Trigonometrické funkcie periodické, teda opakované po určitom období. Vo výsledku stačí naštudovať funkciu na tomto intervale a objavené vlastnosti rozšíriť na všetky ostatné obdobia.
Poučenie
1. Ak dostanete primitívny výraz, v ktorom existuje iba jedna goniometrická funkcia (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec) a uhol vo vnútri funkcie nie je vynásobený žiadnym číslom a sám nie je zvýšený na žiadne moc - použite definíciu. Pre výrazy obsahujúce sin, cos, sec, cosec odvážne nastavte periódu na 2P a ak je v rovnici tg, ctg, potom P. Povedzme, že pre funkciu y \u003d 2 sinx + 5 bude perióda 2P .
2. Ak je uhol x pod znamienkom goniometrickej funkcie vynásobený nejakým číslom, potom, aby ste našli periódu tejto funkcie, vydeľte typickú periódu týmto číslom. Povedzme, že máte funkciu y = sin 5x. Typická perióda pre sínus je 2P, vydelením 5 dostanete 2P / 5 - to je požadovaná perióda tohto výrazu.
3. Ak chcete nájsť periódu goniometrickej funkcie umocnenej na mocninu, vyhodnoťte rovnomernosť mocniny. Pre rovnomerný stupeň skrátte periódu vzorkovania na polovicu. Povedzme, že ak dostanete funkciu y \u003d 3 cos ^ 2x, potom sa typická perióda 2P zníži 2-krát, takže perióda sa bude rovnať P. Upozorňujeme, že funkcie tg, ctg sú periodické v akomkoľvek rozsahu P .
4. Ak dostanete rovnicu obsahujúcu súčin alebo kvocient 2 goniometrických funkcií, najskôr nájdite periódu pre všetky z nich samostatne. Potom nájdite minimálny počet, ktorý by vyhovoval celému počtu oboch období. Povedzme, že je daná funkcia y=tgx*cos5x. Pre dotyčnicu je perióda P, pre kosínus 5x je perióda 2P/5. Minimálny počet, ktorý je povolený pre obe tieto obdobia, je 2P, takže požadované obdobie je 2P.
5. Ak je pre vás ťažké vykonať navrhovaný spôsob alebo pochybujete o výsledku, skúste to urobiť podľa definície. Vezmite T ako periódu funkcie, je väčšia ako nula. Dosaďte do rovnice výraz (x + T) namiesto x a vyriešte výslednú rovnosť, ako keby T bol parameter alebo číslo. Výsledkom je, že nájdete hodnotu goniometrickej funkcie a budete si môcť vybrať najmenšiu periódu. Povedzme, že v dôsledku uľahčenia získate hriech identity (T / 2) \u003d 0. Minimálna hodnota T, pri ktorej sa vykonáva, je 2P a to bude výsledok úlohy.
Periodická funkcia je funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty po určitej nenulovej perióde. Perióda funkcie je číslo, ktorého pridanie do argumentu funkcie nemení hodnotu funkcie.
Budete potrebovať
- Znalosť elementárnej matematiky a začiatky prieskumu.
Poučenie
1. Periódu funkcie f(x) označme číslom K. Našou úlohou je nájsť túto hodnotu K. Aby sme to dosiahli, predstavme si, že funkcia f(x) pomocou definície periodickej funkcie rovná f (x+K)=f(x).
2. Výslednú rovnicu pre neznámu K riešime, ako keby x bola konštanta. V závislosti od hodnoty K bude niekoľko možností.
3. Ak K>0, potom je to perióda vašej funkcie. Ak K=0, funkcia f(x) nie je periodická. Ak riešenie rovnice f(x+K)=f(x) neexistuje pre akékoľvek K, ktoré sa nerovná nule, sa takáto funkcia nazýva aperiodická a tiež nemá periódu.
Podobné videá
Poznámka!
Všetky goniometrické funkcie sú periodické a všetky polynomické funkcie so stupňom väčším ako 2 sú aperiodické.
Užitočné rady
Perióda funkcie pozostávajúcej z 2 periodických funkcií je najmenším spoločným násobkom periód týchto funkcií.
Goniometrické rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú goniometrické funkcie neznámeho argumentu (napríklad: 5sinx-3cosx =7). Aby ste sa naučili, ako ich vyriešiť, musíte na to poznať niekoľko metód.
Poučenie
1. Riešenie takýchto rovníc pozostáva z 2 etáp. Prvou je pretvorenie rovnice do jej najjednoduchšieho tvaru. Najjednoduchšie goniometrické rovnice sa nazývajú: Sinx=a; cosx=a atď.
2. Druhým je riešenie získanej najjednoduchšej goniometrickej rovnice. Existujú základné spôsoby riešenia rovníc tohto druhu: Riešenie algebraickým spôsobom. Táto metóda je známa už zo školy, z kurzu algebry. Inak sa nazýva metóda nahradenia premennej a dosadenia. Použitím redukčných vzorcov transformujeme, urobíme náhradu, po ktorej nájdeme korene.
3. Rozklad rovnice na faktory. Najprv prenesieme všetky pojmy doľava a rozložíme na faktory.
4. Uvedenie rovnice do homogénnej podoby. Homogénne rovnice sa nazývajú rovnice, ak sú všetky členy rovnakého stupňa a sínusu, kosínus rovnakého uhla.Na jej vyriešenie by ste mali: najprv preniesť všetky jej členy z pravej strany na ľavú; presunúť všetky spoločné faktory zo zátvoriek; prirovnať faktory a zátvorky k nule; zhodné zátvorky poskytujú homogénnu rovnicu menšieho stupňa, ktorá by sa mala deliť cos (alebo sin) do vyššieho stupňa; vyriešiť výslednú algebraickú rovnicu pre tan.
5. Ďalším spôsobom je ísť do polovičného rohu. Povedzte, vyriešte rovnicu: 3 sin x - 5 cos x \u003d 7. Prejdime na polovičný uhol: 6 sin (x / 2) cos (x / 2) - 5 cos ? (x / 2) + 5 hriechov? (x / 2) = 7 sin? (x / 2) + 7 cos? (x/ 2) , potom zredukujeme všetky členy na jednu časť (inak doprava) a vyriešime rovnicu.
6. Pomocný rohový vstup. Keď nahradíme celočíselnú hodnotu cos(a) alebo sin(a). Znamienko "a" je pomocný uholník.
7. Spôsob, ako preformátovať produkt na sumu. Tu je potrebné použiť príslušné vzorce. Povedzme dané: 2 sin x sin 3x = cos 4x Riešime to tak, že ľavú stranu prevedieme na súčet, teda: cos 4x - cos 8x = cos 4x, cos 8x = 0, 8x = p / 2 + pk, x = p/16 + pk/8.
8. Posledný spôsob, nazývaný multifunkčná substitúcia. Výraz transformujeme a urobíme substitúciu, povedzme Cos(x/2)=u, potom vyriešime rovnicu s parametrom u. Pri získavaní súčtu prevedieme hodnotu na opak.
Podobné videá
Ak uvažujeme body na kružnici, potom body x, x + 2π, x + 4π atď. zápas medzi sebou. Takže trigonometrické funkcie na priamke pravidelne zopakujte ich význam. Ak je obdobie slávne funkcie, je dovolené postaviť funkciu na tomto období a opakovať ho na iných.
Poučenie
1. Perióda je číslo T také, že f(x) = f(x+T). Ak chcete nájsť periódu, vyriešte zodpovedajúcu rovnicu, pričom ako argument dosaďte x a x + T. V tomto prípade sa používajú dobre známe obdobia pre funkcie. Pre funkcie sínus a kosínus je perióda 2π a pre dotyčnicu a kotangens je to π.
2. Nech je daná funkcia f(x) = sin^2(10x). Uvažujme výraz sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Na zníženie stupňa použite vzorec: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Potom získajte 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) alebo cos 20x = cos (20x+20T). S vedomím, že perióda kosínusu je 2π, 20T = 2π. Preto T = π/10. T je minimálna správna perióda a funkcia sa zopakuje po 2T a po 3T a v opačnom smere pozdĺž osi: -T, -2T atď.
Užitočné rady
Použite vzorce na zníženie stupňa funkcie. Ak ste bližšie oboznámení s obdobiami niektorých funkcií, skúste existujúcu funkciu zredukovať na známe.
Nájdenie funkcie pre párne a nepárne pomáha vytvoriť graf funkcie a pochopiť povahu jej správania. Pre tento výskum je potrebné porovnať danú funkciu napísanú pre argument „x“ a pre argument „-x“.
Poučenie
1. Napíšte funkciu, ktorú chcete preskúmať, ako y=y(x).
2. Nahraďte argument funkcie znakom "-x". Dosaďte tento argument do funkčného výrazu.
3. Zjednodušte výraz.
4. Takto ste dostali rovnakú funkciu napísanú pre argumenty "x" a "-x". Pozrite sa na tieto dva záznamy. Ak y(-x)=y(x), ide o párnu funkciu. Ak y(-x)=-y(x), ide o nepárnu funkciu. Ak nie je možné povedzme o funkcii, že y (-x)=y(x) alebo y(-x)=-y(x), potom je to podľa vlastnosti parity funkcia univerzálneho tvaru. To znamená, že nie je párne ani nepárne.
5. Zapíšte si výsledky. Teraz ich môžete použiť pri vykresľovaní grafu funkcie alebo pri budúcom analytickom hľadaní vlastností funkcie.
6. O párnych a nepárnych funkciách možno hovoriť aj v prípade, keď je graf funkcie bližšie definovaný. Povedzme, že graf bol výsledkom fyzikálneho experimentu. Ak je graf funkcie symetrický podľa osi y, potom y(x) je párna funkcia. Ak je graf funkcie symetrický podľa osi x, potom x(y) je párna funkcia. x(y) je inverzná funkcia y(x).Ak je graf funkcie symetrický okolo počiatku (0,0), potom y(x) je nepárna funkcia. Inverzná funkcia x(y) bude tiež nepárna.
7. Je dôležité si uvedomiť, že koncept párnej a nepárnej funkcie má priamy vzťah s doménou funkcie. Ak povedzme párna alebo nepárna funkcia neexistuje pre x=5, potom neexistuje pre x=-5, čo sa nedá povedať o funkcii všeobecného tvaru. Pri zakladaní párnych a nepárnych dávajte pozor na doménu funkcie.
8. Vyhľadávanie párnych a nepárnych funkcií koreluje s hľadaním množiny hodnôt funkcií. Na nájdenie množiny hodnôt párnej funkcie stačí vidieť polovicu funkcie, vpravo alebo vľavo od nuly. Ak pre x>0 párna funkcia y(x) nadobúda hodnoty od A do B, potom bude mať rovnaké hodnoty pre x<0.Для нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже довольно разглядеть только одну часть функции. Если при x>0 nepárna funkcia y(x) má rozsah hodnôt od A do B, potom pre x<0 она будет принимать симметричный диапазон значений от (-В) до (-А).
„Trigonometriou“ sa kedysi začali nazývať funkcie, ktoré sú určené závislosťou ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku od dĺžok jeho strán. Tieto funkcie zahŕňajú predovšetkým sínus a kosínus, po druhé sekans a kosekans, ktoré sú inverzné k týmto funkciám, ich tangens a kotangens deriváty, ako aj inverzné funkcie arcsínus, arkkozín atď. hovoriť nie o „riešení“ takýchto funkcií, ale o ich „výpočte“, teda o nájdení číselnej hodnoty.
Poučenie
1. Ak je argument goniometrickej funkcie neznámy, potom je dovolené vypočítať jej hodnotu nepriamou metódou založenou na definíciách týchto funkcií. Na to potrebujete poznať dĺžky strán trojuholníka, ktorého goniometrickú funkciu pre jeden z uhlov chcete vypočítať. Povedzme, podľa definície, sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky nohy oproti tomuto uhlu k dĺžke prepony. Z toho vyplýva, že na nájdenie sínusu uhla stačí poznať dĺžky týchto 2 strán. Podobná definícia hovorí, že sínus ostrého uhla je pomer dĺžky nohy susediacej s týmto uhlom k dĺžke prepony. Tangenta ostrého uhla sa dá vypočítať vydelením dĺžky protiľahlého ramena dĺžkou susedného ramena a kotangens vyžaduje vydelenie dĺžky priľahlého ramena dĺžkou protiľahlého ramena. Na výpočet sekansu ostrého uhla musíte nájsť pomer dĺžky prepony k dĺžke nohy susediacej s požadovaným uhlom a kosekans je určený pomerom dĺžky prepony k dĺžke. opačnej nohy.
2. Ak sa argument goniometrickej funkcie vykonáva, nie je potrebné poznať dĺžky strán trojuholníka - je dovolené používať tabuľky hodnôt alebo kalkulačky goniometrických funkcií. Takáto kalkulačka patrí medzi štandardné programy operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, stlačte kombináciu klávesov Win + R, zadajte príkaz calc a kliknite na tlačidlo OK. V rozhraní programu otvorte sekciu "Zobraziť" a vyberte položku "Inžinierstvo" alebo "Vedec". Neskôr je dovolené zaviesť argument goniometrickej funkcie. Ak chcete vypočítať funkcie sínus, kosínus a tangens, radšej po zadaní hodnoty kliknite na príslušné tlačidlo rozhrania (sin, cos, tg) a ak chcete nájsť ich prevrátené hodnoty arksínusu, arkkozínu a arkustangensu, vopred zaškrtnite políčko Inv.
3. Existujú aj alternatívne metódy. Jedným z nich je prejsť na stránku vyhľadávača Nigma alebo Google a zadať požadovanú funkciu a jej argument (povedzme sin 0,47) ako vyhľadávací dopyt. Tieto vyhľadávače majú zabudované kalkulačky, preto po odoslaní takejto požiadavky dostanete hodnotu vami zadanej goniometrickej funkcie.
Podobné videá
Tip 7: Ako zistiť hodnotu goniometrických funkcií
Goniometrické funkcie sa prvýkrát objavili ako nástroje na abstraktné matematické výpočty závislostí veľkostí ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku na dĺžkach jeho strán. Teraz sú široko používané vo vedeckých aj technických oblastiach ľudskej činnosti. Na utilitárne výpočty goniometrických funkcií z daných argumentov je dovolené použiť rôzne nástroje - niekoľko obzvlášť dostupných je popísaných nižšie.
Poučenie
1. Použite, povedzme, program kalkulačky nainštalovaný štandardne s operačným systémom. Otvára sa výberom položky „Kalkulačka“ v priečinku „Pomôcky“ v podsekcii „Typické“, ktorá sa nachádza v časti „Všetky programy“. Túto časť nájdete otvorením hlavnej ponuky operačného systému kliknutím na tlačidlo "Štart". Ak používate verziu Windows 7, môžete primitívne zadať slovo „Kalkulačka“ do poľa „Rozpoznať programy a súbory“ v hlavnej ponuke a potom kliknúť na príslušný odkaz vo výsledkoch vyhľadávania.
2. Zadajte hodnotu uhla, pre ktorý chcete vypočítať trigonometrickú funkciu, a potom kliknite na tlačidlo zodpovedajúce tejto funkcii - sin, cos alebo tan. Ak vás znepokojujú inverzné goniometrické funkcie (arksínus, arkozínus alebo arkustangens), potom najskôr kliknite na tlačidlo označené Inv – obráti funkcie priradené ovládacím tlačidlám kalkulačky.
3. V starších verziách operačného systému (povedzme Windows XP) musíte na prístup k trigonometrickým funkciám otvoriť časť „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky a uprednostniť riadok „Inžinierstvo“. Okrem toho namiesto tlačidla Inv v rozhraní starých verzií programu je začiarkavacie políčko s rovnakým nápisom.
4. Ak máte prístup na internet, môžete sa zaobísť bez kalkulačky. Na webe je veľa služieb, ktoré ponúkajú rôzne usporiadané kalkulačky goniometrických funkcií. Jedna obzvlášť praktická možnosť je zabudovaná do vyhľadávacieho nástroja Nigma. Po prechode na hlavnú stránku primitívne zadajte do poľa vyhľadávacieho dopytu hodnotu, ktorá vás vzrušuje - povedzme „oblúkový tangens 30 stupňov“. Po stlačení tlačidla "Objaviť!" vyhľadávač vypočíta a zobrazí výsledok výpočtu - 0,482347907101025.
Podobné videá
Trigonometria je odvetvie matematiky na pochopenie funkcií, ktoré vyjadrujú rôzne závislosti strán pravouhlého trojuholníka od veľkostí ostrých uhlov v prepone. Takéto funkcie sa nazývajú goniometrické a na uľahčenie práce s nimi boli odvodené goniometrické funkcie. identity .
Výkon identity v matematike označuje rovnosť, ktorá je splnená pre všetky hodnoty argumentov funkcií, ktoré sú v nej zahrnuté. Trigonometrické identity- ide o rovnosti goniometrických funkcií, potvrdené a prijaté na zjednodušenie práce s goniometrickými vzorcami. Goniometrická funkcia je elementárna funkcia závislosti jednej z ramien pravouhlého trojuholníka na veľkosti ostrého uhla v prepone. Častejšie sa používa šesť základných goniometrických funkcií: sin (sínus), cos (kosínus), tg (tangens), ctg (kotangens), sec (sekant) a cosec (kosekant). Tieto funkcie sa nazývajú priame, existujú aj inverzné funkcie, povedzme sínus - arkzín, kosínus - arkkozín atď. Pôvodne sa trigonometrické funkcie odrazili v geometrii, potom sa rozšírili do ďalších oblastí vedy: fyzika, chémia, geografia, optika , teória pravdepodobnosti , ako aj akustika, hudobná teória, fonetika, počítačová grafika a mnohé ďalšie. Teraz je už ťažšie predstaviť si matematické výpočty bez týchto funkcií, hoci v dávnej minulosti sa používali len v astronómii a architektúre. identity sa používajú na zjednodušenie práce s dlhými trigonometrickými vzorcami a ich uvedenie do stráviteľnej podoby. Existuje šesť základných goniometrických identít, ktoré sú spojené s priamymi goniometrickými funkciami: tg ? = hriech?/cos?; hriech^2? + cos^2? = 1; 1 + tg^2? = 1/cos^2?; 1 + 1/tg^2? = 1/sin^2?; hriech (? / 2 -?) \u003d cos ?; cos (? / 2 -?) \u003d hriech?. Tieto identityľahko potvrdiť z vlastností pomeru strán a uhlov v pravouhlom trojuholníku: sin ? = BC/AC = b/c; pretože = AB/AC = a/c; tg? = b/a Prvá identita tg ? = hriech?/čo? vyplýva z pomeru strán v trojuholníku a vylúčenia strany c (hypotenza) pri delení hriechu cos. Rovnakým spôsobom je definovaná identita ctg? = cos ?/sin ?, pretože ctg ? = 1/tg ?. Podľa Pytagorovej vety a^2 + b^2 = c^2. Vydelíme túto rovnosť c^2, dostaneme druhú identitu: a^2/c^2 + b^2/c^2 = 1 => hriech^2 ? + cos^2 ? = 1.Tretia a štvrtá identity dostane delením b^2 a a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2? = 1/sin^ ? alebo 1 + ctg^2 ? \u003d 1 / hriech ^ 2?. Piaty a šiesty hlavný identity sa dokazujú určením súčtu ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka, ktorý sa rovná 90° alebo?/2. Náročnejšie trigonometrické identity: vzorce na sčítanie argumentov, dvojité a trojité uhly, zníženie stupňa, pretvorenie súčtu alebo súčinu funkcií, ako aj goniometrické substitučné vzorce, konkrétne vyjadrenia hlavných goniometrických funkcií v polovičnom uhle tg: sin ?= (2 * tg ? / 2) / (1 + tg^2 ?/2); cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Potreba nájsť minimum význam matematický funkcie má skutočný záujem na riešení aplikovaných problémov, povedzme v ekonómii. Obrovský význam pre podnikateľskú činnosť má minimalizáciu strát.
Poučenie
1. Aby ste našli minimum význam funkcie, treba určiť, pri akej hodnote argumentu x0 bude splnená nerovnosť y(x0)? y(x), kde x? x0. Ako obvykle, tento problém sa rieši v určitom intervale alebo v každom rozsahu hodnôt funkcie, ak nie je nastavené. Jedným z aspektov riešenia je hľadanie pevných bodov.
2. Stacionárny bod sa nazýva význam argument, že derivát funkcie ide na nulu. Podľa Fermatovej vety, ak diferencovateľná funkcia naberá extrém význam v určitom bode (v tomto prípade miestne minimum), potom je tento bod stacionárny.
3. Minimum význam funkcia často trvá presne v tomto bode, avšak nie vždy ju možno určiť. Navyše nie vždy sa dá presne povedať, aké je minimum funkcie alebo prijme nekonečne malý význam. Potom, ako obvykle, nájdu hranicu, ku ktorej to gravituje pri znižovaní.
4. Aby bolo možné určiť minim význam funkcie, je potrebné vykonať postupnosť akcií pozostávajúcu zo štyroch etáp: nájdenie domény definície funkcie, získavanie pevných bodov, prehľad hodnôt funkcie v týchto bodoch a na koncoch medzery detekcia minima.
5. Ukazuje sa, že nech je daná nejaká funkcia y(x) na intervale s hranicami v bodoch A a B. Nájdite definičný obor a zistite, či je interval jej podmnožinou.
6. Vypočítať derivát funkcie. Prirovnajte výsledný výraz k nule a nájdite korene rovnice. Skontrolujte, či tieto stacionárne body spadajú do intervalu. Ak nie, potom sa v ďalšej fáze neberú do úvahy.
7. Pozrite sa na medzeru pre typ hraníc: otvorené, uzavreté, zložené alebo bezrozmerné. Záleží na tom, ako nájdete minimum význam. Povedzme, že segment [A, B] je uzavretý interval. Dosaďte ich do funkcie a vypočítajte hodnoty. Urobte to isté so stacionárnym bodom. Vyberte najmenší súčet.
8. S otvorenými a bezhraničnými intervalmi je situácia o niečo zložitejšia. Tu treba hľadať jednostranné limity, ktoré nedávajú vždy jednoznačný výsledok. Povedzme, že pre interval s jednou uzavretou a jednou prerušenou hranicou [A, B) by sme mali nájsť funkciu v x = A a jednostrannú limitnú hranicu y v x? B-0.
Základné pojmy
Začnime s definíciami párne, nepárne a periodické funkcie.
Definícia 2
Párna funkcia je funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu, keď sa zmení znamienko nezávislej premennej:
Definícia 3
Funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty v určitom pravidelnom časovom intervale:
T je perióda funkcie.
Párne a nepárne goniometrické funkcie
Zoberme si nasledujúci obrázok (obr. 1):
Obrázok 1.
$\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ a $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ sú vektory s jednotkovou dĺžkou symetrickou vzhľadom na os $Ox$.
Je zrejmé, že súradnice týchto vektorov súvisia s nasledujúcimi vzťahmi:
Keďže goniometrické funkcie sínus a kosínus možno určiť pomocou jednotkového goniometrického kruhu, dostaneme, že funkcia sínus bude nepárna a funkcia kosínus bude párna, teda:
Periodicita goniometrických funkcií
Zoberme si nasledujúci obrázok (obr. 2).
Obrázok 2
Tu $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ je vektor jednotkovej dĺžky.
Urobme úplný obrat o vektor $\overrightarrow(OA)$. To znamená, že otočme daný vektor o $2\pi $ radiánov. Potom sa vektor úplne vráti do svojej pôvodnej polohy.
Keďže goniometrické funkcie sínus a kosínus možno definovať pomocou jednotkového goniometrického kruhu, dostaneme, že
To znamená, že funkcie sínus a kosínus sú periodické funkcie s najmenšou periódou $T=2\pi $.
Zvážte teraz funkcie dotyčnice a kotangens. Keďže $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, potom
Keďže $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, potom
Príklady úloh o použití párnych, nepárnych a periodicity goniometrických funkcií
Príklad 1
Dokážte nasledujúce tvrdenia:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Keďže dotyčnica je periodická funkcia s minimálnou periódou $(360)^0$, dostaneme
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Keďže kosínus je párna a periodická funkcia s minimálnou periódou $2\pi $, dostaneme
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- jeden\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Keďže sínus je nepárna a periodická funkcia s minimálnou periódou $(360)^0$, dostaneme
Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.
Vlastnosti parity a periodicity
Pozrime sa podrobnejšie na vlastnosti parity a periodicity na príklade hlavných goniometrických funkcií: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:
2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).
Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.
Napríklad goniometrická funkcia y=cos(x) je párna.
Vlastnosti nepárnosti a periodicity
Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:
1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.
2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).
Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok.
Napríklad goniometrické funkcie y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) sú nepárne.
Periodicita goniometrických funkcií
Funkcia y=f(x) sa nazýva periodická, ak existuje určité číslo T!=0 (nazývané perióda funkcie y=f(x)), takže pre akúkoľvek hodnotu x patriacu do definičného oboru funkcie , do definičného oboru funkcie patria aj čísla x+T a x-T a je splnená rovnosť f(x)=f(x+T)=f(x-T).
Malo by byť zrejmé, že ak T je perióda funkcie, potom číslo k*T, kde k je akékoľvek nenulové celé číslo, bude tiež periódou funkcie. Na základe vyššie uvedeného zistíme, že každá periodická funkcia má nekonečne veľa periód. Najčastejšie je rozhovor o najmenšom období funkcie.
Goniometrické funkcie sin(x) a cos(x) sú periodické, pričom najmenšia perióda sa rovná 2*π.
Účel: zovšeobecniť a systematizovať poznatky žiakov na tému „Periodika funkcií“; formovať zručnosti pri uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadaní najmenšej kladnej periódy funkcie, vykresľovaní periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; kultivovať postreh, presnosť.
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, kartičky s úlohami, diapozitívy, hodiny, stolíky na ozdoby, prvky ľudových remesiel
"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov
Počas vyučovania
I. Organizačná etapa.
Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Prezentácia témy a cieľov lekcie.
II. Kontrola domácich úloh.
Kontrolujeme domáce úlohy podľa vzoriek, diskutujeme o najťažších bodoch.
III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.
1. Ústna frontálna práca.
Otázky teórie.
1) Vytvorte definíciu periódy funkcie
2) Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=sin(x), y=cos(x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocou kruhu dokážte správnosť vzťahov:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z
5) Ako vykresliť periodickú funkciu?
ústne cvičenia.
1) Dokážte nasledujúce vzťahy
a) sin (740º) = sin (20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)
3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)
4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos (-7363º)
5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?
Odpovede študentov: Obdobie v hudbe je konštrukcia, v ktorej sa vyjadruje viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s periódou 35 až 90 miliónov rokov.
Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených dátumoch. Periodický systém Mendelejeva.
6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Definujte periódu funkcie. Určite periódu funkcie.
Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.
7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?
Žiaci odpovedajú: Prvky ornamentov, ľudové umenie.
IV. Kolektívne riešenie problémov.
(Riešenie problémov na snímkach.)
Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu periodicity.
Táto metóda obchádza ťažkosti spojené s dokazovaním, že jedna alebo druhá perióda je najmenšia, a tiež nie je potrebné dotýkať sa otázok o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a o periodicite komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n? 0) je jej perióda.
Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)
Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x ∈ D(f), t.j.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Nech x=-0,25 dostaneme
(T) = 0<=>T=n, n ∈ Z
Zistili sme, že všetky periódy uvažovanej funkcie (ak existujú) sú medzi celými číslami. Vyberte z týchto čísel najmenšie kladné číslo. Toto je 1 . Pozrime sa, či je to skutočne obdobie 1 .
f(x+1)=3(x+1+0,25)+1
Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 - obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, potom T=1.
Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.
Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Ak x = 0, potom
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Ak x=-T, potom
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5 = - sin (1,5 T) + 5 cos (0,75 T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 |
Pridaním dostaneme:
10 cos (0,75 T) = 10
2π n, n € Z
Vyberme zo všetkých čísel "podozrivých" pre obdobie najmenšie kladné a skontrolujme, či ide o bodku pre f. Toto číslo
f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Preto je hlavná perióda funkcie f.
Úloha 4. Skontrolujte, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická
Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x
sin|x+T|=sin|x|
Ak x=0, potom sin|T|=sin0, sin|T|=0 T=π n, n ∈ Z.
Predpokladajme. Že pre nejaké n je číslo π n bodka
uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|
To znamená, že n musí byť párne aj nepárne súčasne, čo je nemožné. Preto táto funkcia nie je periodická.
Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická
f(x)= 
Nech T je obdobie f
, teda sinT=0, T=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou danej funkcie. Potom číslo 2π n bude tiež bodkou
Keďže čitatelia sú si rovní, rovnajú sa aj ich menovatelia, takže
Preto funkcia f nie je periodická.
Skupinová práca.
Úlohy pre skupinu 1.
Úlohy pre skupinu 2.
Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Úlohy pre skupinu 3.
Na konci práce skupiny prezentujú svoje riešenia.
VI. Zhrnutie lekcie.
Reflexia.
Učiteľ rozdá žiakom kartičky s kresbami a ponúkne im premaľovať časť prvej kresby v súlade s tým, do akej miery, ako sa im zdá, zvládli metódy štúdia funkcie pre periodicitu a časť druhej kresby , v súlade s ich prínosom k práci na vyučovacej hodine.
VII. Domáca úloha
jeden). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej hlavnú periódu (ak existuje)
b). f(x)=x2-2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)
Literatúra/
- Mordkovich A.G. Algebra a začiatok analýzy s hĺbkovým štúdiom.
- Matematika. Príprava na skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.
