Matice diagonálneho typu sú najjednoduchšie usporiadané. Vzniká otázka, či je možné nájsť základ, v ktorom by matica lineárneho operátora mala diagonálny tvar. Takýto základ existuje.
Nech je daný lineárny priestor R n a v ňom pôsobiaci lineárny operátor A; v tomto prípade operátor A berie do seba R n, teda A:R n → R n .

Definícia. Nenulový vektor x sa nazýva vlastný vektor operátora A, ak operátor A transformuje x na vektor s ním kolineárny, t.j. Číslo λ sa nazýva vlastná hodnota alebo vlastná hodnota operátora A zodpovedajúceho vlastnému vektoru x .
Zaznamenávame niektoré vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov.
1. Ľubovoľná lineárna kombinácia vlastných vektorov operátora A zodpovedajúceho rovnakej vlastnej hodnote λ je vlastný vektor s rovnakou vlastnou hodnotou.
2. Vlastné vektory operátor A s párovo odlišnými vlastnými hodnotami λ 1 , λ 2 , …, λ m sú lineárne nezávislé.
3. Ak vlastné hodnoty λ 1 =λ 2 = λ m = λ, potom vlastná hodnota λ zodpovedá nie viac ako m lineárne nezávislým vlastným vektorom.

Ak teda existuje n lineárne nezávislých vlastných vektorov zodpovedajúce rôznym vlastným hodnotám λ 1 , λ 2 , …, λ n , potom sú lineárne nezávislé, preto ich možno považovať za základ priestoru R n . Nájdite tvar matice lineárneho operátora A na základe jeho vlastných vektorov, pre ktoré pôsobíme s operátorom A na vektoroch báz: potom .
Matica lineárneho operátora A má teda na základe svojich vlastných vektorov diagonálny tvar a vlastné hodnoty operátora A sú na diagonále.
Existuje iný základ, v ktorom má matica diagonálny tvar? Odpoveď na túto otázku dáva nasledujúca veta.

Veta. Matica lineárneho operátora A v báze (i = 1..n) má diagonálny tvar práve vtedy, ak sú všetky vektory bázy vlastnými vektormi operátora A.

Pravidlo na nájdenie vlastných hodnôt a vlastných vektorov

Nechajte vektor , kde x 1 , x 2 , …, x n - súradnice vektora x vzhľadom na základ a x je vlastný vektor lineárneho operátora A zodpovedajúci vlastnej hodnote λ, t.j. Tento vzťah možno zapísať v maticovom tvare

. (*)

Rovnicu (*) možno považovať za rovnicu na nájdenie x , a , to znamená, že nás zaujímajú netriviálne riešenia, pretože vlastný vektor nemôže byť nula. Je známe, že netriviálne riešenia homogénneho systému lineárnych rovníc existujú práve vtedy, ak det(A - λE) = 0. Aby teda λ bolo vlastnou hodnotou operátora A, je potrebné a postačujúce, aby det(A - λE ) = 0.
Ak je rovnica (*) napísaná podrobne v súradnicovom tvare, dostaneme systém lineárnych homogénnych rovníc:

(1)
kde je matica lineárneho operátora.

Sústava (1) má nenulové riešenie, ak sa jej determinant D rovná nule

Dostali sme rovnicu na nájdenie vlastných hodnôt.
Táto rovnica sa nazýva charakteristická rovnica a jej ľavá strana sa nazýva charakteristický polynóm matice (operátor) A. Ak charakteristický polynóm nemá žiadne reálne korene, potom matica A nemá žiadne vlastné vektory a nemôže byť redukovaná do diagonálneho tvaru.
Nech λ 1 , λ 2 , …, λ n sú skutočné korene charakteristickej rovnice a môžu byť medzi nimi násobky. Nahradením týchto hodnôt do systému (1) nájdeme vlastné vektory.

Príklad 12. Lineárny operátor A pôsobí v R 3 podľa zákona , kde x 1 , x 2 , .., x n sú súradnice vektora v zákl. , , . Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory tohto operátora.
rozhodnutie. Vytvoríme maticu tohto operátora:
.
Zostavíme systém na určenie súradníc vlastných vektorov:

Zostavíme charakteristickú rovnicu a vyriešime ju:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Dosadením λ = -1 do systému máme:
alebo
Ako , potom existujú dve závislé premenné a jedna voľná premenná.
Nech je x 1 voľná neznáma Túto sústavu vyriešime ľubovoľným spôsobom a nájdeme všeobecné riešenie tejto sústavy: Základná sústava riešení pozostáva z jedného riešenia, keďže n - r = 3 - 2 = 1.
Množina vlastných vektorov zodpovedajúcich vlastnej hodnote λ = -1 má tvar: , kde x 1 je ľubovoľné číslo iné ako nula. Vyberme si jeden vektor z tejto množiny, napríklad nastavením x 1 = 1: .
Ak budeme argumentovať podobne, nájdeme vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 3: .
V priestore R 3 sa báza skladá z troch lineárne nezávislých vektorov, ale získali sme len dva lineárne nezávislé vlastné vektory, z ktorých bázu v R 3 nemožno vytvoriť. V dôsledku toho maticu A lineárneho operátora nemožno redukovať na diagonálny tvar.

Príklad 13 Daná matica .
1. Dokážte, že vektor je vlastný vektor matice A. Nájdite vlastnú hodnotu zodpovedajúcu tomuto vlastnému vektoru.
2. Nájdite základ, v ktorom má matica A diagonálny tvar.
rozhodnutie.
1. Ak , potom x je vlastný vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je vlastný vektor. Vlastná hodnota λ = -1.
Matica má diagonálny tvar v základe pozostávajúcom z vlastných vektorov. Jeden z nich je známy. Poďme nájsť zvyšok.
Hľadáme vlastné vektory zo systému:

Charakteristická rovnica: ;
(3+A)[-2(2-A)(2+A)+3] = 0; (3+λ)(λ2-1) = 0
λ1 = -3, λ2 = 1, λ3 = -1.
Nájdite vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = -3:

Hodnosť matice tejto sústavy sa rovná dvom a rovná sa počtu neznámych, preto má táto sústava len nulové riešenie x 1 = x 3 = 0. x 2 tu môže byť čokoľvek iné ako nula, napr. x 2 = 1. Vektor (0 ,1,0) je teda vlastný vektor zodpovedajúci λ = -3. Skontrolujme to:
.
Ak λ = 1, dostaneme systém
Hodnosť matice je dva. Prečiarknite poslednú rovnicu.
Nech x 3 je voľná neznáma. Potom x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Za predpokladu, že x 3 = 1, máme (-3,-9,1) - vlastný vektor zodpovedajúci vlastnej hodnote λ = 1. Skontrolujte:

.
Keďže vlastné hodnoty sú skutočné a rôzne, vektory, ktoré im zodpovedajú, sú lineárne nezávislé, takže ich možno brať ako základ v R 3 . Teda v zákl , , matica A má tvar:
.
Nie každú maticu lineárneho operátora A:R n → R n možno zredukovať na diagonálny tvar, keďže pre niektoré lineárne operátory môže existovať menej ako n lineárne nezávislých vlastných vektorov. Ak je však matica symetrická, potom presne m lineárne nezávislých vektorov zodpovedá koreňu charakteristickej rovnice násobnosti m.

Definícia. Symetrická matica je štvorcová matica, v ktorej sú prvky, ktoré sú symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku, rovnaké, to znamená, v ktorej .
Poznámky. 1. Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.
2. Vlastné vektory symetrickej matice zodpovedajúce párovo odlišným vlastným hodnotám sú ortogonálne.
Ako jednu z početných aplikácií skúmaného aparátu považujeme problém určenia tvaru krivky druhého rádu.

Definícia 9.3. Vektor X volal vlastný vektor matice ALE ak existuje také číslo λ, že platí rovnosť: ALE X= λ X, teda výsledok prihlášky do X lineárna transformácia daná maticou ALE, je vynásobenie tohto vektora číslom λ . Samotné číslo λ volal vlastné číslo matice ALE.

Nahrádzanie do vzorcov (9.3) x`j = λxj, získame sústavu rovníc na určenie súradníc vlastného vektora:

. (9.5)

Tento lineárny homogénny systém bude mať netriviálne riešenie iba vtedy, ak jeho hlavný determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapísaním tejto podmienky vo forme:

dostaneme rovnicu na určenie vlastných hodnôt λ volal charakteristická rovnica. Stručne to možno znázorniť takto:

| A-λE | = 0, (9.6)

keďže jeho ľavá strana je determinantom matice A-λE. Polynóm vzhľadom na λ | A-λE| volal charakteristický polynóm matrice a.

Vlastnosti charakteristického polynómu:

1) Charakteristický polynóm lineárnej transformácie nezávisí od výberu základu. Dôkaz. (pozri (9.4)), ale teda,. Nezáleží teda na výbere základu. Preto a | A-λE| sa pri prechode na nový základ nemení.

2) Ak je matica ALE lineárna transformácia je symetrické(tie. a ij = a ji), potom všetky korene charakteristickej rovnice (9.6) sú reálne čísla.

Vlastnosti vlastných čísel a vlastných vektorov:

1) Ak zvolíme základ z vlastných vektorov x 1, x 2, x 3 zodpovedajúce vlastným hodnotám λ1, λ2, λ3 matice ALE, potom v tomto základe má lineárna transformácia A diagonálnu maticu:

(9.7) Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z definície vlastných vektorov.

2) Ak transformácia vlastné hodnoty ALE sú rôzne, potom im zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.

3) Ak je charakteristický polynóm matice ALE má tri rôzne korene, potom v nejakom základe matice ALE má diagonálny tvar.

Poďme nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory matice Urobme charakteristickú rovnicu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nájdite súradnice vlastných vektorov zodpovedajúcich každej nájdenej hodnote λ. Z (9.5) vyplýva, že ak X (1) ={x 1, x 2, x 3) je vlastný vektor zodpovedajúci λ 1 = -2, teda

je kolaboratívny, ale neurčitý systém. Jeho riešenie možno zapísať ako X (1) ={a,0,-a), kde a je ľubovoľné číslo. Najmä ak to požadujete | X (1) |=1, X (1) =

Nahradenie do systému (9.5) λ 2 = 3, dostaneme systém na určenie súradníc druhého vlastného vektora - X (2) ={y1, y2, y3}:

, kde X (2) ={b,-b,b) alebo za predpokladu | X (2) |=1, X (2) =

Pre λ 3 = 6 nájdite vlastný vektor X (3) ={z1, z2, z3}:

, X (3) ={c,2c,c) alebo v normalizovanej verzii

x (3) = Je to vidieť X (1) X (2) = ab-ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Vlastné vektory tejto matice sú teda párovo ortogonálne.

Prednáška 10

Kvadratické formy a ich spojenie so symetrickými maticami. Vlastnosti vlastných vektorov a vlastných hodnôt symetrickej matice. Redukcia kvadratickej formy na kanonickú formu.

Definícia 10.1.kvadratická forma reálne premenné x 1, x 2,…, x n nazýva sa polynóm druhého stupňa vzhľadom na tieto premenné, ktorý neobsahuje voľný člen a členy prvého stupňa.

Príklady kvadratických foriem:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Pripomeňme si definíciu symetrickej matice uvedenú v poslednej prednáške:

Definícia 10.2.Štvorcová matica sa nazýva symetrické, ak , teda ak sú prvky matice symetrické vzhľadom na hlavnú uhlopriečku rovnaké.

Vlastnosti vlastných hodnôt a vlastných vektorov symetrickej matice:

1) Všetky vlastné hodnoty symetrickej matice sú skutočné.

Dôkaz (pre n = 2).

Nechajte maticu ALE vyzerá ako: . Urobme charakteristickú rovnicu:

(10.2) Nájdite diskriminant:

Preto má rovnica len skutočné korene.

2) Vlastné vektory symetrickej matice sú ortogonálne.

Dôkaz (pre n= 2).

Súradnice vlastných vektorov a musia spĺňať rovnice.

Prednáška 9

Lineárne transformácie súradníc. Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice, ich vlastnosti. Charakteristický polynóm matice, jeho vlastnosti.

Povieme to na množine vektorovRdaný transformácia ALE , ak každý vektor X R podľa nejakého pravidla vektor ALE X R.

Definícia 9.1.transformácia ALE volal lineárne, ak pre nejaké vektory X a pri a pre akékoľvek reálne číslo λ rovnosť je splnená:

ALE( X + pri )=ALE X+ A pri ,A(λ X ) = λ A X. (9.1)

Definícia 9.2.Lineárna transformácia sa nazýva identické, ak transformuje ľubovoľný vektor X do seba.

Označuje sa transformácia identity JA X= X .

Zvážte trojrozmerný priestor so základňou e 1 , e 2, e 3 , v ktorom je špecifikovaná lineárna transformácia ALE. Aplikovaním na základné vektory dostaneme vektory ALE e 1, ALE e 2, ALE e 3 patriace do tohto trojrozmerného priestoru. Preto môže byť každý z nich rozšírený jedinečným spôsobom, pokiaľ ide o základné vektory:

ALE e 1 = 11 e 1+ 21 e 2+a 31 e 3,

ALE e 2 = 12 e 1+ 22 e 2+ 32 e 3 ,(9.2)

ALE e 3= 13 e 1+ 23 e 2+ 33 e 3 .

Matrix volal lineárna transformačná matica ALE v základe e 1 , e 2, e 3 . Stĺpce tejto matice sú zložené z koeficientov vo vzorcoch (9.2) základnej transformácie.

Komentujte. Je zrejmé, že matricou transformácie identity je matrica identity E.

Pre ľubovoľný vektor X = x 1 e 1+ x 2 e 2+ x 3 e 3 výsledok aplikovania lineárnej transformácie naň ALE bude vektor ALE X, ktoré možno rozšíriť vo vektoroch rovnakého základu: ALE X =x` 1 e 1+ x" 2 e 2+ x' 3 e 3 , kde sú súradniceX` imožno nájsť pomocou vzorcov:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x' 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

X` 3 = a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 .

Koeficienty vo vzorcoch tejto lineárnej transformácie sú prvkami riadkov matice ALE.

Lineárna transformačná maticová transformácia

pri prechode na nový základ.

Uvažujme lineárnu transformáciu A a dve bázy v trojrozmernom priestore: e1, e2, e 3 a e 1 , e 2 , e 3 . Nech matica C definuje prechodové vzorce zo základu (e k) k základu ( e k). Ak je v prvom z týchto základov zvolená lineárna transformácia daná maticou A a v druhom - maticou ALE, potom môžeme nájsť vzťah medzi týmito maticami, a to:

A \u003d C -1 ALE C(9,4)

Teda naozaj ALE . Na druhej strane výsledky aplikovania rovnakej lineárnej transformácie ALE v základe (e k), t.j. a v základe (e k ): respektíve - sú spojené maticou S: , z čoho vyplýva, že SA= ALE S. Vynásobením oboch strán tejto rovnosti naľavo S-1, dostávame S -1 CA = = C -1 ALE S, ktorý dokazuje platnosť vzorca (9.4).

Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice.

Definícia 9.3.Vektor X volal vlastný vektor matice ALE ak existuje také číslo λ, že platí rovnosť: ALE X= λ X, teda výsledok prihlášky do X lineárna transformácia daná maticou ALE, je vynásobenie tohto vektora číslom λ . Samotné číslo λ volal vlastné číslo matice ALE.

Nahrádzanie do vzorcov (9.3)X` j = λ xj, získame sústavu rovníc na určenie súradníc vlastného vektora:

.

Odtiaľ

.(9.5)

Toto lineárne homogénne systém bude mať netriviálne riešenie iba vtedy, ak jeho hlavný determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapísaním tejto podmienky vo forme:

dostaneme rovnicu na určenie vlastných hodnôt λ volal charakteristická rovnica. Stručne to možno znázorniť takto:

| A -λ E | = 0,(9.6)

keďže jeho ľavá strana je determinantom matice ALE- λE. Polynóm vzhľadom na λ| A -λ E| volal charakteristický polynóm matrice a.

Vlastnosti charakteristického polynómu:

1) Charakteristický polynóm lineárnej transformácie nezávisí od výberu bázy Dôkaz. (s pozri (9.4)), ale teda,. Nezáleží teda na výbere základu. Preto a |A-λ E| sa pri prechode na nový základ nemení.

2) Ak matica ALE lineárna transformácia je symetrické(tie. a ij= a ji), potom všetky korene charakteristickej rovnice (9.6) sú reálne čísla.

Vlastnosti vlastných čísel a vlastných vektorov:

1) Ak zvolíme základ z vlastných vektorov x 1, x 2, x 3 zodpovedajúce vlastným hodnotám λ1, λ2, λ3 matice ALE, potom v tomto základe má lineárna transformácia A diagonálnu maticu:

(9.7) Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z definície vlastných vektorov.

2) Ak transformácia vlastné hodnoty ALE sú rôzne, potom im zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.

3) Ak je charakteristický polynóm matice ALE má tri rôzne korene, potom v nejakom základe matice ALE má diagonálny tvar.

Príklad.

Poďme nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory matice C, ponechajme charakteristickú rovnicu: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Nájdite súradnice vlastných vektorov zodpovedajúcich každej nájdenej hodnote λ. Z (9.5) vyplýva, že ak X (1) ={ X 1 , X 2 , X 3 ) je vlastný vektor zodpovedajúci λ 1 = -2, teda

je kolaboratívny, ale neurčitý systém. Jeho riešenie možno zapísať ako X (1) ={ a,0,- a), kde a je ľubovoľné číslo. Najmä ak to požadujete |X (1) |=1, X (1) =

Nahradenie do systému (9.5) λ 2 = 3, dostaneme systém na určenie súradníc druhého vlastného vektora-X (2) ={ r 1 , r 2 , r 3

Lineárne transformácie súradníc. Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice, ich vlastnosti. Charakteristický polynóm matice, jeho vlastnosti.

Povieme to na množine vektorov R daný transformáciaALE , ak každý vektor X R podľa nejakého pravidla vektor ALEX R.

Definícia 9.1. transformácia ALE volal lineárne, ak pre nejaké vektory X a pri a pre akékoľvek reálne číslo λ rovnosť je splnená:

ALE(X + pri )=ALEX + Apri ,A(λX ) =λ AX . (9.1)

Definícia 9.2. Lineárna transformácia sa nazýva identické, ak transformuje ľubovoľný vektor X do seba.

Označuje sa transformácia identity JAX = X .

Zvážte trojrozmerný priestor so základňou e 1 , e 2 , e 3 , v ktorom je špecifikovaná lineárna transformácia ALE. Aplikovaním na základné vektory dostaneme vektory ALEe 1 , ALEe 2 , ALEe 3 patriace do tohto trojrozmerného priestoru. Preto môže byť každý z nich rozšírený jedinečným spôsobom, pokiaľ ide o základné vektory:

ALEe 1 = a 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

ALEe 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

ALEe 3 = a 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matrix
volal lineárna transformačná maticaALE v základe e 1 , e 2 , e 3 . Stĺpce tejto matice sú zložené z koeficientov vo vzorcoch (9.2) základnej transformácie.

Komentujte. Je zrejmé, že matricou transformácie identity je matrica identity E.

Pre ľubovoľný vektor X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 výsledok aplikovania lineárnej transformácie naň ALE bude vektor ALEX , ktoré možno rozšíriť vo vektoroch rovnakého základu: ALEX =x' 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , kde sú súradnice X` i možno nájsť pomocou vzorcov:

X` 1 = a 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 ,

x' 2 = a 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 .

Koeficienty vo vzorcoch tejto lineárnej transformácie sú prvkami riadkov matice ALE.

Lineárna transformačná maticová transformácia

pri prechode na nový základ.

Uvažujme lineárnu transformáciu A a dve bázy v trojrozmernom priestore: e 1 , napr 2 , e 3 a e 1 , e 2 , e 3 . Nech matica C definuje prechodové vzorce zo základu ( e k) k základu ( e k). Ak je v prvom z týchto základov zvolená lineárna transformácia daná maticou A a v druhom - maticou ALE, potom môžeme nájsť vzťah medzi týmito maticami, a to:

A \u003d C -1 ALE C (9,4)

naozaj,
, potom ALE
. Na druhej strane výsledky aplikovania rovnakej lineárnej transformácie ALE v základe ( e k), t.j. a v základe ( e k ): resp - spojený matricou S:
, z čoho vyplýva, že SA=ALE S. Vynásobením oboch strán tejto rovnosti naľavo S-1, dostávame S - 1 CA = = C -1 ALE S, ktorý dokazuje platnosť vzorca (9.4).

Vlastné hodnoty a vlastné vektory matice.

Definícia 9.3. Vektor X volal vlastný vektor matice ALE ak existuje také číslo λ, že platí rovnosť: ALEX = λ X , teda výsledok prihlášky do X lineárna transformácia daná maticou ALE, je vynásobenie tohto vektora číslom λ . Samotné číslo λ volal vlastné číslo matice ALE.

Nahrádzanie do vzorcov (9.3) X` j = λ X j , získame sústavu rovníc na určenie súradníc vlastného vektora:

.

. (9.5)

Tento lineárny homogénny systém bude mať netriviálne riešenie iba vtedy, ak jeho hlavný determinant je 0 (Cramerovo pravidlo). Zapísaním tejto podmienky vo forme:

dostaneme rovnicu na určenie vlastných hodnôt λ volal charakteristická rovnica. Stručne to možno znázorniť takto:

| A - λ E| = 0, (9.6)

keďže jeho ľavá strana je determinantom matice A-λE. Polynóm vzhľadom na λ | A - λ E| volal charakteristický polynóm matrice a.

Vlastnosti charakteristického polynómu:

Vlastnosti vlastných čísel a vlastných vektorov:

Ak zvolíme základ z vlastných vektorov X 1 , X 2 , X 3 zodpovedajúce vlastným hodnotám λ 1 , λ 2 , λ 3 matice ALE, potom v tomto základe má lineárna transformácia A diagonálnu maticu:

(9.7) Dôkaz tejto vlastnosti vyplýva z definície vlastných vektorov.

Ak transformácia vlastné hodnoty ALE sú rôzne, potom im zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.

Ak je charakteristický polynóm matice ALE má tri rôzne korene, potom v nejakom základe matice ALE má diagonálny tvar.

Poďme nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory matice Urobme charakteristickú rovnicu:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Nájdite súradnice vlastných vektorov zodpovedajúcich každej nájdenej hodnote λ. Z (9.5) vyplýva, že ak X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) je vlastný vektor zodpovedajúci λ 1 = -2, teda

je kolaboratívny, ale neurčitý systém. Jeho riešenie možno zapísať ako X (1) ={a,0,-a), kde a je ľubovoľné číslo. Najmä ak to požadujete | X (1) |=1,X (1) =

Nahradenie do systému (9.5) λ 2 = 3, dostaneme systém na určenie súradníc druhého vlastného vektora - X (2) ={r 1 , r 2 , r 3 }:

, kde X (2) ={b,- b, b) alebo za predpokladu | X (2) |=1,X (2) =

Pre λ 3 = 6 nájdite vlastný vektor X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={c,2 c, c) alebo v normalizovanej verzii

X (3) =
Je to vidieť X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =ac – ac = 0,X (2) X (3) =bc - 2bc + bc = 0. Vlastné vektory tejto matice sú teda párovo ortogonálne.