Gaussova metóda má množstvo nevýhod: nie je možné zistiť, či je systém konzistentný alebo nie, kým sa nevykonajú všetky potrebné transformácie v Gaussovej metóde; Gaussova metóda nie je vhodná pre systémy s písmenovými koeficientmi.

Zvážte iné metódy riešenia sústav lineárnych rovníc. Tieto metódy využívajú koncepciu hodnosti matice a redukujú riešenie ľubovoľného kĺbového systému na riešenie systému, na ktorý sa vzťahuje Cramerovo pravidlo.

Príklad 1 Nájdite všeobecné riešenie nasledujúcej sústavy lineárnych rovníc pomocou základnej sústavy riešení redukovanej homogénnej sústavy a partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy.

1. Vyrobíme matricu A a rozšírená matica systému (1)

2. Preskúmajte systém (1) kvôli kompatibilite. Aby sme to dosiahli, nájdeme hodnosti matríc A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ak sa ukáže, že , potom systém (1) nezlučiteľné. Ak to dostaneme , potom je tento systém konzistentný a budeme ho riešiť. (Štúdia konzistencie je založená na Kronecker-Capelliho vete).

a. nachádzame rA.

Nájsť rA, budeme postupne uvažovať o nenulových maloletých prvého, druhého atď. rádu matice A a maloletí okolo nich.

M1=1≠0 (1 je prevzaté z ľavého horného rohu matice ALE).

Hraničný M1 druhý riadok a druhý stĺpec tejto matice. . Pokračujeme k hraniciam M1 druhý riadok a tretí stĺpec..gif" width="37" height="20 src=">. Teraz ohraničíme nenulovú vedľajšiu М2′ druhá objednávka.

Máme: (pretože prvé dva stĺpce sú rovnaké)

(pretože druhý a tretí riadok sú proporcionálne).

To vidíme rA=2 a je základom minor matice A.

b. nachádzame .

Dostatočne základné drobné М2′ matice A hranica so stĺpcom voľných členov a všetkými riadkami (máme len posledný riadok).

. Z toho vyplýva, že М3′′ zostáva základom minor matice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Ako М2′- menší základ matice A systémov (2) , potom je tento systém ekvivalentný systému (3) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (2) (pre М2′ je v prvých dvoch riadkoch matice A).

(3)

Keďže základná menšia je https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

V tomto systéme sú dve voľné neznáme ( x2 a x4 ). Takže FSR systémov (4) pozostáva z dvoch riešení. Aby sme ich našli, priraďujeme k nim voľné neznáme (4) hodnoty ako prvé x2 = 1 , x4 = 0 , a potom - x2 = 0 , x4=1 .

o x2 = 1 , x4 = 0 dostaneme:

.

Tento systém už má jediná vec riešenie (možno ho nájsť Cramerovým pravidlom alebo akoukoľvek inou metódou). Odčítaním prvej rovnice od druhej rovnice dostaneme:

Jej rozhodnutie bude x1= -1 , x3=0 . Vzhľadom na hodnoty x2 a x4 , ktoré sme uviedli, získame prvé zásadné riešenie systému (2) : .

Teraz vložíme (4) x2 = 0 , x4=1 . Dostaneme:

.

Tento systém riešime pomocou Cramerovej vety:

.

Získame druhé základné riešenie systému (2) : .

Riešenia β1 , β2 a make up FSR systémov (2) . Potom bude jeho všeobecné riešenie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tu C1 , C2 sú ľubovoľné konštanty.

4. Nájdite jednu súkromné rozhodnutie heterogénny systém(1) . Ako v odseku 3 , namiesto systému (1) zvážiť ekvivalentný systém (5) , pozostávajúce z prvých dvoch rovníc sústavy (1) .

(5)

Voľné neznáme prenášame na pravú stranu x2 a x4.

(6)

Dajme zadarmo neznáme x2 a x4 ľubovoľné hodnoty, napr. x2=2 , x4=1 a zapojte ich do (6) . Zoberme si systém

Tento systém má jedinečné riešenie (pretože jeho determinant М2′0). Jeho vyriešením (pomocou Cramerovej vety alebo Gaussovej metódy) dostaneme x1=3 , x3=3 . Vzhľadom na hodnoty voľných neznámych x2 a x4 , dostaneme konkrétne riešenie nehomogénneho systému(1)a1=(3,2,3,1).

5. Teraz zostáva písať všeobecné riešenie α nehomogénnej sústavy(1) : rovná sa súčtu súkromné ​​rozhodnutie tento systém a všeobecné riešenie jeho redukovaného homogénneho systému (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znamená: (7)

6. Vyšetrenie. Ak chcete skontrolovať, či ste systém vyriešili správne (1) , potrebujeme všeobecné riešenie (7) nahradiť v (1) . Ak sa každá rovnica stane identitou ( C1 a C2 by mala byť zničená), potom sa riešenie nájde správne.

Nahradíme (7) napríklad len v poslednej rovnici sústavy (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Získame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kde -1=-1. Máme identitu. Robíme to so všetkými ostatnými rovnicami systému (1) .

Komentujte. Overovanie je zvyčajne dosť ťažkopádne. Môžeme odporučiť nasledovné „čiastočné overenie“: v celkovom riešení systému (1) priraďte nejaké hodnoty ľubovoľným konštantám a výsledné konkrétne riešenie dosaďte len do vyradených rovníc (t.j. do tých rovníc z (1) ktoré nie sú zahrnuté (5) ). Ak získate identity, potom skôr, riešenie systému (1) nájdené správne (ale takáto kontrola nedáva úplnú záruku správnosti!). Napríklad, ak v (7) dať C2=- 1 , C1=1, potom dostaneme: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Dosadením do poslednej rovnice sústavy (1) máme: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , t.j. –1=–1. Máme identitu.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc (1) , vyjadrujúce hlavné neznáme z hľadiska voľných.

rozhodnutie. Ako v príklad 1, skladať matice A a https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> týchto matíc. Teraz ponecháme len tie rovnice systému (1) , ktorých koeficienty sú zahrnuté v tejto základnej menšej (t. j. máme prvé dve rovnice) a uvažujeme systém z nich pozostávajúci, ktorý je ekvivalentný systému (1).

Prenesme voľné neznáme na pravú stranu týchto rovníc.

systém (9) riešime Gaussovou metódou, pričom správne časti považujeme za voľné členy.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Možnosť 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Možnosť 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Možnosť 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Možnosť 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Homogénny systém lineárnych rovníc nad poľom

DEFINÍCIA. Základná sústava riešení sústavy rovníc (1) je neprázdna lineárne nezávislá sústava jej riešení, ktorej lineárne rozpätie sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Všimnite si, že homogénny systém lineárnych rovníc, ktorý má iba nulové riešenie, nemá fundamentálny systém riešení.

NÁVRH 3.11. Akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému lineárnych rovníc pozostávajú z rovnakého počtu riešení.

Dôkaz. V skutočnosti sú akékoľvek dva základné systémy riešení homogénneho systému rovníc (1) ekvivalentné a lineárne nezávislé. Preto podľa návrhu 1.12 sú ich pozície rovnaké. Preto sa počet riešení zahrnutých v jednom základnom systéme rovná počtu riešení zahrnutých v akomkoľvek inom základnom systéme riešení.

Ak je hlavná matica A homogénneho systému rovníc (1) nula, potom akýkoľvek vektor z je riešením pre systém (1); v tomto prípade je akýkoľvek súbor lineárne nezávislých vektorov základným systémom riešení. Ak je poradie stĺpca matice A , potom systém (1) má iba jedno riešenie - nulu; preto v tomto prípade sústava rovníc (1) nemá fundamentálnu sústavu riešení.

TEOREMA 3.12. Ak je poradie hlavnej matice homogénneho systému lineárnych rovníc (1) menšie ako počet premenných, potom systém (1) má základný systém riešení pozostávajúci z riešení.

Dôkaz. Ak sa hodnosť hlavnej matice A homogénneho systému (1) rovná nule alebo , potom sa vyššie ukázalo, že veta je pravdivá. Preto sa ďalej predpokladá, že Za predpokladu , budeme predpokladať, že prvé stĺpce matice A sú lineárne nezávislé. V tomto prípade je matica A po riadkoch ekvivalentná redukovanej stupňovej matici a systém (1) je ekvivalentný nasledujúcemu redukovanému stupňovitému systému rovníc:

Je ľahké skontrolovať, či ľubovoľná sústava hodnôt voľných premenných sústavy (2) zodpovedá jednému a iba jednému riešeniu sústavy (2), a teda sústavy (1). Predovšetkým iba nulové riešenie sústavy (2) a sústavy (1) zodpovedá sústave nulových hodnôt.

V systéme (2) priradíme jednej z voľných premenných hodnotu rovnajúcu sa 1 a ostatným premenným nulové hodnoty. Výsledkom je, že dostaneme riešenia sústavy rovníc (2), ktoré zapíšeme ako riadky nasledujúcej matice C:

Riadkový systém tejto matice je lineárne nezávislý. Vskutku, pre všetky skaláre z rovnosti

nasleduje rovnosť

a teda rovnosť

Dokážme, že lineárne rozpätie sústavy riadkov matice C sa zhoduje s množinou všetkých riešení sústavy (1).

Ľubovoľné riešenie systému (1). Potom vektor

je tiež riešením systému (1), a

Nazýva sa sústava lineárnych rovníc, v ktorej sa všetky voľné členy rovnajú nule homogénne :

Akýkoľvek homogénny systém je vždy konzistentný, pretože vždy bol nula (triviálne ) Riešenie. Vzniká otázka, za akých podmienok bude mať homogénny systém netriviálne riešenie.

Veta 5.2.Homogénny systém má netriviálne riešenie vtedy a len vtedy, ak je poradie základnej matice menšie ako počet jej neznámych.

Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenie práve vtedy, ak determinant hlavnej matice systému nie je rovný nule.

Príklad 5.6. Určte hodnoty parametra l, pre ktoré má systém netriviálne riešenia a nájdite tieto riešenia:

rozhodnutie. Tento systém bude mať netriviálne riešenie, keď sa determinant hlavnej matice rovná nule:

Systém je teda netriviálny, keď l=3 alebo l=2. Pre l=3 je poradie hlavnej matice systému 1. Potom ponecháme iba jednu rovnicu a predpokladáme, že r=a a z=b, dostaneme x=b-a, t.j.

Pre l=2 je poradie hlavnej matice systému 2. Potom ako základnú vedľajšiu vyberte:

dostaneme zjednodušený systém

Odtiaľ to nájdeme x=z/4, y=z/2. Za predpokladu z=4a, dostaneme

Súbor všetkých riešení homogénneho systému má veľmi dôležitý lineárna vlastnosť : ak X stĺpcov 1 a X 2 - roztoky homogénnej sústavy AX = 0, potom ľubovoľná ich lineárna kombinácia a X 1+b X 2 bude aj riešením tohto systému. Skutočne, pretože AX 1 = 0 a AX 2 = 0 , potom A(a X 1+b X 2) = a AX 1+b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Vďaka tejto vlastnosti, ak má lineárny systém viac riešení, potom týchto riešení bude nekonečne veľa.

Lineárne nezávislé stĺpce E 1 , E 2 , E k, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy, sa nazýva tzv základný rozhodovací systém homogénna sústava lineárnych rovníc, ak všeobecné riešenie tejto sústavy možno zapísať ako lineárnu kombináciu týchto stĺpcov:

Ak má homogénny systém n premenných a poradie hlavnej matice systému sa rovná r, potom k = n-r.

Príklad 5.7. Nájdite základný systém riešení nasledujúceho systému lineárnych rovníc:

rozhodnutie. Nájdite poradie hlavnej matice systému:

Množina riešení tohto systému rovníc teda tvorí lineárny podpriestor dimenzie n - r= 5 - 2 = 3. Ako základnú moll volíme

.

Potom, keď ponecháme len základné rovnice (zvyšok bude lineárna kombinácia týchto rovníc) a základné premenné (zvyšok, tzv. voľné premenné prenesieme doprava), dostaneme zjednodušený systém rovníc:

Za predpokladu X 3 = a, X 4 = b, X 5 = c, nájdeme

, .

Za predpokladu a= 1, b=c= 0, získame prvé zásadité riešenie; za predpokladu b= 1, a = c= 0, získame druhé zásadité riešenie; za predpokladu c= 1, a = b= 0, získame tretie zásadité riešenie. Výsledkom je, že normálny základný systém riešení nadobúda formu

Pomocou základného systému možno všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Všimnime si niektoré vlastnosti riešení nehomogénnej sústavy lineárnych rovníc AX=B a ich vzťah so zodpovedajúcou homogénnou sústavou rovníc AX = 0.

Všeobecné riešenie nehomogénneho systémusa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej sústavy AX = 0 a ľubovoľného partikulárneho riešenia nehomogénnej sústavy. Skutočne, nech Y 0 je ľubovoľné partikulárne riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY 0 = B a Y je všeobecné riešenie nehomogénneho systému, t.j. AY=B. Odčítaním jednej rovnosti od druhej dostaneme
A(Y-Y 0) = 0, t.j. Y-Y 0 je všeobecné riešenie zodpovedajúceho homogénneho systému AX=0. teda Y-Y 0 = X, alebo Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Nech má nehomogénny systém tvar AX = B 1 + B 2 . Potom je možné všeobecné riešenie takéhoto systému zapísať ako X = X 1 + X 2 , kde AX 1 = B 1 a AX 2 = B 2. Táto vlastnosť vyjadruje univerzálnu vlastnosť akýchkoľvek lineárnych systémov vo všeobecnosti (algebraických, diferenciálnych, funkčných atď.). Vo fyzike sa táto vlastnosť nazýva princíp superpozície v elektrotechnike a rádiotechnike - princíp prekrytia. Napríklad v teórii lineárnych elektrických obvodov možno prúd v akomkoľvek obvode získať ako algebraický súčet prúdov spôsobených každým zdrojom energie samostatne.

Homogénny systém je vždy konzistentný a má triviálne riešenie
. Aby mohlo existovať netriviálne riešenie, je potrebné, aby bola matica hodnosť bol menší ako počet neznámych:

.

Základný rozhodovací systém homogénny systém
nazvať sústavu riešení vo forme stĺpcových vektorov
, ktoré zodpovedajú kanonickému základu, t.j. základ, v ktorom sú ľubovoľné konštanty
sú striedavo nastavené rovné jednej, zatiaľ čo ostatné sú nastavené na nulu.

Potom má všeobecné riešenie homogénneho systému tvar:

kde
sú ľubovoľné konštanty. Inými slovami, všeobecné riešenie je lineárnou kombináciou základného systému riešení.

Základné riešenia teda možno získať zo všeobecného riešenia, ak sa voľným neznámym striedavo priraďuje hodnota jednoty, za predpokladu, že všetky ostatné sú rovné nule.

Príklad. Poďme nájsť riešenie systému

Akceptujeme, potom dostaneme riešenie vo forme:

Zostavme teraz základný systém riešení:

.

Všeobecné riešenie možno napísať takto:

Riešenia sústavy homogénnych lineárnych rovníc majú tieto vlastnosti:

Inými slovami, akákoľvek lineárna kombinácia riešení do homogénnej sústavy je opäť riešením.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

Riešenie sústav lineárnych rovníc je predmetom záujmu matematikov už niekoľko storočí. Prvé výsledky boli získané v XVIII storočí. V roku 1750 publikoval G. Kramer (1704–1752) svoje práce o determinantoch štvorcových matíc a navrhol algoritmus na nájdenie inverznej matice. V roku 1809 Gauss načrtol novú metódu riešenia známu ako eliminačná metóda.

Gaussova metóda alebo metóda postupného odstraňovania neznámych spočíva v tom, že pomocou elementárnych transformácií sa sústava rovníc redukuje na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru. Takéto systémy vám umožňujú dôsledne nájsť všetky neznáme v určitom poradí.

Predpokladajme, že v systéme (1)
(čo je vždy možné).

(1)

Vynásobením prvej rovnice postupne tzv vhodné čísla

a pridaním výsledku násobenia so zodpovedajúcimi rovnicami systému dostaneme ekvivalentný systém, v ktorom všetky rovnice, okrem prvej, nebudú mať žiadnu neznámu X 1

(2)

Teraz vynásobíme druhú rovnicu systému (2) príslušnými číslami, za predpokladu, že

,

a pridaním k nižším premennú vylúčime zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Pokračovanie v tomto procese po
kroky, ktoré dostaneme:

(3)

Ak aspoň jedno z čísel
sa nerovná nule, potom je zodpovedajúca rovnosť nekonzistentná a systém (1) je nekonzistentný. Naopak, pre akúkoľvek spoločnú číselnú sústavu
sa rovnajú nule. číslo nie je nič iné ako poradie matice systému (1).

Prechod zo systému (1) do (3) sa nazýva v priamke Gaussova metóda a hľadanie neznámych z (3) - dozadu .

Komentujte : Výhodnejšie je vykonávať transformácie nie pomocou samotných rovníc, ale pomocou rozšírenej matice systému (1).

Príklad. Poďme nájsť riešenie systému

.

Napíšme rozšírenú maticu systému:

.

Pridajme k riadkom 2,3,4 prvé vynásobené (-2), (-3), (-2):

.

Vymeňme riadky 2 a 3, potom vo výslednej matici pridajte riadok 2 k riadku 4, vynásobte :

.

Pridajte do riadku 4 riadok 3 vynásobte
:

.

To je zrejmé
, preto je systém kompatibilný. Z výslednej sústavy rovníc

riešenie nájdeme reverznou substitúciou:

,
,
,
.

Príklad 2 Nájdite systémové riešenie:

.

Je zrejmé, že systém je nekonzistentný, pretože
, a
.

Výhody Gaussovej metódy :

Menej časovo náročná ako Cramerova metóda.

Jednoznačne stanovuje kompatibilitu systému a umožňuje vám nájsť riešenie.

Poskytuje možnosť určiť poradie akýchkoľvek matíc.

Nechať byť M 0 je množina riešení homogénnej sústavy (4) lineárnych rovníc.

Definícia 6.12. vektory s 1 ,s 2 , …, s p, ktoré sú riešeniami homogénnej sústavy lineárnych rovníc, sa nazývajú základný súbor riešení(skrátene FNR) ak

1) vektory s 1 ,s 2 , …, s p lineárne nezávislé (to znamená, že žiadna z nich nemôže byť vyjadrená ako ostatné);

2) akékoľvek iné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc možno vyjadriť pomocou riešení s 1 ,s 2 , …, s p.

Všimnite si, že ak s 1 ,s 2 , …, s p je nejaký f.n.r., potom podľa výrazu k 1× s 1 + k 2× s 2 + … + kp× s p dokáže opísať celý súbor M 0 riešení k systému (4), tak sa nazýva celkový pohľad na systémové riešenie (4).

Veta 6.6. Akýkoľvek neurčitý homogénny systém lineárnych rovníc má základnú množinu riešení.

Spôsob, ako nájsť základný súbor riešení, je nasledujúci:

Nájdite všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych rovníc;

Stavať ( n – r) čiastkové riešenia tohto systému, pričom hodnoty voľných neznámych musia tvoriť maticu identity;

Napíšte všeobecnú formu riešenia, ktoré je súčasťou M 0 .

Príklad 6.5. Nájdite základnú sadu riešení nasledujúceho systému:

rozhodnutie. Poďme nájsť všeobecné riešenie tohto systému.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Tento systém má päť neznámych ( n= 5), z ktorých sú dve hlavné neznáme ( r= 2), tri voľné neznáme ( n – r), to znamená, že základná množina riešení obsahuje tri vektory riešenia. Poďme si ich postaviť. Máme X 1 a X 3 - hlavné neznáme, X 2 , X 4 , X 5 - voľné neznáme

Hodnoty voľných neznámych X 2 , X 4 , X 5 tvoria maticu identity E tretieho rádu. Mám tie vektory s 1 ,s 2 , s 3 formulár f.n.r. tento systém. Potom bude množina riešení tohto homogénneho systému M 0 = {k 1× s 1 + k 2× s 2 + k 3× s 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Zistime teraz podmienky existencie nenulových riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc, inými slovami, podmienky existencie fundamentálnej množiny riešení.

Homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia, to znamená, že je neurčitá, ak

1) poradie hlavnej matice systému je menšie ako počet neznámych;

2) v homogénnom systéme lineárnych rovníc je počet rovníc menší ako počet neznámych;

3) ak sa v homogénnom systéme lineárnych rovníc počet rovníc rovná počtu neznámych a determinant hlavnej matice sa rovná nule (t.j. | A| = 0).

Príklad 6.6. Pri akej hodnote parametra a homogénna sústava lineárnych rovníc má nenulové riešenia?

rozhodnutie. Zostavme si hlavnú maticu tohto systému a nájdime jej determinant: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Determinant tejto matice sa rovná nule, kedy a = –4.

Odpoveď: –4.

7. Aritmetika n-rozmerný vektorový priestor

Základné pojmy

V predchádzajúcich častiach sme sa už stretli s pojmom množina reálnych čísel usporiadaných v určitom poradí. Toto je riadková matica (alebo stĺpcová matica) a riešenie systému lineárnych rovníc s n neznámy. Tieto informácie sa dajú zhrnúť.

Definícia 7.1. n-rozmerový aritmetický vektor sa nazýva usporiadaná množina n reálne čísla.

Prostriedky a= (a 1, a 2, …, a n), kde iО R, i = 1, 2, …, n je všeobecný pohľad na vektor. číslo n volal rozmer vektor a čísla a i zavolal mu súradnice.

Napríklad: a= (1, –8, 7, 4, ) je päťrozmerný vektor.

Všetko nachystané n-rozmerné vektory sa zvyčajne označujú ako R n.

Definícia 7.2. Dva vektory a= (a 1, a 2, …, a n) a b= (b1, b2, …, b n) rovnakej dimenzie rovný vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné súradnice rovnaké, t.j. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definícia 7.3.súčet dva n-rozmerné vektory a= (a 1, a 2, …, a n) a b= (b1, b2, …, b n) sa nazýva vektor a + b= (a1 + b1, a2 + b2, …, a n+b n).

Definícia 7.4. práca Reálne číslo k na vektor a= (a 1, a 2, …, a n) sa nazýva vektor k× a = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definícia 7.5. Vektor o= (0, 0, …, 0) sa volá nula(alebo nulový vektor).

Je ľahké skontrolovať, či akcie (operácie) sčítania vektorov a ich násobenia reálnym číslom majú nasledujúce vlastnosti: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + o = a;

4) a+ (–a) = o;

5) 1x a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definícia 7.6. Kopa R n s operáciami sčítania vektorov a ich násobením reálnym číslom na ňom uvedeným sa nazýva aritmetický n-rozmerný vektorový priestor.