Príklad
Nájdite extrém funkcie za predpokladu, že X a pri súvisia pomerom: . Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse 
lietadlo 
.
Tento problém možno vyriešiť nasledovne: z rovnice 
Nájsť 
X:
za predpokladu, že 
, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na intervale 
.
Geometricky problém znamená nasledovné: na elipse 
získané krížením valca 
lietadlo 
, je potrebné nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu žiadosti 
(obr. 9). Tento problém možno vyriešiť nasledovne: z rovnice 
Nájsť 
. Dosadením zistenej hodnoty y do rovnice roviny dostaneme funkciu jednej premennej X:
Teda problém nájsť extrém funkcie 
za predpokladu, že 
, zredukovaný na problém nájdenia extrému funkcie jednej premennej na segmente.
takze problém nájdenia podmieneného extrému je problém nájsť extrém objektívnej funkcie 
za predpokladu, že premenné X a pri podlieha obmedzeniu 
volal rovnica spojenia.
To si povieme bodka
, splnenie obmedzujúcej rovnice, je bod miestneho podmieneného maxima (minimum), ak existuje susedstvo 
tak, že za akékoľvek body 
, ktorých súradnice spĺňajú obmedzujúcu rovnicu, nerovnosť platí.
Ak z rovnice komunikácie možno nájsť výraz pre pri, potom dosadením tohto výrazu do pôvodnej funkcie túto zmeníme na komplexnú funkciu jednej premennej X.
Všeobecná metóda riešenia problému podmieneného extrému je Lagrangeova multiplikačná metóda. Vytvorme si pomocnú funkciu, kde 
─ nejaké číslo. Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia, a 
─ Lagrangeov multiplikátor. Problém nájdenia podmieneného extrému sa teda zredukoval na nájdenie bodov lokálneho extrému pre Lagrangeovu funkciu. Na nájdenie bodov možného extrému je potrebné vyriešiť sústavu 3 rovníc s tromi neznámymi x, y a
Potom by sme mali použiť nasledujúcu dostatočnú extrémnu podmienku.
TEOREM.
Nech je bod bodom možného extrému pre Lagrangeovu funkciu. Predpokladáme, že v blízkosti bodu 
existujú spojité parciálne derivácie druhého rádu funkcií 
a 
. Označiť
Potom ak 
, potom 
─ podmienený extrémny bod funkcie 
pri obmedzovacej rovnici 
medzitým, ak 
, potom 
─ podmienený minimálny bod, ak 
, potom 
─ bod podmieneného maxima.
§osem. Gradient a smerová derivácia
Nechajte funkciu 
definované v nejakej (otvorenej) doméne. Zvážte akýkoľvek bod 
táto oblasť a akákoľvek smerovaná priamka (os) 
prechádzajúci týmto bodom (obr. 1). Nechaj 
- nejaký iný bod tejto osi, 
- dĺžka segmentu medzi 
a 
, brané so znamienkom plus, ak je smer 
sa zhoduje so smerom osi 
a so znamienkom mínus, ak sú ich smery opačné.
Nechaj 
približuje na neurčito 
. Limit
volal derivácia funkcie 
smerom k
(alebo pozdĺž osi 
) a označuje sa takto:
.
Táto derivácia charakterizuje "rýchlosť zmeny" funkcie v bode 
smerom k 
. Najmä a bežné parciálne deriváty 
,
možno chápať aj ako deriváty „vzhľadom na smer“.
Predpokladajme teraz, že funkcia 
má v posudzovanom regióne spojité parciálne derivácie. Nechajte os 
zviera uhly so súradnicovými osami 
a 
. Podľa predpokladov smerová derivácia 
existuje a vyjadruje sa vzorcom
.
Ak je vektor 
nastavený jeho súradnicami 
, potom derivácia funkcie 
v smere vektora 
možno vypočítať pomocou vzorca:
.
Vektor so súradnicami 
volal gradientový vektor funkcie 
v bode 
. Vektor gradientu udáva smer najrýchlejšieho nárastu funkcie v danom bode.
Príklad
Daná funkcia , bod A(1, 1) a vektor 
. Nájdite: 1) grad z v bode A; 2) derivácia v bode A v smere vektora 
.
Parciálne derivácie danej funkcie v bode 
:
;
.
Potom je gradientný vektor funkcie v tomto bode: 
. Vektor gradientu možno zapísať aj pomocou rozšírenia vektora 
a 
:
. Derivácia funkcie 
v smere vektora 
:
takze 
,
.◄
Postačujúca podmienka pre extrém funkcie dvoch premenných
1. Nech je funkcia spojito diferencovateľná v niektorom okolí bodu a má spojité parciálne derivácie druhého rádu (čisté a zmiešané).
2. Označte determinantom druhého rádu
extrémne variabilná prednášková funkcia
Veta
Ak je bod so súradnicami stacionárny bod pre funkciu, potom:
A) Keď ide o bod lokálneho extrému a pri lokálnom maxime - lokálne minimum;
C) keď bod nie je lokálnym extrémnym bodom;
C) ak, možno oboje.
Dôkaz
Napíšeme Taylorov vzorec pre funkciu, pričom sa obmedzíme na dva členy:
Keďže podľa podmienky vety je bod stacionárny, parciálne derivácie druhého rádu sú rovné nule, t.j. a Potom
Označiť
Potom bude mať prírastok funkcie tvar:
Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu (čistých a zmiešaných), podľa podmienky vety v bode, môžeme písať:
Kde alebo; ,
1. Nech a t.j. alebo.
2. Prírastok funkcie vynásobíme a vydelíme, dostaneme:
3. Doplňte výraz v zložených zátvorkách na celú druhú mocninu súčtu:
4. Výraz v zložených zátvorkách je nezáporný, keďže
5. Preto, ak a teda, a, potom a teda, podľa definície je bod bodom lokálneho minima.
6. Ak a znamená, a potom, podľa definície, bod so súradnicami je lokálnym maximálnym bodom.
2. Uvažujme štvorcovú trojčlenku, jej diskriminant, .
3. Ak, potom sú také body, že polynóm
4. Celkový prírastok funkcie v bode v súlade s výrazom získaným v I zapíšeme v tvare:
5. Vzhľadom na kontinuitu parciálnych derivácií druhého rádu, podľa podmienky vety v bode, môžeme napísať, že
preto existuje také okolie bodu, že pre každý bod je štvorcová trojčlenka väčšia ako nula:
6. Zvážte – okolie bodu.
Zvoľme si ľubovoľnú hodnotu, takže o to ide. Za predpokladu, že vo vzorci pre prírastok funkcie
Čo získame:
7. Odvtedy.
8. Ak budeme argumentovať podobne pre koreň, dostaneme, že v akomkoľvek -okolí bodu je bod, pre ktorý teda v okolí bodu nezachová znamienko, preto v bode nie je extrém.
Podmienený extrém funkcie dvoch premenných
Pri hľadaní extrémov funkcie dvoch premenných často vznikajú problémy súvisiace s tzv. podmieneným extrémom. Tento pojem možno vysvetliť na príklade funkcie dvoch premenných.
Nech je daná funkcia a priamka L na rovine 0xy. Úlohou je nájsť taký bod P (x, y) na priamke L, v ktorom je hodnota funkcie najväčšia alebo najmenšia v porovnaní s hodnotami tejto funkcie v bodoch priamky L, ktoré sa nachádzajú blízko bod P. Takéto body P sa nazývajú podmienené funkcie extrémnych bodov na priamke L. Na rozdiel od bežného bodu extrému sa hodnota funkcie v bode podmieneného extrému porovnáva s hodnotami funkcie nie vo všetkých bodoch niektorých jej susedstiev, ale iba v tých, ktoré ležia na linke L.
Je celkom jasné, že bod obvyklého extrému (hovoria aj bezpodmienečný extrém) je zároveň bodom podmienečného extrému pre akúkoľvek priamku prechádzajúcu týmto bodom. Opak, samozrejme, nie je pravda: podmienený extrémny bod nemusí byť konvenčným extrémnym bodom. Ukážme si to, čo bolo povedané, na príklade.
Príklad č. 1. Grafom funkcie je horná hemisféra (obr. 2).
Ryža. 2.
Táto funkcia má na začiatku maximum; zodpovedá vrcholu M pologule. Ak je priamka L priamka prechádzajúca bodmi A a B (jej rovnica), potom je geometricky jasné, že pre body tejto priamky je maximálna hodnota funkcie dosiahnutá v bode ležiacom v strede medzi bodmi A a B. Toto sú podmienené extrémne (maximálne) bodové funkcie na tomto riadku; zodpovedá bodu M 1 na pologuli a z obrázku je vidieť, že o nejakom obyčajnom extréme tu nemôže byť reč.
Všimnite si, že v záverečnej časti problému hľadania najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti je potrebné nájsť extrémne hodnoty funkcie na hranici tejto oblasti, t.j. na nejakom riadku, a tým vyriešiť problém pre podmienený extrém.
Definícia 1. Hovoria, že kde má podmienené alebo relatívne maximum (minimum) v bode, ktorý spĺňa rovnicu: ak pre akýkoľvek, ktorý spĺňa rovnicu, nerovnosť
Definícia 2. Rovnica tvaru sa nazýva obmedzujúca rovnica.
Veta
Ak funkcie a sú plynule diferencovateľné v okolí bodu a parciálna derivácia a bod sú bodom podmieneného extrému funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia, potom sa determinant druhého rádu rovná nule:
Dôkaz
1. Keďže podľa podmienky vety, parciálnej derivácie a hodnoty funkcie, potom v nejakom obdĺžniku
definovaná implicitná funkcia
Komplexná funkcia dvoch premenných v bode bude mať lokálny extrém, teda príp.
2. Skutočne, podľa invariantnej vlastnosti diferenciálnej formuly prvého rádu
3. Rovnica spojenia môže byť znázornená v tomto tvare, čo znamená
4. Vynásobte rovnicu (2) a (3) a pridajte ich
Preto, keď
svojvoľný. h.t.d.
Dôsledok
Hľadanie podmienených extrémnych bodov funkcie dvoch premenných sa v praxi uskutočňuje riešením sústavy rovníc
Takže vo vyššie uvedenom príklade č. 1 z rovnice komunikácie máme. Odtiaľ je ľahké skontrolovať, čo dosahuje maximum pri . Ale potom z rovnice komunikácie. Dostaneme bod P, nájdený geometricky.
Príklad č. 2. Nájdite podmienené extrémne body funkcie vzhľadom na rovnicu obmedzenia.
Nájdite parciálne derivácie danej funkcie a rovnicu spojenia:
Urobme determinant druhého rádu:
Zapíšme si sústavu rovníc na nájdenie podmienených extrémnych bodov:
preto existujú štyri podmienené extrémne body funkcie so súradnicami: .
Príklad č. 3. Nájdite extrémne body funkcie.
Prirovnaním parciálnych derivácií k nule: , nájdeme jeden stacionárny bod - počiatok. Tu,. Preto ani bod (0, 0) nie je extrémnym bodom. Rovnica je rovnicou hyperbolického paraboloidu (obr. 3), obrázok ukazuje, že bod (0, 0) nie je extrémnym bodom.
Ryža. 3.
Najväčšia a najmenšia hodnota funkcie v uzavretej oblasti
1. Nech je funkcia definovaná a spojitá v ohraničenej uzavretej oblasti D.
2. Nech má funkcia v tejto oblasti konečné parciálne derivácie, okrem jednotlivých bodov oblasti.
3. V súlade s Weierstrassovou vetou v tejto oblasti existuje bod, v ktorom funkcia nadobúda najväčšie a najmenšie hodnoty.
4. Ak sú tieto body vnútornými bodmi oblasti D, potom je zrejmé, že budú mať maximum alebo minimum.
5. V tomto prípade body záujmu pre nás patria medzi podozrivé body na extréme.
6. Funkcia však môže nadobudnúť aj maximálnu alebo minimálnu hodnotu na hranici oblasti D.
7. Aby ste našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie v oblasti D, musíte nájsť všetky vnútorné body podozrivé z extrému, vypočítať v nich hodnotu funkcie a potom porovnať s hodnotou funkcie na hraničné body oblasti a najväčšia zo všetkých nájdených hodnôt bude najväčšia v uzavretej oblasti D.
8. Metóda zisťovania lokálneho maxima alebo minima bola zvážená skôr v časti 1.2. a 1.3.
9. Zostáva zvážiť spôsob hľadania maximálnych a minimálnych hodnôt funkcie na hranici regiónu.
10. V prípade funkcie dvoch premenných sa zvyčajne ukáže, že oblasť je ohraničená krivkou alebo niekoľkými krivkami.
11. Pozdĺž takejto krivky (alebo niekoľkých kriviek) závisia premenné a buď jedna na druhej, alebo obe závisia od jedného parametra.
12. Na hranici sa teda funkcia ukáže ako závislá od jednej premennej.
13. Metóda hľadania najväčšej hodnoty funkcie jednej premennej bola diskutovaná skôr.
14. Nech je hranica oblasti D daná parametrickými rovnicami:
Potom na tejto krivke bude funkcia dvoch premenných komplexnou funkciou parametra: . Pre takúto funkciu je najväčšia a najmenšia hodnota určená metódou určenia najväčších a najmenších hodnôt pre funkciu jednej premennej.
Nech je funkcia z - f(x, y) definovaná v nejakej oblasti D a nech Mo(xo, y0) je vnútorný bod tejto oblasti. Definícia. Ak existuje také číslo, že nerovnosť platí pre všetky, ktoré spĺňajú podmienky, potom bod Mo(xo, yo) nazývame bodom lokálneho maxima funkcie f(x, y); ak však pre všetky Dx, Du spĺňajú podmienky | potom sa bod Mo(x0, y0) nazýva jemné lokálne minimum. Inými slovami, bod M0(x0, y0) je bod maxima alebo minima funkcie f(x, y), ak existuje 6-okolie bodu A/o(x0, y0) také, že vôbec bodov M(x, y) tohto okolia, prírastok funkcie zachováva znamienko. Príklady. 1. Pre funkciu je bod minimálnym bodom (obr. 17). 2. Pre funkciu je bod 0(0,0) maximálnym bodom (obr. 18). 3. Pre funkciu je bod 0(0,0) lokálnym maximálnym bodom. 4 V skutočnosti existuje okolie bodu 0(0, 0), napríklad kružnica s polomerom j (pozri obr. 19), v ktorejkoľvek bode, odlišnom od bodu 0(0, 0), hodnota funkcie f(x, y) menšia ako 1 = Budeme uvažovať len body striktného maxima a minima funkcií, keď striktná nerovnosť alebo striktná nerovnosť platí pre všetky body M(x) y) z nejakého prepichnutého 6-okolia bod Mq. Hodnota funkcie v maximálnom bode sa nazýva maximum a hodnota funkcie v minimálnom bode sa nazýva minimum tejto funkcie. Maximálne a minimálne body funkcie sa nazývajú extrémne body funkcie a samotné maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémy. Veta 11 (nevyhnutná podmienka pre extrém). If funkcia Extrém funkcie viacerých premenných Pojem extrém funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií majú extrém v bode, potom v tomto bode každá parciálna derivácia a u buď zanikne, alebo neexistuje. Nech funkcia z = f(x) y) má extrém v bode M0(x0, y0). Dajme premennej y hodnotu yo. Potom funkcia z = /(x, y) bude funkciou jednej premennej x\ Keďže pri x = xo má extrém (maximum alebo minimum, obr. 20), potom jej derivácia vzhľadom na x = „o, | (*o,l>)" Rovná sa nule alebo neexistuje. Podobne overíme, že) alebo sa rovná nule alebo neexistuje. Body, v ktorých = 0 a u = 0 alebo neexistujú, sa nazývajú kritické body funkcie z = Dx, y). Body, v ktorých $£ = u = 0 sa nazývajú aj stacionárne body funkcie.Veta 11 vyjadruje iba nevyhnutné podmienky pre extrém, ktoré nestačia. 18 Obr.20 immt deriváty, ktoré miznú pri. Táto funkcia je však na imvat „straumum“ dosť tenká. V skutočnosti sa funkcia rovná nule v bode 0(0, 0) a nadobúda body M(x, y), tak blízko k bodu 0(0, 0), ako chcete, kkk kladné a záporné hodnoty. Preto v bodoch v bodoch (0, y) pre ľubovoľne malé body sa bod 0(0, 0) tohto typu nazýva mini-max bod (obr. 21). Dostatočné podmienky pre extrém funkcie dvoch premenných vyjadruje nasledujúca veta. Veta 12 (dostatočné podmienky pre extrém fuzzy premenných). Nech je bod Mo(xo, y0) stacionárnym bodom funkcie f(x, y) a v niektorom okolí bodu / vrátane samotného bodu Mo má funkcia f(r, y) spojité parciálne derivácie hore do druhého poriadku vrátane. Potom "1) v bode Mq(xq, V0) má funkcia f(x, y) maximum, ak je determinant v tomto bode 2) v bode Mo(x0, V0) funkcia f(x, y) má minimum, ak v bode Mo(xo, yo) funkcia f(x, y) nemá extrém, ak D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) extrém funkcie f(x, y) môže a nemusí byť. V tomto prípade je potrebný ďalší výskum. Obmedzíme sa na dokazovanie tvrdení 1) a 2) vety. Napíšme Taylorov vzorec druhého rádu pre funkciu /(i, y): kde. Z predpokladu, odkiaľ je zrejmé, že znamienko prírastku D/ je určené znamienkom trojčlenky na pravej strane (1), teda znamienkom druhého diferenciálu d2f. Pre stručnosť označme. Potom rovnosť (l) môžeme zapísať takto: Nech v bode MQ(so, y0) máme okolie bodu M0(s0,yo). Ak je podmienka (v bode A/0) splnená a derivácia /,z(s, y) si kvôli spojitosti zachová svoje znamienko v niektorom okolí bodu Af0. máme 0 v nejakom okolí bodu M0(x0) y0), potom sa znamienko trojčlenky AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 zhoduje so znamienkom A v bode C nemôže mať rôzne znamienka). Keďže znamienko súčtu AAs2 + 2BAxAy + CAy2 v bode (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) určuje znamienko rozdielu, dospejeme k nasledovnému záveru: ak funkcia f(s, y) v stacionárny bod (s0, yo) spĺňa podmienku, potom pre dostatočne malý || nerovnosť vydrží. V bode (sq, y0) má teda funkcia /(s, y) maximum. Ale ak je podmienka splnená v stacionárnom bode (s0, y0), potom je pre všetky dostatočne malé |Ar| a |Urobiť| nerovnosť je pravdivá, čo znamená, že funkcia /(s, y) má v bode minimum (tak, yo). Príklady. 1. Preskúmajte funkciu 4 pre extrém Pomocou nevyhnutných podmienok pre extrém hľadáme stacionárne body funkcie. Aby sme to dosiahli, nájdeme parciálne derivácie u a prirovnáme ich k nule. Dostaneme sústavu rovníc odkiaľ - stacionárny bod. Použime teraz vetu 12. Máme. V bode Ml je teda extrém. Lebo toto je minimum. Ak transformujeme funkciu g do tvaru, potom je ľahké vidieť, že pravá strana (")" bude minimálna, keď je absolútne minimum tejto funkcie. 2. Vyšetrujte funkciu pre extrém Nájdeme stacionárne body funkcie, pre ktoré zostavíme sústavu rovníc Odtiaľ tak, aby bol bod stacionárny. Pretože na základe vety 12 neexistuje extrém v bode M. * 3. Preskúmajte funkciu pre extrém Nájdite stacionárne body funkcie. Zo sústavy rovníc dostaneme, že bod je stacionárny. Ďalej, veta 12 nedáva odpoveď na otázku prítomnosti alebo neprítomnosti extrému. Urobme to takto. Pre funkciu o všetkých bodoch okrem bodu tak, že podľa definície v bode A/o(0,0) má funkcia r absolútne minimum. Analogickým sušením zistíme, že funkcia má maximum v bode, ale funkcia nemá v bode extrém. Nech je funkcia η nezávisle premenných diferencovateľná v bode Bod Mo sa nazýva stacionárny bod funkcie if Veta 13 (dostatočné podmienky pre extrém). Nech je funkcia definovaná a má spojité parciálne derivácie druhého rádu v niektorom okolí jemnej čiary Mc(xi..., čo je stacionárna jemná funkcia, ak kvadratický tvar (druhý diferenciál funkcie f v jemnej bod je kladne-určitý (záporno-určitý), bod minima (resp. jemné maximum) funkcie f je v poriadku Ak je kvadratická forma (4) znamienkovo-alternatívna, potom v jemnom LG0 neexistuje extrém 15.2 Podmienené extrémy Doteraz sme hľadali lokálne extrémy funkcie v celom obore jej definície, kedy argumenty funkcie nie sú viazané žiadnymi dodatočnými podmienkami.Takéto extrémy sa nazývajú nepodmienené.Problémy hľadania tzv. často sa stretávame s podmienenými extrémami. Nech je funkcia z \u003d / (x, y) definovaná v oblasti D. Predpokladajme, že krivka L je daná v tejto oblasti a je potrebné nájsť iba extrémy funkcie f (x> y). medzi tými jej hodnotami, ktoré zodpovedajú bodom krivky L. Rovnaké extrémy sa nazývajú podmienené extrémy funkcie z = f(x) y) na krivke L. Definícia Hovorí sa, že v bode ležiacom na krivke L má funkcia f(x, y) podmienené maximum (minimum), ak je nerovnosť splnená, respektíve vo všetkých bodoch M (s, y) krivky L patriacich do nejakého okolia bodu M0(x0, Yo) a odlišný od bodu M0 (Ak je krivka L daná rovnicou, potom problém nájdenia podmieneného extrému funkcie r - f(x, y) na krivke! možno formulovať nasledovne: nájdite extrémy funkcie x = /(z, y) v oblasti D za predpokladu, že pri hľadaní podmienených extrémov funkcie z = y už teda nemožno uvažovať s argumentmi zn. ako nezávislé premenné: sú vzájomne prepojené vzťahom y ) = 0, ktorý sa nazýva obmedzujúca rovnica. Aby sme objasnili rozdiel medzi m «* D y ako bezpodmienečným a podmieneným extrémom, pozrime sa na ďalší príklad, bezpodmienečné maximum funkcie (obr. 23) sa rovná jednej a dosiahne sa v bode (0,0). Zodpovedá presne M - vrcholu pvvboloidu Pridajme obmedzovaciu rovnicu y = j. Potom bude podmienené maximum zrejme rovnaké, dosiahne sa v bode (o, |) a zodpovedá vrcholu Afj pvvboloidu, ktorý je priesečníkom pvvboloidu s rovinou y = j. V prípade bezpodmienečného minima s máme najmenšiu aplikáciu spomedzi všetkých explikátov plochy * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv podmienené - iba medzi vllkvt bodmi pvrboloidv, zodpovedajúcimi bodu * priamky y = j nie roviny xOy. Jedna z metód na nájdenie podmieneného extrému funkcie v prítomnosti a spojení je nasledovná. Nech rovnica spojenia y)-0 definuje y ako jednohodnotovú diferencovateľnú funkciu argumentu x: Dosadením funkcie namiesto y do funkcie dostaneme funkciu jedného argumentu, v ktorej už bola zohľadnená podmienka spojenia. . (Nepodmienený) extrém funkcie je požadovaný podmienený extrém. Príklad. Nájdite extrém funkcie pod podmienkou Extrém funkcie viacerých premenných Pojem extrém funkcie viacerých premenných. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšia a najmenšia hodnota spojitých funkcií A \u003d 1 - kritický bod;, aby sa získalo podmienené minimum funkcie r (obr. 24). Uveďme si iný spôsob riešenia problém podmieneného extrému, nazývaný metóda Lagrangeovho multiplikátora. Nech existuje bod podmieneného extrému funkcie v prítomnosti spojenia Predpokladajme, že rovnica spojenia definuje jedinečnú spojito diferencovateľnú funkciu v niektorom okolí bodu xi. Za predpokladu, že dostaneme, že derivácia vzhľadom na x funkcie /(r, ip(x)) v bode xq sa musí rovnať nule alebo, čo je tomuto ekvivalentu, diferenciálu f (x, y ) v bode Mo "O) Z rovnice spojenia máme (5) Potom v dôsledku svojvoľnosti dx dostaneme Rovnice (6) a (7) vyjadrujú potrebné podmienky pre nepodmienený extrém v bode funkcie nazývanej Lagrangeova funkcia. Bod podmieneného extrému funkcie / (x, y), ak, je teda nevyhnutne stacionárnym bodom Lagrangeovej funkcie, kde A je nejaký číselný koeficient. Odtiaľto dostaneme pravidlo na nájdenie podmienených extrémov: aby sme našli body, ktoré môžu byť bodmi absolútneho extrému funkcie v prítomnosti spojenia, 1) zostavíme Lagrangeovu funkciu, 2) dáme rovnítko medzi derivácie a W tejto funkcie. na nulu a pridaním spojovacej rovnice k výsledným rovniciach dostaneme systém troch rovníc, z ktorých nájdeme hodnoty A a súradnice x, y možných extrémnych bodov. Otázka existencie a povahy podmieneného extrému je riešená na základe štúdia znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie pre uvažovaný systém hodnôt x0, Yo, A, získaných z (8) za podmienky že Ak, tak v bode (x0, Yo) má funkcia f(x, y ) podmienené maximum; ak d2F > 0 - potom podmienené minimum. Konkrétne, ak je v stacionárnom bode (xo, J/o) determinant D pre funkciu F(x, y) kladný, potom v bode (®o, V0) existuje podmienené maximum funkcie /( x, y) if a podmienené minimum funkcie /(x, y), ak Príklad. Vráťme sa opäť k podmienkam predchádzajúceho príkladu: nájdite extrém funkcie za predpokladu, že x + y = 1. Úlohu vyriešime pomocou metódy Lagrangeovho multiplikátora. Lagrangeova funkcia má v tomto prípade tvar Na nájdenie stacionárnych bodov zostavíme sústavu Z prvých dvoch rovníc sústavy dostaneme, že x = y. Potom z tretej rovnice sústavy (spojovacia rovnica) zistíme, že x - y = j - súradnice bodu možného extrému. V tomto prípade (uvádza sa, že A \u003d -1. Lagrangeova funkcia. je teda podmieneným minimálnym bodom funkcie * \u003d x2 + y2 pod podmienkou, že pre Lagrangeovu funkciu neexistuje bezpodmienečný extrém. P ( x, y) ešte neznamená absenciu podmieneného extrému pre funkciu /(x, y) za prítomnosti spojenia Príklad: Nájdite extrém funkcie pod podmienkou y 4 Zostavte Lagrangeovu funkciu a vypíšte systém na určenie A a súradníc možných extrémnych bodov: y = A = 0. Príslušná Lagrangeova funkcia má teda tvar V bode (0, 0) funkcia F(x, y; 0) nemá nepodmienený extrém, ale podmienený extrém funkcie r = xy. Keď y = x, existuje „Skutočne, v tomto prípade r = x2. Odtiaľ je jasné, že v bode (0,0) existuje podmienené minimum Metóda Lagrangeových multiplikátorov je prenesená na prípad funkcií s ľubovoľným počtom argumentov / Nech sa hľadá extrém funkcie v prítomnosti rovníc spojenia Sostaalyaem the Lagrangeova funkcia kde A|, Az,..., A „,- nie určité konštantné faktory. Vynulovaním všetkých parciálnych derivácií prvého rádu funkcie F a pridaním rovníc o spojovacie rovnice (9) získame sústavu n + m rovníc, z ktorej určíme Ab A3|..., Am a súradnice x\) x2) . » xn možných bodov podmieneného extrému. Otázku, či body nájdené Lagrangeovou metódou sú naozaj podmienené extrémy, možno často vyriešiť na základe úvah fyzikálnej alebo geometrickej povahy. 15.3. Maximálne a minimálne hodnoty spojitých funkcií Nech je potrebné nájsť maximálnu (najmenšiu) hodnotu funkcie z = /(x, y) spojitej v nejakej rozšírenej ohraničenej oblasti D. Podľa vety 3 je v tejto oblasti bod (xo, V0), v ktorom funkcia nadobúda najväčšiu (najmenšiu) hodnotu. Ak bod (xo, y0) leží vo vnútri oblasti D, potom funkcia / má v sebe maximum (minimum), takže v tomto prípade je bod nášho záujmu obsiahnutý medzi kritickými bodmi funkcie /(x , y). Funkcia /(x, y) však môže dosiahnuť svoju maximálnu (najmenšiu) hodnotu aj na hranici regiónu. Preto, aby sme našli najväčšiu (najmenšiu) hodnotu, ktorú má funkcia z = /(x, y) v ohraničenej uzavretej oblasti 2, je potrebné nájsť všetky maximá (minimá) funkcie dosiahnuté vo vnútri tejto oblasti. , ako aj najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie na hranici tohto územia. Najväčšie (najmenšie) zo všetkých týchto čísel bude požadovaná maximálna (najmenšia) hodnota funkcie z = /(x, y) v oblasti 27. Ukážme si, ako sa to robí v prípade diferencovateľnej funkcie. Prmmr. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie oblasti 4. Kritické body funkcie nájdeme vo vnútri oblasti D. Na tento účel zostavíme systém rovníc. Odtiaľ dostaneme x \u003d y \u003e 0 , takže bod 0 (0,0) je kritickým bodom funkcie x. Pretože Teraz nájdime najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie na hranici Г oblasti D. Na strane hranice máme tak, že y \u003d 0 je kritický bod, a keďže \u003d potom na tomto bod, funkcia z \u003d 1 + y2 má minimum rovné jednej. Na koncoch úsečky G" v bodoch ( máme. Pomocou úvah o symetrii získame rovnaké výsledky pre ostatné časti hranice. Nakoniec získame: najmenšiu hodnotu funkcie z \u003d x2 + y2 v oblasť "B" je rovná nule a je dosiahnutá vo vnútornom bode 0( 0, 0) oblasti a maximálna hodnota tejto funkcie rovná dvom je dosiahnutá v štyroch bodoch hranice (obr.25) Obr.25 Funkcie na precvičovanie: Nájdite parciálne derivácie funkcií a ich totálne diferenciály: Nájdite derivácie komplexných funkcií: 3 Nájdite J. Extrém funkcie viacerých premenných Pojem extrému funkcie viacerých premenných Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém Podmienený extrém Najväčšie a najmenšie hodnoty spojitých funkcií 34. Použitie vzorca na deriváciu komplexnej funkcie dvoch premenných, nájdi a funkcie: 35. Použitie vzorca na deriváciu komplexnej funkcie v dvoch premenných nájdite |J a funkcie: Nájdite jj implicitné funkcie: 40. Nájdite sklon dotyčnice krivky v priesečníku s priamkou x = 3. 41. Nájdite body, kde dotyčnica krivky x je rovnobežná s osou x. . V nasledujúcich úlohách nájdite a Z: Napíšte rovnice dotykovej roviny a normály plochy: 49. Napíšte rovnice dotykových rovín plochy x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, rovnobežné s rovinou x + 4y + 6z \u003d 0. Nájdite prvé tri až štyri členy rozšírenia pomocou Taylorovho vzorca: 50.y v okolí bodu (0, 0). Pomocou definície extrému funkcie preskúmajte nasledujúce funkcie pre extrém:). Pomocou dostatočných podmienok pre extrém funkcie dvoch premenných preskúmajte extrém funkcie: 84. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu funkcie z \u003d x2 - y2 v uzavretom kruhu 85. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu hodnoty funkcie * \u003d x2y (4-x-y) v trojuholníku ohraničenom čiarami x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Určte rozmery obdĺžnikového otvoreného bazéna s najmenšou hladinou za predpokladu, že jeho objem sa rovná V. 87. Nájdite rozmery pravouhlého rovnobežnostena s daným celkovým povrchom 5 maximálneho objemu. Odpovede 1. a | Štvorec tvorený úsečkami x vrátane jeho strán. 3. Rodina sústredných prstencov 2= 0,1,2,... .4. Celá rovina okrem bodov priamok y. Časť roviny umiestnená nad parabolou y \u003d -x?. 8. Zakrúžkujte body x. Celá rovina okrem rovných čiar x Radikálový výraz je nezáporný v dvoch prípadoch j * ^ alebo j x ^ ^, čo je ekvivalent nekonečného radu nerovností, v uvedenom poradí Definičný obor sú tieňované štvorce (obr. 26). ; l ktorý je ekvivalentný nekonečnému radu Funkcia je definovaná v bodoch. a) Priamky rovnobežné s priamkou x b) Sústredné kružnice so stredom v počiatku. 10. a) paraboly y) paraboly y a) paraboly b) hyperboly | .Lietadlá xc. 13.Prim - jednodutinové hyperboloidy rotácie okolo osi Oz; pretože a sú dvojvrstvové rotačné hyperboloidy okolo osi Oz, obe skupiny plôch sú oddelené kužeľom; Nie je limita, b) 0. 18. Nech y = kxt potom z lim z = -2, aby daná funkcia v bode (0,0) nemala limitu. 19. a) Bod (0,0); b) bod (0,0). 20. a) Prerušovacia čiara - kružnica x2 + y2 = 1; b) čiara zlomu je priamka y \u003d x. 21. a) Zlomové čiary - súradnicové osi Ox a Oy; b) 0 (prázdna súprava). 22. Všetky body (m, n), kde a n sú celé čísla
PODMIENENÝ EXTRÉM
Minimálna alebo maximálna hodnota dosiahnutá danou funkciou (alebo funkciou) za predpokladu, že niektoré ďalšie funkcie (funkcie) nadobúdajú hodnoty z danej prípustnej množiny. Ak neexistujú podmienky, ktoré by obmedzovali zmeny nezávislých premenných (funkcií) v naznačenom zmysle, potom sa hovorí o bezpodmienečnom extréme.
klasické úloha pre W. e. je problém určenia minima funkcie viacerých premenných
Za predpokladu, že niektoré ďalšie funkcie nadobudnú dané hodnoty:
V tomto probléme G, ku ktorému fungujú hodnoty vektora g=(g 1, ...,g m),
súčasťou dodatočných podmienok (2) je pevný bod c=(c 1, ..., s t) v m-rozmernom euklidovskom priestore
Ak v (2) spolu so znamienkom rovnosti sú povolené znamienka nerovnosti
To vedie k problému nelineárne programovanie(13). V úlohe (1), (3) je množina G prípustných hodnôt vektorovej funkcie g určitá krivočiara , patriaca do (n-m 1)-rozmernej hyperplochy definovanej m 1 , m 1
Špeciálny prípad problému (1), (3) na U.v. je úlohou lineárne programovanie, v ktorej sú všetky uvažované funkcie f a gi sú lineárne v x l , ... , x p. V úlohe lineárneho programovania množina G možných hodnôt vektorovej funkcie g, zahrnuté v podmienkach obmedzujúcich rozsah premenných x 1 , .....x n , je , ktorá patrí do (n-t 1)-rozmernej nadroviny definovanej m 1 podmienkami typu rovnosti v (3).
Podobne väčšina optimalizačných problémov pre funkcionality, ktoré predstavujú praktické úrok, sa redukuje na úlohy na U. e. (cm. Izoperimetrický problém, Ring problém, Lagrangeov problém, Mannerov problém).
Presne ako v matematike. programovanie, hlavné problémy variačného počtu a teórie optimálneho riadenia sú problémy na konvexnom e.
Pri riešení problémov v U. e., najmä pri zvažovaní teoretických. otázky súvisiace s problémami na C. e., sa ukazuje ako veľmi užitočné použiť neurčitok Lagrangeove multiplikátory,čo umožňuje znížiť problém na U. e. k problému na bezpodmienečnom a zjednodušiť potrebné podmienky optimality. Použitie Lagrangeových multiplikátorov je základom väčšiny klasických metódy riešenia problémov v U. e.
Lit.: Hadley J., Nelineárne a , prekl. z angličtiny, M., 1967; Bliss G.A., Prednášky o variačnom počte, prel. z angličtiny, M., 1950; Pontryagin L.S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2. vydanie, M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Matematická encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Pozrite si, čo je „CONDITIONAL EXTREME“ v iných slovníkoch:
Relatívny extrém, extrém funkcie f (x1,..., xn + m) n + m premenných za predpokladu, že na tieto premenné platí m viac väzobných rovníc (podmienok): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (pozri Extrém).… …
Nech otvorenej množine a on dostane funkcie. Nechaj. Tieto rovnice sa nazývajú obmedzujúce rovnice (terminológia je prevzatá z mechaniky). Nech je funkcia definovaná na G ... Wikipedia
- (z lat. extrém extrém) hodnota spojitej funkcie f (x), ktorá je buď maximum alebo minimum. Presnejšie: funkcia f (x) spojitá v bode x0 má maximum (minimum) v x0, ak existuje okolie (x0 + δ, x0 δ) tohto bodu, ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Tento výraz má iné významy, pozri Extrém (významy). Extrém (lat. extrém extrém) v matematike je maximálna alebo minimálna hodnota funkcie na danej množine. Bod, v ktorom sa dosiahne extrém, je ... ... Wikipedia
Funkcia používaná pri riešení úloh pre podmienený extrém funkcií viacerých premenných a funkcionalít. S pomocou L. f. potrebné podmienky optimality sú zapísané v úlohách pre podmienený extrém. Netreba vyjadrovať len premenné... Matematická encyklopédia
Matematická disciplína venovaná hľadaniu extrémnych (maximálnych a minimálnych) hodnôt funkcionalít premenných v závislosti od výberu jednej alebo viacerých funkcií. V a. je prirodzený vývoj tejto kapitoly.... Veľká sovietska encyklopédia
Premenné, pomocou ktorých je konštruovaná Lagrangeova funkcia pri štúdiu problémov pre podmienený extrém. Použitie L. m. a Lagrangeovej funkcie umožňuje získať potrebné podmienky optimality jednotným spôsobom v problémoch pre podmienený extrém ... Matematická encyklopédia
Variačný počet je odvetvím funkčnej analýzy, ktorá študuje variácie funkcionalít. Najtypickejšou úlohou variačného počtu je nájsť funkciu, na ktorej daný funkcionál dosahuje ... ... Wikipedia
Časť matematiky venovaná štúdiu metód na nájdenie extrémov funkcionalít, ktoré závisia od výberu jednej alebo viacerých funkcií pod rôznymi druhmi obmedzení (fázových, diferenciálnych, integrálnych atď.), ktoré sú na ne kladené ... ... Matematická encyklopédia
Variačný počet je odvetvie matematiky, ktoré študuje variácie funkcionalít. Najtypickejšou úlohou variačného počtu je nájsť funkciu, na ktorej funkcionál dosiahne extrémnu hodnotu. Metódy ... ... Wikipedia
knihy
- Prednášky z teórie riadenia. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Uvažuje sa o klasických problémoch teórie optimálneho riadenia. Prezentácia začína základnými pojmami optimalizácie v konečne-dimenzionálnych priestoroch: podmienený a nepodmienený extrém, ...
Uvažujme najskôr o prípade funkcie dvoch premenných. Podmienený extrém funkcie $z=f(x,y)$ v bode $M_0(x_0;y_0)$ je extrémom tejto funkcie dosiahnutým za podmienky, že premenné $x$ a $y$ v okolie tohto bodu spĺňa obmedzujúcu rovnicu $\ varphi(x,y)=0$.
Názov "podmienený" extrém je spôsobený skutočnosťou, že na premenné je uložená dodatočná podmienka $\varphi(x,y)=0$. Ak je možné z rovnice spojenia vyjadriť jednu premennú inou, potom sa problém určenia podmieneného extrému redukuje na problém obvyklého extrému funkcie jednej premennej. Napríklad, ak $y=\psi(x)$ vyplýva z obmedzujúcej rovnice, potom dosadením $y=\psi(x)$ do $z=f(x,y)$ dostaneme funkciu jednej premennej $ z=f\vľavo (x,\psi(x)\vpravo)$. Vo všeobecnom prípade je však táto metóda málo použiteľná, takže je potrebný nový algoritmus.
Metóda Lagrangeových multiplikátorov pre funkcie dvoch premenných.
Metóda Lagrangeových multiplikátorov spočíva v tom, že na nájdenie podmieneného extrému sa Lagrangeova funkcia skladá: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda $ sa nazýva Lagrangeov multiplikátor). Potrebné extrémne podmienky sú dané sústavou rovníc, z ktorých sú určené stacionárne body:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\koniec (zarovnané)\vpravo.$$
Znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Ak je v stacionárnom bode $d^2F > 0$, potom funkcia $z=f(x,y)$ má v tomto bode podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, то условный максимум.
Existuje ďalší spôsob, ako určiť povahu extrému. Z rovnice obmedzenia dostaneme: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, takže v akomkoľvek stacionárnom bode máme:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\vpravo)$$
Druhý faktor (umiestnený v zátvorkách) môže byť znázornený v tejto forme:
Prvky $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (pole) \right|$ čo je Hessián Lagrangeovej funkcie. Ak $H > 0$, potom $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 USD, t.j. máme podmienené minimum funkcie $z=f(x,y)$.
Poznámka k tvaru determinantu $H$. ukázať skryť
$$ H=-\left|\begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(pole) \right| $$
V tejto situácii sa pravidlo formulované vyššie mení takto: ak $H > 0$, potom má funkcia podmienené minimum a pre $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algoritmus na štúdium funkcie dvoch premenných pre podmienený extrém
- Zostavte Lagrangeovu funkciu $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Vyriešte systém $ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(zarovnané)\vpravo.$
- Určte povahu extrému v každom zo stacionárnych bodov uvedených v predchádzajúcom odseku. Ak to chcete urobiť, použite niektorú z nasledujúcich metód:
- Zložte determinant $H$ a zistite jeho znamienko
- Berúc do úvahy rovnicu obmedzenia, vypočítajte znamienko $d^2F$
Metóda Lagrangeovho multiplikátora pre funkcie n premenných
Predpokladajme, že máme funkciu $n$ premenných $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ a $m$ obmedzujúcich rovníc ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,$$
Označením Lagrangeových multiplikátorov ako $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Nevyhnutné podmienky pre prítomnosť podmieneného extrému sú dané systémom rovníc, z ktorých sa nachádzajú súradnice stacionárnych bodov a hodnoty Lagrangeových multiplikátorov:
$$\left\(\začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(zarovnané) \right.$$
Či má funkcia podmienené minimum alebo podmienené maximum v nájdenom bode, ako predtým, je možné zistiť pomocou znamienka $d^2F$. Ak v nájdenom bode $d^2F > 0$, potom má funkcia podmienené minimum, ale ak $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Maticový determinant $\left| \begin(pole) (ccccc) \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(2) ) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(1)\čiastočné x_(n)) \\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_1) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)^(2)) & \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(2)\čiastočné x_(n))\\ \frac(\čiastočné^2F )(\čiastočné x_(3) \čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(2)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\čiastočné x_(3)\čiastočné x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(1)) & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(2)) & \ frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)\čiastočné x_(3)) &\ldots & \frac(\čiastočné^2F)(\čiastočné x_(n)^(2))\\ \end( pole) \right|$ zvýraznené červenou farbou v matici $L$ je Hessián Lagrangeovej funkcie. Používame nasledujúce pravidlo:
- Ak znaky rohových maloletých sú $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matice $L$ sa zhodujú so znamienkom $(-1)^m$, potom študovaný stacionárny bod je podmieneným minimálnym bodom funkcie $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Ak znaky rohových maloletých sú $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ sa striedajú a znamienko vedľajšej $H_(2m+1)$ sa zhoduje so znamienkom čísla $(-1)^(m+1 )$, potom študovaný stacionárny bod je podmienený maximálny bod funkcie $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Príklad č. 1
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=x+3y$ pod podmienkou $x^2+y^2=10$.
Geometrický výklad tohto problému je nasledovný: je potrebné nájsť najväčšiu a najmenšiu hodnotu aplikácie roviny $z=x+3y$ pre body jej priesečníka s valcom $x^2+y^2 = 10 $.
Je trochu ťažké vyjadriť jednu premennú v podmienkach druhej z rovnice obmedzenia a dosadiť ju do funkcie $z(x,y)=x+3y$, preto použijeme Lagrangeovu metódu.
Označením $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=1+2\lambda x; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=3+2\lambda y. $$
Zapíšme si sústavu rovníc na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie:
$$ \left \( \začiatok(zarovnané) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (zarovnané)\vpravo.$$
Ak predpokladáme $\lambda=0$, potom prvá rovnica bude: $1=0$. Výsledný rozpor hovorí, že $\lambda\neq 0$. Pod podmienkou $\lambda\neq 0$ z prvej a druhej rovnice máme: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Nahradením získaných hodnôt do tretej rovnice dostaneme:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(zarovnané) \right.\\ \begin(zarovnané) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(zarovnané) $$
Systém má teda dve riešenia: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ a $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode: $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$. Aby sme to dosiahli, vypočítame determinant $H$ v každom z bodov.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \begin(pole) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right| $$
V bode $M_1(1;3)$ dostaneme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(pole) \right|=40 > 0$, takže v bode $M_1(1;3)$ funkcia $z(x,y)=x+3y$ má podmienené maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Podobne v bode $M_2(-1;-3)$ nájdeme: $H=8\cdot\left| \begin(pole) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(pole) \right|= 8\cdot\left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(pole) \right|=-40$. Od $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Podotýkam, že namiesto výpočtu hodnoty determinantu $H$ v každom bode je oveľa pohodlnejšie ho otvoriť všeobecným spôsobom. Aby sa text nezahltil detailmi, skryjem tento spôsob pod poznámku.
Zápis determinantu $H$ vo všeobecnej forme. ukázať skryť
$$ H=8\cdot\left|\begin(pole)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(pole)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
V zásade je už zrejmé, ktoré znamienko $H$ má. Keďže žiadny z bodov $M_1$ alebo $M_2$ sa nezhoduje s pôvodom, potom $y^2+x^2>0$. Preto je znamienko $H$ opačné ako znamienko $\lambda$. Môžete tiež dokončiť výpočty:
$$ \začiatok(zarovnané) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\vľavo((-3)^2+(-1)^2\vpravo)=-40. \end(zarovnané) $$
Otázku o povahe extrému v stacionárnych bodoch $M_1(1;3)$ a $M_2(-1;-3)$ je možné vyriešiť bez použitia determinantu $H$. Nájdite znamienko $d^2F$ v každom stacionárnom bode:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\vpravo) $$
Podotýkam, že zápis $dx^2$ znamená presne $dx$ povýšené na druhú mocninu, t.j. $\left(dx\right)^2$. Máme teda: $dx^2+dy^2>0$, takže pre $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dostaneme $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Odpoveď: v bode $(-1;-3)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=-10$. V bode $(1;3)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=10$
Príklad č. 2
Nájdite podmienený extrém funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod podmienkou $x+y=0$.
Prvý spôsob (metóda Lagrangeových multiplikátorov)
Označením $\varphi(x,y)=x+y$ vytvoríme Lagrangeovu funkciu: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\čiastočné F)(\čiastočné x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\čiastočné F)(\čiastočné y)=9y^2-x+\lambda.\\ \ľavé \( \začiatok(zarovnané) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(zarovnané)\vpravo.$$
Vyriešením systému dostaneme: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ a $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$, $\lambda_2=-10$. Máme dva stacionárne body: $M_1(0;0)$ a $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Zistime povahu extrému v každom stacionárnom bode pomocou determinantu $H$.
$$ H=\vľavo| \begin(pole) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(pole) \right|= \left| \začiatok(pole) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18r \end(pole) \right|=-10-18r $$
V bode $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, takže v tomto bode má funkcia podmienené maximum $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Povahu extrému v každom bode skúmame inou metódou na základe znamienka $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Z rovnice obmedzenia $x+y=0$ máme: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Keďže $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, potom $M_1(0;0)$ je podmienený minimálny bod funkcie $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Podobne $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Druhý spôsob
Z rovnice obmedzenia $x+y=0$ dostaneme: $y=-x$. Dosadením $y=-x$ do funkcie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dostaneme nejakú funkciu premennej $x$. Označme túto funkciu ako $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Problém hľadania podmieneného extrému funkcie dvoch premenných sme teda zredukovali na problém určenia extrému funkcie jednej premennej.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Získali ste body $M_1(0;0)$ a $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ďalší výskum je známy z priebehu diferenciálneho počtu funkcií jednej premennej. Skúmaním znamienka $u_(xx)^("")$ v každom stacionárnom bode alebo kontrolou zmeny znamienka $u_(x)^(")$ v nájdených bodoch dostaneme rovnaké závery ako pri riešení prvého metóda. Napríklad začiarknite znak $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10, $ $
Keďže $u_(xx)^("")(M_1)>0$, potom $M_1$ je minimálny bod funkcie $u(x)$, zatiaľ čo $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Hodnoty funkcie $u(x)$ za danej podmienky pripojenia sa zhodujú s hodnotami funkcie $z(x,y)$, t.j. nájdené extrémy funkcie $u(x)$ sú požadované podmienené extrémy funkcie $z(x,y)$.
Odpoveď: v bode $(0;0)$ má funkcia podmienené minimum $z_(\min)=0$. V bode $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Zoberme si ešte jeden príklad, v ktorom zistíme povahu extrému určením znamienka $d^2F$.
Príklad č. 3
Nájdite maximálne a minimálne hodnoty funkcie $z=5xy-4$, ak sú premenné $x$ a $y$ kladné a spĺňajú obmedzujúcu rovnicu $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
Zostavte Lagrangeovu funkciu: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Nájdite stacionárne body Lagrangeovej funkcie:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(zarovnané) \right.$$
Všetky ďalšie transformácie sa vykonajú s prihliadnutím na $x > 0; \; y > 0 $ (je to stanovené v podmienkach problému). Z druhej rovnice vyjadríme $\lambda=-\frac(5x)(y)$ a nájdenú hodnotu dosadíme do prvej rovnice: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Dosadením $x=2y$ do tretej rovnice dostaneme: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $ y = 1 $.
Pretože $y=1$, potom $x=2$, $\lambda=-10$. Charakter extrému v bode $(2;1)$ je určený zo znamienka $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Pretože $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, potom:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
V zásade tu môžete okamžite nahradiť súradnice stacionárneho bodu $x=2$, $y=1$ a parameter $\lambda=-10$, čím získate:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \vpravo)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Avšak v iných problémoch pre podmienený extrém môže byť niekoľko stacionárnych bodov. V takýchto prípadoch je lepšie reprezentovať $d^2F$ vo všeobecnom tvare a potom dosadiť súradnice každého z nájdených stacionárnych bodov do výsledného výrazu:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Nahradením $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ dostaneme:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Pretože $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Odpoveď: v bode $(2;1)$ má funkcia podmienené maximum, $z_(\max)=6$.
V ďalšej časti sa budeme zaoberať aplikáciou Lagrangeovej metódy pre funkcie väčšieho počtu premenných.
