Ak bod M (x; y) leží na priamke prechádzajúcej cez dva dané body M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2) a pomer λ \u003d M 1 M / MM 2, kde bod M delí úsečku M 1 M 2, potom súradnice bodu M
sú určené vzorcami
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Ak je bod M stredom segmentu M 1 M 2, jeho súradnice sú určené vzorcami
x \u003d (x 1 + x 2) / 2, y \u003d (y 1 + y 2) / 2
86. Dané konce A(3; -5) a 6(-1; 1) homogénnej tyče. Určte súradnice jeho ťažiska.
87. Ťažisko homogénnej tyče je v bode M (1; 4), jeden jej koniec je v bode P (-2; 2). Určte súradnice bodu Q druhého konca tejto tyče
88. Sú uvedené vrcholy trojuholníka A(1; -3), 6(3; -5) a C(-5; 7). Určite stredy jeho strán.
89. Dávajú sa dva body A(3; - 1) a B(2; 1). Definuj:
1) súradnice bodu M, symetrické k bodu A vzhľadom na bod B;
2) súradnice bodu N, symetrické k bodu B vzhľadom na bod A.
90. Body M (2; -1), N (-1; 4) a P (-2; 2) sú stredy strán trojuholníka. Určte jeho vrcholy.
91. Sú dané tri vrcholy rovnobežníka A(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3). Určte štvrtý vrchol D oproti B.
92. Dané dva susedné vrcholy rovnobežníka A(-3; 5), B(1; 7) a priesečník jeho uhlopriečok M(1; 1). Definujte dva ďalšie vrcholy.
93. Sú dané tri vrcholy A(2; 3), 6(4; -1) a C(0; 5) rovnobežníka ABCD. Nájdite jeho štvrtý vrchol D.
94. Sú dané vrcholy trojuholníka A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2). Nájdite dĺžku jeho mediánu nakreslenú z vrcholu B.
95. Úsek ohraničený bodmi A (1;-3) a B(4; 3) je rozdelený na tri rovnaké časti. Určte súradnice deliacich bodov.
96. Sú dané vrcholy trojuholníka A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Nájdite priesečník so stranou AC osy jej vnútorného uhla vo vrchole B.
97. Sú uvedené vrcholy trojuholníka A(3; -5), B(-3; 3) a C(-1; -2). Určte dĺžku osy jej vnútorného uhla vo vrchole A.
98. Dané vrcholy trojuholníka A(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Nájdite priesečník s predĺžením strany BC osy jej vonkajšieho uhla vo vrchole A.
99. Dané vrcholy trojuholníka A (3; -5), B (1; - 3), C (2; -2). Určte dĺžku osy jej vonkajšieho uhla vo vrchole B.
100. Dané tri body A(1; -1), B(3; 3) a C(4; 5) ležiace na tej istej priamke. Určte pomer λ, v ktorom každý z nich delí úsečku ohraničenú ďalšími dvoma.
101. Určte súradnice koncov A a B úsečky, ktorá je rozdelená bodmi P (2; 2) a Q (1; 5) na tri rovnaké časti.
102. Priamka prechádza bodmi M 1 (-12; -13) a M 2 (- 2; -5). Nájdite na tejto priamke bod, ktorého súradnica je 3.
103. Priamka prechádza bodmi M(2; -3) a N(-6; 5). Na tomto riadku nájdite bod, ktorého ordináta je -5.
104. Priamka prechádza bodmi A(7; -3) a B(23;. -6). Nájdite priesečník tejto priamky s osou x.
105. Čiara prechádza bodmi A(5; 2) a B(-4; -7). Nájdite priesečník tejto priamky s osou y.
106. Uvedené sú vrcholy štvoruholníka A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) a D(5; 8). Určte, v akom pomere delí jeho uhlopriečka AC uhlopriečku BD.
107. Sú uvedené vrcholy A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) a D(6; 10). Nájdite priesečník jej uhlopriečok AC a BD.
108. Dané vrcholy homogénnej trojuholníkovej dosky A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3). Určite súradnice jeho ťažiska,
Poučenie. Ťažisko je v priesečníku stredníc.
109. Bod M priesečníka stredníc trojuholníka leží na osi x, jeho dva vrcholy sú body A (2; -3) a B (-5; 1), tretí vrchol C leží na osi y- os. Určte súradnice bodov M a C.
110. Dané vrcholy homogénnej trojuholníkovej dosky A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3). Ak spojíte stredy jeho strán, vytvorí sa nová homogénna trojuholníková doska. Dokážte, že ťažiská oboch dosiek sú rovnaké.
Poučenie. Použite výsledok úlohy 108.
111. Homogénna platňa má tvar štvorca so stranou rovnajúcou sa 12, v ktorom je vytvorený štvorcový rez, čiary rezu prechádzajú stredom štvorca, osi
súradnice smerujú pozdĺž okrajov platne (obr. 4). Určte ťažisko tejto dosky.
112. Homogénna platňa má tvar obdĺžnika so stranami rovnými a a b, v ktorom je vytvorený pravouhlý rez; stredom prechádzajú priamky rezu, súradnicové osi smerujú po okrajoch dosky (obr. 5). Určte ťažisko tejto dosky.
113. Homogénna doska má tvar štvorca so stranou 2a, z ktorého je odrezaný trojuholník; čiara rezu spája stredy dvoch susedných strán, osi súradníc smerujú pozdĺž okrajov dosky (obr. 6). Určte ťažisko dosky.
114. V nasledujúcich bodoch A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3) sú sústredené hmotnosti m, n a p. Určte súradnice ťažiska tohto systému troch hmôt.
115. Body A (4; 2), B (7; -2) a C (1; 6) sú vrcholy trojuholníka z homogénneho drôtu. Nájdite ťažisko tohto trojuholníka.
Výpočet súradníc niektorého bodu C, ktorý rozdeľuje daný segment AB v určitom pomere, je možné vykonať pomocou vzorcov:
хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),
kde (xA; yA) a (xB; yB) sú súradnice koncov daného segmentu AB; číslo λ \u003d AC / CB je pomer, v ktorom je segment AB rozdelený bodom C, ktorý má súradnice (xC; yC).
Ak je segment AB rozdelený bodom C na polovicu, potom číslo λ \u003d 1 a vzorce pre xC a yC budú mať tvar:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Treba mať na pamäti, že v úlohách λ je pomer dĺžok úsečiek, a preto čísla zahrnuté v tomto pomere nie sú dĺžkami samotných úsečiek v danej mernej jednotke. Napríklad AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Vyhľadajte súradnice stredu určitého segmentu, podľa zadaných súradníc jeho koncov
Príklad 1
Body A (-2; 3) a B (6; -9) sú konce segmentu AB. Nájdite bod C, ktorý je stredom segmentu AB.
rozhodnutie.
V podmienke problému je špecifikované, že xA = -2; xB = 6; yA = 3 a yB = -9. Je potrebné nájsť C(xC; yC).
Použitím vzorcov xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 dostaneme:
xC \u003d (-2 + 6) / 2 \u003d 2, yC \u003d (3 + (-9)) / 2 \u003d -3.
Bod C, ktorý je stredom segmentu AB, má teda súradnice (-2; 3) (obr. 1).
2. Výpočet súradníc konca určitého segmentu so znalosťou súradníc jeho stredu a druhého konca
Príklad 2
Jeden koniec segmentu AB je bod A so súradnicami (-3; -5) a jeho stred je bod C (3; -2). Vypočítajte súradnice druhého konca úsečky - bodu B.
rozhodnutie.
Podľa stavu problému je zrejmé, že xA = -3; yA = -5; xC = 3 a yC = -2.
Nahradením týchto hodnôt do vzorcov xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2 dostaneme:
3 = (-3 + xB)/2 a
2 \u003d (-5 + UV) / 2.
Vyriešením prvej rovnice pre xB a druhej pre yB zistíme: xB = 9 a yB = 1, ukáže sa, že požadovaný bod B bude daný súradnicami (9; 1) (obr. 2).
3. Výpočet súradníc vrcholov určitého trojuholníka podľa zadaných súradníc stredov jeho strán.
Príklad 3
Stredy strán trojuholníka ABC sú body D(1; 3), E(-1; -2) a F(4; -1). Nájdite súradnice vrcholov A, B a C daného trojuholníka.
rozhodnutie.
Nech bod D je stred strany AB, bod E je stred BC a bod F je stred strany AC (obr. 3). Nájdite body A, B a C.
Vrcholy trojuholníka označujeme ako A (xA; yA), B (xB; yB) a C (xC; yC) a poznáme súradnice bodov D, E a F podľa vzorcov xC \u003d (xA + xB) / 2, yC \u003d (yA + uV)/2 dostaneme:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 \u003d (xB + xC) / 2,
(4 \u003d (xA + xC) / 2,
(3 \u003d (uA + uB) / 2,
(-2 \u003d (uV + us) / 2,
(-1 \u003d (yA + yC) / 2.
Rovnice privedieme do celočíselného tvaru:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(uA + uB = 6,
(uV + yC = -4,
(uA + yC = -2.
Vyriešením systémov dostaneme:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; uV = 2; yC = -6.
Body A (6; 4), B (-4; 2) a C (2; -6) sú potrebné vrcholy trojuholníka.
4. Výpočet súradníc bodov, ktoré delia úsek v určitom pomere, podľa daných súradníc koncov tohto úseku.
Príklad 4
Segment AB je rozdelený bodom C v pomere 3:5 (počítajúc od bodu A po bod B). Konce segmentu AB sú body A(2; 3) a B(10; 11). Nájdite bod C.
rozhodnutie.
Podmienka úlohy hovorí, že xA = 2; xB = 10; yA = 3; UV = 11; A = AC/CB = 3/5. Nájsť C(xC; yC) (obr. 4).
podľa vzorcov xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) dostaneme:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 a yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Máme teda C( 5; 6).
Skontrolujme to: AC = 3√2, CB = 5√2, λ = AC/CB = 3√2/5√2 = 3/5.
Komentujte. Podmienkou úlohy je, že rozdelenie segmentu sa uskutoční v danom pomere z bodu A do bodu B. Ak by to nebolo špecifikované, potom by úloha mala dve riešenia. Druhé riešenie: rozdelenie segmentu z bodu B do bodu A. 
Príklad 5
Časť AB je rozdelená v pomere 2:3:5 (počítajúc od bodu A do bodu B), jej konce sú body so súradnicami A (-11; 1) a B (9; 11). Nájdite deliace body daného segmentu.
rozhodnutie.
Označme deliace body úsečky od A do B cez C a D. V podmienke úlohy je dané, že
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Nájdite C(xC; yC) a D(xD; yD), ak AC: CD: DB = 2: 3: 5.
Bod C rozdeľuje segment AB vo vzťahu k λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Podľa vzorcov xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) dostaneme:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 a yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Teda C(-7; 3).
Bod D je stredom segmentu AB. Použitím vzorcov xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2 zistíme:
xD \u003d (-11 + 9) / 2 \u003d -1, yD \u003d (1 + 11) / 2 \u003d 6. D má teda súradnice (-1; 6).
5. Výpočet súradníc bodov, ktoré delia segment, ak sú uvedené súradnice koncov tohto segmentu a počet častí, na ktoré je tento segment rozdelený.
Príklad 6
Konce segmentu sú body A(-8; -5) a B(10; 4). Nájdite body C a D, ktoré rozdeľujú tento segment na tri rovnaké časti.
rozhodnutie.
Z podmienky úlohy je známe, že xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 an = 3. Nájdite C(xC; yC) a D(xD; yD) (obr. 5).
Nájdite bod C. Rozdeľuje úsečku AB vzhľadom na λ = 1/2. Delíme z bodu A do bodu B. Podľa vzorcov xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) máme:
xC = (-8 + 1/2 10) / (1 + 1/2) = -2 a yC = (-5 + 1/2 4) / (1 + 1/2) = -2. Takže C(-2; -2).
Rozdelenie segmentu CB sa vykonáva v pomere 1: 1, preto používame vzorce
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD \u003d (-2 + 10) / 2 \u003d 4, yD \u003d (-2 + 4) / 2 \u003d 1. Teda D (4; 1).
Deliace body C(-2; -2) a D(4; 1).
Poznámka: Bod D možno nájsť vydelením segmentu AB vo vzťahu k 2: 1. V tomto prípade bude potrebné použiť vzorce xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA + λyB ) / (1 + λ).
Príklad 7
Body A(5; -6) a B(-5; 9) sú konce segmentu. Nájdite body, ktoré rozdeľujú daný segment na päť rovnakých častí.
rozhodnutie.
Nech po sebe idúce deliace body od A do B sú C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) a F(xF; yF). Podmienky úlohy hovoria, že xA = 5; xB = -5; yA = -6; yB = 9 an = 5.
Pomocou vzorcov xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) bod C. Rozdeľuje úsečku AB vo vzťahu k λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 (-5)) / (1 + 1/4) = 3 a yC = (-6 + 1/4 9) / (1 + 1/4) = -3, dostaneme, že bod C má súradnice (3; -3).
Úsek AB je delený bodom D v pomere 2:3 (t.j. λ = 2/3), teda:
xD = (5 + 2/3 (-5)) / (1 + 2/3) = 1 a yD = (-6 + 2/3 9) / (1 + 2/3) = 0, teda D (desať ).
Nájdite bod E. Rozdeľuje úsečku AB vo vzťahu k λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 (-5)) / (1 + 3/2) = -1 a yE = (-6 + 3/2 9) / (1 + 3/2) = 3. E(-1; 3).
Bod F rozdeľuje segment AB vo vzťahu k λ = 4/1, preto:
XF = (5 + 4 (-5)) / (1 + 4) = -3 a yF = (-6 + 4 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Deliace body С(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) a F(-3; 6).
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vyriešiť problém rozdelenia segmentu?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Keď existujú podmienky na rozdelenie segmentu v určitom pomere, je potrebné vedieť určiť súradnice bodu, ktorý slúži ako oddeľovač. Vzorec na nájdenie týchto súradníc odvodíme nastavením úlohy do roviny.
Východiskové údaje: je daný pravouhlý súradnicový systém O x y a na ňom ležiace dva nezhodné body s danými súradnicami A (x A , y A) a B (x B , y B). A tiež je daný bod C, ktorý delí segment A B vzhľadom na λ (nejaké kladné reálne číslo). Je potrebné určiť súradnice bodu C: x C a y C .
Skôr ako pristúpime k riešeniu úlohy, prezradíme si trochu význam danej podmienky: „bod C, deliaci úsečku A B vo vzťahu k λ“. Po prvé, tento výraz naznačuje, že bod C leží na segmente A B (to znamená medzi bodmi A a B). Po druhé, je zrejmé, že podľa danej podmienky je pomer dĺžok segmentov A C a C B rovný λ. Tie. rovnosť je správna:
V tomto prípade je bod A začiatok segmentu, bod B je koniec segmentu. Ak by bolo dané, že bod C delí úsečku B A v danom pomere, potom by rovnosť platila: .
No, je úplne zrejmé, že ak λ = 1, potom bod C je stredom segmentu A B.
Vyriešme problém pomocou vektorov. Na úsečke A B v určitom pravouhlom súradnicovom systéme ľubovoľne zobrazme body A, B a bod C. Zostrojme polomerové vektory týchto bodov, ako aj vektory A C → a C B → . Podľa podmienok úlohy bod C rozdeľuje segment A B vo vzťahu k λ.
Súradnice vektora polomeru bodu sa rovnajú súradniciam bodu, potom platia rovnosti: O A → = (x A , y A) a O B → = (x B , y B) .
Určme súradnice vektora: budú sa rovnať súradniciam bodu C, ktoré je potrebné nájsť podľa stavu problému.
Pomocou operácie sčítania vektorov zapíšeme rovnosti: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Podľa podmienky úlohy bod C rozdeľuje segment A B vo vzťahu k λ, t.j. platí rovnosť A C = λ · C B.
Vektory A C → a C B → ležia na rovnakej priamke a sú kosmerné. λ > 0 podmienkou úlohy, potom podľa operácie vynásobenia vektora číslom dostaneme: A C → = λ · C B → .
Transformujme výraz dosadením do neho: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (OB → - O C →).
Rovnosť O C → = O A → + A C → možno prepísať ako O C → = O A → + λ · (OB → - O C →) .
Použitím vlastností operácií s vektormi z poslednej rovnosti vyplýva: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .
Teraz nám zostáva priamo vypočítať súradnice vektora O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .
Urobme potrebné operácie s vektormi O A → a O B → .
O A → = (x A, y A) a O B → = (x B, y B), potom O A → + λ O B → = (x A + λ x B, y A + λ y B).
Teda O C → = 11 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B1 + λ, yA + λ · y B1 + λ).
Zhrnutie: súradnice bodu C deliaceho segment A B v danom pomere λ sú určené vzorcami: x C \u003d x A + λ x B 1 + λ a y C \u003d y A + λ y B 1 + λ .
Určenie súradníc bodu deliaceho úsečku v danom pomere v priestore
Východiskové údaje: pravouhlý súradnicový systém O x y z , body s danými súradnicami A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) .
Bod C rozdeľuje segment A B vzhľadom na λ. Je potrebné určiť súradnice bodu C.
Použitím rovnakej schémy uvažovania ako v prípade vyššie v rovine dospejeme k rovnosti:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Vektory a sú polomerové vektory bodov A a B, čo znamená:
O A → = (x A , y A , z A) a O B → = (x B , y B , z B), preto
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →) = (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1 + λ)
Teda bod C, deliaci segment A B v priestore v danom pomere λ, má súradnice: (x A + λ x B 1 + λ, y A + λ y B 1 + λ, z A + λ z B 1+λ )
Pozrime sa na teóriu na konkrétnych príkladoch.
Príklad 1
Počiatočné údaje: bod C rozdeľuje segment A B v pomere päť ku trom. Súradnice bodov A a B sú dané A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .
rozhodnutie
Podľa podmienky úlohy λ = 5 3 . Aplikujme vyššie uvedené vzorce a získame:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ y B 1 + λ = 1 + 5 3 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Odpoveď: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)
Príklad 2
Počiatočné údaje: je potrebné určiť súradnice ťažiska trojuholníka A B C.
Súradnice jeho vrcholov sú dané: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)
rozhodnutie
Je známe, že ťažisko každého trojuholníka je priesečníkom jeho mediánov (nech je to bod M). Každý z mediánov je rozdelený bodom M v pomere 2 ku 1, počítajúc zhora. Na základe toho nájdeme odpoveď na položenú otázku.
Predpokladajme, že A D je stredom trojuholníka A B C. Bod M je priesečníkom stredníc, má súradnice M (x M, y M, z M) a je ťažiskom trojuholníka. M ako priesečník mediánov delí segment A D v pomere 2 ku 1, t.j. A = 2.
Nájdite súradnice bodu D. Keďže A D je stred, potom bod D je stredom segmentu B C. Potom pomocou vzorca na nájdenie súradníc stredu segmentu dostaneme:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
Vypočítajte súradnice bodu M:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ y D 1 + λ = 3 + 2 (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ z D 1 + λ = 1 + 2 3 1 + 2 = 7 3
Odpoveď: (1 3, 0, 7 3)
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Nech body M 1 , M 2 , M 3 ležia na jednej priamke. Hovorí sa, že bod M delí úsečku M 1 M 2 vzhľadom na λ(λ≠-1), ak .
Nech sú súradnice bodov M 1 a M 2 známe vzhľadom na nejaký súradnicový systém: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), potom súradnice bod M(x, y, z ) vzhľadom na ten istý súradnicový systém nájdeme podľa vzorcov:
Ak je bod M v strede segmentu M 1 M 2 , potom 
, teda λ=1 a vzorce (*) budú mať tvar:
(**)
Na riešenie použite nasledujúcu kalkulačku:
- Body sú dané dvomi súradnicami: A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
- Body sú dané tromi súradnicami: A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).
Príklad č. 1. Trojuholník je daný súradnicami jeho vrcholov A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Nájdite súradnice D(x, y, z) - priesečníky jeho mediánov.
rozhodnutie. Označte pomocou M(x 0 , y 0 , z 0) stred BC, potom pomocou vzorcov (**)
a M(7/2, 1/2, 4). Bod D rozdeľuje medián AM vzhľadom na λ=2. Aplikovaním vzorcov (*) nájdeme .
Príklad č. 2. Segment AB je rozdelený bodom C(4,1) vzhľadom na λ=1/4 , počítajúc od bodu A . Nájdite súradnice A, ak B(8,5).
rozhodnutie. Použitím vzorcov (*) dostaneme: 
, odkiaľ nájdeme x=3 , y=0 .
Príklad č. 3. Segment AB je rozdelený na tri rovnaké časti bodmi C(3, -1) a D(1,4). Nájdite súradnice koncov segmentu.
rozhodnutie. Označ A(x1,y1), B(x2,y2). Bod C je stredom segmentu AD, preto pomocou vzorcov (**) nájdeme: 
kde x 1 = 5, y1 = -6. Podobne sa nájdu súradnice bodu B: x 2 \u003d -1, y 2 \u003d 9.
Nech je daná smerovaná úsečka AB; povedz bodka
M tejto priamky delí úsečku AB v pomere rovnajúcom sa X, kde je ľubovoľné reálne číslo, ak
Keď bod M leží medzi bodmi A a B (t. j. vo vnútri segmentu
AB), potom vektory AM a MB smerujú rovnakým smerom (obr. 2) a pomer (1) je kladný.
Keď bod M leží mimo segmentu
AB, potom vektory AM a MB smerujú opačným smerom (obr. 3) a pomer (1) je záporný.
Pozrime sa, ako sa zmení vzťah (1), keď bod M prechádza celou čiarou. Keď sa bod M zhoduje s bodom A, potom sa vzťah (1) rovná nule; ak potom bod M prechádza segmentom AB v smere od A do B, potom sa pomer (1) neustále zvyšuje a stáva sa ľubovoľne veľkým, keď sa bod M blíži k bodu B. Keď , potom zlomok (1) stráca svoj význam, pretože jeho menovateľ sa zmení na nulový vektor. Pri ďalšom pohybe bodu po priamke v rovnakom smere (na obr. 3, a napravo od B) sa pomer (1) stane záporným, a ak je W dostatočne blízko k B, potom má tento pomer ľubovoľne veľká absolútna hodnota.
Od , potom (na základe návrhu 8 § 4) máme
Keď sa bod M, pohybujúci sa po celú dobu v rovnakom smere (na našom obr. 3 a zľava doprava), ale ide priamo do nekonečna, potom zlomok - má tendenciu k nule (keďže jeho čitateľ zostáva konštantný a menovateľ zvyšuje sa neurčito), preto , pomer , - má tendenciu k -1.
Teraz nechajme M prejsť „vľavo“ od dvoch polpriamok, na ktoré bod A delí priamku (to znamená na tú polpriamku, ktorá neobsahuje úsečku AB). Ak je v tomto prípade bod M dostatočne vzdialený od bodu A, potom je opäť ľubovoľne malý, a preto sa pomer vzorca ľubovoľne líši od -1. Keď sa bod M približuje k bodu A zľava (obr. 3, b), pomer (I), ktorý zostáva záporný, neustále klesá v absolútnej hodnote a nakoniec sa rovná nule, keď sa bod M vráti do bodu A.
Všimnite si, že pre akúkoľvek polohu bodu M na priamke sa pomer nerovná -1. V skutočnosti je pomer záporný iba vtedy, keď bod M leží mimo segmentu AB. Ale v tomto prípade nie sú segmenty AM a MB nikdy rovnaké, t.j.
Teraz nech je na priamke vytvorený súradnicový systém a O je pôvodom tohto systému. Označujeme súradnicu bodu A cez body B - cez a premenný bod M - cez . Potom a
