snímka 2
a2+b2=c2 c a b P
snímka 3
Pytagoras túto vlastnosť pravouhlého trojuholníka neobjavil, bol pravdepodobne prvým, kto ju zovšeobecnil a dokázal, čím ju preniesol z oblasti praxe do oblasti vedy. Ako sa mu to podarilo, nevieme. Predpokladá sa, že Pytagorasov dôkaz však nebol zásadný, ale iba potvrdenie, overenie tejto vlastnosti na množstve konkrétnych typov trojuholníkov, počnúc rovnoramenným pravouhlým trojuholníkom, pre ktorý zrejme vyplýva z obr. jeden.
snímka 4
snímka 5
Dôkazy založené na použití konceptu rovnakej oblasti čísel.
snímka 6
Je jasné, že ak od plochy štvorca odpočítame štvornásobnú plochu pravouhlého trojuholníka s nohami a, b, zostanú rovnaké plochy, t.j. c2 = a2 + b2. Starovekí hinduisti, ktorým táto úvaha patrí, ju však zvyčajne nezapísali, ale sprevádzali kresbu iba jedným slovom: „pozri! Je celkom možné, že rovnaký dôkaz ponúkol aj Pytagoras.
Snímka 7
aditívny dôkaz. Tieto dôkazy sú založené na rozklade štvorcov postavených na nohách na figúry, z ktorých je možné pridať štvorec postavený na prepone. Einsteinov dôkaz (obr. 3) je založený na rozklade štvorca postaveného na prepone na 8 trojuholníkov.
Snímka 8
Na obr. 4 ukazuje dôkaz Pytagorovej vety pomocou rozdelenia al-Nairiziya, stredovekého bagdadského komentátora Euklidových „Začiatkov“. V tejto priečke je štvorec postavený na prepone rozdelený na 3 trojuholníky a 2 štvoruholníky. Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; DE = BF. Dokážte vetu pomocou tohto oddielu. D E
Snímka 9
Dôkazy metódou rozšírenia. Podstata tejto metódy spočíva v tom, že k štvorcom postaveným na nohách a k štvorcu postavenému na prepone sa pripájajú rovnaké čísla tak, aby sa získali rovnako veľké čísla.
Snímka 10
Platnosť Pytagorovej vety vyplýva z rovnakej veľkosti šesťuholníkov AEDFPB a ACBNMQ. F
snímka 11
Na obr. 13 ABC - pravouhlý, C - pravý uhol, CM AB, b1 - priemet nohy b na preponu, a1 - priemet nohy a na preponu, h - výška trojuholníka ťahaného do prepony. Keďže ABC je podobné ACM, z toho vyplýva, že b2 = c*b1; (1) keďže ABC je podobné BCM, z toho vyplýva, že a2 = c*a1. (2) Sčítaním rovnosti (1) a (2) člen po člene dostaneme a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b
snímka 12
Na obrázku 15 tvoria tri pravouhlé trojuholníky lichobežník. Preto možno plochu tohto obrázku nájsť podľa vzorca pre oblasť pravouhlého lichobežníka alebo ako súčet plôch troch trojuholníkov. Garfieldov dôkaz.
snímka 13
Životopis Pytagoras. Veľký vedec Pytagoras sa narodil okolo roku 570 pred Kristom. na ostrove Samos. Pytagorasov otec bol Mnesarchos, rezbár drahokamov. Meno Pytagorasovej matky nie je známe. Podľa mnohých starodávnych svedectiev bol narodený chlapec rozprávkovo pekný a čoskoro ukázal svoje vynikajúce schopnosti. Medzi učiteľmi mladého Pytagora boli starší Germodamant a Pherekides zo Syrosu. Mladý Pytagoras trávil celé dni pri nohách staršieho Herma a počúval melódie cithary a Homérových hexametrov. Vášeň pre hudbu a poéziu veľkého Homéra si Pytagoras zachoval po celý život. A ako uznávaný mudrc, obklopený davom študentov, Pytagoras začal deň spievaním jednej z Homérových piesní. Pherecydes bol filozof a bol považovaný za zakladateľa talianskej filozofickej školy. Nech je to však akokoľvek, nepokojná fantázia mladého Pytagora sa čoskoro naplnila malým Samosom a on odchádza do Milétu, kde sa stretáva s ďalším vedcom Thalesom. Thales mu radí, aby išiel za poznaním do Egypta, čo Pytagoras urobil. V roku 548 pred Kr Pytagoras dorazil do Navcratis, kolónie Samian, kde mal niekto nájsť prístrešie a jedlo.
Snímka 14
Po štúdiu jazyka a náboženstva Egypťanov odchádza do Memphisu. Napriek odporúčaciemu listu faraóna sa prefíkaní kňazi neponáhľali odhaliť svoje tajomstvá Pytagorasovi a ponúkali mu ťažké skúšky. Ale Pytagoras, hnaný smädom po poznaní, ich všetkých premohol, hoci podľa vykopávok ho egyptskí kňazi veľa naučiť nemohli, pretože. v tom čase bola egyptská geometria čisto aplikovanou vedou (uspokojujúcou vtedajšiu potrebu počítania a merania pôdy). Preto, keď sa dozvedel všetko, čo mu kňazi dali, po úteku od nich sa presťahoval do svojej vlasti v Hellase. Po prejdení časti cesty sa však Pytagoras rozhodne pre pozemnú cestu, počas ktorej ho zajal Kambýses, babylonský kráľ, ktorý mieril domov. Život Pytagora v Babylone nie je potrebné dramatizovať, pretože veľký vládca Kýros bol tolerantný ku všetkým zajatcom. Babylonská matematika bola nepopierateľne pokročilejšia (príkladom toho je pozičný systém počtu) ako egyptská a Pytagoras sa musel veľa učiť. Ale v roku 530 pred Kr. Cyrus sa vydal na ťaženie proti kmeňom v Strednej Ázii. A Pytagoras, ktorý využil rozruch v meste, utiekol do svojej vlasti.
snímka 15
A na Samose v tom čase vládol tyran Polykrates. Samozrejme, Pytagoras nebol spokojný so životom dvorného polootroka a utiahol sa do jaskýň v okolí Samosu. Po niekoľkých mesiacoch nárokov od Polykrata sa Pytagoras presťahuje do Krotónu. V Krotóne založil Pytagoras niečo ako nábožensko-etické bratstvo alebo tajný mníšsky rád („pytagorejci“), ktorých členovia boli povinní viesť takzvaný pytagorejský spôsob života. Zároveň to bola náboženská únia, politický klub a vedecká spoločnosť. Treba povedať, že niektoré princípy, ktoré hlásal Pytagoras, sú hodné napodobňovania aj teraz. ...Je to už 20 rokov. Sláva bratstva sa rozšírila po celom svete. Jedného dňa príde za Pytagorasom Cylon, bohatý, ale zlý muž, ktorý sa chce v opitosti pripojiť k bratstvu. Keď bol Cylon odmietnutý, začína boj s Pytagorasom, pričom využíva podpaľačstvo jeho domu. Počas požiaru Pytagoriáni na vlastné náklady zachránili život svojmu učiteľovi, po čom Pytagorasovi prepadla túžba po domove a čoskoro spáchal samovraždu.
Zobraziť všetky snímky
"Dôkazy Pytagorovej vety" Prácu vypracovala študentka skupiny 8-1,2 Ekaterina Kuzakova Obsah: Úvod Biografia Pytagorovej vety Pytagorova veta Dôkazy Pytagorovej vety o "trojiciach" Zoznam použitej literatúry História vety. Staroveká Čína Začnime náš historický prehľad starovekou Čínou. Tu priťahuje zvláštnu pozornosť matematická kniha Chu-pei. Táto esej hovorí o Pytagorovom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5 toto: „Ak sa pravý uhol rozloží na jednotlivé časti, potom čiara spájajúca konce jeho strán bude 5, keď základňa je 3, a výška je 4." V tej istej knihe je navrhnutý výkres, ktorý sa zhoduje s jedným z výkresov hinduistickej geometrie Bashara. Staroveký Egypt Kantor (najväčší nemecký historik matematiky) verí, že rovnosť 3² + 4² = 5² poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. za čias kráľa Amenemheta I. (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea) Podľa Cantora harpedonapty alebo „napínače strún“ stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5. veľmi ľahko reprodukovateľný spôsob ich konštrukcie. Vezmite lano dlhé 12 m a priviažte ho k nemu pozdĺž farebného pruhu vo vzdialenosti 3 m. z jedného konca a 4 metre od druhého. Medzi stranami s dĺžkou 3 a 4 metre bude uzavretý pravý uhol. Staroveký Babylon Medzi Babylončanmi je o Pytagorovej vete známe niečo viac. V jednom texte siahajúcom do doby Hammurabiho, t.j. do roku 2000 pred Kristom. e. je uvedený približný výpočet prepony pravouhlého trojuholníka. Z toho môžeme usúdiť, že v Mezopotámii boli schopní vykonávať výpočty s pravouhlými trojuholníkmi, aspoň v niektorých prípadoch. Geometria starovekej Indie medzi Hindmi, ako aj medzi Egypťanmi a Babylončanmi bola úzko spätá s kultom. Je veľmi pravdepodobné, že veta o prepone so štvorcom bola známa už v Indii okolo 18. storočia pred naším letopočtom. e. Životopis Pytagoras Veľký vedec Pythagoras sa narodil okolo roku 570 pred Kristom. na ostrove Samos. Pytagorasov otec bol Mnesarchos, rezbár drahokamov. Meno Pytagorasovej matky nie je známe. Podľa mnohých starodávnych svedectiev bol narodený chlapec rozprávkovo pekný a čoskoro ukázal svoje vynikajúce schopnosti. Vášeň pre hudbu a poéziu veľkého Homéra si Pytagoras zachoval po celý život. Čoskoro sa nepokojná predstavivosť mladého Pytagorasa naplnila malým Samosom a odchádza do Milétu, kde sa stretáva s ďalším vedcom Thalesom. Potom sa vydá na cestu a je zajatý babylonským kráľom Kýrom. V roku 530 pred Kr. Cyrus sa vydal na ťaženie proti kmeňom v Strednej Ázii. A Pytagoras, ktorý využil rozruch v meste, utiekol do svojej vlasti. A na Samose v tom čase vládol tyran Polykrates. Po niekoľkých mesiacoch nárokov od Polykrata sa Pytagoras presťahuje do Krotónu. V Krotóne založil Pytagoras niečo ako nábožensko-etické bratstvo alebo tajný mníšsky rád („pytagorejci“), ktorých členovia boli povinní viesť takzvaný pytagorejský spôsob života. ...Je to už 20 rokov. Sláva bratstva sa rozšírila po celom svete. Jedného dňa príde za Pytagorasom Cylon, bohatý, ale zlý muž, ktorý sa chce v opitosti pripojiť k bratstvu. Keď bol Cylon odmietnutý, začína boj s Pytagorasom, pričom využíva podpaľačstvo jeho domu. Počas požiaru Pytagoriáni na vlastné náklady zachránili život svojmu učiteľovi, po čom Pytagorasovi prepadla túžba po domove a čoskoro spáchal samovraždu. Pytagorova veta V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh. Iné formulácie vety. V Euklidovi táto veta znie (doslovný preklad): "V pravouhlom trojuholníku sa štvorec strany natiahnutej cez pravý uhol rovná štvorcom na stranách, ktoré zvierajú pravý uhol." V Geometria Culmonensis (približne 1400) v preklade veta znie takto: „Takže plocha štvorca, meraná pozdĺž dlhej strany, je taká veľká ako plocha dvoch štvorcov, ktoré sú merané na dvoch jeho stranách. vedľa pravého uhla." Dôkazy Pytagorovej vety Najjednoduchší dôkaz. Najjednoduchší dôkaz vety získame v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Skutočne, stačí sa len pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že veta je pravdivá. Napríklad pre trojuholník ABC: štvorec postavený na prepone AC obsahuje 4 počiatočné trojuholníky a štvorce postavené na nohách obsahujú dva. Dôkaz rozkladovou metódou. Epsteinov dôkaz Začneme Epsteinovým dôkazom; jeho výhodou je, že tu vystupujú ako zložky rozkladu iba trojuholníky. Aby ste pochopili kresbu, všimnite si, že čiara CD je nakreslená kolmo na čiaru EF. Dôkaz. 1. 2. 3. 4. Nakreslite čiaru EF obsahujúcu uhlopriečky dvoch štvorcov postavených na ramenách trojuholníka a nakreslite čiaru CD kolmú na EF cez vrchol pravého uhla trojuholníka. Od bodov A a B Predĺžte strany štvorca postaveného na prepone trojuholníka k priesečníku s EF. Body získané na priamke EF spojíme s opačnými vrcholmi štvorca a získame párovo rovnaké trojuholníky. Všimnite si, že čiara CD rozdeľuje väčší štvorec na dva rovnaké pravouhlé lichobežníky, ktoré možno rozdeliť na trojuholníky, ktoré tvoria štvorce na nohách.A dostaneme štvorec so stranou rovnou prepone trojuholníka. Veta bola dokázaná. Nielsenov dôkaz. 1. Predĺžime stranu AB štvorca postaveného na prepone trojuholníka. 2. Zostrojte priamku EF rovnobežnú s BC. 3. Zostrojte priamku FH rovnobežnú s AB. 4. Zostrojte priamku z bodu D rovnobežnú s CH. 5. Zostrojte priamku z bodu A rovnobežnú s CG 6. Nakreslite úsečku MN rovnobežnú s CH 7. Pretože všetky čísla získané vo väčšom trojuholníku sa rovnajú číslam v štvorcoch postavených na nohách, potom plocha štvorec na prepone sa rovná súčtu plôch štvorcov na nohách. Veta bola dokázaná. F E H C B M N G A D Betkerov dôkaz. 1. 2. 3. Narysujme si priamku, na ktorej ležia uhlopriečky štvorcov postavené na ramenách trojuholníka a na túto priamku pustme rovnobežné úsečky z vrcholov štvorcov. Usporiadajme veľké a malé časti štvorcov umiestnených nad osou. Rozdeľme výsledný obrazec, ako je znázornené na obrázku, a usporiadame ich tak, aby sme dostali štvorec, ktorého strana sa rovná prepone trojuholníka. Veta bola dokázaná. Dôkaz komplementovou metódou. Od dvoch rovnakých plôch sa musia odpočítať rovnaké časti, takže v jednom prípade sú dva štvorce postavené na nohách a v druhom štvorec postavený na prepone. Na obr. Trojuholníky 2 a 3, ktoré sa rovnajú pôvodnému trojuholníku 1, sú pripojené hore a dole k obyčajnej pytagorejskej figúre. Čiara DG bude nevyhnutne prechádzať cez C. Teraz si všimneme (dokážeme to neskôr), že šesťuholníky DABGFE a CAJKHB sú rovnaké . Ak od prvého z nich odčítame trojuholníky 1 a 2, zostanú štvorce postavené na nohách a ak od druhého šesťuholníka odpočítame rovnaké trojuholníky 1 a 3, zostane štvorec postavený na prepone. To znamená, že štvorec postavený na prepone sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách. Zostáva dokázať, že naše šesťuholníky sú rovnaké. Všimnite si, že čiara DG rozdeľuje horný šesťuholník na rovnaké časti; to isté možno povedať o priamke CK a dolnom šesťuholníku. Otočte štvoruholník DABG, ktorý je polovicou šesťuholníka DABGFE, okolo bodu A v smere hodinových ručičiek o uhol 90; potom sa bude zhodovať so štvoruholníkom CAJK, čo je polovica šesťuholníka CAJKHB. Preto sú šesťuholníky DABGFE a CAJKHB rovnaké. Veta bola dokázaná. Dôkaz odčítaním. Zoznámime sa s ďalším dôkazom metódou odčítania. Známy nákres Pytagorovej vety prikladáme do obdĺžnikového rámu, ktorého smery strán sa zhodujú so smermi nôh trojuholníka. Pokračujme v niektorých segmentoch obrázku, ako je znázornené na obrázku, zatiaľ čo obdĺžnik sa rozpadne na niekoľko trojuholníkov, obdĺžnikov a štvorcov. Najprv odoberme niekoľko častí z obdĺžnika tak, aby zostal iba štvorec postavený na prepone. Tieto časti sú nasledovné: 1. 2. 3. 4. trojuholníky 1, 2, 3, 4; obdĺžnik 5; obdĺžnik 6 a štvorec 8; obdĺžnik 7 a štvorec 9; 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Potom časti z obdĺžnika vyhodíme tak, aby zostali len štvorce postavené na nožičkách. Tieto časti budú: obdĺžniky 6 a 7; obdĺžnik 5; obdĺžnik 1 (tieňovaný); obdĺžnik 2 (tieňovaný); Zostáva nám len ukázať, že odčítané časti sú rovnaké. To je dobre vidieť vďaka usporiadaniu figúrok. Z obrázku je zrejmé, že: obdĺžnik 5 má rovnakú veľkosť; štyri trojuholníky 1,2,3,4 sa svojou plochou rovnajú dvom obdĺžnikom 6 a 7; obdĺžnik 6 a štvorec 8 spolu majú rovnakú veľkosť ako obdĺžnik 1 (tieňované); obdĺžnik 7 spolu so štvorcom 9 majú rovnakú plochu ako obdĺžnik 2 (šrafované); Veta je dokázaná Pytagorove "trojky" V Pytagoriovej škole sa podrobne študovali aj takzvané pytagorejské trojky prirodzených čísel. Ide o čísla, v ktorých sa druhá mocnina jedného čísla rovná súčtu druhých mocnín ostatných dvoch. To znamená, pre ktoré platí rovnosť a 2 + b 2 \u003d c 2 (a, b, c sú prirodzené čísla) Sú to napríklad čísla 3, 4, 5. Všetky trojice pytagorovských čísel môžu byť získame podľa vzorcov: +1 b=2n (n+1) c=2n 2 +2n , kde n je prirodzené číslo Zoznam použitej literatúry. Stránky na internete: http://th-pif.narod.ru/dopoln.htm http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm
snímka 1
Pytagorova veta
Pravda zostane večná, len čo ju spozná slabý človek! A teraz veta Pythagorasa Verna, ako v jeho vzdialenom veku.
snímka 2
Tvrdenie vety Dôkazy vety Význam Pytagorovej vety
snímka 3
Vyhlásenie vety
"Dokážte, že štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách" "Plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch zo štvorcov postavených na nohách.“
Za čias Pytagora znela veta takto:
snímka 4
Moderné znenie
"V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh."
snímka 5
Dôkazy vety
Existuje asi 500 rôznych dôkazov tejto vety (geometrické, algebraické, mechanické atď.).
snímka 6
Najjednoduchší dôkaz
Zvážte štvorec znázornený na obrázku. Strana štvorca je a + c.
Snímka 7
V jednom prípade (vľavo) je štvorec rozdelený na štvorec so stranou b a štyri pravouhlé trojuholníky s nohami a a c.
V inom prípade (vpravo) je štvorec rozdelený na dva štvorce so stranami a a c a štyri pravouhlé trojuholníky s nohami a a c.
Dostaneme teda, že plocha štvorca so stranou b sa rovná súčtu plôch štvorcov so stranami a a c.
Snímka 8
Euklidov dôkaz
Dané: ABC-pravý trojuholník Dokážte: SABDE=SACFG+SBCHI
Snímka 9
dôkaz:
Nech ABDE je štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka ABC a ACFG a BCHI sú štvorce postavené na jeho nohách. Pustime kolmicu CP z vrcholu C pravého uhla na preponu a pokračujeme v nej, až kým sa nepretne so stranou DE štvorca ABDE v bode Q; spojte body C a E, B a G.
Snímka 10
Je zrejmé, že uhly CAE=GAB(=A+90°); z toho vyplýva, že trojuholníky ACE a AGB (na obrázku vytieňované) sú si navzájom rovné (na dvoch stranách a uhol medzi nimi). Ďalej porovnajte trojuholník ACE a obdĺžnik PQEA; majú spoločnú základňu AE a výšku AP klesajúcu na túto základňu, teda SPQEA=2SACE Podobne štvorec FCAG a trojuholník BAG majú spoločnú základňu GA a nadmorskú výšku AC; takže SFCAG=2SGAB
Odtiaľ a z rovnosti trojuholníkov ACE a GBA nasleduje rovnaká plocha obdĺžnika QPBD a štvorca CFGA; podobne je dokázaná rovnaká plocha obdĺžnika QPAE a štvorca CHIB. A odtiaľto vyplýva, že druhá mocnina ABDE sa rovná súčtu štvorcov ACFG a BCHI, t.j. Pytagorova veta.
snímka 11
Algebraický dôkaz
Dané: ABC-pravý trojuholník Dokážte: AB2=AC2+BC2
Dôkaz: 1) Nakreslite výšku CD z vrcholu pravého uhla C. 2) Podľa definície kosínusu uhla cosA=AD/AC=AC/AB to znamená AB*AD=AC2. 3) Podobne cosB=BD/BC=BC/AB, teda AB*BD=BC2. 4) Sčítaním výsledných rovníc člen po člene dostaneme: AC2+BC2=AB*(AD + DB) AB2=AC2+BC2. Q.E.D.
snímka 12
geometrický dôkaz
Dané: ABC-pravý trojuholník Dokážte: BC2=AB2+AC2
Dôkaz: 1) Zostrojte úsečku CD rovnú úsečke AB na predĺžení ramena AC pravouhlého trojuholníka ABC. Potom znížime kolmicu ED na úsečku AD, ktorá sa rovná úsečke AC, spojíme body B a E. 2) Oblasť obrázku ABED možno nájsť, ak ju považujeme za súčet plôch troch trojuholníkov :
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Obrázok ABED je lichobežník, takže jeho plocha je: SABED= (DE+AB)*AD/2. 4) Ak zrovnáme ľavé časti nájdených výrazov, dostaneme: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2 /2 AB* AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2. Tento dôkaz publikoval v roku 1882 Garfield.
snímka 13
Význam Pytagorovej vety
Pytagorova veta je jednou z najdôležitejších geometrií. Jeho význam spočíva v tom, že z neho alebo s jeho pomocou možno odvodiť väčšinu geometrických teorémov.
Snímka 14
Študenti stredoveku považovali dôkaz Pytagorovej vety za veľmi ťažký a nazvali ho Dons asinorum – oslí most, alebo elefuga – útek „úbohých“, keďže niektorí „úbohí“ študenti, ktorí nemali seriózne matematické vzdelanie, utiekli z geometria. Slabí žiaci, ktorí sa bez pochopenia učili vety naspamäť, a preto ich nazývali „somáre“, nedokázali prekonať Pytagorovu vetu, ktorá im slúžila ako neprekonateľný most. Kvôli kresbám sprevádzajúcim Pytagorovu vetu ju študenti nazývali aj „veterný mlyn“, skladali básne ako „Pytagorove nohavice sú si na všetkých stranách rovné“ a kreslili karikatúry.
snímka 2
Plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách ... Toto je jedna z najznámejších geometrických teorémov staroveku, nazývaná Pytagorova veta. Dodnes ju pozná takmer každý, kto kedy študoval planimetriu. Zdá sa nám, že ak chceme dať mimozemským civilizáciám vedieť o existencii inteligentného života na Zemi, tak by sme mali poslať do vesmíru obraz pytagorejskej postavy. Zdá sa, že ak mysliace bytosti dokážu prijať túto informáciu, pochopia bez zložitého dekódovania signálu, že na Zemi existuje dosť rozvinutá civilizácia.
snímka 3
Pytagoras zo Samosu
(cca 580 – cca 500 pred Kr.)
snímka 4
Dnes sa všeobecne uznáva, že Pytagoras podal prvý dôkaz vety nesúcej jeho meno. Žiaľ, ani po tomto dôkaze sa nezachovala žiadna stopa. Preto nám nezostáva nič iné, len pouvažovať nad niektorými klasickými dôkazmi Pytagorovej vety, známymi z antických pojednaní. Je to užitočné aj preto, že moderné školské učebnice poskytujú algebraický dôkaz vety. Zároveň sa bez stopy stratí prvotná geometrická aura vety, stratí sa nitka Ariadny, ktorá viedla starých mudrcov k pravde, a táto cesta sa takmer vždy ukázala ako najkratšia a vždy krásna. Pytagorova veta hovorí: "Štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách." Najjednoduchší dôkaz vety získame v najjednoduchšom prípade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Pravdepodobne sa veta začala ním. Skutočne, stačí sa len pozrieť na usporiadanie rovnoramenných pravouhlých trojuholníkov, aby sme zistili, že veta je pravdivá.
snímka 5
Dôkaz rozkladom
Existuje množstvo dôkazov Pytagorovej vety, v ktorej sú štvorce postavené na nohách a na prepone rezané tak, aby každá časť štvorca postavená na prepone zodpovedala časti jedného zo štvorcov postavených na nohách. Vo všetkých týchto prípadoch stačí na pochopenie dôkazu jeden pohľad na výkres; argument tu môže byť obmedzený na jediné slovo: „Pozri sa!“, ako sa to robilo v spisoch starých hinduistických matematikov. Treba však poznamenať, že v skutočnosti dôkaz nemožno považovať za úplný, kým nepreukážeme rovnosť všetkých častí, ktoré si navzájom zodpovedajú. Je to takmer vždy pomerne jednoduché, ale môže to (najmä pri veľkom počte dielov) vyžadovať pomerne veľa práce.
snímka 6
Epsteinov dôkaz
Začnime Epsteinovým dôkazom (obr. 1); jeho výhodou je, že tu vystupujú ako zložky rozkladu iba trojuholníky. Aby ste pochopili kresbu, všimnite si, že čiara CD je nakreslená kolmo na čiaru EF. Rozklad na trojuholníky môže byť tiež vizuálnejší ako na obrázku.
Snímka 7
Nielsenov dôkaz.
Na obrázku sú pomocné čiary zmenené na návrh spoločnosti Nielsen.
Snímka 8
Betcherov dôkaz.
Obrázok ukazuje veľmi názornú expanziu Boetheru.
Snímka 9
Dôkaz Perigal.
Učebnice často obsahujú rozklad naznačený na obrázku (tzv. „koleso s lopatkami“; tento dôkaz našiel Perigal). Cez stred O štvorca postaveného na väčšej nohe nakreslíme rovné čiary, rovnobežné a kolmé na preponu. Korešpondencia častí obrázku je jasne viditeľná z výkresu.
Snímka 10
Gutheilov dôkaz.
Rozklad znázornený na obrázku je spôsobený Gutheilom; vyznačuje sa vizuálnym usporiadaním jednotlivých častí, čo umožňuje okamžite vidieť, aké zjednodušenia prinesie prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.
snímka 11
Dôkaz z 9. storočia CE
Predtým boli prezentované len také dôkazy, v ktorých štvorec postavený na prepone na jednej strane a štvorce postavené na nohách na druhej strane boli zložené z rovnakých častí. Takéto dôkazy sa nazývajú sčítacie dôkazy ("aditívne dôkazy") alebo, bežnejšie, rozkladové dôkazy. Doteraz sme vychádzali z bežného usporiadania štvorcov postavených na zodpovedajúcich stranách trojuholníka, teda mimo trojuholníka. V mnohých prípadoch je však výhodnejšie iné usporiadanie štvorcov. Na obrázku sú štvorce postavené na nohách umiestnené v krokoch vedľa seba. Tento údaj, ktorý sa vyskytuje v dôkazoch datovaných najneskôr do 9. storočia nášho letopočtu, Hinduisti nazývali „stolička nevesty“. Spôsob konštrukcie štvorca so stranou rovnou prepone je zrejmý z výkresu. Spoločnou časťou dvoch štvorcov postavených na nohách a štvorca postaveného na prepone je nepravidelný tieňovaný päťuholník 5.
snímka 12
Pripojením trojuholníkov 1 a 2 k nemu dostaneme oba štvorce postavené na nohách; ak nahradíme trojuholníky 1 a 2 trojuholníkmi 3 a 4, ktoré sa im rovnajú, dostaneme štvorec postavený na prepone. Obrázky nižšie znázorňujú dve rôzne usporiadania blízke tomu, ktoré je uvedené na prvom obrázku.
snímka 13
Dôkazy komplementovou metódou
Spolu s dôkazmi sčítacou metódou možno uviesť príklady dôkazov odčítaním, nazývané aj dôkazy sčítacou metódou. Všeobecná myšlienka takýchto dôkazov je nasledovná. Od dvoch rovnakých plôch sa musia odpočítať rovnaké časti, takže v jednom prípade sú dva štvorce postavené na nohách a v druhom štvorec postavený na prepone. V skutočnosti, ak v rovnosti B-A \u003d C a B1-A1 \u003d C1, časť A sa rovná časti A1 a časť B sa rovná B1, potom časti C a C1 sú tiež rovnaké.
Snímka 14
Vysvetlime si túto metódu na príklade. Na obr. Trojuholníky 2 a 3, ktoré sa rovnajú pôvodnému trojuholníku 1, sú pripojené hore a dole k obyčajnej pytagorejskej figúre. Čiara DG bude nevyhnutne prechádzať cez C. Teraz si všimneme (dokážeme to neskôr), že šesťuholníky DABGFE a CAJKHB sú rovnaké . Ak od prvého z nich odčítame trojuholníky 1 a 2, zostanú štvorce postavené na nohách a ak od druhého šesťuholníka odpočítame rovnaké trojuholníky 1 a 3, zostane štvorec postavený na prepone. To znamená, že štvorec postavený na prepone sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách. Zostáva dokázať, že naše šesťuholníky sú rovnaké. Všimnite si, že čiara DG rozdeľuje horný šesťuholník na rovnaké časti; to isté možno povedať o priamke CK a dolnom šesťuholníku. Otočte štvoruholník DABG, ktorý je polovicou šesťuholníka DABGFE, okolo bodu A v smere hodinových ručičiek o uhol 90; potom sa bude zhodovať so štvoruholníkom CAJK, čo je polovica šesťuholníka CAJKHB. Preto sú šesťuholníky DABGFE a CAJKHB rovnaké
snímka 15
Ďalší dôkaz odčítaním
Zoznámime sa s ďalším dôkazom metódou odčítania. Známy nákres Pytagorovej vety prikladáme do obdĺžnikového rámu, ktorého smery strán sa zhodujú so smermi nôh trojuholníka. Pokračujme v niektorých segmentoch obrázku, ako je znázornené na obrázku, zatiaľ čo obdĺžnik sa rozpadne na niekoľko trojuholníkov, obdĺžnikov a štvorcov. Najprv odoberme niekoľko častí z obdĺžnika tak, aby zostal iba štvorec postavený na prepone. Tieto časti sú nasledovné:
snímka 16
trojuholníky 1, 2, 3, 4; obdĺžnik 5; obdĺžnik 6 a štvorec 8; obdĺžnik 7 a štvorec 9; Potom diely z obdĺžnika vyhodíme tak, aby zostali len štvorce postavené na nožičkách. Tieto časti budú: obdĺžniky 6 a 7; obdĺžnik 5; obdĺžnik 1 (tieňovaný); obdĺžnik 2 (tieňovaný); Zostáva nám len ukázať, že odčítané časti sú rovnaké. To je dobre vidieť vďaka usporiadaniu figúrok. Z obrázku je zrejmé, že: obdĺžnik 5 má rovnakú veľkosť; štyri trojuholníky 1,2,3,4 sa svojou plochou rovnajú dvom obdĺžnikom 6 a 7; obdĺžnik 6 a štvorec 8 spolu majú rovnakú veľkosť ako obdĺžnik 1 (tieňované); obdĺžnik 7 spolu so štvorcom 9 majú rovnakú plochu ako obdĺžnik 2 (šrafované); Dôkaz dokončený
Snímka 17
Euklidov zjednodušený dôkaz
Ako pri rozkladových dôkazoch, tak aj pri dôkazoch euklidovského typu možno vychádzať z akéhokoľvek usporiadania štvorcov. Niekedy je možné dosiahnuť zjednodušenia. Nechajte štvorec postavený na jednej z nôh (na obrázku je to štvorec postavený na väčšej nohe) na tej istej strane nohy ako samotný trojuholník. Potom pokračovanie strany tohto štvorca oproti nohe prechádza cez vrchol štvorca postaveného na prepone. Dôkaz sa v tomto prípade ukazuje ako celkom jednoduchý, pretože tu stačí porovnať oblasti obrázkov, ktoré nás zaujímajú, s oblasťou jedného trojuholníka (je zatienená) - oblasťou tento trojuholník sa rovná polovici plochy štvorca a zároveň polovici plochy obdĺžnika
Snímka 18
Hawkinsov dôkaz.
Uveďme ešte jeden dôkaz, ktorý má výpočtový charakter, ale značne sa líši od všetkých predchádzajúcich. Vydal ju Angličan Hawkins v roku 1909; či sa to vedelo skôr, ťažko povedať. Otočte pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom C o 90° tak, aby zaujal polohu A"CB". Pokračujeme cez preponu A "B" za bod A "do priesečníka s priamkou AB v bode D. Úsečka B" D bude výška trojuholníka B "AB. Uvažujme teraz tieňovaný štvoruholník A "AB" B. Dá sa rozložiť na dva rovnoramenné trojuholníky CAA "a SVV" (alebo dva trojuholníky A"B"A a A"B"B). SCAA"=b²/2 SCBB"=a²/2 SA"AB"B=(a² +b²)/2 Trojuholníky A"B" A a A "B" B majú spoločnú základňu c a výšky DA a DB, preto: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 Porovnaním dvoch získaných výrazov pre oblasť dostaneme: a²+b²=c² Veta je dokázaná.
Snímka 19
Dôkaz je založený na teórii podobnosti.
V pravouhlom trojuholníku ABC nakreslite výšku CD z vrcholu pravého uhla; potom sa trojuholník rozdelí na dva trojuholníky, ktoré sú tiež pravouhlé. Výsledné trojuholníky budú navzájom podobné ako pôvodný trojuholník. To sa dá ľahko dokázať pomocou prvého testu podobnosti (v dvoch uhloch). Okamžite je totiž jasné, že okrem pravého uhla majú trojuholníky ABC a ACD spoločný uhol a, trojuholníky CBD a ABC majú spoločný uhol b. To, že aj malé trojuholníky sú si navzájom podobné, vyplýva z toho, že každý z nich je podobný veľkému trojuholníku. Dá sa však nastaviť aj priamo.
Snímka 20
Ďalšie dôkazy Pytagorovej vety
Dôkazy založené na použití konceptu rovnakej oblasti čísel. aditívny dôkaz. Dôkazy metódou rozšírenia Algebraická metóda dôkazu. Dôkaz o Waldheime.
snímka 21
Existuje mnoho dôkazov Pytagorovej vety, vykonaných ako pomocou každej z opísaných metód, tak aj pomocou kombinácie rôznych metód. Dokončením prehľadu príkladov rôznych dôkazov uvedieme ďalšie nákresy ilustrujúce osem spôsobov, na ktoré sú odkazy v Euklidových „Prvkoch“ (obr. 16 – 23). Na týchto nákresoch je Pytagorova postava znázornená plnou čiarou a ďalšie konštrukcie sú znázornené bodkovanou čiarou.
snímka 22
Pomocou týchto obrázkov sa pokúste sami dokázať Pytagorovu vetu.
snímka 23
Záver
Na záver poznamenávame, že existuje rozsiahla literatúra o Pytagorovej vete, jej histórii a mnohých ďalších geometrických faktoch, ktoré s ňou súvisia.
snímka 24
Bibliografia:
1. Van der Waerden B.L. Prebúdzajúca sa veda. Matematika starovekého Egypta, Babylonu a Grécka. M., 1959,2. Glazer G.I. História matematiky v škole. M., 1982,3. Yelensky Sh. Po stopách Pytagorasa. M., 1961,4. Litzman V. Pytagorova veta. M., 1960,5. Skopets Z.A. Geometrické miniatúry. M., 1990.
Zobraziť všetky snímky
Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu. Vyplnila: študentka 8. „A“ triedy MBOU „BOZP č. 26“ v meste Engels, Lyusina Alena. Učiteľ: Eremeeva Elena Borisovna
História vety. Chu-pei 500-200 pred Kristom. Vľavo je nápis: súčet druhých mocnín dĺžok výšky a základne je štvorec dĺžky prepony. Staroveká čínska kniha Chu-pei (anglicky) (čínsky 周髀算經) hovorí o pytagorejskom trojuholníku so stranami 3, 4 a 5. V tej istej knihe je navrhnutý výkres, ktorý sa zhoduje s jedným z nákresov hinduistickej geometrie z Bashara.
História vety. Moritz Cantor (najväčší nemecký historik matematiky) verí, že rovnosť 3 ² + 4 ² = 5 ² poznali už Egypťania okolo roku 2300 pred Kristom. e., za čias kráľa Amenemheta I. (podľa papyrusu 6619 Berlínskeho múzea). Podľa Cantora harpedonapty alebo „napínače strún“ stavali pravé uhly pomocou pravouhlých trojuholníkov so stranami 3, 4 a 5.
História vety. Podľa Proklovho komentára k Euklidovi Pytagoras (o ktorom sa všeobecne predpokladá, že žil medzi rokmi 570-490 pred Kristom) použil algebraické metódy na nájdenie pytagorejských trojíc. Proclus však veril, že neexistuje žiadna výslovná zmienka o tom, že autorom vety bol Pytagoras. Keď však autori ako Plutarchos a Cicero píšu o Pytagorovej vete, píšu tak, ako keby bolo autorstvo Pytagora všeobecne známe a isté.obdobie Pytagorovej matematiky. Podľa legendy oslávil Pytagoras objavenie svojej vety obrovskou hostinou, pri ktorej zabil na oslavu sto býkov. Okolo roku 400 pred Kr. e., podľa Prokla, Platón dal metódu na nájdenie pytagorejských trojíc kombinovaním algebry a geometrie. Okolo roku 300 pred Kr. e. Euklidove prvky obsahujú najstarší axiomatický dôkaz Pytagorovej vety.
Vyhlásenie vety. Pytagorova veta: Súčet plôch štvorcov na základe nôh (a a b) sa rovná ploche štvorca postaveného na prepone (c). Geometrická formulácia: Pôvodne bola veta formulovaná takto: V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov postavených na nohách.
Vyhlásenie vety. Algebraická formulácia: V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
Dôkaz. V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne je Pytagorova veta jedinou vetou s takým pôsobivým počtom dôkazov. Takáto rozmanitosť sa dá vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Dôkaz ekvikomplementáciou Uvažujme pravouhlý trojuholník s ramenami a, b a preponou c. Dotvorme trojuholník na štvorec so stranou a + b, ako je znázornené na obrázku vpravo. Plocha S tohto štvorca je (a+b) 2 . Na druhej strane tento štvorec tvoria štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, každý s plochou ab, a štvorec so stranou c, takže S=4 · ab+c 2 = 2ab+c 2 . Teda (a+b)2=2ab+c2, odkiaľ a2+b2=c2. Veta bola dokázaná.
Dôkaz Leonarda da Vinciho Hlavnými prvkami dôkazu sú symetria a pohyb. Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment CI rozreže štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (keďže trojuholníky ABC a JHI sú v konštrukcii rovnaké). Použitím rotácie o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek okolo bodu A vidíme rovnosť vytieňovaných číslic CAJI a DABG. Teraz je jasné, že plocha postavy, ktorú sme zatienili, sa rovná súčtu polovice plôch malých štvorcov (postavených na nohách) a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy veľkého štvorca (postaveného na prepone) plus plocha pôvodného trojuholníka. Polovica súčtu plôch malých štvorcov sa teda rovná polovici plochy veľkého štvorca, a preto sa súčet plôch štvorcov postavených na nohách rovná ploche postaveného štvorca. na preponu.
Tu je obvyklá pytagorovská postava - pravouhlý trojuholník ABC so štvorcami postavenými na jeho stranách. K tomuto obrázku sú pripojené trojuholníky 1 a 2, ktoré sa rovnajú pôvodnému pravouhlému trojuholníku. Dôkaz metódou dokončenia
"Koleso s lopatkami" Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C; O - stred štvorca postaveného na veľkej nohe; prerušované čiary prechádzajúce bodom O sú kolmé alebo rovnobežné s preponou. Tento rozklad štvorcov je zaujímavý v tom, že ich párovo rovnaké štvoruholníky možno navzájom mapovať paralelným prekladom.
An-Nairiziyaov dôkaz V tomto oddiele je štvorec postavený na prepone rozdelený na 3 trojuholníky a 2 štvoruholníky Tu: ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C.
Bhaskariho dôkaz Figúru sprevádzalo len jedno slovo: POZRITE SA!
Garfieldov dôkaz Tri pravouhlé trojuholníky tvoria lichobežník. Preto možno plochu tohto obrázku nájsť podľa vzorca pre oblasť pravouhlého lichobežníka alebo ako súčet plôch troch trojuholníkov. V prvom prípade je táto oblasť rovnaká v druhom. Prirovnaním týchto výrazov dostaneme Pytagorovu vetu.
Pytagorova veta je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami pravouhlého trojuholníka. "Pádlové koleso" Dôkaz An-Nairiziya Garfieldov dôkaz
Atanasyan L.S. , Geometria: učebnica. pre 7-9 buniek. med.škola/auto-stat. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov a kol.//.-M.: Osvietenie, 1994. Pogorelov A.V., Geometria: učebnica. pre 7-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcií.-6. vyd.-M.: Osveta, 1996. Encyklopédia pre deti. T.11. Matematika / kapitoly. vyd. M.D. Aksenovej. m: Avanta +, 2002. Encyklopedický slovník mladého matematika / komp. A.P. Savin. -M.: Pedagogika, 1989. http://bankreferatov.ru/ http://kvant.ru/ http://th p if.narod.ru/formul.html
