Na nájdenie určitého integrálu pomocou metódy lichobežníka sa plocha krivočiareho lichobežníka tiež rozdelí na n pravouhlých lichobežníkov s výškami h a základňami y 1, y 2, y 3,..y n, kde n je číslo pravouhlý lichobežník. Integrál sa bude číselne rovnať súčtu plôch pravouhlých lichobežníkov (obrázok 4).

Ryža. 4

n - počet rozdelení

Chyba lichobežníkového vzorca sa odhaduje podľa čísla

Chyba lichobežníkového vzorca klesá s rastom rýchlejšie ako chyba obdĺžnikového vzorca. Preto vám lichobežníkový vzorec umožňuje získať väčšiu presnosť ako metóda obdĺžnika.

Simpsonov vzorec

Ak pre každú dvojicu segmentov zostrojíme polynóm druhého stupňa, potom ho integrujeme na segment a použijeme vlastnosť aditivity integrálu, získame Simpsonov vzorec.

V Simpsonovej metóde na výpočet určitého integrálu je celý integračný interval rozdelený na podintervaly rovnakej dĺžky h=(b-a)/n. Počet segmentov oddielu je párne číslo. Potom sa na každej dvojici susediacich subintervalov subintegrálna funkcia f(x) nahradí Lagrangeovým polynómom druhého stupňa (obrázok 5).

Ryža. 5 Funkcia y=f(x) na segmente je nahradená polynómom 2. rádu

Zvážte integrand na intervale. Nahradme tento integrand Lagrangeovým interpolačným polynómom druhého stupňa, ktorý sa zhoduje s y= v bodoch:

Poďme integrovať na interval:

Zavádzame zmenu premenných:

Vzhľadom na náhradné vzorce,

Po integrácii dostaneme Simpsonov vzorec:

Hodnota získaná pre integrál sa zhoduje s oblasťou krivočiareho lichobežníka ohraničeného osou, priamkami a parabolou prechádzajúcou bodmi. Na segmente bude Simpsonov vzorec vyzerať takto:

Vo vzorci paraboly má hodnota funkcie f (x) v nepárnych bodoch delenia x 1, x 3, ..., x 2n-1 koeficient 4, v párnych bodoch x 2, x 4, ... , x 2n-2 - koeficient 2 a v dvoch hraničných bodoch x 0 =a, x n =b - koeficient 1.

Geometrický význam Simpsonovho vzorca: plocha krivočiareho lichobežníka pod grafom funkcie f(x) na segmente je približne nahradená súčtom plôch obrázkov ležiacich pod parabolami.

Ak má funkcia f(x) spojitú deriváciu štvrtého rádu, potom absolútna hodnota chyby Simpsonovho vzorca nie je väčšia ako

kde M je najväčšia hodnota v segmente. Keďže n 4 rastie rýchlejšie ako n 2, chyba Simpsonovho vzorca klesá so zvyšujúcim sa n oveľa rýchlejšie ako chyba lichobežníkového vzorca.

Vypočítame integrál

Tento integrál sa dá ľahko vypočítať:

Zoberme si, že n sa rovná 10, h = 0,1, vypočítame hodnoty integrandu v bodoch rozdelenia, ako aj body s polovičným číslom.

Podľa vzorca pre stredné obdĺžniky dostaneme I rovný = 0,785606 (chyba je 0,027 %), podľa lichobežníkového vzorca I pasca = 0,784981 (chyba je asi 0,054. Pri použití metódy pravého a ľavého obdĺžnika chyba je viac ako 3 %.

Aby sme porovnali presnosť približných vzorcov, vypočítame ešte raz integrál

ale teraz podľa Simpsonovho vzorca pre n=4. Segment rozdelíme na štyri rovnaké časti s bodmi x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 a vypočítame približne hodnoty ​​funkcie f (x) \u003d 1 / ( 1+x) v týchto bodoch: y 0 = 1,0000, y 1 = 0,8000, y 2 = 0,6667, y 3 = 0,5714, y 4 = 0,5000.

Podľa Simpsonovho vzorca dostaneme

Odhadnime chybu získaného výsledku. Pre integrand f(x)=1/(1+x) máme: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , z čoho vyplýva, že na segmente . Preto môžeme vziať M=24 a výsledná chyba nepresiahne 24/(2880 4 4)=0,0004. Porovnaním približnej hodnoty s presnou sme dospeli k záveru, že absolútna chyba výsledku získaného pomocou Simpsonovho vzorca je menšia ako 0,00011. Je to v súlade s vyššie uvedeným odhadom chyby a navyše to naznačuje, že Simpsonov vzorec je oveľa presnejší ako lichobežníkový. Preto sa Simpsonov vzorec na približný výpočet určitých integrálov používa častejšie ako lichobežníkový.

Problémom je numerický výpočet určitého integrálu, ktorý sa rieši pomocou vzorcov nazývaných kvadratúra.

Spomeňte si na najjednoduchšie vzorce pre numerickú integráciu.

Vypočítajme približnú číselnú hodnotu . Integračný interval [а, b] rozdelíme delením bodov na n rovnakých častí
, nazývané uzly kvadratúrneho vzorca. Nech sú známe hodnoty v uzloch
:

Hodnota

sa nazýva integračný interval alebo krok. Všimnite si, že v praxi -výpočtov sa číslo i volí malé, zvyčajne nie je väčšie ako 10 – 20. Na čiastočnom intervale

integrand je nahradený interpolačným polynómom

ktorý približne predstavuje funkciu f(x) na uvažovanom intervale.

a) Ponechajte iba jeden prvý člen v interpolačnom polynóme

Výsledný kvadratický vzorec

nazývaný vzorec obdĺžnikov.

b) Ponechajte prvé dva členy v interpolačnom polynóme

(2)

Vzorec (2) sa nazýva lichobežníkový vzorec.

c) Interval integrácie
rozdelíme na párny počet 2n rovnakých častí, pričom integračný krok h sa bude rovnať . Na intervale
s dĺžkou 2h nahradíme integrand interpolačným polynómom druhého stupňa, t.j. prvé tri členy v polynóme ponecháme:

Výsledný kvadratúrny vzorec sa nazýva Simpsonov vzorec

(3)

Vzorce (1), (2) a (3) majú jednoduchý geometrický význam. Vo vzorci obdĺžnikov je integrand f(x) na intervale
je nahradený priamkou y \u003d uk, rovnobežnou s osou x a v lichobežníkovom vzorci - priamkou
a vypočíta sa plocha obdĺžnika a priamočiareho lichobežníka, ktoré sa potom spočítajú. V Simpsonovom vzorci funkcia f(x) na intervale
dĺžka 2h je nahradená štvorcovou trojčlenkou - parabolou
vypočíta sa plocha krivočiareho parabolického lichobežníka, potom sa plochy spočítajú.

ZÁVER

Na záver by som chcel poznamenať niekoľko vlastností aplikácie vyššie uvedených metód. Každá metóda na približné riešenie určitého integrálu má svoje výhody a nevýhody, v závislosti od danej úlohy by sa mali použiť špecifické metódy.

Metóda variabilnej substitúcie je jednou z hlavných metód výpočtu neurčitých integrálov. Aj keď integrujeme inou metódou, často sa musíme uchýliť k zmene premenných v medzivýpočtoch. Úspešnosť integrácie do značnej miery závisí od toho, či dokážeme nájsť takú dobrú zmenu premenných, ktorá by daný integrál zjednodušila.

Štúdium integračných metód v podstate vedie k zisteniu, aký druh zmeny premennej by sa mal vykonať pre jednu alebo druhú formu integrandu.

teda integrácia každého racionálneho zlomku redukuje na integráciu polynómu a niekoľkých jednoduchých zlomkov.

Integrál akejkoľvek racionálnej funkcie možno vyjadriť pomocou elementárnych funkcií v konečnom tvare, a to:

cez logaritmy - v prípadoch najjednoduchších zlomkov typu 1;

cez racionálne funkcie – v prípade jednoduchých zlomkov 2. typu

cez logaritmy a arkustangens - v prípade jednoduchých zlomkov typu 3

cez racionálne funkcie a arkustangens - v prípade najjednoduchších zlomkov 4. typu. Univerzálna trigonometrická substitúcia vždy racionalizuje integrand, ale často vedie k veľmi ťažkopádnym racionálnym zlomkom, pri ktorých je najmä prakticky nemožné nájsť korene menovateľa. Preto sa, ak je to možné, používajú čiastočné substitúcie, ktoré tiež racionalizujú integrand a vedú k menej zložitým zlomkom.

Newtonov-Leibnizov vzorec je všeobecný prístup k hľadaniu určitých integrálov.

Pokiaľ ide o metódy výpočtu určitých integrálov, prakticky sa nelíšia od všetkých týchto metód a metód.

To isté platí substitučné metódy(zmena premennej), metóda integrácie po častiach, rovnaké metódy hľadania primitív pre goniometrické, iracionálne a transcendentálne funkcie. Jedinou zvláštnosťou je, že pri aplikácii týchto techník je potrebné rozšíriť transformáciu nielen na subintegrálnu funkciu, ale aj na hranice integrácie. Pri zmene integračnej premennej nezabudnite zodpovedajúcim spôsobom zmeniť integračné limity.

Dobre z vety podmienka spojitosti funkcie je dostatočnou podmienkou integrovateľnosti funkcie. To však neznamená, že určitý integrál existuje len pre spojité funkcie. Trieda integrovateľných funkcií je oveľa širšia. Napríklad existuje určitý integrál funkcií, ktoré majú konečný počet bodov nespojitosti.

Výpočet určitého integrálu spojitej funkcie pomocou Newton-Leibnizovho vzorca sa redukuje na nájdenie primitívnej funkcie, ktorá vždy existuje, ale nie vždy je elementárnou funkciou alebo funkciou, pre ktorú sú zostavené tabuľky umožňujúce získať hodnotu. integrálu. V mnohých aplikáciách je integrovateľná funkcia uvedená v tabuľke a Newton-Leibnizov vzorec nie je priamo použiteľný.

Ak chcete čo najpresnejší výsledok, ideálne simpsonovu metódu.

Z vyššie uvedeného možno vyvodiť nasledujúci záver, že integrál sa používa v takých vedách, ako je fyzika, geometria, matematika a iné vedy. Pomocou integrálu sa vypočíta práca sily, zistia sa súradnice ťažiska, dráha prejdená hmotným bodom. V geometrii sa používa na výpočet objemu telesa, nájdenie dĺžky oblúka krivky atď.

V tejto metóde sa navrhuje aproximovať integrand na parciálnom intervale pomocou paraboly prechádzajúcej cez body
(x j, f(xj)), kde j = i-1; i-0.5; i, to znamená, že integrand aproximujeme Lagrangeovým interpolačným polynómom druhého stupňa:

(10.14)

Po integrácii dostaneme:

(10.15)

Tak to je simpsonov vzorec alebo vzorec parabol. Na segmente
[a, b] Simpsonov vzorec má formu

(10.16)

Grafické znázornenie Simpsonovej metódy je na obr. 2.4.

Ryža. 10.4. Simpsonova metóda

Zbavme sa zlomkových indexov vo výraze (2.16) premenovaním premenných:

(10.17)

Potom získa Simpsonov vzorec formu

(10.18)

Chyba vzorca (2.18) sa odhaduje pomocou nasledujúceho výrazu:

, (10.19)

kde h n = b-a, . Chyba Simpsonovho vzorca je teda úmerná O(h 4).

Komentujte. Treba poznamenať, že vo vzorci Simpson je integračný segment nevyhnutne rozdelený na dokonca počet intervalov.

10.5. Výpočet určitých integrálov metódami
Monte Carlo

Predtým diskutované metódy sú tzv deterministický , teda zbavený prvku náhody.

Metódy Monte Carlo(MMK) sú numerické metódy na riešenie matematických úloh modelovaním náhodných veličín. MCM umožňujú úspešne riešiť matematické problémy spôsobené pravdepodobnostnými procesmi. Navyše, pri riešení problémov, ktoré nie sú spojené so žiadnou pravdepodobnosťou, je možné umelo prísť s pravdepodobnostným modelom (a dokonca viac ako jedným), ktorý umožňuje tieto problémy riešiť. Zvážte výpočet určitého integrálu

(10.20)

Pri výpočte tohto integrálu pomocou vzorca obdĺžnikov sa interval [ a, b] rozdelená do N identické intervaly, v strede ktorých boli vypočítané hodnoty integrandu. Výpočtom hodnôt funkcií v náhodných uzloch môžete získať presnejší výsledok:

(10.21)

(10.22)

Tu je γ i náhodné číslo rovnomerne rozdelené v intervale
. Chyba vo výpočte integrálu MMK ~, ktorá je oveľa väčšia ako chyba predtým študovaných deterministických metód.

Na obr. 2.5 ukazuje grafickú implementáciu metódy Monte Carlo na výpočet jedného integrálu s náhodnými uzlami (2.21) a (2.22).

(2.23)

Ryža. 10.6. Integrácia Monte Carlo (2. prípad)

Ako je vidieť na obr. 2.6, integrálna krivka leží v jednotkovej štvorci, a ak dokážeme získať dvojice náhodných čísel rovnomerne rozložené v intervale, potom získané hodnoty (γ 1, γ 2) možno interpretovať ako súradnice bodu v jednotkový štvorec. Potom, ak existuje dostatok týchto dvojíc čísel, môžeme to približne predpokladať
. Tu S je počet dvojíc bodov, ktoré spadajú pod krivku, a N je celkový počet dvojíc čísel.

Príklad 2.1. Vypočítajte nasledujúci integrál:

Problém sa riešil rôznymi spôsobmi. Získané výsledky sú zhrnuté v tabuľke. 2.1.

Tabuľka 2.1

Komentujte. Výber tabuľkového integrálu nám umožnil porovnať chybu každej metódy a zistiť vplyv počtu oddielov na presnosť výpočtov.

11 PRIBLIŽNÉ RIEŠENIE NELINEÁRNEHO
A TRANSCENDENTNÉ ROVNICE

Výpočet integrálov pomocou vzorcov obdĺžnikov, lichobežníkov a Simpsonovho vzorca. Odhad chýb.

Pokyny k téme 4.1:

Výpočet integrálov pomocou vzorcov obdĺžnikov. Odhad chyby:

Riešenie mnohých technických problémov sa redukuje na výpočet určitých integrálov, ktorých presné vyjadrenie je náročné, vyžaduje zdĺhavé výpočty a v praxi nie vždy opodstatnené. Tu je ich približná hodnota úplne postačujúca. Napríklad potrebujete vypočítať plochu ohraničenú priamkou, ktorej rovnica je neznáma, osou X a dva súradnice. V tomto prípade môžete tento riadok nahradiť jednoduchším, pre ktorý je rovnica známa. Plocha takto získaného krivočiareho lichobežníka sa berie ako približná hodnota požadovaného integrálu. Geometricky je myšlienkou metódy výpočtu určitého integrálu pomocou vzorca obdĺžnikov, že plocha krivočiareho lichobežníka A 1 ABB 1 sa nahradí plochou obdĺžnika s rovnakou plochou A 1 A 2 B 1 B 2, ktorá sa podľa vety o strednej hodnote rovná

Kde f(c)--- výška obdĺžnika A 1 A 2 B 1 B 2,čo je hodnota integrandu v nejakom medziľahlom bode c(a< c

Nájsť takúto hodnotu je prakticky ťažké s, na ktorom (b-a)f(c) by sa presne rovnalo . Aby sa získala presnejšia hodnota, oblasť krivočiareho lichobežníka je rozdelená na n obdĺžniky, ktorých výška je rovnaká y0, y1, y2, …,yn-1 a základy.

Ak zhrnieme oblasti obdĺžnikov, ktoré pokrývajú oblasť krivočiareho lichobežníka s nevýhodou, funkcia je neklesajúca, potom sa namiesto vzorca použije vzorec

Ak prebytok, tak

Hodnoty sa zisťujú z rovnosti. Tieto vzorce sú tzv obdĺžnikové vzorce a uveďte približný výsledok. S nárastom n výsledok bude presnejší.

Príklad 1 . Vypočítajte zo vzorca pre obdĺžniky

Interval integrácie rozdeľujeme na 5 častí. Potom . Pomocou kalkulačky alebo tabuľky nájdeme hodnoty integrandu (s presnosťou na 4 desatinné miesta):

Podľa vzorca obdĺžnikov (s nevýhodou)

Na druhej strane podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca

Nájdite relatívnu chybu výpočtu pomocou vzorca obdĺžnikov:

Výpočet integrálov pomocou lichobežníkových vzorcov. Odhad chyby:

Geometrický význam nasledujúcej metódy na približný výpočet integrálov spočíva v nájdení plochy približne rovnako veľkého „priamočiareho“ lichobežníka.

Nech je potrebné vypočítať plochu A 1 AmBB 1 krivočiary lichobežník vyjadrený vzorcom .

Vymeňme oblúk AmB akord AB a namiesto oblasti krivočiareho lichobežníka A 1 AmBB 1 vypočítajte plochu lichobežníka A 1 ABB 1: , kde AA 1 a BB 1 - základňa lichobežníka a A 1 B 1 je jeho výška.

Označiť f(a)=AiA,f(b)=BiB. výška lichobežníka A 1 B 1 \u003d b-a, námestie . teda alebo

Tento tzv malý lichobežníkový vzorec.

Na zostavenie Simpsonovho vzorca najprv zvážime nasledujúci problém: vypočítajte plochu S krivočiareho lichobežníka ohraničeného zhora grafom paraboly y \u003d Ax 2 + Bx + C, zľava priamkou x \u003d - h, sprava priamkou x \u003d h a zdola segmentom [-h; h]. Nechajte parabolu prechádzať tromi bodmi (obr. 8): D (-h; y 0) E (0; y 1) a F (h; y 2) a x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . teda

x 1 \u003d x 0 + h \u003d 0; x 2 = x 0 + 2 h.

Potom sa plocha S rovná integrálu:

Túto oblasť vyjadrujeme pomocou h, y 0 , y 1 a y 2 . K tomu vypočítame koeficienty paraboly A, B, C. Z podmienky, že parabola prechádza bodmi D, E a F, máme:

Riešením tejto sústavy dostaneme: C = y 1 ; A=

Nahradením týchto hodnôt A a C do (3) získame požadovanú oblasť

Prejdime teraz k odvodeniu Simpsonovho vzorca na výpočet integrálu

Aby sme to dosiahli, rozdelíme integračný segment na 2n rovnakých častí dĺžky

V bodoch delenia (obr. 4) a \u003d x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n \u003d b,

Vypočítame hodnoty integrandu f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , de y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,..., 2n).

Na segmente nahradíme integrand parabolou prechádzajúcou bodmi (x 0; y 0), (x 1; y 1) a (x 2; y 2) a vypočítame približnú hodnotu integrálu z x 0 až x 2, použijeme vzorec (4 ). Potom (tieňovaná oblasť na obr. 4):

Podobne nájdeme:

................................................

Pridaním výsledných rovnosti máme:

Vzorec (5) sa nazýva zovšeobecnený Simpsonov vzorec alebo parabolický vzorec, keďže pri jeho odvodení sa graf integrandu na parciálnom segmente dĺžky 2h nahradí oblúkom paraboly.

Pracovná úloha:

1. Podľa pokynov učiteľa alebo v súlade s možnosťou z tabuľky 4 úlohy (pozri prílohu) prijať podmienky - integrand, hranice integrácie.

2. Zostavte vývojový diagram programu a program, ktorý by mal:

Požiadajte o presnosť výpočtu určitého integrálu, dolnej a hornej hranice integrácie;

Vypočítajte daný integrál metódami: pre možnosti 1,4,7, 10… - vpravo, pre možnosti 2,5,8,… - priemer; pre možnosti 2,5,8,… - ľavé obdĺžniky. Vypíšte počet častí integračného rozsahu, pri ktorých sa dosiahne špecifikovaná presnosť výpočtu;

Vypočítajte daný integrál pomocou lichobežníkovej metódy (pre párne možnosti) a Simpsonovej metódy (pre nepárne možnosti).

Vypíšte počet častí integračného rozsahu, pri ktorých sa dosiahne špecifikovaná presnosť výpočtu;

Vypíšte hodnoty riadiacej funkcie pre danú hodnotu argumentu a porovnajte s vypočítanými hodnotami integrálu. Vyvodiť závery.

testovacie otázky

1. Čo je to určitý integrál?

2. Prečo sa popri analytických metódach používajú aj numerické metódy na výpočet určitých integrálov.

3. Čo je podstatou hlavných numerických metód na výpočet určitých integrálov.

4. Vplyv počtu dielikov na presnosť výpočtu určitého integrálu numerickými metódami.

5. Ako vypočítať integrál ľubovoľnou metódou s danou presnosťou?