V minulom videonávode sme sa dozvedeli, že stupeň základu je výraz, ktorý je súčinom základu a seba samého, braný v množstve rovnajúcom sa exponentu. Pozrime sa teraz na niektoré z najdôležitejších vlastností a operácií mocí.

Vynásobme napríklad dve rôzne mocniny s rovnakým základom:

Poďme sa pozrieť na tento diel celý:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Výpočtom hodnoty tohto výrazu dostaneme číslo 32. Na druhej strane, ako je zrejmé z toho istého príkladu, 32 môže byť reprezentované ako súčin toho istého základu (dvoch), braný 5-krát. A skutočne, ak počítate, potom:

Dá sa teda bezpečne dospieť k záveru, že:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Toto pravidlo funguje úspešne pre všetky indikátory a dôvody. Táto vlastnosť násobenia stupňa vyplýva z pravidla zachovania významu výrazov pri transformáciách v súčine. Pre ľubovoľnú bázu a sa súčin dvoch výrazov (a) x a (a) y rovná a (x + y). Inými slovami, pri vytváraní akýchkoľvek výrazov s rovnakým základom má konečný jednočlen celkový stupeň vytvorený pridaním stupňa prvého a druhého výrazu.

Prezentované pravidlo funguje skvele aj pri násobení viacerých výrazov. Hlavnou podmienkou je, aby základy pre všetky boli rovnaké. Napríklad:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Nie je možné pridávať stupne a skutočne vykonávať akékoľvek mocenské spoločné akcie s dvoma prvkami výrazu, ak sú ich základy odlišné.
Ako ukazuje naše video, vďaka podobnosti procesov násobenia a delenia sa pravidlá sčítania mocnín pri súčine dokonale prenášajú aj do postupu delenia. Zvážte tento príklad:

Urobme transformáciu výrazu po členoch do plnej formy a zredukujme rovnaké prvky v dividende a deliteľovi:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Konečný výsledok tohto príkladu nie je až taký zaujímavý, pretože už pri jeho riešení je jasné, že hodnota výrazu sa rovná druhej mocnine dvoch. A práve dvojku získame odčítaním stupňa druhého výrazu od stupňa prvého.

Na určenie stupňa kvocientu je potrebné odpočítať stupeň deliteľa od stupňa dividendy. Pravidlo funguje na rovnakom základe pre všetky svoje hodnoty a pre všetky prírodné sily. V abstraktnej forme máme:

(a) x / (a) y = (a) x - y

Definícia pre nultý stupeň vyplýva z pravidla delenia rovnakých základov s mocninami. Je zrejmé, že nasledujúci výraz je:

(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0

Na druhej strane, ak rozdelíme viac vizuálne, dostaneme:

(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1

Pri zmenšení všetkých viditeľných prvkov zlomku sa vždy získa výraz 1/1, teda jedna. Preto sa všeobecne uznáva, že každá základňa zvýšená na nulovú mocninu sa rovná jednej:

Bez ohľadu na hodnotu a.

Bolo by však absurdné, keby sa 0 (ktorá stále dáva 0 pre akékoľvek násobenie) nejako rovná jednej, takže výraz ako (0) 0 (nula na nulový stupeň) jednoducho nedáva zmysel a vzorec (a) 0 = 1 pridajte podmienku: „ak sa a nerovná 0“.

Urobme cvičenie. Poďme zistiť hodnotu výrazu:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Keďže základ je všade rovnaký a rovná sa 34, konečná hodnota bude mať rovnaký základ so stupňom (podľa vyššie uvedených pravidiel):

Inými slovami:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Odpoveď: Výraz sa rovná jednej.

Ak sa vynásobia (alebo rozdelia) dve mocniny, ktoré majú rôzne základy, ale rovnaké ukazovatele, ich základy možno vynásobiť (alebo rozdeliť) a exponent výsledku by mal zostať rovnaký ako exponent faktorov (alebo dividend a deliteľ).

Vo všeobecnosti sú v matematickom jazyku tieto pravidlá napísané takto:
a m × b m = (ab) m
a m ÷ b m = (a/b) m

Pri delení sa b nemôže rovnať 0, to znamená, že druhé pravidlo musí byť doplnené o podmienku b ≠ 0.

Príklady:
2 3 x 3 3 = (2 x 3) 3 = 63 = 36 x 6 = 180 + 36 = 216
6 5 ÷ 3 5 = (6 ÷ 3) 5 = 2 5 = 32

Teraz pomocou týchto konkrétnych príkladov dokážeme, že pravidlá-vlastnosti stupňov s rovnakými exponentmi sú pravdivé. Vyriešme tieto príklady, ako keby sme nevedeli o vlastnostiach mocnín:
2 3 × 3 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 8 × 27 = 160 + 56 = 216
65 ÷ 35 = (6 × 6 × 6 × 6 × 6) ÷ (3 × 3 × 3 × 3 × 3) == 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Ako vidíme, odpovede sa zhodovali s odpoveďami prijatými pri použití pravidiel. Poznanie týchto pravidiel nám umožňuje zjednodušiť výpočty.

Všimnite si, že výraz 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 možno napísať takto:
(2 × 3) × (2 × 3) × (2 × 3).

Tento výraz je zasa niečo iné ako (2 × 3) 3. teda 6 3 .

Uvažované vlastnosti stupňov s rovnakými exponentmi môžu byť použité v opačnom smere. Napríklad, čo je 18 2?
18 2 = (3 × 3 × 2) 2 = 3 2 × 3 2 × 2 2 = 9 × 9 × 4 = 81 × 4 = 320 + 4 = 324

Vlastnosti stupňov sa využívajú aj pri riešení príkladov:
= 2 4 × 3 6 = 2 4 × 3 4 × 3 × 3 = 6 4 × 3 2 = 6 2 × 6 2 × 3 2 = (6 × 6 × 3) 2 = 108 2 = 108 × 108 = 108 ( 100 + 8) = 10 800 + 864 = 11 664

Pravidlo delenia stupňov. Pri delení mocnín s rovnakým základom sa základ ponechá rovnaký a exponent deliteľa sa odpočíta od exponentu deliteľa. Príklady:

Snímka 11 z prezentácie „Delenie a násobenie právomocí“ na hodiny algebry na tému "Stupeň"

Rozmery: 960 x 720 pixelov, formát: jpg. Ak chcete zadarmo stiahnuť snímku na použitie v lekcii algebry, kliknite pravým tlačidlom myši na obrázok a kliknite na „Uložiť obrázok ako. ". Celú prezentáciu "Delenie a násobenie síl.ppt" si môžete stiahnuť v zip archíve s veľkosťou 1313 KB.

"Delenie a násobenie mocnín" - a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Nájdite súčin a2 a a3. 100,2 + 3. Päť krát. 64 = 144 = 1 0000 =. Násobenie a delenie právomocí. 3 krát. a2 a3 =.

"Sily dvoch" - 1024+. Pravidlá pre prevod z jedného číselného systému do druhého. Guselniková E.V. Škola číslo 130. Obsah. Tabuľka mocniny dvoch. Preveďme číslo 1998 z desiatkového na binárne. Kislykh V.N. 11E Zinko K.O. 11E. Učiteľ: Dokončené: Zoberme si schému transformácie pomocou príkladu.

"Stupeň so záporným exponentom" - Stupeň so záporným exponentom. 5 12-3 (27-3). -2. - jeden. Vypočítajte: -3.

„Stupeň s racionálnym ukazovateľom“ - na tému: „Stupeň s racionálnym ukazovateľom“. Ciele hodiny: I. Organizačná časť. Kontrola domácej úlohy 1. Matematický diktát 2. Recenzia III. Samostatná práca IV. Všeobecná lekcia. Počas vyučovania. Príprava na test V. Zhrnutie hodiny VI. II.

"Motivna s celočíselným exponentom" - Vyjadrite výraz ako mocnina. X-12. Usporiadať v zostupnom poradí. Vyjadrite x-12 ako súčin dvoch mocnín so základom x, ak je známy jeden faktor. Vypočítajte. Zjednodušiť.

"Vlastnosti stupňa" - Zovšeobecnenie vedomostí a zručností o aplikácii vlastností stupňa s prirodzeným ukazovateľom. Výpočtová pauza. Vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom. Skontrolujte sa! Aplikácia vedomostí na riešenie problémov rôznej zložitosti. Test. Fizminutka. Rozvoj vytrvalosti, duševnej činnosti a tvorivej činnosti.

Pravidlo rozdelenia moci

1. Stupeň súčinu dvoch alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov (s rovnakým ukazovateľom):

(abc…) n = a n b n c n …

Príklad 1. (7 2 10) 2 = 7 2 2 2 10 2 = 49 4 100 = 19600. Príklad 2. (x 2 –a 2) 3 = [(x + a)(x - a)] 3 =( x + a) 3 (x - a) 3

V praxi je dôležitejšia inverzná transformácia:

a n b n c n … = (abc …) n

tie. súčin rovnakých mocnín viacerých veličín sa rovná rovnakej mocnine súčinu týchto veličín.

Príklad 3 Príklad 4. (a + b) 2 (a 2 - ab + b 2) 2 \u003d [(a ​​​​+ b) (a 2 - ab + b 2)] 2 \u003d (a 3 + b 3) 2

2. Stupeň podielu (zlomku) sa rovná podielu delenia rovnakého stupňa deliteľa rovnakým stupňom deliteľa:

Príklad 5 Príklad 6

Spätná transformácia:. Príklad 7 . Príklad 8 .

3. Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa exponenty sčítajú:

Príklad 9.2 2 2 5 = 2 2 + 5 = 2 7 = 128. Príklad 10. (a - 4c + x) 2 (a - 4c + x) 3 = (a - 4c + x)5.

4. Pri delení mocnín s rovnakým základom sa exponent deliteľa odpočítava od exponentu deliteľa.

Príklad 11. 12 5:12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Príklad 12. (x-y) 3: (x-y)2 = x-y.

5. Pri zvýšení stupňa na mocninu sa exponenty násobia:

Príklad 13. (2 3) 2 = 2 6 = 64. Príklad 14

Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie mocniny

Sčítanie a odčítanie mocnín

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú − negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Delenie stupňov

Čísla s mocninou môžeme deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac $. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac $ Odpoveď: $\frac $.

2. Znížte exponenty v $\frac$. Odpoveď: $\frac $ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

Algebra - 7. ročník. Násobenie a delenie právomocí

Lekcia na tému: „Pravidlá násobenia a delenia mocnín s rovnakými a rôznymi exponentmi. Príklady»

Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.

Násobenie a delenie právomocí

Účel lekcie: naučiť sa vykonávať operácie s mocninami čísla.

Najprv si pripomeňme pojem „moc čísla“. Výraz ako $\underbrace_$ môže byť reprezentovaný ako $a^n$.

Platí to aj naopak: $a^n= \underbrace_ $.

Táto rovnosť sa nazýva „zaznamenanie stupňa ako produktu“. Pomôže nám to určiť spôsob násobenia a deľby moci.
Pamätajte:
a- základ stupňa.
n- exponent.
Ak n=1, čo znamená číslo a prijaté raz a v tomto poradí: $a^n= 1$.
Ak n=0, potom $a^0= 1$.

Prečo sa to deje, zistíme, keď sa zoznámime s pravidlami pre násobenie a delenie mocnín.

pravidlá násobenia

a) Ak sa mocniny s rovnakým základom násobia.
Pre $a^n * a^m$ zapíšeme stupne ako súčin: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Obrázok ukazuje, že číslo a zobral n+m krát, potom $a^n * a^m = a^ $.

Príklad.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Túto vlastnosť je vhodné použiť na zjednodušenie práce pri zvýšení čísla na veľkú moc.
Príklad.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ak sa mocniny vynásobia iným základom, ale rovnakým exponentom.
Pre $a^n * b^n$ zapíšeme mocniny ako súčin: $\underbrace_ * \underbrace_ $.
Ak vymeníme faktory a spočítame výsledné páry, dostaneme: $\underbrace_ $.

Takže $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Príklad.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravidlá rozdelenia

a) Základ stupňa je rovnaký, exponenty sú rôzne.
Zvážte delenie stupňa väčším exponentom delením stupňa menším exponentom.

Stupne píšeme ako zlomok:

Pre pohodlie zapisujeme delenie ako jednoduchý zlomok.

Teraz znížme zlomok.

Ukazuje sa: $\underbrace_ = a^ $.
znamená, $\frac =a^$ .

Táto vlastnosť pomôže vysvetliť situáciu so zvýšením čísla na nulu. Predpokladajme, že n=m, potom $a^0= a^ =\frac =1$.

b) Základy stupňa sú rôzne, ukazovatele sú rovnaké.
Povedzme, že potrebujete $\frac $. Mocniny čísel zapíšeme ako zlomok:

Pre pohodlie si to predstavme.

Pomocou vlastnosti zlomkov rozdelíme veľký zlomok na súčin malých, dostaneme.
$\underbrace* \frac *\ldots*\frac >_ $.
Podľa toho: $\frac =(\frac )^n$.

mathematics-tests.com

Stupne a korene

Operácie s mocnosťami a koreňmi. Stupeň s negatívom ,

nulové a zlomkové indikátor. O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel.

Operácie so stupňami.

1. Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa ich ukazovatele sčítajú:

a m · a n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom ich ukazovatele odpočítané .

3. Stupeň súčinu dvoch alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov.

4. Stupeň pomeru (zlomok) sa rovná pomeru stupňov dividendy (čitateľ) a deliteľa (menovateľ):

(a/b) n = a n / b n.

5. Pri zvýšení stupňa na mocninu sa ich ukazovatele násobia:

Všetky vyššie uvedené vzorce sa čítajú a vykonávajú v oboch smeroch zľava doprava a naopak.

PRÍKLAD (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Operácie s koreňmi. Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň(radikálny výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Koreň pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri povýšení koreňa na moc stačí povýšiť na túto moc koreňové číslo:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny o m-krát a súčasne zvýšite číslo odmocniny na m -tý stupeň, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocniny o m-krát a súčasne vytiahnete odmocninu m-tého stupňa z radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzeným ukazovateľom; ale operácie s mocnosťami a koreňmi môžu viesť aj k negatívne, nula a zlomkové ukazovatele. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň určitého čísla so záporným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň vydelený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m : a n = a m-n možno použiť nielen na m, viac ako n, ale aj pri m, menej ako n .

PRÍKLAD a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Ak chceme vzorec a m : a n = a m — n bol spravodlivý m = n, potrebujeme definíciu nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať koreň n-tého stupňa z m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

kde a ≠ 0 , neexistuje.

Pravdaže, ak to predpokladáme X je určité číslo, potom v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0· X, t.j. a= 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

— ľubovoľné číslo.

V skutočnosti, ak predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu X, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 X. Ale táto rovnosť platí ľubovoľné číslo x, čo sa malo dokázať.

0 0 — ľubovoľné číslo.

Riešenie. Zvážte tri hlavné prípady:

1) X = 0 – táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) kedy X> 0 dostaneme: x / x= 1, t.j. 1 = 1, odkiaľ nasleduje,

čo X- ľubovoľné číslo; ale s prihliadnutím na to

náš prípad X> 0, odpoveď je X > 0 ;

• Pravidlá bezpečnosti pri práci so žehličkou Bezpečnostné pravidlá pre prácu so žehličkou. 1.Pred pripojením žehličky k elektrickej sieti skontrolujte izoláciu kábla a polohu žehličky na stojane. 2. Zapnutie a […]
• Problémy dane z vody Stav, analýza a problémy so zlepšením dane z vody Keď sa voda odoberá nad rámec stanovených štvrťročných (ročných) limitov používania vody, sadzby dane z hľadiska takéhoto nadmerného […]
• ako vypracovať príkaz na prechod z 223 fz na 44 fz Sergej Antonov 30 Odpovedal pred rokom Profesor 455 Odpovedal pred rokom Napríklad: príkaz na zrušenie uplatňovania nariadenia o obstarávaní. Skóre odpovede: 0 Pridať […]
• Delenie záporných čísel Ako deliť záporné čísla je ľahké pochopiť, nezabudnite, že delenie je opakom násobenia. Ak sú „a“ a „b“ kladné čísla, potom vydeľte číslo „a“ číslom „ […]
• Rozlíšenia D1, 960H, 720P, 960P, 1080P Dohľadové systémy sú vo svete čoraz rozšírenejšie. Vybavenie sa neustále zdokonaľuje a táto oblasť sa neustále vyvíja. Ako v každom […]
• Ústavný zákon Ruskej federácie. Baglay M.V. 6. vydanie, rev. a dodatočné - M.: Norma, 200 7 . - 7 84 s. Túto učebnicu, ktorá je šiestym prepracovaným a doplneným vydaním, napísal slávny […]

Je zrejmé, že čísla s mocninami možno pridávať ako iné veličiny , a to tak, že ich jeden po druhom pridáte s ich znakmi.

Takže súčet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Súčet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.

Šance rovnaké mocniny tých istých premenných možno pridať alebo odčítať.

Takže súčet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je tiež zrejmé, že ak vezmeme dve štvorce a, alebo tri štvorce a, alebo päť štvorcov a.

Ale stupne rôzne premenné a rôzne stupne identické premenné, je potrebné pridať tak, že ich pridáte k svojim znakom.

Takže súčet 2 a 3 je súčet 2 + a 3 .

Je zrejmé, že druhá mocnina a a kocka a nie sú ani dvojnásobkom druhej mocniny a, ale dvojnásobkom kocky a.

Súčet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítanie právomoci sa vykonávajú rovnakým spôsobom ako sčítanie, s výnimkou toho, že znaky subtrahendu sa musia zodpovedajúcim spôsobom zmeniť.

alebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobenie moci

Čísla s mocninami je možné násobiť ako iné veličiny tak, že ich napíšete za sebou, či už so znamienkom násobenia alebo bez neho.

Takže výsledkom vynásobenia a 3 b 2 je a 3 b 2 alebo aaabb.

alebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 r.

Výsledok v poslednom príklade možno usporiadať pridaním rovnakých premenných.
Výraz bude mať tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnaním niekoľkých čísel (premenných) s mocninami môžeme vidieť, že ak sa ktorékoľvek dve z nich vynásobia, výsledkom je číslo (premenná) s mocninou rovnajúcou sa súčet stupne pojmov.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tu je 5 mocnina výsledku násobenia, rovná 2 + 3, súčet mocnin členov.

Takže a n .a m = a m+n .

Pre a n sa a berie ako faktor toľkokrát, koľko je mocnina n;

A m sa berie ako faktor toľkokrát, koľkokrát sa rovná stupeň m;

Preto, mocniny s rovnakými základmi možno násobiť sčítaním exponentov.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

alebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpoveď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí aj pre čísla, ktorých exponenty sú - negatívne.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. Dá sa to zapísať ako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ak a + b vynásobíme a - b, výsledkom bude a 2 - b 2: tzn

Výsledok vynásobenia súčtu alebo rozdielu dvoch čísel sa rovná súčtu alebo rozdielu ich druhých mocnín.

Ak sa súčet a rozdiel dvoch čísel zvýši na námestie, výsledok sa bude rovnať súčtu alebo rozdielu týchto čísel v štvrtý stupňa.

Takže (a - y). (a + y) = a2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a4-y4)⋅(a4+y4) = a8-y8.

Delenie stupňov

Čísla s mocninou môžeme deliť ako ostatné čísla odčítaním od deliteľa alebo ich umiestnením v tvare zlomku.

Takže a 3 b 2 delené b 2 je a 3 .

alebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 delený 3 vyzerá ako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale toto sa rovná 2. V rade čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ľubovoľné číslo možno deliť iným a exponent bude rovný rozdiel ukazovatele deliteľných čísel.

Pri delení mocnín s rovnakým základom sa ich exponenty odčítajú..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, že $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

alebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí aj pre čísla s negatívne hodnoty stupňa.
Výsledkom delenia a -5 a -3 je -2 .
Tiež $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 alebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobenie a delenie mocnín je potrebné veľmi dobre ovládať, keďže takéto operácie sú v algebre veľmi využívané.

Príklady riešenia príkladov so zlomkami obsahujúcimi čísla s mocninami

1. Znížte exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpoveď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Znížte exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpoveď: $\frac(2x)(1)$ alebo 2x.

3. Znížte exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a priveďte na spoločného menovateľa.
a 2 .a -4 je -2 prvý čitateľ.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitateľ.
a 3 .a -4 je a -1 , spoločný čitateľ.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Znížte exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a priveďte na spoločného menovateľa.
Odpoveď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 alebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 číslom (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydeľte a 4 /y 3 3 /y 2 . Odpoveď: a/y.

9. Delenie (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

Silové vzorce používa sa v procese znižovania a zjednodušovania zložitých výrazov, pri riešení rovníc a nerovníc.

číslo c je n-tá mocnina čísla a kedy:

Operácie so stupňami.

1. Vynásobením stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele spočítajú:

a ma n = a m + n.

2. Pri delení stupňov s rovnakým základom sa ich ukazovatele odpočítajú:

3. Stupeň súčinu 2 alebo viacerých faktorov sa rovná súčinu stupňov týchto faktorov:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku sa rovná pomeru stupňov dividendy a deliteľa:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu sa exponenty vynásobia:

(am) n = a m n .

Každý vzorec vyššie je správny v smere zľava doprava a naopak.

Napríklad. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operácie s koreňmi.

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Odmocnina pomeru sa rovná pomeru dividendy a deliteľa koreňov:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zvýšime stupeň koreňa v n raz a zároveň zvýšiť na n mocnina je číslo odmocniny, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížime stupeň koreňa v n root súčasne n stupňa od radikálneho čísla, potom sa hodnota koreňa nezmení:

Stupeň so záporným exponentom. Stupeň čísla s kladným (celočíselným) exponentom je definovaný ako stupeň delený stupňom toho istého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote kladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n možno použiť nielen na m> n, ale aj pri m< n.

Napríklad. a4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovať a m:a n = a m - n sa stal spravodlivým m=n, potrebujete prítomnosť nultého stupňa.

Stupeň s nulovým exponentom. Mocnina akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom sa rovná jednej.

Napríklad. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Zvýšiť skutočné číslo a do istej miery m/n, musíte extrahovať koreň n tý stupeň m mocnina tohto čísla a.