D'Alembertov princíp zakladá jednotný prístup k štúdiu pohybu hmotného objektu bez ohľadu na povahu podmienok kladených na tento pohyb. V tomto prípade majú dynamické pohybové rovnice formu rovnováhových rovníc. Odtiaľ pochádza druhý názov d'Alembertovho princípu – kinetostatická metóda.

Pre hmotný bod v akomkoľvek momente pohybu je geometrický súčet aplikovaných aktívnych síl, väzbových reakcií a konvenčne pripojenej zotrvačnej sily rovný nule (obr. 48).

Kde F je zotrvačná sila hmotného bodu, ktorá sa rovná:

. (15.2)

Obrázok 48

Obrázok 49

Sila zotrvačnosti nepôsobí na pohybujúci sa objekt, ale na spoje, ktoré určujú jeho pohyb. Muž hlási zrýchlenie vozík (obr. 49), pričom ho tlačte silou .Sila zotrvačnosti predstavuje protiakciu voči pôsobeniu osoby na vozíku, t.j. modulo sa rovná sile a nasmerované opačným smerom.

Ak sa bod pohybuje pozdĺž zakrivenej dráhy, potom sa sila zotrvačnosti môže premietnuť do prirodzených súradnicových osí.

Obrázok 50

; (15.3)

, (15.4) kde -- polomer zakrivenia trajektórie.

Pri riešení problémov pomocou kinetostatickej metódy musíte:

1. vyberte súradnicový systém;

2. zobraziť všetky aktívne sily pôsobiace na každý bod;

3. zahodiť spojenia a nahradiť ich vhodnými reakciami;

4. pripočítaj k aktívnym silám a reakciám spojov silu zotrvačnosti;

5. zostavte kinetostatické rovnice, z ktorých určíte požadované veličiny.

PRÍKLAD 21.

O

RIEŠENIE.

1. Predstavte si auto umiestnené v hornom bode konvexného mosta. Uvažujme auto ako hmotný bod, na ktorý pôsobí daná sila a komunikačná reakcia .

2. Keďže sa auto pohybuje konštantnou rýchlosťou, zapíšeme si D’Alembertov princíp pre hmotný bod v projekcii do normálu
. (1) Vyjadrime silu zotrvačnosti:
; Normálny tlak auta určíme z rovnice (1): N.

určiť tlak auta s hmotnosťou G=10000H umiestneného v hornom bode konvexného mosta s polomerom =20m a pohybuje sa konštantnou rýchlosťou V=36km/h (obr. 51).

16. D'Alembertov princíp pre mechanický systém. Hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl.

Ak príslušná zotrvačná sila podmienečne pôsobí na každý bod mechanického systému v ktoromkoľvek okamihu pohybu, potom sa v každom okamihu pohybu geometrický súčet aktívnych síl pôsobiacich na bod, reakcie spojení a zotrvačnej sily rovná nula.

Rovnica vyjadrujúca d'Alembertov princíp pre mechanický systém má tvar
. (16.1) Súčet momentov týchto vyrovnaných síl voči akémukoľvek stredu je tiež nulový
. (16.2) Pri aplikácii D'Alembertovho princípu sa pohybové rovnice sústavy zostavujú vo forme rovnováhových rovníc. Pomocou rovníc (16.1) a (16.2) možno určiť dynamické odozvy.

PRÍKLAD 22.

Vertikálny AK hriadeľ rotujúci konštantnou uhlovou rýchlosťou =10s -1, zaistené axiálnym ložiskom v bode A a valcovým ložiskom v bode K (obr. 52). K hriadeľu v bode E je pripevnená tenká homogénna lomená tyč s hmotnosťou m = 10 kg a dĺžkou 10 b, pozostávajúca z častí 1 a 2, kde b = 0,1 m, a ich hmotnosti m 1 a m 2 sú úmerné dĺžkam. Tyč je pripevnená k hriadeľu závesom v bode E a beztiažovou tyčou 4 pevne upevnenou v bode B. Určte reakciu závesu E a tyče 4.

RIEŠENIE.

1. Dĺžka zlomenej tyče je 10b. Vyjadrime hmotnosti častí tyče úmerné dĺžkam: m 1 =0,4m; m2 = 0,3 m; m3 = 0,3 m.

Obrázok 42

2. Na určenie požadovaných reakcií zvážte pohyb zlomenej tyče a aplikujte D'Alembertov princíp. Umiestnime tyč do roviny xy a znázornime vonkajšie sily, ktoré na ňu pôsobia: ,,, pántové reakcie A a reakciu
tyč 4. K týmto silám pripočítame zotrvačné sily častí tyče:
;
;
,

Kde
;
;
.

Potom N.N.N.

Čiara pôsobenia výsledných síl zotrvačnosti ,
A
prechádza vo vzdialenostiach h 1, h 2 a h 3 od osi x: m;

3. Podľa d'Alembertovho princípu aplikované aktívne sily, väzbové reakcie a zotrvačné sily tvoria vyvážený systém síl. Zostavme tri rovnovážne rovnice pre rovinnú sústavu síl:

; ; (1)
;; (2)
;.(3)

Vyriešením systému rovníc (1) + (3), dosadením daných hodnôt zodpovedajúcich veličín, nájdeme požadované reakcie:

N= y E = x E =

Ak sú všetky sily pôsobiace na body mechanického systému rozdelené na vonkajšie a vnútorné , (obr. 53), potom pre ľubovoľný bod mechanického systému môžeme napísať dve vektorové rovnosti:

; (16.3)
.

Obrázok 53

Ak vezmeme do úvahy vlastnosti vnútorných síl, získame d'Alembertov princíp pre mechanický systém v nasledujúcom tvare:
; (16.4)
, (16.5) kde ,-- hlavné vektory vonkajších síl a zotrvačných síl;

,
-- respektíve hlavné momenty vonkajších síl a zotrvačné sily vzhľadom na ľubovoľný stred O.

Hlavný vektor a hlavný bod
nahradiť zotrvačné sily všetkých bodov sústavy, keďže každý bod sústavy musí mať svoju zotrvačnú silu v závislosti od zrýchlenia daného bodu. Pomocou vety o pohybe ťažiska a zmene momentu hybnosti systému vzhľadom na ľubovoľný stred dostaneme:
, (16.6)

. (16.7) Pre tuhé teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi z je hlavný moment zotrvačných síl vzhľadom na túto os rovný
, (16.8) kde -- uhlové zrýchlenie tela.

Pri translačnom pohybe telesa sa zotrvačné sily všetkých jeho bodov redukujú na výslednicu rovnajúcu sa hlavnému vektoru zotrvačných síl, t.j.
.

P

Obrázok 54

Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi z prechádzajúcej cez ťažisko, zotrvačné sily všetkých bodov telesa sa redukujú na dvojicu síl ležiacich v rovine kolmej na os otáčania a majúcich moment
, (16.9) kde -- moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os otáčania.

Ak má teleso rovinu symetrie a otáča sa okolo pevnej osi z, kolmej na rovinu symetrie a neprechádza cez ťažisko telesa, zotrvačná sila všetkých bodov telesa sa zníži na výslednú silu rovnú na hlavný vektor zotrvačných síl sústavy, ale aplikovaný na nejaký bod K (obr. 54) . Akčná línia výslednice sa nachádza vo vzdialenosti od bodu O
. (16.10)

Pri rovinnom pohybe telesa s rovinou súmernosti sa teleso pohybuje po tejto rovine (obr. 55). Hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl tiež ležia v tejto rovine a sú určené vzorcami:

Obrázok 55

;

.

Znamienko mínus označuje smer daného okamihu
proti smeru uhlového zrýchlenia telesa.

PRÍKLAD 23.

Určte silu, ktorá má tendenciu roztrhnúť rovnomerne rotujúci zotrvačník s hmotnosťou m, berúc do úvahy jeho hmotnosť rozloženú po ráfiku. Polomer zotrvačníka r, uhlová rýchlosť (obr. 56).

RIEŠENIE.

1. Sila, ktorú hľadáte je vnútorný. - výslednica zotrvačných síl prvkov ráfika.
. Vyjadrime súradnicu x c ​​ťažiska oblúka ráfika so stredovým uhlom
:
, Potom
.

2. Na určenie sily Aplikujme d'Alembertov princíp pri projekcii na os x:
;
, kde
.

3. Ak je zotrvačník pevný homogénny disk, potom
, Potom
.

d'Alembertov princíp sa používa pri riešení prvej hlavnej úlohy dynamiky nevoľného bodu, keď je známy pohyb bodu a naň pôsobiace aktívne sily a hľadá sa výsledná reakcia spojenia.

Zapíšme si základnú rovnicu dynamiky nevoľného bodu v inerciálnej vzťažnej sústave:

Prepíšme rovnicu takto:

.

Označenie , dostaneme

, (11.27)

kde sa volá vektor D'Alembertova zotrvačná sila.

Vyhlásenie princípu: V každom momente pohybu nevoľného hmotného bodu je aktívna sila a reakcia spojenia vyvážená D'Alembertovou silou zotrvačnosti..

Premietnutím vektorovej rovnice (11.27) na ľubovoľné súradnicové osi získame zodpovedajúce rovnice rovnováhy, pomocou ktorých môžeme nájsť neznáme reakcie.

Premietnime rovnicu (11.27) na prirodzené osi:

(11.28)

Kde nazývaná odstredivá sila zotrvačnosti, vždy nasmerovaná v zápornom smere hlavnej normály; .

Poznámky:

1). V skutočnosti okrem síl nie sú na bod aplikované žiadne iné fyzikálne sily a tieto tri sily netvoria vyvážený systém síl. V tomto zmysle je d'Alembertova zotrvačná sila fiktívna sila podmienečne aplikovaná na bod.

2). D'Alembertov princíp by sa mal považovať za vhodný metodický prostriedok, ktorý umožňuje zredukovať problém dynamiky na problém statiky.

Príklad 1 Určme väzbovú reakciu pôsobiacu na pilota, keď lietadlo pohybujúce sa vo vertikálnej rovine opúšťa strmhlavý let (obr. 11.5).

Na pilota pôsobí gravitácia a reakcia sedadla. Použime D'Alembertov princíp a k týmto silám pridáme D'Alembertovu silu zotrvačnosti:

(11.29)

Napíšme rovnicu (11.29) v projekciách do normály:

(11.30)

Kde r- polomer kruhu, keď lietadlo vstupuje do vodorovného letu,

Maximálna rýchlosť lietadla v tomto momente.

Z rovnice (11.30)

(11.31)

Príklad 2 Stanovme teraz rovnakú reakciu pôsobiacu na pilota v momente opustenia režimu stúpania (obr. 11.6).

Relatívny pohyb hmotného bodu

Ak sa referenčné systémy nepohybujú translačne vzhľadom na inerciálny referenčný systém alebo sa počiatky ich súradníc pohybujú nerovnomerne alebo krivočiaro, potom sú takéto referenčné systémy neinerciálny. V týchto referenčných rámcoch sú axiómy A 1 a A 2 nie sú pozorované, ale z toho nevyplýva, že v dynamike sa študujú len pohyby vyskytujúce sa v inerciálnych referenčných systémoch. Uvažujme pohyb hmotného bodu v neinerciálnej súradnicovej sústave, ak sú známe sily pôsobiace na hmotný bod a je zadaný pohyb neinerciálnej vzťažnej sústavy vzhľadom na inerciálnu vzťažnú sústavu. V nasledujúcom texte sa inerciálna vzťažná sústava bude nazývať stacionárna sústava a neinerciálna vzťažná sústava sa bude nazývať pohyblivá vzťažná sústava. Nech je výslednicou aktívnych síl pôsobiacich na bod a nech je výsledkom reakcie väzieb; - pevný súradnicový systém; - pohyblivý súradnicový systém.

Zvážte pohyb hmotného bodu M(obr. 11.7), ktorý nie je pevne spojený s pohyblivým súradnicovým systémom, ale pohybuje sa vo vzťahu k nemu. V kinematike sa tento pohyb bodu nazýval relatívny, pohyb bodu vzhľadom na pevný súradnicový systém sa nazýval absolútny a pohyb pohyblivého súradnicového systému sa nazýval prenosný.

Základný zákon dynamiky pre absolútny pohyb bodu M bude vyzerať

(11.33)

kde je absolútne zrýchlenie bodu.

Na základe vety o sčítaní zrýchlení kinematiky (Coriolisova veta) je absolútne zrýchlenie súčtom relatívnych, transportných a Coriolisových zrýchlení.

. (11.34)

Dosadením (11.34) do (11.33) dostaneme

a po prenose a zadaní notových zápisov

(11.35)

Kde ; vektor sa nazýva prenosová sila zotrvačnosti; - Coriolisova zotrvačná sila.

Rovnosť (11.35) vyjadruje zákon relatívneho pohybu bodu. Následne pohyb bodu v neinerciálnej vzťažnej sústave možno považovať za pohyb v inerciálnej sústave, ak k počtu aktívnych síl a väzbových reakcií pôsobiacich na bod pripočítame prenosové a Coriolisove zotrvačné sily.

Zotrvačné sily v dynamike hmotného bodu a mechanického systému

Silou zotrvačnosti hmotného bodu je súčin hmotnosti bodu a jeho zrýchlenia, brané so znamienkom mínus, t.j. zotrvačné sily v dynamike sa uplatňujú v týchto prípadoch:

• 1. Pri štúdiu pohybu hmotného bodu v neinerciálny(pohyblivý) súradnicový systém, teda relatívny pohyb. Ide o prenosné a Coriolisove zotrvačné sily, ktoré sa často nazývajú Eulerove sily.
• 2. Pri riešení dynamických úloh metódou kinetostatiky. Táto metóda je založená na d’Alembertovom princípe, podľa ktorého sa zotrvačné sily hmotného bodu alebo sústavy hmotných bodov pohybujú s určitým zrýchlením v zotrvačné referenčný systém. Tieto zotrvačné sily sa nazývajú d'Alembertove sily.
• 3. D'Alembertove zotrvačné sily sa využívajú aj pri riešení úloh dynamiky pomocou Lagrangeovho-D'Alembertovho princípu alebo všeobecnej rovnice dynamiky.

Vyjadrenie v projekciách na kartézskych súradnicových osiach

Kde - moduly priemetov zrýchlenia bodu na kartézskej súradnicovej osi.

Keď sa bod pohybuje v krivočiarom smere, zotrvačná sila sa môže rozložiť na dotyčnicu a normálu:; , - modul tangenciálnych a normálových zrýchlení; - polomer zakrivenia trajektórie;

V- bodová rýchlosť.

D'Alembertov princíp pre hmotný bod

Ak do neslobodného hmotný bod pohybujúci sa pôsobením pôsobiacich aktívnych síl a väzbových reakčných síl, aplikujte svoju zotrvačnú silu, potom bude výsledný systém síl v každom okamihu vyrovnaný, t.j. geometrický súčet týchto síl bude rovný nule.

materiál mechanického telesa hrotu

Kde - výslednica aktívnych síl pôsobiacich na bod; - výsledok reakcií väzieb uložených na bod; zotrvačná sila hmotného bodu. Poznámka: V skutočnosti zotrvačná sila hmotného bodu nepôsobí na samotný bod, ale na teleso, ktoré tomuto bodu udeľuje zrýchlenie.

D'Alembertov princíp pre mechanický systém

Geometrický súčet hlavné vektory vonkajších síl pôsobiacich na systém a zotrvačné sily všetkých bodov systému, ako aj geometrický súčet hlavných momentov týchto síl vo vzťahu k nejakému stredu pre nevoľný mechanický systém v akomkoľvek časovom okamihu sa rovnajú nule, t.j.

Hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl tuhého telesa

Hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl bodov sústavy sú určené samostatne pre každé tuhé teleso zahrnuté v danej mechanickej sústave. Ich definícia je založená na Poinsotovej metóde, známej zo statiky, privádzania ľubovoľného systému síl do daného centra.

Na základe tejto metódy môžu byť zotrvačné sily všetkých bodov telesa, vo všeobecnosti jeho pohyby, privedené do ťažiska a nahradené hlavným vektorom * a hlavným momentom vzhľadom k ťažisku. Sú určené vzorcami t.j. pre akékoľvek pri pohybe tuhého telesa je hlavný vektor zotrvačných síl rovný so znamienkom mínus súčinu hmotnosti telesa a zrýchlenia ťažiska telesa; ,Kde r kc -- vektor polomeru k-tý body ťahané od ťažiska. Tieto vzorce v špeciálnych prípadoch pohybu tuhého telesa majú tvar:

1. Pohyb vpred.

2. Rotácia telesa okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko

3. Rovinnoparalelný pohyb

Úvod do analytickej mechaniky

Základné pojmy analytickej mechaniky

Analytická mechanika- oblasť (úsek) mechaniky, v ktorej sa študuje pohyb alebo rovnováha mechanických sústav pomocou všeobecných, jednotných analytických metód používaných pre akékoľvek mechanické sústavy.

Pozrime sa na najcharakteristickejšie koncepty analytickej mechaniky.

1. Spoje a ich klasifikácia.

Spojenia- akékoľvek obmedzenia vo forme telies alebo akýchkoľvek kinematických podmienok kladených na pohyby bodov mechanického systému. Tieto obmedzenia môžu byť zapísané ako rovnice alebo nerovnice.

Geometrické spojenia-- spojenia, ktorých rovnice obsahujú iba súradnice bodov, t. j. obmedzenia sú kladené len na súradnice bodov. Ide o spojenia v podobe telies, plôch, línií a pod.

Diferenciálne spojenia-- spojenia, ktoré obmedzujú nielen súradnice bodov, ale aj ich rýchlosť.

Holonomické spojenia -- všetky geometrické spojenia a tie diferenciálne, ktorých rovnice je možné integrovať.

Neholonomické spojenia-- diferenciálne neintegrovateľné spojenia.

Pripojenia na pevnú linku -- spojenia, ktorých rovnice výslovne nezahŕňajú čas.

Nestacionárne komunikácie-- súvislosti, ktoré sa menia v čase, t.j. rovnice ktorých jednoznačne zahŕňajú čas.

Obojsmerné (držiace) pripojenia -- spojenia, ktoré obmedzujú pohyb bodu v dvoch opačných smeroch. Takéto spojenia sú opísané rovnicami .

Jednostranné(neobmedzujúce) spojenia - spojenia, ktoré obmedzujú pohyb iba v jednom smere. Takéto spojenia sú opísané nerovnosťami

2. Možné (virtuálne) a skutočné pohyby.

možné alebo virtuálne posunutia bodov mechanického systému sú imaginárne nekonečne malé pohyby, ktoré umožňujú spojenie uložené na systém.

možné Pohyb mechanického systému je súbor súčasných možných pohybov bodov systému, ktoré sú kompatibilné so spojeniami. Nech je mechanickým systémom kľukový mechanizmus.

Možný pohyb bodu A je pohyb, ktorý sa pre svoju malosť považuje za priamočiary a smeruje kolmo na OA.

Možný pohyb bodu IN(posúvač) sa pohybuje vo vodiacich lištách. Možný pohyb kľuky OA je uhol natočenia a ojnica AB -- do uhla okolo MCS (bod R).

Platné posunutia bodov systému sa tiež nazývajú elementárne posunutia, ktoré umožňujú superponované spojenia, ale zohľadňujúce počiatočné podmienky pohybu a sily pôsobiace na systém.

Počet stupňov slobody S mechanického systému je počet jeho nezávislých možných pohybov, ktoré môžu byť oznámené bodom systému v pevnom časovom bode.

Princíp možných pohybov (Lagrangeov princíp)

Princíp možných posunov alebo Lagrangeov princíp vyjadruje stav rovnováhy nevoľného mechanického systému pod vplyvom pôsobiacich aktívnych síl. Vyhlásenie princípu.

Pre rovnováhu nevoľného mechanického systému s obojsmernými, stacionárnymi, holonomickými a ideálnymi spojeniami, ktorý je pri pôsobení pôsobiacich aktívnych síl v pokoji, je potrebné a postačujúce, aby súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl bol rovný guľka o akomkoľvek možnom posunutí systému z uvažovanej rovnovážnej polohy:

Všeobecná rovnica dynamiky (princíp Lagrange-D'Alembert)

Všeobecná rovnica dynamiky sa aplikuje na štúdium pohybu nevoľných mechanických systémov, ktorých telesá alebo body sa pohybujú s určitými zrýchleniami.

V súlade s d'Alembertovým princípom tvoria súhrn aktívnych síl pôsobiacich na mechanický systém, väzobné reakčné sily a zotrvačné sily vo všetkých bodoch systému vyvážený systém síl.

Ak na takýto systém aplikujeme princíp možných posunov (Lagrangeov princíp), dostaneme kombinovaný Lagrangeov-D’Alembertov princíp resp. všeobecná rovnica dynamiky.Vyhlásenie tohto princípu.

Pri neslobodnom pohybe mechanického systému s obojsmerným, ideálnym, stacionárnym a holonomickým spojením je súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl a zotrvačných síl pôsobiacich na body systému pri akomkoľvek možnom pohybe systému nula:

Lagrangeove rovnice druhého druhu

Lagrangeove rovnice druhého druhu sú diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému vo zovšeobecnených súradniciach.

Pre systém s S stupňa voľnosti majú tieto rovnice tvar

Rozdiel celková časová derivácia parciálnej derivácie kinetickej energie systému vzhľadom na zovšeobecnenú rýchlosť a parciálna derivácia kinetickej energie vzhľadom na zovšeobecnenú súradnicu sa rovná zovšeobecnenej sile.

Lagrangeove rovnice pre konzervatívne mechanické systémy. Cyklické súradnice a integrály

Pre konzervatívny systém sa zovšeobecnené sily určujú prostredníctvom potenciálnej energie systému podľa vzorca

Potom sa Lagrangeove rovnice prepíšu do formulára

Keďže potenciálna energia systému je funkciou iba zovšeobecnených súradníc, t.j., berúc do úvahy túto skutočnosť, uveďme ju v tvare, kde T - P = L -- Lagrangeova funkcia (kinetický potenciál). Nakoniec Lagrangeove rovnice pre konzervatívny systém

Stabilita rovnovážnej polohy mechanického systému

Otázka stability rovnovážnej polohy mechanických systémov má priamy význam v teórii vibrácií systémov.

Rovnovážna poloha môže byť stabilná, nestabilná a indiferentná.

Udržateľný rovnovážna poloha - rovnovážna poloha, v ktorej sa body mechanického systému, vzdialené z tejto polohy, následne pohybujú pôsobením síl v bezprostrednej blízkosti svojej rovnovážnej polohy.

Tento pohyb bude mať určitý stupeň opakovateľnosti v čase, t.j. systém bude vykonávať oscilačný pohyb.

Nestabilný rovnovážna poloha - rovnovážna poloha, z ktorej pri ľubovoľne malej odchýlke bodov sústavy ďalšie pôsobiace sily posunú body ešte ďalej od ich rovnovážnej polohy. .

Ľahostajný rovnovážna poloha - rovnovážna poloha, kedy pre akúkoľvek malú počiatočnú odchýlku bodov sústavy od tejto polohy zostáva v novej polohe sústava aj v rovnováhe. .

Existujú rôzne metódy na určenie stabilnej rovnovážnej polohy mechanického systému.

Uvažujme definíciu stabilnej rovnovážnej polohy na základe Lagrange-Dirichletove vety

Ak je v pozícii rovnováha konzervatívneho mechanického systému s ideálnymi a stacionárnymi spojeniami, jeho potenciálna energia má minimum, vtedy je táto rovnovážna poloha stabilná.

Nárazový jav. Nárazová sila a nárazový impulz

Jav, pri ktorom sa v zanedbateľne malom časovom úseku menia rýchlosti bodov na telese o konečnú hodnotu, sa nazýva fúkať. Toto časové obdobie sa nazýva čas dopadu. Počas nárazu pôsobí nárazová sila počas nekonečne malého časového obdobia. Nárazová sila nazývaná sila, ktorej hybnosť počas nárazu je konečná hodnota.

Ak je sila konečná v module pôsobí v priebehu času a začína svoju činnosť v určitom okamihu , potom má jeho impulz tvar

Tiež, keď nárazová sila pôsobí na hmotný bod, môžeme povedať, že:

pôsobenie iných ako okamžitých síl pri náraze možno zanedbať;

pohyb hmotného bodu počas nárazu možno ignorovať;

výsledok pôsobenia nárazovej sily na hmotný bod je vyjadrený v konečnej zmene jeho vektora rýchlosti pri náraze.

Veta o zmene hybnosti mechanického systému pri náraze

zmena hybnosti mechanického systému počas nárazu sa rovná geometrickému súčtu všetkých vonkajších nárazových impulzov aplikovaných na body systémov, Kde - veľkosť pohybu mechanického systému v momente ukončenia nárazových síl, - množstvo pohybu mechanického systému v momente, keď začnú pôsobiť nárazové sily, - vonkajší šokový impulz.

D'Alembertov princíp nám umožňuje formulovať problémy dynamiky mechanických systémov ako problémy statiky. V tomto prípade majú dynamické diferenciálne pohybové rovnice formu rovnováh rovnováhy. Táto metóda sa nazýva kinetostatická metóda .

D'Alembertov princíp pre hmotný bod: « V každom časovom okamihu pohyb hmotného bodu, aktívne sily naň skutočne pôsobiace, reakcie spojení a sila zotrvačnosti podmienene pôsobiaca na bod tvoria vyvážený systém síl.»

Zotrvačnou silou bodu nazývaná vektorová veličina, ktorej rozmer sily sa rovná súčinu hmotnosti bodu a jeho zrýchlenia a smeruje opačne k vektoru zrýchlenia.

. (3.38)

Ak uvažujeme o mechanickom systéme ako o množine hmotných bodov, z ktorých na každý pôsobí, podľa D'Alembertovho princípu, vyvážený systém síl, máme z tohto princípu aplikovaného na systém dôsledky. Hlavný vektor a hlavný moment vzhľadom k akémukoľvek stredu vonkajších síl a zotrvačných síl pôsobiacich na systém všetkých jeho bodov sa rovnajú nule:

(3.39)

Vonkajšie sily sú tu aktívne sily a reakcie spojení.

Hlavný vektor zotrvačných síl mechanický systém sa rovná súčinu hmotnosti systému a zrýchlenia jeho ťažiska a je nasmerovaný v smere opačnom k ​​tomuto zrýchleniu

. (3.40)

Hlavný moment zotrvačných síl systémov vo vzťahu k ľubovoľnému centru O sa rovná časovej derivácii s opačným znamienkom jej momentu hybnosti vo vzťahu k rovnakému stredu

. (3.41)

Pre pevné teleso otáčajúce sa okolo pevnej osi Oz, nájdime hlavný moment zotrvačných síl vzhľadom na túto os

. (3.42)

3.8. Prvky analytickej mechaniky

Časť „Analytická mechanika“ skúma všeobecné princípy a analytické metódy riešenia problémov v mechanike materiálových systémov.

3.8.1. Možné pohyby systému. Klasifikácia

nejaké súvislosti

Možné pohyby bodov
mechanického systému sú akékoľvek imaginárne, nekonečne malé pohyby, ktoré umožňujú spojenia uložené systému v pevnom časovom bode. A-priory, počet stupňov voľnosti Mechanický systém sa nazýva počet jeho nezávislých možných pohybov.

Spojenia uložené v systéme sú tzv ideálne , ak súčet elementárnych prác ich reakcií na ktoromkoľvek z možných posunutí bodov sústavy je rovný nule

. (3. 43)

Vyvolajú sa spojenia, pre ktoré sú zachované obmedzenia, ktoré ukladajú v akejkoľvek polohe systému držanie . Vzťahy, ktoré sa v čase nemenia a ktorých rovnice čas výslovne nezahŕňajú, sa nazývajú stacionárne . Volajú sa spojenia, ktoré obmedzujú iba pohyby bodov v systéme geometrický a obmedzujúce rýchlosti sú kinematické . Ďalej budeme uvažovať iba o geometrických spojeniach a tých kinematických, ktoré možno integráciou zredukovať na geometrické.

3.8.2. Princíp možných pohybov

Pre rovnováhu mechanického systému s držaním ideálnych a stacionárnych spojení je to potrebné a postačujúce

súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl, ktoré naň pôsobia, pre všetky možné posuny systému bol rovný nule

. (3.44)

V projekciách na súradnicových osiach:

. (3.45)

Princíp možných posunov umožňuje stanoviť vo všeobecnej forme podmienky rovnováhy akéhokoľvek mechanického systému bez uvažovania o rovnováhe jeho jednotlivých častí. V tomto prípade sa berú do úvahy iba aktívne sily pôsobiace na systém. Neznáme reakcie ideálnych väzieb nie sú zahrnuté v týchto podmienkach. Tento princíp zároveň umožňuje určiť neznáme reakcie ideálnych väzieb vyradením týchto väzieb a zavedením ich reakcií do počtu aktívnych síl. Pri vyradení väzieb, ktorých reakcie je potrebné určiť, systém získa ďalší zodpovedajúci počet stupňov voľnosti.

Príklad 1 . Nájdite vzťah medzi silami A zdvihák, ak je známe, že pri každom otočení kľučky AB = l, skrutka S predĺži o sumu h(obr. 3.3).

Riešenie

Možné pohyby mechanizmu sú otáčanie rukoväte  a pohyb bremena  h. Podmienka, aby sa elementárna práca síl rovnala nule:

Pl–Qh = 0;

Potom
. Od h 0 teda

3.8.3. Všeobecná rovnica variačnej dynamiky

Zvážte pohyb systému pozostávajúceho z n bodov. Pôsobia naň aktívne sily a reakcie spojení .(k = 1,…,n) Ak k pôsobiacim silám pripočítame zotrvačné sily bodov
, potom bude podľa d’Alembertovho princípu výsledná sústava síl v rovnováhe, a preto platí výraz napísaný na základe princípu možných posunov (3.44):

. (3.46)

Ak sú všetky spojenia ideálne, potom sa 2. súčet rovná nule a v projekciách na súradnicových osiach bude rovnosť (3.46) vyzerať takto:

Posledná rovnosť je všeobecná variačná rovnica dynamiky v projekciách na súradnicové osi, ktorá nám umožňuje zostavovať diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému.

Všeobecná variačná rovnica dynamiky je matematický výraz d'Alembert-Lagrangeov princíp: « Keď sa systém v ktoromkoľvek danom časovom okamihu pohybuje v závislosti od stacionárnych, ideálnych, obmedzujúcich spojení, súčet základných prác všetkých aktívnych síl pôsobiacich na systém a zotrvačných síl pri akomkoľvek možnom pohybe systému je nula.».

Príklad 2 . Pre mechanický systém (obr. 3.4) pozostávajúci z troch telies určte zrýchlenie záťaže 1 a napnutie lana 1-2, ak: m 1 = 5m; m 2 = 4m; m 3 = 8m; r 2 = 0,5R 2; polomer otáčania bloku 2 i = 1,5r 2. Valec 3 je súvislý homogénny kotúč.

Riešenie

Znázornime sily, ktoré vykonávajú elementárnu prácu na možnom posunutí  s zaťaženie 1:

Zapíšme si možné pohyby všetkých telies cez možný pohyb bremena 1:

Vyjadrime lineárne a uhlové zrýchlenia všetkých telies cez požadované zrýchlenie zaťaženia 1 (vzťahy sú rovnaké ako v prípade možných posunov):

.

Všeobecná variačná rovnica pre tento problém má tvar:

Nahradením predtým získaných výrazov pre aktívne sily, zotrvačné sily a možné posuny po jednoduchých transformáciách dostaneme

Od  s 0, teda výraz v zátvorkách obsahujúci zrýchlenie sa rovná nule A 1 , kde a 1 = 5g/8,25 = 0,606g.

Aby sme určili napätie kábla, ktorý drží záťaž, uvoľníme záťaž z kábla a nahradíme jeho činnosť požadovanou reakciou . Pod vplyvom daných síl ,a zotrvačnej sily pôsobiacej na záťaž
je v rovnováhe. V dôsledku toho je d’Alembertov princíp aplikovateľný na predmetné zaťaženie (bod), t.j. zapíšme si to
. Odtiaľ
.

3.8.4. Lagrangeova rovnica 2. druhu

Zovšeobecnené súradnice a zovšeobecnené rýchlosti. Volajú sa akékoľvek vzájomne nezávislé parametre, ktoré jednoznačne určujú polohu mechanického systému v priestore zovšeobecnené súradnice . Tieto súradnice, označené q 1 ,....q môžem mať akýkoľvek rozmer. Zovšeobecnenými súradnicami môžu byť najmä posuny alebo uhly rotácie.

Pre uvažované systémy sa počet zovšeobecnených súradníc rovná počtu stupňov voľnosti. Poloha každého bodu systému je jednohodnotová funkcia zovšeobecnených súradníc

Pohyb systému vo všeobecných súradniciach je teda určený nasledujúcimi závislosťami:

Prvé derivácie zovšeobecnených súradníc sú tzv zovšeobecnené rýchlosti :
.

Generalizované sily. Výraz pre elementárnu prácu sily o prípadnom presťahovaní
má tvar:

.

Pre elementárne fungovanie sústavy síl píšeme

Pomocou získaných závislostí možno tento výraz zapísať ako:

,

kde je zovšeobecnená sila zodpovedajúca i zovšeobecnená súradnica,

. (3.49)

teda zovšeobecnená sila zodpovedajúca i zovšeobecnená súradnica, je variačný koeficient tejto súradnice pri vyjadrení súčtu elementárnych prác činných síl na možnom posune sústavy. . Na výpočet zovšeobecnenej sily je potrebné informovať systém o možnom posunutí, počas ktorého sa menia iba zovšeobecnené súradnice q i. Koeficient at
a bude želanou zovšeobecnenou silou.

Pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach. Dostaneme mechanický systém s s stupne slobody. Keď poznáme sily, ktoré naň pôsobia, je potrebné zostaviť diferenciálne pohybové rovnice vo zovšeobecnených súradniciach
. Aplikujme postup na zostavovanie diferenciálnych pohybových rovníc sústavy - Lagrangeove rovnice 2. druhu - analogicky s odvodením týchto rovníc pre voľný hmotný bod. Na základe 2. Newtonovho zákona píšeme

Získame analógy týchto rovníc pomocou označenia kinetickej energie hmotného bodu,

Čiastočná derivácia kinetickej energie vzhľadom na priemet rýchlosti na os
rovná priemetu hybnosti na túto os, t.j.

Aby sme získali potrebné rovnice, vypočítame derivácie vzhľadom na čas:

Výsledným systémom rovníc sú Lagrangeove rovnice 2. druhu pre hmotný bod.

Pre mechanický systém uvádzame Lagrangeove rovnice 2. druhu vo forme rovníc, v ktorých namiesto projekcií aktívnych síl P X , P r , P z použiť zovšeobecnené sily Q 1 , Q 2 ,...,Q i a vo všeobecnosti berú do úvahy závislosť kinetickej energie od zovšeobecnených súradníc.

Lagrangeove rovnice 2. druhu pre mechanický systém majú tvar:

. (3.50)

Môžu byť použité na štúdium pohybu akéhokoľvek mechanického systému s geometrickými, ideálnymi a obmedzujúcimi obmedzeniami.

Príklad 3 . Pre mechanický systém (obr. 3.5), pre ktorý sú údaje uvedené v predchádzajúcom príklade, vytvorte diferenciálnu pohybovú rovnicu pomocou Lagrangeovej rovnice 2. druhu,

Riešenie

Mechanický systém má jeden stupeň voľnosti. Zoberme si lineárny pohyb bremena ako zovšeobecnenú súradnicu q 1 = s; všeobecná rýchlosť - . Berúc toto do úvahy, napíšeme Lagrangeovu rovnicu 2. druhu

.

Vytvorme výraz pre kinetickú energiu systému

.

Vyjadrime všetky uhlové a lineárne rýchlosti ako zovšeobecnenú rýchlosť:

Teraz dostaneme

Vypočítajme zovšeobecnenú silu tak, že zložíme výraz pre elementárnu prácu o možnom posunutí  s všetky aktívne sily. Bez zohľadnenia trecích síl sa práca v systéme vykonáva iba gravitačnou silou bremena 1
Napíšme zovšeobecnenú silu na  s, ako koeficient v elementárnej práci Q 1 = 5mg. Ďalej nájdeme

Nakoniec, diferenciálna pohybová rovnica systému bude mať tvar:

Pôvodne myšlienku tohto princípu vyjadril Jacob Bernoulli (1654-1705), keď zvažoval problém stredu kmitania telies ľubovoľného tvaru. V roku 1716 predložil petrohradský akademik J. Herman (1678 - 1733) princíp statickej ekvivalencie „voľných“ pohybov a „skutočných“ pohybov, teda pohybov uskutočňovaných za prítomnosti spojení. Neskôr tento princíp aplikoval L. Euler (1707-1783) na problém kmitania pružných telies (dielo vyšlo v roku 1740) a nazval ho „Petrohradský princíp“. Prvým, kto sformuloval predmetnú zásadu vo všeobecnej forme, hoci jej nedal náležité analytické vyjadrenie, bol d'Alembert (1717-1783). Vo svojej Dynamike, publikovanej v roku 1743, naznačil všeobecnú metódu prístupu k riešeniu problémov v dynamike neslobodných systémov. Analytické vyjadrenie tohto princípu neskôr poskytol Lagrange vo svojej Analytická mechanika.

Uvažujme o nejakom neslobodnom mechanickom systéme. Výslednicu všetkých aktívnych síl pôsobiacich na ľubovoľný bod sústavy označme a výslednicu väzbových reakcií potom pohybová rovnica bodu bude mať tvar

kde je vektor zrýchlenia bodu a je hmotnosť tohto bodu.

Ak vezmeme do úvahy silu nazývanú d'Alembertova sila zotrvačnosti, potom pohybovú rovnicu (2.9) môžeme prepísať do tvaru rovnovážnej rovnice troch síl:

Rovnica (2.10) je podstatou d'Alembertovho princípu pre bod a tá istá rovnica rozšírená na systém je podstatou d'Alembertovho princípu pre systém.

Pohybová rovnica, zapísaná vo forme (2.10), nám umožňuje dať d'Alembertovmu princípu nasledujúcu formuláciu: ak je systém v pohybe, v určitom časovom bode okamžite zastavte a aplikujte na každý hmotný bod tohto systému. aktívnych síl reakcie spojov pôsobiacich na ňu v momente zastavenia a d'Alembertových zotrvačných síl, potom systém zostane v rovnováhe.

D'Alembertov princíp je vhodnou metódou na riešenie dynamických problémov, pretože umožňuje písať pohybové rovnice nevoľných systémov vo forme statických rovníc.

Tým sa samozrejme problém dynamiky neredukuje na problém statiky, keďže problém integrácie pohybových rovníc stále pretrváva, ale d'Alembertov princíp poskytuje jednotnú metódu na zostavovanie pohybových rovníc neslobodných systémov, a to je jeho hlavná výhoda.

Ak si uvedomíme, že reakcie predstavujú pôsobenie spojení na body sústavy, potom d'Alembertov princíp možno formulovať takto: ak sa d'Alembertove zotrvačné sily pripočítajú k aktívnym silám pôsobiacim na body a nevoľný systém, potom budú výsledné sily týchto síl vyvážené reakciami spojov. Je potrebné zdôrazniť, že táto formulácia je podmienená, keďže v skutočnosti

Keď sa systém pohybuje, nedochádza k vyvažovaniu, pretože na body systému nepôsobia zotrvačné sily.

Nakoniec d'Alembertovmu princípu môžeme dať inú ekvivalentnú formuláciu, pre ktorú prepíšeme rovnicu (2.9) do nasledujúceho tvaru: