4. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika cez uhlopriečku štvorca:

5. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez priemer kruhu (opísaného):

6. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžku strany oproti tomuto uhlu:

7. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný okolo obdĺžnika v zmysle kosínusu uhla, ktorý susedí s uhlopriečkou, a dĺžky strany pod týmto uhlom:

8. Vzorec pre polomer kruhu, ktorý je opísaný v blízkosti obdĺžnika cez sínus ostrého uhla medzi uhlopriečkami a oblasťou obdĺžnika:

Uhol medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhlopriečku a stranu:

2. Vzorec na určenie uhla medzi stranou a uhlopriečkou obdĺžnika cez uhol medzi uhlopriečkami:

Uhol medzi uhlopriečkami obdĺžnika.

Vzorce na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika:

1. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez uhol medzi stranou a uhlopriečkou:

p = 2α

2. Vzorec na určenie uhla medzi uhlopriečkami obdĺžnika cez plochu a uhlopriečkou.

Obdĺžnik je štvoruholník, v ktorom má každý roh pravý uhol.

Dôkaz

Táto vlastnosť sa vysvetľuje pôsobením znaku 3 rovnobežníka (t.j. \uholník A = \uhol C , \uholník B = \uhol D )

2. Opačné strany sú si rovné.

AB = CD,\enspace BC = AD

3. Opačné strany sú rovnobežné.

AB \parallel CD,\enspace BC \parallel AD

4. Susedné strany sú na seba kolmé.

AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD ​​​​\perp AB

5. Uhlopriečky obdĺžnika sú rovnaké.

AC=BD

Dôkaz

Podľa majetok 1 obdĺžnik je rovnobežník, čo znamená AB = CD.

Preto \triangle ABD = \triangle DCA pozdĺž dvoch nôh (AB = CD a AD - kĺb).

Ak sú oba obrazce - ABC a DCA identické, potom sú zhodné aj ich prepony BD a AC.

Takže AC = BD .

Iba obdĺžnik všetkých obrazcov (iba z rovnobežníkov!) Má rovnaké uhlopriečky.

Dokážme aj toto.

ABCD je rovnobežník \Šípka doprava AB = CD , AC = BD podľa podmienky. \Rightarrow \triangle ABD = \trojuholník DCA už na troch stranách.

Ukazuje sa, že \uhol A = \uhol D (ako rohy rovnobežníka). A \uhol A = \uhol C , \uhol B = \uhol D .

To dedukujeme \uhol A = \uhol B = \uholník C = \uhol D. Všetky majú 90^(\circ) . Celkom je 360^(\circ) .

Osvedčené!

6. Druhá mocnina uhlopriečky sa rovná súčtu štvorcov jej dvoch susedných strán.

Táto vlastnosť je platná na základe Pytagorovej vety.

AC^2=AD^2+CD^2

7. Uhlopriečka rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

\triangle ABC = \triangle ACD, \enspace \triangle ABD = \triangle BCD

8. Priesečník uhlopriečok ich pretína.

AO=BO=CO=DO

9. Priesečník uhlopriečok je stredom obdĺžnika a kružnice opísanej.

10. Súčet všetkých uhlov je 360 ​​stupňov.

\uhol ABC + \uhol BCD + \uhol CDA + \uhol DAB = 360^(\circ)

11. Všetky rohy obdĺžnika sú správne.

\uhol ABC = \uhol BCD = \uhol CDA = \uhol DAB = 90^(\circ)

12. Priemer opísanej kružnice okolo obdĺžnika sa rovná uhlopriečke obdĺžnika.

13. Okolo obdĺžnika sa dá vždy opísať kruh.

Táto vlastnosť je platná, pretože súčet protiľahlých rohov obdĺžnika je 180^(\circ)

\uhol ABC = \uhol CDA = 180^(\circ),\enspace \uhol BCD = \uhol DAB = 180^(\circ)

14. Obdĺžnik môže obsahovať vpísanú kružnicu a iba jednu, ak má rovnaké dĺžky strán (ide o štvorec).

Obdĺžnik. Keďže obdĺžnik má dve osi súmernosti, jeho ťažisko sa nachádza v priesečníku osí súmernosti, t.j. v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.

Trojuholník. Ťažisko leží v priesečníku jeho mediánov. Z geometrie je známe, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia sa v pomere 1:2 od základne.

Kruh. Keďže kružnica má dve osi súmernosti, jej ťažisko je v priesečníku osí súmernosti.

Polkruh. Polkruh má jednu os súmernosti, na tejto osi potom leží ťažisko. Ďalšia súradnica ťažiska sa vypočíta podľa vzorca: .

Mnohé konštrukčné prvky sú vyrobené zo štandardných valcovaných výrobkov - uholníky, I-nosníky, kanály a iné. Všetky rozmery, ako aj geometrické charakteristiky valcovaných profilov sú tabuľkové údaje, ktoré možno nájsť v referenčnej literatúre v štandardných tabuľkách sortimentu (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Príklad 1 Určte polohu ťažiska obrázku znázorneného na obrázku.

rozhodnutie:

Vyberieme súradnicové osi tak, aby os Ox prechádzala pozdĺž extrémneho spodného celkového rozmeru a os Oy - pozdĺž extrémneho ľavého celkového rozmeru.

Zložitú figúrku rozdelíme na minimálny počet jednoduchých figúrok:

obdĺžnik 20x10;

trojuholník 15x10;

kruh R=3 cm.

Vypočítame plochu každej jednoduchej postavy, jej súradnice ťažiska. Výsledky výpočtov sú uvedené v tabuľke

odpoveď: C(14,5; 4,5)

Príklad 2 . Určte súradnice ťažiska kompozitného profilu pozostávajúceho z plechu a valcovaných profilov.

rozhodnutie.

Vyberieme súradnicové osi, ako je znázornené na obrázku.

Čísla označíme číslami a potrebné údaje vypíšeme z tabuľky:

Súradnice ťažiska obrázku vypočítame pomocou vzorcov:

odpoveď: C(0; 10)

Laboratórna práca č. 1 "Určenie ťažiska kompozitných plochých útvarov"

Cieľ: Určte ťažisko daného plochého komplexného útvaru experimentálnymi a analytickými metódami a porovnajte ich výsledky.

Zákazka

Nakreslite si do zošitov svoju plochú postavu vo veľkosti s vyznačením súradnicových osí.

Analyticky určte ťažisko.

1. Rozdeľte figúrku na minimálny počet figúrok, ktorých ťažisko vieme určiť.

   Uveďte počet oblastí a súradnice ťažiska každého obrázku.

   Vypočítajte súradnice ťažiska každého obrazca.

   Vypočítajte plochu každého obrázku.

   Vypočítajte súradnice ťažiska celej postavy pomocou vzorcov (uveďte polohu ťažiska na nákres obrázku):

Zariadenie na experimentálne určenie súradníc ťažiska zavesením pozostáva z vertikálneho hrebeňa 1 (pozri obr.), ku ktorému je pripevnená ihla 2 . plochá postava 3 Vyrobené z kartónu, ktorý sa dá ľahko prepichnúť. diery ALE a AT prepichnuté v náhodne umiestnených bodoch (najlepšie v najvzdialenejšej vzdialenosti od seba). Plochá figúrka sa zavesí na ihlu, najskôr na hrot ALE a potom v bode AT . S pomocou olovnice 4 , upevnený na tej istej ihle, je na obrázku nakreslená zvislá čiara ceruzkou zodpovedajúcou olovnici. Ťažisko S obrázok bude umiestnený v priesečníku zvislých čiar nakreslených pri zavesení obrázku v bodoch ALE a AT .

Domáci majster často potrebuje nájsť stred kruhu alebo okrúhlej časti. O jednom zo spôsobov riešenia tohto problému som už písal v článku ako nájsť stred kruhu. Má to ale jednu podstatnú nevýhodu – je potrebné presne nájsť stred tetivy a presne z nej postaviť kolmicu.

Našťastie existuje iná metóda na presné nájdenie stredu kruhu, ktorá nevyžaduje žiadne presné merania. Je založená na jednoduchom princípe, že ak je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruhu, potom jeho prepona (najdlhšia strana) bude priemerom tejto kružnice alebo kruhu.

Potvrdzuje to skutočnosť, že súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. A celý kruh má 360 stupňov. A každý obdĺžnik, ktorého prepona sa rovná priemeru kruhu, bude pravouhlý. A naopak - ľubovoľný pravouhlý trojuholník s preponou predstavuje priemer kruhu.

A čo nám dá presnejšie stred kruhu, ak nie priesečník dvoch priemerov kruhu?

Ako "zdroj" pravého uhla je najjednoduchšie vziať list papiera na písanie. V papierňach sa režú s veľmi vysokou presnosťou. Môžete použiť stránku akéhokoľvek časopisu atď.

Na okrúhlu časť položíme list papiera tak, aby jeden z jeho rohov bol na kruhu alebo na okraji kruhu. A označte body, kde sa list dotýka ostatných okrajov kruhu. Označujeme tieto body.

Medzi vyznačenými bodmi nakreslíme priamku. Vzdialenosť medzi nimi je priemer tohto kruhu. Prebytočný papier odstrihneme a na diel nakreslíme rovnú čiaru - priemer.

Stačí presunúť náš trojuholník do inej polohy a nakresliť iný priemer kruhu a okamžite v priesečníku priemerov dostaneme požadovaný stred kruhu ...

Bez absolútneho merania teda môžeme nájsť stred akéhokoľvek kruhu.