Asymptoty grafu funkcie

Asymptota grafu funkcie y \u003d f (x) sa nazýva čiara, ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu (x, f (x)) k tejto čiare má tendenciu k nule s neobmedzeným odstránením bodu grafu z počiatku.

Obrázok 3.10. sú uvedené grafické príklady vertikálne, horizontálne a šikmé asymptota.

Hľadanie asymptot grafu je založené na nasledujúcich troch vetách.

Vertikálna asymptotová veta. Nech je funkcia y \u003d f (x) definovaná v niektorom okolí bodu x 0 (prípadne vylučujúci tento bod samotný) a aspoň jedna z jednostranných limitov funkcie je rovná nekonečnu, t.j. Potom je čiara x \u003d x 0 vertikálna asymptota grafu funkcie y \u003d f (x).

Je zrejmé, že čiara x \u003d x 0 nemôže byť vertikálna asymptota, ak je funkcia spojitá v bode x 0, pretože v tomto prípade . Vertikálne asymptoty by sa preto mali hľadať v bodoch diskontinuity funkcie alebo na koncoch jej oblasti.

Veta o horizontálnej asymptote. Nech je funkcia y \u003d f (x) definovaná pre dostatočne veľké x a existuje konečná limita funkcie . Potom priamka y = b je vodorovná asymptota grafu funkcie.

Komentujte. Ak je len jedna z limit konečná, potom funkcia má, resp. ľavostranný alebo pravostranný horizontálna asymptota.

V prípade, že funkcia môže mať šikmú asymptotu.

Veta o šikmej asymptote. Nech je funkcia y = f(x) definovaná pre dostatočne veľké x a existujú konečné limity . Potom priamka y = kx + b je šikmá asymptota grafu funkcie.

Bez dôkazu.

Šikmá asymptota, rovnako ako horizontálna, môže byť pravotočivá alebo ľavotočivá, ak základom zodpovedajúcich limitov je nekonečno určitého znamienka.

Štúdium funkcií a konštrukcia ich grafov zvyčajne zahŕňa nasledujúce kroky:

1. Nájdite doménu funkcie.

2. Preskúmajte funkciu pre párne-nepárne.

3. Nájdite vertikálne asymptoty skúmaním bodov nespojitosti a správania sa funkcie na hraniciach definičného oboru, ak sú konečné.

4. Nájdite vodorovné alebo šikmé asymptoty skúmaním správania funkcie v nekonečne.

Koľko asymptot môže mať graf funkcie?

Žiadna, jedna, dve, tri... alebo nekonečné číslo. Po príklady nepôjdeme ďaleko, pripomenieme si elementárne funkcie. Parabola, kubická parabola, sínusoida nemajú vôbec žiadne asymptoty. Graf exponenciálnej logaritmickej funkcie má jedinú asymptotu. Arkustangens, arkotangens ich má dve a tangens kotangens ich má nekonečný počet. Nie je nezvyčajné, že graf má horizontálne aj vertikálne asymptoty. Hyperbola, vždy ťa bude milovať.

Čo znamená nájsť asymptoty grafu funkcie?

To znamená zistiť ich rovnice a nakresliť rovné čiary, ak si to podmienka problému vyžaduje. Proces zahŕňa nájdenie limitov funkcie.

Vertikálne asymptoty grafu funkcie

Vertikálna asymptota grafu je spravidla v bode nekonečnej diskontinuity funkcie. Je to jednoduché: ak v určitom bode funkcia utrpí nekonečný zlom, potom priamka daná rovnicou je vertikálna asymptota grafu.

Poznámka: Upozorňujeme, že označenie sa používa na označenie dvoch úplne odlišných konceptov. Bod je implikovaný alebo rovnica priamky - závisí od kontextu.

Na zistenie prítomnosti vertikálnej asymptoty v bode teda stačí ukázať, že aspoň jedna z jednostranných limitov je nekonečná. Najčastejšie je to bod, kde sa menovateľ funkcie rovná nule. Vertikálne asymptoty sme v skutočnosti už našli v posledných príkladoch lekcie o spojitosti funkcie. Ale v mnohých prípadoch existuje iba jedna jednostranná hranica, a ak je nekonečná, potom znova - milujte a uprednostňujte vertikálnu asymptotu. Najjednoduchšia ilustrácia: a os y.

Z vyššie uvedeného tiež vyplýva zrejmá skutočnosť: ak je funkcia spojitá, potom neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Z nejakého dôvodu mi napadla parabola. Naozaj, kde tu môžete „prilepiť“ rovnú čiaru? ... áno ... chápem ... prívrženci strýka Freuda sa hystericky schúlili =)

Opačné tvrdenie vo všeobecnosti neplatí: napríklad funkcia nie je definovaná na celej reálnej čiare, ale je úplne zbavená asymptot.

Šikmé asymptoty grafu funkcie

Naklonené (ako špeciálny prípad - horizontálne) asymptoty možno nakresliť, ak má argument funkcie sklon k "plus nekonečno" alebo "mínus nekonečno". Preto graf funkcie nemôže mať viac ako 2 šikmé asymptoty. Napríklad graf exponenciálnej funkcie má jednu horizontálnu asymptotu v a graf arkustangensu v má dve takéto asymptoty a rôzne.

Definícia . Asymptota grafu funkcie je priamka, ktorá má tú vlastnosť, že vzdialenosť od bodu grafu funkcie k tejto priamke smeruje k nule s neobmedzenou vzdialenosťou od začiatku bodu grafu..

Podľa metód ich nájdenia sa rozlišujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne, šikmé.

Je zrejmé, že vodorovné sú špeciálnymi prípadmi naklonených (pre ).

Hľadanie asymptot grafu funkcie je založené na nasledujúcich tvrdeniach.

Veta 1 . Nech je funkcia definovaná aspoň v nejakom polookolí bodu a nech je aspoň jedna jej jednostranná limita v tomto bode nekonečná, t.j. rovný. Potom je priamka vertikálnou asymptotou grafu funkcie.

Vertikálne asymptoty grafu funkcie by sa teda mali hľadať v bodoch diskontinuity funkcie alebo na koncoch jej definičného oboru (ak ide o konečné čísla).

Veta 2 . Nech je funkcia definovaná pre hodnoty argumentov, ktoré sú dostatočne veľké v absolútnej hodnote a existuje konečný limit funkcie . Potom je priamka horizontálnou asymptotou grafu funkcie.

Môže sa to stať , a , a sú to konečné čísla, potom má graf dve rôzne horizontálne asymptoty: ľavotočivé a pravotočivé. Ak existuje alebo existuje iba jedna z konečných limitov, potom má graf buď jednu ľavotočivú alebo jednu pravotočivú horizontálnu asymptotu.

Veta 3 . Nech je funkcia definovaná pre hodnoty argumentu, ktoré sú dostatočne veľké v absolútnej hodnote a existujú konečné limity a . Potom je priamka šikmou asymptotou grafu funkcie.

Všimnite si, že ak je aspoň jedna z týchto limitov nekonečná, potom neexistuje žiadna šikmá asymptota.

Šikmá asymptota, podobne ako horizontálna, môže byť jednostranná.

Príklad. Nájdite všetky asymptoty funkčného grafu.

rozhodnutie.

Funkcia je definovaná pomocou . Nájdime jej jednostranné limity v bodoch.

Ako a (ďalšie dve jednostranné limity už nenájdeme), potom sú priamky zvislé asymptoty grafu funkcie.

Vypočítať

(aplikujte L'Hopitalovo pravidlo) = .

Čiara je teda horizontálna asymptota.

Keďže horizontálna asymptota existuje, už nehľadáme šikmé asymptoty (neexistujú).

Odpoveď: Graf má dve vertikálne a jednu horizontálnu asymptotu.

Štúdia všeobecnej funkcier = f (X ).

Rozsah funkcie. Nájdite jeho doménu D(f). Ak to nie je príliš ťažké, potom je užitočné nájsť aj rozsah E(f). (V mnohých prípadoch je však otázka nájdenia E(f) sa oneskorí, kým sa nenájdu extrémy funkcie.)

Špeciálne vlastnosti funkcie. Zistite všeobecné vlastnosti funkcie: párne, nepárne, periodicita atď. Nie každá funkcia má také vlastnosti ako párne alebo nepárne. Funkcia určite nie je ani párna, ani nepárna, ak je jej definičný obor asymetrický okolo bodu 0 na osi Vôl. Rovnakým spôsobom pre každú periodickú funkciu doména definície pozostáva buď z celej reálnej osi, alebo zo spojenia periodicky sa opakujúcich systémov intervalov.

Vertikálne asymptoty. Zistite, ako sa funkcia správa, keď sa argument priblíži k hraničným bodom definičného oboru D(f), ak takéto hraničné body existujú. V tomto prípade sa môžu objaviť vertikálne asymptoty. Ak má funkcia také body nespojitosti, v ktorých nie je definovaná, potom sa tieto body skontrolujú aj na prítomnosť vertikálnych asymptot funkcie.

Šikmé a horizontálne asymptoty. Ak rozsah D(f) zahŕňa lúče v tvare (a;+) alebo (−;b), potom sa môžeme pokúsiť nájsť šikmé asymptoty (alebo horizontálne asymptoty) na x+ alebo x−, t.j. nájsť limxf(x). Šikmé asymptoty : r = kx + b, kde k=limx+xf(x) a b=limx+(f(x)−x). Horizontálne asymptoty : r = b, kde limxf(x)=b.

Nájdenie priesečníkov grafu s osami. Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Vôl, prečo nájsť korene rovnice f(X) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene). Rovnicu možno často vyriešiť len približne, no oddelenie koreňov pomáha lepšie pochopiť štruktúru grafu. Ďalej musíte určiť znamienko funkcie na intervaloch medzi koreňmi a bodmi zlomu.

Nájdenie priesečníkov grafu s asymptotou. V niektorých prípadoch môže byť potrebné nájsť charakteristické body grafu, ktoré neboli uvedené v predchádzajúcich odsekoch. Napríklad, ak má funkcia šikmú asymptotu, môžete sa pokúsiť zistiť, či existujú nejaké priesečníky grafu s touto asymptotou.

Hľadanie intervalov konvexnosti a konkávnosti. To sa robí skúmaním znamienka druhej derivácie f(x). Nájdite inflexné body na križovatkách konvexných a konkávnych intervalov. Vypočítajte hodnotu funkcie v inflexných bodoch. Ak má funkcia iné body spojitosti (iné ako inflexné body), v ktorých sa druhá derivácia rovná 0 alebo neexistuje, potom je v týchto bodoch tiež užitočné vypočítať hodnotu funkcie. Po nájdení f(x) riešime nerovnosť f(x)0. Na každom z intervalov riešenia bude funkcia konvexná smerom nadol. Riešením obrátenej nerovnosti f(x)0 nájdeme intervaly, na ktorých je funkcia konvexná smerom nahor (čiže konkávna). Inflexné body definujeme ako tie body, v ktorých funkcia mení smer konvexnosti (a je spojitá).

Ako vložiť matematické vzorce na stránku?

Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky vygeneruje. Táto univerzálna metóda okrem jednoduchosti pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky vo vyhľadávačoch. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.

Ak však na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch pomocou značiek MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.

Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete k svojej stránke rýchlo pripojiť skript MathJax, ktorý sa automaticky načíta zo vzdialeného servera v správnom čase (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vašej lokality. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej stránke využívať všetky funkcie MathJax.

Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:

Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.

Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vloženie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu uvedeného vyššie a umiestnite miniaplikáciu bližšie. na začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.

Akýkoľvek fraktál je zostavený podľa určitého pravidla, ktoré sa dôsledne uplatňuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.

Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je pomerne jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27 rovnakých kociek. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.

Hyperbola je miesto bodov, ktorých rozdiel vzdialenosti od dvoch zadaných bodov, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota (táto konštanta musí byť kladná a musí byť menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).

Označme túto konštantu 2a, vzdialenosť medzi ohniskami označme a zvoľme súradnicové osi rovnako ako v § 3. Nech je ľubovoľný bod hyperboly.

Podľa definície hyperboly

Na pravej strane rovnosti musíte vybrať znamienko plus if a znamienko mínus, ak

Keďže posledná rovnosť môže byť zapísaná ako:

Toto je rovnica hyperboly vo zvolenom súradnicovom systéme.

Oslobodením sa od radikálov v tejto rovnici (ako v § 3) môžeme rovnicu zredukovať na najjednoduchšiu formu.

Prenesením prvého radikálu na pravú stranu rovnosti a kvadratúrou oboch strán po zrejmých transformáciách dostaneme:

Opäť kvadratúrou oboch strán rovnosti, znížením podobných výrazov a delením voľným výrazom dostaneme:

Od , hodnota je kladná. Označuje to cez , t.j. nastavenie

získame kanonickú rovnicu hyperboly.

Študujeme formu hyperboly.

1) Symetrie hyperboly. Keďže rovnica (3) obsahuje iba druhé mocniny aktuálnych súradníc, súradnicové osi sú osami symetrie hyperboly (pozri analogický výrok pre elipsu). Os symetrie hyperboly, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník osí symetrie – stred symetrie – sa nazýva stred hyperboly. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) sa ohnisková os zhoduje s osou Ox a počiatkom je stred.

2) Priesečníky s osami symetrie. Nájdite priesečníky hyperboly s osami symetrie - vrcholy hyperboly. Za predpokladu, že v rovnici nájdeme úsečky priesečníkov hyperboly s osou

Preto sú body vrcholmi hyperboly (obr. 51); vzdialenosť medzi nimi je 2a. Aby sme našli priesečníky s osou Oy, vložíme rovnicu Získame rovnicu na určenie súradníc týchto bodov

teda pre y sme získali imaginárne hodnoty; to znamená, že os y nepretína hyperboly.

V súlade s tým sa os symetrie, ktorá pretína hyperbolu, nazýva reálna os symetrie (ohnisková os), os symetrie, ktorá hyperboly nepretína, sa nazýva imaginárna os symetrie. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) je skutočnou osou symetrie os, imaginárnou osou symetrie je os Úsečka spájajúca vrcholy hyperboly, ako aj jej dĺžka 2a sa nazýva reálna os hyperbola. Ak sú na pomyselnej osi symetrie hyperboly po oboch stranách od jej stredu O rozložené úsečky OB a dĺžky b, potom sa úsečka a aj jej dĺžka nazývajú imaginárnou osou hyperboly. Veličiny a a b sa nazývajú skutočné a imaginárne poloosi hyperboly.

3) Tvar hyperboly. Pri štúdiu tvaru hyperboly stačí uvažovať s kladnými hodnotami x a y, pretože krivka je vzhľadom na súradnicové osi symetricky umiestnená.

Keďže z rovnice (3) vyplýva, že 1, potom sa môže meniť od a do Keď sa zvyšuje od a do potom sa Y zvyšuje aj od 0 do Krivka má tvar znázornený na obr. 51. Nachádza sa mimo pásu ohraničeného priamkami a pozostáva z dvoch samostatných vetiev. Pre ľubovoľný bod M jednej z týchto vetiev (pravá vetva), pre ľubovoľný bod M inej vetvy (ľavá vetva).

4) Asymptoty hyperboly. Aby ste si jasnejšie predstavili formu hyperboly, zvážte dve priamky, ktoré s ňou úzko súvisia - takzvané asymptoty.

Za predpokladu, že x a y sú kladné, riešime rovnicu (3) hyperboly vzhľadom na y-ovú poradňu:

Porovnajme rovnicu s rovnicou priamky, pričom označme ako vhodné dva body, ktoré sa nachádzajú na tejto priamke a na hyperbole a majú rovnakú úsečku (obr. 51). Je zrejmé, že rozdiel Y - na súradniciach zodpovedajúcich bodov vyjadruje vzdialenosť medzi nimi, t.j.

Ukážme, že keď sa vzdialenosť MN donekonečna zväčšuje, keď zabíja, má tendenciu k nule. Naozaj,

Po zjednodušení dostaneme:

Z posledného vzorca vidíme, že s neobmedzeným nárastom úsečky sa vzdialenosť MN zmenšuje a má tendenciu k nule. Z toho vyplýva, že keď sa bod M, pohybujúci sa po hyperbole v prvom kvadrante, vzďaľuje do nekonečna, potom sa jeho vzdialenosť k priamke zmenšuje a má tendenciu k nule. Rovnaká okolnosť nastane, keď sa bod M bude pohybovať pozdĺž hyperboly v treťom kvadrante (v dôsledku symetrie okolo začiatku O).

Nakoniec vďaka symetrii hyperboly vzhľadom na os Oy dostaneme druhú priamku symetricky umiestnenú s priamkou, ku ktorej sa pri pohybe po hyperbole a vzďaľovaní do nekonečna bude neobmedzene približovať aj bod M ( v druhom a štvrtom kvadrante).

Tieto dve priamky sa nazývajú asymptoty hyperboly a ako sme videli, majú rovnice:

Je zrejmé, že asymptoty hyperboly sú umiestnené pozdĺž uhlopriečok obdĺžnika, ktorého jedna strana je rovnobežná s osou Ox a rovná sa 2a, druhá je rovnobežná s osou Oy a rovná sa a stred leží v počiatku ( pozri obr. 51).

Pri kreslení hyperboly podľa jej rovnice sa odporúča najskôr zostrojiť jej asymptoty.

Rovnostranná hyperbola. V prípade hyperboly sa nazýva rovnostranná; jeho rovnica je získaná z (3) a má tvar:

Je zrejmé, že sklony asymptot pre rovnostrannú hyperbolu budú. Preto sú asymptoty rovnostrannej hyperboly navzájom kolmé a pretínajú uhly medzi jej osami symetrie.