Diferenciál nazývaná rovnica tvaru

P(x, y)dx + Q(x, y)D Y = 0 ,

kde ľavá strana je celkový diferenciál ľubovoľnej funkcie dvoch premenných.

Označme neznámu funkciu dvoch premenných (to je to, čo treba nájsť pri riešení rovníc v totálnych diferenciáloch) F a čoskoro sa k tomu vrátime.

Prvá vec, ktorú by ste mali venovať pozornosť, je, že na pravej strane rovnice musí byť nula a znamienko spájajúce dva výrazy na ľavej strane musí byť plus.

Po druhé, musí sa dodržiavať určitá rovnosť, ktorá potvrdzuje, že táto diferenciálna rovnica je rovnicou totálnych diferenciálov. Táto kontrola je povinnou súčasťou algoritmu na riešenie rovníc v totálnych diferenciáloch (je v druhom odseku tejto lekcie), takže proces hľadania funkcie F dosť náročné na prácu a je dôležité sa v počiatočnej fáze uistiť, že nestrácame čas.

Neznáma funkcia, ktorú treba nájsť, je teda označená F. Súčet parciálnych diferenciálov pre všetky nezávislé premenné dáva celkový diferenciál. Preto, ak je rovnica totálna diferenciálna rovnica, ľavá strana rovnice je súčtom parciálnych diferenciálov. Potom podľa definície

dF = P(x, y)dx + Q(x, y)D Y .

Pripomeňme si vzorec na výpočet celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných:

Riešenie posledných dvoch rovníc môžeme napísať

.

Prvú rovnosť diferencujeme vzhľadom na premennú „y“, druhú - vzhľadom na premennú „x“:

.

čo je podmienka, aby daná diferenciálna rovnica bola skutočne totálnou diferenciálnou rovnicou.

Algoritmus riešenia diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch

Krok 1. Uistite sa, že rovnica je totálna diferenciálna rovnica. Aby sa výraz bol celkový diferenciál nejakej funkcie F(x, y) je potrebné a postačujúce na to . Inými slovami, musíte brať čiastočnú deriváciu s ohľadom na X a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný člen a ak sú tieto derivácie rovnaké, potom rovnica je totálna diferenciálna rovnica.

Krok 2. Napíšte sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Integrujte prvú rovnicu systému - podľa X (r F:

,
r.

Alternatívnou možnosťou (ak je jednoduchšie nájsť integrál týmto spôsobom) je integrácia druhej rovnice systému - r (X zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Týmto spôsobom sa obnoví aj funkcia F:

,
kde je zatiaľ neznáma funkcia X.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) sa diferencuje o r(alternatívne - podľa X) a rovnať sa druhej rovnici systému:

,

a v alternatívnej verzii - k prvej rovnici systému:

.

Z výslednej rovnice určíme (alternatívne)

Krok 5. Výsledkom kroku 4 je integrovať a nájsť (prípadne nájsť ).

Krok 6. Dosaďte výsledok kroku 5 do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta Cčasto sa píše za znakom rovnosti - na pravej strane rovnice. Takto získame všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch. Ako už bolo spomenuté, má formu F(x, y) = C.

Príklady riešení diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch

Príklad 1

Krok 1. rovnica v totálnych diferenciáloch X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. F:

Krok 3. Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. r

.

.

Krok 5.

Krok 6. F. Svojvoľná konštanta C :
.

Aká chyba sa tu s najväčšou pravdepodobnosťou vyskytne? Najčastejšími chybami je vziať parciálny integrál nad jednou z premenných za obvyklý integrál súčinu funkcií a pokúsiť sa integrovať po častiach alebo náhradnej premennej a tiež brať parciálnu deriváciu dvoch faktorov ako deriváciu funkcie. súčin funkcií a hľadať deriváciu pomocou zodpovedajúceho vzorca.

Toto je potrebné mať na pamäti: pri výpočte parciálneho integrálu vzhľadom na jednu z premenných je druhá konštanta a je vyňatá zo znamienka integrálu a pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na jednu z premenných je druhá konštanta. je tiež konštanta a derivácia výrazu sa nachádza ako derivácia „pôsobiacej“ premennej vynásobená konštantou.

Medzi rovnice v totálnych diferenciáloch Nie je nezvyčajné nájsť príklady s exponenciálnou funkciou. Toto je ďalší príklad. Je pozoruhodný aj tým, že jeho riešenie využíva alternatívnu možnosť.

Príklad 2 Riešiť diferenciálnu rovnicu

.

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na X jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na r iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Integrujme druhú rovnicu sústavy – podľa r (X zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia X.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na X

a rovnať sa prvej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:
.

Krok 6. Výsledok kroku 5 dosadíme do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta C písať za znakom rovnosti. Tak dostaneme súčet riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch :
.

V nasledujúcom príklade sa vrátime z alternatívnej možnosti k hlavnej.

Príklad 3 Riešiť diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na r jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na X iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je rovnica v totálnych diferenciáloch .

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Poďme integrovať prvú rovnicu systému - Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na r

a rovnať sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Krok 6. Výsledok kroku 5 dosadíme do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta C písať za znakom rovnosti. Tak dostaneme súčet riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch :
.

Príklad 4. Riešiť diferenciálnu rovnicu

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na r jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na X iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je totálna diferenciálna rovnica.

Krok 2. Napíšme sústavu parciálnych diferenciálnych rovníc, ktoré tvoria funkciu F:

Krok 3. Poďme integrovať prvú rovnicu systému - Autor: X (r zostáva konštantná a je vyňatá zo znamienka integrálu). Tým obnovíme funkciu F:

kde je zatiaľ neznáma funkcia r.

Krok 4. Výsledok kroku 3 (nájdený všeobecný integrál) diferencujeme vzhľadom na r

a rovnať sa druhej rovnici systému:

Z výslednej rovnice určíme:
.

Krok 5. Integrujeme výsledok kroku 4 a nájdeme:

Krok 6. Výsledok kroku 5 dosadíme do výsledku kroku 3 - do funkcie obnovenej čiastočnou integráciou F. Svojvoľná konštanta C písať za znakom rovnosti. Tak dostaneme súčet riešenie diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch :
.

Príklad 5. Riešiť diferenciálnu rovnicu

.

Krok 1. Uistime sa, že rovnica platí rovnica v totálnych diferenciáloch . Aby sme to dosiahli, nájdeme čiastočnú deriváciu vzhľadom na r jeden výraz na ľavej strane výrazu

a čiastočná derivácia vzhľadom na X iný termín
. Tieto deriváty sú rovnaké, čo znamená, že rovnica je rovnica v totálnych diferenciáloch .

Vyjadrenie problému v dvojrozmernom prípade

Rekonštrukcia funkcie viacerých premenných z jej celkového diferenciálu

9.1. Vyjadrenie problému v dvojrozmernom prípade. 72

9.2. Popis riešenia. 72

Toto je jedna z aplikácií krivočiareho integrálu druhého druhu.

Výraz pre celkový diferenciál funkcie dvoch premenných je daný:

Nájdite funkciu.

1. Keďže nie každý výraz tvaru je úplným diferenciálom nejakej funkcie U(X,r), potom je potrebné skontrolovať správnosť zadania úlohy, teda skontrolovať nevyhnutnú a postačujúcu podmienku pre celkový diferenciál, ktorý má pre funkciu 2 premenných tvar . Táto podmienka vyplýva z ekvivalencie tvrdení (2) a (3) vo vete z predchádzajúcej časti. Ak je naznačená podmienka splnená, problém má riešenie, teda funkciu U(X,r) je možné obnoviť; ak podmienka nie je splnená, potom problém nemá riešenie, to znamená, že funkcia sa nedá obnoviť.

2. Môžete nájsť funkciu z jej celkového diferenciálu, napríklad pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu, ktorý ju vypočítate pozdĺž priamky spájajúcej pevný bod ( X 0 ,r 0) a variabilný bod ( x;y) (Ryža. 18):

Takto sa získa krivočiary integrál druhého druhu celkového diferenciálu dU(X,r) sa rovná rozdielu medzi hodnotami funkcie U(X,r) na koncových a začiatočných bodoch integračnej čiary.

Keď už vieme tento výsledok, musíme ho nahradiť dU do krivkového integrálneho výrazu a vypočítajte integrál pozdĺž prerušovanej čiary ( ACB), vzhľadom na jeho nezávislosť od tvaru integračnej čiary:

na ( A.C.): dňa ( NE) :

(1)

Takto bol získaný vzorec, pomocou ktorého sa obnoví funkcia 2 premenných z jeho celkového diferenciálu.

3. Funkciu je možné obnoviť z jej totálneho diferenciálu len po konštantný člen, od r d(U+ const) = dU. Preto v dôsledku riešenia úlohy získame množinu funkcií, ktoré sa navzájom líšia konštantným členom.

Príklady (rekonštrukcia funkcie dvoch premenných z jej celkového diferenciálu)

1. Nájdite U(X,r), Ak dU = (X 2 – r 2)dx – 2xydy.

Skontrolujeme podmienku pre celkový diferenciál funkcie dvoch premenných:

Podmienka úplného diferenciálu je splnená, čo znamená funkciu U(X,r) je možné obnoviť.

Skontrolujte: – pravda.

odpoveď: U(X,r) = X 3 /3 – xy 2 + C.

2. Nájdite funkciu takú, že

Skontrolujeme potrebné a postačujúce podmienky pre úplný diferenciál funkcie troch premenných: , , , ak je daný výraz.

V riešenom probléme

sú splnené všetky podmienky pre úplný diferenciál, preto je možné funkciu obnoviť (problém je formulovaný správne).

Funkciu obnovíme pomocou krivočiareho integrálu druhého druhu, pričom ju vypočítame pozdĺž určitej priamky spájajúcej pevný bod a premenný bod, pretože

(táto rovnosť je odvodená rovnakým spôsobom ako v dvojrozmernom prípade).

Na druhej strane krivočiary integrál druhého druhu z totálneho diferenciálu nezávisí od tvaru integračnej čiary, takže je najjednoduchšie vypočítať ho pozdĺž prerušovanej čiary pozostávajúcej zo segmentov rovnobežných so súradnicovými osami. V tomto prípade ako pevný bod môžete jednoducho zobrať bod s konkrétnymi číselnými súradnicami, sledovať len to, že v tomto bode a pozdĺž celej integračnej línie je splnená podmienka existencie krivočiareho integrálu (teda tak, že funkcie a sú nepretržité). Berúc do úvahy túto poznámku, v tejto úlohe môžeme brať ako pevný bod napríklad bod M 0. Potom na každom z odkazov prerušovanej čiary budeme mať

10.2. Výpočet plošného integrálu prvého druhu. 79

10.3. Niektoré aplikácie plošného integrálu prvého druhu. 81

Ukazuje, ako rozpoznať diferenciálnu rovnicu v totálnych diferenciáloch. Sú uvedené spôsoby jeho riešenia. Uvádza sa príklad riešenia rovnice v totálnych diferenciáloch dvoma spôsobmi.

Obsah

Úvod

Diferenciálna rovnica prvého rádu v totálnych diferenciáloch je rovnica v tvare:
(1) ,
kde ľavá strana rovnice je celkový diferenciál nejakej funkcie U (x, y) z premenných x, y:
.
V čom .

Ak sa takáto funkcia U nájde (x, y), potom má rovnica tvar:
dU (x, y) = 0.
Jeho všeobecný integrál je:
U (x, y) = C,
kde C je konštanta.

Ak je diferenciálna rovnica prvého rádu napísaná z hľadiska jej derivácie:
,
potom je ľahké dať ho do tvaru (1) . Za týmto účelom vynásobte rovnicu dx. Potom . V dôsledku toho dostaneme rovnicu vyjadrenú ako diferenciály:
(1) .

Vlastnosť diferenciálnej rovnice v totálnych diferenciáloch

Aby bola rovnica (1) bola rovnica v totálnych diferenciáloch, je potrebné a postačujúce, aby vzťah platil:
(2) .

Dôkaz

Ďalej predpokladáme, že všetky funkcie použité v dôkaze sú definované a majú zodpovedajúce derivácie v určitom rozsahu hodnôt premenných x a y. Bod x 0, y 0 patrí aj do tejto oblasti.

Dokážme nevyhnutnosť podmienky (2).
Nechajte ľavú stranu rovnice (1) je diferenciál nejakej funkcie U (x, y):
.
Potom
;
.
Keďže druhá derivácia nezávisí od poradia diferenciácie, potom
;
.
Z toho vyplýva, že . Podmienka nevyhnutnosti (2) osvedčené.

Dokážme dostatočnosť podmienky (2).
Nech je podmienka splnená (2) :
(2) .
Ukážme, že je možné nájsť takúto funkciu U (x, y)že jeho rozdiel je:
.
To znamená, že existuje takáto funkcia U (x, y), ktorý spĺňa rovnice:
(3) ;
(4) .
Poďme nájsť takúto funkciu. Integrujme rovnicu (3) x od x 0 na x, za predpokladu, že y je konštanta:
;
;
(5) .
Diferencujeme podľa y za predpokladu, že x je konštanta a platí (2) :

.
Rovnica (4) sa vykoná, ak
.
Integrujte cez y od y 0 pre y:
;
;
.
Nahradiť v (5) :
(6) .
Takže sme našli funkciu, ktorej diferenciál
.
Dostatočnosť bola preukázaná.

Vo vzorci (6) , U (x 0, y 0) je konštanta - hodnota funkcie U (x, y) v bode x 0, y 0. Môže byť priradená ľubovoľná hodnota.

Ako rozpoznať diferenciálnu rovnicu v totálnych diferenciáloch

Zvážte diferenciálnu rovnicu:
(1) .
Ak chcete zistiť, či je táto rovnica v celkových diferenciáloch, musíte skontrolovať stav (2) :
(2) .
Ak platí, potom je táto rovnica v totálnych diferenciáloch. Ak nie, tak toto nie je totálna diferenciálna rovnica.

Príklad

Skontrolujte, či je rovnica v celkových diferenciáloch:
.

Tu
, .
Rozlišujeme vzhľadom na y, berúc do úvahy x konštantu:


.
Poďme rozlišovať


.
Pretože:
,
potom je daná rovnica v totálnych diferenciáloch.

Metódy riešenia diferenciálnych rovníc v totálnych diferenciáloch

Metóda sekvenčnej diferenciálnej extrakcie

Najjednoduchšou metódou riešenia rovnice v totálnych diferenciáloch je metóda postupnej izolácie diferenciálu. Na tento účel používame diferenciačné vzorce napísané v diferenciálnom tvare:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
V týchto vzorcoch sú u a v ľubovoľné výrazy zložené z ľubovoľnej kombinácie premenných.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu:
.

Predtým sme zistili, že táto rovnica je v totálnych diferenciáloch. Poďme to transformovať:
(P1) .
Rovnicu riešime sekvenčnou izoláciou diferenciálu.
;
;
;
;

.
Nahradiť v (P1):
;
.

Postupná integračná metóda

V tejto metóde hľadáme funkciu U (x, y), spĺňajúce rovnice:
(3) ;
(4) .

Integrujme rovnicu (3) v x vzhľadom na konštantu y:
.
Tu φ (y)- ľubovoľná funkcia y, ktorú je potrebné určiť. Je to konštanta integrácie. Dosaďte do rovnice (4) :
.
Odtiaľ:
.
Integráciou nájdeme φ (y) a teda U (x, y).

Príklad 2

Riešte rovnicu v totálnych diferenciáloch:
.

Predtým sme zistili, že táto rovnica je v totálnych diferenciáloch. Predstavme si nasledujúci zápis:
, .
Hľadá sa funkcia U (x, y), ktorého diferenciál je ľavá strana rovnice:
.
potom:
(3) ;
(4) .
Integrujme rovnicu (3) v x vzhľadom na konštantu y:
(P2)
.
Rozlišujte podľa y:

.
Poďme sa nahradiť (4) :
;
.
Poďme integrovať:
.
Poďme sa nahradiť (P2):

.
Všeobecný integrál rovnice:
U (x, y) = konšt.
Spojíme dve konštanty do jednej.

Metóda integrácie pozdĺž krivky

Funkcia U definovaná vzťahom:
dU = p (x, y) dx + q (x, y) dy,
možno nájsť integráciou tejto rovnice pozdĺž krivky spájajúcej body (x 0, y 0) A (x, y):
(7) .
Pretože
(8) ,
potom integrál závisí len od súradníc iniciály (x 0, y 0) a konečná (x, y) bodov a nezávisí od tvaru krivky. Od (7) A (8) nájdeme:
(9) .
Tu x 0 a y 0 - trvalý. Preto U (x 0, y 0)- tiež stály.

Príklad takejto definície U bol získaný v dôkaze:
(6) .
Tu sa integrácia vykoná najskôr pozdĺž segmentu rovnobežného s osou y z bodu (x 0, y 0) k veci (x 0, y). Potom sa vykoná integrácia pozdĺž segmentu rovnobežného s osou x z bodu (x 0, y) k veci (x, y) .

Vo všeobecnosti musíte znázorniť rovnicu krivky spájajúcej body (x 0, y 0) A (x, y) v parametrickej forme:
X 1 = s(t 1); r 1 = r(t 1);
X 0 = s(t 0); r 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
a integrovať cez t 1 od t 0 na t.

Najjednoduchší spôsob, ako vykonať integráciu, je cez spojovacie body segmentu (x 0, y 0) A (x, y). V tomto prípade:
X 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; r 1 = yo + (y - y0) t1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; D Y 1 = (y - y 0) dt 1.
Po substitúcii dostaneme integrál nad t z 0 predtým 1 .
Táto metóda však vedie k pomerne ťažkopádnym výpočtom.

Referencie:
V.V. Stepanov, Priebeh diferenciálnych rovníc, "LKI", 2015.

Môže sa stať, že na ľavej strane diferenciálnej rovnice

je celkový diferenciál nejakej funkcie:

a preto rovnica (7) nadobúda tvar .

Ak je funkcia riešením rovnice (7), potom , a teda,

kde je konštanta a naopak, ak nejaká funkcia zmení konečnú rovnicu (8) na identitu, potom derivovaním výslednej identity dostaneme , a preto, kde je ľubovoľná konštanta, je všeobecný integrál pôvodného rovnica.

Ak sú uvedené počiatočné hodnoty, potom sa konštanta určí z (8) a

je požadovaný parciálny integrál. Ak je v bode , potom rovnica (9) je definovaná ako implicitná funkcia .

Na to, aby ľavá strana rovnice (7) bola úplným diferenciálom nejakej funkcie , je potrebné a postačujúce to

Ak je táto podmienka špecifikovaná Eulerom splnená, potom rovnicu (7) možno ľahko integrovať. Naozaj,. Na druhej strane, . teda

Pri výpočte integrálu sa množstvo považuje za konštantu, preto je to ľubovoľná funkcia . Na určenie funkcie derivujeme nájdenú funkciu vzhľadom na a keďže dostaneme

Z tejto rovnice určíme a integráciou nájdeme .

Ako je známe z priebehu matematickej analýzy, je ešte jednoduchšie určiť funkciu jej celkovým diferenciálom, pričom sa použije krivočiary integrál medzi určitým pevným bodom a bodom s premenlivými súradnicami pozdĺž akejkoľvek cesty:

Najčastejšie je ako integračná cesta vhodné použiť prerušovanú čiaru zloženú z dvoch prepojení rovnobežných so súradnicovými osami; v tomto prípade

Príklad. .

Ľavá strana rovnice je celkový diferenciál nejakej funkcie, od r

Preto má všeobecný integrál tvar

Na definovanie funkcie je možné použiť inú metódu:

Ako začiatočný bod zvolíme napríklad počiatok súradníc a ako integračnú cestu prerušovanú čiaru. Potom

a všeobecný integrál má tvar

Čo sa zhoduje s predchádzajúcim výsledkom, čo vedie k spoločnému menovateľovi.

V niektorých prípadoch, keď ľavá strana rovnice (7) nie je úplný diferenciál, je ľahké vybrať funkciu, po vynásobení ktorej sa ľavá strana rovnice (7) zmení na úplný diferenciál. Táto funkcia sa nazýva integračný faktor. Všimnite si, že násobenie integračným faktorom môže viesť k objaveniu sa zbytočných čiastkových riešení, ktoré tento faktor vynulujú.

Príklad. .

Je zrejmé, že po vynásobení faktorom sa ľavá strana zmení na totálny diferenciál. Skutočne, po vynásobení dostaneme

alebo integráciou, . Vynásobením 2 a zosilnením dostaneme .

Samozrejme, nie vždy sa integrujúci faktor volí tak jednoducho. Vo všeobecnom prípade je na nájdenie integračného faktora potrebné vybrať aspoň jedno parciálne riešenie rovnice v parciálnych deriváciách alebo v rozšírenom tvare, ktoré nie je identicky nulové.

ktorý sa po vydelení a prenesení niektorých pojmov do inej časti rovnosti zredukuje na tvar

Vo všeobecnom prípade nie je integrácia tejto parciálnej diferenciálnej rovnice v žiadnom prípade jednoduchšou úlohou ako integrácia pôvodnej rovnice, ale v niektorých prípadoch nie je výber konkrétneho riešenia rovnice (11) zložitý.

Okrem toho, ak vezmeme do úvahy, že integračný faktor je funkciou iba jedného argumentu (napríklad je funkciou iba alebo iba , alebo funkciou iba , alebo len , atď.), možno ľahko integrovať rovnicu (11) a uveďte podmienky, za ktorých existuje integračný faktor uvažovaného typu. Toto identifikuje triedy rovníc, pre ktoré možno ľahko nájsť integračný faktor.

Napríklad nájdime podmienky, za ktorých má rovnica integračný faktor, ktorý závisí len od , t.j. . V tomto prípade rovnica (11) zjednodušuje a nadobudne tvar , z ktorého, ak uvažujeme ako spojitú funkciu , dostaneme

Ak je funkciou iba , potom integračný faktor závisí len od , existuje a rovná sa (12), inak integračný faktor tvaru neexistuje.

Podmienka existencie integračného faktora závislého len od je splnená napríklad pre lineárnu rovnicu alebo . Naozaj, a preto . Úplne podobným spôsobom možno nájsť podmienky pre existenciu integrujúcich faktorov formy a pod.

Príklad. Má rovnica integračný faktor tvaru?

Označme . Rovnica (11) at má tvar , odkiaľ alebo

Pre existenciu integrujúceho činiteľa daného typu je potrebné a za predpokladu kontinuity postačujúce, aby bol iba funkciou . V tomto prípade teda integračný faktor existuje a je rovný (13). Keď dostaneme. Vynásobením pôvodnej rovnice číslom ju zredukujeme do tvaru

Integráciou dostaneme , a po potenciácii budeme mať , alebo v polárnych súradniciach - rodinu logaritmických špirál.

Príklad. Nájdite tvar zrkadla, ktoré odráža rovnobežne s daným smerom všetky lúče vychádzajúce z daného bodu.

Umiestnime počiatok súradníc do daného bodu a nasmerujeme os úsečky rovnobežne so smerom zadaným v problémových podmienkach. Nechajte lúč dopadať na zrkadlo v bode . Uvažujme rez zrkadla rovinou prechádzajúcou osou x a bodom . Nakreslíme dotyčnicu k rezu zrkadlového povrchu v bode . Keďže uhol dopadu lúča sa rovná uhlu odrazu, trojuholník je rovnoramenný. teda

Výsledná homogénna rovnica sa ľahko integruje zmenou premenných, ale ešte jednoduchšie je, zbavená iracionality v menovateli, prepísať ju do tvaru . Táto rovnica má zrejmý integračný faktor , , , (skupina parabol).

Tento problém je možné vyriešiť ešte jednoduchšie v súradniciach a , kde , a rovnica pre rez požadovaných plôch má tvar .

Je možné dokázať existenciu integračného faktora, alebo, čo je to isté, existenciu nenulového riešenia parciálnej diferenciálnej rovnice (11) v nejakej oblasti, ak funkcie a majú spojité derivácie a aspoň jednu z nich funkcie nezmiznú. Preto možno metódu integračného faktora považovať za všeobecnú metódu na integrovanie rovníc tvaru , avšak vzhľadom na náročnosť nájdenia integračného faktora sa táto metóda najčastejšie používa v prípadoch, keď je integračný faktor zrejmý.