Pomocou tohto videonávodu si môžete samostatne preštudovať tému „Veličiny charakterizujúce oscilačný pohyb“. V tejto lekcii sa dozviete, ako a akými veličinami sa vyznačujú oscilačné pohyby. Bude uvedená definícia takých veličín, ako je amplitúda a výchylka, perióda a frekvencia oscilácií.
Poďme diskutovať o kvantitatívnych charakteristikách oscilácií. Začnime najzrejmejšou charakteristikou - amplitúdou. Amplitúda označuje sa veľkým písmenom A a meria sa v metroch.
Definícia
Amplitúda nazývané maximálne posunutie z rovnovážnej polohy.
Často sa amplitúda zamieňa s rozsahom oscilácií. Hojdačka je, keď telo osciluje z jedného extrémneho bodu do druhého. A amplitúda je maximálne posunutie, teda vzdialenosť od rovnovážneho bodu, od rovnovážnej priamky po krajný bod, v ktorom padla. Okrem amplitúdy existuje ďalšia charakteristika - posun. Ide o aktuálnu odchýlku od rovnovážnej polohy.
ALE – amplitúda –
X – offset –
Ryža. 1. Amplitúda
Pozrime sa, ako sa líšia amplitúda a offset na príklade. Matematické kyvadlo je v rovnovážnom stave. Čiara umiestnenia kyvadla v počiatočnom časovom okamihu je čiarou rovnováhy. Ak vezmete kyvadlo do strany, bude to jeho maximálny posun (amplitúda). V inom čase nebude vzdialenosť amplitúdou, ale jednoducho posunutím.
Ryža. 2. Rozdiel medzi amplitúdou a ofsetom
Ďalšia funkcia, ku ktorej prejdeme, je tzv oscilačná perióda.
Definícia
Doba oscilácie je časový interval, počas ktorého prebehne jedna úplná oscilácia.
Upozorňujeme, že hodnota „bodka“ je označená veľkým písmenom , je definovaná takto: , .
Ryža. 3. Obdobie
Je vhodné dodať, že čím viac budeme brať počet kmitov za dlhší čas, tým presnejšie určíme periódu kmitov.
Ďalšia hodnota je frekvencia.
Definícia
Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia výkyvy.
Ryža. 4. Frekvencia
Frekvencia je označená gréckym písmenom, ktoré sa číta ako „nu“. Frekvencia je pomer počtu kmitov k času, počas ktorého tieto kmity nastali:.
Jednotky frekvencie. Táto jednotka sa nazýva „hertz“ na počesť nemeckého fyzika Heinricha Hertza. Všimnite si, že perióda a frekvencia sú spojené z hľadiska počtu kmitov a času, počas ktorého sa toto kmitanie uskutočňuje. Pre každý oscilačný systém sú frekvencia a perióda konštantné hodnoty. Vzťah medzi týmito veličinami je celkom jednoduchý: .
Okrem pojmu "frekvencia oscilácií" sa často používa pojem "frekvencia cyklických oscilácií", to znamená počet oscilácií za sekundu. Označuje sa písmenom a meria sa v radiánoch za sekundu.
Grafy voľných netlmených kmitov
Už poznáme riešenie hlavného problému mechaniky pre voľné kmity – sínusový alebo kosínusový zákon. Vieme tiež, že grafy sú mocným nástrojom na štúdium fyzikálnych procesov. Povedzme si, ako budú vyzerať grafy sínusoidy a kosínusovej vlny pri aplikácii na harmonické kmity.
Na začiatok si definujme singulárne body počas oscilácií. Je to potrebné na správny výber rozsahu konštrukcie. Predstavte si matematické kyvadlo. Prvá otázka, ktorá vyvstáva, je: ktorú funkciu použiť - sínus alebo kosínus? Ak oscilácia začína od horného bodu - maximálnej odchýlky, kosínusový zákon bude zákonom pohybu. Ak sa začnete pohybovať z bodu rovnováhy, zákon pohybu bude zákon sínusu.
Ak je pohybovým zákonom kosínusový zákon, potom po štvrtine periódy bude kyvadlo v rovnovážnej polohe, po ďalšej štvrtine - v krajnom bode, po ďalšej štvrtine - opäť v rovnovážnej polohe a po ďalšej štvrtine vráti sa do pôvodnej polohy.
Ak kyvadlo kmitá podľa sínusového zákona, tak po štvrtine periódy bude v krajnom bode, po ďalšej štvrtine - v rovnovážnej polohe. Potom znova v extrémnom bode, ale na druhej strane a po ďalšej štvrtine obdobia sa vráti do rovnovážnej polohy.
Časová mierka teda nebude ľubovoľnou hodnotou 5 s, 10 s atď., ale zlomkom obdobia. Zostavíme graf v štvrtinách obdobia.
Prejdime k stavbe. sa mení buď podľa sínusového zákona alebo podľa kosínusového zákona. Súradnicová os je , súradnicová os je . Časová mierka sa rovná štvrtinám obdobia: Graf bude ležať v rozsahu od do .
Ryža. 5. Grafy závislosti
Graf pre kmitanie podľa sínusového zákona vychádza z nuly a je označený tmavomodrou farbou (obr. 5). Graf pre osciláciu podľa kosínusového zákona opúšťa polohu maximálnej výchylky a je na obrázku vyznačený modrou farbou. Grafy vyzerajú úplne identicky, ale sú fázovo posunuté voči sebe o štvrtinu periódy alebo radiánov.
Grafy závislostí a budú mať podobný vzhľad, pretože sa tiež menia podľa harmonického zákona.
Vlastnosti kmitov matematického kyvadla
Matematické kyvadlo je hmotný bod hmoty zavesený na dlhom neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne dĺžky .
Venujte pozornosť vzorcu pre periódu kmitania matematického kyvadla: , kde je dĺžka kyvadla, je zrýchlenie voľného pádu.
Čím dlhšie je kyvadlo, tým dlhšia je doba jeho kmitov (obr. 6). Čím je závit dlhší, tým dlhšie sa kyvadlo kýva.
Ryža. 6 Závislosť periódy kmitania od dĺžky kyvadla
Čím väčšie je zrýchlenie voľného pádu, tým kratšia je perióda kmitania (obr. 7). Čím väčšie je zrýchlenie voľného pádu, tým silnejšie nebeské teleso priťahuje váhu a tým rýchlejšie má tendenciu vrátiť sa do rovnovážnej polohy.
Ryža. 7 Závislosť periódy kmitania od zrýchlenia voľného pádu
Upozorňujeme, že doba kmitania nezávisí od hmotnosti záťaže a amplitúdy kmitov (obr. 8).
Ryža. 8. Doba kmitania nezávisí od amplitúdy kmitania
Na túto skutočnosť ako prvý upozornil Galileo Galilei. Na základe tejto skutočnosti je navrhnutý mechanizmus kyvadlových hodín.
Je potrebné poznamenať, že presnosť vzorca je maximálna len pre malé, relatívne malé odchýlky. Napríklad pre odchýlku je chyba vzorca . Pri väčších odchýlkach už presnosť vzorca nie je taká veľká.
Zvážte kvalitatívne problémy, ktoré opisujú matematické kyvadlo.
Úloha.Ako sa zmení chod kyvadlových hodín, ak budú: 1) prepravené z Moskvy na Severný pól; 2) preprava z Moskvy na rovník; 3) zdvihnúť vysoko do kopca; 4) vyberieme z vykúrenej miestnosti do chladu.
Aby sme správne odpovedali na otázku problému, je potrebné pochopiť, čo znamená „beh kyvadlových hodín“. Kyvadlové hodiny sú založené na matematickom kyvadle. Ak je perióda kmitania hodín menšia ako potrebujeme, hodiny sa začnú ponáhľať. Ak sa perióda oscilácie predĺži, ako je potrebné, hodiny budú zaostávať. Úloha sa redukuje na odpoveď na otázku: čo sa stane s periódou kmitania matematického kyvadla v dôsledku všetkých akcií uvedených v úlohe?
Uvažujme o prvej situácii. Matematické kyvadlo je prenesené z Moskvy na severný pól. Pripomíname, že Zem má tvar geoidu, teda gule sploštenej na póloch (obr. 9). To znamená, že na póle je veľkosť zrýchlenia voľného pádu o niečo väčšia ako v Moskve. A keďže zrýchlenie voľného pádu je väčšie, perióda oscilácie sa o niečo skráti a hodiny kyvadla začne sa ponáhľať. Tu zanedbávame fakt, že na severnom póle je chladnejšie.
Ryža. 9. Zrýchlenie voľného pádu je väčšie na póloch Zeme
Zoberme si druhú situáciu. Posúvame hodiny z Moskvy k rovníku za predpokladu, že sa teplota nezmení. Zrýchlenie voľného pádu na rovníku je o niečo menšie ako v Moskve. To znamená, že perióda kmitania matematického kyvadla sa zvýši a hodiny sa začnú spomaľovať.
V treťom prípade sú hodiny zdvihnuté vysoko do kopca, čím sa zväčšuje vzdialenosť k stredu Zeme (obr. 10). To znamená, že zrýchlenie voľného pádu na vrchole hory je menšie. Obdobie oscilácie sa zvyšuje hodiny budú pozadu.
Ryža. 10 Gravitácia je väčšia na vrchole hory
Zoberme si posledný prípad. Hodiny sa vynesú z teplej miestnosti do chladu. S klesajúcou teplotou sa lineárne rozmery telies zmenšujú. To znamená, že dĺžka kyvadla sa mierne skráti. Keďže sa dĺžka zmenšila, skrátila sa aj perióda oscilácie. Hodiny sa budú ponáhľať.
Uvažovali sme o najtypickejších situáciách, ktoré nám umožňujú pochopiť, ako funguje vzorec pre periódu oscilácie matematického kyvadla.
Na záver zvážte ďalšiu charakteristiku oscilácií - fáza. O tom, čo je to fáza, si povieme podrobnejšie v seniorských triedach. Dnes musíme zvážiť, s čím možno túto charakteristiku porovnať, porovnať a ako ju určiť pre seba. Najvýhodnejšie je porovnať fázu kmitov s rýchlosťou kyvadla.
Obrázok 11 zobrazuje dve rovnaké kyvadla. Prvé kyvadlo bolo vychýlené doľava o určitý uhol, druhé bolo tiež vychýlené doľava o určitý uhol, rovnako ako prvé. Obe kyvadla budú robiť presne rovnaké kmity. V tomto prípade môžeme povedať, že kyvadla kmitajú s rovnakou fázou, keďže rýchlosti kyvadla majú rovnaký smer a rovnaké moduly.
Obrázok 12 zobrazuje dve podobné kyvadla, ale jedno je naklonené doľava a druhé doprava. Majú tiež rovnaké rýchlosti modulo, ale smer je opačný. V tomto prípade sa hovorí, že kyvadla oscilujú v protifáze.
Vo všetkých ostatných prípadoch sa spravidla uvádza fázový rozdiel.
Ryža. 13 Fázový rozdiel
Fázu kmitov v ľubovoľnom časovom bode možno vypočítať podľa vzorca , teda ako súčin cyklickej frekvencie a času, ktorý uplynul od začiatku kmitov. Fáza sa meria v radiánoch.
Vlastnosti kmitov pružinového kyvadla
Vzorec pre kmitanie pružinového kyvadla: . Doba kmitania pružinového kyvadla teda závisí od hmotnosti zaťaženia a tuhosti pružiny.
Čím väčšia je hmotnosť nákladu, tým väčšia je jeho zotrvačnosť. To znamená, že kyvadlo sa bude zrýchľovať pomalšie, doba jeho kmitov bude dlhšia (obr. 14).
Ryža. 14 Závislosť periódy kmitania od hmotnosti
Čím väčšia je tuhosť pružiny, tým rýchlejšie má tendenciu vrátiť sa do svojej rovnovážnej polohy. Obdobie jarného kyvadla bude menšie.
Ryža. 15 Závislosť periódy kmitania od tuhosti pružiny
Zvážte použitie vzorca na príklade problému.
Ryža. 17 Doba oscilácie
Ak teraz nahradíme všetky potrebné hodnoty vo vzorci na výpočet hmotnosti, dostaneme:
odpoveď: hmotnosť závažia je približne 10 g.
Rovnako ako v prípade matematického kyvadla, aj v prípade pružinového kyvadla nezávisí doba kmitania od jeho amplitúdy. Prirodzene to platí len pre malé odchýlky od rovnovážnej polohy, kedy je deformácia pružiny elastická. Táto skutočnosť bola základom pre konštrukciu pružinových hodín (obr. 18).
Ryža. 18 Jarné hodinky
Záver
Samozrejme, okrem kmitov a tých charakteristík, o ktorých sme hovorili, existujú aj iné nemenej dôležité charakteristiky kmitavého pohybu. Ale o nich si povieme na strednej škole.
Bibliografia
- Kikoin A.K. O zákone kmitavého pohybu // Kvant. - 1983. - č. 9. - S. 30-31.
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fyzika: učebnica. pre 9 buniek. priem. škola - M.: Osveta, 1992. - 191 s.
- Chernoutsan A.I. Harmonické vibrácie - obyčajné a úžasné // Kvant. - 1991. - č. 9. - S. 36-38.
- Peryshkin A.V., Gutnik E.M. fyzika. 9. ročník: učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik. - 14. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2009. - 300 s.
- Internetový portál "abitura.com" ()
- Internetový portál "phys-portal.ru" ()
- Internetový portál "fizmat.by" ()
Domáca úloha
- Čo sú matematické a pružinové kyvadla? Aký je medzi nimi rozdiel?
- Čo je harmonická oscilácia, perióda oscilácie?
- Závažie 200 g kmitá na pružine s tuhosťou 200 N/m. Nájdite celkovú mechanickú energiu kmitov a maximálnu rýchlosť pohybu bremena, ak je amplitúda kmitov 10 cm (trenie zanedbajte).
Porovnajme kmity dvoch rovnakých kyvadiel znázornených na obrázku 58. Prvé kyvadlo kmitá s veľkým výkyvom, to znamená, že jeho krajné polohy sú od rovnovážnej polohy ďalej ako u druhého kyvadla.
Ryža. 58. Kmity kyvadla vyskytujúce sa s rôznymi amplitúdami
- Najväčšia (modulo) odchýlka kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy sa nazýva amplitúda kmitania
Budeme uvažovať oscilácie, ktoré sa vyskytujú s malými amplitúdami (obr. 59), pri ktorých možno dĺžku oblúka AB považovať za rovnú segmentu AB a dokonca aj polovičnej tetive CB. Preto možno amplitúdu kmitov kyvadla závitu chápať ako oblúk alebo ktorýkoľvek z týchto segmentov. Takže amplitúda kmitov prvého kyvadla (pozri obr. 58) sa rovná 0 1 A 1 alebo 0 1 B 1 a druhá - 0 2 A 2 alebo O 2 B 2. Amplitúda sa označuje písmenom A a v SI sa meria v jednotkách dĺžky - metre (m), centimetre (cm) atď. Amplitúdu možno merať aj v jednotkách plochého uhla, napríklad v stupňoch, keďže určitý stredový uhol zodpovedá oblúku kružnice, teda uhlu s vrcholom v strede kružnice (v tomto prípade v bode O).
Ryža. 59. Pre kmity s malou amplitúdou sa dĺžka oblúka AB rovná segmentu AB
Amplitúda kmitania kyvadla pružiny (pozri obr. 53) sa rovná dĺžke segmentu OB alebo OA.
Oscilujúce teleso vykoná jeden úplný kmit, ak od začiatku kmitov prechádza dráha rovnajúca sa štyrom amplitúdam. Napríklad po presunutí z bodu O 1 do bodu B 1, potom do bodu A 1 a opäť do bodu O 1 (pozri obr. 58) loptička vykoná jeden úplný kmit.
- Časový úsek, počas ktorého telo vykoná jeden úplný kmit, sa nazýva perióda kmitu.
Perióda kmitania je označená písmenom T a v SI sa meria v sekundách (s).
Dve rovnaké guľôčky zavesíme na nite rôznych dĺžok a uvedieme ich do kmitavého pohybu. Uvidíme, že za rovnaký čas krátke kyvadlo urobí viac kmitov ako dlhé.
- Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia kmitov
Frekvencia je označená gréckym písmenom v („nu“). Jednotkou frekvencie je jedna oscilácia za sekundu. Táto jednotka je pomenovaná hertz (Hz) na počesť nemeckého vedca Heinricha Hertza.
Povedzme, že za jednu sekundu kyvadlo vykoná dva kmity, t.j. frekvencia jeho kmitov je 2 Hz. Na nájdenie periódy kmitov je potrebné vydeliť jednu sekundu počtom kmitov v tejto sekunde, t.j. frekvenciou:
Perióda oscilácií T a frekvencia oscilácií v teda súvisia s nasledujúcim vzťahom:
Na príklade kmitov kyvadiel rôznych dĺžok dospejeme k záveru, že frekvencia a perióda voľných kmitov vláknitého kyvadla závisí od dĺžky jeho vlákna. Čím dlhší je závit kyvadla, tým dlhšia je perióda kmitania a tým nižšia je frekvencia.
- Voľné oscilácie pri absencii trenia a odporu vzduchu sa nazývajú prirodzené oscilácie a ich frekvencia je prirodzenou frekvenciou oscilačného systému.
Nielen vláknové kyvadlo, ale aj akýkoľvek iný oscilačný systém má určitú vlastnú frekvenciu, ktorá závisí od parametrov tohto systému. Napríklad prirodzená frekvencia kyvadla pružiny závisí od hmotnosti zaťaženia a tuhosti pružiny.
Uvažujme kmity dvoch rovnakých kyvadiel (obr. 60). Súčasne sa ľavé kyvadlo z polohy úplne vľavo začne pohybovať doprava a pravé kyvadlo z polohy úplne vpravo sa posunie doľava. Obe kyvadla kmitajú s rovnakou frekvenciou (pretože dĺžky ich závitov sú rovnaké) a s rovnakými amplitúdami. Tieto oscilácie sa však navzájom líšia: v každom okamihu sú rýchlosti kyvadiel nasmerované opačnými smermi. V tomto prípade sa hovorí, že kyvadla oscilujú v opačných fázach.
Ryža. 60. Kmity kyvadiel vyskytujúce sa v opačných fázach
Kyvadla zobrazené na obrázku 58 tiež kmitajú s rovnakými frekvenciami. Rýchlosti týchto kyvadiel sú v každom okamihu nasmerované rovnakým smerom. V tomto prípade sa hovorí, že kyvadla oscilujú v rovnakých fázach.
Uvažujme ešte o jednom prípade. V momente znázornenom na obrázku 61, a, sú rýchlosti oboch kyvadiel nasmerované doprava. Ale po chvíli (obr. 61, b) budú nasmerované rôznymi smermi. V tomto prípade sa hovorí, že oscilácie sa vyskytujú s určitým fázovým rozdielom.
Ryža. 61. Kmity kyvadiel vyskytujúce sa s určitým fázovým rozdielom
Fyzikálna veličina nazývaná fáza sa používa nielen pri porovnávaní vibrácií dvoch alebo viacerých telies, ale aj na opis vibrácií jedného telesa.
Vzorec na určenie fázy v ľubovoľnom čase sa bude preberať na strednej škole.
Oscilačný pohyb je teda charakterizovaný amplitúdou, frekvenciou (alebo periódou) a fázou.
Otázky
- Čo sa nazýva amplitúda kmitov; perióda oscilácie; frekvencia oscilácií? V akých jednotkách sa meria každá z týchto veličín?
- Aký je matematický vzťah medzi periódou a frekvenciou kmitov?
- Ako závisia: a) frekvencia; b) perióda voľných kmitov kyvadla na dĺžke jeho závitu?
- Aké vibrácie sa nazývajú prirodzené?
- Ako sa nazýva vlastná frekvencia oscilačného systému?
Cvičenie 24
- Obrázok 62 ukazuje dvojice oscilujúcich kyvadiel. V akých prípadoch oscilujú dve kyvadla: v rovnakých fázach vzhľadom na seba; v opačných fázach?
- Frekvencia kmitov stometrového železničného mosta je 2 Hz. Určte periódu týchto kmitov.
- Perióda vertikálnych kmitov železničného vozňa je 0,5 s. Určite frekvenciu kmitov auta.
- Ihla šijacieho stroja vykoná 600 úplných kmitov za minútu. Aká je frekvencia kmitov ihly?
- Amplitúda kmitov záťaže na pružine je 3 cm, ktorou smerom z rovnovážnej polohy záťaž prejde za čas rovný - ¼T; - ½ T; - ¾T; - T?
- Amplitúda kmitov záťaže na pružine je 10 cm, frekvencia je 0,5 Hz. Akú vzdialenosť prejde náklad za 2 sekundy?
Cvičenie
Navrhnite experiment zahŕňajúci magnetické sily, ktoré simulujú zvýšenie zrýchlenia voľného pádu a pôsobia na oscilujúce kyvadlo s vláknom. Vykonajte tento experiment a urobte záver o kvalitatívnej závislosti periódy kmitania od zrýchlenia voľného pádu.
Zvážte nasledujúci obrázok:
Obsahuje dve rovnaké kyvadla. Ako vidno z obrázku, prvé kyvadlo kmitá s väčším výkyvom ako druhé. Inými slovami, krajné polohy, ktoré zaujíma prvé kyvadlo, sú od seba vo väčšej vzdialenosti ako druhé kyvadlo.
Amplitúda
- Amplitúda oscilácie- najväčšia odchýlka kmitajúceho telesa od rovnovážnej polohy v absolútnej hodnote.
Zvyčajne sa na označenie amplitúdy vibrácií používa písmeno A. Jednotky merania amplitúdy sú rovnaké ako jednotky merania dĺžky, to znamená, že sú to metre, centimetre atď. V zásade môže byť amplitúda zapísaná v jednotkách rovinného uhla, pretože každý oblúk kruhu bude zodpovedať jedinému stredovému uhlu.
Hovorí sa, že oscilujúce teleso vykoná jednu úplnú osciláciu, keď prejde dráhu rovnajúcu sa štyrom amplitúdam.
Doba oscilácie
- Doba oscilácie je čas, ktorý telo potrebuje na vykonanie jedného úplného kmitania.
Periódu oscilácie označujeme písmenom T. Jednotkou periódy oscilácie T sú sekundy.
Ak zavesíme dve rovnaké guľôčky na vlákna rôznej dĺžky a uvedieme ich do kmitavého pohybu, všimneme si, že v rovnakých časových intervaloch vykonajú rôzny počet kmitov. Lopta zavesená na krátkej strune bude kmitať viac ako loptička zavesená na dlhej strune.
Oscilačná frekvencia
- Oscilačná frekvencia sa nazýva počet kmitov, ktoré boli vykonané za jednotku času.
Frekvencia kmitania sa označuje písmenom ν (čítaj ako „nu“). Jednotky frekvencie oscilácií sa nazývajú Hertz. Jeden hertz znamená jednu osciláciu za sekundu.
Perióda a frekvencia kmitov sú vzájomne prepojené nasledujúcim vzťahom:
Frekvencia voľných kmitov sa nazýva vlastná frekvencia oscilačného systému. Každý systém má svoju vlastnú frekvenciu kmitov.
Oscilačná fáza
Existuje aj taká vec ako fáza kmitov. Dve kyvadla môžu mať rovnakú frekvenciu kmitov, ale súčasne môžu kmitať v rôznych fázach, to znamená, že ich rýchlosti budú kedykoľvek smerovať opačným smerom.
- Ak sú rýchlosti kyvadiel v ktoromkoľvek časovom okamihu nasmerované rovnakým smerom, potom hovoria, že kyvadlá kmitajú v rovnakých fázach kmitania.
Kyvadla môžu tiež oscilovať s určitým fázovým rozdielom, v takom prípade sa v niektorých časových bodoch bude smer ich rýchlostí zhodovať a v iných nie.
Pomocou tohto videonávodu si môžete samostatne preštudovať tému „Veličiny charakterizujúce oscilačný pohyb“. V tejto lekcii sa dozviete, ako a akými veličinami sa vyznačujú oscilačné pohyby. Bude uvedená definícia takých veličín, ako je amplitúda a výchylka, perióda a frekvencia oscilácií.
Poďme diskutovať o kvantitatívnych charakteristikách oscilácií. Začnime najzrejmejšou charakteristikou - amplitúdou. Amplitúda označuje sa veľkým písmenom A a meria sa v metroch.
Definícia
Amplitúda nazývané maximálne posunutie z rovnovážnej polohy.
Často sa amplitúda zamieňa s rozsahom oscilácií. Hojdačka je, keď telo osciluje z jedného extrémneho bodu do druhého. A amplitúda je maximálne posunutie, teda vzdialenosť od rovnovážneho bodu, od rovnovážnej priamky po krajný bod, v ktorom padla. Okrem amplitúdy existuje ďalšia charakteristika - posun. Ide o aktuálnu odchýlku od rovnovážnej polohy.
ALE – amplitúda –
X – offset –
Ryža. 1. Amplitúda
Pozrime sa, ako sa líšia amplitúda a offset na príklade. Matematické kyvadlo je v rovnovážnom stave. Čiara umiestnenia kyvadla v počiatočnom časovom okamihu je čiarou rovnováhy. Ak vezmete kyvadlo do strany, bude to jeho maximálny posun (amplitúda). V inom čase nebude vzdialenosť amplitúdou, ale jednoducho posunutím.
Ryža. 2. Rozdiel medzi amplitúdou a ofsetom
Ďalšia funkcia, ku ktorej prejdeme, je tzv oscilačná perióda.
Definícia
Doba oscilácie je časový interval, počas ktorého prebehne jedna úplná oscilácia.
Upozorňujeme, že hodnota „bodka“ je označená veľkým písmenom , je definovaná takto: , .
Ryža. 3. Obdobie
Je vhodné dodať, že čím viac budeme brať počet kmitov za dlhší čas, tým presnejšie určíme periódu kmitov.
Ďalšia hodnota je frekvencia.
Definícia
Počet kmitov za jednotku času sa nazýva frekvencia výkyvy.
Ryža. 4. Frekvencia
Frekvencia je označená gréckym písmenom, ktoré sa číta ako „nu“. Frekvencia je pomer počtu kmitov k času, počas ktorého tieto kmity nastali:.
Jednotky frekvencie. Táto jednotka sa nazýva „hertz“ na počesť nemeckého fyzika Heinricha Hertza. Všimnite si, že perióda a frekvencia sú spojené z hľadiska počtu kmitov a času, počas ktorého sa toto kmitanie uskutočňuje. Pre každý oscilačný systém sú frekvencia a perióda konštantné hodnoty. Vzťah medzi týmito veličinami je celkom jednoduchý: .
Okrem pojmu "frekvencia oscilácií" sa často používa pojem "frekvencia cyklických oscilácií", to znamená počet oscilácií za sekundu. Označuje sa písmenom a meria sa v radiánoch za sekundu.
Grafy voľných netlmených kmitov
Už poznáme riešenie hlavného problému mechaniky pre voľné kmity – sínusový alebo kosínusový zákon. Vieme tiež, že grafy sú mocným nástrojom na štúdium fyzikálnych procesov. Povedzme si, ako budú vyzerať grafy sínusoidy a kosínusovej vlny pri aplikácii na harmonické kmity.
Na začiatok si definujme singulárne body počas oscilácií. Je to potrebné na správny výber rozsahu konštrukcie. Predstavte si matematické kyvadlo. Prvá otázka, ktorá vyvstáva, je: ktorú funkciu použiť - sínus alebo kosínus? Ak oscilácia začína od horného bodu - maximálnej odchýlky, kosínusový zákon bude zákonom pohybu. Ak sa začnete pohybovať z bodu rovnováhy, zákon pohybu bude zákon sínusu.
Ak je pohybovým zákonom kosínusový zákon, potom po štvrtine periódy bude kyvadlo v rovnovážnej polohe, po ďalšej štvrtine - v krajnom bode, po ďalšej štvrtine - opäť v rovnovážnej polohe a po ďalšej štvrtine vráti sa do pôvodnej polohy.
Ak kyvadlo kmitá podľa sínusového zákona, tak po štvrtine periódy bude v krajnom bode, po ďalšej štvrtine - v rovnovážnej polohe. Potom znova v extrémnom bode, ale na druhej strane a po ďalšej štvrtine obdobia sa vráti do rovnovážnej polohy.
Časová mierka teda nebude ľubovoľnou hodnotou 5 s, 10 s atď., ale zlomkom obdobia. Zostavíme graf v štvrtinách obdobia.
Prejdime k stavbe. sa mení buď podľa sínusového zákona alebo podľa kosínusového zákona. Súradnicová os je , súradnicová os je . Časová mierka sa rovná štvrtinám obdobia: Graf bude ležať v rozsahu od do .
Ryža. 5. Grafy závislosti
Graf pre kmitanie podľa sínusového zákona vychádza z nuly a je označený tmavomodrou farbou (obr. 5). Graf pre osciláciu podľa kosínusového zákona opúšťa polohu maximálnej výchylky a je na obrázku vyznačený modrou farbou. Grafy vyzerajú úplne identicky, ale sú fázovo posunuté voči sebe o štvrtinu periódy alebo radiánov.
Grafy závislostí a budú mať podobný vzhľad, pretože sa tiež menia podľa harmonického zákona.
Vlastnosti kmitov matematického kyvadla
Matematické kyvadlo je hmotný bod hmoty zavesený na dlhom neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne dĺžky .
Venujte pozornosť vzorcu pre periódu kmitania matematického kyvadla: , kde je dĺžka kyvadla, je zrýchlenie voľného pádu.
Čím dlhšie je kyvadlo, tým dlhšia je doba jeho kmitov (obr. 6). Čím je závit dlhší, tým dlhšie sa kyvadlo kýva.
Ryža. 6 Závislosť periódy kmitania od dĺžky kyvadla
Čím väčšie je zrýchlenie voľného pádu, tým kratšia je perióda kmitania (obr. 7). Čím väčšie je zrýchlenie voľného pádu, tým silnejšie nebeské teleso priťahuje váhu a tým rýchlejšie má tendenciu vrátiť sa do rovnovážnej polohy.
Ryža. 7 Závislosť periódy kmitania od zrýchlenia voľného pádu
Upozorňujeme, že doba kmitania nezávisí od hmotnosti záťaže a amplitúdy kmitov (obr. 8).
Ryža. 8. Doba kmitania nezávisí od amplitúdy kmitania
Na túto skutočnosť ako prvý upozornil Galileo Galilei. Na základe tejto skutočnosti je navrhnutý mechanizmus kyvadlových hodín.
Je potrebné poznamenať, že presnosť vzorca je maximálna len pre malé, relatívne malé odchýlky. Napríklad pre odchýlku je chyba vzorca . Pri väčších odchýlkach už presnosť vzorca nie je taká veľká.
Zvážte kvalitatívne problémy, ktoré opisujú matematické kyvadlo.
Úloha.Ako sa zmení chod kyvadlových hodín, ak budú: 1) prepravené z Moskvy na Severný pól; 2) preprava z Moskvy na rovník; 3) zdvihnúť vysoko do kopca; 4) vyberieme z vykúrenej miestnosti do chladu.
Aby sme správne odpovedali na otázku problému, je potrebné pochopiť, čo znamená „beh kyvadlových hodín“. Kyvadlové hodiny sú založené na matematickom kyvadle. Ak je perióda kmitania hodín menšia ako potrebujeme, hodiny sa začnú ponáhľať. Ak sa perióda oscilácie predĺži, ako je potrebné, hodiny budú zaostávať. Úloha sa redukuje na odpoveď na otázku: čo sa stane s periódou kmitania matematického kyvadla v dôsledku všetkých akcií uvedených v úlohe?
Uvažujme o prvej situácii. Matematické kyvadlo je prenesené z Moskvy na severný pól. Pripomíname, že Zem má tvar geoidu, teda gule sploštenej na póloch (obr. 9). To znamená, že na póle je veľkosť zrýchlenia voľného pádu o niečo väčšia ako v Moskve. A keďže zrýchlenie voľného pádu je väčšie, perióda oscilácie sa o niečo skráti a hodiny kyvadla začne sa ponáhľať. Tu zanedbávame fakt, že na severnom póle je chladnejšie.
Ryža. 9. Zrýchlenie voľného pádu je väčšie na póloch Zeme
Zoberme si druhú situáciu. Posúvame hodiny z Moskvy k rovníku za predpokladu, že sa teplota nezmení. Zrýchlenie voľného pádu na rovníku je o niečo menšie ako v Moskve. To znamená, že perióda kmitania matematického kyvadla sa zvýši a hodiny sa začnú spomaľovať.
V treťom prípade sú hodiny zdvihnuté vysoko do kopca, čím sa zväčšuje vzdialenosť k stredu Zeme (obr. 10). To znamená, že zrýchlenie voľného pádu na vrchole hory je menšie. Obdobie oscilácie sa zvyšuje hodiny budú pozadu.
Ryža. 10 Gravitácia je väčšia na vrchole hory
Zoberme si posledný prípad. Hodiny sa vynesú z teplej miestnosti do chladu. S klesajúcou teplotou sa lineárne rozmery telies zmenšujú. To znamená, že dĺžka kyvadla sa mierne skráti. Keďže sa dĺžka zmenšila, skrátila sa aj perióda oscilácie. Hodiny sa budú ponáhľať.
Uvažovali sme o najtypickejších situáciách, ktoré nám umožňujú pochopiť, ako funguje vzorec pre periódu oscilácie matematického kyvadla.
Na záver zvážte ďalšiu charakteristiku oscilácií - fáza. O tom, čo je to fáza, si povieme podrobnejšie v seniorských triedach. Dnes musíme zvážiť, s čím možno túto charakteristiku porovnať, porovnať a ako ju určiť pre seba. Najvýhodnejšie je porovnať fázu kmitov s rýchlosťou kyvadla.
Obrázok 11 zobrazuje dve rovnaké kyvadla. Prvé kyvadlo bolo vychýlené doľava o určitý uhol, druhé bolo tiež vychýlené doľava o určitý uhol, rovnako ako prvé. Obe kyvadla budú robiť presne rovnaké kmity. V tomto prípade môžeme povedať, že kyvadla kmitajú s rovnakou fázou, keďže rýchlosti kyvadla majú rovnaký smer a rovnaké moduly.
Obrázok 12 zobrazuje dve podobné kyvadla, ale jedno je naklonené doľava a druhé doprava. Majú tiež rovnaké rýchlosti modulo, ale smer je opačný. V tomto prípade sa hovorí, že kyvadla oscilujú v protifáze.
Vo všetkých ostatných prípadoch sa spravidla uvádza fázový rozdiel.
Ryža. 13 Fázový rozdiel
Fázu kmitov v ľubovoľnom časovom bode možno vypočítať podľa vzorca , teda ako súčin cyklickej frekvencie a času, ktorý uplynul od začiatku kmitov. Fáza sa meria v radiánoch.
Vlastnosti kmitov pružinového kyvadla
Vzorec pre kmitanie pružinového kyvadla: . Doba kmitania pružinového kyvadla teda závisí od hmotnosti zaťaženia a tuhosti pružiny.
Čím väčšia je hmotnosť nákladu, tým väčšia je jeho zotrvačnosť. To znamená, že kyvadlo sa bude zrýchľovať pomalšie, doba jeho kmitov bude dlhšia (obr. 14).
Ryža. 14 Závislosť periódy kmitania od hmotnosti
Čím väčšia je tuhosť pružiny, tým rýchlejšie má tendenciu vrátiť sa do svojej rovnovážnej polohy. Obdobie jarného kyvadla bude menšie.
Ryža. 15 Závislosť periódy kmitania od tuhosti pružiny
Zvážte použitie vzorca na príklade problému.
Ryža. 17 Doba oscilácie
Ak teraz nahradíme všetky potrebné hodnoty vo vzorci na výpočet hmotnosti, dostaneme:
odpoveď: hmotnosť závažia je približne 10 g.
Rovnako ako v prípade matematického kyvadla, aj v prípade pružinového kyvadla nezávisí doba kmitania od jeho amplitúdy. Prirodzene to platí len pre malé odchýlky od rovnovážnej polohy, kedy je deformácia pružiny elastická. Táto skutočnosť bola základom pre konštrukciu pružinových hodín (obr. 18).
Ryža. 18 Jarné hodinky
Záver
Samozrejme, okrem kmitov a tých charakteristík, o ktorých sme hovorili, existujú aj iné nemenej dôležité charakteristiky kmitavého pohybu. Ale o nich si povieme na strednej škole.
Bibliografia
- Kikoin A.K. O zákone kmitavého pohybu // Kvant. - 1983. - č. 9. - S. 30-31.
- Kikoin I.K., Kikoin A.K. Fyzika: učebnica. pre 9 buniek. priem. škola - M.: Osveta, 1992. - 191 s.
- Chernoutsan A.I. Harmonické vibrácie - obyčajné a úžasné // Kvant. - 1991. - č. 9. - S. 36-38.
- Peryshkin A.V., Gutnik E.M. fyzika. 9. ročník: učebnica pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik. - 14. vyd., stereotyp. - M.: Drop, 2009. - 300 s.
- Internetový portál "abitura.com" ()
- Internetový portál "phys-portal.ru" ()
- Internetový portál "fizmat.by" ()
Domáca úloha
- Čo sú matematické a pružinové kyvadla? Aký je medzi nimi rozdiel?
- Čo je harmonická oscilácia, perióda oscilácie?
- Závažie 200 g kmitá na pružine s tuhosťou 200 N/m. Nájdite celkovú mechanickú energiu kmitov a maximálnu rýchlosť pohybu bremena, ak je amplitúda kmitov 10 cm (trenie zanedbajte).
Späť dopredu
Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.
Ciele:
- oboznámiť žiakov s veličinami charakterizujúcimi kmitavý pohyb, zistiť, od čoho závisí perióda kmitania;
- rozvíjať schopnosť aplikovať poznatky v praxi, zapájať do riešenia výchovných problémových situácií, rozvíjať logické myslenie;
- pestovať kognitívny záujem, aktivitu, záujem učiť sa nový vzdelávací materiál.
Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.
Vybavenie: počítač, plátno, multimediálny projektor, statívy, stopky, pravítko, kompas, guľa so závitom.
Ukážky: pružinové kyvadlo, závitové kyvadlo.
POČAS VYUČOVANIA
I. Organizačný moment
Oznámenie témy a účelu hodiny. (Snímka 1)
II. Aktualizácia základných vedomostí
Predná anketa: pokračovať vo fráze: (Snímky 2, 3)
1. Pohyb, pri ktorom sa telo odchyľuje jedným alebo druhým smerom, sa nazýva ...
2. Hlavnou črtou...
3. Teleso kmitá na závite alebo teleso na pružine ...
4. Matematické kyvadlo sa nazýva ...
5. Oscilácie, ku ktorým dochádza iba v dôsledku počiatočného prísunu energie, sa nazývajú ...
6. Voľne kmitajúce telesá interagujú s inými telesami a spolu s nimi tvoria sústavu telies, ktorá sa nazýva ...
7. Jednou z hlavných všeobecných vlastností oscilačných systémov je ...
Vyberte správnu odpoveď: (Snímka 4)
1. Ktoré z nasledujúcich pohybov sú mechanické vibrácie?
A. Pohyb na hojdačke.
B. Pohyb lopty padajúcej na zem.
B. Pohyb znejúcej gitarovej struny
2. Volajú sa voľné vibrácie, ktoré vznikajú pri pôsobení ...
A. ... trecie sily
B. ... vonkajšie sily
B. ... vnútorné sily
Konverzácia(Snímka 5)
1. Ako rozumiete tvrdeniu, že kmitavý pohyb je periodický?
2. Aký spoločný znak (okrem periodicity) majú pohyby telies znázornených na obr. 48, s. 87.
3. Aké telesá sú zahrnuté do oscilačnej sústavy nazývanej pružinové kyvadlo?
III. Hlavná časť. Učenie sa nového materiálu
demonštrácie vibrácie telesa na pružine a na závite. Uveďme si hlavné charakteristiky kmitavého pohybu: amplitúdu, periódu, frekvenciu a fázu kmitov: (Snímka 6)
Amplitúda - maximálna odchýlka vzhľadom k rovnovážnej polohe (A, m)
Perióda - čas plnej oscilácie (T, s)
Frekvencia - počet kmitov za jednotku času ( v, Hz)
Oscilačná fáza - uhlová miera času
Vzorce: (Snímka 7)
T = 1/ v; T \u003d t / n - bodka ( s )
v= 1/T; v= n/t - frekvencia ( Hz )
A - amplitúda ( m )
– fáza ( rad )
IV. Upevnenie: (snímka 8)
1. Určte periódu a frekvenciu hmotného bodu, ktorý vykoná 50 úplných kmitov za 20 s.
2. Koľko kmitov vykoná hmotný bod za 5 s pri frekvencii kmitov 440 Hz.
Trieda má za úlohu zistiť, čo určuje periódu kmitania matematického kyvadla. Trieda je rozdelená do 3 skupín „experimentátorov“. (Snímka 9) Každá skupina dostane úlohu:
Úloha pre skupinu 1. Empiricky určite, či perióda kmitania matematického kyvadla závisí od jeho hmotnosti.
Výbava: statív so spojkou, závit, súprava závažia, stopky.
Úloha pre skupinu 2. Určte, či perióda kmitania matematického kyvadla závisí od amplitúdy kmitania.
Výbava: statív so spojkou, kyvadlo ľubovoľnej dĺžky, uhlomer, stopky.
Úloha pre skupinu 3. Určte, či perióda kmitania matematického kyvadla závisí od jeho dĺžky.
Výbava: statív so spojkou, kyvadlo ľubovoľnej dĺžky, centimetrová páska, stopky.
Žiaci samostatne dospejú k záveru: doba kmitania matematického kyvadla nezávisí od hmotnosti telesa, nezávisí od amplitúdy kmitov, ale závisí len od dĺžky matematického kyvadla.
V. Zovšeobecnenie:(Snímky 10, 11)
Čo určuje periódu kmitania matematického kyvadla:
Závažie zavesené na nite robí malé oscilácie. Uveďte všetky správne tvrdenia:
A. Čím dlhší je závit, tým dlhšia je perióda kmitania.
B. Frekvencia kmitov závisí od hmotnosti bremena.
B. Záťaž prechádza rovnovážnou polohou v pravidelných intervaloch
Závažie zavesené na nite vytvára malé netlmené vibrácie, uveďte všetky správne tvrdenia
A. Čím dlhší je závit, tým väčšia je frekvencia kmitov
B. Keď záťaž prejde rovnovážnou polohou, rýchlosť záťaže je maximálna
B. Náklad vykonáva periodický pohyb
Charakteristika kmitavého pohybu: amplitúda, perióda a frekvencia. (Snímka 12)
Doba kmitania matematického kyvadla nezávisí ani od amplitúdy, ani od hmotnosti bremena, ale závisí od dĺžky závitu a od zrýchlenia voľného pádu.
VI. Domáca úloha:§ 26, býv. 24 (2, 3, 4). (Snímka 13)
Pripravte správu alebo správu na tému „Ako sa pri geologickom prieskume využíva závislosť periódy kmitania matematických kyvadiel od zrýchlenia voľného pádu?“
VII. Reflexia. Zhrnutie lekcie:(Snímka 14)
Vaša nálada na lekcii:
1. Žiadne zobrazenia
2. Dobre
3. Zlý
Literatúra:
1. Vybavenie školy technickými prostriedkami v moderných podmienkach. Ed. L. S. Zaznobina. - M.: UTs "Perspektíva", 2000.
2. Gorlová L.A."Netradičné hodiny, mimoškolské aktivity vo fyzike" - M.: "VAKO", 2006.
3. Peryshkin A.V., Gutnik E.M. Fyzika-9, M: Drop, 2003
