Pytagorova veta
Podobne trojuholník CBH je podobný ABC. Predstavenie notácie 
1. Usporiadajte štyri rovnaké pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku. 
Myšlienka Euklidovho dôkazu je nasledovná: skúsme dokázať, že polovica plochy štvorca postaveného na prepone sa rovná súčtu polovičných plôch štvorcov postavených na nohách a potom plôch veľké a dva malé štvorce sú rovnaké. Zvážte kresbu vľavo. Na ňom sme postavili štvorce na stranách pravouhlého trojuholníka a nakreslili lúč s z vrcholu pravého uhla C kolmo na preponu AB, rozrezal štvorec ABIK postavený na prepone na dva obdĺžniky - BHJI a HAKJ, resp. Ukazuje sa, že plochy týchto obdĺžnikov sú presne rovnaké ako plochy štvorcov postavených na zodpovedajúcich nohách. Pokúsme sa dokázať, že plocha štvorca DECA sa rovná ploche obdĺžnika AHJK Na tento účel použijeme pomocné pozorovanie: Plocha trojuholníka s rovnakou výškou a základňou, ako je daná obdĺžnik sa rovná polovici plochy daného obdĺžnika. Je to dôsledok definovania plochy trojuholníka ako polovice súčinu základne a výšky. Z tohto pozorovania vyplýva, že plocha trojuholníka ACK sa rovná ploche trojuholníka AHK (nezobrazené), čo sa zase rovná polovici plochy obdĺžnika AHJK. Dokážme teraz, že plocha trojuholníka ACK sa tiež rovná polovici plochy štvorca DECA. Jediná vec, ktorú je potrebné urobiť, je dokázať rovnosť trojuholníkov ACK a BDA (pretože plocha trojuholníka BDA sa rovná polovici plochy štvorca podľa vyššie uvedenej vlastnosti). Táto rovnosť je zrejmá, trojuholníky sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi. Totiž - AB=AK,AD=AC - rovnosť uhlov CAK a BAD sa dá ľahko dokázať metódou pohybu: otočme trojuholník CAK o 90° proti smeru hodinových ručičiek, potom je zrejmé, že zodpovedajúce strany dvoch uvažovaných trojuholníkov sa bude zhodovať (vzhľadom na skutočnosť, že uhol vo vrchole štvorca je 90°). Argument o rovnosti plôch štvorca BCFG a obdĺžnika BHJI je úplne analogický. Dokázali sme teda, že plocha štvorca postaveného na prepone je súčtom plôch štvorcov postavených na nohách. 
Zoberme si výkres, ako je zrejmé zo symetrie, segment CI rozreže štvorec ABHJ na dve rovnaké časti (keďže trojuholníky ABC a JHI sú v konštrukcii rovnaké). Použitím otočenia o 90 stupňov proti smeru hodinových ručičiek vidíme rovnosť tieňovaných číslic CAJI a GDAB. Teraz je jasné, že plocha nami zatienenej postavy sa rovná súčtu polovice plôch štvorcov postavených na nohách a plochy pôvodného trojuholníka. Na druhej strane sa rovná polovici plochy štvorca postaveného na prepone plus plocha pôvodného trojuholníka. Posledný krok dokazovania je ponechaný na čitateľa.Potenciál pre kreativitu sa zvyčajne pripisuje humanitným vedám, ponechávajúc prírodovedné analýzy, praktický prístup a suchý jazyk vzorcov a čísel. Matematiku nemožno zaradiť medzi humanitné predmety. Ale bez kreativity v "kráľovnej všetkých vied" ďaleko nezájdete - ľudia o tom vedia už dlho. Od čias Pytagorasa napr.
Školské učebnice, žiaľ, väčšinou nevysvetľujú, že v matematike je dôležité nielen vtesnať vety, axiómy a vzorce. Je dôležité pochopiť a cítiť jeho základné princípy. A zároveň sa snažte oslobodiť svoju myseľ od klišé a elementárnych právd – len v takýchto podmienkach sa rodia všetky veľké objavy.
Medzi takéto objavy patrí aj ten, ktorý dnes poznáme ako Pytagorovu vetu. S jej pomocou sa pokúsime ukázať, že matematika nielenže môže, ale má byť zábavná. A že toto dobrodružstvo je vhodné nielen pre nerdov v hrubých okuliaroch, ale pre každého, kto je silný mysľou a duchom.
Z histórie problému
Presne povedané, hoci sa veta nazýva „Pytagorova veta“, sám Pytagoras ju neobjavil. Pravý trojuholník a jeho špeciálne vlastnosti boli študované dávno pred ním. Na túto otázku existujú dva polárne uhly pohľadu. Podľa jednej verzie bol Pytagoras prvý, kto našiel úplný dôkaz vety. Podľa iného dôkaz nepatrí k autorstvu Pytagoras.
Dnes už nemôžete kontrolovať, kto má pravdu a kto nie. Je známe len to, že dôkaz Pytagoras, ak vôbec existoval, sa nezachoval. Existujú však návrhy, že slávny dôkaz z Euklidových prvkov môže patriť Pytagorasovi a Euklides ho iba zaznamenal.
Dnes je tiež známe, že problémy o pravouhlom trojuholníku sa nachádzajú v egyptských prameňoch z čias faraóna Amenemheta I., na babylonských hlinených tabuľkách z obdobia vlády kráľa Hammurabiho, v staroindickom pojednaní Sulva Sutra a starom čínskom diele Zhou -bi suan jin.
Ako vidíte, Pytagorova veta zamestnávala mysle matematikov už od staroveku. Ako potvrdenie slúži dnes približne 367 rôznych dôkazov. Žiadna iná veta jej v tomto smere nemôže konkurovať. Medzi významných autorov dôkazov patria Leonardo da Vinci a 20. prezident Spojených štátov James Garfield. To všetko hovorí o mimoriadnom význame tejto vety pre matematiku: väčšina geometrických viet je z nej odvodená alebo s ňou tak či onak spojená.
Dôkazy Pytagorovej vety
Školské učebnice väčšinou poskytujú algebraické dôkazy. Ale podstata vety je v geometrii, takže najprv zvážime tie dôkazy slávnej vety, ktoré sú založené na tejto vede.
Dôkaz 1
Pre najjednoduchší dôkaz Pytagorovej vety pre pravouhlý trojuholník je potrebné nastaviť ideálne podmienky: nech je trojuholník nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Existuje dôvod domnievať sa, že to bol taký trojuholník, ktorý pôvodne uvažovali starovekí matematici.
Vyhlásenie "štvorec postavený na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov postavených na jeho nohách" možno znázorniť na nasledujúcom obrázku:
Pozrite sa na rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABC: Na prepone AC môžete postaviť štvorec pozostávajúci zo štyroch trojuholníkov rovných pôvodnému ABC. A na nohách AB a BC postavené na štvorci, z ktorých každý obsahuje dva podobné trojuholníky.
Mimochodom, táto kresba tvorila základ mnohých anekdot a karikatúr venovaných Pytagorovej vete. Azda najznámejší je "Pythagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch":
Dôkaz 2
Táto metóda spája algebru a geometriu a možno ju považovať za variant staroindického dôkazu matematika Bhaskariho.
Zostrojte pravouhlý trojuholník so stranami a, b a c(obr. 1). Potom postavte dva štvorce so stranami rovnými súčtu dĺžok dvoch nôh - (a+b). V každom zo štvorcov vytvorte konštrukcie ako na obrázkoch 2 a 3.
V prvom štvorci postavte štyri rovnaké trojuholníky ako na obrázku 1. Výsledkom sú dva štvorce: jeden so stranou a, druhý so stranou b.
V druhom štvorci tvoria štyri podobné trojuholníky štvorec so stranou rovnou prepone c.
Súčet plôch zostrojených štvorcov na obr. 2 sa rovná ploche štvorca, ktorú sme zostrojili so stranou c na obr. 3. To sa dá ľahko overiť výpočtom plôch štvorcov na obr. 2 podľa vzorca. A plocha vpísaného štvorca na obrázku 3. odčítaním plôch štyroch rovnakých pravouhlých trojuholníkov vpísaných do štvorca od plochy veľkého štvorca so stranou (a+b).
Keď toto všetko dáme dole, máme: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Rozbaľte zátvorky, urobte všetky potrebné algebraické výpočty a získajte to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Zároveň plocha zapísaná na obr.3. štvorec možno vypočítať aj pomocou tradičného vzorca S=c2. Tie. a2+b2=c2 Dokázali ste Pytagorovu vetu.
Dôkaz 3
Ten istý staroindický dôkaz je opísaný v 12. storočí v traktáte „Koruna poznania“ („Siddhanta Shiromani“) a ako hlavný argument autor používa výzvu adresovanú matematickým talentom a schopnostiam pozorovania študentov a študentov. nasledovníci: "Pozri!".
Tento dôkaz však rozoberieme podrobnejšie:
Vo vnútri štvorca postavte štyri pravouhlé trojuholníky, ako je znázornené na obrázku. Označuje sa strana veľkého štvorca, ktorá je zároveň preponou s. Nazvime nohy trojuholníka a a b. Strana vnútorného štvorca je podľa nákresu (a-b).
Použite vzorec štvorcovej oblasti S=c2 na výpočet plochy vonkajšieho štvorca. A súčasne vypočítajte rovnakú hodnotu pridaním plochy vnútorného štvorca a plôch všetkých štyroch pravouhlých trojuholníkov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Na výpočet plochy štvorca môžete použiť obe možnosti, aby ste sa uistili, že dávajú rovnaký výsledok. A to vám dáva právo si to zapísať c2 = (a-b) 2 +4*1\2*a*b. Výsledkom riešenia je vzorec Pytagorovej vety c2=a2+b2. Veta bola dokázaná.
Dôkaz 4
Tento kuriózny staroveký čínsky dôkaz sa nazýva „stolička nevesty“ – kvôli postave pripomínajúcej stoličku, ktorá je výsledkom všetkých konštrukcií:
Používa kresbu, ktorú sme už videli na obrázku 3 v druhom dôkaze. A vnútorný štvorec so stranou c je skonštruovaný rovnakým spôsobom ako v staroindickom dôkaze uvedenom vyššie.
Ak v duchu odrežete dva zelené pravouhlé trojuholníky z nákresu na obr. 1, prenesiete ich na opačné strany štvorca so stranou c a pripojíte prepony k preponám fialových trojuholníkov, dostanete obrazec nazývaný „nevesty“. stolička“ (obr. 2). Pre prehľadnosť môžete urobiť to isté s papierovými štvorcami a trojuholníkmi. Uvidíte, že "kreslo nevesty" je tvorené dvoma štvorcami: malými so stranou b a veľký s bokom a.
Tieto konštrukcie umožnili starým čínskym matematikom a nám, ktorí ich nasledovali, dospieť k záveru c2=a2+b2.
Dôkaz 5
Toto je ďalší spôsob, ako nájsť riešenie Pytagorovej vety na základe geometrie. Nazýva sa to Garfieldova metóda.
Zostrojte pravouhlý trojuholník ABC. Musíme to dokázať BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Ak to chcete urobiť, pokračujte v nohe AC a vybudovať segment CD, čo sa rovná nohe AB. Dolná kolmica ADúsečka ED. Segmenty ED a AC sú si rovní. spojte body E a AT, ako aj E a S a získajte kresbu ako na obrázku nižšie:
Aby sme dokázali vežu, opäť sa uchýlime k metóde, ktorú sme už testovali: nájdeme plochu výslednej postavy dvoma spôsobmi a prirovnáme výrazy k sebe.
Nájdite oblasť polygónu POSTEĽ možno vykonať pridaním oblastí troch trojuholníkov, ktoré ho tvoria. A jeden z nich ERU, je nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Na to tiež nezabúdajme AB = CD, AC=ED a BC = CE- to nám umožní zjednodušiť nahrávanie a nepreťažiť ho. takze S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2 BC 2.
Zároveň je zrejmé, že POSTEĽ je lichobežník. Preto vypočítame jeho plochu pomocou vzorca: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Pre naše výpočty je pohodlnejšie a prehľadnejšie reprezentovať segment AD ako súčet segmentov AC a CD.
Napíšme oba spôsoby, ako vypočítať plochu obrázku tak, že medzi ne vložíme znamienko rovnosti: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Na zjednodušenie pravej strany zápisu používame rovnosť segmentov, ktoré už poznáme a sú opísané vyššie: AB*AC+1/2BC2=1/2(AB+AC) 2. A teraz otvoríme zátvorky a transformujeme rovnosť: AB*AC+1/2BC 2 = 1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Po dokončení všetkých transformácií dostaneme presne to, čo potrebujeme: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokázali sme vetu.
Samozrejme, tento zoznam dôkazov nie je ani zďaleka úplný. Pytagorovu vetu je možné dokázať aj pomocou vektorov, komplexných čísel, diferenciálnych rovníc, stereometrie a podobne. A dokonca aj fyzici: ak sa napríklad kvapalina naleje do štvorcových a trojuholníkových objemov podobných tým, ktoré sú znázornené na výkresoch. Naliatím kvapaliny je možné dokázať rovnosť plôch a ako výsledok samotnú vetu.
Pár slov o pytagorejských trojiciach
Táto problematika je v školských osnovách málo preštudovaná alebo sa vôbec nepreberá. Medzitým je to veľmi zaujímavé a má veľký význam v geometrii. Pytagorove trojice sa používajú na riešenie mnohých matematických problémov. Ich myšlienka môže byť pre vás užitočná pri ďalšom vzdelávaní.
Čo sú teda pytagorejské trojčatá? Takzvané prirodzené čísla, zhromaždené v trojiciach, pričom súčet druhých mocnín z nich sa rovná tretiemu číslu na druhú.
Pytagorejské trojky môžu byť:
- primitívne (všetky tri čísla sú relatívne prvočísla);
- neprimitívne (ak je každé číslo trojky vynásobené rovnakým číslom, dostanete novú trojicu, ktorá nie je primitívna).
Už pred naším letopočtom fascinovala starých Egypťanov mánia po číslach pytagorovských trojíc: v úlohách uvažovali o pravouhlom trojuholníku so stranami 3,4 a 5 jednotiek. Mimochodom, každý trojuholník, ktorého strany sa rovnajú číslam z pytagorejskej trojky, je štandardne pravouhlý.
Príklady pytagorovských trojíc: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) atď.
Praktická aplikácia vety
Pytagorova veta nachádza uplatnenie nielen v matematike, ale aj v architektúre a konštrukcii, astronómii a dokonca aj v literatúre.
Najprv o konštrukcii: Pytagorova veta v nej nachádza široké uplatnenie v problémoch rôznej úrovne zložitosti. Pozrite sa napríklad na románske okno:
Označme šírku okna ako b, potom polomer veľkého polkruhu možno označiť ako R a vyjadrovať sa prostredníctvom b: R = b/2. Polomer menších polkruhov možno vyjadriť aj pomocou b: r=b/4. V tomto probléme nás zaujíma polomer vnútorného kruhu okna (nazvime to p).
Na výpočet sa práve hodí Pytagorova veta R. Na to používame pravouhlý trojuholník, ktorý je na obrázku označený bodkovanou čiarou. Prepona trojuholníka pozostáva z dvoch polomerov: b/4+p. Jedna noha je polomer b/4, ďalší b/2-p. Pomocou Pytagorovej vety píšeme: (b/4+p)2 = (b/4)2 +(b/2-p) 2. Ďalej otvoríme zátvorky a dostaneme b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Transformujme tento výraz na bp/2=b2/4-bp. A potom všetky pojmy rozdelíme na b, dávame podobné dostať 3/2*p=b/4. A nakoniec to zistíme p=b/6- čo sme potrebovali.
Pomocou vety môžete vypočítať dĺžku krokiev pre sedlovú strechu. Určte, aká vysoká mobilná veža je potrebná, aby signál dosiahol určitú osadu. A dokonca stabilne inštalovať vianočný stromček na námestí. Ako vidíte, táto veta žije nielen na stránkach učebníc, ale je často užitočná aj v reálnom živote.
Pokiaľ ide o literatúru, Pytagorova veta inšpirovala spisovateľov už od staroveku a inšpiruje ju dodnes. Napríklad nemecký spisovateľ z devätnásteho storočia Adelbert von Chamisso sa ňou inšpiroval k napísaniu sonetu:
Svetlo pravdy sa tak skoro nerozplynie,
Ale keď zažiaril, je nepravdepodobné, že by sa rozplynul
A ako pred tisíckami rokov,
Nespôsobí pochybnosti a spory.
Najmúdrejší, keď sa dotkne oka
Svetlo pravdy, vďaka bohom;
A sto býkov, bodnutých, lož -
Opätovný dar šťastného Pytagora.
Odvtedy býci zúfalo bučia:
Navždy prebudil býčí kmeň
tu spomínaná udalosť.
Myslia si, že už bolo načase
A opäť budú obetovaní
Nejaká veľká teoréma.
(preklad Viktor Toporov)
A v dvadsiatom storočí sovietsky spisovateľ Jevgenij Veltistov vo svojej knihe „Dobrodružstvá elektroniky“ venoval celú kapitolu dôkazom Pytagorovej vety. A polovica kapitoly príbehu o dvojrozmernom svete, ktorý by mohol existovať, keby sa Pytagorova veta stala základným zákonom a dokonca náboženstvom pre jeden svet. Žilo by sa v ňom oveľa ľahšie, ale aj oveľa nudnejšie: nikto tam napríklad nerozumie významu slov „okrúhly“ a „nadýchaný“.
A v knihe „The Adventures of Electronics“ autor ústami učiteľa matematiky Taratary hovorí: „Hlavnou vecou v matematike je pohyb myslenia, nové nápady.“ Je to tento kreatívny myšlienkový let, ktorý generuje Pytagorovu vetu – nie nadarmo má toľko rôznych dôkazov. Pomáha ísť nad rámec zvyčajného a pozerať sa na známe veci novým spôsobom.
Záver
Tento článok vznikol preto, aby ste sa mohli pozrieť aj za hranice školských osnov matematiky a naučiť sa nielen tie dôkazy Pytagorovej vety, ktoré sú uvedené v učebniciach „Geometria 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) a „Geometria 7 -11 “ (A.V. Pogorelov), ale aj iné kuriózne spôsoby, ako dokázať slávnu vetu. A tiež si pozrite príklady, ako sa dá Pytagorova veta aplikovať v každodennom živote.
Po prvé, tieto informácie vám umožnia získať vyššie skóre na hodinách matematiky - informácie o tejto téme z dodatočných zdrojov sú vždy vysoko cenené.
Po druhé, chceli sme vám pomôcť pochopiť, aká zaujímavá je matematika. Presvedčiť sa na konkrétnych príkladoch, že kreativita sa v nej vždy nájde. Dúfame, že Pytagorova veta a tento článok vás inšpirujú k vlastnému výskumu a vzrušujúcim objavom v matematike a iných vedách.
Povedzte nám v komentároch, či vás dôkazy uvedené v článku zaujali. Pomohli vám tieto informácie pri štúdiu? Dajte nám vedieť, čo si myslíte o Pytagorovej vete a o tomto článku – toto všetko s vami radi prediskutujeme.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Rôzne spôsoby, ako dokázať Pytagorovu vetu
žiak 9. triedy „A“.
MOU stredná škola №8
vedúci:
učiteľ matematiky,
MOU stredná škola №8
čl. Nové Vianoce
Krasnodarské územie.
čl. Nové Vianoce
ANOTÁCIA.
Pytagorova veta sa právom považuje za najdôležitejšiu v priebehu geometrie a zaslúži si zvýšenú pozornosť. Je základom riešenia mnohých geometrických úloh, základom pre štúdium teoretického a praktického kurzu geometrie v budúcnosti. Veta je obklopená najbohatším historickým materiálom súvisiacim s jej vzhľadom a metódami dokazovania. Štúdium histórie vývoja geometrie vštepuje lásku k tomuto predmetu, prispieva k rozvoju kognitívneho záujmu, všeobecnej kultúry a kreativity a tiež rozvíja výskumné zručnosti.
Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorým je doplnenie a zovšeobecnenie poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Podarilo sa nájsť a skontrolovať rôznymi spôsobmi dôkazy a prehĺbenie vedomostí o danej téme presahujúce stránky školskej učebnice.
Zozbieraný materiál ešte viac presviedča, že Pytagorova veta je veľkou vetou geometrie a má veľký teoretický a praktický význam.
Úvod. Historické pozadie 5 Hlavná časť 8
3. Záver 19
4. Použitá literatúra 20
1. ÚVOD. ODKAZ NA HISTÓRIU.
Podstatou pravdy je, že je pre nás navždy,
Keď aspoň raz v jej vhľade uvidíme svetlo,
A Pytagorova veta po toľkých rokoch
Pre nás, ako aj pre neho, je to nespochybniteľné, bezúhonné.
Na oslavu dali bohom Pytagoras sľub:
Za dotyk nekonečnej múdrosti,
Zabil sto býkov, vďaka večným;
Potom obeti predniesol modlitby a chvály.
Odvtedy býci, keď zacítia, tlačia,
Čo vedie ľudí opäť k novej pravde,
Zúrivo revú, takže niet moču na počúvanie,
Taký Pytagoras v nich naveky vyvolával hrôzu.
Býci, bezmocní odolať novej pravde,
čo zostáva? - Len zavri oči, reve, tras sa.
Nie je známe, ako Pytagoras dokázal svoju vetu. Isté je, že ho objavil pod silným vplyvom egyptskej vedy. Špeciálny prípad Pytagorovej vety – vlastnosti trojuholníka so stranami 3, 4 a 5 – poznali stavitelia pyramíd už dávno pred narodením Pytagorasa, pričom on sám sa viac ako 20 rokov učil u egyptských kňazov. Existuje legenda, ktorá hovorí, že Pythagoras, keď dokázal svoju slávnu vetu, obetoval bohom býka a podľa iných zdrojov dokonca 100 býkov. To je však v rozpore s informáciami o morálnych a náboženských názoroch Pytagorasa. V literárnych prameňoch sa možno dočítať, že „zakázal dokonca zvieratá zabíjať a ešte viac ich kŕmiť, pretože zvieratá majú dušu ako my“. Pytagoras jedol iba med, chlieb, zeleninu a občas aj ryby. V súvislosti s tým všetkým možno považovať za vierohodnejší nasledujúci zápis: „... a keď aj zistil, že v pravouhlom trojuholníku prepona zodpovedá nohám, obetoval býka z pšeničného cesta.“
Obľúbenosť Pytagorovej vety je taká veľká, že jej dôkazy nájdeme aj v beletrii, napríklad v príbehu slávneho anglického spisovateľa Huxleyho „Mladý Archimedes“. Rovnaký dôkaz, ale pre konkrétny prípad rovnoramenného pravouhlého trojuholníka, je uvedený v Platónovom dialógu Meno.
Rozprávkový domček.
„Ďaleko, ďaleko, kde nelietajú ani lietadlá, je krajina geometrie. V tejto nezvyčajnej krajine bolo jedno úžasné mesto - mesto Teorem. Jedného dňa prišlo do tohto mesta krásne dievča menom Hypotenuse. Pokúšala sa získať izbu, ale kdekoľvek sa prihlásila, všade ju odmietli. Nakoniec sa priblížila k vratkému domu a zaklopala. Otvoril ju muž, ktorý si hovoril Pravý Uhol, a pozval preponu, aby s ním bývala. Prepona zostala v dome, kde býval Right Angle a jeho dvaja malí synovia menom Katet. Odvtedy sa život v Right Angle House zmenil novým spôsobom. Prepona zasadila kvety do okna a rozprestrela červené ruže v predzáhradke. Dom mal podobu pravouhlého trojuholníka. Obom nohám sa Hypotenuse veľmi páčila a požiadali ju, aby zostala navždy v ich dome. Po večeroch sa táto priateľská rodina stretáva pri rodinnom stole. Niekedy sa Right Angle hrá so svojimi deťmi na schovávačku. Najčastejšie musí hľadať a prepona sa skrýva tak šikovne, že môže byť veľmi ťažké ju nájsť. Raz počas hry si Right Angle všimol zaujímavú vlastnosť: ak sa mu podarí nájsť nohy, potom nie je ťažké nájsť preponu. Pravý Uhol teda používa tento vzor, musím povedať, že veľmi úspešne. Pytagorova veta je založená na vlastnosti tohto pravouhlého trojuholníka.
(Z knihy A. Okuneva „Ďakujem za lekciu, deti“).
Hravá formulácia vety:
Ak dostaneme trojuholník
A navyše s pravým uhlom,
To je druhá mocnina prepony
Vždy ľahko nájdeme:
Staviame nohy do štvorca,
Nájdeme súčet stupňov -
A ešte takýmto jednoduchým spôsobom
K výsledku prídeme.
Pri štúdiu algebry a začiatkov rozboru a geometrie v 10. ročníku som sa presvedčil, že okrem metódy dokazovania Pytagorovej vety uvažovanej v 8. ročníku existujú aj iné spôsoby jej dokazovania. Predkladám vám ich na zváženie.
2. HLAVNÁ ČASŤ.
Veta. Štvorec v pravouhlom trojuholníku
Prepona sa rovná súčtu štvorcov nôh.
1 SPÔSOB.
Pomocou vlastností plôch mnohouholníkov vytvoríme pozoruhodný vzťah medzi preponou a ramenami pravouhlého trojuholníka.
Dôkaz.
a, v a preponu s(obr. 1, a).
Dokážme to c²=a²+b².
Dôkaz.
Trojuholník dotvoríme na štvorec so stranou a + b ako je znázornené na obr. 1b. Plocha S tohto štvorca je (a + b)². Na druhej strane je tento štvorec tvorený štyrmi rovnakými pravouhlými trojuholníkmi, z ktorých každý má plochu ½ priem a štvorec so stranou s, tak S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².
teda
(a + b)² = 2 av + s²,
c²=a²+b².
Veta bola dokázaná.
2 WAY.
Po preštudovaní témy „Podobné trojuholníky“ som zistil, že podobnosť trojuholníkov môžete aplikovať na dôkaz Pytagorovej vety. Konkrétne som použil tvrdenie, že rameno pravouhlého trojuholníka je stredná hodnota úmerná pre preponu a segment prepony uzavretý medzi ramenom a výškou nakreslenou od vrcholu pravého uhla.
Uvažujme pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, CD je výška (obr. 2). Dokážme to AC² + JZ² = AB²
.
Dôkaz.
Na základe tvrdenia o ramene pravouhlého trojuholníka:
AC = , CB = .
Odmocníme a pridáme výsledné rovnosti:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), kde AD + DB = AB, potom
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Dôkaz je hotový.
3 WAY.
Definíciu kosínusu ostrého uhla pravouhlého trojuholníka možno aplikovať na dôkaz Pytagorovej vety. Zvážte Obr. 3.
dôkaz:
Nech ABC je daný pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C. Z vrcholu pravého uhla C nakreslite výšku CD.
Podľa definície kosínusu uhla:
cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Preto AB * AD = AC²
podobne,
cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.
Preto AB * BD \u003d BC².
Pridaním výsledných rovností člen po člene a všimneme si, že AD + DВ = AB, dostaneme:
AC² + slnko² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²
Dôkaz je hotový.
4 WAY.
Po preštudovaní témy „Pomery medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka“ si myslím, že Pytagorova veta sa dá dokázať aj iným spôsobom.
Zvážte pravouhlý trojuholník s nohami a, v a preponu s. (obr. 4).
Dokážme to c²=a²+b².
Dôkaz.
hriech B= a/c ; cos B= a/s , potom kvadratúrou výsledných rovnosti dostaneme:
hriech² B= v²/s²; cos² AT\u003d a² / s².
Ich sčítaním dostaneme:
hriech² AT+ cos² B= v² / s² + a² / s², kde sin² AT+ cos² B=1,
1 \u003d (v² + a²) / s², teda
c² = a² + b².
Dôkaz je hotový.
5 WAY.
Tento dôkaz je založený na rozrezaní štvorcov postavených na nohách (obr. 5) a naskladaní výsledných častí na štvorec postavený na prepone.
6 WAY.
Pre dôkaz na katéte slnko budova BCD ABC(obr. 6). Vieme, že plochy podobných útvarov súvisia ako štvorce ich podobných lineárnych rozmerov:
Odčítaním druhej od prvej rovnosti dostaneme
c2 = a2 + b2.
Dôkaz je hotový.
7 WAY.
Dané(obr. 7):
ABS,= 90° , Slnko= a, AC=b, AB = c.
dokázať:c2 = a2 +b2.
Dôkaz.
Nechajte nohu b a. Pokračujme v segmente SW za bod AT a postavte trojuholník bmd tak, že body M a ALE ležal na jednej strane priamky CD a okrem toho, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, teda bmd= ABC na dvoch stranách a uhol medzi nimi. Body A a M spojiť po segmentoch AM. Máme MUDr CD a AC CD, znamená rovný AC rovnobežne s priamkou MUDr. Ako MUDr< АС, potom rovno CD a AM nie sú paralelné. preto AMDC- pravouhlý lichobežník.
V pravouhlých trojuholníkoch ABC a bmd 1 + 2 = 90° a 3 + 4 = 90°, ale keďže = =, potom 3 + 2 = 90°; potom AVM= 180° - 90° = 90°. Ukázalo sa, že lichobežník AMDC rozdelené na tri neprekrývajúce sa pravouhlé trojuholníky, potom podľa plošných axióm
(a+b)(a+b)
Vydelením všetkých členov nerovnosti dostaneme
ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,
c2 = a2 + b2.
Dôkaz je hotový.
8 SPÔSOB.
Táto metóda je založená na prepone a nohách pravouhlého trojuholníka ABC. Zostaví zodpovedajúce štvorce a dokáže, že štvorec postavený na prepone sa rovná súčtu štvorcov postavených na nohách (obr. 8).
Dôkaz.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ abc, znamená, FBC= DBA.
teda FBC=ABD(na dvoch stranách a uhol medzi nimi).
2) 
,
kde AL DE, keďže BD je spoločný základ, DL- Celková výška.
3) 
, keďže FB je základ, AB- celková výška.
4) 
5) Podobne to možno dokázať 
6) Pridaním termínu po termíne dostaneme:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Dôkaz je hotový.
9 SPÔSOB.
Dôkaz.
1) Nechajte ABDE- štvorec (obr. 9), ktorého strana sa rovná prepone pravouhlého trojuholníka ABC (AB= c, BC = a, AC =b).
2) Nechajte DK pred Kr a DK = slnko, keďže 1 + 2 = 90° (ako ostré uhly pravouhlého trojuholníka), 3 + 2 = 90° (ako uhol štvorca), AB= BD(strany námestia).
znamená, ABC= BDK(podľa prepony a ostrého uhla).
3) Nechajte EL DC, AM EL. Dá sa ľahko dokázať, že ABC = BDK = DEL = EAM (s nohami a a b). Potom KS= CM= ML= LK= a -b.
4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),s2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Dôkaz je hotový.
10 WAY.
Dôkaz možno vykonať na postave, žartovne nazývanej „pytagorejské nohavice“ (obr. 10). Jeho myšlienkou je premeniť štvorce postavené na nohách na rovnaké trojuholníky, ktoré spolu tvoria štvorec prepony.
ABC posun, ako ukazuje šípka, a zaujme pozíciu KDN. Zvyšok postavy AKDCB rovná ploche štvorca AKDC- je to rovnobežník AKNB.
Vytvoril model rovnobežníka AKNB. Rovnobežník posúvame tak, ako je načrtnuté v obsahu práce. Aby sme ukázali transformáciu rovnobežníka na rovnaký trojuholník, pred študentmi odrežeme trojuholník na modeli a posunieme ho nadol. Takže plocha námestia AKDC sa rovná ploche obdĺžnika. Podobne prevedieme plochu štvorca na plochu obdĺžnika.
Urobme premenu na štvorec postavený na nohe a(Obr. 11, a):
a) štvorec sa zmení na rovnobežník rovnakej veľkosti (obr. 11.6):
b) rovnobežník sa otočí o štvrť otáčky (obr. 12):
c) rovnobežník sa zmení na rovnako veľký obdĺžnik (obr. 13): 11 SPÔSOB.
dôkaz:
PCL- rovné (obr. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + b2.
Koniec dôkazu .
12 WAY.
Ryža. 15 ilustruje ďalší originálny dôkaz Pytagorovej vety.
Tu: trojuholník ABC s pravým uhlom C; úsečka bf kolmý SW a jemu rovný segment BE kolmý AB a jemu rovný segment AD kolmý AC a rovný jemu; bodov F, C,D patrí do jednej priamky; štvoruholníky ADFB a ACBE sú si rovní, pretože ABF = ECB; trojuholníky ADF a ACE sú si rovní; od oboch rovnakých štvoruholníkov odčítame pre ne spoločný trojuholník abc, dostaneme
, c2 = a2 +
b2.
Dôkaz je hotový.
13 SPÔSOB.
Plocha tohto pravouhlého trojuholníka sa na jednej strane rovná ,
s inou, ,
3. ZÁVER
Výsledkom rešeršnej činnosti bol splnený cieľ práce, ktorým je doplnenie a zovšeobecnenie poznatkov o dôkaze Pytagorovej vety. Bolo možné nájsť a zvážiť rôzne spôsoby dokazovania a prehĺbenie vedomostí o danej téme presahovaním stránok školskej učebnice.
Materiál, ktorý som zhromaždil, je ešte presvedčivejší, že Pytagorova veta je veľkou vetou geometrie a má veľký teoretický a praktický význam. Na záver by som chcel povedať: dôvodom popularity Pytagorovej vety o trojici je krása, jednoduchosť a význam!
4. POUŽITÁ LITERATÚRA.
1. Zábavná algebra. . Moskva "Nauka", 1978.
2. Týždenná výchovno-metodická príloha novín „Prvý september“, 24/2001.
3. Geometria 7-9. atď.
4. Geometria 7-9. atď.
Pytagorova veta je základná veta euklidovskej geometrie, ktorá predpokladá pomer nôh a prepony pravouhlého trojuholníka. Toto je možno najobľúbenejšia veta na svete, ktorú pozná každý zo školy.
História vety
V skutočnosti bola teória pomeru strán pravouhlého trojuholníka známa dávno pred Pytagorasom z ostrova Samos. Problémy s pomerom strán sa teda nachádzajú v starovekých textoch z obdobia vlády babylonského kráľa Hammurabiho, teda 1500 rokov pred narodením samského matematika. Poznámky na stranách trojuholníka sú zaznamenané nielen v Babylone, ale aj v starovekom Egypte a Číne. Jeden z najznámejších celočíselných pomerov nôh a prepony vyzerá ako 3, 4 a 5. Tieto čísla používali starovekí geodeti a architekti na vytváranie pravých uhlov.
Takže Pytagoras nevynašiel vetu o pomere nôh a prepony. Dokázal to ako prvý v histórii. O tom však existujú pochybnosti, keďže dôkaz o Samianskom matematikovi, ak bol zaznamenaný, sa stratil už po stáročia. Existuje názor, že dôkaz vety uvedenej v Euklidových prvkoch patrí práve Pytagorasovi. Historici matematiky však o tom vážne pochybujú.
Pytagoras bol prvý, ale po ňom bola veta o stranách pravouhlého trojuholníka dokázaná asi 400-krát rôznymi metódami: od klasickej geometrie po diferenciálny počet. Pytagorova veta vždy zamestnávala zvedavé mysle, takže medzi autormi dôkazov možno spomenúť amerického prezidenta Jamesa Garfielda.
Dôkaz
V matematickej literatúre bolo zaznamenaných najmenej štyristo dôkazov Pytagorovej vety. Takéto ohromujúce číslo sa vysvetľuje základným významom vety pre vedu a elementárnou povahou výsledku. V zásade sa Pytagorova veta dokazuje geometrickými metódami, z ktorých najpopulárnejšie sú metóda plôch a metóda podobnosti.
Najjednoduchšou metódou dokazovania vety, ktorá si nevyžaduje povinné geometrické konštrukcie, je plošná metóda. Pytagoras uviedol, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh:
Skúsme toto odvážne tvrdenie dokázať. Vieme, že plocha akejkoľvek postavy je určená umocnením úsečky. Úsečka môže byť čokoľvek, ale najčastejšie je to strana tvaru alebo jeho polomer. V závislosti od výberu segmentu a typu geometrického útvaru bude mať štvorec rôzne koeficienty:
- jednotka v prípade štvorca - S \u003d a 2;
- približne 0,43 v prípade rovnostranného trojuholníka - S = (sqrt(3)/4)a 2 ;
- Pi v prípade kruhu - S \u003d pi × R 2.
Plochu ľubovoľného trojuholníka teda môžeme vyjadriť ako S = F × a 2 , kde F je nejaký koeficient.
Pravouhlý trojuholník je úžasná postava, ktorú možno jednoducho rozdeliť na dva podobné pravouhlé trojuholníky jednoduchým vypustením kolmice z ľubovoľného vrcholu. Toto rozdelenie zmení pravouhlý trojuholník na súčet dvoch menších pravouhlých trojuholníkov. Keďže trojuholníky sú podobné, ich plochy sa vypočítajú pomocou rovnakého vzorca, ktorý vyzerá takto:
S = F × prepona 2
Výsledkom rozdelenia veľkého trojuholníka so stranami a, b a c (prepona) boli tri trojuholníky a pre menšie postavy sa strany pôvodného trojuholníka a a b ukázali ako prepony. Plochy podobných trojuholníkov sa teda vypočítajú takto:
- S1 = F × c 2 je pôvodný trojuholník;
- S2 = F × a 2 je prvý podobný trojuholník;
- S3 = F × b 2 je druhý podobný trojuholník.
Je zrejmé, že plocha veľkého trojuholníka sa rovná súčtu oblastí podobných:
F × c 2 = F × a2 + F × b 2
Faktor F sa dá ľahko znížiť. V dôsledku toho dostaneme:
c 2 \u003d a 2 + b 2,
Q.E.D.
Pytagorove trojičky
Obľúbený pomer nôh a prepony ako 3, 4 a 5 už bol spomenutý vyššie. Pytagorejské trojky sú množinou troch relatívne prvočísel, ktoré spĺňajú podmienku a 2 + b 2 \u003d c 2. Takýchto kombinácií je nekonečne veľa a prvé z nich sa používali už v staroveku na zostrojenie pravých uhlov. Uviazaním určitého počtu uzlov na šnúrku v pravidelných intervaloch a jej zložením do tvaru trojuholníka dostali starovekí vedci pravý uhol. Na to bolo potrebné na každej strane trojuholníka viazať uzly v množstve zodpovedajúcom pytagorovým trojiciam:
- 3, 4 a 5;
- 5, 12 a 13;
- 7, 24 a 25;
- 8, 15 a 17.
Okrem toho môže byť ľubovoľná Pytagorova trojica zväčšená o celé číslo a získať proporcionálny vzťah zodpovedajúci podmienke Pytagorovej vety. Napríklad z trojky 5, 12, 13 získate hodnoty strán 10, 24, 26 jednoduchým vynásobením 2. Dnes sa pytagorejské trojky používajú na rýchle riešenie geometrických úloh.
Aplikácia Pytagorovej vety
Veta o Samianovom matematikovi sa používa nielen v školskej geometrii. Pytagorova veta nachádza uplatnenie v architektúre, astronómii, fyzike, literatúre, informačných technológiách a dokonca aj pri hodnotení efektivity sociálnych sietí. Veta platí aj v reálnom živote.
výber pizze
V pizzeriách sa zákazníci často stretávajú s otázkou: mám si zobrať jednu veľkú pizzu alebo dve menšie? Povedzme, že si môžete kúpiť jednu pizzu s priemerom 50 cm alebo dve menšie pizze s priemerom 30 cm, dve menšie pizze sú na prvý pohľad väčšie a výnosnejšie, ale nebolo to tak. Ako rýchlo porovnať oblasť pizze, ktorú máte radi?
Pamätáme si vetu o Samianskom matematikovi a Pytagorovej trojici. Plocha kruhu je štvorec priemeru s faktorom F = pi/4. A prvá pytagorovská trojica je 3, 4 a 5, ktorú ľahko premeníme na trojicu 30, 40, 50. Preto 50 2 = 30 2 + 40 2. Je zrejmé, že plocha pizze s priemerom 50 cm bude väčšia ako súčet pizze s priemerom 30 cm. Zdalo by sa, že teorém je použiteľný iba v geometrii a len pre trojuholníky, ale tento príklad ukazuje, že vzťah c 2 = a 2 + b 2 možno použiť aj na porovnanie iných obrazcov a ich charakteristík.
Naša online kalkulačka vám umožňuje vypočítať akúkoľvek hodnotu, ktorá spĺňa základnú rovnicu súčtu štvorcov. Na výpočet stačí zadať 2 ľubovoľné hodnoty, po ktorých program vypočíta chýbajúci koeficient. Kalkulačka pracuje nielen s celými číslami, ale aj so zlomkovými hodnotami, preto je dovolené používať na výpočty akékoľvek čísla, nielen pytagorejské trojky.
Záver
Pytagorova veta je základná vec, ktorá sa široko používa v mnohých vedeckých aplikáciách. Použite našu online kalkulačku na výpočet veľkosti hodnôt, ktoré sú spojené výrazom c 2 = a 2 + b 2 .
Pytagorova veta je najdôležitejším výrokom geometrie. Veta je formulovaná takto: plocha štvorca postaveného na prepone pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu plôch štvorcov postavených na jeho nohách.
Objav tohto tvrdenia sa zvyčajne pripisuje starovekému gréckemu filozofovi a matematikovi Pythagorasovi (VI. storočie pred Kristom). Štúdium babylonských klinových tabuliek a starých čínskych rukopisov (kópie ešte starších rukopisov) však ukázalo, že tento výrok bol známy dávno pred Pytagorasom, možno tisícročie pred ním. Pythagorovou zásluhou bolo, že objavil dôkaz tejto vety.
Pravdepodobne skutočnosť uvedená v Pytagorovej vete bola prvýkrát stanovená pre rovnoramenné pravouhlé trojuholníky. Stačí sa pozrieť na mozaiku čiernych a svetlých trojuholníkov znázornenú na obr. 1 na overenie platnosti vety o trojuholníku: štvorec postavený na prepone obsahuje 4 trojuholníky a štvorec obsahujúci 2 trojuholníky je postavený na každej vetve. Na preukázanie všeobecného prípadu v starovekej Indii mali dve metódy: štyri pravouhlé trojuholníky s dlhými nohami a boli znázornené v štvorci so stranou (obr. 2, a a 2, b), po ktorom napísali jedno slovo "Pozri!". Pri pohľade na tieto obrázky skutočne vidíme, že vľavo je obrázok bez trojuholníkov, ktorý pozostáva z dvoch štvorcov so stranami, respektíve ich plocha sa rovná, a vpravo - štvorec so stranou - jeho plocha je rovný. Preto, , čo je výrok Pytagorovej vety.
Po dve tisícročia sa však nepoužíval tento vizuálny dôkaz, ale zložitejší dôkaz vynájdený Euklidom, ktorý je umiestnený v jeho slávnej knihe „Počiatky“ (pozri Euklides a jeho „Začiatky“), Euklides znížil výšku z vrchol pravého uhla k prepone a dokázal, že jeho pokračovanie rozdeľuje štvorec postavený na prepone na dva obdĺžniky, ktorých plochy sa rovnajú plochám zodpovedajúcich štvorcov postavených na nohách (obr. 3). Nákres použitý v dôkaze tejto vety sa žartom nazýva „Pytagorove nohavice“. Dlho bol považovaný za jeden zo symbolov matematickej vedy.
Dnes je známych niekoľko desiatok rôznych dôkazov Pytagorovej vety. Niektoré z nich sú založené na delení štvorcov, v ktorom štvorec postavený na prepone pozostáva z častí zahrnutých do priečok štvorcov postavených na nohách; ostatné - na doplnenie rovnakých čísel; tretí - na skutočnosti, že výška znížená od vrcholu pravého uhla k prepone rozdeľuje pravý trojuholník na dva podobné trojuholníky.
Pytagorova veta je základom väčšiny geometrických výpočtov. Dokonca aj v starovekom Babylone sa používal na výpočet dĺžky výšky rovnoramenného trojuholníka dĺžkami základne a strany, šípka segmentu priemerom kruhu a dĺžkou tetivy a stanovenie vzťahu medzi prvkami niektorých pravidelných mnohouholníkov. Pomocou Pytagorovej vety je dokázané jej zovšeobecnenie, ktoré umožňuje vypočítať dĺžku strany ležiacej oproti ostrému alebo tupému uhlu:
Z tohto zovšeobecnenia vyplýva, že prítomnosť pravého uhla v je nielen postačujúca, ale aj nevyhnutná podmienka pre splnenie rovnosti . Vzorec (1) implikuje vzťah 
medzi dĺžkami uhlopriečok a strán rovnobežníka, pomocou ktorého sa dá ľahko zistiť dĺžka mediánu trojuholníka z dĺžok jeho strán.
Na základe Pytagorovej vety je odvodený aj vzorec, ktorý vyjadruje obsah ľubovoľného trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho strán (pozri Heronov vzorec). Samozrejme, Pytagorova veta sa používala aj pri riešení rôznych praktických problémov.
Namiesto štvorcov na stranách pravouhlého trojuholníka môžete postaviť ľubovoľné navzájom podobné tvary (rovnostranné trojuholníky, polkruhy atď.). V tomto prípade sa plocha figúry postavenej na prepone rovná súčtu plôch figúrok postavených na nohách. Ďalšie zovšeobecnenie súvisí s prechodom z roviny do priestoru. Je formulovaný takto: druhá mocnina dĺžky uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho rozmerov (dĺžka, šírka a výška). Podobná veta platí aj vo viacrozmerných a dokonca nekonečne-dimenzionálnych prípadoch.
Pytagorova veta existuje iba v euklidovskej geometrii. Neprebieha ani v Lobačevského geometrii, ani v iných neeuklidovských geometriách. Ani na gule neexistuje obdoba Pytagorovej vety. Dva poludníky zvierajúce uhol 90° a rovník ohraničujú guľu rovnostranný sférický trojuholník, pričom všetky tri sú pravé uhly. Pre neho nie ako v lietadle.
Pomocou Pytagorovej vety sa vzdialenosť medzi bodmi a súradnicovou rovinou vypočíta podľa vzorca
.
Po objavení Pytagorovej vety vyvstala otázka, ako nájsť všetky trojice prirodzených čísel, ktoré môžu byť stranami pravouhlého trojuholníka (pozri veľkú Fermatovu vetu). Objavili ich Pytagorejci, ale niektoré všeobecné metódy na nájdenie takýchto trojíc čísel poznali dokonca aj Babylončania. Jedna z klinových tabliet obsahuje 15 trojíc. Sú medzi nimi trojky, pozostávajúce z tak veľkého počtu, že o ich nájdení výberom nemôže byť ani reči.
HIPPOKRATESKÉ PEKLÁ
Hippokratove diery sú obrazce ohraničené oblúkmi dvoch kružníc a navyše také, že pomocou polomerov a dĺžky spoločnej tetivy týchto kružníc, pomocou kružidla a pravítka, môžete postaviť štvorce rovnakej veľkosti.
Zo zovšeobecnenia Pytagorovej vety na polkruhy vyplýva, že súčet plôch ružových dier zobrazených na obrázku vľavo sa rovná ploche modrého trojuholníka. Preto, ak vezmeme rovnoramenný pravouhlý trojuholník, dostaneme dve diery, z ktorých plocha každej sa bude rovnať polovici plochy trojuholníka. Staroveký grécky matematik Hippokrates (5. storočie pred n. l.) pri pokuse vyriešiť problém kvadratúry kruhu (pozri Klasické problémy staroveku) našiel niekoľko ďalších dier, ktorých plochy sú vyjadrené plochami priamočiarych útvarov.
Úplný zoznam hippomarginálnych dier bol získaný až v 19.-20. pomocou metód Galoisovej teórie.
