Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.
Čo je to aritmetická progresia?
Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.
Aritmetická alebo algebraická postupnosť je taká množina usporiadaných racionálnych čísel, ktorých každý člen sa od predchádzajúceho líši o nejakú konštantnú hodnotu. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.
Vezmime si príklad. Ďalšia postupnosť čísel bude aritmetická postupnosť: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel v tomto prípade je 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať typu uvažovanej progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Dôležité vzorce
Teraz uvádzame základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Nech a n označuje n-tý člen postupnosti, kde n je celé číslo. Rozdiel je označený latinským písmenom d. Potom sú pravdivé nasledujúce výrazy:
- Na určenie hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
- Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n + a 1)*n/2.
Na pochopenie akýchkoľvek príkladov aritmetickej progresie s riešením v 9. ročníku si stačí zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy daného typu sú postavené na ich použití. Tiež nezabudnite, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1 .
Príklad č. 1: Nájdenie neznámeho člena
Uvádzame jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na riešenie.
Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť členov.
Už z podmienok problému vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:
- Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne by sa dali vziať akékoľvek dva ďalšie výrazy stojace vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Pretože je známe, že d \u003d a n - a n-1, potom d \u003d a 5 - a 4, odkiaľ dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Ako vidíte, obe riešenia vedú k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je rozdiel d progresie záporný. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý nasledujúci člen je menší ako predchádzajúci.
Príklad č. 2: rozdiel v postupe
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad ako
Je známe, že v niektorých sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.
Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu môžete jednoducho vypočítať rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tým bola zodpovedaná prvá časť úlohy.
Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.
Príklad č. 3: Progresia
Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraický postup tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.
Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Rozdiel tu nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.
Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.
Príklad č. 4: Prvý člen postupu
Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme o úlohe iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.
Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy ku každému pojmu, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.
Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).
Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.
Príklad č. 5: Suma
Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.
Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?
Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gaussovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.
Príklad č. 6: súčet členov od n do m
Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.
Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.
Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.
Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.
Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.
Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).
Ak existujú pochybnosti o výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.
Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.
Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského
Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.
Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.
Definícia. Číselná postupnosť, v ktorej sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.
Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce
, (1)
kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom svojich susedných členov a .
Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:
(3)
Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec
(5) kde a .
Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená
Ak určíme
kde . Keďže , potom vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).
najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo
Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta bola dokázaná.
Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať
Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.
Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .
rozhodnutie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Odvtedy a , potom alebo .
Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.
rozhodnutie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu
Keďže , , a , tak zo sústavy rovníc (10) dostaneme
Riešením tejto sústavy rovníc sú a .
Príklad 3 Zistite, či a .
rozhodnutie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .
Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .
Príklad 4 Nájsť ak .
rozhodnutie.Podľa vzorca (5) máme
Pomocou vety sa však dá písať
Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .
Príklad 5. Vzhľadom na to: . Nájsť .
rozhodnutie. Odvtedy . Avšak , preto .
Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .
rozhodnutie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .
Od a potom tu máme systém rovníc
Vyriešením ktorého dostaneme a .
Prirodzený koreň rovnice je .
Príklad 7 Zistite, či a .
rozhodnutie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy
Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .
Korene kvadratickej rovnice sú a .
Uvažujme o dvoch prípadoch.
1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.
V tomto prípade podľa vzorca (6) máme
2. Ak , potom , a
Odpoveď: a.
Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .
rozhodnutie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .
To znamená systém rovníc
Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme
Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .
Odvtedy a potom.
Odpoveď: .
Príklad 9 Zistite, či a .
rozhodnutie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .
Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy .
preto tu máme systém lineárnych rovníc
Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .
Príklad 10 Vyriešte rovnicu.
rozhodnutie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .
Podľa vzorca (1) môžeme napísať alebo .
Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .
Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .
rozhodnutie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.
Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .
Pretože , potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .
Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .
Odpoveď: .
Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.
rozhodnutie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.
Jednoduchá inštalácia, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .
Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .
Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné odkázať na zoznam odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.
3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.
Máte nejaké otázky?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Čo je podstatou vzorca?
Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov nemôžete zapísať konkrétny postup.
Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych problémoch. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. A tu ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)
Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetická postupnosť, číslo člena, rozdiel postupnosti - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý člen.
Priebeh vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak nás zaujíma piaty termín, povedzme, že pracujeme s 5, ak stodvadsiaty - od 120.
Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:
a n
Tak to je n-tý člen aritmetickej progresie. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.
A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...
Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupmi. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopa úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.
Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:
| a n = a1 + (n-1)d |
1- prvý člen aritmetického postupu;
n- členské číslo.
Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d a n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.
Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:
a n = 5 + (n-1) 2.
Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale porovnaním stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.
A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:
an = 3 + 2n.
Toto je Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.
V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.
Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11
Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi rekurzívnym vzorcom a vzorcom n-tého člena. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez najprv a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.
Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v obvyklom tvare a pracujte s ním. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.
Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.
Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)
A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.
Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:
Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.
Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .
Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:
Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.
Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:
| a n = a1 + (n-1)d |
A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...
Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2), ako aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém vyriešiť nedá. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)
Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)
To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.
Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...
Ďalší populárny problém:
Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.
Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)
| a n = a1 + (n-1)d |
Zvážte, čo vieme: ai = 2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:
12=2 + (15-1)d
Poďme na aritmetiku.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Toto je správna odpoveď.
Takže úlohy a n, a 1 a d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:
Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d = 3. Nájdite číslo tohto člena.
Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:
a n = 12 + (n-1) 3
Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:
99 = 12 + (n-1) 3
Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.
A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):
Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena postupu? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? Nuž, ako byť, ako byť... Zapnite svoje tvorivé schopnosti!)
my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:
Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: č.
Úloha založená na skutočnej verzii GIA:
Aritmetický postup je daný podmienkou:
a n \u003d -4 + 6,8n
Nájdite prvý a desiaty termín postupu.
Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.
Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)
Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:
a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8
Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!
Podobne hľadáme desiaty výraz:
a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64
To je všetko.
A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)
Predpokladajme, že v zložitej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?
Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si stačí zapamätať základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.
Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:
Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:
a 2 = a 1 + 1 d
Aký je tretí termín? Tretia termín sa rovná prvému termínu plus dva d.
a 3 = a 1 + 2 d
Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)
Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.
a 4 = a 1 + 3 d
Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):
| a n = a1 + (n-1)d |
Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi nápomocné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...
Úlohy pre samostatné rozhodovanie.
Na zahriatie:
1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.
Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)
A toto už nie je zahrievanie.)
2. V aritmetickej progresii (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .
Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Vo vzorci je to lepšie, áno...
3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.
V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!
4. Daná aritmetická progresia (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.
5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.
6. Súčin piateho a dvanásteho člena rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho člena je nula. Nájdite 14.
Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.
Odpovede (v neporiadku):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Stalo? Je to pekné!)
Nevychádza všetko? To sa stáva. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.
Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporučiť.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Súčet aritmetického postupu.
Súčet aritmetickej progresie je jednoduchá vec. Aj vo význame, aj vo vzorci. Ale na túto tému sú všelijaké úlohy. Od základných až po celkom solídne.
Najprv sa pozrime na význam a vzorec súčtu. A potom sa rozhodneme. Pre vaše vlastné potešenie.) Význam sumy je taký jednoduchý ako zníženie. Ak chcete nájsť súčet aritmetického postupu, stačí opatrne pridať všetky jeho členy. Ak je týchto výrazov málo, môžete pridať bez akýchkoľvek vzorcov. Ale ak je veľa, alebo veľa ... sčítanie je otravné.) V tomto prípade vzorec šetrí.
Vzorec súčtu je jednoduchý:
Poďme zistiť, aké písmená sú zahrnuté vo vzorci. Tým sa veľa vyjasní.
S n je súčet aritmetickej progresie. Výsledok sčítania všetkyčlenov, s najprv na posledný. To je dôležité. Zrátajte presne všetkyčlenov v rade, bez medzier a skokov. A presne, počnúc od najprv. V problémoch, ako je nájdenie súčtu tretieho a ôsmeho členu alebo súčtu členov päť až dvadsiaty, bude priame použitie vzorca sklamaním.)
1 - najprvčlen progresu. Všetko je tu jasné, je to jednoduché najprvčíslo riadku.
a n- poslednýčlen progresu. Posledné číslo riadku. Nie je to veľmi známy názov, ale pri aplikácii na množstvo je veľmi vhodný. Potom uvidíte sami.
n je číslo posledného člena. Je dôležité pochopiť, že vo vzorci je toto číslo sa zhoduje s počtom pridaných výrazov.
Definujme pojem poslednýčlenom a n. Doplňujúca otázka: aký člen bude posledný, ak je daný nekonečné aritmetický postup?
Pre spoľahlivú odpoveď musíte pochopiť základný význam aritmetického postupu a ... pozorne si prečítajte zadanie!)
Pri úlohe nájsť súčet aritmetickej progresie sa vždy objaví posledný člen (priamo alebo nepriamo), ktorý by mal byť obmedzený. V opačnom prípade konečná, konkrétna suma proste neexistuje. Pri riešení nezáleží na tom, aký druh progresie je daný: konečný alebo nekonečný. Nezáleží na tom, ako je to dané: radom čísel, alebo vzorcom n-tého člena.
Najdôležitejšie je pochopiť, že vzorec funguje od prvého členu postupnosti až po člen s číslom n. V skutočnosti celý názov vzorca vyzerá takto: súčet prvých n členov aritmetickej progresie. Počet týchto úplne prvých členov, t.j. n, je určená výlučne úlohou. V úlohe sú všetky tieto cenné informácie často zašifrované, áno ... Ale nič, v príkladoch nižšie tieto tajomstvá odhalíme.)
Príklady úloh pre súčet aritmetického postupu.
V prvom rade užitočné informácie:
Hlavnou ťažkosťou úloh pre súčet aritmetickej progresie je správne určenie prvkov vzorca.
Autori zadaní zašifrujú práve tieto prvky s bezhraničnou fantáziou.) Tu ide hlavne o to nebáť sa. Aby sme pochopili podstatu prvkov, stačí ich len dešifrovať. Pozrime sa na niekoľko príkladov podrobne. Začnime úlohou založenou na skutočnom GIA.
1. Aritmetická postupnosť je daná podmienkou: a n = 2n-3,5. Nájdite súčet prvých 10 výrazov.
Dobrá práca. Jednoduché.) Na určenie množstva podľa vzorca, čo potrebujeme vedieť? Prvý člen 1, posledný termín a n, áno číslo posledného termínu n.
Kde získať posledné členské číslo n? Áno, na tom istom mieste, v stave! Hovorí sa nájsť sumu prvých 10 členov. No aké to bude číslo posledný, desiaty člen?) Neuveríte, jeho číslo je desiate!) Preto namiesto a n dosadíme do vzorca 10, ale namiesto toho n- desať. Opäť platí, že číslo posledného člena je rovnaké ako počet členov.
Zostáva určiť 1 a 10. Toto sa ľahko vypočíta podľa vzorca n-tého člena, ktorý je uvedený v probléme. Neviete ako na to? Navštívte predchádzajúcu lekciu, bez toho - nič.
1= 21 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Zistili sme význam všetkých prvkov vzorca pre súčet aritmetickej progresie. Zostáva ich nahradiť a počítať:
To je všetko. odpoveď: 75.
Ďalšia úloha založená na GIA. Trochu komplikovanejšie:
2. Daná aritmetická progresia (a n), ktorej rozdiel je 3,7; a 1 \u003d 2.3. Nájdite súčet prvých 15 výrazov.
Okamžite napíšeme vzorec súčtu:
Tento vzorec nám umožňuje nájsť hodnotu ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Hľadáme jednoduchú náhradu:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Zostáva nahradiť všetky prvky vo vzorci súčtom aritmetickej progresie a vypočítať odpoveď:
Odpoveď: 423.
Mimochodom, ak v sumárnom vzorci namiesto a n stačí dosadiť vzorec n-tého člena, dostaneme:
Dáme podobné, dostaneme nový vzorec pre súčet členov aritmetickej progresie:
 |
Ako vidíte, n-tý termín sa tu nevyžaduje. a n. V niektorých úlohách tento vzorec veľmi pomáha, áno ... Tento vzorec si môžete zapamätať. A môžete ho jednoducho stiahnuť v správnom čase, ako tu. Koniec koncov, vzorec pre súčet a vzorec pre n-tý člen si treba zapamätať v každom smere.)
Teraz úloha vo forme krátkeho šifrovania):
3. Nájdite súčet všetkých kladných dvojciferných čísel, ktoré sú násobkami troch.
Ako! Žiadny prvý člen, žiadny posledný, vôbec žiadny postup... Ako žiť!?
Budete musieť myslieť hlavou a vytiahnuť z podmienky všetky prvky súčtu aritmetickej progresie. Čo sú to dvojciferné čísla - vieme. Skladajú sa z dvoch čísel.) Aké dvojciferné číslo bude najprv? 10, pravdepodobne.) posledná vec dvojciferné číslo? 99, samozrejme! Trojciferné ho budú nasledovať...
Násobky troch... Hm... To sú čísla, ktoré sú rovnomerne deliteľné tromi, tu! Desať nie je deliteľné tromi, 11 nie je deliteľné... 12... je deliteľné! Niečo sa teda objavuje. Už môžete napísať sériu podľa stavu problému:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bude táto séria aritmetickým postupom? Určite! Každý výraz sa od predchádzajúceho líši striktne tromi. Ak sa k pojmu pridá 2, alebo 4, povedzme výsledok, t.j. nové číslo sa už nebude deliť 3. Okamžite môžete určiť rozdiel aritmetického postupu na haldu: d = 3. Užitočné!)
Takže si môžeme bezpečne zapísať niektoré parametre postupu:
Aké bude číslo n posledný člen? Každý, kto si myslí, že 99 sa fatálne mýli... Čísla - vždy idú za sebou a naši členovia preskakujú prvú trojku. Nezhodujú sa.
Tu sú dve riešenia. Jedna cesta je pre super pracovitých. Môžete si namaľovať postupnosť, celý rad čísel a počet členov spočítať prstom.) Druhý spôsob je pre premýšľavých. Musíte si zapamätať vzorec pre n-tý člen. Ak vzorec použijeme na náš problém, dostaneme, že 99 je tridsiaty člen progresie. Tie. n = 30.
Pozrime sa na vzorec pre súčet aritmetickej progresie:
Pozeráme a radujeme sa.) Vytiahli sme všetko potrebné na výpočet sumy zo stavu problému:
1= 12.
30= 99.
S n = S 30.
Zostáva elementárna aritmetika. Dosaďte čísla vo vzorci a vypočítajte:
Odpoveď: 1665
Ďalší typ populárnych hádaniek:
4. Uvádza sa aritmetický postup:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Nájdite súčet členov od dvadsiateho do tridsiateho štvrtého.
Pozrieme sa na súčtový vzorec a ... sme naštvaní.) Vzorec, dovoľte mi pripomenúť, vypočíta súčet od prvéhočlenom. A v úlohe musíte vypočítať súčet od dvadsiateho... Vzorec nebude fungovať.
Môžete samozrejme namaľovať celý postup v rade a dať členov od 20 do 34. Ale ... nejako hlúpo a na dlho, nie?)
Existuje elegantnejšie riešenie. Rozdeľme náš seriál na dve časti. Prvá časť bude od prvého funkčného obdobia do devätnásteho. Druhá časť - dvadsať až tridsaťštyri. Je jasné, že ak spočítame súčet podmienok prvej časti S 1-19, pripočítajme to k súčtu členov druhej časti S 20-34, dostaneme súčet postupu od prvého termínu do tridsiateho štvrtého S 1-34. Páči sa ti to:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
To ukazuje, že nájsť súčet S 20-34 možno vykonať jednoduchým odčítaním
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Zohľadňujú sa obe sumy na pravej strane od prvéhočlen, t.j. štandardný sumárny vzorec je pre nich celkom použiteľný. Začíname?
Extrahujeme parametre postupu z podmienky úlohy:
d = 1,5.
1= -21,5.
Na výpočet súčtu prvých 19 a prvých 34 termínov budeme potrebovať 19. a 34. termín. Počítame ich podľa vzorca n-tého člena, ako v úlohe 2:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Nezostalo nič. Odpočítajte súčet 19 termínov od súčtu 34 termínov:
S20-34 = S1-34 - S1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Odpoveď: 262,5
Jedna dôležitá poznámka! Pri riešení tohto problému existuje veľmi užitočná funkcia. Namiesto priamej kalkulácie čo potrebujete (S 20-34), počítali sme čo, zdá sa, nie je potrebné - S 1-19. A potom sa rozhodli S 20-34, vyradenie nepotrebného z úplného výsledku. Takáto „finta s ušami“ často šetrí v zlých hádankách.)
V tejto lekcii sme skúmali problémy, pri ktorých stačí pochopiť význam súčtu aritmetickej progresie. No, musíte poznať pár vzorcov.)
Praktické rady:
Pri riešení akejkoľvek úlohy na súčet aritmetickej progresie odporúčam hneď vypísať dva hlavné vzorce z tejto témy.
Vzorec n-tého člena:
Tieto vzorce vám okamžite povedia, čo hľadať, akým smerom myslieť, aby ste problém vyriešili. Pomáha.
A teraz úlohy na samostatné riešenie.
5. Nájdite súčet všetkých dvojciferných čísel, ktoré nie sú deliteľné tromi.
V pohode?) Nápoveda je ukrytá v poznámke k problému 4. No, problém 3 pomôže.
6. Aritmetická progresia je daná podmienkou: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite súčet prvých 24 výrazov.
Nezvyčajné?) Toto je opakujúci sa vzorec. Môžete si o tom prečítať v predchádzajúcej lekcii. Neignorujte odkaz, takéto hádanky sa často nachádzajú v GIA.
7. Vasya našetril peniaze na sviatok. Až 4550 rubľov! A rozhodol som sa darovať najmilovanejšej osobe (sebe) pár dní šťastia). Žite krásne bez toho, aby ste si čokoľvek odopierali. Strávte 500 rubľov v prvý deň a každý nasledujúci deň miňte o 50 rubľov viac ako v predchádzajúci! Kým sa neminú peniaze. Koľko dní šťastia mala Vasya?
Je to ťažké?) Pomôže vám dodatočný vzorec z úlohy 2.
Odpovede (v neporiadku): 7, 3240, 6.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých je každé číslo väčšie (alebo menšie) ako predchádzajúce o rovnakú hodnotu.
Táto téma je často ťažká a nepochopiteľná. Písmenové indexy, n-tý člen progresie, rozdiel progresie - to všetko je nejako mätúce, áno ... Poďme zistiť význam aritmetickej progresie a všetko bude fungovať hneď.)
Pojem aritmetická progresia.
Aritmetický postup je veľmi jednoduchý a jasný koncept. pochybnosti? Márne.) Presvedčte sa sami.
Napíšem nedokončenú sériu čísel:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Môžete predĺžiť tento riadok? Aké čísla budú nasledovať po päťke? Každý ... ehm ..., skrátka každý príde na to, že ďalej pôjdu čísla 6, 7, 8, 9 atď.
Skomplikujme si úlohu. Dávam nedokončenú sériu čísel:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Môžete zachytiť vzor, predĺžiť sériu a pomenovať siedmyčíslo riadku?
Ak ste zistili, že toto číslo je 20 - blahoželám vám! Nielenže ste cítili kľúčové body aritmetického postupu, ale úspešne ich využíval aj v podnikaní! Ak nerozumiete, čítajte ďalej.
Teraz preložme kľúčové body zo vnemov do matematiky.)
Prvý kľúčový bod.
Aritmetická postupnosť sa zaoberá radom čísel. Toto je spočiatku mätúce. Sme zvyknutí riešiť rovnice, zostavovať grafy a tak ďalej ... A potom predĺžiť sériu, nájsť číslo radu ...
Je to v poriadku. Ide len o to, že progresie sú prvým zoznámením sa s novým odvetvím matematiky. Sekcia sa nazýva "Series" a pracuje s radmi čísel a výrazov. Zvyknúť si na to.)
Druhý kľúčový bod.
V aritmetickej postupnosti sa akékoľvek číslo líši od predchádzajúceho o rovnakú sumu.
V prvom príklade je tento rozdiel jeden. Nech si vezmete akékoľvek číslo, je o jedno viac ako to predchádzajúce. V druhom - tri. Akékoľvek číslo je trikrát väčšie ako predchádzajúce. V skutočnosti je to tento moment, ktorý nám dáva príležitosť zachytiť vzor a vypočítať nasledujúce čísla.
Tretí kľúčový bod.
Tento moment nie je nápadný, áno... Ale veľmi, veľmi dôležitý. Tu je: každé číslo postupu je na svojom mieste. Je tu prvé číslo, je siedme, je štyridsiate piate atď. Ak si ich náhodne popletiete, vzor zmizne. Aritmetický postup tiež zmizne. Je to len séria čísel.
To je celá podstata.
V novej téme sa samozrejme objavujú nové pojmy a zápisy. Potrebujú vedieť. Inak nepochopíte úlohu. Napríklad, musíte sa rozhodnúť niečo ako:
Napíšte prvých šesť členov aritmetickej progresie (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Inšpiruje?) Listy, nejaké indexy... A tá úloha, mimochodom, nemôže byť jednoduchšia. Musíte len pochopiť význam pojmov a zápisu. Teraz túto záležitosť zvládneme a vrátime sa k úlohe.
Termíny a označenia.
Aritmetický postup je séria čísel, v ktorých je každé číslo iné ako predchádzajúce o rovnakú sumu.
Táto hodnota sa nazýva . Poďme sa tomuto konceptu venovať podrobnejšie.
Rozdiel aritmetického postupu.
Rozdiel aritmetického postupu je čiastka, o ktorú akékoľvek progresívne číslo viac ten predchádzajúci.
Jeden dôležitý bod. Venujte prosím pozornosť slovu „viac“. Matematicky to znamená, že sa získa každé číslo postupu pridávanie rozdiel aritmetického postupu k predchádzajúcemu číslu.
Na výpočet, povedzme druhýčísla riadku, je potrebné najprvčíslo pridať práve tento rozdiel aritmetického postupu. Pre výpočet piaty- rozdiel je nutný pridať do štvrtý dobre, atď.
Rozdiel aritmetického postupu možno pozitívne potom sa každé číslo série ukáže ako skutočné viac ako predchádzajúca. Táto progresia sa nazýva zvyšujúci sa. Napríklad:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Tu je každé číslo pridávanie kladné číslo, +5 k predchádzajúcemu.
Rozdiel môže byť negatívne potom bude každé číslo v rade menej ako predchádzajúca. Tento postup sa nazýva (neuveríte!) klesajúci.
Napríklad:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aj tu sa získa každé číslo pridávanie na predchádzajúce, ale už záporné číslo, -5.
Mimochodom, pri práci s progresiou je veľmi užitočné okamžite určiť jej povahu - či sa zvyšuje alebo znižuje. Veľmi pomáha zorientovať sa v rozhodovaní, odhaliť svoje chyby a opraviť ich skôr, než bude neskoro.
Rozdiel aritmetického postupu zvyčajne sa označuje písmenom d.
Ako nájsť d? Veľmi jednoduché. Je potrebné odpočítať od ľubovoľného čísla série predchádzajúcečíslo. Odčítať. Mimochodom, výsledok odčítania sa nazýva „rozdiel“.)
Definujme si napr. d pre rastúci aritmetický postup:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Zoberieme ľubovoľné číslo riadku, ktoré chceme, napríklad 11. Odčítame z neho predchádzajúce číslo tie. osem:
Toto je správna odpoveď. Pre tento aritmetický postup je rozdiel tri.
Môžete si len vziať ľubovoľný počet progresií, pretože pre konkrétny postup d-vždy to isté. Aspoň niekde na začiatku radu, aspoň v strede, aspoň kdekoľvek. Nemôžete vziať len prvé číslo. Už len kvôli prvému číslu žiadne predchádzajúce.)
Mimochodom, vedieť to d=3, nájdenie siedmeho čísla tohto postupu je veľmi jednoduché. K piatemu číslu pridáme 3 - dostaneme šieste, bude to 17. K šiestemu číslu pridáme tri, dostaneme siedme číslo - dvadsať.
Poďme definovať d pre klesajúci aritmetický postup:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Pripomínam, že bez ohľadu na znamenia určiť d potrebné z akéhokoľvek čísla odobrať predchádzajúce. Zvolíme ľubovoľný počet progresie, napríklad -7. Jeho predchádzajúce číslo je -2. potom:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Rozdiel v aritmetickej progresii môže byť ľubovoľné číslo: celé číslo, zlomok, iracionálne, ľubovoľné.
Iné termíny a označenia.
Každé číslo v rade sa volá člen aritmetického postupu.
Každý člen progresu má svoje číslo.Čísla sú prísne v poriadku, bez akýchkoľvek trikov. Prvý, druhý, tretí, štvrtý atď. Napríklad v postupnosti 2, 5, 8, 11, 14, ... dva je prvý člen, päť je druhý, jedenásť je štvrtý, dobre, rozumiete ...) Jasne pochopte - samotné čísla môže byť úplne akýkoľvek, celý, zlomkový, negatívny, akýkoľvek, ale číslovanie- prísne v poriadku!
Ako napísať progresiu vo všeobecnej forme? Žiaden problém! Každé číslo v rade je napísané ako písmeno. Na označenie aritmetického postupu sa spravidla používa písmeno a. Číslo člena je označené indexom vpravo dole. Členovia sa píšu oddelené čiarkami (alebo bodkočiarkami) takto:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
1 je prvé číslo a 3- tretí atď. Nič zložité. Túto sériu môžete stručne napísať takto: (a n).
Existujú progresie konečný a nekonečný.
Ultimate postup má obmedzený počet členov. Päť, tridsaťosem, čokoľvek. Ale je to konečné číslo.
Nekonečné progresia - má nekonečný počet členov, ako by ste mohli hádať.)
Môžete napísať konečný postup cez sériu, ako je táto, všetci členovia a bodka na konci:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.
Alebo takto, ak je veľa členov:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
V krátkom zázname budete musieť dodatočne uviesť počet členov. Napríklad (pre dvadsať členov) takto:
(a n), n = 20
Nekonečný postup je možné rozpoznať podľa elipsy na konci riadku, ako v príkladoch v tejto lekcii.
Teraz už môžete riešiť úlohy. Úlohy sú jednoduché, čisto na pochopenie významu aritmetického postupu.
Príklady úloh na aritmetický postup.
Pozrime sa bližšie na vyššie uvedenú úlohu:
1. Napíšte prvých šesť členov aritmetickej postupnosti (a n), ak a 2 = 5, d = -2,5.
Úlohu preložíme do zrozumiteľného jazyka. Vzhľadom na nekonečný aritmetický postup. Druhé číslo tohto postupu je známe: a 2 = 5. Známy rozdiel v postupe: d = -2,5. Musíme nájsť prvého, tretieho, štvrtého, piateho a šiesteho člena tohto postupu.
Pre názornosť napíšem sériu podľa stavu problému. Prvých šesť členov, pričom druhý člen je päť:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Vo výraze dosadíme a 2 = 5 a d = -2,5. Nezabudnite na mínus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Tretí termín je menší ako druhý. Všetko je logické. Ak je číslo väčšie ako predchádzajúce negatívne hodnotu, takže samotné číslo bude menšie ako predchádzajúce. Progresia sa znižuje. Dobre, zoberme to do úvahy.) Uvažujeme o štvrtom členovi našej série:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
5 = a 4 + d
5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Takže termíny od tretieho do šiesteho boli vypočítané. Výsledkom bola séria:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Zostáva nájsť prvý termín 1 podľa známeho druhého. Toto je krok opačným smerom, doľava.) Preto je rozdiel v aritmetickej progresii d by sa nemalo pridávať a 2, a zobrať:
1 = a 2 - d
1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
To je všetko. Odpoveď na úlohu:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Na okraj podotýkam, že sme túto úlohu vyriešili opakujúci spôsobom. Toto hrozné slovo znamená iba hľadanie člena progresie o predchádzajúce (susedné) číslo. O ďalších spôsoboch práce s progresiou sa bude diskutovať neskôr.
Z tejto jednoduchej úlohy možno vyvodiť jeden dôležitý záver.
Pamätajte:
Ak poznáme aspoň jeden člen a rozdiel aritmetickej postupnosti, môžeme nájsť ľubovoľného člena tejto postupnosti.
Pamätáte si? Tento jednoduchý záver nám umožňuje vyriešiť väčšinu problémov školského kurzu na túto tému. Všetky úlohy sa točia okolo troch hlavných parametrov: člen aritmetického postupu, rozdiel postupu, číslo člena postupu. Všetko.
Samozrejme, že všetka predchádzajúca algebra nie je zrušená.) Nerovnice, rovnice a ďalšie veci sú pripojené k postupu. ale podľa progresie- všetko sa točí okolo troch parametrov.
Zvážte napríklad niektoré obľúbené úlohy na túto tému.
2. Napíšte konečnú aritmetickú postupnosť ako sériu, ak n=5, d=0,4 a a 1=3,6.
Všetko je tu jednoduché. Všetko je už dané. Musíte si pamätať, ako sa počítajú, počítajú a zapisujú členy aritmetického postupu. Je vhodné nepreskakovať slová v podmienke úlohy: „konečná“ a „ n=5". Aby ste nepočítali, kým nebudete úplne modrý v tvári.) V tomto postupe je len 5 (päť) členov:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Zostáva napísať odpoveď:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ďalšia úloha:
3. Určite, či číslo 7 bude členom aritmetickej postupnosti (a n), ak a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.
Hmm... Kto vie? Ako niečo definovať?
Ako-ako ... Áno, zapíšte si postup vo forme série a uvidíte, či bude sedmička alebo nie! My veríme:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Teraz je jasne vidieť, že máme len sedem prekĺzol medzi 6,5 a 7,7! Sedmička sa nedostala do nášho číselného radu, a preto sedmička nebude členom daného postupu.
odpoveď: nie.
A tu je úloha založená na skutočnej verzii GIA:
4. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; pätnásť; X; deväť; 6; ...
Tu je séria bez konca a začiatku. Žiadne čísla členov, žiadny rozdiel d. Je to v poriadku. Na vyriešenie problému stačí pochopiť význam aritmetickej progresie. Pozrime sa a uvidíme, čo môžeme objaviť z tohto riadku? Aké parametre majú tri hlavné?
Členské čísla? Nie je tu ani jedno číslo.
Ale sú tam tri čísla a - pozor! - slovo "po sebe" v stave. To znamená, že čísla sú prísne v poriadku, bez medzier. Sú v tomto rade dvaja? susedný známe čísla? Áno, mám! Toto je 9 a 6. Takže môžeme vypočítať rozdiel aritmetickej progresie! Odpočítame od šiestich predchádzajúcečíslo, t.j. deväť:
Zostávajú voľné miesta. Aké číslo bude predchádzajúce pre x? Pätnásť. Takže x sa dá ľahko nájsť jednoduchým sčítaním. K 15 pridajte rozdiel aritmetického postupu:
To je všetko. odpoveď: x=12
Nasledujúce problémy riešime sami. Poznámka: tieto hádanky nie sú určené na vzorce. Čisto pre pochopenie významu aritmetického postupu.) Len si zapíšeme sériu čísel-písmen, pozrieme sa a premýšľame.
5. Nájdite prvý kladný člen aritmetickej progresie, ak a 5 = -3; d = 1,1.
6. Je známe, že číslo 5,5 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 1,6; d = 1,3. Určte číslo n tohto člena.
7. Je známe, že v aritmetickej progresii a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Nájdite 3.
8. Vypíše sa niekoľko po sebe idúcich členov aritmetického postupu:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Nájdite člen postupnosti označený písmenom x.
9. Vlak sa dal zo stanice do pohybu, postupne zvyšoval rýchlosť o 30 metrov za minútu. Aká bude rýchlosť vlaku za päť minút? Svoju odpoveď uveďte v km/h.
10. Je známe, že v aritmetickej postupnosti a 2 = 5; a 6 = -5. Nájdite 1.
Odpovede (v neporiadku): 7,7; 7,5; 9,5; deväť; 0,3; 4.
Všetko vyšlo? Úžasný! V nasledujúcich lekciách sa môžete naučiť aritmetický postup na vyššej úrovni.
Nevyšlo všetko? Žiaden problém. V špeciálnej sekcii 555 sú všetky tieto hlavolamy rozobraté kúsok po kúsku.) A samozrejme je opísaná jednoduchá praktická technika, ktorá okamžite zvýrazní riešenie takýchto úloh jasne, zreteľne, ako na dlani!
Mimochodom, v hádanke o vlaku sú dva problémy, o ktoré ľudia často narážajú. Jeden - čisto podľa postupu a druhý - spoločný pre všetky úlohy z matematiky a fyziky. Toto je preklad dimenzií z jednej do druhej. Ukazuje, ako by sa tieto problémy mali riešiť.
V tejto lekcii sme skúmali elementárny význam aritmetickej progresie a jej hlavné parametre. To stačí na vyriešenie takmer všetkých problémov na túto tému. Pridať d k číslam, napíšte sériu, všetko sa rozhodne.
Riešenie prstov funguje dobre pre veľmi krátke kusy série, ako v príkladoch v tejto lekcii. Ak je séria dlhšia, výpočty sú zložitejšie. Napríklad, ak máte problém 9 v otázke, nahraďte ho "päť minút" na "tridsaťpäť minút" problém bude oveľa horší.)
A existujú aj úlohy, ktoré sú v podstate jednoduché, ale z hľadiska výpočtov úplne absurdné, napríklad:
Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.
A čo, pridáme 1/6 veľa, veľa krát?! Je možné sa zabiť!?
Môžete.) Ak nepoznáte jednoduchý vzorec, podľa ktorého takéto úlohy vyriešite za minútu. Tento vzorec bude v ďalšej lekcii. A tam je tento problém vyriešený. O minútu.)
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
