Po diskusii o niektorých dôležitých črtách výpočtových problémov obráťme našu pozornosť na tie metódy, ktoré sa používajú vo výpočtovej matematike na transformáciu problémov do formy vhodnej na implementáciu na počítači a umožňujúcu konštrukciu výpočtových algoritmov. Tieto metódy budeme nazývať výpočtové. S určitým stupňom konvencie možno výpočtové metódy rozdeliť do nasledujúcich tried: 1) metódy ekvivalentných transformácií; 2)

aproximačné metódy; 3) priame (presné) metódy; 4) iteračné metódy; 5) štatistické testovacie metódy (metódy Monte Carlo). Metóda, ktorá počíta riešenie konkrétneho problému, môže mať pomerne zložitú štruktúru, ale jej základnými krokmi je spravidla implementácia špecifikovaných metód. Uveďme si o nich všeobecnú predstavu.

1. Metódy ekvivalentných transformácií.

Tieto metódy vám umožňujú nahradiť pôvodný problém iným, ktorý má rovnaké riešenie. Vykonávanie ekvivalentných transformácií sa ukazuje ako užitočné, ak je nový problém jednoduchší ako pôvodný alebo má lepšie vlastnosti, prípadne existuje známa metóda jeho riešenia, prípadne hotový program.

Príklad 3.13. Ekvivalentná transformácia kvadratickej rovnice na tvar (výber úplného štvorca) redukuje problém na problém výpočtu druhej odmocniny a vedie k vzorcom (3.2), ktoré sú známe svojimi koreňmi.

Ekvivalentné transformácie niekedy umožňujú zredukovať riešenie pôvodného výpočtového problému na riešenie výpočtového problému úplne iného typu.

Príklad 3.14. Problém hľadania koreňa nelineárnej rovnice možno redukovať na ekvivalentný problém hľadania globálneho minimálneho bodu funkcie. Funkcia je v skutočnosti nezáporná a dosahuje minimálnu hodnotu rovnú nule pre tie a iba tie x, pre ktoré

2. Aproximačné metódy.

Tieto metódy umožňujú aproximovať (aproximovať) pôvodný problém iným, ktorého riešenie je v určitom zmysle blízke riešeniu pôvodného problému. Chyba vznikajúca pri takejto výmene sa nazýva chyba aproximácie. Aproximačný problém spravidla obsahuje niektoré parametre, ktoré umožňujú upraviť veľkosť aproximačnej chyby alebo ovplyvniť iné vlastnosti problému. Je zvykom hovoriť, že aproximačná metóda konverguje, ak aproximačná chyba má tendenciu k nule, pretože parametre metódy majú tendenciu k určitej limitnej hodnote.

Príklad 3.15. Jedným z najjednoduchších spôsobov výpočtu integrálu je aproximácia integrálu na základe vzorca pre obdĺžniky veľkosti

Krok je tu parametrom metódy. Keďže ide o špeciálne zostavený integrálny súčet, z definície určitého integrálu vyplýva, že keď metóda obdĺžnika konverguje,

Príklad 3.16. Ak vezmeme do úvahy definíciu derivácie funkcie, na jej približný výpočet môžete použiť vzorec Približná chyba tohto vzorca numerickej diferenciácie má tendenciu k nule, keď

Jednou z bežných aproximačných metód je diskretizácia – približné nahradenie pôvodného problému konečnerozmerným problémom, t.j. problém, ktorého vstupné údaje a požadované riešenie možno jednoznačne špecifikovať pomocou konečnej množiny čísel. Pri problémoch, ktoré nie sú konečných rozmerov, je tento krok nevyhnutný pre následnú implementáciu na počítači, keďže počítač je schopný pracovať len s konečným počtom čísel. Vo vyššie uvedených príkladoch 3.15 a 3.16 sa použil odber vzoriek. Aj keď presný výpočet integrálu zahŕňa použitie nekonečného počtu hodnôt (pre všetky je možné jeho približnú hodnotu vypočítať pomocou konečného počtu hodnôt v bodoch a). ktorého presné riešenie zahŕňa operáciu prechodu na limit pri (a preto sa použitie nekonečného počtu hodnôt funkcie redukuje na približný výpočet derivácie vzhľadom na dve hodnoty funkcie.

Pri riešení nelineárnych úloh sa vo veľkej miere využívajú rôzne metódy linearizácie, ktoré spočívajú v približnom nahradení pôvodnej úlohy jednoduchšími lineárnymi úlohami. Príklad 3.17. Nech je potrebné približne vypočítať hodnotu pre na počítači schopnom vykonávať jednoduché aritmetické operácie. Všimnite si, že podľa definície je x kladný koreň nelineárnej rovnice Nech existuje nejaká známa aproximácia nahradíme parabolu priamkou, ktorá je k nej nakreslená dotyčnicou.

bod s úsečkou Priesečník tejto dotyčnice s osou dáva lepšiu aproximáciu a z lineárnej rovnice dostaneme približný vzorec

Napríklad, ak vezmete za, získate spresnenú hodnotu

Pri riešení rôznych tried výpočtových problémov možno použiť rôzne aproximačné metódy; Patria sem regularizačné metódy na riešenie zle položených problémov. Všimnite si, že metódy regularizácie sa široko používajú na riešenie zle podmienených problémov.

3. Priame metódy.

Metóda riešenia problému sa nazýva priama, ak umožňuje získať riešenie po vykonaní konečného počtu základných operácií.

Príklad 3.18. Metóda výpočtu koreňov kvadratickej rovnice pomocou vzorcov je priama metóda. Štyri aritmetické operácie a operácia druhej odmocniny sa tu považujú za základné.

Všimnite si, že elementárna operácia priamej metódy môže byť pomerne zložitá (výpočet hodnôt elementárnej alebo špeciálnej funkcie, riešenie systému lineárnych algebraických rovníc, výpočet určitého integrálu atď.). Z toho, že je akceptovaný ako elementárny, v každom prípade vyplýva, že jeho implementácia je podstatne jednoduchšia ako výpočet riešenia celého problému.

Pri konštrukcii priamych metód sa značná pozornosť venuje minimalizácii počtu elementárnych operácií.

Príklad 3.19 (Hornerov diagram). Nech je problém vypočítať hodnotu polynómu

podľa daných koeficientov a hodnoty argumentu x. Ak vypočítate polynóm priamo pomocou vzorca (3.12) a zistíte ho postupným násobením x, budete musieť vykonať operácie násobenia a sčítania.

Oveľa ekonomickejšia metóda výpočtu sa nazýva Hornerova schéma. Je založená na zápise polynómu v nasledujúcom ekvivalentnom tvare:

Umiestnenie zátvoriek určuje nasledujúce poradie výpočtov: Tu je potrebné, aby výpočet hodnoty vykonal iba operácie násobenia a sčítania.

Hornerova schéma je zaujímavá, pretože uvádza príklad metódy, ktorá je optimálna z hľadiska počtu elementárnych operácií. Vo všeobecnosti nie je možné získať hodnotu žiadnou metódou v dôsledku vykonania menšieho počtu operácií násobenia a sčítania.

Niekedy sa priame metódy nazývajú exaktné, čo znamená, že ak nie sú vo vstupných údajoch žiadne chyby a ak sú elementárne operácie vykonávané presne, bude presný aj výsledný výsledok. Pri implementácii metódy na počítači je však nevyhnutný výskyt výpočtovej chyby, ktorej veľkosť závisí od citlivosti metódy na chyby zaokrúhľovania. Mnohé priame (presné) metódy vyvinuté v predstrojovom období sa ukázali ako nevhodné pre strojové výpočty práve pre prílišnú citlivosť na zaokrúhľovacie chyby. Nie všetky exaktné metódy sú takéto, ale stojí za zmienku, že nie celkom úspešný termín „presný“ charakterizuje vlastnosti ideálnej implementácie metódy, ale nie kvalitu výsledku získaného z reálnych výpočtov.

4. Iteračné metódy.

Ide o špeciálne metódy na zostavenie postupných aproximácií na riešenie problému. Aplikácia metódy začína výberom jednej alebo niekoľkých počiatočných aproximácií. Na získanie každej z nasledujúcich aproximácií sa vykoná podobný súbor akcií pomocou predtým nájdených aproximácií - iterácie. Neobmedzené pokračovanie tohto iteračného procesu nám teoreticky umožňuje zostaviť nekonečnú postupnosť aproximácií k riešeniu

iteračná postupnosť. Ak táto postupnosť konverguje k riešeniu problému, potom sa hovorí, že iteračná metóda konverguje. Množina počiatočných aproximácií, pre ktoré metóda konverguje, sa nazýva oblasť konvergencie metódy.

Všimnite si, že iteračné metódy sú široko používané pri riešení širokej škály problémov pomocou počítačov.

Príklad 3.20. Zoberme si známu iteračnú metódu určenú na výpočet (kde Newtonova metóda. Nastavme ľubovoľnú počiatočnú aproximáciu. Ďalšiu aproximáciu vypočítame pomocou vzorca odvodeného pomocou metódy linearizácie v príklade 3.17 (pozri vzorec (3.11)). Pokračovanie tohto procesu ďalej získame iteračnú postupnosť, v ktorej sa ďalšia aproximácia vypočíta pomocou opakujúceho sa vzorca

Je známe, že táto metóda konverguje pri akejkoľvek počiatočnej aproximácii, takže jej oblasťou konvergencie je množina všetkých kladných čísel.

Využime ho na výpočet hodnoty na -bitovom desiatkovom počítači. Nastavíme (ako v príklade 3.17). Potom sú ďalšie výpočty zbytočné, pretože kvôli obmedzenej povahe bitovej mriežky budú všetky nasledujúce spresnenia dávať rovnaký výsledok. Porovnanie s presnou hodnotou však ukazuje, že už pri tretej iterácii bolo získaných 6 správnych platných čísel.

Na príklade Newtonovej metódy rozoberieme niektoré typické problémy pre iteračné metódy (a nielen pre ne). Iteračné metódy sú vo svojej podstate približné; žiadna z výsledných aproximácií nie je presnou hodnotou riešenia. Metóda konvergentnej iterácie však v princípe umožňuje nájsť riešenie s akoukoľvek danou presnosťou. Preto sa pri použití iteračnej metódy vždy zadá požadovaná presnosť a iteračný proces sa preruší hneď po jej dosiahnutí.

Hoci skutočnosť, že metóda konverguje, je určite dôležitá, nestačí odporučiť metódu na použitie v praxi. Ak metóda konverguje veľmi pomaly (napríklad na získanie riešenia s presnosťou 1% je potrebné vykonať iterácie), potom je nevhodná pre počítačové výpočty. Rýchlo konvergentné metódy, ktoré zahŕňajú Newtonovu metódu, majú praktickú hodnotu (pripomeňme, že presnosť výpočtu bola dosiahnutá iba v troch iteráciách). Na teoretické štúdium rýchlosti konvergencie a podmienok použiteľnosti iteračných metód sa odvodzujú takzvané apriórne odhady chýb, ktoré umožňujú urobiť nejaký záver o kvalite metódy ešte pred výpočtami.

Uveďme dva takéto apriórne odhady pre Newtonovu metódu. Nech je známe, že potom pre všetky a chyby dvoch po sebe idúcich aproximácií súvisia nasledujúcou nerovnosťou:

Tu je hodnota charakterizujúca relatívnu chybu aproximácie. Táto nerovnosť naznačuje veľmi vysokú kvadratickú mieru konvergencie metódy: pri každej iterácii je „chyba“ druhá mocnina. Ak to vyjadríme cez chybu počiatočnej aproximácie, dostaneme nerovnosť

z čoho je úlohou dobrého výberu počiatočnej aproximácie. Čím menšia hodnota, tým rýchlejšie bude metóda konvergovať.

Praktická implementácia iteračných metód je vždy spojená s potrebou výberu kritéria pre ukončenie iteračného procesu. Výpočty nemôžu pokračovať donekonečna a musia byť prerušené v súlade s nejakým kritériom súvisiacim napríklad s dosiahnutím danej presnosti. Použitie apriórnych odhadov na tento účel sa najčastejšie ukazuje ako nemožné alebo neúčinné. Aj keď kvalitatívne správne opisujú správanie metódy, takéto odhady sú nadhodnotené a poskytujú veľmi nespoľahlivé kvantitatívne informácie. Často a priori odhady obsahujú neznáme

veličiny (napríklad odhady (3.14), (3.15) obsahujú veličinu a) alebo implikujú prítomnosť a seriózne použitie niektorých dodatočných informácií o riešení. Najčastejšie takéto informácie nie sú dostupné a ich získanie je spojené s potrebou riešenia dodatočných problémov, často zložitejších ako ten pôvodný.

Na vytvorenie ukončovacieho kritéria pri dosiahnutí danej presnosti sa spravidla používajú takzvané aposteriorné odhady chýb - nerovnosti, pri ktorých sa veľkosť chyby odhaduje prostredníctvom hodnôt známych alebo získaných počas výpočtového procesu. Hoci takéto odhady nemožno použiť pred začatím výpočtov, poskytujú konkrétnu kvantifikáciu neistoty počas procesu výpočtu.

Napríklad pre Newtonovu metódu (3.13) platí nasledujúci aposteriórny odhad:

S. Ulam použil náhodné čísla na počítačovú simuláciu správania neutrónov v jadrovom reaktore. Tieto metódy môžu byť nevyhnutné pri modelovaní veľkých systémov, ale ich podrobná prezentácia zahŕňa značné využitie aparátu teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky a presahuje rámec tejto knihy.

Determinanty

Pojem determinantu

Ľubovoľná štvorcová matica n-tého rádu môže byť spojená s volaným číslom determinant (determinant) matica A a je označená takto: , alebo , alebo det A.

Determinant matice prvého rádu, alebo determinant prvého poriadku, je prvkom

Determinant druhého rádu(determinant matice druhého rádu) sa vypočíta takto:

Ryža. Schéma na výpočet determinantu druhého rádu

Takže determinant druhého rádu je súčet 2=2! členy, z ktorých každý je súčinom 2 faktorov – prvkov matice A, jedného z každého riadku a každého stĺpca. Jeden z výrazov sa berie so znamienkom „+“, druhý so znamienkom „-“.

Nájdite determinant

Determinant tretieho rádu (determinant tretieho rádu štvorcovej matice) je daný vzťahom:

Teda determinantom tretieho rádu je súčet 6=3! členy, z ktorých každý je súčinom 3 faktorov – prvkov matice A, jedného z každého riadku a každého stĺpca. Jedna polovica výrazov je prevzatá so znamienkom „+“, druhá polovica so znamienkom „-“.

Hlavnou metódou na výpočet determinantu tretieho rádu je tzv trojuholníkové pravidlo (Sarrusovo pravidlo): prvý z troch pojmov zahrnutých do súčtu so znamienkom „+“ je súčin prvkov hlavnej uhlopriečky, druhý a tretí sú súčinom prvkov umiestnených vo vrcholoch dvoch trojuholníkov s základne rovnobežné s hlavnou uhlopriečkou; tri pojmy zahrnuté v súčte so znamienkom „-“ sú definované podobne, ale vo vzťahu k druhej (bočnej) uhlopriečke. Nižšie sú uvedené 2 schémy na výpočet determinantov tretieho rádu

b)

Ryža. Schémy na výpočet determinantov 3. rádu

Nájdite determinant:

Determinant štvorcovej matice n-tého rádu (n 4) sa vypočíta pomocou vlastností determinantov.

Základné vlastnosti determinantov. Metódy výpočtu determinantov

Maticové determinanty majú tieto základné vlastnosti:

1. Pri transponovaní matice sa determinant nemení.

2. Ak sa v determinante vymenia dva riadky (alebo stĺpce), determinant zmení znamienko.

3. Determinant s dvoma proporcionálnymi (najmä rovnakými) riadkami (stĺpcami) sa rovná nule.

4. Ak riadok (stĺpec) v determinante pozostáva z núl, potom sa determinant rovná nule.

5. Spoločný činiteľ prvkov ľubovoľného riadku (alebo stĺpca) možno vyňať zo znamienka determinantu.

6. Determinant sa nezmení, ak ku všetkým prvkom jedného riadka (alebo stĺpca) pridáme zodpovedajúce prvky iného riadka (alebo stĺpca), vynásobené rovnakým číslom.

7. Determinant diagonálnych a trojuholníkových (horných a dolných) matíc sa rovná súčinu diagonálnych prvkov.

8. Determinant súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu ich determinantov.

Pokyny pre žiakov 1. ročníka

Bazey Alexander Anatolievich

Odessa 2008

LITERATÚRA

1 Hemming R.V. Numerické metódy pre vedcov a inžinierov. – M.: Nauka, 1968. – 400 s.

2 Blažko S.N. Kurz sférickej astronómie. – Moskva, Leningrad, OGIZ, 1948. – 416 s.

3 Shchigolev B.M. Matematické spracovanie pozorovaní. – M.: Nauka, 1969. – 344 s.

4 Krylov V.I., Bobkov V.V., Monastyrny P.I. Výpočtové metódy. – M.: Nauka, 1977. I. diel, II. diel – 400 s.

5 Hudson D. Štatistika pre fyzikov. – M.: Mir, 1967. – 244 s.

6.Berman G.N. Účtovné techniky. – Moskva, 1953. – 88 s.

7.Rumšinskij L.Z. Matematické spracovanie experimentálnych výsledkov. – Moskva, Nauka 1971. – 192 s.

8. Kalitkin N.N. Numerické metódy. – Moskva, Nauka 1978. – 512 s.

9. Filchakov P.F. Numerické a grafické metódy aplikovanej matematiky. – Kyjev, „Naukova Dumka“, 1970. – 800 s.

10. Fikhtengolts G.M. Kurz diferenciálneho a integrálneho počtu, zv.1-3. – Moskva, Nauka 1966.

Približné výpočty 2

O sprisahaní

Vyhladzovanie 10

Aproximácia 12

vyrovnávanie (linearizácia) 13

Metóda najmenších štvorcov 15

Interpolácia 24

Lagrangeov interpolačný polynóm 26

Reziduálny termín Lagrangeovho vzorca 29

Newtonov interpolačný polynóm pre tabuľku s premenlivým krokom 30

Interpolácia z tabuľky s konštantným krokom 34

Interpolačné polynómy Stirlinga, Bessela, Newtona 37

Interpolácia z tabuľky funkcií dvoch argumentov 42

Diferenciácia podľa tabuľky 44

Numerické riešenie rovníc 46

Dichotómia (metóda bisekcie) 46

Jednoduchá iteračná metóda 47

Newtonova metóda 50

Nájdenie minima funkcie jednej premennej 51

Metóda zlatého rezu 51

Parabolová metóda 54

Výpočet určitého integrálu 56

Trapézový vzorec 59

Vzorec priemerov alebo vzorec obdĺžnikov 61

Simpsonov vzorec 62

Riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc. Cauchy problém 64

Klasická Eulerova metóda 66

Rafinovaná Eulerova metóda 67

Metóda predpovedania a korekcie 69

Metódy Runge-Kutta 71

Harmonická analýza 74

Systémy ortogonálnych funkcií 78

Metóda 12 súradnica 79

PRIBLIŽNÉ VÝPOČTY

Poďme vyriešiť jednoduchý problém. Povedzme, že študent býva vo vzdialenosti 1247 m od stanice. Vlak odchádza o 17:38. Ako dlho pred odchodom vlaku by mal študent odísť z domu, ak jeho priemerná rýchlosť je 6 km/h?

Okamžite dostaneme riešenie:

.

Je však nepravdepodobné, že by niekto skutočne použil toto matematicky presné riešenie, a tu je dôvod. Výpočty boli vykonané úplne presne, ale bola vzdialenosť k stanici zmeraná presne? Je vôbec možné zmerať cestu chodca bez toho, aby ste urobili nejaké chyby? Môže chodec kráčať po presne vymedzenej čiare v meste plnom ľudí a áut, ktoré sa pohybujú všetkými možnými smermi? A rýchlosť 6 km/h - je určená absolútne presne? A tak ďalej.

Je úplne jasné, že každý dá v tomto prípade prednosť nie „matematicky presnému“, ale „praktickému“ riešeniu tohto problému, teda odhadne, že prechádzka bude trvať 12-15 minút a pridá si ešte pár minút pre istotu.

Prečo potom počítať sekundy a ich zlomky a snažiť sa o takú mieru presnosti, ktorá sa v praxi nedá použiť?

Matematika je presná veda, ale samotný pojem „presnosť“ si vyžaduje objasnenie. Aby sme to dosiahli, musíme začať s pojmom číslo, pretože presnosť výsledkov výpočtu do značnej miery závisí od presnosti čísel a spoľahlivosti počiatočných údajov.

Existujú tri zdroje na získavanie čísel: počítanie, meranie a vykonávanie rôznych matematických operácií

Ak je počet položiek, ktoré sa majú spočítať, malý a ak je v priebehu času konštantný, potom dostaneme absolútne presné výsledky. Napríklad na ruke je 5 prstov a v krabici je 300 ložísk. Iná situácia je, keď sa povie: v Odese v roku 1979 žilo 1 000 000 obyvateľov. Veď ľudia sa rodia a umierajú, prichádzajú a odchádzajú; ich počet sa neustále mení, dokonca aj počas doby, počas ktorej je počítanie dokončené. Takže v skutočnosti máme na mysli, že tam bolo asi 1 000 000 obyvateľov, možno 999 125 alebo 1 001 263, alebo nejaké iné číslo blízko 1 000 000, v tomto prípade 1 000 000 približné počet obyvateľov mesta.

Akékoľvek meranie nie je možné vykonať úplne presne. Každé zariadenie poskytuje nejaký druh chyby. Okrem toho dvaja pozorovatelia, ktorí merajú rovnakú veličinu rovnakým prístrojom, zvyčajne získajú mierne odlišné výsledky, úplná zhoda výsledkov je zriedkavou výnimkou.

Dokonca aj také jednoduché meracie zariadenie, ako je pravítko, má „chybu zariadenia“ - okraje a roviny pravítka sa trochu líšia od ideálnych priamok a rovín, ťahy na pravítku nemožno aplikovať v absolútne rovnakých vzdialenostiach a samotné ťahy mať určitú hrúbku; takže pri meraní nemôžeme získať presnejšie výsledky ako je hrúbka ťahov.

Ak ste zmerali dĺžku stola a dostali ste hodnotu 1360,5 mm, vôbec to neznamená, že dĺžka stola je presne 1360,5 mm - ak tento stôl meria iný alebo meranie zopakujete, môžete získať hodnotu 1360,4 mm aj 1360,6 mm. Číslo 1360,5 mm vyjadruje dĺžku stola približne.

Nie všetky matematické operácie sa dajú vykonávať bez chýb. Nie je vždy možné extrahovať koreň, nájsť sínus alebo logaritmus, dokonca ani deliť s absolútnou presnosťou.

Všetky merania bez výnimky vedú k približným hodnotám meraných veličín.. V niektorých prípadoch sa merania vykonávajú zhruba, potom sa pri starostlivých meraniach získajú veľké chyby, chyby sú menšie. Absolútna presnosť meraní sa nikdy nedosiahne.

Uvažujme teraz o druhej strane otázky. Je v praxi nevyhnutná absolútna presnosť a aká hodnota je približným výsledkom?

Pri výpočte elektrického vedenia alebo plynovodu nikto neurčí vzdialenosť medzi podperami s presnosťou na milimeter alebo priemer potrubia s presnosťou na mikrón. V technológii a konštrukcii môže byť každý diel alebo konštrukcia vyrobená len s určitou presnosťou, ktorá je určená takzvanými toleranciami. Tieto tolerancie sa pohybujú od častí mikrónu až po milimetre a centimetre, v závislosti od materiálu, veľkosti a účelu časti alebo konštrukcie. Preto na určenie rozmerov dielu nemá zmysel vykonávať výpočty s presnosťou väčšou, ako je potrebná.

1) Počiatočné údaje pre výpočty majú spravidla chyby, to znamená, že sú približné;

2) Tieto chyby, často zvýšené, idú do výsledkov výpočtu. Ale prax nevyžaduje presné údaje, ale uspokojí sa s výsledkami s niektorými prijateľnými chybami, ktorých veľkosť musí byť vopred určená.

3) Potrebnú presnosť výsledku je možné zabezpečiť len vtedy, keď sú zdrojové údaje dostatočne presné a keď sa zohľadnia všetky chyby spôsobené samotnými výpočtami.

4) Výpočty s približnými číslami je potrebné vykonať približne, snažiac sa dosiahnuť minimálne vynaloženie práce a času pri riešení úlohy.

V technických výpočtoch sa zvyčajne prípustné chyby pohybujú od 0,1 do 5%, ale vo vedeckých záležitostiach sa môžu znížiť na tisíciny percenta. Napríklad pri vypustení prvej umelej družice Mesiaca (31. marca 1966) bolo potrebné zabezpečiť rýchlosť štartu asi 11 200 m/s s presnosťou niekoľkých centimetrov za sekundu, aby sa družica dostala skôr do cirkumlunárnej než cirkumsolárna dráha.

Okrem toho si všimnite, že pravidlá aritmetiky sú odvodené za predpokladu, že všetky čísla sú presné. Ak sa teda výpočty s približnými číslami vykonávajú ako s presnými, vzniká nebezpečný a škodlivý dojem presnosti tam, kde v skutočnosti žiadna nie je. Skutočná vedecká a najmä matematická presnosť spočíva práve v poukazovaní na prítomnosť takmer vždy nevyhnutných chýb a určovaní ich hraníc.

Na základe konceptov determinantov druhého a tretieho rádu môžeme podobne zaviesť koncept determinantu rádu n. Determinanty vyššieho ako tretieho rádu sa počítajú spravidla pomocou vlastností determinantov formulovaných v odseku 1.3., ktoré sú platné pre determinanty akéhokoľvek rádu.

Pomocou vlastnosti determinantov číslo 9 0 zavedieme definíciu determinantu 4. rádu:

Príklad 2 Vypočítajte pomocou vhodného rozšírenia.

Podobne sa zavádza pojem determinant 5., 6. atď. objednať. Takže determinant rádu n:

.

Všetky vlastnosti determinantov 2. a 3. rádu, o ktorých sme hovorili vyššie, platia aj pre determinanty n-tého rádu.

Uvažujme o hlavných metódach výpočtu determinantov n- poradie.

komentár: Pred aplikáciou tejto metódy je užitočné pomocou základných vlastností determinantov vynulovať všetky prvky určitého riadku alebo stĺpca okrem jedného. (Efektívna metóda zníženia objednávky)

Spôsob redukcie na trojuholníkový tvar spočíva v takej transformácii determinantu, keď sa všetky jeho prvky ležiace na jednej strane hlavnej diagonály stanú rovnými nule. V tomto prípade sa determinant rovná súčinu prvkov jeho hlavnej uhlopriečky.

Príklad 3 Vypočítajte redukciou na trojuholníkový tvar.

Príklad 4. Vypočítajte pomocou efektívnej metódy zníženia objednávky

.

Riešenie: podľa vlastnosti 4 0 determinantov vyberieme faktor 10 z prvého riadku a potom postupne vynásobíme druhý riadok 2, 2, 1 a sčítame s prvým, tretím a štvrtým riadkov, resp. (vlastnosť 8 0).

.

Výsledný determinant možno rozšíriť na prvky prvého stĺpca. Zredukuje sa na determinant tretieho rádu, ktorý sa vypočíta pomocou Sarrusovho (trojuholníkového) pravidla.

Príklad 5. Vypočítajte determinant jeho zmenšením na trojuholníkový tvar.

.

Príklad 3 Vypočítajte pomocou rekurentných vzťahov.

.

.

Prednáška 4. Inverzná matica. Hodnosť matice.

1. Pojem inverznej matice

Definícia 1. Námestie matica A rádu n sa nazýva nedegenerovaný, ak je jeho determinant | A| ≠ 0. V prípade, keď | A| = 0, volá sa matica A degenerovať.

Len pre štvorcové nesingulárne matice A sa zavádza pojem inverzná matica A -1.

Definícia 2 . Matica A -1 sa volá obrátene pre štvorcovú nesingulárnu maticu A, ak A -1 A = AA -1 = E, kde E je jednotková matica poriadku n.

Definícia 3 . Matrix volal pripojený jeho prvkami sú algebraické doplnky transponovaná matica
.

Algoritmus na výpočet inverznej matice metódou adjoint matice.

, Kde
.

Skontrolujeme správnosť výpočtu A -1 A = AA -1 = E. (E je matica identity)

Matice A a A -1 recipročné. Ak | A| = 0, potom inverzná matica neexistuje.

Príklad 1 Je daná matica A Uistite sa, že nie je jednotná a nájdite inverznú maticu
.

Riešenie:
. Preto matica nie je singulárna.

Poďme nájsť inverznú maticu. Zostavme algebraické doplnky prvkov matice A.

Dostaneme

.

Prezentácia počiatočných údajov v probléme a jeho riešenia - ako číslo alebo súbor čísel

Je dôležitou súčasťou systému prípravy inžinierov technických odborov.

Základom výpočtových metód sú:

• riešenie sústav lineárnych rovníc
• interpolácia a výpočet približnej funkcie
• numerické riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc
• numerické riešenie parciálnych diferenciálnych rovníc (rovnice matematickej fyziky)
• riešenie optimalizačných problémov

pozri tiež

Poznámky

Literatúra

• Kalitkin N. N. Numerické metódy. M., Nauka, 1978
• Amosov A. A., Dubinsky Yu A., Kopchenova N. V. „Výpočtové metódy pre inžinierov“, 1994
• Fletcher K, Computational Methods in Fluid Dynamics, ed. Svet, 1991, 504 s.
• E. Alekseev „Riešenie problémov výpočtovej matematiky v balíkoch Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9“, 2006, 496 strán.
• Tikhonov A. N., Goncharsky A. V., Stepanov V. V., Yagola A. G. „Numerické metódy na riešenie zle položených problémov“ (1990)
• Bakushinsky A. B., Goncharsky A. V. Zlé problémy. Numerické metódy a aplikácie, ed. Vydavateľstvo Moskovskej univerzity, 1989
• N. N. Kalitkin, A. B. Alshin, E. A. Alshina, V. B. Rogov. Výpočty na kvázi rovnomerných sieťach. Moskva, Nauka, Fizmatlit, 2005, 224 s.
• Yu. Ryzhikov „Výpočtové metódy“ vyd. BHV, 2007, 400 s., ISBN 978-5-9775-0137-8
• Computational Methods in Applied Mathematics, International Journal, ISSN 1609-4840

Odkazy

• Vedecký časopis „Výpočtové metódy a programovanie. Nové výpočtové technológie"

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Výpočtová matematika a matematická fyzika
• Výpočtový kanál

Pozrite sa, čo sú „výpočtové metódy“ v iných slovníkoch:

Metódy elektroanalytickej chémie- Obsah 1 Metódy elektroanalytickej chémie 2 Úvod 3 Teoretická časť ... Wikipedia

Metódy kódovania digitálneho signálu- V tomto článku chýbajú odkazy na zdroje informácií. Informácie musia byť overiteľné, inak môžu byť spochybnené a vymazané. Môžete... Wikipedia

DYNAMIKA PLYNU NUMERICKÉ METÓDY- metódy riešenia problémov dynamiky plynu založené na výpočtových algoritmoch. Uvažujme o hlavných aspektoch teórie numerických metód na riešenie problémov dynamiky plynu, písaním rovníc dynamiky plynu vo forme zákonov zachovania v inerciálnom... ... Matematická encyklopédia

DIFÚZNE METÓDY- metódy riešenia kinetiky. transportné rovnice neutrónov (alebo iných častíc), ktoré upravujú rovnice aproximácie difúzie. Pretože difúzna aproximácia dáva správny tvar asymptotickej rovnice. riešenie transportnej rovnice (ďaleko od zdrojov a... ... Matematická encyklopédia

METÓDY MINIMALIZÁCIE FUNKCIÍ GULISH- numerické metódy na hľadanie miním funkcií mnohých premenných. Nech je daná funkcia, ohraničená zdola, dvakrát nepretržite diferencovateľná vzhľadom na jej argumenty, o ktorej je známe, že pre určitý vektor (transponovaný znak) trvá... ... Matematická encyklopédia

GOST R 53622-2009: Informačné technológie. Informačné a výpočtové systémy. Etapy a etapy životného cyklu, typy a úplnosť dokumentov- Terminológia GOST R 53622 2009: Informačné technológie. Informačné a výpočtové systémy. Etapy a etapy životného cyklu, typy a úplnosť dokumentov originálny dokument: 3.1 hardvér softvérová platforma: Jednotná sada nástrojov... ...

Aplikačné počítačové systémy- Aplikačné počítačové systémy alebo ABC zahŕňajú systémy objektového počtu založené na kombinatorickej logike a lambda počte. Jediná vec, ktorá je v týchto systémoch výrazne rozvinutá, je myšlienka objektu. Vo... ... Wikipédii

GOST 24402-88 Teleprocessing a počítačové siete. Pojmy a definície- Terminológia GOST 24402 88: Teleprocessing a počítačové siete. Termíny a definície pôvodný dokument: TYPY SYSTÉMOV A SIETE 90. Systém spracovania údajov účastníka Systém účastníka Systém účastníka Systém spracovania údajov,… … Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie

ST SEV 4291-83: Výpočtové stroje a systémy na spracovanie údajov. Balíky magnetických diskov s kapacitou 100 a 200 MB. Technické požiadavky a skúšobné metódy- Terminológia ST SEV 4291 83: Výpočtové stroje a systémy na spracovanie údajov. Balíky magnetických diskov s kapacitou 100 a 200 MB. Technické požiadavky a skúšobné metódy: 8. Amplitúda signálu z informačného povrchu VTAA Spriemerovaná cez celý ... Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie

Geofyzikálne metódy prieskumu- štúdium štruktúry zemskej kôry pomocou fyzikálnych metód za účelom hľadania a skúmania minerálov; prieskumná geofyzika je neoddeliteľnou súčasťou geofyziky (pozri Geofyzika). G.m.r. na základe štúdia fyzikálnych odborov...... Veľká sovietska encyklopédia

knihy

• Výpočtové metódy. Učebnica, Andrej Avenirovič Amosov, Julij Andrejevič Dubininsky, Natalya Vasilievna Kopchenová. Kniha rozoberá výpočtové metódy najčastejšie používané v praxi aplikovaných a vedecko-technických výpočtov: metódy riešenia úloh lineárnej algebry, nelineárne rovnice,...