Vietin teorém – tento pojem pozná takmer každý zo školských čias. Je to však naozaj „známe“? V bežnom živote sa s tým stretáva málokto. Ale nie všetci, ktorí sa zaoberajú matematikou, niekedy úplne chápu hlboký zmysel a veľký význam tejto vety.

Vietov teorém značne uľahčuje proces riešenia obrovského množstva matematických problémov, ktoré nakoniec vedú k riešeniu:

Po pochopení významu takého jednoduchého a efektívneho matematického nástroja sa nedobrovoľne zamyslíme nad osobou, ktorá ho objavila ako prvá.

Slávny francúzsky vedec, ktorý začal svoju kariéru ako právnik. Ale očividne bola jeho povolaním matematika. Počas pôsobenia v kráľovských službách ako poradca sa preslávil tým, že dokázal prečítať zachytenú zašifrovanú správu od španielskeho kráľa Holandsku. To dalo francúzskemu kráľovi Henrichovi III. príležitosť vedieť o všetkých zámeroch svojich protivníkov.

Postupným oboznamovaním sa s matematickými poznatkami prišiel Francois Viet k záveru, že medzi najnovšími výskumami vtedajších „algebraistov“ a hlbokým geometrickým dedičstvom staroveku musí existovať úzka súvislosť. V priebehu vedeckého výskumu vypracoval a sformuloval takmer celú elementárnu algebru. Ako prvý zaviedol používanie doslovných hodnôt do matematického aparátu, pričom jasne rozlišoval medzi pojmami: číslo, veľkosť a ich vzťahy. Viet dokázal, že vykonávaním operácií v symbolickej forme je možné vyriešiť problém pre všeobecný prípad, pre takmer akúkoľvek hodnotu daných veličín.

Jeho výskum riešenia rovníc vyšších stupňov ako druhý viedol k vete, ktorá je dnes známa ako zovšeobecnená Vietova veta. Má veľký praktický význam a jeho aplikácia umožňuje rýchlo riešiť rovnice vyššieho rádu.

Jedna z vlastností tejto vety je nasledovná: súčin všetkých n-tých mocnín sa rovná jej konštantnému členu. Táto vlastnosť sa často používa pri riešení rovníc tretieho alebo štvrtého stupňa, aby sa zmenšil rád polynómu. Ak má polynóm n-tého stupňa celočíselné korene, potom ich možno ľahko určiť jednoduchým výberom. A potom po vydelení polynómu výrazom (x-x1) dostaneme polynóm (n-1)-tý stupeň.

Na záver by som rád poznamenal, že Vietova veta je jednou z najznámejších teorém kurzu školskej algebry. A jeho meno zaujíma dôstojné miesto medzi menami veľkých matematikov.

V matematike existujú špeciálne triky, s ktorými sa mnohé kvadratické rovnice riešia veľmi rýchlo a bez akýchkoľvek diskriminantov. Navyše, s riadnym tréningom, mnohí začnú riešiť kvadratické rovnice slovne, doslova „na prvý pohľad“.

Bohužiaľ, v modernom kurze školskej matematiky sa takéto technológie takmer neštudujú. A musíte vedieť! A dnes zvážime jednu z týchto techník - Vietovu vetu. Najprv si predstavme novú definíciu.

Kvadratická rovnica tvaru x 2 + bx + c = 0 sa nazýva redukovaná. Upozorňujeme, že koeficient na x 2 sa rovná 1. Neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia pre koeficienty.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - tiež znížené;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ale to nie je nič znížené, pretože koeficient pri x 2 je 2.

Samozrejme, ľubovoľnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + bx + c = 0 je možné redukovať - ​​stačí vydeliť všetky koeficienty číslom a. Môžeme to urobiť vždy, pretože z definície kvadratickej rovnice vyplýva, že a ≠ 0.

Je pravda, že tieto transformácie nebudú vždy užitočné pri hľadaní koreňov. O niečo nižšie sa uistíme, že by sa to malo robiť iba vtedy, keď sú všetky koeficienty v konečnej druhej mocnine rovnice celé čísla. Zatiaľ sa pozrime na niekoľko jednoduchých príkladov:

Úloha. Previesť kvadratickú rovnicu na redukovanú:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Vydeľme každú rovnicu koeficientom premennej x 2 . Dostaneme:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - všetko delené 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - delené −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - delené 1,5, všetky koeficienty sa stali celými číslami;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - delené 2. V tomto prípade vznikli zlomkové koeficienty.

Ako vidíte, dané kvadratické rovnice môžu mať celočíselné koeficienty, aj keď pôvodná rovnica obsahovala zlomky.

Teraz formulujeme hlavnú vetu, pre ktorú bol v skutočnosti zavedený koncept redukovanej kvadratickej rovnice:

Vietov teorém. Zvážte redukovanú kvadratickú rovnicu tvaru x 2 + bx + c \u003d 0. Predpokladajme, že táto rovnica má skutočné korene x 1 a x 2. V tomto prípade sú pravdivé nasledujúce tvrdenia:

1. x1 + x2 = −b. Inými slovami, súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu premennej x s opačným znamienkom;
2. x 1 x 2 = c. Súčin koreňov kvadratickej rovnice sa rovná voľnému koeficientu.

Príklady. Pre jednoduchosť budeme brať do úvahy iba dané kvadratické rovnice, ktoré nevyžadujú ďalšie transformácie:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korene: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korene: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korene: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietova veta nám dáva ďalšie informácie o koreňoch kvadratickej rovnice. Na prvý pohľad sa to môže zdať komplikované, ale aj s minimálnym tréningom sa naučíte „vidieť“ korene a doslova ich uhádnuť v priebehu niekoľkých sekúnd.

Úloha. Vyriešte kvadratickú rovnicu:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12 x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Skúsme si zapísať koeficienty podľa Vietovej vety a „uhádnuť“ korene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica.
   Podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Je ľahké vidieť, že korene sú čísla 2 a 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - tiež znížené.
   Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Preto korene: 3 a 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - táto rovnica nie je redukovaná. Teraz to však napravíme vydelením oboch strán rovnice koeficientom a \u003d 3. Dostaneme: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Riešime podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korene: −10 a −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opäť koeficient pri x 2 sa nerovná 1, t.j. rovnica nie je daná. Všetko vydelíme číslom a = −7. Dostaneme: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; z týchto rovníc je ľahké uhádnuť korene: 5 a 6.

Z vyššie uvedenej úvahy je vidieť, ako Vietova veta zjednodušuje riešenie kvadratických rovníc. Žiadne zložité výpočty, žiadne aritmetické korene a zlomky. A dokonca ani diskriminant (pozri lekciu „Riešenie kvadratických rovníc“) sme nepotrebovali.

Samozrejme, pri všetkých úvahách sme vychádzali z dvoch dôležitých predpokladov, ktoré sa vo všeobecnosti nie vždy v reálnych problémoch napĺňajú:

1. Kvadratická rovnica sa redukuje, t.j. koeficient pri x 2 je 1;
2. Rovnica má dva rôzne korene. Z hľadiska algebry je v tomto prípade diskriminant D > 0 - v skutočnosti spočiatku predpokladáme, že táto nerovnosť je pravdivá.

V typických matematických úlohách sú však tieto podmienky splnené. Ak sa v dôsledku výpočtov získa „zlá“ kvadratická rovnica (koeficient na x 2 sa líši od 1), dá sa to ľahko opraviť - pozrite si príklady na samom začiatku hodiny. O koreňoch vo všeobecnosti mlčím: čo je to za úlohu, na ktorú neexistuje odpoveď? Samozrejme tam budú korene.

Všeobecná schéma riešenia kvadratických rovníc podľa Vietovej vety je teda nasledovná:

1. Znížte kvadratickú rovnicu na danú, ak to už nebolo urobené v podmienkach úlohy;
2. Ak sa koeficienty vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici ukázali ako zlomkové, riešime cez diskriminant. Môžete sa dokonca vrátiť k pôvodnej rovnici a pracovať s „pohodlnejšími“ číslami;
3. V prípade celočíselných koeficientov riešime rovnicu pomocou Vietovej vety;
4. Ak v priebehu niekoľkých sekúnd nebolo možné uhádnuť korene, skórujeme podľa Vietovej vety a riešime cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Takže máme rovnicu, ktorá nie je redukovaná, pretože koeficient a \u003d 5. Vydeľte všetko 5, dostaneme: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Všetky koeficienty kvadratickej rovnice sú celočíselné - skúsme vyriešiť pomocou Vietovej vety. Máme: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. V tomto prípade sa korene dajú ľahko uhádnuť - sú to 2 a 5. Nemusíte počítať cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Pozeráme: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - táto rovnica nie je redukovaná, obe strany vydelíme koeficientom a = -5. Dostaneme: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - rovnica s zlomkovými koeficientmi.

Je lepšie vrátiť sa k pôvodnej rovnici a počítať cez diskriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0,4.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Na začiatok všetko vydelíme koeficientom a \u003d 2. Dostaneme rovnicu x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Toto je redukovaná rovnica, podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. V tomto prípade je ťažké uhádnuť korene kvadratickej rovnice - osobne som pri riešení tohto problému vážne "zamrzol".

Korene budeme musieť hľadať cez diskriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ak si nepamätáte koreň diskriminantu, tak len poznamenám, že 1225: 25 = 49. Preto 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Teraz, keď je známy koreň diskriminantu, riešenie rovnice nie je ťažké. Získame: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Predtým, ako pristúpime k Vietovej vete, zavedieme definíciu. Kvadratická rovnica tvaru X² + px + q= 0 sa nazýva redukovaný. V tejto rovnici sa vodiaci koeficient rovná jednej. Napríklad rovnica X² - 3 X- 4 = 0 sa zníži. Ľubovoľná kvadratická rovnica tvaru sekera² + b X + c= 0 možno znížiť, preto obe strany rovnice vydelíme a≠ 0. Napríklad rovnica 4 X² + 4 X- 3 \u003d 0 delené 4 sa zníži na tvar: X² + X- 3/4 = 0. Odvodíme vzorec pre korene danej kvadratickej rovnice, na to použijeme vzorec pre korene všeobecnej kvadratickej rovnice: sekera² + bx + c = 0

Redukovaná rovnica X² + px + q= 0 sa zhoduje so všeobecnou rovnicou, v ktorej a = 1, b = p, c = q. Preto pre danú kvadratickú rovnicu má vzorec tvar:

posledný výraz sa nazýva vzorec koreňov redukovanej kvadratickej rovnice, je obzvlášť vhodné použiť tento vzorec, keď R- párne číslo. Napríklad vyriešme rovnicu X² - 14 X — 15 = 0

Ako odpoveď napíšeme, že rovnica má dva korene.

Pre redukovanú kvadratickú rovnicu s kladnou hodnotou platí nasledujúca veta.

Vietov teorém

Ak X 1 a X 2 - korene rovnice X² + px + q= 0, potom sú vzorce platné:

X 1 + X 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, to znamená, že súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Na základe vzorca koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice máme:

Pridaním týchto rovností dostaneme: X 1 + X 2 = —R.

Vynásobením týchto rovníc pomocou vzorca rozdielu štvorcov dostaneme:

Všimnite si, že Vietova veta platí aj vtedy, keď je diskriminant nulový, ak predpokladáme, že v tomto prípade má kvadratická rovnica dva rovnaké korene: X 1 = X 2 = — R/2.

Neriešenie rovníc X² - 13 X+ 30 = 0 nájdite súčet a súčin jeho koreňov X 1 a X 2. túto rovnicu D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, takže môžete použiť vetu Vieta: X 1 + X 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Zvážte niekoľko ďalších príkladov. Jeden z koreňov rovnice X² — px- 12 = 0 je X 1 = 4. Nájdite koeficient R a druhý koreň X 2 tejto rovnice. Podľa Vietovej vety x 1 * x 2 =— 12, X 1 + X 2 = — R. Ako X 1 = 4, potom 4 X 2 = - 12, odkiaľ X 2 = — 3, R = — (X 1 + X 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Ako odpoveď zapíšeme druhý koreň X 2 = - 3, koeficient p = - 1.

Neriešenie rovníc X² + 2 X- 4 = 0 nájdite súčet druhých mocnín jeho koreňov. Nechať byť X 1 a X 2 sú korene rovnice. Podľa Vietovej vety X 1 + X 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Ako X 1²+ X 2² = ( X 1 + X 2)² - 2 X 1 X 2 potom X 1²+ X 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Nájdite súčet a súčin koreňov rovnice 3 X² + 4 X- 5 \u003d 0. Táto rovnica má dva rôzne korene, pretože diskriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Na vyriešenie rovnice použijeme Vietovu vetu. Táto veta bola dokázaná pre redukovanú kvadratickú rovnicu. Rozdeľme teda túto rovnicu 3.

Preto je súčet koreňov -4/3 a ich súčin je -5/3.

Vo všeobecnosti korene rovnice sekera² + b X + c= 0 súvisí s nasledujúcimi rovnosťami: X 1 + X 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Na získanie týchto vzorcov stačí vydeliť obe strany tejto kvadratickej rovnice a ≠ 0 a aplikovať Vietovu vetu na výslednú redukovanú kvadratickú rovnicu. Zoberme si príklad, musíte zostaviť danú kvadratickú rovnicu, ktorej korene X 1 = 3, X 2 = 4. Ako X 1 = 3, X 2 = 4 sú koreňmi kvadratickej rovnice X² + px + q= 0, potom podľa Vietovej vety R = — (X 1 + X 2) = — 7, q = X 1 X 2 = 12. Ako odpoveď píšeme X² - 7 X+ 12 = 0. Nasledujúca veta sa používa pri riešení niektorých problémov.

Veta inverzná k Vietovej vete

Ak čísla R, q, X 1 , X 2 sú také, že X 1 + X 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, potom x 1 a x2 sú korene rovnice X² + px + q= 0. Striedajte na ľavej strane X² + px + q namiesto R výraz - ( X 1 + X 2), ale namiesto toho q- práca x 1 * x 2. Dostaneme: X² + px + q = X² — ( X 1 + X 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Ak teda čísla R, q, X 1 a X 2 súvisia týmito vzťahmi, teda pre všetkých X rovnosť X² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), z čoho vyplýva, že X 1 a X 2 - korene rovnice X² + px + q= 0. Použitím vety konverznej k Vietovej vete je niekedy možné nájsť korene kvadratickej rovnice výberom. Zvážte príklad, X² - 5 X+ 6 = 0. Tu R = — 5, q= 6. Vyberte dve čísla X 1 a X 2 tak, že X 1 + X 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Ak si všimneme, že 6 = 2 * 3 a 2 + 3 = 5, keď veta konvertuje na Vietovu vetu, dostaneme, že X 1 = 2, X 2 = 3 - korene rovnice X² - 5 X + 6 = 0.

Vietov teorém sa často používa na testovanie už nájdených koreňov. Ak ste našli korene, môžete použiť vzorce \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) na výpočet hodnôt \(p\ ) a \(q\ ). A ak sa ukáže, že sú rovnaké ako v pôvodnej rovnici, korene sa nájdu správne.

Použime napríklad , vyriešme rovnicu \(x^2+x-56=0\) a získajme korene: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Skontrolujme, či sme v procese riešenia neurobili chybu. V našom prípade \(p=1\) a \(q=-56\). Podľa Vietovej vety máme:

\(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\koniec (prípadov)\) \(\šípka doľava doprava\) \(\začiatok(prípady)-1=-1\\-56=-56\koniec (prípady)\ )

Obidva výroky konvergovali, čo znamená, že rovnicu sme vyriešili správne.

Tento test je možné vykonať ústne. Bude to trvať 5 sekúnd a ušetrí vás to od hlúpych chýb.

Inverzná Vieta veta

Ak \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\koniec(prípady)\), potom \(x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi kvadratickej rovnice \ (x^ 2+px+q=0\).

Alebo jednoduchým spôsobom: ak máte rovnicu v tvare \(x^2+px+q=0\), tak vyriešením sústavy \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) nájdete jeho korene.

Vďaka tejto vete môžete rýchlo nájsť korene kvadratickej rovnice, najmä ak sú tieto korene . Táto zručnosť je dôležitá, pretože šetrí veľa času.

Príklad . Vyriešte rovnicu \(x^2-5x+6=0\).

rozhodnutie : Pomocou inverznej Vietovej vety dostaneme, že korene spĺňajú podmienky: \(\začiatok(prípady)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\koniec(prípady)\).
Pozrite sa na druhú rovnicu systému \(x_1 \cdot x_2=6\). Na aké dve sa dá rozložiť číslo \(6\)? Na \(2\) a \(3\), \(6\) a \(1\) alebo \(-2\) a \(-3\) a \(-6\) a \(- jeden\). A ktorý pár si vybrať, prvá rovnica systému povie: \(x_1+x_2=5\). \(2\) a \(3\) sú podobné, pretože \(2+3=5\).
Odpoveď : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Príklady . Pomocou inverznej hodnoty Vietovej vety nájdite korene kvadratickej rovnice:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

rozhodnutie :
a) \(x^2-15x+14=0\) - na aké faktory sa \(14\) rozkladá? \(2\) a \(7\), \(-2\) a \(-7\), \(-1\) a \(-14\), \(1\) a \(14\ ). Aké dvojice čísel tvoria \(15\)? Odpoveď: \(1\) a \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(-4\)? \(-2\) a \(2\), \(4\) a \(-1\), \(1\) a \(-4\). Aké dvojice čísel tvoria \(-3\)? Odpoveď: \(1\) a \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – na aké faktory sa rozkladá \(20\)? \(4\) a \(5\), \(-4\) a \(-5\), \(2\) a \(10\), \(-2\) a \(-10\ ), \(-20\) a \(-1\), \(20\) a \(1\). Aké dvojice čísel tvoria \(-9\)? Odpoveď: \(-4\) a \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - na aké faktory sa rozkladá \(780\)? \(390\) a \(2\). Súčet je \(88\)? nie Aké ďalšie multiplikátory má \(780\)? \(78\) a \(10\). Súčet je \(88\)? Áno. Odpoveď: \(78\) a \(10\).

Nie je potrebné rozkladať posledný člen na všetky možné faktory (ako v poslednom príklade). Môžete okamžite skontrolovať, či ich súčet dáva \(-p\).

Dôležité! Vietova veta a opačná veta pracujú iba s , teda s takou, ktorej koeficient pred \(x^2\) sa rovná jednej. Ak máme na začiatku neredukovanú rovnicu, môžeme ju zredukovať jednoduchým delením koeficientom pred \ (x ^ 2 \).

napríklad, nech je daná rovnica \(2x^2-4x-6=0\) a chceme použiť jednu z Vietových viet. Ale nemôžeme, pretože koeficient pred \(x^2\) sa rovná \(2\). Zbavme sa toho tak, že celú rovnicu vydelíme \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Pripravený. Teraz môžeme použiť obe vety.

Odpovede na často kladené otázky

otázka: Vietovou vetou dokážete vyriešiť akýkoľvek ?
odpoveď: Bohužiaľ nie. Ak v rovnici nie sú celé čísla alebo rovnica nemá žiadne korene, potom Vietova veta nepomôže. V tomto prípade musíte použiť diskriminačný . Našťastie 80% rovníc v školskom kurze matematiky má celočíselné riešenia.