V tomto článku budeme komplexne analyzovať jeden z hlavných geometrických tvarov - uhol. Začnime pomocnými pojmami a definíciami, ktoré nás privedú k definícii uhla. Potom uvádzame akceptované metódy určovania uhlov. Ďalej sa budeme podrobne zaoberať procesom merania uhlov. Na záver si ukážeme, ako môžete na výkrese označiť rohy. Celú teóriu sme opatrili potrebnými nákresmi a grafickými ilustráciami pre lepšie zapamätanie látky.

Navigácia na stránke.

Definícia uhla.

Uhol je jedným z najdôležitejších údajov v geometrii. Definícia uhla je daná definíciou lúča. Na druhej strane, myšlienku lúča nemožno získať bez znalosti takých geometrických útvarov, ako je bod, priamka a rovina. Preto pred zoznámením sa s definíciou uhla odporúčame osviežiť si teóriu zo sekcií a.

Začneme teda pojmami bod, priamka na rovine a rovina.

Najprv uveďme definíciu lúča.

Daj nám nejakú priamku na rovine. Označme ho písmenom a. Nech O je nejaký bod na priamke a . Bod O rozdeľuje priamku a na dve časti. Každá z týchto častí spolu s bodom O sa nazýva lúč, a bod O sa nazýva začiatok lúča. Môžete tiež počuť, že lúč je tzv polopriamy.

Pre stručnosť a pohodlie bolo zavedené nasledovné označenie lúčov: lúč sa označuje buď malým latinským písmenom (napríklad lúč p alebo lúč k), alebo dvoma veľkými latinskými písmenami, z ktorých prvé zodpovedá začiatku lúč a druhý označuje nejaký bod tohto lúča (napríklad lúč OA alebo lúč CD). Ukážme obrázok a označenie lúčov na výkrese.

Teraz môžeme dať prvú definíciu uhla.

Definícia.

Injekcia- ide o plochý geometrický útvar (to znamená, že celý leží v určitej rovine), ktorý je tvorený dvoma nezhodnými lúčmi so spoločným pôvodom. Každý z lúčov je tzv rohová strana, sa nazýva spoločný začiatok strán uhla horný roh.

Je možné, že strany uhla tvoria priamku. Tento uhol má svoj vlastný názov.

Definícia.

Ak obe strany uhla ležia na tej istej priamke, potom sa uhol nazýva nasadené.

Upozorňujeme na grafické znázornenie rozvinutého uhla.

Symbol uhla sa používa na označenie uhla. Ak sú strany uhla označené malými latinskými písmenami (napríklad jedna strana uhla je k a druhá je h), na označenie tohto uhla sa za ikonou uhla napíšu písmená zodpovedajúce stranám riadok a na poradí záznamu nezáleží (čiže alebo). Ak sú strany uhla označené dvoma veľkými latinskými písmenami (napríklad jedna strana uhla OA a druhá strana uhla OB), potom sa uhol označí takto: za znakom uhla sú tri písmená napísané, ktoré sa podieľajú na označení strán uhla, a písmeno zodpovedajúce vrcholu uhla, ktoré sa nachádza v strede (v našom prípade bude uhol označený ako alebo ). Ak vrchol uhla nie je vrcholom iného uhla, potom môže byť takýto uhol označený písmenom zodpovedajúcim vrcholu uhla (napríklad ). Niekedy môžete vidieť, že rohy na výkresoch sú označené číslami (1, 2 atď.), Tieto rohy sú označené ako a tak ďalej. Pre prehľadnosť uvádzame obrázok, na ktorom sú znázornené a naznačené rohy.

Akýkoľvek uhol rozdeľuje rovinu na dve časti. Navyše, ak uhol nie je rozvinutý, potom sa nazýva jedna časť roviny oblasť vnútorného rohu a druhý vonkajší rohový priestor. Nasledujúci obrázok vysvetľuje, ktorá časť roviny zodpovedá vnútornej strane rohu a ktorá časť vonkajšej strane.

Ktorúkoľvek z dvoch častí, na ktoré sploštený uhol rozdeľuje rovinu, možno považovať za vnútornú oblasť splošteného uhla.

Definícia vnútra uhla nás vedie k druhej definícii uhla.

Definícia.

Injekcia- ide o geometrický útvar, ktorý sa skladá z dvoch nezhodných lúčov so spoločným pôvodom a zodpovedajúcou vnútornou oblasťou uhla.

Treba poznamenať, že druhá definícia uhla je prísnejšia ako prvá, pretože obsahuje viac podmienok. Nemali by sme však zavrhovať prvú definíciu uhla, ani by sme nemali posudzovať prvú a druhú definíciu uhla oddelene. Vysvetlime si tento bod. Ak ide o uhol ako geometrický útvar, potom sa pod uhlom rozumie útvar zložený z dvoch lúčov so spoločným pôvodom. Ak je potrebné vykonať akékoľvek akcie s týmto uhlom (napríklad meranie uhla), potom by sa uhol už mal chápať ako dva lúče so spoločným pôvodom a vnútornou oblasťou (inak by vznikla dvojnásobná situácia v dôsledku prítomnosť vnútornej aj vonkajšej oblasti uhla).

Uveďme viac definícií susedných a vertikálnych uhlov.

Definícia.

Priľahlé rohy- sú to dva uhly, v ktorých je jedna strana spoločná a ostatné dva tvoria rovný uhol.

Z definície vyplýva, že susedné uhly sa navzájom dopĺňajú až do priameho uhla.

Definícia.

Vertikálne uhly sú dva uhly, v ktorých strany jedného uhla sú predĺžením strán druhého uhla.

Obrázok ukazuje vertikálne uhly.

Je zrejmé, že dve pretínajúce sa čiary tvoria štyri páry susedných uhlov a dva páry vertikálnych uhlov.

Porovnanie uhla.

V tomto odseku článku sa budeme zaoberať definíciami rovnakých a nerovnakých uhlov a tiež si pri nerovnakých uhloch vysvetlíme, ktorý uhol sa považuje za veľký a ktorý za menší.

Pripomeňme, že dva geometrické útvary sa nazývajú rovnaké, ak ich možno prekrývať.

Daj nám dva uhly. Uveďme úvahy, ktoré nám pomôžu získať odpoveď na otázku: „Sú tieto dva uhly rovnaké alebo nie“?

Je zrejmé, že vždy môžeme porovnať vrcholy dvoch rohov, ako aj jednu stranu prvého rohu s ktoroukoľvek zo strán druhého rohu. Spojme stranu prvého rohu s tou stranou druhého rohu tak, aby zostávajúce strany rohov boli na tej istej strane priamky, na ktorej ležia spojené strany rohov. Potom, ak sú ostatné dve strany rohov zarovnané, potom sa rohy nazývajú rovný.

Ak sa ostatné dve strany uhlov nezhodujú, potom sa uhly nazývajú nerovný a menšie uhol sa považuje za časť iného ( veľký je uhol, ktorý úplne obsahuje iný uhol).

Je zrejmé, že dva priame uhly sú rovnaké. Je tiež zrejmé, že rozvinutý uhol je väčší ako akýkoľvek nerozvinutý uhol.

Meranie uhla.

Meranie uhla je založené na porovnaní nameraného uhla s uhlom braným ako merná jednotka. Proces merania uhlov vyzerá takto: počnúc od jednej zo strán meraného uhla je jeho vnútorná oblasť postupne vyplnená jednotlivými uhlami, ktoré sú tesne uložené jeden na druhom. Zároveň sa zapamätá počet naskladaných rohov, ktorý udáva mieru meraného uhla.

V skutočnosti sa môže ako merná jednotka pre uhly považovať akýkoľvek uhol. Existuje však veľa všeobecne akceptovaných jednotiek na meranie uhlov súvisiacich s rôznymi oblasťami vedy a techniky, dostali špeciálne mená.

Jednou z jednotiek na meranie uhlov je stupňa.

Definícia.

jeden stupeň je uhol rovný stoosemdesiatine narovnaného uhla.

Stupeň je označený symbolom "", preto sa jeden stupeň označuje ako.

V rozvinutom uhle teda dokážeme zmestiť 180 uhlov do jedného stupňa. Bude to vyzerať ako polovica okrúhleho koláča nakrájaného na 180 rovnakých kúskov. Veľmi dôležité: „kúsky koláča“ do seba pevne zapadajú (to znamená, že strany rohov sú zarovnané), pričom strana prvého rohu je zarovnaná s jednou stranou splošteného rohu a strana posledného rohu jednotky sa zhodoval s druhou stranou splošteného rohu.

Pri meraní uhlov sa zisťuje, koľkokrát sa stupeň (alebo iná jednotka merania uhlov) zmestí do meraného uhla, kým nie je úplne pokrytá vnútorná oblasť meraného uhla. Ako sme už videli, v rozvinutom uhle sa stupeň hodí presne 180-krát. Nižšie sú uvedené príklady uhlov, v ktorých uhol jedného stupňa zapadá presne 30-krát (takýto uhol je šestina priameho uhla) a presne 90-krát (polovica priameho uhla).

Na meranie uhlov menších ako jeden stupeň (alebo inej jednotky merania uhlov) a v prípadoch, keď sa uhol nedá zmerať celým počtom stupňov (merané jednotky), musíte použiť časti stupňa (časti jednotky merania). Niektoré časti stupňa dostali špeciálne mená. Najbežnejšie sú takzvané minúty a sekundy.

Definícia.

Minúta je jedna šesťdesiatina stupňa.

Definícia.

Po druhé je jedna šesťdesiatina minúty.

Inými slovami, minúta má šesťdesiat sekúnd a stupeň šesťdesiat minút (3600 sekúnd). Symbol "" sa používa na označenie minút a symbol "" sa používa na označenie sekúnd (nezamieňajte si so znamienkami derivácie a druhej derivácie). Potom so zavedenými definíciami a zápisom máme , a uhol, do ktorého sa zmestí 17 stupňov, 3 minúty a 59 sekúnd, môžeme označiť ako .

Definícia.

Miera stupňa uhla volá sa kladné číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát sa stupeň a jeho časti zmestia do daného uhla.

Napríklad miera stupňov narovnaného uhla je stoosemdesiat a miera stupňov uhla je .

Na meranie uhlov existujú špeciálne meracie prístroje, z ktorých najznámejší je uhlomer.

Ak je známe označenie uhla (napríklad) aj jeho miera stupňa (nech 110), použite krátky zápis tvaru a povedzte: "Uhol AOB je sto desať stupňov."

Z definícií uhla a stupňovej miery uhla vyplýva, že v geometrii sa miera uhla v stupňoch vyjadruje reálnym číslom z intervalu (0, 180] (v trigonometrii uhly s ľubovoľnou mierou stupňov sa zvažujú, nazývajú sa).Uhol deväťdesiatich stupňov má zvláštny názov, nazýva sa pravý uhol. Uhol menší ako 90 stupňov sa nazýva ostrý uhol. Uhol väčší ako deväťdesiat stupňov sa nazýva Tupý uhol. Takže miera ostrého uhla v stupňoch je vyjadrená číslom z intervalu (0, 90), miera tupého uhla - číslom z intervalu (90, 180), pravý uhol sa rovná deväťdesiatim stupňa. Tu sú ilustrácie ostrého uhla, tupého uhla a pravého uhla.

Z princípu merania uhlov vyplýva, že miera stupňov rovnakých uhlov je rovnaká, miera stupňov väčšieho uhla je väčšia ako miera stupňov menšieho a miera stupňov uhla, ktorý pozostáva z viacerých uhlov. sa rovná súčtu mier stupňov komponentov uhlov. Na obrázku nižšie je znázornený uhol AOB, ktorý sa skladá z uhlov AOC, COD a DOB, pričom .

teda súčet susedných uhlov je stoosemdesiat stupňov, pretože zvierajú priamy uhol.

Z tohto tvrdenia vyplýva, že . V skutočnosti, ak sú uhly AOB a COD vertikálne, potom uhly AOB a BOC susedia a uhly COD a BOC sú tiež susediace, preto sú platné rovnosti a, z čoho vyplýva rovnosť.

Spolu so stupňom sa nazýva vhodná jednotka na meranie uhlov radián. Radiánová miera je široko používaná v trigonometrii. Definujme radián.

Definícia.

Jeden radiánový uhol- Toto centrálny roh, ktorá zodpovedá dĺžke oblúka, ktorá sa rovná dĺžke polomeru zodpovedajúcej kružnice.

Uveďme grafické znázornenie uhla jedného radiánu. Na výkrese sa dĺžka polomeru OA (rovnako ako polomer OB ) rovná dĺžke oblúka AB, preto sa podľa definície uhol AOB rovná jednému radiánu.

Skratka "rad" sa používa na označenie radiánov. Napríklad písanie 5 rad znamená 5 radiánov. V písomnej forme sa však označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad, keď je napísané, že uhol sa rovná pi, znamená to pi rad.

Samostatne treba poznamenať, že hodnota uhla, vyjadrená v radiánoch, nezávisí od dĺžky polomeru kružnice. Je to spôsobené tým, že obrazce ohraničené daným uhlom a kruhový oblúk so stredom vo vrchole daného uhla sú si navzájom podobné.

Meranie uhlov v radiánoch je možné vykonať rovnakým spôsobom ako meranie uhlov v stupňoch: zistite, koľkokrát sa uhol jedného radiánu (a jeho častí) zmestí do daného uhla. A môžete vypočítať dĺžku oblúka zodpovedajúceho stredového uhla a potom ho vydeliť dĺžkou polomeru.

Pre potreby praxe je užitočné vedieť, ako miera a miera radiánov navzájom súvisia, keďže veľká časť sa musí vykonať. V tomto článku je stanovený vzťah medzi mierou stupňa a radiánom uhla a sú uvedené príklady prevodu stupňov na radiány a naopak.

Označenie rohov na výkrese.

Na výkresoch môžu byť rohy pre pohodlie a prehľadnosť označené oblúkmi, ktoré sú zvyčajne nakreslené vo vnútornej oblasti rohu od jednej strany rohu k druhej. Rovnaké uhly sú označené rovnakým počtom oblúkov, nerovnaké uhly iným počtom oblúkov. Pravé uhly na výkrese sú označené symbolom tvaru "", ktorý je znázornený vo vnútornej oblasti pravého uhla od jednej strany rohu k druhej.

Ak musíte na výkrese označiť veľa rôznych uhlov (zvyčajne viac ako tri), potom pri označovaní uhlov je okrem bežných oblúkov prípustné použiť oblúky nejakého špeciálneho typu. Môžete napríklad zobraziť zubaté oblúky alebo niečo podobné.

Je potrebné poznamenať, že by ste sa nemali nechať uniesť označením uhlov na výkresoch a nezaťažovať výkresy. Odporúčame označiť len tie uhly, ktoré sú nevyhnutné v procese riešenia alebo dokazovania.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometria. 7. - 9. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Učebnica pre 10-11 ročníkov stredných škôl.
• Pogorelov A.V., Geometria. Učebnica pre ročníky 7-11 vzdelávacích inštitúcií.

- Pripomeňme si tému posledných predchádzajúcich lekcií. (Nové jednotky plochy)

Aké nové jednotky plochy ste sa naučili? (hektár, sú)

Bolo ťažké alebo ľahké naučiť sa nové jednotky oblasti? prečo?

Podarilo sa vám prekonať ťažkosti?

Čo myslíte, uspejeme pri štúdiu ďalšej novej témy?

Poďme sa pozrieť?

1. Matematický diktát.

- Znížte 160 na 90.

- Zvýšte 490 o 50.

- Znížte 560 x 80-krát.

- Zvýšte 70 až 9-krát.

O koľko viac je 820 ako 290?

Koľkokrát je 400 menej ako 3600?

- Nájdite číslo, ktorého šiesta časť sa rovná 102.

- Nájdite štvrtinu zo 68.

(70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17)

Do akých skupín možno rozdeliť tento rad čísel? (Počtom číslic, násobkom 2, násobkom 10, súčtom číslic, číslami na písanie čísel.)

Písmená sú umiestnené na tabuli pod prijatými číslami.

70, 540, 7, 630, 530, 9, 612, 17

G R F A U N L I

Usporiadajte výsledné čísla vo vzostupnom poradí a prečítajte si výsledné slovo. (FNIGURLA)

Dáva to zmysel?

Prečiarknite 2 písmená, aby ste vytvorili matematický výraz. (OBRÁZOK)

2. Práca s geometrickými tvarmi.

Aké geometrické tvary vidíte na obrázku?

(Na obrázku: bod, priamka, kružnica, úsečka, uhol, lúč, štvoruholník, lomená čiara)

V akých číslach možno pokračovať donekonečna? ( Priamka, lúč, bočný uhol)

Ak nakreslíte úsečku spájajúcu stred kruhu s bodom na ňom, čo sa stane? ( Polomer)

Aké zaujímavé veci viete o polomere? (Všetky polomery jedného kruhu sú rovnaké. Polomer je polovica priemeru.)

Aký je vzťah medzi mnohouholníkom a lomenou čiarou? (Mnohouholník je uzavretá lomená čiara.)

Aké ďalšie ploché geometrické tvary poznáte? (trojuholník, obdĺžnik, štvorec, ovál atď.)

A čo vesmírne figúrky? (Guľa, kocka, hranol, valec, kužeľ, pyramída.)

3. Práca s uhlom.

Aké sú strany uhla? (Lúče.)

Ak budete pokračovať po stranách uhla, získate rovnaký alebo iný uhol? (Rovnaký.)

Aké sú typy rohov? (Priamy, ostrý, tupý.)

Ukážte ceruzkami model ostrého uhla, tupého uhla.

Predstavte si, že vaše ceruzky sú ručičky hodín. Položte ich na stôl tak, aby ukazovali 1h, 2h, 3h, 4h, 5h. Čo sa stane s uhlom medzi nimi? (Zväčšuje sa.)

Môžeme teda povedať, ktorý uhol medzi ručičkami hodín je väčší a ktorý menší? (Áno.)

4. Praktická práca. Individuálna úloha.

Každý žiak má na stoloch model ostrého uhla (žltý), model tupého uhla (modrý). Model akútneho uhla podľa oblasti veľa presahuje model tupého uhla.

Porovnajte uhly s prekrytím.

(Niektorí ľudia umiestňujú modrú do žltej na základe plochy. Iní na základe predĺženia strán a toho, že uhly by sa mali porovnávať na základe otočenia).

Problémová situácia:

Prečo porovnanie rovnakých uhlov získalo iný výsledok?

Kde a prečo vznikli ťažkosti?

Akú úlohu ste robili? (porovnať uhly)

Prečo ste neodôvodnili svoje postoje? (Nevieme, ako porovnávať uhly)

Čo musíme urobiť - položiť pred vás cieľ. (Musíme vytvoriť algoritmus porovnávania uhlov)

Formulovať téma lekcie. (Porovnanie uhla)

1. Vedenie dialógu.

(Študenti si vyberú postup a potom na základe neho odvodia algoritmus)

Akým spôsobom niečo porovnávame, napríklad hovoríme - jeden človek vie viac ako druhý, alebo viac čísel, zlomkov, zlomkov ...

(Menšie musí byť obsiahnuté vo väčšom, buďte jeho súčasťou)

Ako teda potrebujeme prekryť rohy? (Takže jeden roh je súčasťou druhého)

Prečo nemôže byť modrý roh umiestnený vnútri žltého? (Strany rohu sú lúče. Ak v nich budete pokračovať, uvidíte, že modrý roh nie je vnútri žltého)

Deti dostávajú model modrého rohu porovnateľný plochou so žltým.

Položte modré rohy na seba a uistite sa, že sú rovnaké.

2. Pracujte v skupinách.

Poskytuje vám to predstavu o tom, ako prekryť modrý a žltý roh, aby ste zistili, ktorý z nich je väčší?

Konzultujte v skupinách.

(Deti vyjadrujú svoje verzie. Ak tieto verzie nie sú správne, učiteľ alebo jedno z detí ich vyvráti. Správny spôsob uloženia je vyslovený a algoritmus je stanovený.)

3. Algoritmus.

1) Umiestnite rohy tak, aby sa jedna z ich strán zhodovala.

2) Ak sa druhý zhoduje, potom sú uhly rovnaké; ak nie, potom menší je uhol, ktorého strana je vo vnútri tej druhej.

4. Podpora schémy.

5. Porovnanie výstupu s textom učebnice. Stránka jeden.

- Zhodoval sa náš záver s textom učebnice?

Vyslovte algoritmus na porovnávanie uhlov.

1. Porovnajv pároch dva ľubovoľné uhly, ktoré vyslovujú algoritmus.

2. Úloha číslo 4 na strane 2.

Porovnajte uhly pomocou schémy podpory.

Čo môžete povedať o lúče OS? (Rozdelil roh na dva rohy)

Čo môžete povedať o týchto lúčoch? (Uhol AOC je menší ako uhol COB)

1. Úloha číslo 8 na strane 2 (porovnaj uhly očí v učebnici) a rozlúšti meno slávneho vládcu starovekého Egypta – Cheopsa. To, čo o ňom vedia, si pamätajú z chodu okolitého sveta.

Je možné nájsť rohy v Cheopsovej pyramíde?

Čo ste sa naučili o rohoch?

Problematická situácia.

Myslíte si, že sú to všetky známe poznatky o uhloch alebo nie?

1. Zavedenie konceptu použitia "dvojsektora". praktická práca.

Ohnite jeden z rohov ležiacich na stole na polovicu. Rozbaľte roh.

Čo si dostal? (Čiara, ktorá rozdeľuje uhol na dva rovnaké uhly)

Ako sa nazýva tento riadok v matematike? (Ray) prečo?

Pre lúč nakreslený vo vnútri uhla od jeho vrcholu, ktorý pretína uhol, existuje špeciálny názov "sektor". (na stole)

2. Prehľad kresby v učebnici

Existuje vtipný, ale užitočný rým na zapamätanie si nového konceptu:

"Systém je taký ..., ktorý prechádza okolo rohov a rozdeľuje uhol .... (Deti dokončia riekanku)

Ako ste prerezali roh na polovicu? (Prehýbanie sa)

Aký nový koncept ste sa naučili? (Bisector)

Ako by ste vysvetlili spolužiakovi, ktorý vynechal hodinu, čo je to bisector?

1. Príklady na nájdenie časti čísla vyjadrenej zlomkom č. 10 p. 3.

(Rozlúštili meno faraóna, na počesť ktorého bola postavená prvá pyramída - Džosera)

2. Riešenie zložených úloh na nájdenie časti čísla vyjadrenej ako zlomok alebo ako percento.

a) o faraónovi Thutmose č.11 na 3. strane.

b) o ťave, ktorá je dlhodobo prispôsobená na to, aby sa bez vody a potravy pohybovala púšťou č. 12 (a) pri sv. 3.

Aká je téma lekcie?

Ako sa porovnávajú uhly?

Ako zistiť, ktorý uhol je väčší a ktorý menší?

Aký nový koncept ste sa naučili?

Ako zistíte osnicu uhla? prečo?

Kto ešte potrebuje pomôcť s témou lekcie?

Dokázali sme okamžite pochopiť novú tému? prečo?

Čo nové ste sa naučili pri riešení problémov?

Aké vedomosti sa vám budú v živote hodiť? Kde?

Domáca úloha: 1) základná úroveň: zopakujte si algoritmus porovnávania uhlov, č. 5 - praktická práca na delení uhla na časti a porovnávanie častí ohýbaním; č. 12 (b) - úloha pre zlomky;

2) pokročilá úroveň: č.7 - získavanie osí uhlov trojuholníka a obdĺžnika ohýbaním.

§ 28. Porovnanie uhlov podľa uloženia - Učebnica z matematiky 5. ročník (Zubareva, Mordkovich)

Stručný opis:

Rôzne geometrické tvary možno navzájom porovnávať rôznymi spôsobmi. Jedným z týchto spôsobov je nasadenie jednej figúry na druhú. Rovnako ako ostatné figúry, môžete v prípade potreby navzájom porovnávať uhly. Dnes sa o tom dozviete z tohto odseku učebnice.
Jedným zo spôsobov porovnávania uhlov je prekrytie. Uhly, ktoré sa pri prekrývaní zhodujú, sa nazývajú rovnaké. Ak sa uhly nezhodujú, potom môžete ľahko určiť, ktorý z uhlov bude menší a ktorý bude väčší ako druhý. Ak chcete porovnať rohy pomocou prekrytia, musíte ich vrcholy pripojiť k sebe. Potom skombinujte jednu stranu jedného rohu so stranou druhého rohu. Ak sa zároveň ich druhá strana zhoduje, potom budú také uhly rovnaké. Metóda prekrytia je najjednoduchší grafický spôsob určenia rovnosti uhlov. Na použitie tejto metódy je vhodný pauzovací papier alebo iné priesvitné materiály. Alebo môžete použiť uhlomer, zmerať hodnotu jedného rohu a preniesť ho do druhého rohu. Vyberte si pre seba pohodlný spôsob riešenia a zobrazenia rôznych geometrických problémov, pretože v budúcnosti budú tieto znalosti užitočné pri riešení problémov s tvarmi. Prezrite si odsek v učebnici na túto tému, aby ste lepšie pochopili a zapamätali si látku!

§ 1 Porovnanie uhlov

V tejto lekcii sa naučíme porovnávať a merať uhly.

Pripomeňme si, že uhol je geometrický útvar tvorený dvoma lúčmi (stranami uhla) vychádzajúcimi z jedného bodu (ktorý sa nazýva vrchol uhla).

Porovnajme dva uhly s prekrytím a zistíme, či sú uhly rovnaké alebo nie.

Zoberme si dva rohy.

Namaľte jeden roh modrou a druhý červenou farbou a prekryte červený roh na modrej.

Obrázok ukazuje, že modrý uhol je väčší ako červený, ale nevieme o koľko. Ak chcete porovnať uhly, musíte sa naučiť, ako ich presne merať.

Uhol sa meria rovnakým spôsobom ako ktorákoľvek iná hodnota.

K tomu si zvoľte mernú jednotku (mernú jednotku) a zistite, koľkokrát je obsiahnutá v nameranej hodnote.

Predstavme si nasledujúcu situáciu: Seryozha, Petya a Kolya sa rozhodli zmerať uhol, ale každý sa rozhodol vykonať meranie sám.

Čo sa stalo?

Ukázalo sa, že rovnaký uhol pre Seryozhu sa rovná trom jeho meraniam, pre Petyu - pre štyri merania a pre Kolyu - pre šesť meraní.

Ktorá z nich má pravdu?

Aký je vlastne tento uhol?

V geometrii existuje všeobecne akceptovaná miera spoločná pre všetkých - to je 1/90 pravého uhla. Táto miera sa nazýva stupeň a označuje sa: 1 °.

Pravý uhol je teda 90° a priamy uhol 180°.

Akýkoľvek ostrý uhol bude menší ako 90° a akýkoľvek tupý uhol bude väčší ako 90°.

Pri pridávaní uhlov sa ich miera stupňov pripočítava a pri odčítaní sa odčítajú, napríklad:

Treba tiež pamätať na to, že súčet susedných uhlov je vždy 180°.

§ 2 Uhlomer. Meranie uhla

Pokúsme sa problém vyriešiť pomocou našich vedomostí.

Udáva sa uhol OMR - je to priamka, t.j. 90°, dva lúče ho delili do troch uhlov.

Ako vidíte na obrázku, jeden uhol má 18 stupňov a druhý 23 stupňov.

Musíme vypočítať, aký je uhol KMN?

Ak chcete zistiť hodnotu uhla KMN, je potrebné odpočítať mieru stupňov uhlov KMR a NMO od miery miery uhla OMR:

∠KMN = ∠OMR - ∠KMR - ∠NMO = 90° - 18° - 23° = 49°

Uhol KMN je 49°.

Poďme vyriešiť ešte jeden problém.

Na obrázku vidíme, že ∠KOS je nasadený, čo znamená, že sa rovná 180°.

∠KOV = 60° a ∠AOC = 60°.

Nájdeme hodnotu ∠BOA.

∠BOA = ∠KOS - ∠KOV - ∠AOC = 180° - 60° - 60° = 60°

∠BOA = 60°

Na meranie uhla v stupňoch potrebujete vedieť, koľkokrát obsahuje meranie 1 °. Na meranie uhlov v stupňoch sa používa špeciálny nástroj - uhlomer.

Uhlomer pozostáva z pravítka (priamočiara stupnica) a polkruhu (goniometrická stupnica), rozdeleného na stupne od 0 do 180. V niektorých modeloch je napríklad kruhový uhlomer - od 0 do 360. Mierka uhlomeru je umiestnená na polkruhu .

Stred tohto polkruhu je na uhlomere označený pomlčkou, nazýva sa stred uhlomeru.

Zmeriame ∠MKT.

Aby sme to dosiahli, nasadíme uhlomer tak, aby sa stred uhlomeru zhodoval s bodom K, začiatkom lúča CT a samotný lúč CT prechádzal cez začiatok stupnice uhlomeru. Stupňová miera uhla bude znázornená ťahom na mierke uhlomeru, cez ktorý prechádza druhá strana uhla.

Takže ∠MKT sa rovná 32°.

Pomocou uhlomeru môžete nielen merať, ale aj stavať uhly.

Zostrojme uhol rovný 110°, ktorého jedna strana je lúč OA.

Najprv nakreslíme lúč OA.

Potom priložíme uhlomer na náš lúč tak, aby sa stred uhlomeru zhodoval s bodom O - začiatkom lúča OA a samotný lúč OA prechádzal počiatkom mierky uhlopriečky.

Položme bod B proti zdvihu uhlomeru so značkou 110° a nakreslíme lúč OB.

Získame ∠AOB obsahujúci 110°.

Pre pohodlie ide odčítanie stupňov na stupnici uhlomeru v dvoch smeroch a keď meriame alebo vytvárame uhol, musíme vždy pamätať na to, že ostrý uhol je menší ako 90 ° a tupý je väčší ako 90 °.

§ 3 Zhrnutie vyučovacej hodiny

Zhrňme si našu lekciu:

1. Uhly sa merajú uhlomerom.

2. Na meranie uhla pomocou uhlomeru potrebujete:

Pripevnite stred uhlomeru k hornej časti rohu;

Umiestnite uhlomer tak, aby jedna strana uhla prechádzala cez počiatok dielika 0 uhlopriečky;

pozri, cez ktorý dielik tejto stupnice prejde druhá strana rohu;

Pri meraní nezabúdajte, že ostrý uhol je menší ako 90° a tupý uhol je väčší ako 90°.

3. Na vytvorenie uhla určitej veľkosti potrebujete:

držať lúč

· na tento lúč nasaďte uhlomer tak, aby sa stred uhlomeru zhodoval so začiatkom lúča a samotný lúč prechádzal počiatkom dielika 0 uhlopriečky;

· dáme bodku proti ťahu mierky uhlomeru so značkou potrebnej hodnoty a pretiahneme druhý lúč cez tento bod od začiatku pôvodného lúča.

4. Pravý uhol je 90°, ostrý uhol je menší ako 90°, tupý uhol je väčší ako 90°, priamy uhol je 180°.

5. Pri sčítaní uhlov sa ich miera stupňov sčítava a pri odčítaní sa odčítavajú.

6. Súčet susedných uhlov je vždy 180°.

Zoznam použitej literatúry:

1. Peterson L.G. Matematika. 4. trieda. Časť 1. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 96 s.: chorý.
2. Matematika. 4. trieda. Metodické odporúčania k učebnici matematiky „Učíme sa učiť“ pre 4. ročník. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014. – 280 s.: chorý.
3. Zak S.M. Všetky úlohy k učebnici matematiky pre 4. ročník L.G. Peterson a súbor nezávislých a kontrolných diel. GEF. – M.: UNVES, 2014.

Trieda: 3

vec: matematika (rozvojový program L.V. Zankova)

Predmet: Typy uhlov a ich porovnanie.

Typ lekcie: objavovanie nových poznatkov

Ciele:

Návody: Otvoriť spôsoby porovnávania uhlov.

vyvíja sa:Rozvíjať pozornosť, abstraktné myslenie, pozorovanie, schopnosť porovnávať, samostatne analyzovať, vyvodzovať závery.

Pedagógovia:Pestovať u žiakov záujem o matematiku, kultúrne komunikačné schopnosti, aktívnu osobnosť.

Použitá technológia: RKCHP

Vytvorený UUD:

Regulačné: schopnosť stanoviť si cieľ, učebnú úlohu; vykonajte kontrolu vzoru.

Poznávacie: schopnosť porovnávať a merať uhly okom a metódou prekrytia; zostavte uhly danej hodnoty pomocou meracích nástrojov; schopnosť vybrať si najefektívnejšie spôsoby riešenia problémov; vyhľadáva a zvýrazňuje potrebné informácie na splnenie vzdelávacích úloh; akcie so znakovo-symbolickými prostriedkami (modelovanie); logické - porovnávanie, identifikácia, zovšeobecňovanie.

Komunikatívne: plánovanie a realizácia vzdelávacej spolupráce s učiteľom a rovesníkmi; vedieť počúvať ostatných, schopnosť klásť tréningové otázky; vlastníctvo monológových a dialogických foriem reči;

Osobné: hodnotenie vlastných vzdelávacích aktivít podľa kritérií definovaných spoločne s učiteľom.

Vybavenie: počítač, kartičky s uhlami a hra „Veríš, že...“, študentské nožnice, paličky a modelovacia hmota

Počas vyučovania

Etapy

Činnosť učiteľa

Študentské aktivity

pozdravujem

Zavolajte

Skontrolujeme pripravenosť. Prajem ti úspech.

Dnešnú lekciu chcem začať slovami francúzskeho filozofa Jeana Jacquesa Rousseaua: „Ste talentované deti! Jedného dňa budete sami milo prekvapení, aký ste šikovný, koľko a ako dobre viete, ak na sebe neustále pracujete, stanovujete si nové ciele, aby ste ich dosiahli ... “.

Prajem vám, aby ste sa dnes na lekcii presvedčili o slovách J. J. Rousseaua.

Si pripravený ísť?

Potom choď.

Rozcvička pre myseľ.

Ak správne vyriešite výrazy, budete vedieť sformulovať tému hodiny. Za každou správnou odpoveďou nasleduje písmeno. Ak zoradíte odpovede vzostupne, môžete si prečítať tému lekcie.

Na snímke: 8x6, 9x5, 18:2, 7x4, 30:5, 42:6, 72:9, 4x6, 5x7

e i w c r a n n

500-200 900-2 733+100 580-40 806-6

u v o g l

A teraz vás pozývam, aby ste si so mnou zahrali hru "Veríš tomu..."

1) nazýva sa veda, ktorá študuje uhly geometria;

2) uhly sú tupé, rovné a ostré;

3) nemožno porovnávať dva uhly;

4) existuje niekoľko spôsobov porovnávania uhlov;

5) pomocou rohov je možné modelovať figúrky zvierat;

6) neexistuje nástroj na porovnávanie uhlov;

7) z troch tyčiniek môžete rozložiť tri uhly naraz: rovný, tupý a ostrý

8) ostrý uhol je väčší ako tupý

V ktorých otázkach rozhodne nepochybujete a myslíte si, že ste odpovedali správne?

Prečo ste si istý, že odpovede sú správne?

skontrolovať pripravenosť

Vypočítajte slovne

Téma: Porovnanie uhlov

Odpovedzte na otázky sami

Môže odpovedať v č. 1, 2, 6, 8

vedel, čítal

Dávať zmysel

O akých otázkach pochybuješ?

Potom formulujte, prosím, účel lekcie.

(Cieľ je napísaný na tabuli).

Ako dosiahneme cieľ?

Ponúkam vám úlohu č.148 s.80 v učebnici.

Úlohu dokončíme sami.

Kontrolujeme podľa vzorky: (na snímke)

3, 2, 7, 1, 4, 5, 8, 6,

Bolo ľahké porovnávať uhly? Aká je náročnosť?

Kto súhlasí, nesúhlasí?

Ako sa porovnávali? ako?

Kritériá:

"5" - 0 chýb, "4" - 1-2 chyby, "3" - 3-4 chyby.

Praktická práca č.1.

Splníme úlohu 3) tohto čísla, nakreslíme do zošita 2 rohy, ktoré sa dajú ľahko porovnávať a 2 rohy, ktoré sa ťažko porovnávajú. (1 osoba - pri tabuli)

Vzájomná kontrola

Kontrolujeme, hodnotíme schopnosť kresliť uhly na porovnanie okom.

A teraz, aby ste potvrdili alebo vyvrátili ďalšie tvrdenia z hry „Veríte, že ...“, navrhujem, aby ste sa oboznámili s malými informáciami, v ktorých pri pozornom čítaní nájdete odpovede na otázky.

Pri čítaní odporúčam použiť " vložiť" pre pohodlie pri zachytávaní informácií. (+ vedel, ! - nový, ? nerozumel)

Text do práce:

Tak čo ste už vedeli?

A aké nové, zaujímavé informácie k téme lekcie ste sa teraz dozvedeli?

V úlohe č.148 sme uhly porovnávali akým spôsobom?

O akom ďalšom spôsobe porovnávania uhlov ste sa naučili?

Praktická práca č.2.

Navrhujem porovnať tieto dva uhly týmto spôsobom.

Každé dieťa dostane list s dvoma rohmi:

Spolu s deťmi je predbežne zostavený algoritmus na porovnávanie uhlov pomocou prekrytia:

Na porovnanie uhlov potrebujete: Algoritmus:

1) odrezaný roh č. 1; 2) skombinujte hornú časť rohov a jednu zo strán rohov; 3) na druhej strane uhla určte, ktorý uhol je väčší (menší).

Deti vystrihnú jeden z rohov a priložia ho na druhý podľa algoritmu.

Ako sa teraz porovnávajú uhly?

Matematika je exaktná veda. Ktorý spôsob je podľa vás presnejší?

Minút telesnej výchovy

A teraz sa vrátim k otázke číslo 7 hry a splním túto úlohu, aby som to skontroloval. Rohy vymodelujeme plastelínou a tyčinkami.

Skontrolujeme vzorku na sklíčku alebo na doske.

Odhad (schopnosť modelovať rohy).

Nedávno na hodine matematiky kreslili rôzne uhly. Navrhujem, aby ste vyriešili problém spojený s touto úlohou. Šmykľavka

Úloha. Yulia na výkrese ukázala 7 tupých uhlov, 1 priamy a 11 ostrých a Vali 5 tupých uhlov, 2 rovné a 14 ostrých. Kto má viac uhlov a o koľko?

Ktorý zo známych spôsobov stručného písania je vhodnejší na jeho zapisovanie? (tabuľka).

Urobme si tabuľku a vyriešme problém sami.

Vyšetrenie. Hodnotenie schopnosti riešiť problémy.

Účel: -Porovnať uhly, -Nájsť spôsoby porovnávania uhlov

Dokončovanie úloh

Skontrolujte vzorku

približne

Pracujte s hodnotiacim hárkom

Nakreslite uhly do zošita na porovnanie očí

Hodnotiť prácu suseda

Prečítajte si text, označte ho ikonami

Výpovede detí

Uhlomer, 2 spôsoby porovnávania uhlov, stupňov, geometrie

približne

prekrytie

Spoločne s učiteľom zostavte porovnávací algoritmus

Strihajte, vnucujte, vyvodzujte záver

prekrytia

Modelujte rohy palicami a plastelínou

Oceniť

Prečítajte si úlohu

Nakreslite na tabuľu a do zošita

Skontrolujte podľa normy

Reflexia

Vráťme sa k hre „Veríš, že...“.

Na aké otázky sme počas hodiny nenašli odpovede?

Vráťme sa k cieľu stanovenému na začiatku hodiny.

dosiahli ste? prečo? čo bolo ťažké? Boli zodpovedané všetky otázky?

Pozrime sa na hodnotiaci hárok. Aké zručnosti ste si v triede osvojili?

Kde môžu byť v živote užitočné?

Domáca úloha (podľa výberu študenta):

1) Krížovka na tému lekcie

2) Nakreslite zviera na obliečky, pričom použite iba rohy.

3) Splňte úlohy učebnice str.80 č.149, č.150 (1)

krížovka:

Horizontálne: 1. Dva lúče vychádzajúce z jedného bodu tvoria ... .. 2. Zariadenie na meranie uhlov sa nazýva ... .. . Vertikálne: 1. Bod spájajúci dva lúče uhla sa nazýva .... 2. Najpresnejší spôsob porovnávania uhlov. 3. Uhol väčší ako pravý sa nazýva ....

Vyplňte tretí stĺpec tabuľky.

Nenašiel som odpoveď na otázku číslo 5

Odpoveď.

Dajte priemernú známku za lekciu.

Strihajte, stavajte, robte remeslá

Aplikácie

Text do práce:

Tvar predmetov a ich rozmery študuje geometria - súčasť veľkej vedy matematiky. Hlavným pojmom geometrie je postava. Figúrky majú svoj vlastný názov: guľa, lúč, čiara, bod, segment, uhol, trojuholník ....

Dva lúče vychádzajúce z rovnakého východiskového bodu zvierajú uhol. Lúče, ktoré zvierajú uhol, sa nazývajú strany uhla a ich začiatočný bod sa nazýva vrchol uhla. Uhly sú rôzne: tupé, rovné, ostré a nasadené. Uhol je možné porovnávať a merať. Existuje mnoho spôsobov, ako porovnávať uhly. Môžete porovnávať podľa oka (približne) alebo preložením rohov na seba. Zmerajte uhly špeciálnym zariadením - uhlomerom. Uhlomer ukazuje uhol v stupňoch.

Hodnotiaci hárok

značka

značka

výsledok:

výsledok: