Aby ste zlomky dostali k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, musíte: 1) nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, bude to najmenší spoločný menovateľ. 2) nájdite pre každý zlomok ďalší faktor, pre ktorý vydelíme nového menovateľa menovateľom každého zlomku. 3) vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.

Príklady. Znížte nasledujúce zlomky na najnižšieho spoločného menovateľa.

Nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov: LCM(5; 4) = 20, keďže 20 je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 4. Pre 1. zlomok nájdeme dodatočný faktor 4 (20 : 5 = 4). Pre druhý zlomok je dodatočný násobiteľ 5 (20 : 4=5). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 4 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 5. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenšieho spoločného menovateľa ( 20 ).

Najnižší spoločný menovateľ týchto zlomkov je 8, pretože 8 je deliteľné 4 a samo sebou. K 1. zlomku nebude dodatočný násobiteľ (alebo môžeme povedať, že sa rovná jednej), k 2. zlomku je dodatočný násobiteľ 2 (8 : 4=2). Čitateľ a menovateľ 2. zlomku vynásobíme 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 8 ).

Tieto frakcie nie sú neredukovateľné.

Prvý zlomok znížime o 4 a druhý zlomok znížime o 2. ( pozri príklady redukcie obyčajných zlomkov: Mapa stránok → 5.4.2. Príklady redukcie obyčajných zlomkov). Nájsť LCM(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Dodatočný násobiteľ pre 1. zlomok je 5 (80 : 16 = 5). Dodatočný násobiteľ pre 2. zlomok je 4 (80 : 20 = 4). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 5 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 4. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenšieho spoločného menovateľa ( 80 ).

Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa NOC(5 ; 6 a 15) = LCM(5 ; 6 a 15) = 30. Dodatočný násobiteľ k prvému zlomku je 6 (30 : 5=6), dodatočný násobiteľ k 2. zlomku je 5 (30 : 6=5), dodatočný násobiteľ k tretiemu zlomku je 2 (30 : 15=2). Čitateľa a menovateľa 1. zlomku vynásobíme 6, čitateľa a menovateľa 2. zlomku 5, čitateľa a menovateľa 3. zlomku 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najnižšieho spoločného menovateľa ( 30 ).

Strana 1 z 1 1

Schéma redukcie na spoločného menovateľa

1. Je potrebné určiť, aký bude najmenší spoločný násobok pre menovateľov zlomkov. Ak máte čo do činenia so zmiešaným alebo celočíselným číslom, musíte ho najskôr premeniť na zlomok a až potom určiť najmenší spoločný násobok. Ak chcete zmeniť celé číslo na zlomok, musíte zapísať samotné číslo do čitateľa a číslo do menovateľa. Napríklad číslo 5 ako zlomok by vyzeralo takto: 5/1. Ak chcete zmeniť zmiešané číslo na zlomok, musíte celé číslo vynásobiť menovateľom a pridať k nemu čitateľa. Príklad: 8 celých čísel a 3/5 ako zlomok = 8x5+3/5 = 43/5.
2. Potom je potrebné nájsť dodatočný faktor, ktorý sa určí vydelením NOZ menovateľom každého zlomku.
3. Posledným krokom je vynásobenie zlomku ďalším faktorom.

Je dôležité si uvedomiť, že redukcia na spoločného menovateľa je potrebná nielen na sčítanie alebo odčítanie. Na porovnanie viacerých zlomkov s rôznymi menovateľmi je tiež potrebné najskôr zredukovať každý z nich na spoločného menovateľa.

Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi

Aby sme pochopili, ako zmenšiť zlomok na spoločného menovateľa, je potrebné pochopiť niektoré vlastnosti zlomkov. Dôležitou vlastnosťou používanou na redukciu na NOZ je teda rovnosť zlomkov. Inými slovami, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobí číslom, výsledkom je zlomok rovný predchádzajúcemu. Vezmime si ako príklad nasledujúci príklad. Ak chcete zlomky 5/9 a 5/6 zmenšiť na najnižšieho spoločného menovateľa, musíte urobiť nasledovné:

1. Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov. V tomto prípade pre čísla 9 a 6 bude NOC 18.
2. Pre každý zo zlomkov určíme ďalšie faktory. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. LCM delíme menovateľom každého zo zlomkov, výsledkom čoho je 18: 9 \u003d 2 a 18: 6 \u003d 3. Tieto čísla budú ďalšími faktormi.
3. Do NOZ prinášame dva zlomky. Keď násobíte zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa. Zlomok 5/9 možno vynásobiť dodatočným faktorom 2, výsledkom čoho je zlomok rovný danému - 10/18. To isté urobíme s druhým zlomkom: vynásobíme 5/6 3, výsledkom je 15/18.

Ako môžete vidieť z vyššie uvedeného príkladu, oba zlomky boli zredukované na najnižšieho spoločného menovateľa. Aby ste konečne pochopili, ako nájsť spoločného menovateľa, musíte zvládnuť ešte jednu vlastnosť zlomkov. Spočíva v tom, že čitateľa a menovateľa zlomku možno zmenšiť o rovnaké číslo, ktoré sa nazýva spoločný deliteľ. Napríklad zlomok 12/30 možno zmenšiť na 2/5, ak je rozdelený spoločným deliteľom - číslom 6.

V tejto lekcii sa pozrieme na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa a na riešenie problémov na túto tému. Uveďme definíciu pojmu spoločného menovateľa a dodatočného faktora, pamätajte na spoločné čísla. Definujme pojem najmenší spoločný menovateľ (LCD) a vyriešme množstvo problémov na jeho nájdenie.

Téma: Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Lekcia: Redukovanie zlomkov na spoločného menovateľa

Opakovanie. Základná vlastnosť zlomku.

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia alebo vydelia rovnakým prirodzeným číslom, získa sa zlomok, ktorý sa mu rovná.

Čitateľ a menovateľ zlomku môžeme napríklad deliť 2. Dostaneme zlomok. Táto operácia sa nazýva redukcia frakcií. Spätnú transformáciu môžete vykonať aj vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku číslom 2. V tomto prípade hovoríme, že sme zlomok zredukovali na nového menovateľa. Číslo 2 sa nazýva dodatočný faktor.

Záver. Zlomok možno redukovať na ľubovoľného menovateľa, ktorý je násobkom menovateľa daného zlomku. Aby sa zlomok dostal do nového menovateľa, jeho čitateľ a menovateľ sa vynásobia dodatočným faktorom.

1. Zlomok uveďte do menovateľa 35.

Číslo 35 je násobkom 7, to znamená, že 35 je deliteľné 7 bezo zvyšku. Takže táto transformácia je možná. Poďme nájsť ďalší faktor. Aby sme to urobili, vydelíme 35 číslom 7. Dostaneme 5. Čitateľ a menovateľ pôvodného zlomku vynásobíme číslom 5.

2. Zlomok uveďte do menovateľa 18.

Poďme nájsť ďalší faktor. Aby sme to dosiahli, vydelíme nového menovateľa pôvodným. Dostaneme 3. Čitateľa a menovateľa tohto zlomku vynásobíme 3.

3. Zlomok uveďte do menovateľa 60.

Vydelením 60 číslom 15 dostaneme ďalší násobiteľ. Rovná sa 4. Vynásobme čitateľa a menovateľa 4.

4. Zlomok uveďte do menovateľa 24

V jednoduchých prípadoch sa redukcia na nového menovateľa vykonáva v mysli. Je zvykom uviesť dodatočný faktor za zátvorkou len trochu vpravo a nad pôvodný zlomok.

Zlomok možno zmenšiť na menovateľa 15 a zlomok zmenšiť na menovateľa 15. Zlomky majú spoločného menovateľa 15.

Spoločným menovateľom zlomkov môže byť akýkoľvek spoločný násobok ich menovateľov. Pre jednoduchosť sú zlomky redukované na najmenšieho spoločného menovateľa. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov daných zlomkov.

Príklad. Zredukujte na najmenší spoločný menovateľ zlomku a .

Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov. Toto číslo je 12. Nájdite ďalší faktor pre prvý a druhý zlomok. Aby sme to dosiahli, vydelíme 12 4 a 6. Tri je dodatočný faktor pre prvý zlomok a dva pre druhý. Zlomky privedieme do menovateľa 12.

Zlomky sme zredukovali na spoločného menovateľa, to znamená, že sme našli zlomky, ktoré sa im rovnajú a majú rovnakého menovateľa.

Pravidlo. Ak chcete zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi,

Najprv nájdite najmenší spoločný násobok menovateľov týchto zlomkov, ktorý bude ich najmenším spoločným menovateľom;

Po druhé, vydeľte najmenší spoločný menovateľ menovateľmi týchto zlomkov, to znamená, že pre každý zlomok nájdite ďalší faktor.

Po tretie, vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.

a) Zredukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 12. Dodatočný faktor pre prvý zlomok je 4, pre druhý - 3. Zlomky prinášame do menovateľa 24.

b) Zredukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Najnižší spoločný menovateľ je 45. Delením 45 číslom 9 číslom 15 dostaneme číslo 5, respektíve 3. Zlomky privedieme k menovateľovi 45.

c) Zredukujte zlomky a na spoločného menovateľa.

Spoločným menovateľom je 24. Ďalšie faktory sú 2 a 3.

Niekedy je ťažké slovne nájsť najmenší spoločný násobok pre menovateľov daných zlomkov. Potom sa nájde spoločný menovateľ a ďalšie faktory započítaním do hlavných faktorov.

Zredukujte na spoločného menovateľa zlomku a .

Rozložme čísla 60 a 168 na prvočísla. Vypíšeme si rozšírenie čísla 60 a doplníme chýbajúce faktory 2 a 7 z druhého rozšírenia. Vynásobte číslo 60 číslom 14 a získajte spoločného menovateľa 840. Prídavný súčiniteľ pre prvý zlomok je 14. Prídavný súčiniteľ pre druhý zlomok je 5. Zmenšeme zlomky na spoločného menovateľa 840.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. - ZSH MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. a iné Matematika: Učebnica pre 5. – 6. ročník strednej školy. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

Môžete si stiahnuť knihy uvedené v odseku 1.2. túto lekciu.

Domáca úloha

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. a iné.Matematika 6. - M .: Mnemozina, 2012. (pozri link 1.2)

Domáca úloha: č.297, č.298, č.300.

Ďalšie úlohy: #270, #290

Tento článok vysvetľuje, ako zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa a ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa. Uvádzajú sa definície, uvádza sa pravidlo na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa a zvažujú sa praktické príklady.

Čo je redukcia zlomku na spoločného menovateľa?

Obyčajné zlomky pozostávajú z čitateľa - hornej časti a menovateľa - spodnej časti. Ak majú zlomky rovnakého menovateľa, hovorí sa, že majú spoločného menovateľa. Napríklad zlomky 11 14 , 17 14 , 9 14 majú rovnakého menovateľa 14 . Inými slovami, sú zredukované na spoločného menovateľa.

Ak majú zlomky rôznych menovateľov, potom ich možno pomocou jednoduchých akcií vždy zredukovať na spoločného menovateľa. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa určitými ďalšími faktormi.

Je zrejmé, že zlomky 4 5 a 3 4 nie sú zredukované na spoločného menovateľa. Aby ste to dosiahli, musíte použiť dodatočné faktory 5 a 4, aby ste ich dostali na menovateľa 20. Ako presne to urobiť? Vynásobte čitateľa a menovateľa 45 číslom 4 a čitateľa a menovateľa čísla 34 vynásobte číslom 5. Namiesto zlomkov 4 5 a 3 4 dostaneme 16 20 a 15 20.

Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi

Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa je vynásobením čitateľov a menovateľov zlomkov faktormi tak, aby výsledkom boli identické zlomky s rovnakým menovateľom.

Spoločný menovateľ: definícia, príklady

Čo je spoločný menovateľ?

Spoločný menovateľ

Spoločným menovateľom zlomku je ľubovoľné kladné číslo, ktoré je spoločným násobkom všetkých daných zlomkov.

Inými slovami, spoločným menovateľom nejakej množiny zlomkov bude také prirodzené číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné všetkými menovateľmi týchto zlomkov.

Množina prirodzených čísel je nekonečná, a preto podľa definície má každá množina spoločných zlomkov nekonečný počet spoločných menovateľov. Inými slovami, existuje nekonečne veľa spoločných násobkov pre všetkých menovateľov pôvodnej množiny zlomkov.

Spoločný menovateľ niekoľkých zlomkov sa dá ľahko nájsť pomocou definície. Nech sú zlomky 1 6 a 3 5 . Spoločným menovateľom zlomkov bude akýkoľvek kladný spoločný násobok čísel 6 a 5. Takéto kladné spoločné násobky sú 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 atď.

Zvážte príklad.

Príklad 1. Spoločný menovateľ

Dajú sa zlomky 1 3, 21 6, 5 12 zredukovať na spoločného menovateľa, ktorý sa rovná 150?

Ak chcete zistiť, či je to tak, musíte skontrolovať, či 150 je spoločný násobok menovateľov zlomkov, teda čísel 3, 6, 12. Inými slovami, číslo 150 musí byť bezo zvyšku deliteľné 3, 6, 12. Skontrolujme to:

150 ÷ ​​​​3 = 50, 150 ÷ ​​​​6 = 25, 150 ÷ ​​​​12 = 12, 5

To znamená, že 150 nie je spoločným menovateľom uvedených zlomkov.

Najnižší spoločný menovateľ

Najmenšie prirodzené číslo z množiny spoločných menovateľov niektorej množiny zlomkov sa nazýva najmenší spoločný menovateľ.

Najnižší spoločný menovateľ

Najmenší spoločný menovateľ zlomkov je najmenšie číslo spomedzi všetkých spoločných menovateľov týchto zlomkov.

Najmenší spoločný deliteľ danej množiny čísel je najmenší spoločný násobok (LCM). LCM všetkých menovateľov zlomkov je najmenší spoločný menovateľ týchto zlomkov.

Ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa? Jeho nájdenie spočíva v nájdení najmenšieho spoločného násobku zlomkov. Pozrime sa na príklad:

Príklad 2: Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa

Musíme nájsť najmenšieho spoločného menovateľa pre zlomky 1 10 a 127 28 .

Hľadáme LCM s číslami 10 a 28. Rozložíme ich na jednoduché faktory a dostaneme:

10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N O K (15, 28) \u003d 2 2 5 7 \u003d 140

Ako priviesť zlomky k najnižšiemu spoločnému menovateľovi

Existuje pravidlo, ktoré vysvetľuje, ako zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa. Pravidlo pozostáva z troch bodov.

Pravidlo na redukciu zlomkov na spoločného menovateľa

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.
2. Pre každý zlomok nájdite ďalší faktor. Ak chcete nájsť násobiteľa, musíte vydeliť najmenšieho spoločného menovateľa menovateľom každého zlomku.
3. Vynásobte čitateľa a menovateľa nájdeným dodatočným faktorom.

Zvážte aplikáciu tohto pravidla na konkrétnom príklade.

Príklad 3. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Existujú zlomky 3 14 a 5 18. Priveďme ich k najnižšiemu spoločnému menovateľovi.

Spravidla najprv nájdeme LCM menovateľov zlomkov.

14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 N O K (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126

Pre každý zlomok vypočítame ďalšie faktory. Pre 3 14 je dodatočný faktor 126 ÷ 14 = 9 a pre zlomok 5 18 je dodatočný faktor 126 ÷ 18 = 7 .

Vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomkov ďalšími faktormi a dostaneme:

3 9 14 9 \u003d 27 126, 5 7 18 7 \u003d 35 126.

Privedenie viacerých zlomkov k najmenšiemu spoločnému menovateľovi

Podľa uvažovaného pravidla možno nielen dvojice zlomkov, ale aj viac z nich zredukovať na spoločného menovateľa.

Uveďme si ďalší príklad.

Príklad 4. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Zlomky 3 2 , 5 6 , 3 8 a 17 18 uveďte do najnižšieho spoločného menovateľa.

Vypočítajte LCM menovateľov. Nájdite LCM troch alebo viacerých čísel:

NOC (2, 6) = 6 N O C (6, 8) = 24 N O C (24, 18) = 72 N O C (2, 6, 8, 18) = 72

Pre 3 2 je dodatočný faktor 72 ÷ 2 =   36 , pre 5 6 je dodatočný faktor 72 ÷ 6 =   12 , pre 3 8 je dodatočný faktor 72 ÷ 8 =   9 , nakoniec pre 17 18 je dodatočný faktor 72 ÷ 18 =   4.

Zlomky vynásobíme ďalšími faktormi a prejdeme k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter