Ďalej dokážeme, že korene frekvenčnej rovnice (4.25) sú dve kladné hodnoty Komu 2 a do 2(v teórii kmitov nižší index zodpovedá nižšej frekvencii, t.j. k ( Na tento účel najskôr zavedieme pojem parciálna frekvencia. Tento pojem sa chápe ako prirodzená frekvencia systému s jedným stupňom voľnosti, získaná z pôvodného systému zafixovaním všetkých zovšeobecnených súradníc okrem jednej. Takže napr. ak v prvej zo systémových rovníc akceptujeme (4.22). q 2 = 0, potom bude čiastočná frekvencia p ( =yjc u /a n. Podobne, stanovenie p 2 ~^c n /a 21.

Aby frekvenčná rovnica (4.25) mala dva reálne korene k x A k 2 je potrebné a postačujúce, aby bol najprv graf funkcie A (do 2) pri k = 0 by mala kladnú ordinátu a po druhé, že pretína os x. Prípad viacerých frekvencií k (= k. ), ako aj otočenie najnižšej frekvencie na nulu, sa tu neuvažuje. Prvá z týchto podmienok je splnená, pretože d (0) = c„c 22 - s a> 0 Je ľahké overiť platnosť druhej podmienky dosadením (4.25) k = k = p 2; v tomto prípade A(p, 2) Informácie tohto druhu v inžinierskych výpočtoch uľahčujú prognózy a odhady.

Výsledné dve hodnoty frekvencie Komu, A do 2 zodpovedajú partikulárnym riešeniam tvaru (4.23), takže všeobecné riešenie má tento tvar:

Každá zo zovšeobecnených súradníc sa teda zúčastňuje zložitého oscilačného procesu, ktorým je sčítanie harmonických pohybov s rôznymi frekvenciami, amplitúdami a fázami (obr. 4.6). Frekvencie k t A do 2 vo všeobecnom prípade sú teda nekombinovateľné q v c, nie sú periodické funkcie.

Ryža. 4.6

Pomer amplitúd voľných vibrácií pri pevnej vlastnej frekvencii sa nazýva tvarový koeficient. Pre systém s dvoma stupňami voľnosti sú tvarové koeficienty (3.= BJA." sú určené priamo z rovníc (4.24):

Teda koeficienty tvaru p, = V 1 /A [ a r.,= V.,/A., závisia iba od parametrov systému a nezávisia od počiatočných podmienok. Tvarové koeficienty sú charakterizované pre uvažovanú vlastnú frekvenciu Komu. rozloženie amplitúd pozdĺž oscilačného obvodu. Kombinácia týchto amplitúd tvorí tzv vibračná forma.

Záporná hodnota tvarového faktora znamená, že oscilácie sú mimo fázy.

Pri používaní štandardných počítačových programov niekedy používajú normalizované tvarové koeficienty. Tento termín znamená

V koeficiente p'g index i zodpovedá číslu súradnice a indexu G- frekvenčné číslo. To je zrejmé alebo Je ľahké si všimnúť, že p*

V sústave rovníc (4.28) zostávajúce štyri neznáme A g A 2, oc, cx 2 sú určené pomocou počiatočných podmienok:

Prítomnosť lineárnej odporovej sily, rovnako ako v systéme s jedným stupňom voľnosti, vedie k tlmeniu voľných kmitov.

Ryža. 4.7

Príklad. Určme vlastné frekvencie, čiastkové frekvencie a tvarové faktory pre oscilačný systém znázornený na obr. 4,7, A. Absolútne posunutia hmotnosti g ako zovšeobecnené súradnice, = q v x 2 = q. r Zapíšme si výrazy pre kinetickú a potenciálnu energiu:

teda

Po dosadení do frekvenčných rovníc (4.25) dostaneme

Navyše podľa (4.29)

Na obr. 4,7, b vibračné režimy sú dané. V prvej forme kmitania sa hmoty pohybujú synchrónne v jednom smere a v druhom v opačnom smere. Okrem toho sa v druhom prípade objavil prierez N, nezúčastňuje sa na oscilačnom procese s vlastnou frekvenciou k r Ide o tzv vibračná jednotka.

Teória voľných kmitov sústav s niekoľkými stupňami voľnosti je konštruovaná podobne, ako sa v § 21 uvažovalo o jednorozmerných kmitoch.

Nech má potenciálna energia sústavy U, ako funkcia zovšeobecnených súradníc, minimum pri . Zavádzanie malých posunov

a expandovaním U v ich zmysle až na členy druhého rádu, získame potenciálnu energiu vo forme pozitívnej definitívnej kvadratickej formy

kde opäť počítame potenciálnu energiu z jej minimálnej hodnoty. Keďže koeficienty a sú zahrnuté v (23.2) vynásobené rovnakou hodnotou, je zrejmé, že ich vždy možno považovať za symetrické vo svojich indexoch

V kinetickej energii, ktorá má vo všeobecnom prípade tvar

(pozri (5.5)), dáme do koeficientov a konštanty označíme , dostaneme vo forme kladne definitívnej kvadratickej formy

Lagrangeova funkcia systému vykonávajúceho malé malé oscilácie:

Zostavme teraz pohybové rovnice. Na určenie derivácií v nich zahrnutých napíšeme totálny diferenciál Lagrangeovej funkcie

Keďže hodnota súčtu samozrejme nezávisí od označenia sumačných indexov, meníme v prvom a treťom člene v zátvorke i za k, ak za i; ak vezmeme do úvahy symetriu koeficientov, dostaneme:

Z toho je jasné, že

Preto Lagrangeove rovnice

(23,5)

Predstavujú sústavu lineárnych homogénnych diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi.

Podľa všeobecných pravidiel riešenia takýchto rovníc hľadáme s neznámych funkcií v tvare

kde sú nejaké, zatiaľ nedefinované konštanty. Dosadením (23.6) do systému (23.5) dostaneme redukciou na sústavu lineárnych homogénnych algebraických rovníc, ktoré musia byť splnené konštantami:

Aby mal tento systém nenulové riešenia, jeho determinant musí zaniknúť

Rovnica (23.8) - takzvaná charakteristická rovnica je rovnica stupňa s vzhľadom na Má vo všeobecnom prípade s rôznych reálnych kladných koreňov (v špeciálnych prípadoch sa niektoré z týchto koreňov môžu zhodovať). Takto určené veličiny sa nazývajú vlastné frekvencie sústavy.

Reálnosť a kladnosť koreňov rovnice (23.8) sú zrejmé už z fyzikálnych úvah. Prítomnosť imaginárnej časti v y by totiž znamenala prítomnosť v časovej závislosti súradníc (23.6) (a s nimi aj rýchlostí) exponenciálne klesajúceho alebo exponenciálne rastúceho činiteľa. Prítomnosť takéhoto faktora je však v tomto prípade neprijateľná, pretože by viedla k zmene celkovej energie systému v priebehu času, čo je v rozpore so zákonom o jej zachovaní.

To isté sa dá overiť čisto matematicky. Vynásobením rovnice (23.7) a následným sčítaním dostaneme:

Kvadratické formy v čitateli a menovateli tohto výrazu sú skutočné vďaka realite a symetrii koeficientov a skutočne,

Sú tiež výrazne pozitívne, a teda pozitívne

Po nájdení frekvencií dosadením každej z nich do rovníc (23.7) je možné nájsť zodpovedajúce hodnoty koeficientov. Ak sú všetky korene charakteristickej rovnice odlišné, potom, ako je známe, koeficienty A sú úmerné maloletým determinantu (23.8), v ktorom zámena označujeme tieto neplnoleté osoby príslušnou hodnotou cez Do. Konkrétne riešenie sústavy diferenciálnych rovníc (23.5) má teda tvar

kde je ľubovoľná (komplexná) konštanta.

Všeobecné riešenie je dané súčtom všetkých partikulárnych riešení. Prejdeme na skutočnú časť, zapíšeme ju do formulára

kde sme zaviedli notáciu

(23,10)

Zmena každej zo súradníc systému v priebehu času teda predstavuje superpozíciu jednoduchých periodických kmitov s ľubovoľnými amplitúdami a fázami, ktoré však majú dobre definované frekvencie.

Prirodzene vyvstáva otázka: je možné zvoliť zovšeobecnené súradnice tak, aby každá z nich vykonala iba jeden jednoduchý kmit? Samotný tvar všeobecného integrálu (23.9) naznačuje cestu k riešeniu tohto problému.

V skutočnosti, ak uvažujeme s vzťahy (23.9) ako sústavu rovníc s neznámymi veličinami, môžeme po vyriešení tejto sústavy veličiny vyjadriť súradnicami. Preto možno veličiny považovať za nové zovšeobecnené súradnice. Tieto súradnice sa nazývajú normálne (alebo hlavné) a jednoduché periodické oscilácie, ktoré vykonávajú, sa nazývajú normálne oscilácie systému.

Normálne súradnice spĺňajú, ako je zrejmé z ich definície, rovnice

(23,11)

To znamená, že v normálnych súradniciach sa pohybové rovnice rozpadajú na navzájom nezávislé rovnice. Zrýchlenie každej normálnej súradnice závisí iba od hodnoty tej istej súradnice a na úplné určenie jej časovej závislosti je potrebné poznať počiatočné hodnoty iba jej samotnej a jej zodpovedajúcej rýchlosti. Inými slovami, normálne oscilácie systému sú úplne nezávislé.

Z vyššie uvedeného je zrejmé, že Lagrangeova funkcia vyjadrená v normálnych súradniciach sa rozpadá na súčet výrazov, z ktorých každý zodpovedá jednorozmernej oscilácii s jednou z frekvencií, t.j. má tvar

(23,12)

kde sú kladné konštanty. Z matematického hľadiska to znamená, že transformáciou (23.9) sa obe kvadratické formy - kinetická energia (23.3) aj potenciálna energia (23.2) súčasne redukujú na diagonálny tvar.

Normálne súradnice sa zvyčajne vyberajú tak, aby koeficienty kvadrátov rýchlostí v Lagrangeovej funkcii boli rovné 1/2. Na to stačí definovať normálne súradnice (teraz ich označujeme) rovnosťami

Všetky vyššie uvedené sa menia len málo v prípade, že medzi koreňmi charakteristickej rovnice je viacero koreňov. Všeobecný tvar (23.9), (23.10) integrálu pohybových rovníc zostáva rovnaký (s rovnakým počtom členov) len s tým rozdielom, že koeficienty zodpovedajúce viacnásobným frekvenciám už nie sú menšími determinantmi, ktoré , ako je známe, sa v tomto prípade zmení na nulu.

Každá násobná (alebo, ako sa hovorí, degenerovaná) frekvencia zodpovedá toľkým rôznym normálnym súradniciam, koľko je stupeň násobnosti, no výber týchto normálnych súradníc nie je jednoznačný. Keďže normálne súradnice (s rovnakým ) vstupujú do kinetickej a potenciálnej energie vo forme identicky transformovateľných súčtov, môžu byť podrobené akejkoľvek lineárnej transformácii, ktorá ponechá súčet štvorcov invariantný.

Je veľmi jednoduché nájsť normálne súradnice pre trojrozmerné vibrácie jedného hmotného bodu umiestneného v konštantnom vonkajšom poli. Umiestnením začiatku karteziánskeho súradnicového systému do bodu s minimálnou potenciálnou energiou získame túto vo forme kvadratickej formy premenných x, y, z a kinetickej energie.

(m je hmotnosť častíc) nezávisí od voľby smeru súradnicových osí. Vhodnou rotáciou osí je teda potrebné priviesť potenciálnu energiu len do diagonálneho tvaru. Potom

a vibrácie pozdĺž osí x, y, z sú hlavné s frekvenciami

V špeciálnom prípade centrálne symetrického poľa sa tieto tri frekvencie zhodujú (pozri Úlohu 3).

Použitie normálnych súradníc umožňuje zredukovať problém vynútených kmitov sústavy s niekoľkými stupňami voľnosti na problémy jednorozmerných vynútených kmitov. Lagrangeova funkcia systému, berúc do úvahy premenlivé vonkajšie sily, ktoré naň pôsobia, má tvar

(23,15)

kde je Lagrangeova funkcia voľných kmitov.

Zavedením normálnych súradníc namiesto súradníc dostaneme:

kde je zavedené označenie

Podľa toho pohybové rovnice

(23.17)

Úlohy

1. Určte kmitanie sústavy s dvoma stupňami voľnosti, ak má Lagrangeovu funkciu

V konkrétnom prípade systému s dvoma stupňami voľnosti budú kvadratické formy T, P, Ф v tomto poradí rovnaké

a diferenciálne rovnice malých vibrácií budú mať tvar

Uvažujme o voľných osciláciách konzervatívneho systému. V tomto prípade

a diferenciálne rovnice majú tvar:

Počiatočné podmienky pre majú tvar:

Vzhľadom na kladnú definitívnosť kvadratickej formy kinetickej energie vyhovujú zovšeobecnené zotrvačné koeficienty vzťahom

a podobné vzťahy pre kvázielastické koeficienty

sú postačujúce podmienky pre stabilitu rovnovážnej polohy sústavy.

Koeficienty a ktoré spájajú zovšeobecnené súradnice a v rovniciach (4.5) sa nazývajú inerciálne a elastické väzbové koeficienty. Ak má oscilačná sústava koeficient , nazýva sa sústava s pružným spojením a ak ide o sústavu s inerciálnym spojením.

Čiastočný systém zodpovedajúci zovšeobecnenej súradnici sa nazýva podmienený oscilačný systém s jedným stupňom voľnosti získaný z pôvodného systému, ak je uložený zákaz na zmenu všetkých zovšeobecnených súradníc okrem . Čiastkové frekvencie sú vlastné frekvencie čiastkových systémov:

Keďže rovnice (4.5) obsahujú len zovšeobecnené súradnice a ich druhé derivácie vzhľadom na čas, hľadáme ich riešenie v tvare

kde sú zatiaľ neznáme množstvá.

Dosadením (4.8) do (4.5) a porovnaním sínusových koeficientov dostaneme homogénny algebraický systém vzhľadom na a :

Aby homogénna algebraická sústava (4.9) mala nenulové riešenie, musí byť degenerovaná, t.j. jeho determinant sa musí rovnať nule:

V dôsledku toho bude mať riešenie (4.7) zmysel len pre tie hodnoty, ktoré spĺňajú podmienku (4.9). Rozšírením (4.10) získame

Zavolá sa rovnica prezentovaná v tvare (4.10), (4.11) alebo (4.12). frekvencia Ako je zrejmé z (4.12), frekvenčná rovnica je bikvadratická rovnica. Vyvolajú sa hodnoty nájdené z (4.10)–(4.12). vlastné frekvencie kmitov sústavy.

Štúdium koreňov frekvenčnej rovnice nám umožňuje vyvodiť tieto závery:

1) ak je rovnovážna poloha stabilná, potom sú oba korene frekvenčnej rovnice kladné;

2) prvá vlastná frekvencia systému je vždy menšia ako menšia parciálna frekvencia a druhá je väčšia ako väčšia parciálna frekvencia.

Pre oscilačné systémy s elastickou väzbou ( = 0) je rovnosť

Napíšme dve čiastočné nezávislé riešenia zodpovedajúce frekvenciám a , v tvare

kde druhá číslica v indexe zodpovedá číslu frekvencie alebo číslu vibračné tóny.

Konštanty nie sú nezávislé, pretože systém (4.9) je degenerovaný. Koeficienty sú navzájom prepojené vzťahmi

Kde . (4,15)

Kde . (4,16)

Berúc do úvahy (4.15) a (4.16), konkrétne riešenia (4.14) budú mať tvar

Voláme oscilácie, ktorých rovnice majú tvar (4.17). hlavné výkyvy. Predstavujú harmonické vibrácie s frekvenciami resp. Koeficienty sa nazývajú koeficienty rozdelenia amplitúdy. Charakterizujú pomer amplitúd v hlavných vibráciách resp formulár hlavné výkyvy.

Rozdeľovacie koeficienty amplitúd a následne aj tvary hlavných vibrácií, ako aj vlastné frekvencie sú určené parametrami samotného oscilačného systému a nezávisia od počiatočných podmienok. Preto sa režimy vibrácií, ako aj frekvencie nazývajú, vlastné vibračné režimy pri kmitaní podľa príslušného tónu.

Všeobecné riešenie sústavy rovníc (4.5) môžeme znázorniť ako súčet nájdených čiastkových riešení (4.17)

Všeobecné riešenie obsahuje štyri neurčené konštanty, ktoré je potrebné určiť z počiatočných podmienok (4.6).

Za ľubovoľných počiatočných podmienok sú konštanty aj odlišné od nuly. To znamená, že zmena času každej zovšeobecnenej súradnice bude súčtom harmonických kmitov s frekvenciami a . A takéto oscilácie sú nielen neharmonické, ale vo všeobecnosti nie sú periodické.

Zoberme si prípad voľných kmitov systému, keď sa vlastné frekvencie kmitov systému navzájom málo líšia:

Označme rozdiel v argumentoch sínusov vo všeobecnom riešení (4.18) rovníc voľných kmitov.

Keď je hodnota , a s pribúdajúcim časom táto závislosť narastá pre svoju malosť veľmi pomaly. Potom

Berúc do úvahy poslednú rovnosť, všeobecné riešenie rovníc voľných vibrácií (4.18) možno zapísať ako:

V týchto rovniciach

Keďže výrazy (4.21) závisia od a a uhol sa mení pomaly s časom, uvažované kmity (4.20) budú kmity s periodicky sa meniacou amplitúdou. Perióda zmeny amplitúdy je v tomto prípade oveľa dlhšia ako perióda oscilácie (obr. 4.1). Ak majú koeficienty rozdelenia amplitúdy rôzne znamienka, potom minimum zodpovedá maximu a naopak. Keď sa prvá hlavná vibrácia zintenzívňuje, intenzita druhej hlavnej vibrácie klesá a naopak, to znamená, že energia pohybu systému sa periodicky javí ako sústredená v jednom alebo druhom článku tohto vibračného systému. Tento jav sa nazýva bitie.

Iný prístup k riešeniu problému voľných kmitov sústavy je možný – nájsť nejaké nové zovšeobecnené súradnice a tzv normálne alebo Hlavná, pre ktoré za akýchkoľvek počiatočných podmienok bude pohyb jednofrekvenčný a harmonický.

Vzťah medzi zovšeobecnenými súradnicami a ľubovoľne zvolenými a hlavnými súradnicami možno vyjadriť takto:

kde a sú koeficienty rozdelenia amplitúdy (koeficienty tvaru). Dá sa ukázať, že prechod z pôvodných súradníc k hlavným vedie kvadratické formy kinetickej a potenciálnej energie ku kanonickej forme:

Dosadením výrazov (4.23) získaných za a do Lagrangeových rovníc druhého druhu dostaneme rovnice pre malé kmity sústavy v hlavných súradniciach: . Výrazy pre kinetickú a potenciálnu energiu budú mať kanonickú formu: a

Uvažujme malé kmity systému s dvoma stupňami voľnosti, ktorý je vystavený silám potenciálneho poľa a silám, ktoré sa periodicky menia v čase. Výsledné pohyby systému sa nazývajú nútené kmity.

Nech sa rušivé zovšeobecnené sily menia podľa harmonického zákona s časom, pričom majú rovnaké periódy a počiatočnú fázu. Potom pohybové rovnice posudzovaného systému budú mať tvar:

Pohybové rovnice v posudzovanom prípade sú sústavou lineárnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi a pravou stranou.

Prejdite na hlavné súradnice

Pre uľahčenie štúdia pohybových rovníc prejdime na hlavné súradnice systému. Vzťah medzi súradnicami je určený vzorcami z predchádzajúceho odseku formulára:

Označme zodpovedajúcim spôsobom zovšeobecnené sily zodpovedajúce normálovým súradniciam Keďže zovšeobecnené sily predstavujú koeficienty pre zodpovedajúce variácie zovšeobecnených súradníc pri vyjadrení elementárnej práce síl pôsobiacich na systém, potom

Preto:

Pohybové rovnice v hlavných súradniciach majú teda tvar:

Rovnice vynútených kmitov systému s dvoma stupňami voľnosti v normálnych súradniciach sú na sebe nezávislé a možno ich integrovať samostatne.

Kritické frekvencie rušivej sily

Rovnica pre alebo určuje oscilačnú povahu zmeny normálnych súradníc, podrobne študovanú pri zvažovaní nútenej oscilácie bodu pozdĺž priamky, pretože diferenciálne rovnice pohybu sú v oboch prípadoch rovnaké. Najmä ak sa frekvencia rušivej sily rovná frekvencii jednej z vlastných oscilácií systému, alebo potom riešenie bude zahŕňať čas t ako faktor. V dôsledku toho jedna z normálnych zovšeobecnených súradníc pre dostatočne veľké t bude ľubovoľne veľká, alebo máme fenomén rezonancie.