Majú veľa vlastností:
1. Funkcia sa volá monotónna na určitom intervale A, ak sa na tomto intervale zvyšuje alebo znižuje
2. Funkcia sa volá zvyšujúci sa na určitom intervale A, ak pre ľubovoľné čísla ich množiny A je splnená podmienka:.
Graf rastúcej funkcie má špeciálnu vlastnosť: pri pohybe pozdĺž osi x zľava doprava pozdĺž intervalu A zväčšujú sa ordináty bodov grafu (obr. 4).
3. Funkcia sa volá klesajúci v nejakom intervale A, ak pre nejaké čísla je ich veľa A podmienka je splnená:.
Graf klesajúcej funkcie má špeciálnu vlastnosť: pri pohybe pozdĺž osi x zľava doprava po intervale A ordináty bodov grafu klesajú (obr. 4).
4. Funkcia sa volá dokonca
na nejakej zostave X, ak je splnená podmienka: 
.
Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordinátnej osi (obr. 2).
5. Funkcia sa volá zvláštny
na nejakej zostave X, ak je splnená podmienka: 
.
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa počiatku (obr. 2).
6. Ak je funkcia y = f(x)
f(x) f(x), potom hovoria, že funkcia y = f(x) prijíma najmenšia hodnota
pri=f(x) pri X= X(Obr. 2, funkcia nadobúda najmenšiu hodnotu v bode so súradnicami (0;0)).
7. Ak je funkcia y = f(x) je definovaná na množine X a existuje taká, že pre ľubovoľnú nerovnosť f(x) f(x), potom hovoria, že funkcia y = f(x) prijíma najvyššia hodnota pri=f(x) pri X= X(obr. 4, funkcia nemá najväčšie a najmenšie hodnoty) .
Ak pre túto funkciu y = f(x) všetky uvedené vlastnosti boli študované, potom hovoria, že štúdium funkcie.
n1.doc
OGOI SPO Rjazanská pedagogická škola
ABSTRAKT
Téma: „Číselné funkcie a ich vlastnosti. Priame a nepriamo úmerné vzťahy"
Titova Elena Vladimirovna
Špecializácia: 050709 „Vyučovanie na základnej škole s doškoľovaním v oblasti predškolskej výchovy“
Kurz: 1 Skupina: 2
Odbor: škola
Vedúci: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan
Úvod ……………………………………………………………………………………………… 3
Teoretická časť
Číselné funkcie
1.2 Spôsoby špecifikácie funkcií………………………………………………..6
1.3 Vlastnosti funkcie………………………………………………………………7
2. Priame a nepriamo úmerné vzťahy
2.1 Pojem priamej úmernosti…………..9
2.2 Vlastnosti priamej úmernej závislosti……………………………………………………….10
2.3 Pojem nepriamej úmernosti a jeho vlastnosti………………………………………………………………-
Praktická časť
3.1 Funkčná propedeutika v počiatočnom kurze matematiky....11
3.2 Riešenie problémov s proporcionálne závislými veličinami……18
Záver……………………………………………………………………… 21
Zoznam referencií………………………………..22
Úvod
V matematike sa myšlienka funkcie objavila spolu s pojmom množstvo. Úzko súviselo s geometrickými a mechanickými pojmami. Termín funkcia (z latinčiny – poprava) prvýkrát zaviedol Leibniz v roku 1694. Pod funkciou rozumel úsečky, súradnice a ďalšie úsečky spojené s bodom opisujúcim určitú čiaru.
V prvej polovici 18. stor. došlo k prechodu od vizuálnej reprezentácie pojmu funkcie k analytickej definícii. Švajčiarsky matematik Johann Bernoulli a potom akademik Leonhard Euler verili, že funkcia
Toto analytický výraz, zložený z premennej a konštanty.
Inými slovami, funkcia je vyjadrená rôznymi typmi vzorcov: y=ax+b, y= =axІ+bx+c atď.
Dnes vieme, že funkciu možno vyjadriť nielen matematickým jazykom, ale aj graficky. Objaviteľom tejto metódy bol Descartes. Tento objav zohral obrovskú úlohu v ďalšom rozvoji matematiky: došlo k prechodu od bodov k číslam, od priamok k rovniciam, od geometrie k algebre. Tak bolo možné nájsť spoločné techniky na riešenie problémov.
Na druhej strane, vďaka súradnicovej metóde bolo možné zobraziť geometricky odlišné závislosti.
Grafy teda poskytujú vizuálne znázornenie povahy vzťahu medzi veličinami, často sa používajú v rôznych oblastiach vedy a techniky.
Hlavné trendy vo vývoji moderného školského vzdelávania sú vyjadrené v myšlienkach humanizácie, humanizácie, aktivitného a osobnostne orientovaného prístupu k organizácii vzdelávacieho procesu.
V základe vyučovania matematiky na stredných školách vystupuje do popredia princíp priority rozvojovej funkcie vyučovania.
Štúdium konceptu numerickej funkcie na základnej škole je preto pomerne významnou zložkou pri formovaní matematických konceptov školákov. Pre učiteľa základnej školy je potrebné zamerať sa na štúdium tohto pojmu, keďže medzi funkciou a mnohými oblasťami ľudskej činnosti existuje priamy vzťah, ktorý neskôr pomôže deťom vstúpiť do sveta vedy.
Okrem toho , Študenti spravidla formálne chápu definíciu pojmu funkcia a nemajú celostné chápanie funkčnej závislosti, t.j. nevie aplikovať svoje vedomosti na riešenie matematických a praktických problémov; spája funkciu výlučne s analytickým výrazom, v ktorom je premenná pri vyjadrené prostredníctvom premennej X; nedokáže interpretovať reprezentácie funkcie v rôznych modeloch; je ťažké zostrojiť grafy funkcií na základe ich vlastností atď.
Príčiny týchto ťažkostí nesúvisia len a nie tak s metodológiou štúdia funkčného materiálu v kurze algebry, ale aj s nepripravenosťou myslenia študentov vnímať a osvojiť si pojem „funkcia“.
To znamená, že pred zavedením pojmu „funkcia“ je potrebné vykonať prácu na formovaní schopností funkčného myslenia, aby „v okamihu, keď by mala do vedomia študentov vstúpiť všeobecná myšlienka funkčnej závislosti, toto vedomie bude dostatočne pripravené na vecné a efektívne, a nielen na formálne vnímanie nového konceptu a s ním spojených myšlienok a zručností“ (A.Ya. Khinchin)
1. Číselné funkcie
1.1 Vývoj pojmu funkčná závislosť v matematike
Analyzujme pokrok vo vývoji pedagogických myšlienok v oblasti vyučovania najdôležitejšej zložky matematiky - funkčnej závislosti.
Funkčná línia kurzu školskej matematiky je jedným z popredných kurzov algebry, algebry a začiatkov analýzy. Hlavnou črtou vzdelávacieho materiálu tejto línie je, že s jeho pomocou môžete nadviazať rôzne spojenia vo vyučovaní matematiky.
V priebehu niekoľkých storočí sa pojem funkcie menil a zdokonaľoval. Potreba štúdia funkčnej závislosti v kurze školskej matematiky bola stredobodom pedagogickej tlače už od druhej polovice 19. storočia. Takí známi metodológovia ako M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky venovali vo svojich prácach veľkú pozornosť tejto problematike.
Vývoj myšlienky funkčnej závislosti prebiehal v niekoľkých etapách:
Prvé štádium- etapa zavádzania pojmu funkcia (hlavne prostredníctvom analytického vyjadrenia) do školského kurzu matematiky.
Druhá fáza Zavedenie pojmu funkcie do kurzu algebry na strednej škole je charakteristické najmä prechodom ku grafickému znázorneniu funkčnej závislosti a rozšírením okruhu skúmaných funkcií.
Tretia etapa Rozvoj ruskej školy sa začal v 20. rokoch. dvadsiate storočie. Analýza metodologickej literatúry sovietskeho obdobia ukázala, že zavedenie konceptu funkcie do kurzu školskej matematiky bolo sprevádzané vášnivými diskusiami a umožnila nám identifikovať štyri hlavné problémy, na ktoré boli medzi metodológmi rozdielne názory, a to:
1) účel a význam štúdia konceptu funkcie študentmi;
2) prístupy k definovaniu funkcie;
3) problematika funkčnej propedeutiky;
4) miesto a objem funkčného materiálu v školskom kurze matematiky.
Štvrtá etapa z dôvodu presunu hospodárstva RSFSR na plánovitý základ
V roku 1934 škola dostala prvú stabilnú učebnicu od A.P. Kiseleva, „Algebra“, revidovanú pod vedením A.P. Barsukova v dvoch častiach.
Jeho druhá časť obsahovala časti „Funkcie a ich grafy“, „Kvadratická funkcia“. Okrem toho sa v časti „Zovšeobecnenie pojmu stupňa“ uvažovalo o exponenciálnej funkcii a jej grafe av časti „Logaritmy“ o logaritmickej funkcii a jej grafe.
Práve v ňom bola funkcia definovaná prostredníctvom konceptu premennej veličiny: „Táto premenná veličina, ktorej číselné hodnoty sa menia v závislosti od číselných hodnôt inej, sa nazýva závislá premenná alebo funkcia iné premenlivé množstvo“. Neodráža však myšlienku korešpondencie a nie je tam žiadna zmienka o analytickom výraze, čo nám umožňuje dospieť k záveru, že táto definícia má významnú chybu.
I. Ya. Khinchin venoval tomuto problému veľkú pozornosť vo svojich dielach.
Vedec považoval formovanie myšlienky funkcie za prejav formalizmu vo vyučovaní. Veril, že na strednej škole by sa mal pojem funkcie vyučovať na základe pojmu korešpondencia.
Toto obdobie je charakteristické nedostatkom času na štúdium funkcií, nedomyslenými cvičebnými systémami, nepochopením skutočnej podstaty pojmu funkcie zo strany študentov a nízkou úrovňou funkčných a grafických zručností absolventov škôl.
Opäť sa tak objavila potreba reformy vyučovania matematiky na stredných školách. Reštrukturalizácia celej školskej matematiky na základe množinového prístupu znamenala piatu etapu vo vývoji myšlienky funkčnej závislosti. Myšlienkou množinovo-teoretického prístupu sa ujala skupina francúzskych vedcov združených pod pseudonymom Nicolas Bourbaki. V Roymonte (Francúzsko, 1959) sa konalo medzinárodné stretnutie, na ktorom bolo vyhlásené zvrhnutie všetkých konvenčných kurzov. V centre pozornosti boli štruktúry a zjednotenia celej školskej matematiky založené na teórii množín.
Významnú úlohu v rozvoji reformných myšlienok zohrali články V.L.Gončarova, v ktorých autor poukázal na dôležitosť včasnej a dlhodobej funkčnej propedeutiky a navrhol využitie cvičení pozostávajúcich z vykonania množstva vopred určených číselné zámeny v rovnakom danom písmenovom výraze.
Stabilizácia programov a učebníc vytvorila pôdu pre pozitívne zmeny v kvalite funkčných vedomostí žiakov. Koncom šesťdesiatych a začiatkom sedemdesiatych rokov sa spolu s negatívnymi recenziami začali objavovať v tlači aj tie, ktoré zaznamenali určité zlepšenie vedomostí absolventov škôl o funkciách a grafoch. Celková úroveň matematického rozvoja žiakov však zostala vo všeobecnosti nedostatočná. Školské kurzy matematiky naďalej trávili neprimerane veľa času formálnou prípravou a nevenovali dostatočnú pozornosť rozvoju schopnosti študentov učiť sa samostatne.
1.2 Metódy špecifikácie funkcií
takže, numerická funkcia je korešpondencia medzi číselnou množinou R reálnych čísel, v ktorej každé číslo z množiny X zodpovedá jednému číslu z množiny R.
V súlade s tým X predstavuje doménu definície funkcie (DOF).
Samotná funkcia je označená malými písmenami latinskej abecedy (f, d, e, k).
Ak je na množine X daná funkcia f, potom reálne číslo y zodpovedajúce číslu x z množiny X označíme ako f(x) (y=f(x)).
Volá sa premenná x argument. Zavolá sa množina čísel tvaru f(x) pre všetky x funkčný rozsahf.
Najčastejšie sú funkcie špecifikované rôznymi typmi vzorcov: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, kde x je reálne číslo, y je zodpovedajúce jednotné číslo.
Pomocou jedného vzorca však môžete nastaviť kopa funkcie, ktorých rozdiel je určený iba doménou definície:
Y= 2x-3, kde x patrí do množiny reálnych čísel a y=2x-3,
X - patriace do množiny prirodzených čísel.
Pri zadávaní funkcie pomocou vzorca často nie je špecifikovaná OOF (OFF je doménou definície výrazu f(x)).
Číselné funkcie je celkom vhodné znázorniť aj vizuálne, t.j. pomocou súradnicovej roviny. 
1.3 Vlastnosti funkcie.
Rovnako ako mnohé iné, aj numerické funkcie majú nasledujúce vlastnosti:
Zväčšovanie, klesanie, monotónnosť, definičný obor a obor hodnoty funkcie, ohraničenosť a neohraničenosť, párna a nepárna, periodicita.
Doména a rozsah funkcií.
V elementárnej matematike sa funkcie študujú len na množine reálnych čísel R. To znamená, že argument funkcie môže nadobúdať len tie reálne hodnoty, pre ktoré je funkcia definovaná, t.j. tiež akceptuje len skutočné hodnoty. Množina X všetkých prípustných reálnych hodnôt argumentu x, pre ktorý je funkcia y = f(x) definovaná, sa nazýva definičný obor funkcie. Množina Y všetkých reálnych hodnôt y, ktoré funkcia nadobudne, sa nazýva rozsah funkcie. Teraz môžeme presnejšie definovať funkciu: pravidlo (zákon) korešpondencie medzi množinami X a Y, podľa ktorého pre každý prvok z množiny X možno nájsť jeden a len jeden prvok z množiny Y, je nazývaná funkcia. 
Funkcia sa považuje za definovanú, ak: je špecifikovaná oblasť definície funkcie X; je špecifikovaný rozsah hodnôt funkcie Y; pravidlo (zákon) korešpondencie je známe a také, že pre každú hodnotu argumentu možno nájsť iba jednu hodnotu funkcie. Táto požiadavka jedinečnosti funkcie je povinná.
Obmedzené a neobmedzené funkcie. Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že | f(x) | M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.
Párne a nepárne funkcie. Ak pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f (- x) = f (x), potom sa funkcia nazýva párna; ak nastane: f (- x) = - f (x), potom sa funkcia nazýva nepárna. Graf párnej funkcie je symetrický vzhľadom na os Y (obr. 5) a graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (obr. 6). 
Periodická funkcia. Funkcia f (x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f (x + T) = f (x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické.
Ale najdôležitejšou vlastnosťou pre funkciu učenia v základných ročníkoch je monotónna.
Monotónna funkcia. Ak pre ľubovoľné dve hodnoty argumentu x1 a x2 podmienka x2 > x1 implikuje f (x2) > f (x1), potom funkcia | f(x) | nazývané zvyšovanie; ak pre ľubovoľné x1 a x2 podmienka x2 > x1 znamená f (x2)
2. Priame a nepriamo úmerné vzťahy.
2.1 Pojem priamej úmernosti.
Na základnej škole sa funkcia prejavuje vo forme priamych a nepriamych úmerných vzťahov.
Priama úmernosť- toto je v prvom rade, funkcia, ktorý možno zadať pomocou vzorca y=kx, kde k je nenulové reálne číslo. Názov funkcie y = kx je spojený s premennými x a y obsiahnutými v tomto vzorci. Ak postoj dve veličiny sa rovnajú nejakému číslu odlišnému od nuly, potom sa volajú priamo úmerné.
K je koeficient proporcionality.
Vo všeobecnosti je funkcia y=kx matematickým modelom mnohých reálnych situácií uvažovaných v počiatočnom kurze matematiky.
Povedzme napríklad, že v jednom balení je 2 kg múky a bolo zakúpených x takýchto balení, potom je celá nakúpená hmotnosť múky y. Dá sa to zapísať takto: y=2x, kde 2=k.
2.2 Vlastnosti priamej úmernosti.
Priama úmernosť má niekoľko vlastností:
Definičný obor funkcie y=kx je množina reálnych čísel R;
Graf priamej úmernosti je priamka prechádzajúca počiatkom;
Pre k>0 funkcia y=kx narastá v celom definičnom obore (pre k
Ak je funkcia f priama úmernosť, potom (x1,y1),(x2,y2) sú dvojice zodpovedajúcich premenných x a y, kde x sa nerovná nule, čo znamená x1/x2=y1/y2.
Xniekoľkonásobne vzrastie (zníži) zodpovedajúca kladná hodnota y o rovnakú hodnotu.
2.3 Pojem nepriamej proporcionality.
Inverzná úmernosť- Toto funkcia, ktorý možno zadať pomocou vzorca y=k/x, kde k je nenulové reálne číslo. Názov funkcie y = k/x je spojený s premennými x a y, ktorých súčin sa rovná nejakému reálnemu číslu, ktoré sa nerovná nule.
Vlastnosti nepriamej úmernosti:
Oblasť definície a rozsahu hodnôt funkcie y=k/x je množina reálnych čísel R;
Graf priamej úmernosti – hyperbola;
Keď k 0 klesá v celej oblasti definície, vetví sa - dole)
Ak je funkcia f nepriamo úmerná, potom (x1,y1),(x2,y2) sú dvojice zodpovedajúcich premenných x a y, kde x sa nerovná nule, čo znamená x1/x2=y2/y1.
Ak hodnoty premennýchXArbudú teda kladné reálne čísla
s rastúcou (klesajúcou) premennouXniekoľkokrát zodpovedajúca hodnota y klesá (zvyšuje) o rovnakú hodnotu.
Praktická časť
3.1 Funkčná propedeutika v počiatočnom kurze matematiky
Koncept funkčnej závislosti je jedným z popredných v matematickej vede, preto je formovanie tohto konceptu medzi študentmi dôležitou úlohou v cieľavedomých činnostiach učiteľa na rozvoj matematického myslenia a tvorivej činnosti detí. Rozvoj funkčného myslenia predpokladá v prvom rade rozvoj schopnosti objavovať nové súvislosti a zvládať všeobecné vzdelávacie techniky a zručnosti.
V počiatočnom kurze matematiky by mala zohrávať významnú úlohu funkčná propedeutika, ktorá zabezpečuje prípravu študentov na štúdium systematických kurzov algebry a geometrie a zároveň im vštepuje dialektický charakter myslenia, pochopenie príčinných vzťahov medzi javy okolitej reality. V tejto súvislosti načrtneme hlavné smery propedeutickej práce v počiatočnom štádiu vyučovania predmetu podľa programu L.G. Peterson:
Pojem množín, korešpondencia prvkov dvoch množín a funkcií. Závislosť výsledkov aritmetických operácií od zmien komponentov.
Tabuľkové, verbálne, analytické, grafické metódy špecifikácie funkcie.
Lineárna závislosť.
Súradnicový systém, prvá a druhá súradnica, usporiadaná dvojica.
Riešenie najjednoduchších kombinatorických úloh: zostavovanie a počítanie počtu možných permutácií, podmnožín prvkov konečnej množiny.
Použitie systematického počítania prirodzených hodnôt jednej a dvoch premenných pri riešení problémov s grafom.
Vypĺňanie tabuliek s aritmetickými výpočtami, údajmi z podmienok aplikovaných úloh. Výber údajov z tabuľky podľa podmienky.
Vzťah medzi proporcionálnymi veličinami; aplikované štúdium ich grafov.
Obsah počiatočného kurzu matematiky umožňuje študentom pochopiť jednu z najdôležitejších myšlienok v matematike - myšlienka zhody.Pri plnení úloh na nájdenie významov výrazov a vypĺňaní tabuliek žiaci zistia, že každá dvojica čísel nezodpovedá viac ako jednému výslednému číslu. Aby sme to však pochopili, je potrebné analyzovať obsah tabuliek.
Vymyslite všetky možné príklady sčítania dvoch jednociferných čísel s odpoveďou 12.
Pri dokončení tejto úlohy študenti vytvoria vzťah medzi dvoma súbormi hodnôt pojmov. Stanovená korešpondencia je funkcia, pretože každá hodnota prvého člena zodpovedá jedinej hodnote druhého člena s konštantným súčtom.
Vo váze je 10 jabĺk. Koľko jabĺk zostane, ak vezmete 2 jablká? 3 jablká? 5 jabĺk? Riešenie zapíšte do tabuľky. Od čoho závisí výsledok? O koľko jednotiek sa mení? prečo?
Tento problém v skutočnosti predstavuje funkciu pri = 10 - X, kde premenná X nadobúda hodnoty 2, 3, 5. V dôsledku dokončenia tejto úlohy musia študenti dospieť k záveru: čím väčší je subtrahend, tým menší je rozdiel.
Myšlienka funkčnej korešpondencie je prítomná aj v cvičeniach ako:
Spojte šípkou matematické výrazy a zodpovedajúce číselné hodnoty:
15 + 6 27 35
Úvod písmenové symboly umožňuje študentom predstaviť najdôležitejšie pojmy modernej matematiky - premenná, rovnica, nerovnosť, čo prispieva k rozvoju funkčného myslenia, pretože s nimi úzko súvisí myšlienka funkčnej závislosti. Pri práci s premennou si žiaci uvedomia, že písmená obsiahnuté vo výraze môžu nadobúdať rôzne číselné hodnoty a samotný písmenový výraz je zovšeobecnený zápis číselných výrazov.
Skúsenosti študentov s komunikáciou s cvičeniami na vytváranie vzorov v číselných postupnostiach a ich pokračovanie:
1, 2, 3, 4… (pri = X + 1)
1, 3, 5, 7… (pri= 2 · X + 1)
koncepcia množstvá, spolu s pojmom číslo, je hlavným pojmom počiatočného kurzu matematiky. Materiál v tejto časti je bohatým zdrojom pre realizáciu nepriamej funkčnej propedeutiky. Jednak je to závislosť (nepriamo úmerná) medzi zvolenou jednotkou veličiny (miera) a jej číselnou hodnotou (mierou) - čím väčšia miera, tým menšie číslo získané meraním veličiny touto mierou. Preto je dôležité, aby pri práci s každou veličinou študenti nadobudli skúsenosti s meraním veličín rôznymi etalónmi, aby si vedome vybrali najprv vyhovujúce a potom jedno meranie.
Po druhé, pri štúdiu veličín charakterizujúcich procesy pohybu, práce, nákupu a predaja sa vytvárajú predstavy o vzťahu medzi rýchlosťou, časom a vzdialenosťou, cenou, množstvom a nákladmi v procese riešenia slovných úloh typu - redukcia na jednota (nájdenie štvrtého pomerného) , nájdenie neznámeho dvomi rozdielmi, pomerné delenie.
Pre študentov je obzvlášť ťažké pochopiť vzťah medzi týmito veličinami, pretože pojem „proporcionálna závislosť“ nie je predmetom špeciálneho štúdia a asimilácie. V programe L.G. Peterson metodicky rieši tento problém pomocou nasledujúcich techník:
- Riešenie problémov s chýbajúcimi údajmi („otvorený“ stav):
Vasyov dom do školy je 540 m a Pashov 480 m. Kto býva bližšie? Kto sa tam dostane rýchlejšie?
Sasha kúpil notebooky za 30 rubľov a ceruzky za 45 rubľov. Na ktoré veci minul najviac peňazí? Aké veci kúpil viac?
Rozborom textov týchto problémov študenti zistia, že im chýbajú údaje a že odpovede na otázky závisia od ceny a rýchlosti.
- Stanovenie podmienok úloh nielen v tabuľke (ako sa navrhuje pri klasickej metóde), ale aj vo forme diagramu. To vám umožňuje „vizualizovať“ závislosti zvažované v probléme. Ak teda pohybujúce sa objekty prekonajú rovnakú vzdialenosť 12 km v rôznych časoch (2 hodiny, 3 hodiny, 4 hodiny, 6 hodín), potom pomocou diagramu je inverzný vzťah jasne interpretovaný - čím viac častí (času), tým menšie časť (rýchlosť).
- Zmeňte jeden z údajov úlohy a porovnajte výsledky riešenia problémov.
Do školskej jedálne bolo privezených 48 kg jabĺk. Koľko krabíc by mohli priniesť, keby všetky krabice obsahovali rovnaké množstvo jabĺk?
Žiaci dopĺňajú podmienky úlohy a zaznamenávajú vzťah medzi veličinami pomocou rôznych prostriedkov štrukturovania teoretických poznatkov – do tabuľky, diagramu a slovne.
Tu je vhodné venovať pozornosť viacnásobnému pomeru uvažovaných veličín - koľkokrát väčšia je jedna z veličín, toľkokrát väčšia (menšia) druhá, pričom tretia je konštantná.
Na základnej škole sú žiaci implicitne oboznámení tabuľkové, analytické, verbálne, grafické metódy špecifikovania funkcií.
Napríklad vzťah medzi rýchlosťou, časom a vzdialenosťou možno vyjadriť:
A) verbálne: „aby ste našli vzdialenosť, musíte vynásobiť rýchlosť časom“;
B) analyticky: s= v t;
B) tabuľkové: v =5 km/h
d) graficky (pomocou súradnicového lúča alebo uhla).
Grafický spôsob určenia závislosti medzi v, t, s nám umožňuje vytvoriť si predstavu o rýchlosti ako o zmene polohy pohybujúceho sa objektu za jednotku času (spolu so všeobecne akceptovanou - ako vzdialenosť prejdenú za jednotku času) a porovnanie grafov pohybu dvoch telies (pohybujúcich sa nezávisle na sebe) objasňuje myšlienku rýchlosti ako veličiny charakterizujúcej rýchlosť pohybu.
Zložené číselné výrazy(so zátvorkami a bez nich), výpočet ich hodnôt podľa pravidiel poradia akcií umožňuje študentom uvedomiť si, že výsledok závisí od poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú.
Usporiadajte zátvorky tak, aby tvorili správnu rovnosť.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
V priebehu L.G. Peterson, študenti sú implicitne oboznámení lineárna závislosť, ako špeciálny prípad funkcie. Táto funkcia môže byť špecifikovaná vzorcom formulára pri= kh + b, Kde X- nezávislá premenná, k A b- čísla. Jeho doménou je množina všetkých reálnych čísel.
Po prejdení 350 kilometrov vlak začal jazdiť t hodín rýchlosťou 60 km/h. Koľko kilometrov celkovo vlak prešiel?(350 + 60 · t)
Plnením úloh s vymenovanými číslami si žiaci uvedomia závislosť číselné hodnoty veličín z použitia rôznych jednotiek merania.
Ten istý segment bol meraný najskôr v centimetroch, potom v decimetroch. V prvom prípade sme dostali o 135 viac ako v druhom. Aká je dĺžka segmentu v centimetroch? (Závislosť= 10 · X)
V procese štúdia počiatočného kurzu matematiky študenti tvoria koncept prirodzeného radu čísel, segmentu prirodzeného radu, asimilujú vlastnosti prirodzeného radu čísel - nekonečno, usporiadanosť atď. myšlienka možnosti neobmedzeného nárastu prirodzeného čísla alebo zníženia jeho podielu.
V kurze matematiky pre 3. – 4. ročník sa značná pozornosť venuje výučbe žiakov používať vzorce, ich nezávislý záver. Tu je dôležité naučiť študentov prezentovať tie isté informácie v rôznych formách – graficky a analyticky, čo dáva študentom právo vybrať si formu v súlade s ich kognitívnym štýlom.
Študentov zaujímajú najmä úlohy súvisiace s analýzou tabuliek premenných hodnôt, „objavovaním“ závislostí medzi nimi a ich zapisovaním do vzorcov.
Pri analýze čísel uvedených v tabuľke si študenti ľahko všimnú, že čísla v prvom riadku sa zväčšia o jednu, čísla v druhom riadku o štyri. Úlohou učiteľa je venovať pozornosť vzťahu medzi hodnotami premenných A A b. V záujme posilnenia aplikovanej orientácie matematického vzdelávania treba túto situáciu „revitalizovať“ a preniesť do stavu parcely.
Ak chcete rozvíjať schopnosť študentov odvodiť vzorce, musíte ich naučiť písať rôzne výroky v matematickom jazyku (vo forme rovnosti):
Pero je trikrát drahšie ako ceruzka ( R = Komu + 3);
číslo A Pri delení 5 je zvyšok 2 ( A= 5 · b + 2);
Dĺžka obdĺžnika je o 12 cm väčšia ako šírka ( A = b + 12).
Predpokladom je prediskutovať možné možnosti hodnôt týchto veličín a vyplniť príslušné tabuľky.
Zvláštne miesto v kurze L.G. Peterson preberá úlohy súvisiace s matematický výskum:
Znázornite číslo 16 ako súčin dvoch faktorov rôznymi spôsobmi. Pre každú metódu nájdite súčet faktorov. V ktorom prípade bola získaná menšia suma? Urobte to isté s číslami 36 a 48. Aký je váš odhad?
Pri plnení podobných úloh (na štúdium vzťahu medzi počtom uhlov mnohouholníka a celkovou hodnotou stupňových mier uhlov, medzi hodnotou obvodu obrazcov rôznych tvarov s rovnakou plochou a pod.) sa žiaci zdokonaľujú zručnosti pri práci s tabuľkou, pretože je vhodné zaznamenať riešenie do tabuľky. Okrem toho sa tabuľková metóda fixácie riešenia používa pri riešení neštandardných matematických úloh metódou usporiadaného vyhľadávania alebo racionálneho výberu.
V triede je 13 detí. Chlapci majú toľko zubov, koľko majú dievčatá na rukách a nohách. Koľko chlapcov a koľko dievčat je v triede? (Každý chlapec má presne 32 zubov).
Vyučovanie matematiky podľa programu L.G. Peterson zabezpečuje, aby študenti rozumeli vzťahu medzi výsledkami a komponentmi aritmetických operácií a predstavou „rýchlosť“ zmeny výsledku aritmetických operácií v závislosti od zmien komponentov:
Cvičenia na skladbu čísel;
Konkrétne metódy výpočtov (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);
Odhad sumy, rozdielu, produktu, kvocientu.
Pri vykonávaní úloh, ako sú tieto, je dôležité prezentovať informácie multisenzorickým spôsobom.
Ako sa zmení súčet, ak sa jeden člen zvýši o 10 a druhý sa zníži o 5?
Ako sa zmení plocha obdĺžnika (alebo súčin dvoch čísel), ak sa jedna zo strán (jedno z čísel) zväčší o 3?
Značná časť študentov plní takéto úlohy dosadením konkrétnych číselných hodnôt. Metodologicky kompetentné v tejto situácii by bolo interpretovať stav graficky a analyticky.
(A+ 3) · b = A· b+ 3 ·b
Pojem funkcie na strednej škole sa spája s súradnicový systém. V priebehu L.G. Peterson obsahuje materiál pre propedeutické práce v tomto smere:
Číselný segment, číselný lúč, súradnicový lúč;
Pytagorova tabuľka, súradnice na rovine (súradnicový uhol);
Cestovné poriadky;
Koláčové, stĺpcové a čiarové grafy, ktoré vizuálne predstavujú vzťahy medzi diskrétnymi veličinami.
Takže štúdium aritmetických operácií, zvyšovanie a znižovanie čísla o niekoľko jednotiek alebo niekoľkokrát, vzťah medzi komponentmi a výsledkami aritmetických operácií, riešenie problémov pri hľadaní štvrtej proporcionality, o vzťahu medzi rýchlosťou, časom a vzdialenosťou; cena, množstvo a hodnota; hmotnosť jednotlivej položky, jej množstvo a celková hmotnosť; produktivita, čas a práca; atď., sú na jednej strane základom formovania pojmu funkcie a na druhej strane sa skúmajú na základe funkčných pojmov. Je potrebné poznamenať, že grafické modelovanie má pomerne veľký propedeutický význam: grafická interpretácia problémových podmienok, kresba, kresba atď. Informácie prezentované v grafickej forme sú ľahšie vnímateľné, priestranné a skôr podmienené, určené na sprostredkovanie informácií iba o základných vlastnostiach objektu a na rozvoj grafických zručností študentov.
Výsledkom propedeutiky funkčnej závislosti by navyše mala byť vysoká duševná aktivita mladších školákov, rozvoj intelektových, všeobecných predmetových a špecifických matematických zručností. To všetko vytvára pevný základ nielen pre riešenie metodických problémov primárnej matematiky - formovanie výpočtových schopností, schopnosť riešiť slovné úlohy a pod., ale aj pre realizáciu rozvojových možností matematického obsahu a nemenej dôležité, za úspešné štúdium funkcií na strednej škole.
3.2 Riešenie problémov s proporcionálne závislými veličinami
Vyriešenie problému znamená použitie logicky správnej postupnosti akcií
a operácie s číslami, množstvami, explicitne alebo implicitne dostupnými v probléme,
vzťahy na splnenie požiadavky úlohy (odpovedzte na jej otázku).
Hlavné v matematike sú: aritmetika A
algebraické spôsoby riešenia problémov. O aritmetika spôsobom
odpoveď na otázku problému sa nájde ako výsledok vykonania aritmetiky
akcie na číslach.
Rôzne aritmetické metódy na riešenie toho istého problému sú rôzne
vzťahy medzi údajmi, údajmi a neznámymi, údajmi a tým, čo sa hľadá,
základ pre výber aritmetických operácií alebo postupnosti
pomocou týchto vzťahov pri výbere akcií.
Riešenie slovnej úlohy pomocou aritmetiky je komplexná činnosť.
rozhodujúci. Existuje však niekoľko fáz:
1. Vnímanie a rozbor obsahu úlohy.
2. Vyhľadajte a zostavte plán riešenia problému.
3. Realizácia plánu riešenia. Formulácia záveru o splnení požiadavky
úlohy (odpovedanie na otázku úlohy).
4. Kontrola riešenia a odstránenie chýb, ak nejaké sú.
Problémy proporcionálneho delenia sa zavádzajú rôznymi spôsobmi: môžete ponúknuť
na vyriešenie hotového problému, alebo ho môžete najskôr poskladať transformáciou problému
nájsť štvrtý proporcionálny. V oboch prípadoch úspešnosť riešenia
problémy proporcionálneho delenia budú určené solídnou schopnosťou riešiť
problémy hľadania štvrtého pomerného teda ako
príprava musí zahŕňať riešenie problémov vhodného typu na nájdenie
štvrtý pomerný. Preto je vhodnejšie to druhé
spomínané možnosti zavedenia problémov proporcionálneho delenia.
Prechod k riešeniu hotových úloh z učebnice, ako aj zostavených úloh
učiteľa, vrátane rôznych skupín veličín, musíte najprv určiť, ktoré
množstvá diskutované v úlohe, potom krátko zapíšte problém do tabuľky,
predtým rozdelil otázku problému na dve otázky, ak obsahuje slovo
každý. Žiaci riešia spravidla samostatne, analyzujú
vedené len s jednotlivými študentmi. Namiesto krátkej poznámky môžete urobiť
kreslenie. Napríklad, ak sa problém týka kúskov látky, zvitkov drôtu a
atď., potom môžu byť reprezentované segmentmi napísaním zodpovedajúceho čísla
hodnoty týchto veličín. Všimnite si, že by ste nemali zakaždým vykonávať krátku jazdu.
nahrávanie alebo kreslenie, ak žiak po prečítaní úlohy vie, ako ju riešiť, tak
nech sa rozhodne on a tí, ktorým je ťažké použiť krátku poznámku alebo kresbu
Na vyriešenie úlohy. Postupne by sa mali úlohy zavádzaním skomplikovať
ďalšie údaje (napríklad: „Prvý kus obsahoval 16 m hmoty a druhý
2 krát menej.”) alebo položením otázky (napríklad: “Koľko metrov
Bolo v prvom kuse viac hmoty ako v druhom?).
Keď sa zoznámite s riešením problému neúmerného rozdelenia, môžete ísť
iný spôsob: najskôr vyriešte hotové problémy a neskôr vykonajte
transformácia problému hľadania štvrtého proporcionálneho na problém
pomerné delenie a po ich vyriešení porovnať ako samotné problémy, tak aj
ich rozhodnutia.
Cvičenia pomáhajú zovšeobecniť schopnosť riešiť problémy uvažovaného typu.
tvorivej povahy. Vymenujme niektoré z nich.
Pred jeho riešením je užitočné položiť si otázku, ktorá z otázok v úlohe bude zodpovedaná
väčšie číslo a prečo a po rozhodnutí skontrolovať, či zodpovedá tomuto typu
výsledné čísla, ktoré budú jedným zo spôsobov kontroly riešenia. Môžete ďalej
zistiť, či odpoveď mohla priniesť rovnaké čísla a za akých podmienok.
Užitočné cvičenia pre študentov na zostavenie problémov a ich následné riešenie,
a cvičenia na transformáciu úloh. Toto je v prvom rade kompilácia
problémy podobné tým, ktoré sa riešili. Takže po vyriešení problému s množstvami: cena,
množstvo a náklady - ponuka na zostavenie a vyriešenie podobného problému
rovnaké množstvá alebo s inými, ako je rýchlosť, čas a vzdialenosť.
Ide o kompiláciu problémov na ich riešenie, zapísané ako samostatné
akcie, a vo forme vyjadrenia, je zostavovanie a riešenie problémov podľa ich
krátky schematický zápis
1 spôsob:
X = 15 * 30 / 8 = 56 rubľov 25 kopeckov
Metóda 2: množstvo látky sa zvýšilo 15/8-krát, čo znamená, že zaplatia 15/8-krát viac peňazí
X = 30 * 15/8 = 56 rubľov 25 kopeckov
2. Istý pán zavolal tesára a prikázal mu postaviť dvor. Dal mu 20 robotníkov a spýtal sa, koľko dní postavia jeho dvor. Stolár odpovedal: o 30 dní. Ale majster ho potrebuje postaviť za 5 dní, a preto sa spýtal tesára: koľko ľudí potrebujete, aby ste s nimi mohli postaviť nádvorie za 5 dní; a zmätený tesár sa vás pýta, aritmetik: koľko ľudí potrebuje najať, aby postavili dvor za 5 dní?
Na tabuli je napísaná nedokončená krátka podmienka:
Možnosť I: pomer
Možnosť II: bez proporcií
ja 
II. X = 20*6 = 120 pracovníkov
3. Zobrali 560 vojakov s jedlom na 7 mesiacov, ale dostali príkaz slúžiť 10 mesiacov a chceli zo seba odstrániť ľudí, aby bolo dosť jedla na 10 mesiacov. Otázkou je, koľko ľudí by sa malo znížiť.
Starodávna úloha.
Vyriešte tento problém bez pomeru:
(Počet mesiacov sa zvyšuje o faktor, čo znamená, že počet vojakov klesá o faktor.
560 – 392 = 168 (vojakov treba znížiť)
V dávnych dobách na riešenie mnohých typov problémov existovali špeciálne pravidlá na ich riešenie. Známe problémy priamej a nepriamej úmernosti, v ktorých musíme nájsť štvrtú z troch hodnôt dvoch veličín, sa nazývali problémy „trojitého pravidla“.
Ak bolo pre tri množstvá zadaných päť hodnôt a bolo potrebné nájsť šiestu, potom sa pravidlo nazývalo „päťnásobok“. Podobne pre štyri množstvá platilo „sedemročné pravidlo“. Problémy spojené s aplikáciou týchto pravidiel sa nazývali aj problémy „komplexných trojitých pravidiel“.
4.
Tri kurčatá zniesli 3 vajcia za 3 dni. Koľko vajec znesie 12 sliepok za 12 dní?
| Kurčatá | dni | vajcia |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
Potrebujete zistiť:
Koľkokrát sa zvýšil počet kurčiat? (4 krát)
Ako sa zmenil počet vajec, ak sa nezmenil počet dní? (zvýšené 4-krát)
Koľkokrát sa zvýšil počet dní? (4 krát)
Ako sa zmenil počet vajec? (zvýšené 4-krát)
X = 3*4*4 = 48 (vajcia)
5
. Ak môže pisár napísať 15 listov za 8 dní, koľko pisárov bude potrebných na napísanie 405 listov za 9 dní?
(počet pisárov sa s pribúdajúcimi hárkami krát zvyšuje a znižuje
Z pribúdajúcich pracovných dní 
(pisári)).
Uvažujme o zložitejšom probléme so štyrmi veličinami.
6.
Na osvetlenie 18 miestností sa za 48 dní spotrebovalo 120 ton petroleja, pričom v každej miestnosti svietili 4 lampy. Koľko dní vydrží 125 libier petroleja, ak je osvetlených 20 miestností a v každej miestnosti svietia 3 lampy?
Počet dní používania petroleja sa zvyšuje so zvyšujúcim sa množstvom kerozínu v
krát a zo zníženia počtu lámp o faktor.
Počet dní používania petroleja klesá s nárastom miestností v 20 krát.
X = 48 * * : = 60 (dní)
Konečná hodnota je X = 60. To znamená, že 125 libier petroleja vydrží na 60 dní.
Záver
Metodický systém štúdia funkčnej závislosti na základnej škole, vyvinutý v kontexte modulového vzdelávania, predstavuje celistvosť tvorenú vzájomným vzťahom hlavných komponentov (cieľ, obsah, organizačný, technologický, diagnostický) a princípov (modularita, vedomá perspektíva, otvorenosť, zameranie vzdelávania na rozvoj osobnosti žiaka, všestrannosť metodického poradenstva).
Modulárny prístup je prostriedkom skvalitňovania procesu štúdia funkčnej závislosti u žiakov základných škôl, ktorý umožňuje: žiakom osvojiť si systém funkčných vedomostí a metód konania, praktických (operačných) zručností; učiteľ - rozvíjať svoje matematické myslenie na základe funkčného materiálu, pestovať samostatnosť v učení.
Metodická podpora procesu štúdia funkcií na základnej škole je postavená na báze modulárnych programov, ktoré sú základom pre identifikáciu základných zákonitostí, ktoré sú povinné pre pochopenie témy, úspešné a úplné osvojenie si obsahu vzdelávacieho materiálu a osvojenie si študentmi so solídnymi vedomosťami, zručnosťami a schopnosťami.
Bibliografia.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Teória a prax riešenia textových úloh: Učebnica. pomoc pre študentov vyššie ped. učebnica prevádzkarní. – M.: Edičné stredisko „Akadémia“, 2002. -288 s.
Fridman L. M. Matematika: Učebnica pre učiteľov a študentov pedagogických univerzít a vysokých škôl. – M.: Školská tlač, 2002.- 208 s.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Základy počiatočného kurzu matematiky: učebnica. manuál pre študentov pedagogiky. uch - sch na špeciálne. „Vyučovanie v základných ročníkoch všeobecného vzdelávania. Shk." - M.: Vzdelávanie, 1998. – 320. roky.
Stoilova L.P. Matematika: Učebnica pre študentov. vyššie Ped. učebnica prevádzkarní. – M.: Vydavateľské stredisko „Akakdemiya“, 1999. – 424 s.
Pekhletsky I. D. Matematika: Učebnica. – 2. vydanie stereotypné – M.: Vydavateľské centrum „Akadémia“; Mastery, 2002. – 304 s.
Kryuchkova V.V. Práca na problémoch s proporcionálnymi veličinami vo vývojovom režime: Príručka pre začínajúcich učiteľov. triedy: 2. časť / Rjazaňský regionálny inštitút pre rozvoj vzdelávania. Ryazan, 1996. – 75 rokov.
Padun T. A. Neštandardné úlohy v kurze elementárnej matematiky: Metodické. Odporúčané Na pomoc učiteľom základných škôl / Ryaz. región Inštitút pre rozvoj vzdelávania. – Rjazaň, 2003 – 85 s.
Glazer G.I. Dejiny matematiky v škole: IX – X ročníky. Manuál pre učiteľov. – M.: Školstvo, 1983. – 351 s., ill.
Dorofeev G.V. Humanitne orientovaný kurz je základom vzdelávacieho predmetu „Matematika“ na strednej škole // Matematika v škole. – 1997. - č.4. - S.59-66, s. 59.
Aktuálne problémy vo vyučovaní matematiky na základnej škole. / Ed. M.I. Moreau, A.M. Nafúknutý. - M.: Pedagogika, 1977. - 262 s.
Bantová M.A., Beltyuková G.V. Metódy vyučovania matematiky na základnej škole. - M.: Pedagogika, 1984. - 301 s.
Davydov V.V. Matematika 3. ročník: Učebnica pre 4-ročnú ZŠ. - M.: Edičné stredisko "Akadémia", 1998. - 212 s.
Moro M.I. a iné Matematika: Učebnica pre 3. ročník základnej školy trojročnej a 4. ročník základnej školy štvorročnej. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Vzdelávanie, 1997. - 240 s.
Peterson L.G. Matematika, 3. ročník. Diel 1, 2. Učebnica pre 4-ročnú základnú školu. - M.: "Balass", 2001.
Tento materiál bol zostavený podľa federálneho štátneho vzdelávacieho štandardu
hodina matematiky v 9. ročníku na tému: „Číselné funkcie, ich vlastnosti a grafy“, učebnica A.G. Mordkovicha.
Lekcia riadenia vývinu a objavovania nových poznatkov
doplnenie lekcie a prezentácia.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Číselné funkcie, ich vlastnosti a grafy. Hodina matematiky v 9. ročníku na záverečnej certifikácii podskupiny IDPO č. 9 Zavodskoy okres Saratov 25.10.2013
Epigraf "Jediná cesta vedúca k poznaniu je aktivita." Bernard Show
Kreatívna práca Vymyslite funkciu „po častiach“, vytvorte graf a prečítajte si ho. Riešenie y =
Ústna práca Pomenujte funkciu a definujte ju analyticky
Teoretický kvíz Formulujte definíciu číselnej funkcie. Čo sa nazýva definičný obor funkcie. Čo sa nazýva graf funkcie. Uveďte spôsoby definovania funkcie. Aká funkcia sa nazýva rastúca (klesajúca). Ktorá funkcia sa nazýva párna (nepárna). Aké číslo sa nazýva najmenšia (najväčšia) hodnota funkcie. Aká funkcia sa nazýva obmedzená.
Testy vo formáte GIA (základná úroveň)
odpovede Možnosť č. 5 Možnosť č. 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3
Uskutočnenie cvičení GIA č. 1. Zostrojte graf funkcie y = x 2 - 4 +3, pomocou grafu nájdite intervaly monotónnosti. Pre aké hodnoty a má priamka y=a dva spoločné body s grafom tejto funkcie? Odpoveď: a>3, a = -1
Nie. 2. Vyriešte graficky nerovnosť x -2 ≤ -x 3 Odpoveď: x≤ -1
Dozvedel som sa, že som sa naučil, zopakoval som v triede Dnes som si upevnil
Náhľad:
Technologická mapa hodiny matematiky v 9. ročníku na tému: „Číselné funkcie, ich vlastnosti a grafy“, učebnica A.G. Mordkovicha. Lekcia vývojovej kontroly a objavovania nových poznatkov. | ||||||||||||||||||
Kroky lekcie | Javiskové úlohy | Učiteľské aktivity | Aktivita študenta | UUD |
||||||||||||||
1. Organizačné sebaurčenie pre vzdelávacie aktivity (1) | Vytvorte priaznivé psychologický pracovný postoj | Pozdrav, mobilizácia pozornosť detí. | Hlásia absencie a zapájajú sa do obchodného rytmu hodiny. | Osobné: sebaurčenie Regulačné : hodnotenie pripravenosti na vyučovaciu hodinu |
||||||||||||||
2. Stanovenie cieľov a zámerov vyučovacej hodiny. Motivácia k učebným aktivitám žiakov. (3) | Aktualizácia základných vedomostí a metód činnosti | Informuje o téme a účele hodiny, napíše dátum na tabuľu Dnes v lekcii zhrnieme výsledky štúdia kapitoly „Číselné funkcie“. Pokračujme v precvičovaní zručností konštrukcie a čítania grafov študovaných funkcií a pozrime sa, ako hlboko je študovaná téma prezentovaná v skúšobných testoch. | Písanie do zošita | Regulačné: stanovenie cieľov Komunikatívne:príprava na reflexiu |
||||||||||||||
3. Aktualizácia vedomostí (12) | Aktualizácia základných vedomostí a metód činnosti s cieľom pripraviť sa na testovaciu hodinu. | Na lekciu ste boli požiadaní, aby ste prišli s funkciou „po častiach“, vytvorili graf a prečítali ho. Pozrime sa na vašu kreativitu. 1. Volá 2 študentov k tabuli podľa ľubovôle. 2. Vykonáva paralelnú prezentáciu grafov všetkých študovaných číselných funkcií. (Príloha č. 2). 3. Vedie frontálny rozhovor o teoretických otázkach (Príloha č. 3) 4. Udeľuje známky za domácu a ústnu prácu s prihliadnutím na domáce úlohy. | 1. V predstavenstve pracujú dvaja ľudia. (Príloha č. 1) 2. Ostatní študenti pomenujú zobrazenú funkciu zo svojich miest a analyticky ju definujú. 3. Študenti sa aktívne zúčastňujú ústneho kladenia otázok. | Regulačné: vôľová sebaregulácia v ťažkých situáciách Komunikácia: vyjadrenie vlastných myšlienok, argumentácia vlastného názoru Poznávacie: schopnosť aplikovať vedomosti na praktické problémy Osobné: vytváranie udržateľnej motivácie učiť sa a upevňovať nové veci |
||||||||||||||
4. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.(8) | Stredná reflexia | Študovali sme a preskúmali vlastnosti numerických funkcií. Urobme malý test a uistite sa, že vaše znalosti sú silné. Navrhované testy zodpovedajú základnej úrovni obtiažnosti, máte 7 minút. Prajem ti úspech! 1. Rozdeľuje testy (príloha č. 4) 2.Zbiera papieriky po uplynutí času, správne odpovede zapisuje na tabuľu
3. Mnohí dokončili test dobre, niektorí si uvedomili, že si ho musia zopakovať. | Vyriešte test a v prípade potreby si urobte poznámky do zošita. Po uplynutí času sa papiere odovzdajú. Skontrolujte ich odpovede. | Regulačné: pochopiť kvalitu a úroveň získavania vedomostí Poznávacie: vybrať najefektívnejšie spôsoby riešenia problémov Osobné: rozvíjanie zručností sebaanalýzy a sebakontroly |
||||||||||||||
5. Aplikácia vedomostí a zručností v novej situácii. (15) | Rozvoj výskumných zručností, autodiagnostika a autokorekcia výsledkov | Vykonávanie cvičení (GIA) Č. 1Nakreslite graf funkcie Y = x 2-4 +3 pomocou grafu, nájsť intervaly monotónnosti. Pre aké hodnoty a má priamka y=a dva spoločné body s grafom tejto funkcie? (Príloha č. 5) Úlohu stručne zapíše na tabuľu, vyzve žiaka na jej riešenie a sleduje správne riešenie úlohy. Hodnotí. č. 2. Vyriešte graficky nerovnosť x-2 ≤ -x 3 (príloha č. 6) Vyzýva študentov, aby zostavili grafy funkcií, vysvetľuje, ako používať testovacie body na grafe na určenie riešenia nerovnosti (tieňovanie) | Dvaja ľudia pracujú samostatne pomocou kariet na bočnej doske, ostatní doplnia riešenie úlohy č.1 do zošita. Funkčné grafy sú zobrazené na interaktívnej tabuli. Nerovnosť navrhujú riešiť výberom alebo algebraicky. Doplňte riešenie nerovnice a napíšte odpoveď. | Osobné: formovanie kognitívneho záujmu o predmet výskumu, udržateľná motivácia k štúdiu a upevňovaniu nových vecí Poznávacie: analyzovať objekt, zvýrazniť podstatné a nepodstatné vlastnosti. Komunikatívne:organizovať výchovnú spoluprácu s učiteľom a spolužiakmi. Regulačné: určiť novú úroveň postoja k sebe ako k predmetu činnosti |
||||||||||||||
6. Informácie o domácich úlohách (2) | Zabezpečiť, aby deti rozumeli účelu, obsahu a metódam plnenia domácich úloh | Úroveň 1: opakujte p7, č. 27,29 Úroveň 2: opakujte krok 7, č. 30,33 | Zapíšte si domácu úlohu | |||||||||||||||
7. Reflexia (4) | Poskytovať kvalitatívne hodnotenie práce triedy a jednotlivých žiakov Iniciovať u detí reflexiu motivácie vlastných aktivít a interakcií s učiteľom a ostatnými deťmi | 1. Ponúka pokračovanie návrhu „Dnes v triede opakoval som... Mám zabezpečené... Učil som sa … Som zistil …" 2. Ponúkne označiť na karte tvrdenie, ktoré najviac vyhovuje práci na vyučovacej hodine 3. Dáva známky | 1. Odpovedzte na otázky 2. Označte na kartách (Príloha č. 7) | Poznávacie: reflexia metód a podmienok konania, primerané pochopenie príčin úspechu a neúspechu, kontrola a hodnotenie procesu a výsledkov činností Komunikácia: schopnosť vyjadrovať svoje myšlienky, argumentovať |
Náhľad:
Príloha 1.
(kontrola domácich úloh)
Riešenie
Náhľad:
Dodatok 2
Ústna práca
Pomenujte funkciu a definujte ju analyticky
Náhľad:
Náhľad:
Dodatok 3
Teoretický prieskum
- Formulujte definíciu číselnej funkcie.
Testovanie a meranie materiálov. Algebra a začiatky analýzy: 10. ročník / Porov. A.N. Rurukin. - M.: VAKO, 2011. - 112 s. - (Testovanie a meranie materiálov).
Príručka obsahuje testovacie a meracie materiály (KIM) z algebry a základnej analýzy pre ročník 10: testy vo formáte úloh jednotnej štátnej skúšky, ako aj samostatnú a testovaciu prácu na všetky študované témy. Na všetky úlohy sú uvedené odpovede. Navrhovaný materiál umožňuje testovať vedomosti pomocou rôznych foriem kontroly.
Publikácia je určená učiteľom, školákom a ich rodičom.
Obsah
Od kompilátora ............................................ 3
Požiadavky na úroveň prípravy žiakov ............... 4
Plnenie úloh a ich hodnotenie................................................ 4
Test 1. Funkcia. Doména definície a rozsah hodnôt funkcie................................ 6
Test 2. Základné vlastnosti funkcie................................................. 8
Test 3. Funkčné grafy............................................ .............. 10
Test 4. Zovšeobecnenie témy „Číselné funkcie a ich vlastnosti“.................................... 12
Test 5. Významy goniometrických výrazov................16
Test 6. Základná goniometrická identita. Redukčné vzorce......................18
Test 7. Funkcie y = sinx a y = cosx...................................... ...20
Test 8. Funkcie y = tgx a y = ctgx...................................... ............... 22
Test 9. Zovšeobecnenie témy “Trigonometrické funkcie” ... 24
Test 10. Arccosine a arcsine. Riešenie rovníc cosx = a a sinx = a...........28
Test 11. Arktangens a arkotangens. Riešenie rovníc tgx = a a ctgx = a..........30
Test 12. Najjednoduchšie rovnice a nerovnice................................................32
Test 13. Zovšeobecnenie témy „Trigonometrické rovnice“.................................34
Test 14. Funkcie súčtu a rozdielu argumentov......................................38
Test 15. Vzorce s dvojitým argumentom................................................ .....40
Test 16. Prevod súčtov goniometrických funkcií na súčin................................42
Test 17. Prevod goniometrických výrazov... 44
Test 18. Goniometrické rovnice, sústavy rovníc, nerovnice......46
Test 19. Zovšeobecnenie témy „Transformácia goniometrických výrazov“................................48
Test 20. Limit konzistencie. Súčet nekonečnej geometrickej postupnosti.......52
Test 21. Hranica funkcie. Definícia derivátu.... 54
Test 22. Výpočet derivácií................................................ ........56
Test 23. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie......58
Test 24. Aplikácia derivácie na štúdium funkcií pre monotónnosť a extrémy....60
Test 25. Použitie derivácie na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt veličín....62
Test 26. Zovšeobecnenie témy “Derivácia”............................................ .........64
Test 27. Záverečný podľa programu 10. ročníka................................68
Sekcie: Matematika
Trieda: 9
Typ lekcie: Lekcia o zovšeobecňovaní a systematizácii vedomostí.
Vybavenie:
- Interaktívne vybavenie (PC, multimediálny projektor).
- Test, materiál v programe Microsoft Word ( Príloha 1).
- Interaktívny program „Autogram“.
- Individuálny test – písomky ( Dodatok 2).
Počas vyučovania
1. Organizačný moment
Oznamuje sa účel lekcie.
I. fáza lekcie
Kontrola domácich úloh
- Zbierajte letáky s domácou samostatnou prácou z didaktického materiálu S-19 možnosť 1.
- Vyriešte zadania na tabuli, ktoré spôsobovali žiakom ťažkosti pri robení domácich úloh.
Etapa II lekcie
1. Frontálny prieskum.
2. Bleskový prieskum: Zvýraznite správnu odpoveď v teste na tabuli (Príloha 1, s. 2-3).
Štádium lekcie III
Robiť cvičenia.
1. Riešenie č. 358 (a). Riešte rovnicu graficky: .
2. Kartičky (štyria slabí žiaci riešia v zošite alebo na tabuli):
1) Nájdite význam výrazu: a) ; b)
.
2) Nájdite definičný obor funkcií: a) ; b) y = .
3. Riešenie č. 358 (a). Vyriešte rovnicu graficky: .
Jeden žiak rieši na tabuli, zvyšok v zošite. V prípade potreby pomáha žiakovi učiteľ.
Na interaktívnej tabuli bol pomocou programu AutoGraph vybudovaný pravouhlý súradnicový systém. Žiak fixkou nakreslí zodpovedajúce grafy, nájde riešenie a zapíše odpoveď. Potom sa úloha skontroluje: vzorec sa zadá pomocou klávesnice a graf sa musí zhodovať s tým, ktorý je už nakreslený v rovnakom súradnicovom systéme. Abscisa priesečníka grafov je koreňom rovnice.
Riešenie:
Odpoveď: 8
Riešenie č. 360(a). Nakreslite a prečítajte graf funkcie:
Žiaci plnia úlohu samostatne.
Konštrukcia grafu sa kontroluje pomocou programu AutoGraph, vlastnosti zapisuje na tabuľu jeden študent (definičná oblasť, doména hodnoty, parita, monotónnosť, spojitosť, nuly a stálosť znamienka, najväčšie a najmenšie hodnoty funkcia).
Riešenie:
Vlastnosti:
1) D( f) = (-); E( f) = , zvyšuje sa o )
