V tomto článku sa budeme zaoberať sčítanie čísel s rôznymi znakmi. Tu uvádzame pravidlo na sčítanie kladného a záporného čísla a zvažujeme príklady použitia tohto pravidla pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami.
Navigácia na stránke.
Pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znakmi
Príklady sčítania čísel s rôznymi znakmi
Zvážte príklady sčítania čísel s rôznymi znamienkami podľa pravidla uvedeného v predchádzajúcom odseku. Začnime jednoduchým príkladom.
Príklad.
Pridajte čísla −5 a 2 .
Riešenie.
Musíme pridať čísla s rôznymi znamienkami. Dodržujme všetky kroky predpísané pravidlom sčítania kladných a záporných čísel.
Najprv nájdeme moduly podmienok, ktoré sa rovnajú 5 a 2.
Modul čísla −5 je väčší ako modul čísla 2, preto si zapamätajte znamienko mínus.
Zostáva vložiť zapamätané znamienko mínus pred výsledné číslo, dostaneme −3. Tým je sčítanie čísel s rôznymi znakmi dokončené.
odpoveď:
(−5)+2=−3 .
Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znakmi, ktoré nie sú celými číslami, mali by byť reprezentované ako obyčajné zlomky (ak je to vhodné, môžete pracovať s desatinnými zlomkami). Pozrime sa na tento bod v nasledujúcom príklade.
Príklad.
Pridajte kladné a záporné číslo −1,25.
Riešenie.
Predstavme si čísla vo forme obyčajných zlomkov, preto vykonáme prechod zo zmiešaného čísla na nesprávny zlomok: a preložíme desatinný zlomok na obyčajný: 
.
Teraz môžete použiť pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.
Moduly pridaných čísel sú 17/8 a 5/4. Pre pohodlie pri vykonávaní ďalších akcií zmenšujeme zlomky na spoločného menovateľa, v dôsledku čoho máme 17/8 a 10/8.
Teraz musíme porovnať bežné zlomky 17/8 a 10/8. Od 17>10 , teda . Teda výraz so znamienkom plus má väčší modul, preto si zapamätajte znamienko plus.
Teraz odčítame menší od väčšieho modulu, to znamená, že odčítame zlomky s rovnakými menovateľmi: 
.
Zostáva vložiť zapamätané znamienko plus pred výsledné číslo, dostaneme, ale - toto je číslo 7/8.
V tejto lekcii sa naučíme, čo je záporné číslo a aké čísla sa nazývajú protiklady. Naučíme sa tiež sčítať záporné a kladné čísla (čísla s rôznymi znamienkami) a rozoberieme niekoľko príkladov sčítania čísel s rôznymi znamienkami.
Pozrite sa na tento prevod (pozri obr. 1).
Ryža. 1. Hodinový prevod
Toto nie je šípka, ktorá priamo ukazuje čas a nie číselník (pozri obr. 2). Ale bez tohto detailu hodiny nefungujú.
Ryža. 2. Prevod vo vnútri hodiniek
Čo znamená písmeno Y? Nič iné ako zvuk Y. Bez toho však mnohé slová „nefungujú“. Napríklad slovo "myš". Rovnako aj záporné čísla: neukazujú žiadnu sumu, ale bez nich by bol mechanizmus výpočtu oveľa zložitejší.
Vieme, že sčítanie a odčítanie sú rovnaké operácie a možno ich vykonávať v ľubovoľnom poradí. V zázname v priamom poradí vieme vypočítať: , ale s odčítaním sa začať nedá, keďže sme sa ešte nedohodli, ale čo je .
Je zrejmé, že zvýšenie počtu a následné zníženie znamená zníženie o tri. Prečo tento objekt neoznačiť a nespočítať takto: pridať znamená odčítať. Potom .
Číslo môže znamenať napríklad jablká. Nové číslo nepredstavuje žiadne skutočné množstvo. Samo o sebe to nič neznamená, ako písmeno Y. Je to len nový nástroj na zjednodušenie výpočtov.
Vymenujme nové čísla negatívne. Teraz môžeme odčítať väčšie číslo od menšieho čísla. Technicky stále musíte odčítať menšie číslo od väčšieho čísla, ale do odpovede vložte znamienko mínus: .
Pozrime sa na ďalší príklad: 
. Môžete vykonať všetky akcie v rade:.
Je však jednoduchšie odpočítať tretie číslo od prvého čísla a potom pridať druhé číslo:
Záporné čísla možno definovať aj iným spôsobom.
Pre každé prirodzené číslo, napríklad , zaveďme nové číslo, ktoré označíme , a určme, že má nasledujúcu vlastnosť: súčet čísla a je rovný : .
Číslo sa bude nazývať záporné a čísla a - opačne. Takto sme dostali nekonečné množstvo nových čísel, napríklad:
Opak čísla;
Opak ;
Opak ; 
Opak ;
Odčítajte väčšie číslo od menšieho čísla: K tomuto výrazu pridajme: . Dostali sme nulu. Avšak podľa vlastnosti: číslo, ktoré dáva súčet do päť dáva nulu, sa označuje mínus päť:. Preto možno výraz označiť ako .
Každé kladné číslo má dvojčíslo, ktoré sa líši iba tým, že pred ním je znamienko mínus. Takéto čísla sa nazývajú opak(Pozri obr. 3).
Ryža. 3. Príklady opačných čísel
Vlastnosti opačných čísel
1. Súčet opačných čísel sa rovná nule:.
2. Ak od nuly odpočítate kladné číslo, výsledkom bude opačné záporné číslo: .
1. Obidve čísla môžu byť kladné a už vieme, ako ich sčítať: .
2. Obidve čísla môžu byť záporné.
Sčítaniu takýchto čísel sme sa už venovali v predchádzajúcej lekcii, ale uistíme sa, že rozumieme, čo s nimi robiť. Napríklad: .
Ak chcete nájsť tento súčet, pridajte opačné kladné čísla a vložte znamienko mínus.
3. Jedno číslo môže byť kladné a druhé záporné.
Sčítanie záporného čísla môžeme nahradiť, ak sa nám to hodí, odčítaním kladného:.
Ešte jeden príklad: . Opäť napíšte súčet ako rozdiel. Väčšie číslo môžete odpočítať od menšieho čísla tak, že od väčšieho odčítate menšie číslo, ale dáte znamienko mínus.
Pojmy je možné zamieňať: .
Ďalší podobný príklad: .
Vo všetkých prípadoch je výsledkom odčítanie.
Aby sme tieto pravidlá stručne sformulovali, pripomeňme si ešte jeden pojem. Opačné čísla sa, samozrejme, navzájom nerovnajú. Bolo by však zvláštne nevšimnúť si, že majú niečo spoločné. Toto spoločné sme volali modul počtu. Modul opačných čísel je rovnaký: pre kladné číslo sa rovná samotnému číslu a pre záporné je opačný, kladný. Napríklad: , .
Ak chcete pridať dve záporné čísla, pridajte ich modul a vložte znamienko mínus:
Ak chcete pridať záporné a kladné číslo, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu a pridať znamienko čísla k väčšiemu modulu:
Obidve čísla sú záporné, preto pridajte ich moduly a vložte znamienko mínus:
Dve čísla s rôznymi znamienkami teda od modulu čísla (väčší modul) odpočítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s väčším modulom):
Dve čísla s rôznymi znamienkami preto od modulu čísla (väčší modul) odpočítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s veľkým modulom): .
Dve čísla s rôznymi znamienkami teda odčítajte modul čísla od modulu čísla (väčší modul) a vložte znamienko plus (znamienko čísla s veľkým modulom): .
Kladné a záporné čísla majú historicky odlišnú úlohu.
Najprv sme zaviedli prirodzené čísla na počítanie objektov:
Potom sme zaviedli ďalšie kladné čísla - zlomky, na počítanie neceločíselných veličín, častí: .
Záporné čísla sa objavili ako nástroj na zjednodušenie výpočtov. Neexistovalo nič také, že by v živote existovali nejaké veličiny, ktoré sme nevedeli spočítať, a vymysleli sme záporné čísla.
To znamená, že záporné čísla nepochádzajú z reálneho sveta. Ukázalo sa, že sú také pohodlné, že na niektorých miestach boli použité v živote. Napríklad často počúvame o mínusových teplotách. V tomto prípade sa nikdy nestretávame so záporným počtom jabĺk. V čom je rozdiel?
Rozdiel je v tom, že v reálnom živote sa záporné hodnoty používajú iba na porovnanie, nie na množstvá. Ak bol v hoteli vybavený suterén a bol tam spustený výťah, potom, aby sa ponechalo obvyklé číslovanie bežných poschodí, môže sa objaviť mínus prvé poschodie. Toto mínus jedna znamená iba jedno poschodie pod úrovňou terénu (pozri obr. 1).
Ryža. 4. Mínus prvé a mínus druhé poschodie
Záporná teplota je negatívna iba v porovnaní s nulou, ktorú zvolil autor stupnice Anders Celsius. Sú tam iné váhy a tá istá teplota tam už nemusí byť negatívna.
Zároveň chápeme, že nie je možné zmeniť východiskový bod tak, aby nebolo päť, ale šesť jabĺk. V živote sa teda kladné čísla používajú na určenie množstva (jablká, koláč).
Používame ich aj namiesto mien. Každý telefón môže dostať svoje vlastné meno, ale počet mien je obmedzený a neexistujú žiadne čísla. Preto používame telefónne čísla. Aj na objednávku (storočie nasleduje storočie).
Záporné čísla v živote sa používajú v poslednom zmysle (mínus prvé poschodie pod nulou a prvé poschodie)
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. "Gymnázium", 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. Moskva: Vzdelávanie, 1989.
- Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Sprievodca pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov SŠ. M .: Vzdelávanie, Knižnica pre učiteľov matematiky, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- YouTube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
Domáca úloha
"Sčítanie čísel s rôznymi znamienkami" - učebnica matematiky 6. ročník (Vilenkin)
Stručný opis:
V tejto časti sa naučíte pravidlá sčítania čísel s rôznymi znamienkami: to znamená, že sa naučíte sčítať záporné a kladné čísla.
Už viete, ako ich pridať na súradnicovú čiaru, ale v každom príklade nebudete kresliť čiaru a počítať pozdĺž nej? Preto sa musíte naučiť pridávať bez neho.
Skúsme s vami pridať záporné číslo k kladnému číslu, napríklad pridať osem mínus šesť: 8+(-6). Už viete, že pridanie záporného čísla spôsobí, že sa pôvodné číslo zníži o hodnotu záporného čísla. To znamená, že osem sa musí znížiť o šesť, to znamená, že šesť by sa malo odpočítať od ôsmich: 8-6 = 2, ukáže sa dva. V tomto príklade sa zdá byť všetko jasné, od ôsmich odpočítame šesť.
A ak vezmeme tento príklad: pridajte kladné číslo k zápornému číslu. Napríklad mínus osem pridajte šesť: -8+6. Podstata zostáva rovnaká: kladné číslo znížime o hodnotu záporu, dostaneme šesť odčítaním osem bude mínus dva: -8+6=-2.
Ako ste si všimli, v prvom aj v druhom príklade sa odčítanie vykonáva s číslami. prečo? Pretože majú rôzne znamienka (plus a mínus). Aby ste neurobili chyby pri pridávaní čísel s rôznymi znakmi, mali by ste vykonať nasledujúci algoritmus akcií:
1. nájsť moduly čísel;
2. odčítajte menší modul od väčšieho modulu;
3. pred výsledok vložte znamienko čísla s veľkým modulom (zvyčajne sa dáva iba znamienko mínus a znamienko plus sa neuvádza).
Ak pridáte čísla s rôznymi znakmi podľa tohto algoritmu, budete mať oveľa menšiu šancu urobiť chybu.
Táto lekcia zahŕňa sčítanie a odčítanie racionálnych čísel. Téma je klasifikovaná ako komplexná. Tu je potrebné využiť celý arzenál predtým nadobudnutých vedomostí.
Pravidlá pre sčítanie a odčítanie celých čísel platia aj pre racionálne čísla. Pripomeňme, že racionálne čísla sú čísla, ktoré možno znázorniť ako zlomok, kde a - je čitateľ zlomku b je menovateľ zlomku. pričom b by nemalo byť nulové.
V tejto lekcii budeme čoraz častejšie označovať zlomky a zmiešané čísla ako jednu spoločnú frázu - racionálne čísla.
Navigácia v lekcii:Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď vložiť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý je menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto zlomkov pred ich výpočtom:
Modul racionálneho čísla je väčší ako modul racionálneho čísla. Preto sme odpočítali od . Dostal som odpoveď. Potom, znížením tohto zlomku o 2, sme dostali konečnú odpoveď.
Niektoré primitívne akcie, ako je vkladanie čísel do zátvoriek a odkladanie modulov, je možné preskočiť. Tento príklad možno napísať kratšie:
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus medzi racionálnymi číslami a je znakom operácie a neplatí pre zlomky. Tento zlomok má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
Odčítanie nahradíme sčítaním. Pripomeňme si, že na tento účel musíte k minuendu pridať číslo opačné k subtrahendu:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus:
Poznámka. Nie je potrebné uzatvárať každé racionálne číslo do zátvoriek. Toto sa robí pre pohodlie, aby bolo jasné, aké znaky majú racionálne čísla.
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu:
V tomto výraze majú zlomky rôznych menovateľov. Aby sme si to uľahčili, priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Nebudeme sa podrobne venovať tomu, ako to urobiť. Ak máte ťažkosti, lekciu zopakujte.
Po zredukovaní zlomkov na spoločného menovateľa bude mať výraz nasledujúcu formu:
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu
Tento výraz vypočítame nasledujúcim spôsobom: sčítame racionálne čísla a potom od získaného výsledku odčítame racionálne číslo. 
Prvá akcia:
Druhá akcia:
Príklad 5. Nájdite hodnotu výrazu:
Predstavme si celé číslo −1 ako zlomok a preložme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred prijatú odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Dostal som odpoveď.
Existuje aj druhé riešenie. Spočíva v zložení celých častí samostatne.
Takže späť k pôvodnému výrazu:
Každé číslo uzavrite do zátvoriek. Pre toto zmiešané číslo dočasne:
Vypočítajme časti celého čísla:
(−1) + (+2) = 1
V hlavnom výraze namiesto (−1) + (+2) napíšeme výslednú jednotku:
Výsledný výraz. Za týmto účelom napíšte jednotku a zlomok spolu:
Napíšme riešenie týmto spôsobom kratšie:
Príklad 6 Nájdite hodnotu výrazu
Preveďte zmiešané číslo na nesprávny zlomok. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
Príklad 7 Nájdite výraz hodnoty
Predstavme si celé číslo −5 ako zlomok a preložme zmiešané číslo na nesprávny zlomok:
Priveďme tieto zlomky k spoločnému menovateľovi. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda .
Vyriešme tento príklad druhým spôsobom. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:
Napíšme zmiešané číslo v rozšírenom tvare. Zvyšok prepíšeme bez zmien:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Vypočítajme časti celého čísla:
V hlavnom výraze namiesto písania výsledného čísla −7
Výraz je rozšírená forma zápisu zmiešaného čísla. Napíšme spolu číslo −7 a zlomok, čím vznikne konečná odpoveď:
V krátkosti napíšeme toto riešenie:
Príklad 8 Nájdite hodnotu výrazu
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda
Tento príklad možno vyriešiť druhým spôsobom. Spočíva v pridávaní celku a zlomkových častí oddelene. Vráťme sa k pôvodnému výrazu:
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Ale tentoraz pridávame oddelene celočíselné časti (−1 a −2) a zlomkové a
V krátkosti napíšeme toto riešenie:
Príklad 9 Nájdite výrazy 
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože už je v zátvorkách:
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme moduly týchto čísel a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
Hodnota výrazu je teda
Teraz skúsme vyriešiť ten istý príklad druhým spôsobom, a to pridaním celočíselnej a zlomkovej časti oddelene.
Tentoraz, aby sme získali krátke riešenie, skúsme preskočiť niektoré akcie, ako je písanie zmiešaného čísla v rozšírenej forme a nahradenie odčítania sčítaním:
Všimnite si, že zlomkové časti boli zredukované na spoločného menovateľa.
Príklad 10 Nájdite hodnotu výrazu 
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Výsledný výraz neobsahuje záporné čísla, ktoré sú hlavnou príčinou chýb. A keďže neexistujú žiadne záporné čísla, môžeme odstrániť plus pred subtrahendom a tiež odstrániť zátvorky:
Výsledkom je jednoduchý výraz, ktorý sa dá ľahko vypočítať. Vypočítajme to akýmkoľvek spôsobom, ktorý nám vyhovuje:
Príklad 11. Nájdite hodnotu výrazu
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Príklad 12. Nájdite hodnotu výrazu 
Výraz sa skladá z niekoľkých racionálnych čísel. Podľa toho musíte v prvom rade vykonať akcie v zátvorkách.
Najprv vypočítame výraz , potom výraz Pridáme získané výsledky.
Prvá akcia:
Druhá akcia:
Tretia akcia:
odpoveď: hodnota výrazu rovná sa
Príklad 13 Nájdite hodnotu výrazu 
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkom. Racionálne číslo nemusí byť uzavreté v zátvorkách, pretože je už v zátvorkách:
Dajme tieto zlomky v spoločnom menovateľovi. Po ich privedení k spoločnému menovateľovi budú mať nasledujúcu podobu:
Nahraďte odčítanie sčítaním:
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Odčítajme menší modul od väčšieho modulu a pred prijaté odpovede dáme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
Teda hodnota výrazu rovná sa
Zvážte sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov, ktoré sú tiež racionálnymi číslami a ktoré môžu byť kladné aj záporné.
Príklad 14 Nájdite hodnotu výrazu −3,2 + 4,3
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že plus, ktoré je uvedené vo výraze, je znamienkom operácie a neplatí pre desatinný zlomok 4.3. Táto desatinná čiarka má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
(−3,2) + (+4,3)
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znamienkami, musíte odčítať menší modul od väčšieho modulu a pred odpoveď umiestniť racionálne číslo, ktorého modul je väčší. A aby ste pochopili, ktorý modul je väčší a ktorý menší, musíte byť schopní porovnať moduly týchto desatinných zlomkov pred ich výpočtom:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Modul 4,3 je väčší ako modul -3,2, preto sme od 4,3 odpočítali 3,2. Dostal som odpoveď 1.1. Odpoveď je áno, pretože pred odpoveďou musí byť znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší. A modul 4,3 je väčší ako modul -3,2
Hodnota výrazu −3,2 + (+4,3) je teda 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Príklad 15 Nájdite hodnotu výrazu 3,5 + (-8,3)
Ide o sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade odčítame menší od väčšieho modulu a pred odpoveď vložíme znamienko racionálneho čísla, ktorého modul je väčší:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Hodnota výrazu 3,5 + (−8,3) sa teda rovná −4,8
Tento príklad možno napísať kratšie:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Príklad 16 Nájdite hodnotu výrazu −7,2 + (−3,11)
Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Ak chcete pridať záporné racionálne čísla, musíte pridať ich moduly a pred odpoveď dať mínus.
Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Hodnota výrazu −7,2 + (−3,11) sa teda rovná −10,31
Tento príklad možno napísať kratšie:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Príklad 17. Nájdite hodnotu výrazu −0,48 + (−2,7)
Ide o sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus. Záznam s modulmi môžete preskočiť, aby ste sa vyhli preplneniu výrazu:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Príklad 18. Nájdite hodnotu výrazu −4,9 − 5,9
Každé racionálne číslo uzatvárame do zátvoriek spolu s jeho znamienkami. Berieme do úvahy, že mínus, ktoré sa nachádza medzi racionálnymi číslami −4,9 a 5,9, je znamienkom operácie a neplatí pre číslo 5,9. Toto racionálne číslo má svoje vlastné znamienko plus, ktoré je neviditeľné, pretože nie je zapísané. Ale pre prehľadnosť si to napíšeme:
(−4,9) − (+5,9)
Nahraďte odčítanie sčítaním:
(−4,9) + (−5,9)
Získali sme sčítanie záporných racionálnych čísel. Pridáme ich moduly a pred prijatú odpoveď dáme mínus:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Hodnota výrazu −4,9 − 5,9 sa teda rovná −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Príklad 19. Nájdite hodnotu výrazu 7 − 9.3
Každé číslo spolu s jeho znamienkami uzavrite do zátvoriek
(+7) − (+9,3)
Odčítanie nahradíme sčítaním
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Hodnota výrazu 7 − 9,3 je teda −2,3
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
7 − 9,3 = −2,3
Príklad 20. Nájdite hodnotu výrazu −0,25 − (−1,2)
Nahraďte odčítanie sčítaním:
−0,25 + (+1,2)
Získali sme sčítanie racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Menší modul odčítame od väčšieho modulu a pred odpoveď dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Zapíšme si riešenie tohto príkladu kratšie:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Príklad 21. Nájdite hodnotu výrazu -3,5 + (4,1 - 7,1)
Vykonajte činnosti v zátvorkách a prijatú odpoveď pridajte číslom −3,5
Prvá akcia:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Druhá akcia:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
odpoveď: hodnota výrazu −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.
Príklad 22. Nájdite hodnotu výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)
Urobme zátvorky. Potom od čísla, ktoré je výsledkom vykonania prvých zátvoriek, odčítajte číslo, ktoré je výsledkom vykonania druhých zátvoriek:
Prvá akcia:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Druhá akcia:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Tretie dejstvo
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
odpoveď: hodnota výrazu (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) je 6.
Príklad 23. Nájdite hodnotu výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Do zátvoriek uzatvorte každé racionálne číslo spolu s jeho znamienkami
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Kde je to možné, nahraďme odčítanie sčítaním:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Výraz sa skladá z niekoľkých pojmov. Podľa asociatívneho zákona sčítania, ak výraz pozostáva z niekoľkých výrazov, potom súčet nebude závisieť od poradia akcií. To znamená, že výrazy môžu byť pridané v akomkoľvek poradí.
Nebudeme znovu objavovať koleso, ale pridáme všetky výrazy zľava doprava v poradí, v akom sa vyskytujú:
Prvá akcia:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Druhá akcia:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Tretia akcia:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
odpoveď: hodnota výrazu −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 sa rovná 1.
Príklad 24. Nájdite hodnotu výrazu
Premeňme desatinný zlomok -1,8 na zmiešané číslo. Zvyšok prepíšeme bez zmeny:
Prakticky celý kurz matematiky je založený na operáciách s kladnými a zápornými číslami. Koniec koncov, akonáhle začneme študovať súradnicovú čiaru, čísla so znamienkami plus a mínus nás začnú stretávať všade, v každej novej téme. Nie je nič jednoduchšie ako sčítať obyčajné kladné čísla, nie je ťažké jedno od druhého odčítať. Dokonca aj aritmetika s dvoma zápornými číslami je zriedka problém.
Mnoho ľudí je však zmätených pri sčítavaní a odčítaní čísel s rôznymi znamienkami. Pripomeňme si pravidlá, podľa ktorých sa tieto akcie vykonávajú.
Sčítanie čísel s rôznymi znakmi
Ak na vyriešenie problému potrebujeme pridať záporné číslo "-b" k určitému číslu "a", potom musíme postupovať nasledovne.
- Zoberme si moduly oboch čísel - |a| a |b| - a porovnajte tieto absolútne hodnoty navzájom.
- Všimnite si, ktorý z modulov je väčší a ktorý menší, a od väčšej hodnoty odpočítajte menšiu hodnotu.
- Pred výsledné číslo dáme znamienko čísla, ktorého modul je väčší.
Toto bude odpoveď. Dá sa to povedať jednoduchšie: ak vo výraze a + (-b) je modul čísla "b" väčší ako modul "a", potom odčítame "a" od "b" a dáme "mínus". “ pred výsledkom. Ak je modul "a" väčší, potom "b" sa odpočíta od "a" - a riešenie sa získa so znamienkom "plus".
Stáva sa tiež, že moduly sú rovnaké. Ak áno, potom sa v tomto bode môžete zastaviť – hovoríme o opačných číslach a ich súčet bude vždy nula.
Odčítanie čísel s rôznymi znamienkami
Prišli sme na sčítanie, teraz zvážte pravidlo pre odčítanie. Je to tiež celkom jednoduché - a okrem toho úplne opakuje podobné pravidlo na odčítanie dvoch záporných čísel.
Aby ste od istého čísla "a" - ľubovoľného, to znamená s akýmkoľvek znamienkom - záporného čísla "c", odčítali, musíte k nášmu ľubovoľnému číslu "a" pridať číslo opačné k "c". Napríklad:
- Ak „a“ je kladné číslo a „c“ je záporné a „c“ je potrebné odpočítať od „a“, potom to zapíšeme takto: a - (-c) \u003d a + c.
- Ak „a“ je záporné číslo a „c“ je kladné a „c“ sa musí odpočítať od „a“, potom píšeme takto: (- a) - c \u003d - a + (-c).
Pri odčítaní čísel s rôznymi znamienkami sa teda časom vrátime k pravidlám sčítania a pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami sa vrátime k pravidlám odčítania. Zapamätanie si týchto pravidiel vám umožňuje rýchlo a jednoducho riešiť problémy.
