeho bodov je dostredivé.
uhlové zrýchlenie. Vzťah medzi lineárnymi a uhlovými veličinami
Uhlové zrýchlenie je vektorová veličina určená prvou deriváciou uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas.
Smer vektora uhlového zrýchlenia
Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, vektor uhlového zrýchlenia smeruje pozdĺž osi otáčania k vektoru elementárneho prírastku uhlovej rýchlosti.
Pri zrýchlenom pohybe je vektor zarovnaný s vektorom, pri spomalenom pohybe je oproti nemu. Vektor je pseudovektor.
Jednotkou uhlového zrýchlenia je .
Vzťah medzi lineárnymi a uhlovými veličinami
(-- polomer kruhu; -- lineárna rýchlosť; -- tangenciálne zrýchlenie; -- normálové zrýchlenie; -- uhlová rýchlosť).
s lineárnymi hodnotami.
Uhlový pohyb- vektorová veličina charakterizujúca zmenu uhlovej súradnice v procese jej pohybu.
Uhlová rýchlosť- vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca rýchlosť otáčania telesa. Vektor uhlovej rýchlosti sa svojou veľkosťou rovná uhlu rotácie telesa za jednotku času:
a je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania podľa pravidla ojnice, teda v smere, v ktorom by sa zaskrutkovala olovnica s pravotočivým závitom, ak by sa otáčala rovnakým smerom.
Jednotkou merania uhlovej rýchlosti používanou v systémoch SI a CGS) sú radiány za sekundu. (Poznámka: radián, ako každá jednotka merania uhla, je fyzicky bezrozmerný, takže fyzický rozmer uhlovej rýchlosti je jednoducho ). Táto technika tiež používa otáčky za sekundu, oveľa menej často - stupne za sekundu, stupne za sekundu. Azda najčastejšie sa v technike používajú otáčky za minútu - deje sa to už od čias, keď sa rýchlosť otáčania nízkorýchlostných parných strojov určovala jednoduchým „ručným“ počítaním otáčok za jednotku času.
Vektor (okamžitej) rýchlosti ľubovoľného bodu (absolútne) tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou je daný vzťahom:
kde je vektor polomeru k danému bodu od počiatku umiestneného na osi rotácie telesa a hranaté zátvorky označujú vektorový súčin. Lineárnu rýchlosť (zhodujúcu sa s modulom vektora rýchlosti) bodu v určitej vzdialenosti (polomeru) r od osi rotácie možno uvažovať takto: v = rω. Ak sa namiesto radiánov použijú iné jednotky uhlov, potom sa v posledných dvoch vzorcoch objaví násobiteľ, ktorý sa nerovná jednej.
V prípade rovinnej rotácie, t.j. keď všetky rýchlostné vektory bodov telesa ležia (vždy) v tej istej rovine ("rovine rotácie"), je uhlová rýchlosť telesa vždy kolmá na túto rovinu a v skutočnosti - ak je rovina rotácie vopred známa - možno ju nahradiť skalárnou - projekciou na os kolmú na rovinu rotácie. V tomto prípade je kinematika otáčania značne zjednodušená, avšak vo všeobecnosti môže uhlová rýchlosť v trojrozmernom priestore časom meniť smer a takýto zjednodušený obraz nefunguje.
Deriváciou uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas je uhlové zrýchlenie.
Pohyb s konštantným vektorom uhlovej rýchlosti sa nazýva rovnomerný rotačný pohyb (v tomto prípade je uhlové zrýchlenie nulové).
Uhlová rýchlosť (považovaná za voľný vektor) je rovnaká vo všetkých inerciálnych referenčných sústavách, avšak v rôznych inerciálnych referenčných sústavách sa os alebo stred otáčania toho istého konkrétneho telesa v rovnakom časovom okamihu môžu líšiť (tj bude existovať iný „bod aplikácie“ uhlovej rýchlosti).
V prípade pohybu jedného bodu v trojrozmernom priestore môžete napísať výraz pre uhlovú rýchlosť tohto bodu vo vzťahu k vybranému začiatku:
Kde je vektor polomeru bodu (od počiatku), je rýchlosť tohto bodu. - vektorový súčin, - skalárny súčin vektorov. Tento vzorec však neurčuje jednoznačne uhlovú rýchlosť (v prípade jedného bodu si môžete vybrať iné vektory, ktoré sú z definície vhodné, inak - ľubovoľne - výber smeru osi otáčania), ale pre všeobecný prípad (keď teleso obsahuje viac ako jeden hmotný bod) - tento vzorec neplatí pre uhlovú rýchlosť celého telesa (pretože dáva rôzne hodnoty pre každý bod a pri rotácii absolútne tuhého telesa podľa definície, uhlová rýchlosť jeho rotácie je jediným vektorom). Pri tom všetkom je v dvojrozmernom prípade (pri rovinnej rotácii) tento vzorec úplne postačujúci, jednoznačný a správny, keďže v tomto konkrétnom prípade je smer osi rotácie určite jednoznačne určený.
V prípade rovnomerného rotačného pohybu (teda pohybu s vektorom konštantnej uhlovej rýchlosti) karteziánske súradnice bodov takto rotujúceho telesa vykonávajú harmonické kmity s uhlovou (cyklickou) frekvenciou rovnajúcou sa modulu uhlovej rýchlosti. vektor rýchlosti.
Pri meraní uhlovej rýchlosti v otáčkach za sekundu (r/s) je modul uhlovej rýchlosti rovnomerného rotačného pohybu rovnaký ako rýchlosť otáčania f, meraná v hertzoch (Hz)
(teda v takýchto jednotkách).
V prípade použitia obvyklej fyzikálnej jednotky uhlovej rýchlosti - radiány za sekundu - modul uhlovej rýchlosti súvisí s rýchlosťou otáčania takto:
Nakoniec, pri použití stupňov za sekundu by vzťah k otáčkam bol:
Uhlové zrýchlenie- pseudovektorová fyzikálna veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti tuhého telesa.
Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, modul uhlového zrýchlenia je:
Vektor uhlového zrýchlenia α smeruje pozdĺž osi otáčania (na stranu so zrýchlenou rotáciou a opačne - s pomalou rotáciou).
Pri rotácii okolo pevného bodu je vektor uhlového zrýchlenia definovaný ako prvá derivácia vektora uhlovej rýchlosti ω vzhľadom na čas, tj.
a smeruje tangenciálne k hodografu vektora v jeho zodpovedajúcom bode.
Existuje vzťah medzi tangenciálnym a uhlovým zrýchlením:
kde R je polomer zakrivenia trajektórie bodu v danom čase. Takže uhlové zrýchlenie sa rovná druhej derivácii uhla natočenia vzhľadom na čas alebo prvej derivácii uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas. Uhlové zrýchlenie sa meria v rad/s2.
Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie
Predstavte si tuhé teleso, ktoré sa otáča okolo pevnej osi. Potom jednotlivé body tohto telesa budú opisovať kružnice rôznych polomerov, ktorých stredy ležia na osi otáčania. Nechajte nejaký bod pohybovať sa po kruhu s polomerom R(obr. 6). Jeho poloha po určitom čase D t nastavte uhol D. Elementárne (nekonečne malé) rotácie možno považovať za vektory (označujú sa alebo ) . Modul vektora sa rovná uhlu natočenia a jeho smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu hrotu skrutky, ktorej hlava sa otáča v smere pohybu bodu po kružnici, t.j. poslúchne Pravidlo pravej skrutky(obr. 6). Voláme vektory, ktorých smery sú spojené so smerom otáčania pseudovektory alebo axiálne vektory. Tieto vektory nemajú špecifické aplikačné body: môžu byť nakreslené z akéhokoľvek bodu na osi rotácie.
uhlová rýchlosť sa nazýva vektorová veličina rovnajúca sa prvej derivácii uhla natočenia telesa vzhľadom na čas:
Vektor smeruje pozdĺž osi otáčania podľa pravidla pravej skrutky, t.j. rovnaký ako vektor (obr. 7). Rozmer uhlovej rýchlosti dim w =T - 1 , a jeho jednotkou je radián za sekundu (rad/s).
Bodová lineárna rýchlosť (pozri obr. 6)
Vo vektorovej forme možno vzorec pre lineárnu rýchlosť zapísať ako krížový súčin:
V tomto prípade je modul vektorového produktu podľa definície rovnaký a smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej skrutky, keď sa otáča z do R.
Ak ( = const, potom je rotácia rovnomerná a dá sa charakterizovať obdobie rotácie T - čas, za ktorý bod urobí jednu úplnú otáčku, t.j. sa otáča o uhol 2p. Od časového intervalu D t= T zodpovedá = 2p, potom = 2p/ T, kde
Počet úplných otáčok, ktoré telo vykoná počas rovnomerného pohybu v kruhu za jednotku času, sa nazýva frekvencia otáčania:
Uhlové zrýchlenie je vektorová veličina rovnajúca sa prvej derivácii uhlovej rýchlosti vzhľadom na čas:
Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, vektor uhlového zrýchlenia smeruje pozdĺž osi otáčania k vektoru elementárneho prírastku uhlovej rýchlosti. Pri zrýchlenom pohybe je vektor spolusmerovaný k vektoru (obr. 8), pri pomalom pohybe je oproti nemu opačný (obr. 9).
Tangenciálna zložka zrýchlenia
Normálna zložka zrýchlenia
Vzťah medzi lineárnou (dĺžkou cesty s prešiel bodom po oblúku kružnice s polomerom R, lineárna rýchlosť v, tangenciálne zrýchlenie , normálové zrýchlenie ) a uhlové veličiny (uhol natočenia j, uhlová rýchlosť w, uhlové zrýchlenie e) sú vyjadrené nasledujúcimi vzorcami:
V prípade rovnomerne premenlivého pohybu bodu po kružnici (e=konšt.)
kde w 0 je počiatočná uhlová rýchlosť.
Newtonove zákony.
Newtonov prvý zákon. Hmotnosť. Pevnosť
Dynamika je hlavným odvetvím mechaniky, je založená na troch Newtonových zákonoch, ktoré sformuloval v roku 1687. Newtonove zákony zohrávajú v mechanike výnimočnú úlohu a sú (ako všetky fyzikálne zákony) zovšeobecnením výsledkov obrovskej ľudskej skúsenosti. Považujú sa za systém vzájomne prepojených zákonov a nie každý jeden zákon je podrobený experimentálnemu overovaniu, ale celý systém ako celok.
Newtonov prvý zákon: akýkoľvek hmotný bod (teleso) si zachováva stav pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu, kým ho náraz iných telies nezmení. Túžba telesa udržiavať pokojový stav alebo rovnomerný priamočiary pohyb sa nazýva zotrvačnosť. Preto sa prvý Newtonov zákon nazýva aj tzv zákon zotrvačnosti.
Mechanický pohyb je relatívny a jeho povaha závisí od referenčného rámca. Prvý Newtonov zákon neplatí v žiadnom referenčnom rámci a tie systémy, v súvislosti s ktorými sa vykonáva, sa nazývajú inerciálne referenčné systémy. Inerciálna vzťažná sústava je taká vzťažná sústava, ku ktorej je hmotný bod, bez vonkajších vplyvov, buď v pokoji, alebo sa pohybujú rovnomerne a v priamom smere. Prvý Newtonov zákon hovorí o existencii inerciálnych vzťažných sústav.
Experimentálne sa zistilo, že heliocentrickú (hviezdnu) referenčnú sústavu možno považovať za inerciálnu (začiatok súradníc je v strede Slnka a osi sú nakreslené v smere určitých hviezd). Vzťažná sústava spojená so Zemou je, prísne vzaté, neinerciálna, ale vplyvy jej neinerciality (Zem sa otáča okolo vlastnej osi a okolo Slnka) sú pri riešení mnohých problémov zanedbateľné a v týchto prípadoch je možno považovať za zotrvačné.
Zo skúseností je známe, že pod rovnakými vplyvmi rôzne telesá menia rýchlosť svojho pohybu nerovnomerne, t.j. nadobudnú rôzne zrýchlenia. Zrýchlenie závisí nielen od veľkosti nárazu, ale aj od vlastností samotného telesa (od jeho hmotnosti).
Hmotnosť telesá - fyzikálna veličina, ktorá je jednou z hlavných charakteristík hmoty, ktorá určuje jej zotrvačné ( zotrvačná hmotnosť) a gravitačné ( gravitačnej hmotnosti) vlastnosti. V súčasnosti možno považovať za preukázané, že zotrvačné a gravitačné hmotnosti sú si navzájom rovné (s presnosťou nie menšou ako 10–12 ich hodnôt).
Na opísanie účinkov spomínaných v prvom Newtonovom zákone sa zavádza pojem sily. Pôsobením síl telesá buď menia svoju rýchlosť pohybu, t.j. nadobúdajú zrýchlenia (dynamický prejav síl), alebo sa deformujú, t.j. menia svoj tvar a rozmery (statický prejav síl). V každom časovom okamihu je sila charakterizovaná číselnou hodnotou, smerom v priestore a bodom pôsobenia. takze silu- je to vektorová veličina, ktorá je mierou mechanického vplyvu na teleso od iných telies alebo polí, v dôsledku ktorých teleso nadobudne zrýchlenie alebo zmení svoj tvar a veľkosť.
Druhý Newtonov zákon
Newtonov druhý zákon - základný zákon dynamiky translačného pohybu - odpovedá na otázku, ako sa mení mechanický pohyb hmotného bodu (telesa) pôsobením síl naň pôsobiacich.
Ak vezmeme do úvahy pôsobenie rôznych síl na to isté teleso, ukáže sa, že zrýchlenie, ktoré teleso získa, je vždy priamo úmerné výslednici aplikovaných síl:
a~f(t=konšt.). (6.1)
Pri pôsobení tej istej sily na telesá s rôznymi hmotnosťami sa ich zrýchlenia ukážu byť odlišné, a to
a ~ 1 /t (F= konštanta). (6.2)
Pomocou výrazov (6.1) a (6.2) a berúc do úvahy, že sila a zrýchlenie sú vektorové veličiny, môžeme písať
a = kF/m. (6.3)
Vzťah (6.3) vyjadruje druhý Newtonov zákon: zrýchlenie získané hmotným bodom (telesom), úmerné sile, ktorá ho spôsobuje, sa s ním v smere zhoduje a je nepriamo úmerné hmotnosti hmotného bodu (telesa).
V SI faktor proporcionality k= 1. Potom
(6.4)
Vzhľadom na to, že hmotnosť hmotného bodu (telesa) je v klasickej mechanike konštantná, vo výraze (6.4) ju možno uviesť pod znamienko derivácie:
Vektorové množstvo
číselne sa rovná súčinu hmotnosti hmotného bodu a jeho rýchlosti a má smer rýchlosti hybnosť (hybnosť) tento hmotný bod.
Dosadením (6.6) do (6.5) dostaneme
Tento výraz - všeobecnejšia formulácia druhého Newtonovho zákona: rýchlosť zmeny hybnosti hmotného bodu sa rovná sile, ktorá naň pôsobí. Zavolá sa výraz (6.7). pohybová rovnica hmotného bodu.
Jednotka sily v SI - newton(N): 1 N je sila, ktorá udeľuje hmotnosti 1 kg zrýchlenie 1 m/s 2 v smere sily:
1 N \u003d 1 kg × m/s 2.
Druhý Newtonov zákon platí len v inerciálnych vzťažných sústavách. Prvý Newtonov zákon možno odvodiť z druhého. V skutočnosti, ak je výsledná sila rovná nule (pri absencii vplyvu na teleso inými telesami), zrýchlenie (pozri (6.3)) je tiež rovné nule. Avšak Newtonov prvý zákon považovaný za nezávislé právo(a nie ako dôsledok druhého zákona), keďže je to on, kto tvrdí existenciu inerciálnych vzťažných sústav, v ktorých je splnená iba rovnica (6.7).
V mechanike má veľký význam princíp nezávislosti pôsobenia síl: ak na hmotný bod pôsobí niekoľko síl súčasne, potom každá z týchto síl udeľuje hmotnému bodu zrýchlenie podľa druhého Newtonovho zákona, ako keby žiadne iné sily neexistovali. Podľa tohto princípu možno sily a zrýchlenia rozložiť na zložky, ktorých využitie vedie k výraznému zjednodušeniu riešenia problémov. Napríklad na obr. 10 pôsobiaca sila F= m a sa rozkladá na dve zložky: tangenciálnu silu F t , (nasmerovanú tangenciálne k trajektórii) a normálovú silu F n(nasmerované pozdĺž normály do stredu zakrivenia). Používanie výrazov a , ako aj , môžeš písať:
Ak na hmotný bod pôsobí niekoľko síl súčasne, potom sa podľa princípu nezávislosti pôsobenia síl F v druhom Newtonovom zákone chápe ako výsledná sila.
Tretí Newtonov zákon
Interakcia medzi hmotnými bodmi (telesami) je určená Tretí Newtonov zákon: akékoľvek pôsobenie hmotných bodov (telies) na seba má charakter interakcie; sily, ktorými na seba hmotné body pôsobia, sú vždy rovnaké v absolútnej hodnote, opačne smerované a pôsobia pozdĺž priamky spájajúcej tieto body:
F12 = - F 21, (7.1)
kde F 12 je sila pôsobiaca na prvý hmotný bod od druhého;
F 21 - sila pôsobiaca na druhý hmotný bod od prvého. Tieto sily sú aplikované na rôzne hmotných bodov (telies), vždy konať v pároch a sú to sily jedna prirodzenosť.
Tretí Newtonov zákon umožňuje prechod z dynamiky oddelené materiálny bod dynamiky systémov hmotné body. Vyplýva to zo skutočnosti, že pre systém hmotných bodov sa interakcia redukuje na sily párovej interakcie medzi hmotnými bodmi.
Pohyb rozšíreného telesa, ktorého rozmery nemožno zanedbať v podmienkach uvažovaného problému. Telo bude považované za nedeformovateľné, inými slovami, za absolútne tuhé.
Pohyb, v ktorom akýkoľvek priamka spojená s pohybujúcim sa telesom zostáva rovnobežná sama so sebou, tzv progresívny.
Priamkou „pevne spojenou s telesom“ sa rozumie taká priamka, ktorej vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu k akémukoľvek bodu telesa zostáva pri jeho pohybe konštantná.
Translačný pohyb absolútne tuhého telesa možno charakterizovať pohybom ktoréhokoľvek bodu tohto telesa, keďže pri translačnom pohybe sa všetky body telesa pohybujú rovnakými rýchlosťami a zrýchleniami a trajektórie ich pohybu sú zhodné. Po určení pohybu ktoréhokoľvek z bodov tuhého telesa určíme súčasne pohyb všetkých jeho ostatných bodov. Preto pri popise translačného pohybu nevznikajú žiadne nové problémy v porovnaní s kinematikou hmotného bodu. Príklad translačného pohybu je znázornený na obr. 2.20.
Obr.2.20. Translačný pohyb tela
Príklad translačného pohybu je znázornený na nasledujúcom obrázku:
Obr.2.21. Rovinný pohyb tela
Ďalším dôležitým konkrétnym prípadom pohybu tuhého telesa je pohyb, pri ktorom dva body telesa zostávajú nehybné.
Pohyb, pri ktorom dva body tela zostanú nehybné, sa nazýva rotácia okolo pevnej osi.
Čiara spájajúca tieto body je tiež pevná a nazýva sa os otáčania.
Obr.2.22. Rotácia tuhého telesa
Pri takomto pohybe sa všetky body tela pohybujú po kruhoch umiestnených v rovinách kolmých na os otáčania. Stredy kružníc ležia na osi otáčania. V tomto prípade môže byť os otáčania umiestnená aj mimo tela.
Video 2.4. Translačné a rotačné pohyby.
Uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie. Keď sa teleso otáča okolo osi, všetky jeho body opisujú kružnice s rôznymi polomermi, a preto majú rôzne posunutia, rýchlosti a zrýchlenia. Rovnakým spôsobom je však možné opísať rotačný pohyb všetkých bodov telesa. Na to sa používajú iné (v porovnaní s hmotným bodom) kinematické charakteristiky pohybu - uhol natočenia, uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie.
Ryža. 2.23. Vektory zrýchlenia bodu pohybujúceho sa po kružnici
Úlohu posunutia v rotačnom pohybe zohráva vektor malého obratu okolo osi otáčania 00" (Obr. 2.24.). Bude to rovnaké pre akýkoľvek bod absolútne tuhé telo(napríklad bodky 1, 2, 3 ).
Ryža. 2.24. Otáčanie dokonale tuhého telesa okolo pevnej osi
Modul vektora otáčania sa rovná hodnote uhla natočenia a uhol sa meria v radiánoch.
Vektor infinitezimálnej rotácie pozdĺž osi rotácie smeruje k pohybu pravej skrutky (gimletu) otočenej v rovnakom smere ako telo.
Video 2.5. Konečné uhlové posuny nie sú vektory, pretože sa nesčítavajú podľa pravidla rovnobežníka. Nekonečne malé uhlové posuny sú vektory.
Zavolajú sa vektory, ktorých smery sú spojené s pravidlom gimlet axiálne(z angličtiny. os- os) na rozdiel od polárny. vektory, ktoré sme predtým používali. Polárne vektory sú napríklad vektor polomeru, vektor rýchlosti, vektor zrýchlenia a vektor sily. Axiálne vektory sa tiež nazývajú pseudovektory, pretože sa líšia od skutočných (polárnych) vektorov svojim správaním počas operácie odrazu v zrkadle (inverzia alebo, čo je to isté, prechod z pravého do ľavého súradnicového systému). Dá sa ukázať (urobíme to neskôr), že sčítanie vektorov nekonečne malých rotácií prebieha rovnakým spôsobom ako sčítanie skutočných vektorov, teda podľa pravidla rovnobežníka (trojuholníka). Ak sa teda neuvažuje s operáciou odrazu v zrkadle, tak sa rozdiel medzi pseudovektormi a skutočnými vektormi nijako neprejavuje a je možné a potrebné s nimi zaobchádzať ako s obyčajnými (pravými) vektormi.
Pomer vektora infinitezimálnej rotácie k času, počas ktorého k tejto rotácii došlo
volal uhlová rýchlosť otáčania.
Základnou jednotkou na meranie veľkosti uhlovej rýchlosti je rad/s. V tlačených publikáciách z dôvodov, ktoré nemajú nič spoločné s fyzikou, často píšu 1/s alebo od -1čo, prísne vzaté, je nepravdivé. Uhol je bezrozmerná veličina, ale jeho merné jednotky sú rôzne (stupne, lox, grady ...) a musia byť uvedené, aspoň aby sa predišlo nedorozumeniam.
Video 2.6. Stroboskopický efekt a jeho využitie na diaľkové meranie uhlovej rýchlosti otáčania.
Uhlová rýchlosť, rovnako ako vektor, ktorému je úmerná, je axiálnym vektorom. Pri točení dookola nehybný uhlová rýchlosť osi nemení svoj smer. Pri rovnomernom otáčaní zostáva jeho hodnota tiež konštantná, takže vektor . V prípade dostatočnej časovej stálosti hodnoty uhlovej rýchlosti možno rotáciu vhodne charakterizovať jej periódou T :
Obdobie rotácie- je to čas, za ktorý teleso vykoná jednu otáčku (otočenie o uhol 2π) okolo osi otáčania.
Slová "dostatočná stálosť" samozrejme znamenajú, že počas periódy (času jednej otáčky) sa modul uhlovej rýchlosti mení nepatrne.
Tiež často používané počet otáčok za jednotku času
Zároveň je v technických aplikáciách (predovšetkým vo všetkých druhoch motorov) zvyčajné brať ako jednotku času nie sekundu, ale minútu. To znamená, že uhlová rýchlosť otáčania je udávaná v otáčkach za minútu. Ako môžete ľahko vidieť, vzťah medzi (v radiánoch za sekundu) a (v otáčkach za minútu) je nasledujúci
Smer vektora uhlovej rýchlosti je znázornený na obr. 2.25.
Analogicky s lineárnym zrýchlením je uhlové zrýchlenie zavedené ako rýchlosť zmeny vektora uhlovej rýchlosti. Uhlové zrýchlenie je tiež osový vektor (pseudovektor).
Uhlové zrýchlenie - axiálny vektor definovaný ako časová derivácia uhlovej rýchlosti
Pri otáčaní okolo pevnej osi, všeobecnejšie pri otáčaní okolo osi, ktorá zostáva rovnobežná sama so sebou, vektor uhlovej rýchlosti smeruje tiež rovnobežne s osou otáčania. S nárastom hodnoty uhlovej rýchlosti || uhlové zrýchlenie sa s ním v smere zhoduje, zatiaľ čo klesá - smeruje opačným smerom. Zdôrazňujeme, že ide len o špeciálny prípad nemennosti smeru osi rotácie, vo všeobecnom prípade (rotácia okolo bodu) rotuje samotná os rotácie a potom vyššie uvedené neplatí.
Spojenie uhlových a lineárnych rýchlostí a zrýchlení. Každý z bodov rotujúceho telesa sa pohybuje určitou lineárnou rýchlosťou smerujúcou tangenciálne k zodpovedajúcej kružnici (pozri obr. 19). Nechajte hmotný bod otáčať sa okolo osi 00" okolo kruhu s polomerom R. Na krátku dobu prejde dráhou zodpovedajúcou uhlu natočenia. Potom
Prejdením k limitu dostaneme výraz pre modul lineárnej rýchlosti bodu rotujúceho telesa.
Pripomeňte si tu R- vzdialenosť od uvažovaného bodu telesa k osi otáčania.
Ryža. 2.26.
Keďže normálne zrýchlenie je
potom, berúc do úvahy vzťah pre uhlovú a lineárnu rýchlosť, dostaneme
Normálne zrýchlenie bodov v rotujúcom tuhom telese sa často označuje ako dostredivé zrýchlenie.
Pri časovom rozlišovaní výrazu pre , nájdeme
kde je tangenciálne zrýchlenie bodu pohybujúceho sa po kružnici s polomerom R.
Tangenciálne aj normálové zrýchlenie teda rastie lineárne so zvyšujúcim sa polomerom R- vzdialenosť od osi otáčania. Celkové zrýchlenie tiež závisí lineárne od R :
Príklad. Nájdite lineárnu rýchlosť a dostredivé zrýchlenie bodov ležiacich na zemskom povrchu na rovníku a na zemepisnej šírke Moskvy ( = 56°). Poznáme obdobie rotácie Zeme okolo vlastnej osi T \u003d 24 hodín \u003d 24x60x60 \u003d 86 400 s. Odtiaľ je uhlová rýchlosť otáčania
Stredný polomer Zeme
Vzdialenosť k osi rotácie v zemepisnej šírke je
Odtiaľ nájdeme lineárnu rýchlosť
a dostredivé zrýchlenie
Na rovníku = 0, cos = 1, teda
Na zemepisnej šírke Moskvy cos = cos 56° = 0,559 a dostaneme:
Vidíme, že vplyv rotácie Zeme nie je taký veľký: pomer dostredivého zrýchlenia na rovníku k zrýchleniu voľného pádu je
Ako však neskôr uvidíme, účinky rotácie Zeme sú celkom pozorovateľné.
Vzťah medzi vektormi lineárnej a uhlovej rýchlosti. Vzťahy medzi uhlovými a lineárnymi rýchlosťami získanými vyššie sú napísané pre moduly vektorov a . Na zapísanie týchto vzťahov vo vektorovej forme používame koncept vektorového produktu.
Nechaj 0z- os otáčania absolútne tuhého telesa (obr. 2.28).
Ryža. 2.28. Vzťah medzi vektormi lineárnej a uhlovej rýchlosti
Bodka ALE sa točí okolo kruhu s polomerom R. R- vzdialenosť od osi otáčania k uvažovanému bodu telesa. Vezmime si bod 0 pre počiatok súradníc. Potom
a odvtedy
potom podľa definície vektorového súčinu pre všetky body tela
Tu je vektor polomeru bodu telesa, počnúc bodom O, ležiacim na ľubovoľnom pevnom mieste, nevyhnutne na osi otáčania
Ale na druhej strane
Prvý člen sa rovná nule, pretože vektorový súčin kolineárnych vektorov sa rovná nule. v dôsledku toho
kde vektor R je kolmá na os rotácie a smeruje od nej a jej modul sa rovná polomeru kružnice, po ktorej sa hmotný bod pohybuje a tento vektor začína v strede tohto kruhu.
Ryža. 2.29. K definícii okamžitej osi rotácie
Normálne (dostredivé) zrýchlenie možno zapísať aj vo vektorovej forme:
a znak "-" ukazuje, že je nasmerovaný na os otáčania. Diferencovaním vzťahu pre lineárnu a uhlovú rýchlosť vzhľadom na čas nájdeme výraz pre celkové zrýchlenie
Prvý člen smeruje tangenciálne k trajektórii bodu na rotujúcom telese a jeho modul je , pretože
Pri porovnaní s výrazom pre tangenciálne zrýchlenie sme dospeli k záveru, že ide o vektor tangenciálneho zrýchlenia
Preto je druhý člen normálnym zrýchlením toho istého bodu:
V skutočnosti je nasmerovaný pozdĺž polomeru R k osi rotácie a jej modul sa rovná
Preto je tento vzťah pre normálne zrýchlenie ďalšou formou zápisu predtým získaného vzorca.
Ďalšie informácie
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Všeobecný kurz fyziky, zväzok 1, Mechanika Ed. Science 1979 - s. 242–243 (§46, s. 7): diskutuje sa o pomerne ťažko pochopiteľnej otázke o vektorovej povahe uhlových rotácií tuhého telesa;
http://www.plib.ru/library/book/14978.html - Sivukhin D.V. Všeobecný kurz fyziky, zväzok 1, Mechanika Ed. Science 1979 - s. 233–242 (§45, §46 s. 1–6): okamžitá os rotácie tuhého telesa, sčítanie rotácií;
http://kvant.mirror1.mccme.ru/1990/02/kinematika_basketbolnogo_brosk.html - časopis Kvant - kinematika hodu basketbalom (R. Vinokur);
http://kvant.mirror1.mccme.ru/ - časopis Kvant, 2003, č. 6, - s. 5–11, pole okamžitých rýchlostí tuhého telesa (S. Krotov);
Eulerove uhly, uhly lietadla (lode).
Tradične sa Eulerove uhly zavádzajú nasledovne. Prechod z referenčnej polohy do skutočnej polohy sa vykonáva tromi otáčkami (obr. 4.3):
1. Otočte sa za roh precesia Zároveň prejde do polohy, (c) .
2. Otočte sa za roh nutácia. Pričom . (4.10)
4. Otočte sa za roh vlastnú (čistú) rotáciu
Pre lepšie pochopenie ukazuje Obr. 4.4 vrchol a Eulerove uhly, ktoré ho popisujú
Prechod z referenčnej polohy do skutočnej polohy je možné vykonať tromi otáčkami (otočte sami!) (obr. 4.5):
1. Otočte sa za roh vybočiť, kde
2. Otáčajte sa o uhol sklonu, zatiaľ čo (4.12)
3. Otočte uhol okolo
Výraz „dá sa to urobiť“ nie je náhodný; nie je ťažké pochopiť, že sú možné aj iné možnosti, napríklad rotácia okolo pevných osí
1. Otočte sa za roh rolovať(s rizikom zlomenia krídel)
2. Otočte sa za roh ihrisko(zdvihnutie „nosa“) (4.13)
3. Otočte dookola pod uhlom vybočiť
Je však potrebné preukázať aj totožnosť (4.12) a (4.13).
Napíšme zrejmý vektorový vzorec pre polohový vektor ľubovoľného bodu (obr. 4.6) v maticovom tvare. Nájdite súradnice vektora vzhľadom na referenčnú základňu. Rozviňme vektor podľa skutočnej bázy a zaveďme „prenesený“ vektor, ktorého súradnice v referenčnej báze sa rovnajú súradniciam vektora v aktuálnom; inými slovami, - vektor „rotoval“ spolu s telom (obr.4.6).
| Ryža. 4.6. |
Rozšírením vektorov podľa referenčného základu získame
Zavádzame rotačnú maticu a stĺpce,
Vektorový vzorec v maticovom zápise má tvar
1. Matica rotácie je ortogonálna, t.j.
Dôkazom tohto tvrdenia je vzorec (4.9)
Výpočtom determinantu súčinu (4.15) dostaneme a keďže v referenčnej polohe sa potom (ortogonálne matice s determinantom rovným (+1) nazývajú vlastne ortogonálne alebo rotačné matice). Rotačná matica pri vynásobení vektormi nemení ani dĺžky vektorov, ani uhly medzi nimi, t.j. naozaj oni otočí.
2. Matica rotácie má jeden vlastný vektor (pevný), ktorý definuje os rotácie. Inými slovami, je potrebné ukázať, že sústava rovníc má jedinečné riešenie. Systém zapíšeme v tvare (. Determinant tohto homogénneho systému je rovný nule, keďže
systém má teda nenulové riešenie. Za predpokladu, že existujú dve riešenia, okamžite prídeme na to, že to, ktoré je na ne kolmé, je tiež riešením (uhly medzi vektormi sa nemenia), čo znamená, že t.j. žiadna odbočka..
| Obr.4.7 |
Matica na ortonormálnom základe
má pohľad.
2. Diferencovaním (4.15) získame alebo, označíme - maticu späť (angl. točiť - krútiť sa). Spinovacia matica je teda šikmo symetrická: . Vynásobením sprava získame Poissonov vzorec pre rotačnú maticu:
V rámci maticového popisu sme sa dostali k najťažšiemu momentu - určovaniu vektora uhlovej rýchlosti.
Môžete, samozrejme, konať štandardným spôsobom (pozri napr. spôsob a napíšte: „ zavádzame označenie prvkov šikmo symetrickej matice S podľa vzorca
Ak urobíme vektor , potom výsledok vynásobenia matice vektorom môže byť reprezentovaný ako krížový súčin". Vo vyššie uvedenom citáte - vektor uhlovej rýchlosti.
Diferencovaním (4.14) získame maticovú reprezentáciu základného vzorca pre kinematiku tuhého telesa :
Maticový prístup, ktorý je vhodný na výpočty, je veľmi málo vhodný na analýzu a odvodenie vzťahov; každý vzorec napísaný vo vektorovom a tenzorovom jazyku sa dá ľahko zapísať v maticovej forme, ale je ťažké získať kompaktný a expresívny vzorec na opísanie akéhokoľvek fyzikálneho javu v maticovej forme.
Okrem toho by sme nemali zabúdať, že maticové prvky sú súradnice (komponenty) tenzora na určitom základe. Samotný tenzor nezávisí od výberu základu, ale jeho komponentov. Pre bezchybný zápis v maticovej forme je potrebné, aby všetky vektory a tenzory zahrnuté vo výraze boli napísané na rovnakom základe, čo nie je vždy vhodné, pretože rôzne tenzory majú „jednoduchý“ tvar v rôznych základoch, takže potreba prepočítať matice pomocou matíc prechodov .
