abstraktné

Absolútna a relatívna chyba

Úvod

Absolútna chyba - je odhad absolútnej chyby merania. Vypočítava sa rôznymi spôsobmi. Metóda výpočtu je určená rozdelením náhodnej premennej. Podľa toho veľkosť absolútnej chyby závisí od rozdelenia náhodnej premennej môže byť iný. Ak je nameraná hodnota a je skutočná hodnota, potom nerovnosť musí byť splnená s určitou pravdepodobnosťou blízkou 1. Ak náhodná premenná rozdelené podľa normálneho zákona, potom sa zvyčajne jeho smerodajná odchýlka berie ako absolútna chyba. Absolútna chyba sa meria v rovnakých jednotkách ako samotná hodnota.

Existuje niekoľko spôsobov, ako zapísať množstvo spolu s jeho absolútnou chybou.

· Zvyčajne sa používa podpísaná notácia ± . Napríklad rekord na 100 m z roku 1983 je 9,930±0,005 s.

· Na zaznamenanie hodnôt nameraných s veľmi vysokou presnosťou sa používa iný zápis: čísla zodpovedajúce chybe posledných číslic mantisy sú pridané v zátvorkách. Napríklad nameraná hodnota Boltzmannovej konštanty je 1,380 6488 (13) × 10?23 J/K, čo sa dá písať aj oveľa dlhšie ako 1 380 6 488 × 10?23 ± 0,000 0013 × 10?23 J/K.

Relatívna chyba- chyba merania, vyjadrená ako pomer absolútnej chyby merania k skutočnej alebo priemernej hodnote meranej veličiny (RMG 29-99):.

Relatívna chyba je bezrozmerná veličina alebo sa meria v percentách.

1. Čo sa nazýva približná hodnota?

Príliš veľa a príliš málo? V procese výpočtov sa často musíme zaoberať približnými číslami. Nechaj ALE- presná hodnota určitej veličiny, ďalej len tzv presné číslo a.Pod približnú hodnotu množstva ALE,alebo približné číslazavolal na číslo a, ktorý nahrádza presnú hodnotu množstva ALE.Ak a< ALE,potom asa nazýva približná hodnota čísla A pre nedostatok.Ak a> ALE,- potom v prebytku.Napríklad 3,14 je aproximácia čísla ? nedostatkom a 3,15 nadbytkom. Na charakterizáciu stupňa presnosti tejto aproximácie sa používa koncept chyby alebo chyby.

chyba ?apribližné číslo asa nazýva odlišnosť formy

?a = A - a,

kde ALEje zodpovedajúce presné číslo.

Obrázok ukazuje, že dĺžka segmentu AB je medzi 6 cm a 7 cm.

To znamená, že 6 je približná hodnota dĺžky segmentu AB (v centimetroch)\u003e s nedostatkom a 7 je s prebytkom.

Označením dĺžky úsečky písmenom y dostaneme: 6< у < 1. Если a < х < b, то а называют приближенным значением числа х с недостатком, a b - приближенным значением х с избытком. Длина segmentAB (pozri obr. 149) je bližšie k 6 cm ako k 7 cm. Približne sa rovná 6 cm. Hovoria, že číslo 6 sme získali zaokrúhlením dĺžky segmentu na celé čísla.

. Čo je chyba aproximácie?

A) absolútne?

B) Relatívna?

A) Absolútna chyba aproximácie je modul rozdielu medzi skutočnou hodnotou veličiny a jej približnou hodnotou. |x - x_n|, kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota. Napríklad: Dĺžka listu papiera A4 je (29,7 ± 0,1) cm a vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy je (650 ± 1) km. Absolútna chyba v prvom prípade nepresahuje jeden milimeter av druhom - jeden kilometer. Otázkou je porovnanie presnosti týchto meraní.

Ak si myslíte, že dĺžka listu sa meria presnejšie, pretože absolútna chyba nepresahuje 1 mm. Potom sa mýlite. Tieto hodnoty sa nedajú priamo porovnávať. Urobme si nejaké úvahy.

Pri meraní dĺžky listu nepresahuje absolútna chyba 0,1 cm x 29,7 cm, to znamená, že v percentách je to 0,1 / 29,7 * 100 % = 0,33 % nameranej hodnoty.

Keď meriame vzdialenosť z Petrohradu do Moskvy, absolútna chyba nepresahuje 1 km na 650 km, čo je 1/650 * 100 % = 0,15 % nameranej hodnoty v percentách. Vidíme, že vzdialenosť medzi mestami sa meria presnejšie ako dĺžka listu A4.

B) Relatívna chyba aproximácie je pomer absolútnej chyby k modulu približnej hodnoty veličiny.

zlomok matematickej chyby

kde x je skutočná hodnota, x_n je približná hodnota.

Relatívna chyba sa zvyčajne označuje ako percento.

Príklad. Zaokrúhlením čísla 24,3 na jednotky dostaneme číslo 24.

Relatívna chyba je rovnaká. Hovorí sa, že relatívna chyba je v tomto prípade 12,5%.

) Aké zaokrúhľovanie sa nazýva zaokrúhľovanie?

A) s nevýhodou?

b) Príliš veľa?

A) zaokrúhľovanie nadol

Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok s presnosťou na 10^(-n) s nedostatkom sa prvých n číslic za desatinnou čiarkou zachová a nasledujúce sa zahodia.

Napríklad zaokrúhlením 12,4587 na najbližšie desatinné miesto získate 12,458.

B) Zaokrúhľovanie nahor

Pri zaokrúhľovaní čísla vyjadreného ako desatinný zlomok až na 10^(-n) sa prvých n číslic za desatinnou čiarkou zachová s prebytkom a ďalšie sa zahodia.

Napríklad zaokrúhlením 12,4587 na najbližšiu tisícinu s mínusom bude 12,459.

) Pravidlo pre zaokrúhľovanie desatinných miest.

Pravidlo. Na zaokrúhlenie desatinnej čiarky na určitú číslicu celého čísla alebo zlomkovej časti sa všetky menšie číslice nahradia nulami alebo sa vyradia a číslica pred číslicou vyradenou pri zaokrúhľovaní nemení svoju hodnotu, ak za ňou nasledujú čísla 0, 1, 2, 3, 4 a zvýši sa o 1 (jedna), ak sú čísla 5, 6, 7, 8, 9.

Príklad. Zaokrúhlite zlomok 93,70584 na:

desaťtisíciny: 93,7058

tisíciny: 93,706

stotiny: 93,71

desatiny: 93,7

celé číslo: 94

desiatky: 90

Napriek rovnosti absolútnych chýb, od r merané veličiny sú rôzne. Čím väčšia je nameraná veľkosť, tým menšia je relatívna chyba pri konštantnej absolútnej hodnote.

Doučovanie

Potrebujete pomôcť s učením témy?

Naši odborníci vám poradia alebo poskytnú doučovacie služby na témy, ktoré vás zaujímajú.
Odošlite žiadosť s uvedením témy práve teraz, aby ste sa dozvedeli o možnosti konzultácie.

Chyby merania fyzikálnych veličín

1. Úvod (merania a chyby meraní)

2. Náhodné a systematické chyby

3. Absolútne a relatívne chyby

4. Chyby meracích prístrojov

5. Trieda presnosti elektrických meracích prístrojov

6. Chyba čítania

7. Celková absolútna chyba priamych meraní

8. Zaznamenanie konečného výsledku priameho merania

9. Chyby nepriamych meraní

10.Príklad

1. Úvod (merania a chyby meraní)

Fyzika ako veda sa zrodila pred viac ako 300 rokmi, keď Galileo v podstate vytvoril vedecké štúdium fyzikálnych javov: fyzikálne zákony sa stanovujú a overujú experimentálne zhromažďovaním a porovnávaním experimentálnych údajov reprezentovaných súborom čísel, zákony sú formulované v jazyku matematika, t.j. pomocou vzorcov spájajúcich číselné hodnoty fyzikálnych veličín funkčnou závislosťou. Preto je fyzika experimentálna veda, fyzika je kvantitatívna veda.

Zoznámime sa s niektorými charakteristickými vlastnosťami akýchkoľvek meraní.

Meranie je zistenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny empiricky pomocou meracích prístrojov (pravítka, voltmetre, hodinky a pod.).

Merania môžu byť priame a nepriame.

Priame meranie je určenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny priamo meracími prístrojmi. Napríklad dĺžka - s pravítkom, atmosférický tlak - s barometrom.

Nepriame meranie je určenie číselnej hodnoty fyzikálnej veličiny pomocou vzorca, ktorý dáva do súvislosti požadovanú hodnotu s inými veličinami určenými priamymi meraniami. Napríklad odpor vodiča je určený vzorcom R=U/I, kde U a I sa merajú elektrickými meracími prístrojmi.

Zvážte príklad merania.

Zmerajte dĺžku tyče pomocou pravítka (delíčku 1 mm). Možno len konštatovať, že dĺžka lišty sa pohybuje medzi 22 a 23 mm. Šírka „neznámeho“ intervalu je 1 mm, to znamená, že sa rovná hodnote delenia. Výmena pravítka za citlivejší nástroj, ako je posuvné meradlo, skráti tento interval, čo vedie k zvýšeniu presnosti merania. V našom príklade presnosť merania nepresahuje 1 mm.

Preto merania nemôžu byť nikdy úplne presné. Výsledok akéhokoľvek merania je približný. Neistotu v meraní charakterizuje chyba – odchýlka nameranej hodnoty fyzikálnej veličiny od jej skutočnej hodnoty.

Uvádzame niektoré z dôvodov, ktoré vedú k výskytu chýb.

1. Obmedzená presnosť pri výrobe meracích prístrojov.

2. Vplyv na meranie vonkajších podmienok (zmena teploty, kolísanie napätia...).

3. Úkony experimentátora (oneskorenie zapnutia stopiek, iná poloha oka...).

4. Približná povaha zákonov použitých na nájdenie meraných veličín.

Uvedené dôvody výskytu chýb nie je možné odstrániť, možno ich však minimalizovať. Na stanovenie spoľahlivosti záverov získaných ako výsledok vedeckého výskumu existujú metódy hodnotenia týchto chýb.

2. Náhodné a systematické chyby

Chyby vyplývajúce z meraní sa delia na systematické a náhodné.

Systematické chyby sú chyby zodpovedajúce odchýlke nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty fyzikálnej veličiny vždy v jednom smere (zvýšenie alebo zníženie). Pri opakovaných meraniach zostáva chyba rovnaká.

Príčiny systematických chýb:

1) nesúlad meracích prístrojov s normou;

2) nesprávna inštalácia meracích prístrojov (náklon, nevyváženosť);

3) nezhoda počiatočných indikátorov zariadení s nulou a ignorovanie opráv, ktoré s tým vznikajú;

4) nesúlad medzi meraným objektom a predpokladom o jeho vlastnostiach (prítomnosť dutín atď.).

Náhodné chyby sú chyby, ktoré menia svoju číselnú hodnotu nepredvídateľným spôsobom. Takéto chyby sú spôsobené veľkým množstvom nekontrolovateľných príčin, ktoré ovplyvňujú proces merania (nepravidelnosti na povrchu objektu, fúkanie vetra, prepätia atď.). Vplyv náhodných chýb možno znížiť opakovaným opakovaním experimentu.

3. Absolútne a relatívne chyby

Pre kvantitatívne hodnotenie kvality meraní sú zavedené pojmy absolútnej a relatívnej chyby merania.

Ako už bolo spomenuté, každé meranie poskytuje iba približnú hodnotu fyzikálnej veličiny, ale môžete určiť interval, ktorý obsahuje jej skutočnú hodnotu:

A pr - D A< А ист < А пр + D А

D hodnota A sa nazýva absolútna chyba merania veličiny A. Absolútna chyba sa vyjadruje v jednotkách meranej veličiny. Absolútna chyba sa rovná modulu maximálnej možnej odchýlky hodnoty fyzikálnej veličiny od nameranej hodnoty. A pr - hodnota fyzikálnej veličiny získaná experimentálne, ak sa meranie vykonávalo opakovane, potom aritmetický priemer týchto meraní.

Ale na posúdenie kvality merania je potrebné určiť relatívnu chybu e. e \u003d D A / A pr alebo e \u003d (D A / A pr) * 100 %.

Ak sa počas merania získa relatívna chyba väčšia ako 10 %, potom hovoria, že sa urobil iba odhad nameranej hodnoty. V laboratóriách fyzickej dielne sa odporúča vykonávať merania s relatívnou chybou do 10 %. Vo vedeckých laboratóriách sa niektoré presné merania (napríklad určenie vlnovej dĺžky svetla) vykonávajú s presnosťou na milióntiny percenta.

4. Chyby meracích prístrojov

Tieto chyby sa nazývajú aj inštrumentálne alebo inštrumentálne. Sú spôsobené konštrukciou meracieho zariadenia, presnosťou jeho výroby a kalibráciou. Zvyčajne sú spokojní s prípustnými inštrumentálnymi chybami, ktoré výrobca uvádza v pase pre toto zariadenie. Tieto prípustné chyby sú regulované GOST. To platí aj pre normy. Zvyčajne sa absolútna inštrumentálna chyba označuje ako D a A.

Ak nie je údaj o dovolenej chybe (napríklad pri pravítku), tak za túto chybu možno považovať polovicu ceny rozdelenia.

Pri vážení je absolútna prístrojová chyba súčtom prístrojových chýb váh a závaží. V tabuľke sú najčastejšie uvedené dovolené chyby

meracích prístrojov, s ktorými sme sa stretli v školskom experimente.

Meranie	Limit merania	Hodnota divízie	Prípustná chyba
študentský vládca
demonštračné pravítko
meracia páska
kadička
hmotnosti 10,20, 50 mg
hmotnosť 100,200 mg
hmotnosť 500 mg
posuvné meradlá
mikrometer
dynamometer
vzdelávacie stupnice
Stopky			1 s na 30 min
aneroidný barometer	720-780 mmHg	1 mmHg	3 mmHg
laboratórny teplomer	0-100 stupňov C
školský ampérmeter
voltmetrová škola

5. Trieda presnosti elektrických meracích prístrojov

Podľa prípustných hodnôt chýb sú ukazovacie elektrické meracie prístroje rozdelené do tried presnosti, ktoré sú na stupnici prístrojov označené číslami 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Trieda presnosti g pr prístroj ukazuje, koľko percent je absolútna chyba celej stupnice prístroja.

g pr \u003d (D a A / A max) * 100 % .

Napríklad absolútna inštrumentálna chyba nástroja triedy 2.5 je 2,5 % jeho stupnice.

Ak je známa trieda presnosti zariadenia a jeho mierka, potom je možné určiť absolútnu chybu prístrojového merania

D a A \u003d ( g pr * A max) / 100.

Pre zlepšenie presnosti merania ukazovacím elektrickým meracím prístrojom je potrebné zvoliť prístroj s takou stupnicou, aby sa pri procese merania nachádzali v druhej polovici stupnice prístroja.

6. Chyba čítania

Chyba čítania sa získa z nedostatočne presného čítania údajov meracích prístrojov.

Vo väčšine prípadov sa absolútna chyba čítania rovná polovici hodnoty delenia. Výnimkou sú merania s analógovými hodinami (ručičky sa pohybujú trhane).

Zvyčajne sa označuje absolútna chyba čítania D oA

7. Celková absolútna chyba priamych meraní

Pri priamych meraniach fyzikálnej veličiny A je potrebné vyhodnotiť tieto chyby: D uA, D oA a D sA (náhodné). Samozrejme by sa mali vylúčiť iné zdroje chýb spojené s nesprávnou inštaláciou prístrojov, nesprávnym nastavením počiatočnej polohy ukazovateľa prístroja s 0 atď.

Celková absolútna chyba priameho merania musí zahŕňať všetky tri typy chýb.

Ak je náhodná chyba malá v porovnaní s najmenšou hodnotou, ktorú je možné týmto meracím prístrojom zmerať (v porovnaní s hodnotou delenia), potom ju možno zanedbať a potom na určenie hodnoty fyzikálnej veličiny stačí jedno meranie. V opačnom prípade teória pravdepodobnosti odporúča nájsť výsledok merania ako aritmetický priemer výsledkov celej série viacnásobných meraní, chyba výsledku sa vypočíta metódou matematickej štatistiky. Znalosť týchto metód presahuje rámec školských osnov.

8. Zaznamenanie konečného výsledku priameho merania

Konečný výsledok merania fyzikálnej veličiny A treba zapísať v tejto forme;

A = A pr + DA, e \u003d (D A / A pr) * 100 %.

A pr - hodnota fyzikálnej veličiny získaná experimentálne, ak sa meranie vykonávalo opakovane, potom aritmetický priemer týchto meraní. D A je celková absolútna chyba priameho merania.

Absolútna chyba sa zvyčajne vyjadruje ako jedno významné číslo.

Príklad: L=(7,9 + 0,1 mm, e = 13 %.

9. Chyby nepriamych meraní

Pri spracovaní výsledkov nepriamych meraní fyzikálnej veličiny, ktorá funkčne súvisí s fyzikálnymi veličinami A, B a C, ktoré sa merajú priamym spôsobom, sa najskôr zisťuje relatívna chyba nepriameho merania. e=D X / X pr, pomocou vzorcov uvedených v tabuľke (bez dôkazov).

Absolútna chyba je určená vzorcom D X \u003d X pr * e,

kde e vyjadrené ako desatinné číslo, nie v percentách.

Konečný výsledok sa zaznamená rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.

Typ funkcie	Vzorec
X = A + B + C
X = A-B
X=A*B*C
X = A n
X = A/B

Príklad: Vypočítajme chybu pri meraní koeficientu trenia pomocou dynamometra. Skúsenosť je taká, že tyč sa rovnomerne ťahá pozdĺž vodorovného povrchu a meria sa použitá sila: rovná sa sile klzného trenia.

Pomocou dynamometra odvážime tyč so závažiami: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N

μ = 0,33 Prístrojová chyba dynamometra (nájdite z tabuľky) je Δ a = 0,05 N, Chyba čítania (polovica dielika stupnice)

Δ o = 0,05 N. Absolútna chyba merania hmotnosti a trecej sily je 0,1 N.

Relatívna chyba merania (5. riadok v tabuľke)

, preto absolútna chyba nepriameho merania μ je 0,22*0,33=0,074

Kvôli chybám, ktoré sú vlastné meraciemu prístroju, zvolenej metóde a technike merania, rozdielu vonkajších podmienok, v ktorých sa meranie vykonáva od stanovených a iných príčin, je výsledok takmer každého merania zaťažený chybou. Táto chyba sa vypočíta alebo odhadne a pripíše sa k získanému výsledku.

Chyba merania(stručne - chyba merania) - odchýlka výsledku merania od skutočnej hodnoty meranej veličiny.

Skutočná hodnota množstva v dôsledku prítomnosti chýb zostáva neznáma. Používa sa pri riešení teoretických problémov metrológie. V praxi sa používa skutočná hodnota veličiny, ktorá nahrádza skutočnú hodnotu.

Chyba merania (Δx) sa zistí podľa vzorca:

x = x meas. - x skutočné (1.3)

kde x mes. - hodnotu veličiny získanú na základe meraní; x skutočné je hodnota množstva braného ako skutočného.

Skutočná hodnota pre jednotlivé merania sa často berie ako hodnota získaná pomocou vzorového meracieho prístroja, pre opakované merania - aritmetický priemer hodnôt jednotlivých meraní zahrnutých v tejto sérii.

Chyby merania možno klasifikovať podľa nasledujúcich kritérií:

Podľa povahy prejavu - systematické a náhodné;

Spôsobom vyjadrenia - absolútne a relatívne;

Podľa podmienok pre zmenu nameranej hodnoty - statické a dynamické;

Podľa spôsobu spracovania množstvo meraní - aritmetické a stredné štvorce;

Podľa úplnosti pokrytia meracej úlohy - súkromná a úplná;

Vo vzťahu k jednotke fyzikálnej veličiny - chyba reprodukcie jednotky, uloženia jednotky a prenosu veľkosti jednotky.

Systematická chyba merania(stručne - systematická chyba) - zložka chyby výsledku merania, ktorá zostáva pre danú sériu meraní konštantná alebo sa pravidelne mení pri opakovaných meraniach tej istej fyzikálnej veličiny.

Podľa charakteru prejavu sa systematické chyby delia na konštantné, progresívne a periodické. Trvalé systematické chyby(stručne - konštantné chyby) - chyby, ktoré si zachovávajú svoju hodnotu po dlhú dobu (napríklad počas celej série meraní). Toto je najbežnejší typ chyby.

Progresívne systematické chyby(stručne - progresívne chyby) - neustále sa zvyšujúce alebo klesajúce chyby (napríklad chyby z opotrebovania meracích hrotov, ktoré prichádzajú do kontaktu pri brúsení s dielom, keď je riadený aktívnym riadiacim zariadením).

Pravidelná systematická chyba(stručne - periodická chyba) - chyba, ktorej hodnota je funkciou času alebo funkciou pohybu ukazovateľa meracieho zariadenia (napríklad prítomnosť excentricity u goniometrov s kruhovou stupnicou spôsobuje systematickú chybu ktorá sa mení podľa periodického zákona).

Na základe dôvodov výskytu systematických chýb existujú inštrumentálne chyby, chyby metód, subjektívne chyby a chyby v dôsledku odchýlok vonkajších podmienok merania od zavedených metód.

Chyba prístrojového merania(v skratke - chyba prístroja) je výsledkom viacerých príčin: opotrebovanie častí prístroja, nadmerné trenie v mechanizme prístroja, nepresné zdvihy na stupnici, nesúlad medzi skutočnými a nominálnymi hodnotami merania atď.

Chyba metódy merania(stručne - chyba metódy) môže vzniknúť v dôsledku nedokonalosti metódy merania alebo jej zjednodušení, zistených postupom merania. Takáto chyba môže byť napríklad spôsobená nedostatočnou rýchlosťou meracích prístrojov používaných pri meraní parametrov rýchlych procesov alebo nezohľadnenými nečistotami pri určovaní hustoty látky na základe výsledkov merania jej hmotnosti a objemu.

Subjektívna chyba merania(stručne - subjektívna chyba) je spôsobená individuálnymi chybami operátora. Niekedy sa táto chyba nazýva osobný rozdiel. Je to spôsobené napríklad oneskorením alebo predstihom v prijatí signálu operátorom.

Chyba odchýlky(v jednom smere) vonkajších podmienok merania od podmienok stanovených postupom merania vedie k výskytu systematickej zložky chyby merania.

Systematické chyby skresľujú výsledok merania, preto sa musia v maximálnej možnej miere eliminovať zavedením opráv alebo nastavením prístroja tak, aby sa systematické chyby dostali na prijateľné minimum.

Nevylúčená systematická chyba(stručne - nevylúčená chyba) - ide o chybu výsledku merania spôsobenú chybou vo výpočte a zavedení opravy pre vplyv systematickej chyby, alebo o malú systematickú chybu, pre ktorú sa oprava nezavádza z dôvodu maličkosť.

Tento typ chyby sa niekedy označuje ako nevylúčené zvyšky zaujatosti(stručne - nevylúčené zostatky). Napríklad pri meraní dĺžky čiarového metra vo vlnových dĺžkach referenčného žiarenia sa odhalilo niekoľko nevylúčených systematických chýb (i): v dôsledku nepresného merania teploty - 1 ; kvôli nepresnému určeniu indexu lomu vzduchu - 2, kvôli nepresnej hodnote vlnovej dĺžky - 3.

Zvyčajne sa berie do úvahy súčet nevylúčených systematických chýb (určia sa ich hranice). Pri počte členov N ≤ 3 sa hranice nevylúčených systematických chýb vypočítajú podľa vzorca

Keď je počet členov N ≥ 4, na výpočty sa použije vzorec

(1.5)

kde k je koeficient závislosti nevylúčených systematických chýb od zvolenej pravdepodobnosti spoľahlivosti P s ich rovnomerným rozdelením. Pri P = 0,99, k = 1,4, pri P = 0,95, k = 1,1.

Náhodná chyba merania(stručne - náhodná chyba) - zložka chyby výsledku merania, meniaca sa náhodne (v znamienku a hodnote) v sérii meraní rovnakej veľkosti fyzikálnej veličiny. Príčiny náhodných chýb: chyby zaokrúhľovania pri odčítaní údajov, kolísanie údajov, zmeny podmienok merania náhodného charakteru atď.

Náhodné chyby spôsobujú rozptyl výsledkov meraní v sérii.

Teória chýb je založená na dvoch ustanoveniach potvrdených praxou:

1. Pri veľkom počte meraní sa rovnako často vyskytujú náhodné chyby rovnakej číselnej hodnoty, ale iného znamienka;

2. Veľké (v absolútnej hodnote) chyby sú menej časté ako malé.

Z prvej pozície vyplýva pre prax dôležitý záver: s nárastom počtu meraní sa zmenšuje náhodná chyba výsledku získaného zo série meraní, keďže súčet chýb jednotlivých meraní tejto série má tendenciu k nule, t.j.

(1.6)

Napríklad v dôsledku meraní sa získa séria hodnôt elektrického odporu (ktoré sú opravené o účinky systematických chýb): R 1 \u003d 15,5 Ohm, R 2 \u003d 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 ohmov, R 4 \u003d 15, 6 ohmov a R5 = 15,4 ohmov. Preto R = 15,5 ohmov. Odchýlky od R (R 1 \u003d 0,0; R 2 \u003d +0,1 Ohm, R3 \u003d -0,1 Ohm, R4 \u003d +0,1 Ohm a R5 \u003d -0,1 Ohm) sú náhodné chyby jednotlivých meraní v a danej série. Je ľahké vidieť, že súčet R i = 0,0. To naznačuje, že chyby jednotlivých meraní tejto série sú vypočítané správne.

Napriek tomu, že s nárastom počtu meraní má súčet náhodných chýb tendenciu k nule (v tomto príklade sa náhodne ukázal ako nula), náhodná chyba výsledku merania sa nevyhnutne odhaduje. V teórii náhodných premenných slúži disperzia o2 ako charakteristika rozptylu hodnôt náhodnej premennej. "| / o2 \u003d a sa nazýva štandardná odchýlka všeobecnej populácie alebo štandardná odchýlka.

Je to pohodlnejšie ako disperzia, keďže jej rozmer sa zhoduje s rozmerom meranej veličiny (napr. hodnota veličiny sa získa vo voltoch, smerodajná odchýlka bude tiež vo voltoch). Keďže v praxi meraní sa používa pojem „chyba“, na charakterizáciu množstva meraní by sa mal použiť výraz „odmocnina z kvadratickej chyby“ z neho odvodený. Množstvo meraní možno charakterizovať aritmetickou strednou chybou alebo rozsahom výsledkov meraní.

Rozsah výsledkov merania (stručne - rozsah) je algebraický rozdiel medzi najväčším a najmenším výsledkom jednotlivých meraní, ktoré tvoria sériu (alebo vzorku) n meraní:

R n \u003d X max – X min (1,7)

kde Rn je rozsah; X max a X min - najväčšie a najmenšie hodnoty veličiny v danej sérii meraní.

Napríklad z piatich meraní priemeru otvoru d sa hodnoty R 5 = 25,56 mm a R 1 = 25,51 mm ukázali ako jeho maximálne a minimálne hodnoty. V tomto prípade R n \u003d d 5 - d 1 \u003d 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. To znamená, že zostávajúce chyby tejto série sú menšie ako 0,05 mm.

Priemerná aritmetická chyba jedného merania v sérii(v skratke - aritmetická stredná chyba) - zovšeobecnená charakteristika rozptylu (z náhodných príčin) jednotlivých výsledkov meraní (rovnakej hodnoty), zahrnutých v sérii n rovnako presných nezávislých meraní, sa vypočíta podľa vzorca

(1.8)

kde X i je výsledok i-tého merania zahrnutého v sérii; x je aritmetický priemer n hodnôt veličiny: |X i - X| je absolútna hodnota chyby i-tého merania; r je chyba aritmetického priemeru.

Skutočná hodnota aritmetickej strednej chyby p sa určí z pomeru

p = lim r, (1,9)

Pri počte meraní n > 30 medzi aritmetickým priemerom (r) a stredným štvorcom (s) existujú súvislosti

s = 1,25 r; ra = 0,80 s. (1,10)

Výhodou chyby aritmetického priemeru je jednoduchosť jej výpočtu. Ale ešte častejšie určiť strednú štvorcovú chybu.

Odmocnina so štvorcovou chybou jednotlivé meranie v sérii (v skratke - odmocnina so strednou kvadratickou chybou) - zovšeobecnená charakteristika rozptylu (z náhodných dôvodov) jednotlivých výsledkov meraní (rovnakej hodnoty) zaradených do série P rovnako presné nezávislé merania, vypočítané podľa vzorca

(1.11)

Stredná kvadratická chyba pre všeobecnú vzorku o, ktorá je štatistickým limitom S, možno vypočítať pre /i-mx > podľa vzorca:

Σ = limS (1.12)

V skutočnosti je počet rozmerov vždy obmedzený, takže sa nevypočítava σ , a jeho približná hodnota (alebo odhad), ktorá je s. Viac P,čím bližšie je s k jeho limite σ .

Pri normálnom rozdelení je pravdepodobnosť, že chyba jedného merania v sérii nepresiahne vypočítanú kvadratúru, malá: 0,68. Preto v 32 prípadoch zo 100 alebo v 3 prípadoch z 10 môže byť skutočná chyba väčšia ako vypočítaná.

Obrázok 1.2 Pokles hodnoty náhodnej chyby výsledku viacerých meraní pri zvýšení počtu meraní v sérii

V sérii meraní existuje vzťah medzi rms chybou jednotlivého merania s a rms chybou aritmetického priemeru S x:

ktoré sa často nazýva „pravidlo Y n“. Z tohto pravidla vyplýva, že chybu merania v dôsledku pôsobenia náhodných príčin možno n-krát znížiť, ak sa vykoná n meraní rovnakej veľkosti ľubovoľnej veličiny a ako konečný výsledok sa berie hodnota aritmetického priemeru (obr. 1.2). ).

Vykonanie aspoň 5 meraní v sérii umožňuje znížiť vplyv náhodných chýb viac ako 2-krát. Pri 10 meraniach sa vplyv náhodnej chyby zníži o faktor 3. Ďalšie zvýšenie počtu meraní nie je vždy ekonomicky realizovateľné a spravidla sa vykonáva len pre kritické merania vyžadujúce vysokú presnosť.

Stredná kvadratická chyba jedného merania zo série homogénnych dvojitých meraní S α sa vypočíta podľa vzorca

(1.14)

kde x" i a x"" i sú i-té výsledky meraní rovnakej veľkosti veličiny v smere dopredu a dozadu jedným meracím prístrojom.

Pri nerovnakých meraniach je stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru v rade určená vzorcom

(1.15)

kde p i je hmotnosť i-tého merania v sérii nerovnakých meraní.

Stredná kvadratická chyba výsledku nepriamych meraní množstva Y, ktorá je funkciou Y \u003d F (X 1, X 2, X n), sa vypočíta podľa vzorca

(1.16)

kde S 1 , S 2 , S n sú stredné kvadratické chyby výsledkov meraní pre X 1 , X 2 , X n .

Ak sa kvôli väčšej spoľahlivosti získania uspokojivého výsledku vykoná niekoľko sérií meraní, stredná kvadratická chyba jednotlivého merania z m série (S m) sa zistí podľa vzorca

(1.17)

kde n je počet meraní v sérii; N je celkový počet meraní vo všetkých sériách; m je počet sérií.

Pri obmedzenom počte meraní je často potrebné poznať RMS chybu. Na určenie chyby S vypočítanej podľa vzorca (2.7) a chyby Sm vypočítanej podľa vzorca (2.12) môžete použiť nasledujúce výrazy

(1.18)

(1.19)

kde S a Sm sú stredné kvadratické chyby S a Sm.

Napríklad pri spracovaní výsledkov série meraní dĺžky x sme získali

= 86 mm2 pri n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm alebo S = ±0,7 mm

Hodnota S = ±0,7 mm znamená, že v dôsledku chyby výpočtu je s v rozsahu od 2,4 do 3,8 mm, preto sú tu nespoľahlivé desatiny milimetra. V uvažovanom prípade je potrebné zapísať: S = ±3 mm.

Aby sa získala väčšia istota v odhade chyby výsledku merania, vypočíta sa chyba spoľahlivosti alebo medze spoľahlivosti chyby. Podľa zákona o normálnom rozdelení sa medze spoľahlivosti chyby vypočítajú ako ±t-s alebo ±t-s x, kde s a s x sú stredné kvadratické chyby jedného merania v sérii a aritmetický priemer; t je číslo závislé od úrovne spoľahlivosti P a počtu meraní n.

Dôležitým pojmom je spoľahlivosť výsledku merania (α), t.j. pravdepodobnosť, že požadovaná hodnota meranej veličiny spadá do daného intervalu spoľahlivosti.

Napríklad pri spracovaní dielov na obrábacích strojoch v stabilnom technologickom režime sa rozdelenie chýb riadi normálnym zákonom. Predpokladajme, že tolerancia dĺžky dielu je nastavená na 2a. V tomto prípade bude interval spoľahlivosti, v ktorom sa nachádza požadovaná hodnota dĺžky časti a, (a - a, a + a).

Ak 2a = ±3s, potom je spoľahlivosť výsledku a = 0,68, t.j. v 32 prípadoch zo 100 by sa malo očakávať, že veľkosť dielu prekročí toleranciu 2a. Pri hodnotení kvality dielu podľa tolerancie 2a = ±3s bude spoľahlivosť výsledku 0,997. V tomto prípade možno očakávať, že nad stanovenú toleranciu prekročia len tri diely z 1000. Zvýšenie spoľahlivosti je však možné len pri zmenšení chyby v dĺžke dielu. Takže na zvýšenie spoľahlivosti z a = 0,68 na a = 0,997 sa chyba v dĺžke dielu musí znížiť o faktor tri.

Nedávno sa rozšíril pojem „spoľahlivosť merania“. V niektorých prípadoch sa bezdôvodne používa namiesto pojmu „presnosť merania“. Napríklad v niektorých zdrojoch nájdete výraz „ustanovenie jednoty a spoľahlivosti meraní v krajine“. Zatiaľ čo správnejšie by bolo povedať „ustanovenie jednoty a požadovaná presnosť meraní“. Spoľahlivosť považujeme za kvalitatívnu charakteristiku, ktorá odráža blízkosť k nule náhodných chýb. Kvantitatívne sa dá určiť nespoľahlivosťou meraní.

Neistota meraní(stručne - nespoľahlivosť) - posúdenie nesúladu medzi výsledkami v sérii meraní v dôsledku vplyvu celkového vplyvu náhodných chýb (určených štatistickými a neštatistickými metódami), charakterizovaných rozsahom hodnôt v v ktorej sa nachádza skutočná hodnota meranej veličiny.

V súlade s odporúčaniami Medzinárodného úradu pre váhy a miery je neistota vyjadrená ako celková rms chyba merania - Su vrátane rms chyby S (stanovená štatistickými metódami) a rms chyby u (stanovená neštatistickými metódami) , t.j.

(1.20)

Limitná chyba merania(stručne - hraničná chyba) - maximálna chyba merania (plus, mínus), ktorej pravdepodobnosť nepresahuje hodnotu P, pričom rozdiel 1 - P je zanedbateľný.

Napríklad pri normálnom rozdelení je pravdepodobnosť náhodnej chyby ± 3 s 0,997 a rozdiel 1-P = 0,003 je nevýznamný. Preto sa v mnohých prípadoch ako limit berie chyba spoľahlivosti ±3s, t.j. pr = ±3 s. V prípade potreby môže mať pr aj iné vzťahy s s pre dostatočne veľké P (2s, 2,5s, 4s atď.).

V súvislosti s tým, že v normách CSI sa namiesto pojmu „odmocnina kvadratická chyba“ používa pojem „odmocnina kvadratická odchýlka“, v ďalšej úvahe sa pridržíme tohto pojmu.

Absolútna chyba merania(stručne - absolútna chyba) - chyba merania, vyjadrená v jednotkách nameranej hodnoty. Takže chyba X merania dĺžky časti X, vyjadrená v mikrometroch, je absolútna chyba.

Pojmy „absolútna chyba“ a „hodnota absolútnej chyby“ by sa nemali zamieňať, čím sa rozumie hodnota chyby bez zohľadnenia znamienka. Ak je teda absolútna chyba merania ±2 μV, potom absolútna hodnota chyby bude 0,2 μV.

Relatívna chyba merania(stručne - relatívna chyba) - chyba merania, vyjadrená ako zlomok hodnoty nameranej hodnoty alebo v percentách. Relatívna chyba δ sa zistí z pomerov:

(1.21)

Napríklad existuje skutočná hodnota dĺžky dielu x = 10,00 mm a absolútna hodnota chyby x = 0,01 mm. Relatívna chyba bude

Statická chyba je chyba výsledku merania vzhľadom na podmienky statického merania.

Dynamická chyba je chyba výsledku merania v dôsledku podmienok dynamického merania.

Chyba reprodukcie jednotky- chyba výsledku meraní vykonaných pri reprodukcii jednotky fyzikálnej veličiny. Takže chyba pri reprodukcii jednotky pomocou štátnej normy je indikovaná vo forme jej komponentov: nevylúčená systematická chyba, charakterizovaná jej hranicou; náhodná chyba charakterizovaná smerodajnou odchýlkou ​​s a ročnou nestabilitou ν.

Chyba prenosu veľkosti jednotky je chyba vo výsledku meraní vykonaných pri prenose veľkosti jednotky. Chyba prenosu jednotkovej veľkosti zahŕňa nevylúčené systematické chyby a náhodné chyby spôsobu a prostriedkov prenosu jednotkovej veľkosti (napríklad komparátor).

Absolútna chyba výpočtu sa zistí podľa vzorca:

Znak modulo ukazuje, že je nám jedno, ktorá hodnota je väčšia a ktorá menšia. dôležité, ako ďaleko približný výsledok sa odchýlil od presnej hodnoty v jednom alebo druhom smere.

Relatívna chyba výpočtu sa zistí podľa vzorca:
, alebo to isté:

Ukazuje sa relatívna chyba o aké percento približný výsledok sa líšil od presnej hodnoty. Existuje verzia vzorca bez násobenia 100%, ale v praxi takmer vždy vidím vyššie uvedenú verziu s percentami.

Po krátkom pozadí sa vraciame k nášmu problému, v ktorom sme vypočítali približnú hodnotu funkcie pomocou diferenciálu.

Vypočítajme presnú hodnotu funkcie pomocou mikrokalkulačky:
, prísne vzaté, hodnota je stále približná, ale budeme ju považovať za presnú. Takéto úlohy sa vyskytujú.

Vypočítajte absolútnu chybu:

Vypočítajme relatívnu chybu:
, získajú sa tisíciny percenta, takže diferenciál poskytuje len skvelú aproximáciu.

Odpoveď: , absolútna chyba výpočtu , relatívna chyba výpočtu

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie:

Príklad 4

v bode . Vypočítajte presnejšiu hodnotu funkcie v danom bode, vyhodnoťte absolútne a relatívne chyby výpočtu.

Hrubý príklad dokončovacích prác a odpoveď na konci hodiny.

Mnohí si všimli, že vo všetkých uvažovaných príkladoch sa objavujú korene. Nie je to náhodné, vo väčšine prípadov sa v uvažovanom probléme skutočne navrhujú funkcie s koreňmi.

Ale pre trpiacich čitateľov som vykopal malý príklad s arcsínom:

Príklad 5

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu hodnotu funkcie v bode

Tento krátky, ale informatívny príklad je tiež na nezávislé rozhodnutie. A trochu som si oddýchol, aby som s novou silou zvážil špeciálnu úlohu:

Príklad 6

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na dve desatinné miesta.

Riešenie:Čo je nové v úlohe? Podľa podmienky je potrebné zaokrúhliť výsledok na dve desatinné miesta. Ale o to nejde, problém školského zaokrúhľovania, myslím, nie je pre teba ťažký. Ide o to, že u nás je daná dotyčnica s argumentom, ktorá je vyjadrená v stupňoch. Čo robiť, keď vás požiadajú o riešenie goniometrickej funkcie so stupňami? Napríklad , atď.

Algoritmus riešenia je v zásade zachovaný, to znamená, že je potrebné, ako v predchádzajúcich príkladoch, použiť vzorec

Zapíšte si zrejmú funkciu

Hodnota musí byť reprezentovaná ako . Vážna pomoc bude tabuľka hodnôt goniometrických funkcií . Mimochodom, ak to nemáte vytlačené, odporúčam tak urobiť, pretože tam budete musieť hľadať počas celého štúdia vyššej matematiky.

Pri analýze tabuľky si všimneme „dobrú“ hodnotu dotyčnice, ktorá sa blíži k 47 stupňom:

Touto cestou:

Po predbežnej analýze stupne musia byť prevedené na radiány. Áno, a len tak!

V tomto príklade priamo z trigonometrickej tabuľky to zistíte. Vzorec na prevod stupňov na radiány je: (vzorce nájdete v tej istej tabuľke).

Ďalšia šablóna:

Touto cestou: (pri výpočtoch používame hodnotu ). Výsledok, ako to vyžaduje podmienka, sa zaokrúhli na dve desatinné miesta.

odpoveď:

Príklad 7

Vypočítajte približne pomocou diferenciálu, výsledok zaokrúhlite na tri desatinné miesta.

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ako vidíte, nič zložité, prevádzame stupne na radiány a držíme sa obvyklého algoritmu riešenia.

Približné výpočty pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných

Všetko bude veľmi, veľmi podobné, preto, ak ste na túto stránku prišli s touto konkrétnou úlohou, potom vám odporúčam, aby ste si najprv pozreli aspoň pár príkladov z predchádzajúceho odseku.

Ak chcete študovať odsek, musíte byť schopní nájsť parciálne deriváty druhého rádu , kde bez nich. Vo vyššie uvedenej lekcii som funkciu dvoch premenných označil písmenom . S ohľadom na uvažovanú úlohu je vhodnejšie použiť ekvivalentný zápis .

Podobne ako v prípade funkcie jednej premennej môže byť podmienka problému formulovaná rôznymi spôsobmi a pokúsim sa zvážiť všetky formulácie, s ktorými sa stretnem.

Príklad 8

Riešenie: Bez ohľadu na to, ako je podmienka napísaná v samotnom riešení, na označenie funkcie, opakujem, je lepšie použiť nie písmeno „Z“, ale .

A tu je pracovný vzorec:

Pred nami je vlastne staršia sestra vzorca z predchádzajúceho odseku. Premenná sa práve zväčšila. Čo môžem povedať, sám seba Algoritmus riešenia bude v podstate rovnaký!

Podľa podmienky je potrebné nájsť približnú hodnotu funkcie v bode .

Predstavme si číslo 3,04 ako . Medovník si pýta, aby ho zjedol:
,

Predstavme si číslo 3,95 ako . Na rade je druhá polovica Koloboku:
,

A nepozerajte sa na všelijaké líščie triky, existuje perníkový muž - musíte ho zjesť.

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Diferenciál funkcie v bode nájdeme podľa vzorca:

Zo vzorca vyplýva, že treba nájsť parciálne deriváty prvého rádu a vypočítajte ich hodnoty v bode .

Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu v bode:

Celkový rozdiel v bode:

Podľa vzorca teda približná hodnota funkcie v bode:

Vypočítajme presnú hodnotu funkcie v bode:

Táto hodnota je úplne správna.

Chyby sa počítajú pomocou štandardných vzorcov, ktoré už boli diskutované v tomto článku.

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

Odpoveď: , absolútna chyba: , relatívna chyba:

Príklad 9

Vypočítajte približnú hodnotu funkcie v bode s použitím plného diferenciálu vyhodnoťte absolútnu a relatívnu chybu.

Toto je príklad „urob si sám“. Kto sa bude venovať tomuto príkladu podrobnejšie, bude venovať pozornosť skutočnosti, že chyby vo výpočte sa ukázali byť veľmi, veľmi nápadné. Stalo sa to z nasledujúceho dôvodu: v navrhovanom probléme sú prírastky argumentov dostatočne veľké: .

Všeobecný vzorec je a - čím väčšie sú tieto prírastky v absolútnej hodnote, tým nižšia je presnosť výpočtov. Takže napríklad pre podobný bod budú prírastky malé: a presnosť približných výpočtov bude veľmi vysoká.

Táto vlastnosť platí aj pre prípad funkcie jednej premennej (prvá časť lekcie).

Príklad 10

Riešenie: Vypočítajme tento výraz približne pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Rozdiel od príkladov 8-9 je v tom, že najprv musíme zložiť funkciu dvoch premenných: . Ako je funkcia zložená, je myslím intuitívne každému jasné.

Hodnota 4,9973 sa blíži k „päťke“, preto: , .
Hodnota 0,9919 je blízka "jedna", preto predpokladáme: , .

Vypočítajme hodnotu funkcie v bode:

Diferenciál nájdeme v bode podľa vzorca:

Za týmto účelom vypočítame parciálne derivácie prvého rádu v bode .

Deriváty tu nie sú najjednoduchšie a mali by ste byť opatrní:

;

.

Celkový rozdiel v bode:

Takže približná hodnota tohto výrazu:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu pomocou mikrokalkulačky: 2,998899527

Poďme nájsť relatívnu chybu výpočtu:

odpoveď: ,

Len na ilustráciu vyššie uvedeného, ​​v uvažovanom probléme sú prírastky argumentov veľmi malé a chyba sa ukázala ako fantasticky skromná.

Príklad 11

Pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu tohto výrazu. Vypočítajte rovnaký výraz pomocou mikrokalkulačky. Odhadnite v percentách relatívnu chybu výpočtov.

Toto je príklad „urob si sám“. Približná ukážka dokončovania na konci hodiny.

Ako už bolo uvedené, najčastejším hosťom v tomto type úlohy sú nejaké korene. Ale z času na čas existujú aj iné funkcie. A na záver jednoduchý príklad na oddych:

Príklad 12

Pomocou celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných vypočítajte približne hodnotu funkcie if

Riešenie je bližšie k spodnej časti stránky. Ešte raz pozor na znenie úloh lekcie, v rôznych príkladoch v praxi môže byť znenie odlišné, ale to zásadne nemení podstatu a algoritmus riešenia.

Úprimne povedané, trochu som sa unavil, pretože materiál bol nudný. Nebolo pedagogické povedať na začiatku článku, ale teraz je to už možné =) Problémy výpočtovej matematiky zvyčajne nie sú veľmi ťažké, málo zaujímavé, najdôležitejšie snáď nie je urobiť chyba v bežných výpočtoch.

Nech sa kľúče vašej kalkulačky nevymažú!

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Touto cestou:

odpoveď:

Príklad 4:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

Touto cestou:

Vypočítajme presnejšiu hodnotu funkcie pomocou mikrokalkulačky:

Absolútna chyba:

Relatívna chyba:

odpoveď: , absolútna chyba výpočtu , relatívna chyba výpočtu

Príklad 5:

Riešenie: Používame vzorec:

V tomto prípade: , ,

Touto cestou:

odpoveď:

Príklad 7:

Riešenie: Používame vzorec:
V tomto prípade: , ,

V procese merania niečoho je potrebné vziať do úvahy, že získaný výsledok ešte nie je konečný. Na presnejšie vypočítanie požadovanej hodnoty je potrebné vziať do úvahy chybu. Vypočítať to je celkom jednoduché.

Ako nájsť chybu - výpočet

Typy chýb:

• príbuzný;
• absolútne.

Čo potrebujete vypočítať:

• kalkulačka;
• výsledky viacerých meraní tej istej veličiny.

Ako nájsť chybu - postupnosť akcií

• Zmerajte hodnotu 3-5 krát.
• Spočítajte všetky výsledky a vydeľte výsledné číslo ich počtom. Toto číslo je skutočná hodnota.
• Absolútnu chybu vypočítajte odpočítaním hodnoty získanej v predchádzajúcom kroku od výsledkov merania. Vzorec: ∆X = Hisl - Hist. Počas výpočtov môžete získať kladné aj záporné hodnoty. V každom prípade sa berie modul výsledku. Ak je potrebné poznať absolútnu chybu súčtu dvoch veličín, výpočty sa vykonajú podľa nasledujúceho vzorca: ∆(X + Y) = ∆X + ∆Y. Funguje aj vtedy, keď je potrebné vypočítať chybu rozdielu dvoch veličín: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.
• Zistite relatívnu chybu pre každé z meraní. V tomto prípade musíte vydeliť získanú absolútnu chybu skutočnou hodnotou. Potom vynásobte podiel 100%. e(x)=Ax/x0*100 %. Hodnota môže alebo nemusí byť prevedená na percentá.
• Na získanie presnejšej hodnoty chyby je potrebné nájsť smerodajnú odchýlku. Hľadá sa celkom jednoducho: vypočítajte druhé mocniny všetkých hodnôt absolútnej chyby a potom nájdite ich súčet. Získaný výsledok sa musí vydeliť číslom (N-1), v ktorom N je počet všetkých meraní. Posledným krokom je extrahovanie koreňa z výsledku. Po takýchto výpočtoch sa získa smerodajná odchýlka, ktorá zvyčajne charakterizuje chybu merania.
• Na nájdenie limitnej absolútnej chyby je potrebné nájsť najmenšie číslo, ktoré sa svojou hodnotou rovná alebo presahuje hodnotu absolútnej chyby.
• Limitná relatívna chyba sa hľadá rovnakou metódou, len je potrebné nájsť číslo, ktoré je väčšie alebo rovné hodnote relatívnej chyby.

Chyby merania vznikajú z rôznych dôvodov a ovplyvňujú presnosť získanej hodnoty. Keď viete, aká je chyba, môžete zistiť presnejšiu hodnotu merania.