Maximum je najvyšší počet alebo najvyšší limit, ktorý možno dosiahnuť. Minimum je, ako všetci veľmi dobre vieme, priamym opakom maxima, t.j. toto je najmenší počet a najmenší limit. Slová minimum a maximum, ako aj ich deriváty, sa nachádzajú v takých výrazoch a frázach ako:
Vyťažte z komunikácie maximum.
Aby ste sa naučili báseň, musíte si ju prečítať aspoň 3-4 krát.
Maximálne, čo môže urobiť, je...
Majú minimálne dvoch spoločných priateľov.
Získal maximálny počet bodov.
Využite svoje príležitosti na maximum!
Toto je minimum, čo potrebujete vedieť.
Životné minimum.
Minimálny atmosférický tlak.
Minimálne/maximálne chladné počasie počas .... rokov.
Na dokončenie tejto úlohy budete potrebovať aspoň niekoľko hodín.
Pojmy ako maximum a minimum možno nájsť aj v špeciálnych vedeckých termínoch. Napríklad v matematike existuje pojem ako maximum a minimum funkcie.
V matematike sa teda maximálna hodnota funkcie nazýva maximum. V tomto prípade je maximálna hodnota funkcie väčšia ako všetky jej susedné hodnoty. Maximum funkcie je jej hodnota, keď sa hodnota najskôr zvýši a potom hneď začne klesať, pričom maximum má v mieste, kde prírastok a pokles funkcie prechádza z jednej do druhej. Minimum funkcie je teda najmenšia hodnota funkcie.
Prvú deriváciu funkcie možno považovať za pozitívnu, ak sa zvýši, keď premennú zväčšíme, potom funkciu možno považovať za pozitívnu. Ak sa prvá premenná znižuje so zvyšujúcou sa deriváciou, potom by sa funkcia mala považovať za negatívnu.
Derivácia je základná hodnota používaná pri diferenciálnych výpočtoch (štúdium derivácií a diferenciálov, ktoré pomáhajú pri štúdiu matematických funkcií), možno ju chápať ako rýchlosť zmeny funkcie v určitom bode. Čím väčšia rýchlosť, tým viac sa funkcia mení, čím menej, tým pomalšie (to však platí len vtedy, ak je funkcia kladná). Je to teda rýchlosť zmeny funkcie v danom bode, ktorá určuje jej sklony a konvexnosti. Premenná je veličina, ktorá môže meniť svoju hodnotu. Označuje sa ako x alebo čas.
Premennú možno považovať za atribút systému (fyzického aj abstraktného), ktorý môže meniť svoju hodnotu. V globálnejšom zmysle možno premennú nazvať časom, teplotou a vo všeobecnosti celým životom (môžu sa meniť). Premenná má veľa hodnôt, ktoré môže nadobudnúť. Môžeme predpokladať, že táto množina je premenná.
Čo sa týka samotnej funkcie, musí prejsť od kladnej do zápornej hodnoty cez nulu. Teda pri hodnote premennej, ktorej zodpovedá maximum funkcie, bude jej derivácia rovná nule. Práve táto vlastnosť funkcie nám umožňuje určiť hodnoty x, pri ktorých funkcia dosiahne svoje maximum. Ak však premennú zväčšíme a zároveň sa funkcia najskôr zväčší a potom zníži, funkcia pri zmene zo zápornej hodnoty na kladnú hodnotu (prechod nulou) nedosiahne maximum, ale naopak, minimálna hodnota. Aj keď by sa to logicky dalo brať ako maximálna hodnota (nachádza sa v hornom bode funkcie).
Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú aj extrémne body.
V bežnom živote aj v matematike sú teda maximum a minimum dva extrémne protiklady, ktoré znamenajú niečo najväčšie a niečo najmenšie.
Extrémny bod funkcie je bod v oblasti definície funkcie, v ktorom hodnota funkcie nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Hodnoty funkcie v týchto bodoch sa nazývajú extrémy (minimum a maximum) funkcie.
Definícia. Bodka X1 funkčná doména f(X) sa nazýva maximálny bod funkcie , ak je hodnota funkcie v tomto bode väčšia ako hodnoty funkcie v bodoch dostatočne blízko k nej umiestnených napravo a naľavo od nej (to znamená, že nerovnosť platí f(X0 ) > f(X 0 + Δ X) X1 maximálne.
Definícia. Bodka X2 funkčná doména f(X) sa nazýva minimálny bod funkcie, ak je hodnota funkcie v tomto bode menšia ako hodnoty funkcie v bodoch dostatočne blízko k nej umiestnených napravo a naľavo od nej (to znamená, že nerovnosť platí f(X0 ) < f(X 0 + Δ X) ). V tomto prípade hovoríme, že funkcia má v bode X2 minimálne.
Povedzme bod X1 - maximálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X1 funkcia sa zvyšuje, preto je derivácia funkcie väčšia ako nula ( f "(X) > 0 ) a v intervale po X1 funkcia sa teda znižuje, derivácia funkcie menej ako nula ( f "(X) < 0 ). Тогда в точке X1
Predpokladajme tiež, že bod X2 - minimálny bod funkcie f(X). Potom v intervale až X2 funkcia je klesajúca a derivácia funkcie je menšia ako nula ( f "(X) < 0 ), а в интервале после X2 funkcia je rastúca a derivácia funkcie je väčšia ako nula ( f "(X) > 0). V tomto prípade aj v bode X2 derivácia funkcie je nulová alebo neexistuje.
Fermatova veta (nevyhnutný znak existencie extrému funkcie). Ak bod X0 - extrémny bod funkcie f(X), potom sa v tomto bode derivácia funkcie rovná nule ( f "(X) = 0 ) alebo neexistuje.
Definícia. Volajú sa body, v ktorých je derivácia funkcie nulová alebo neexistuje kritických bodov .
Príklad 1 Zoberme si funkciu.
Na mieste X= 0 derivácia funkcie je nula, teda bod X= 0 je kritický bod. Ako však možno vidieť na grafe funkcie, zvyšuje sa v celej oblasti definície, takže bod X= 0 nie je extrémnym bodom tejto funkcie.
Teda podmienky, že derivácia funkcie v bode sa rovná nule alebo neexistuje, sú nevyhnutné podmienky pre extrém, ale nie postačujúce, keďže možno uviesť aj iné príklady funkcií, pre ktoré sú tieto podmienky splnené, ale funkcia nemá v príslušnom bode extrém. Preto musí existovať dostatok dôkazov, ktorý umožňuje posúdiť, či v konkrétnom kritickom bode existuje extrém a aký druh extrému je - maximálny alebo minimálny.
Veta (prvý dostatočný znak existencie extrému funkcie). Kritický bod X0 f(X) ak pri prechode týmto bodom derivácia funkcie zmení znamienko a ak sa znamienko zmení z „plus“ na „mínus“, potom ide o maximálny bod a ak z „mínusu“ na „plus“, potom je to minimálny bod.
Ak je blízko bodu X0 , naľavo a napravo od neho si derivácia zachováva svoje znamienko, to znamená, že funkcia buď iba klesá, alebo rastie len v určitom okolí bodu X0 . V tomto prípade v bode X0 neexistuje extrém.
takže, na určenie extrémnych bodov funkcie musíte urobiť nasledovné :
- Nájdite deriváciu funkcie.
- Prirovnajte deriváciu k nule a určte kritické body.
- Mentálne alebo na papieri označte kritické body na číselnej osi a určte znamienka derivácie funkcie vo výsledných intervaloch. Ak sa znamienko derivácie zmení z „plus“ na „mínus“, potom kritickým bodom je maximálny bod a ak z „mínus“ na „plus“, potom minimálny bod.
- Vypočítajte hodnotu funkcie v extrémnych bodoch.
Príklad 2 Nájdite extrémy funkcie 
.
Riešenie. Poďme nájsť deriváciu funkcie:
Prirovnajme deriváciu k nule, aby sme našli kritické body:
.
Keďže pre žiadne hodnoty „x“ sa menovateľ nerovná nule, prirovnáme čitateľa k nule:
Mám jeden kritický bod X= 3. Určme znamienko derivácie v intervaloch ohraničených týmto bodom:
v rozsahu od mínus nekonečna do 3 - znamienko mínus, to znamená, že funkcia klesá,
v intervale od 3 do plus nekonečna je znamienko plus, to znamená, že funkcia sa zvyšuje.
Teda bodka X= 3 je minimálny bod.
Nájdite hodnotu funkcie v minimálnom bode:
Nájdeme teda extrémny bod funkcie: (3; 0) a je to minimálny bod.
Veta (druhý dostatočný znak existencie extrému funkcie). Kritický bod X0 je extrémnym bodom funkcie f(X) ak sa druhá derivácia funkcie v tomto bode nerovná nule ( f ""(X) ≠ 0 ), a ak je druhá derivácia väčšia ako nula ( f ""(X) > 0 ), potom maximálny bod a ak je druhá derivácia menšia ako nula ( f ""(X) < 0 ), то точкой минимума.
Poznámka 1. Ak v bode X0 Ak prvý aj druhý derivát zmiznú, potom v tomto bode nie je možné posúdiť prítomnosť extrému na základe druhého dostatočného kritéria. V tomto prípade musíte použiť prvé dostatočné kritérium pre extrém funkcie.
Poznámka 2. Druhé dostatočné kritérium pre extrém funkcie nie je použiteľné, aj keď prvá derivácia neexistuje v stacionárnom bode (vtedy neexistuje ani druhá derivácia). V tomto prípade musíte použiť aj prvý dostatočný znak extrému funkcie.
Lokálny charakter extrémov funkcie
Z uvedených definícií vyplýva, že extrém funkcie má lokálny charakter – je to najväčšia a najmenšia hodnota funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami.
Povedzme, že sa pozeráte na svoje zárobky za obdobie jedného roka. Ak ste v máji zarobili 45 000 rubľov a v apríli 42 000 rubľov a v júni 39 000 rubľov, potom sú májové zárobky maximom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. Ale v októbri ste zarobili 71 000 rubľov, v septembri 75 000 rubľov a v novembri 74 000 rubľov, takže októbrové zárobky sú minimom zárobkovej funkcie v porovnaní s blízkymi hodnotami. A môžete ľahko vidieť, že maximum medzi hodnotami apríl-máj-jún je menšie ako minimum september-október-november.
Všeobecne povedané, v intervale môže mať funkcia niekoľko extrémov a môže sa ukázať, že niektoré minimum funkcie je väčšie ako akékoľvek maximum. Takže pre funkciu znázornenú na obrázku vyššie, .
To znamená, že by sme si nemali myslieť, že maximum a minimum funkcie sú jej najväčšie a najmenšie hodnoty v celom uvažovanom segmente. V maximálnom bode má funkcia najväčšiu hodnotu len v porovnaní s tými hodnotami, ktoré má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k maximálnemu bodu a v minimálnom bode má najmenšiu hodnotu len v porovnaní s týmito hodnotami. že má vo všetkých bodoch dostatočne blízko k minimálnemu bodu.
Preto môžeme objasniť vyššie uvedený koncept extrémnych bodov funkcie a nazvať minimálne body lokálne minimálne body a maximálne body lokálne maximálne body.
Spoločne hľadáme extrémy funkcie
Príklad 3
Riešenie: Funkcia je definovaná a spojitá na celej číselnej osi. Jeho derivát 
existuje aj na celom číselnom rade. Preto sú v tomto prípade kritické len tie, pri ktorých, t.j. , odkiaľ a . Kritické body a rozdeľte celú oblasť definície funkcie na tri intervaly monotónnosti: . Vyberme jeden kontrolný bod v každom z nich a nájdime v tomto bode znamienko derivácie.
Pre interval môže byť kontrolný bod: nájsť. Ak vezmeme bod v intervale, dostaneme, a vezmeme bod v intervale, dostaneme. Takže v intervaloch a , av intervale . Podľa prvého dostatočného kritéria pre extrém v bode neexistuje extrém (keďže derivácia si zachováva znamienko v intervale) a v bode má funkcia minimum (keďže derivácia pri prechode mení znamienko z mínusu na plus cez tento bod). Nájdite zodpovedajúce hodnoty funkcie: , a . V intervale funkcia klesá, pretože v tomto intervale , a v intervale sa zvyšuje, pretože v tomto intervale .
Na objasnenie konštrukcie grafu nájdeme jeho priesečníky so súradnicovými osami. Keď dostaneme rovnicu, ktorej korene sú a , t.j. nájdeme dva body (0; 0) a (4; 0) grafu funkcie. Pomocou všetkých prijatých informácií zostavíme graf (pozri začiatok príkladu).
Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .
Príklad 4. Nájdite extrémy funkcie a zostavte jej graf.
Definičný obor funkcie je celý číselný rad okrem bodu, t.j. .
Na skrátenie štúdia môžete využiť fakt, že táto funkcia je párna, od r 
. Preto je jeho graf symetrický okolo osi Oj a štúdia môže byť vykonaná len pre interval.
Nájdenie derivátu 
a kritické body funkcie:
1) 
;
2) 
,
ale funkcia trpí v tomto bode diskontinuitou, takže nemôže byť extrémnym bodom.
Daná funkcia má teda dva kritické body: a . Berúc do úvahy paritu funkcie, skontrolujeme iba bod pomocou druhého dostatočného kritéria pre extrém. Aby sme to dosiahli, nájdeme druhú deriváciu 
a určiť jeho znamienko na: dostaneme . Od a , je to minimálny bod funkcie, a 
.
Aby sme získali úplnejší obraz o grafe funkcie, zistime jej správanie na hraniciach domény definície:
(tu symbol označuje túžbu X na nulu sprava a X zostáva pozitívny; podobne znamená ašpiráciu X na nulu zľava a X zostáva negatívny). Teda ak , tak . Ďalej nájdeme
,
tie. Ak potom .
Graf funkcie nemá žiadne priesečníky s osami. Obrázok je na začiatku príkladu.
Na samokontrolu počas výpočtov môžete použiť online derivačná kalkulačka .
Pokračujeme v hľadaní extrémov funkcie spoločne
Príklad 8. Nájdite extrémy funkcie.
Riešenie. Nájdite doménu definície funkcie. Keďže nerovnosť musí byť splnená, získame z .
Poďme nájsť prvú deriváciu funkcie.
Veta. (nevyhnutná podmienka existencie extrému) Ak je funkcia f(x) diferencovateľná v bode x = x 1 a bod x 1 je extrémnym bodom, potom derivácia funkcie v tomto bode zaniká.
Dôkaz. Predpokladajme, že funkcia f(x) má maximum v bode x = x 1.
Potom pre dostatočne malé kladné Dх>0 platí nasledujúca nerovnosť:
A-priorita:
Tie. ak Dх®0, ale Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, potom f¢(x 1) £ 0.
A to je možné len vtedy, ak pri Dх®0 f¢(x 1) = 0.
Pre prípad, že funkcia f(x) má minimum v bode x 2, veta sa dokáže podobným spôsobom.
Veta bola dokázaná.
Dôsledok. Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Ak sa derivácia funkcie v určitom bode rovná nule, neznamená to, že funkcia má v tomto bode extrém. Výrečným príkladom je funkcia y = x 3, ktorej derivácia sa v bode x = 0 rovná nule, ale v tomto bode má funkcia iba inflexiu, a nie maximum ani minimum.
Definícia. Kritické body funkcie sú body, v ktorých derivácia funkcie neexistuje alebo sa rovná nule.
Vyššie diskutovaná veta nám dáva potrebné podmienky na existenciu extrému, ale to nestačí.
Príklad: f(x) = ôxô Príklad: f(x) =
y y
V bode x = 0 má funkcia minimum, ale v bode x = 0 funkcia nemá ani jedno
nemá derivát. maximum, žiadne minimum, žiadna produkcia
Všeobecne povedané, funkcia f(x) môže mať extrém v bodoch, kde derivácia neexistuje alebo sa rovná nule.
Veta. (Dostatočné podmienky pre existenciu extrému)
Nech je funkcia f(x) spojitá v intervale (a, b), ktorý obsahuje kritický bod x 1, a diferencovateľná vo všetkých bodoch tohto intervalu (snáď okrem samotného bodu x 1).
Ak pri prechode bodom x 1 zľava doprava derivácia funkcie f¢(x) zmení znamienko z „+“ na „-“, potom v bode x = x 1 má funkcia f(x) maximum a ak derivácia zmení znamienko z „- “ na „+“ - potom má funkcia minimum.
Dôkaz.
Nechaj 
Podľa Lagrangeovej vety: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), kde x< e < x 1 .
Potom: 1) Ak x< x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно
f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).
2) Ak x > x 1, potom e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно
f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).
Keďže sa odpovede zhodujú, môžeme povedať, že f(x)< f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.
Dôkaz vety pre bod minima je podobný.
Veta bola dokázaná.
Na základe vyššie uvedeného môžete vyvinúť jednotný postup na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie v segmente:
1) Nájdite kritické body funkcie.
2) Nájdite hodnoty funkcie v kritických bodoch.
3) Nájdite hodnoty funkcie na koncoch segmentu.
4) Zo získaných hodnôt vyberte najväčšiu a najmenšiu.
Štúdium funkcie pre extrémne použitie
deriváty vyšších rádov.
Nech v bode x = x 1 f¢(x 1) = 0 a f¢¢(x 1) existuje a je spojitý v nejakom okolí bodu x 1.
Veta. Ak f¢(x 1) = 0, potom funkcia f(x) v bode x = x 1 má maximum, ak f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Dôkaz.
Nech f¢(x 1) = 0 a f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .
Pretože f¢¢(x) = (f¢(x))¢< 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) >0 na x
Pre prípad minimálnej funkcie sa veta dokazuje podobným spôsobom.
Ak f¢¢(x) = 0, potom povaha kritického bodu nie je známa. Na jeho určenie je potrebný ďalší výskum.
Konvexnosť a konkávnosť krivky.
Inflexné body.
Definícia. Krivka je konvexná hore na intervale (a, b), ak všetky jeho body ležia pod niektorou z jeho dotyčníc na tomto intervale. Krivka konvexná smerom nahor sa nazýva konvexné a nazýva sa krivka smerujúca konvexne nadol konkávne.
pri
Obrázok znázorňuje ilustráciu vyššie uvedenej definície.
Veta 1. Ak je vo všetkých bodoch intervalu (a, b) druhá derivácia funkcie f(x) záporná, potom krivka y = f(x) je konvexná smerom nahor (konvexná).
Dôkaz. Nech x 0 О (a, b). V tomto bode nakreslíme dotyčnicu ku krivke.
Rovnica krivky: y = f(x);
Tangentová rovnica:
Musí byť preukázané, že .
Podľa Lagrangeovej vety pre f(x) – f(x 0): , x 0< c < x.
Podľa Lagrangeovej vety pre 
Nech x > x 0, potom x 0< c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 >0 a c – x 0 > 0, a navyše podľa podmienky
Preto, .
Nech x< x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то
Podobne je dokázané, že ak f¢¢(x) > 0 na intervale (a, b), potom krivka y=f(x) je na intervale (a, b) konkávna.
Veta bola dokázaná.
Definícia. Bod oddeľujúci konvexnú časť krivky od konkávnej časti sa nazýva inflexný bod.
Je zrejmé, že v inflexnom bode dotyčnica pretína krivku.
Veta 2. Nech je krivka definovaná rovnicou y = f(x). Ak druhá derivácia f¢¢(a) = 0 alebo f¢¢(a) neexistuje a pri prechode bodom x = a f¢¢(x) sa zmení znamienko, potom bod krivky s os x = a je inflexný bod.
Dôkaz. 1) Nech f¢¢(x)< 0 при х < a и f¢¢(x) >0 pre x > a. Potom o
X< a кривая выпукла, а при x >a krivka je konkávna, t.j. bod x = a – inflexný bod.
2) Nech f¢¢(x) > 0 pre x< b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x >b – konvexné smerom nahor. Potom x = b je inflexný bod.
Veta bola dokázaná.
Asymptoty.
Pri štúdiu funkcií sa často stáva, že keď sa x-ová súradnica bodu na krivke posunie do nekonečna, krivka sa neurčito približuje k určitej priamke.
Definícia. Priamka je tzv asymptota krivka, ak vzdialenosť od premenlivého bodu krivky k tejto priamke smeruje k nule, keď sa bod pohybuje do nekonečna.
Treba poznamenať, že nie každá krivka má asymptotu. Asymptoty môžu byť priame alebo šikmé. Štúdium funkcií na prítomnosť asymptot má veľký význam a umožňuje presnejšie určiť povahu funkcie a správanie krivkového grafu.
Všeobecne povedané, krivka, ktorá sa neurčito približuje k svojej asymptote, ju môže pretínať, a nie v jednom bode, ako je znázornené na grafe funkcie nižšie 
. Jeho šikmá asymptota je y = x.
Pozrime sa podrobnejšie na metódy hľadania asymptot kriviek.
Vertikálne asymptoty.
Z definície asymptoty vyplýva, že ak alebo alebo , potom priamka x = a je asymptotou krivky y = f(x).
Napríklad pre funkciu je priamka x = 5 vertikálna asymptota.
Šikmé asymptoty.
Predpokladajme, že krivka y = f(x) má šikmú asymptotu y = kx + b.
 |
Označme priesečník krivky a kolmice k asymptote - M, P - priesečník tejto kolmice s asymptotou. Označme uhol medzi asymptotou a osou Ox ako j. Kolmá MQ na os Ox pretína asymptotu v bode N.
Potom MQ = y je ordináta bodu na krivke, NQ = je ordináta bodu N na asymptote.
Podľa podmienky: , ÐNMP = j, .
Uhol j je teda konštantný a nerovná sa 90 0
Potom 
.
Takže priamka y = kx + b je asymptota krivky. Na presné určenie tejto čiary je potrebné nájsť spôsob výpočtu koeficientov k a b.
Vo výslednom výraze vyberieme x zo zátvoriek:
Pretože x®¥ teda 
, pretože b = konšt 
.
Potom 
, teda,
.
Pretože 
, To 
, teda,
Všimnite si, že horizontálne asymptoty sú špeciálnym prípadom šikmých asymptot pre k = 0.
Príklad. 
.
1) Vertikálne asymptoty: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, teda x = 0 je vertikálna asymptota.
2) Šikmé asymptoty:
Priamka y = x + 2 je teda šikmá asymptota.
Nakreslíme funkciu:
Príklad. Nájdite asymptoty a nakreslite graf funkcie.
Čiary x = 3 a x = -3 sú zvislé asymptoty krivky.
Nájdite šikmé asymptoty: 
y = 0 – horizontálna asymptota.
Príklad. Nájdite asymptoty a nakreslite graf funkcie 
.
Priamka x = -2 je vertikálna asymptota krivky.
Nájdime šikmé asymptoty.
Celkovo je priamka y = x – 4 šikmá asymptota.
Schéma štúdie funkcií
Proces skúmania funkcií pozostáva z niekoľkých etáp. Pre čo najúplnejšie pochopenie správania sa funkcie a povahy jej grafu je potrebné nájsť:
1) Oblasť existencie funkcie.
Tento koncept zahŕňa doménu hodnôt aj oblasť definície funkcie.
2) Body zlomu. (Ak je k dispozícii).
3) Intervaly nárastu a poklesu.
4) Maximálny a minimálny počet bodov.
5) Maximálna a minimálna hodnota funkcie v jej definičnom obore.
6) Oblasti konvexnosti a konkávnosti.
7) Inflexné body (ak existujú).
8) Asymptoty (ak existujú).
9) Zostavenie grafu.
Pozrime sa na aplikáciu tejto schémy na príklade.
Príklad. Preskúmajte funkciu a vytvorte jej graf.
Nájdeme doménu existencie funkcie. To je zrejmé doména definície funkcia je plocha (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
Na druhej strane je jasné, že priamky x = 1, x = -1 sú vertikálne asymptoty nepoctivý.
Rozsah hodnôt tejto funkcie je interval (-¥; ¥).
Body zlomu funkcie sú body x = 1, x = -1.
nachádzame kritických bodov.
Poďme nájsť deriváciu funkcie
Kritické body: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.
Nájdite druhú deriváciu funkcie
Určme konvexnosť a konkávnosť krivky v intervaloch.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < 0, y¢¢ >0, konkávna krivka
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢ >0, konkávna krivka
< x < ¥, y¢¢ >0, konkávna krivka
Hľadanie medzier zvyšujúci sa A zostupne funkcie. Na to určíme znamienka derivácie funkcie na intervaloch.
-¥ < x < - , y¢ >0, funkcia sa zvyšuje
- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, y¢¢ >0, funkcia sa zvyšuje
Je vidieť, že bod x = - je bod maximálne a bod x = je bod minimálne. Funkčné hodnoty v týchto bodoch sa rovnajú -3 /2 a 3 /2.
O vertikále asymptoty už bolo povedané vyššie. Teraz poďme nájsť šikmé asymptoty.
Celkovo je rovnica šikmej asymptoty y = x.
Poďme stavať harmonogram Vlastnosti:
Funkcie viacerých premenných
Pri zvažovaní funkcií viacerých premenných sa obmedzíme na podrobný popis funkcií dvoch premenných, od r všetky získané výsledky budú platné pre funkcie ľubovoľného počtu premenných.
Definícia: Ak je každá dvojica vzájomne nezávislých čísel (x, y) z určitej množiny podľa nejakého pravidla spojená s jednou alebo viacerými hodnotami premennej z, potom sa premenná z nazýva funkcia dvoch premenných.
Definícia: Ak dvojica čísel (x, y) zodpovedá jednej hodnote z, potom sa funkcia volá jednoznačné, a ak viac ako jeden, potom – polysémantický.
Definícia: Doména definície funkcia z je množina párov (x, y), pre ktoré existuje funkcia z.
Definícia: Okolie bodu M 0 (x 0, y 0) polomeru r je množina všetkých bodov (x, y), ktoré spĺňajú podmienku 
.
Definícia: Volá sa číslo A limit funkcia f(x, y) ako bod M(x, y) smeruje k bodu M 0 (x 0, y 0), ak pre každé číslo e > 0 existuje číslo r > 0 také, že pre ľubovoľný bod M (x, y), pre ktoré platí podmienka
podmienka je tiež pravdivá 
.
Zapíšte si: 
Definícia: Nech bod M 0 (x 0, y 0) patrí do definičného oboru funkcie f(x, y). Potom sa zavolá funkcia z = f(x, y). nepretržitý v bode M 0 (x 0, y 0), ak
(1)
a bod M(x, y) smeruje k bodu M 0 (x 0, y 0) ľubovoľným spôsobom.
Ak v niektorom bode nie je splnená podmienka (1), potom sa volá tento bod bod zlomu funkcie f(x, y). Môže to byť v nasledujúcich prípadoch:
1) Funkcia z = f(x, y) nie je definovaná v bode M 0 (x 0, y 0).
2) Neexistuje žiadny limit.
3) Táto limita existuje, ale nerovná sa f(x 0 , y 0).
Nehnuteľnosť. Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretom a
ohraničená oblasť D, potom v tejto oblasti je aspoň jeden bod
N(x 0 , y 0 , …), takže pre zvyšné body platí nerovnosť
f(x 0, y 0, ...) ³ f(x, y, ...)
ako aj bod N 1 (x 01, y 01, ...), takže pre všetky ostatné body platí nerovnosť
f(x 01, y 01, ...) £ f(x, y, ...)
potom f(x 0, y 0, …) = M – najvyššia hodnota funkcie a f(x 01 , y 01 , ...) = m – najmenšia hodnota funkcie f(x, y, ...) v doméne D.
Spojitá funkcia v uzavretej a ohraničenej oblasti D dosiahne svoju najväčšiu hodnotu aspoň raz a najmenšiu hodnotu raz.
Nehnuteľnosť. Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D a M a m sú najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v tejto oblasti, potom pre ľubovoľný bod m О je tu pointa
N° (x 0, yo, ...) tak, že f(x0, yo, ...) = m.
Jednoducho povedané, spojitá funkcia preberá v doméne D všetky stredné hodnoty medzi M a m. Dôsledkom tejto vlastnosti môže byť záver, že ak čísla M a m majú rôzne znamienka, tak v obore D funkcia aspoň raz zanikne.
Nehnuteľnosť.
Funkcia f(x, y, …), spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D, obmedzené v tejto oblasti, ak existuje číslo K také, že pre všetky body v oblasti platí nerovnosť 
.
Nehnuteľnosť. Ak je funkcia f(x, y, …) definovaná a spojitá v uzavretej ohraničenej oblasti D, potom je rovnomerne súvislé v tejto oblasti, t.j. pre každé kladné číslo e existuje číslo D > 0 také, že pre ľubovoľné dva body (x 1, y 1) a (x 2, y 2) oblasti vo vzdialenosti menšej ako D platí nerovnosť
Vyššie uvedené vlastnosti sú podobné vlastnostiam funkcií jednej premennej, ktoré sú spojité na intervale. Pozrite si Vlastnosti funkcií spojitých v intervale.
Derivácie a diferenciály funkcií
niekoľko premenných.
Definícia. Nech je v nejakom obore daná funkcia z = f(x, y). Zoberme si ľubovoľný bod M(x, y) a nastavme prírastok Dx premennej x. Potom sa volá veličina D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y). čiastočný prírastok funkcie v x.
Môžete napísať
.
Potom sa volá čiastočná derivácia funkcie z = f(x, y) v x.
Označenie: 
Parciálna derivácia funkcie vzhľadom na y sa určí podobne.
Geometrický zmysel parciálna derivácia (povedzme) je dotyčnica uhla sklonu dotyčnice vedenej v bode N 0 (x 0, y 0, z 0) k rezu plochy rovinou y = y 0.
Plný prírastok a plný diferenciál.
dotyková rovina
Nech N a N 0 sú body tohto povrchu. Nakreslíme priamku NN 0. Rovina, ktorá prechádza bodom N 0 sa nazýva dotyková rovina k povrchu, ak uhol medzi sečnicou NN 0 a touto rovinou smeruje k nule, keď vzdialenosť NN 0 smeruje k nule.
Definícia. Normálne k povrchu v bode N 0 je priamka prechádzajúca bodom N 0 kolmá na dotykovú rovinu k tomuto povrchu.
V každom bode má povrch buď iba jednu dotykovú rovinu, alebo ju nemá vôbec.
Ak je plocha daná rovnicou z = f(x, y), kde f(x, y) je funkcia diferencovateľná v bode M 0 (x 0, y 0), dotyková rovina v bode N 0 ( x 0,y 0, ( x 0 ,y 0)) existuje a má rovnicu:
Rovnica normály k povrchu v tomto bode je:
Geometrický zmysel celkový diferenciál funkcie dvoch premenných f(x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikácie (s súradníc z) dotyčnicovej roviny k povrchu pri pohybe z bodu (x 0 , y 0) do bodu (x 0 + Dx, y 0 + Dу).
Ako vidíte, geometrický význam totálneho diferenciálu funkcie dvoch premenných je priestorovou analógiou geometrického významu diferenciálu funkcie jednej premennej.
Príklad. Nájdite rovnice dotykovej roviny a normály k povrchu
v bode M(1, 1, 1).
Rovnica dotykovej roviny:
Normálna rovnica:
Približné výpočty pomocou celkových diferenciálov.
Celkový diferenciál funkcie u sa rovná:
Presná hodnota tohto výrazu je 1,049275225687319176.
Parciálne deriváty vyšších rádov.
Ak je funkcia f(x, y) definovaná v nejakej oblasti D, potom jej parciálne derivácie budú tiež definované v tej istej oblasti alebo jej časti.
Tieto deriváty budeme nazývať parciálne deriváty prvého rádu.
Deriváty týchto funkcií budú parciálne deriváty druhého rádu.
Pokračujúc v diferencovaní výsledných rovníc získame parciálne derivácie vyšších rádov.
Z tohto článku sa čitateľ dozvie o tom, čo je extrém funkčnej hodnoty, ako aj o vlastnostiach jeho použitia v praktických činnostiach. Štúdium takéhoto konceptu je mimoriadne dôležité pre pochopenie základov vyššej matematiky. Táto téma je základom pre hlbšie štúdium kurzu.
V kontakte s
Čo je to extrém?
V školskom kurze je uvedených veľa definícií pojmu „extrém“. Cieľom tohto článku je poskytnúť čo najhlbšie a najjasnejšie pochopenie pojmu pre tých, ktorí túto problematiku neznajú. Pod pojmom sa teda rozumie, do akej miery funkčný interval nadobúda minimálnu alebo maximálnu hodnotu na určitom súbore.
Extrém je minimálna a zároveň maximálna hodnota funkcie. Existuje minimálny bod a maximálny bod, to znamená extrémne hodnoty argumentu v grafe. Hlavné vedy, ktoré používajú tento koncept, sú:
- štatistiky;
- ovládanie stroja;
- ekonometrie.
Extrémne body hrajú dôležitú úlohu pri určovaní postupnosti danej funkcie. Súradnicový systém v grafe najlepšie zobrazuje zmenu krajnej polohy v závislosti od zmeny funkčnosti.
Extrémy derivačnej funkcie
Existuje aj fenomén ako „derivát“. Je potrebné určiť extrémny bod. Je dôležité nezamieňať minimálne alebo maximálne body s najvyššími a najnižšími hodnotami. Ide o odlišné pojmy, aj keď sa môžu zdať podobné.
Hodnota funkcie je hlavným faktorom pri určovaní spôsobu nájdenia maximálneho bodu. Derivát nie je tvorený z hodnôt, ale výlučne z jeho krajnej polohy v tom či onom poradí.
Samotný derivát je určený na základe týchto extrémnych bodov a nie na základe najväčšej alebo najmenšej hodnoty. V ruských školách nie je jasne stanovená hranica medzi týmito dvoma pojmami, čo ovplyvňuje chápanie tejto témy vo všeobecnosti.
Uvažujme teraz o takomto koncepte ako o „akútnom extréme“. Dnes je akútna minimálna hodnota a akútna maximálna hodnota. Definícia je uvedená v súlade s ruskou klasifikáciou kritických bodov funkcie. Koncept extrémneho bodu je základom pre nájdenie kritických bodov v grafe.
Na definovanie takéhoto pojmu sa uchyľujú k použitiu Fermatovej vety. Je to najdôležitejšie pri štúdiu extrémnych bodov a dáva jasnú predstavu o ich existencii v tej či onej forme. Na zabezpečenie extrémnosti je dôležité vytvoriť na grafe určité podmienky pre pokles alebo nárast.
Ak chcete presne odpovedať na otázku „ako nájsť maximálny bod“, musíte postupovať podľa týchto pokynov:
- Nájdenie presnej domény definície na grafe.
- Hľadajte deriváciu funkcie a extrémny bod.
- Vyriešte štandardné nerovnosti pre doménu, kde sa nachádza argument.
- Vedieť dokázať, v ktorých funkciách je bod na grafe definovaný a spojitý.
Pozor! Hľadanie kritického bodu funkcie je možné len vtedy, ak existuje derivácia aspoň druhého rádu, čo je zabezpečené vysokým podielom prítomnosti extrémneho bodu.
Nevyhnutná podmienka pre extrém funkcie
Aby existoval extrém, je dôležité, aby existoval minimálny aj maximálny počet bodov. Ak je toto pravidlo dodržané len čiastočne, tak je porušená podmienka existencie extrému.
Každá funkcia na akejkoľvek pozícii musí byť diferencovaná, aby bolo možné identifikovať jej nové významy. Je dôležité pochopiť, že prípad, keď sa bod dostane na nulu, nie je hlavným princípom na nájdenie diferencovateľného bodu.
Akútny extrém, rovnako ako minimum funkcie, je mimoriadne dôležitým aspektom riešenia matematického problému pomocou extrémnych hodnôt. Pre lepšie pochopenie tohto komponentu je dôležité odkázať na tabuľkové hodnoty pre špecifikáciu funkčnosti.
| Výskum plného významu | Vykreslenie grafu hodnôt |
| 1. Určenie bodov rastúcich a klesajúcich hodnôt. 2. Nájdenie bodov nespojitosti, extrému a priesečníka so súradnicovými osami. 3. Proces určovania zmien polohy na grafe. 4. Určenie indikátora a smeru konvexnosti a konvexnosti, berúc do úvahy prítomnosť asymptot. 5. Tvorba súhrnnej tabuľky výskumu z pohľadu určenia jej súradníc. 6. Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich krajných a ostrých bodov. 7. Stanovenie konvexnosti a konkávnosti krivky. 8. Vykreslenie grafu s prihliadnutím na výskum vám umožňuje nájsť minimum alebo maximum. |
Hlavným prvkom, keď je potrebné pracovať s extrémnymi bodmi, je presná konštrukcia jeho grafu. Učitelia škôl často nevenujú maximálnu pozornosť takémuto dôležitému aspektu, ktorý je hrubým porušením výchovno-vzdelávacieho procesu. Konštrukcia grafu prebieha iba na základe výsledkov štúdia funkčných údajov, identifikácie akútnych extrémov, ako aj bodov na grafe. Ostré extrémy derivačnej funkcie sú zobrazené na grafe presných hodnôt pomocou štandardného postupu na určenie asymptot. Maximálne a minimálne body funkcie sú sprevádzané zložitejšími grafovými konštrukciami. Je to spôsobené hlbšou potrebou prepracovať sa cez problém akútneho extrému. Je tiež potrebné nájsť deriváciu komplexnej a jednoduchej funkcie, pretože ide o jeden z najdôležitejších pojmov v probléme extrému. |
Extrém funkčného
Ak chcete nájsť vyššie uvedenú hodnotu, musíte dodržiavať nasledujúce pravidlá:
- určiť nevyhnutnú podmienku pre extrémny vzťah;
- vziať do úvahy dostatočný stav krajných bodov na grafe;
- vykonať výpočet akútneho extrému.
Používajú sa aj pojmy ako slabé minimum a silné minimum. Toto treba brať do úvahy pri určovaní extrému a jeho presnom výpočte. Akútna funkcionalita je zároveň vyhľadanie a vytvorenie všetkých potrebných podmienok pre prácu s grafom funkcie.
Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá sa uvažuje na intervale (a, b).
Ak je možné naznačiť b-okolie bodu x1 patriacemu do intervalu (a, b) tak, že pre všetky x (x1, b) platí nerovnosť f(x1) > f(x), potom y1 = volá sa f1(x1). maximum funkcie y = f(x) pozri obr.
Maximum funkcie y = f(x) označíme max f(x). Ak je možné naznačiť b-okolie bodu x2 patriacemu do intervalu (a, b) tak, že pre všetky x patrí do O (x2, 6), x sa nerovná x2, nerovnosť platí f(x2)< f(x) , potom y2= f(x2) sa nazýva minimum funkcie y-f(x) (pozri obrázok).
Príklad hľadania maxima nájdete v nasledujúcom videu
Minimálne funkcie
Minimum funkcie y = f(x) označíme min f(x). Inými slovami, maximum alebo minimum funkcie y = f(x) volal jeho hodnota, ktorá je väčšia (menšia) ako všetky ostatné hodnoty akceptované v bodoch dostatočne blízkych danej hodnote a odlišných od nej.
Poznámka 1. Maximálna funkcia, definovaná nerovnosťou sa nazýva striktné maximum; nestriktné maximum je určené nerovnosťou f(x1) > = f(x2)
Poznámka 2. majú lokálny charakter (sú to najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v dostatočne malom okolí zodpovedajúceho bodu); jednotlivé minimá funkcie môžu byť väčšie ako maximá tej istej funkcie
V dôsledku toho sa volá maximum (minimum) funkcie miestne maximum(lokálne minimum) na rozdiel od absolútneho maxima (minimum) - najväčšia (najmenšia) hodnota v obore definície funkcie.
Maximum a minimum funkcie sa nazýva extrémum . Extrémy sa nachádzajú na zostavenie grafov funkcií
latinčina extrém znamená "extrémny" význam. Hodnota argumentu x, pri ktorej sa dosiahne extrém, sa nazýva bod extrému. Nevyhnutnú podmienku pre extrém vyjadruje nasledujúca veta.
Veta. V extrémnom bode diferencovateľnej funkcie sa jej derivácia rovná nule.
Veta má jednoduchý geometrický význam: dotyčnica ku grafu diferencovateľnej funkcie v zodpovedajúcom bode je rovnobežná s osou Ox.
