Témou tohto videonávodu budú vlastnosti pohybu, ako aj paralelný preklad. Na začiatku hodiny si ešte raz zopakujeme pojem pohybu, jeho hlavné druhy – osovú a stredovú súmernosť. Potom zvážime všetky vlastnosti pohybu. Rozoberme si pojem „paralelný prenos“, na čo slúži, vymenujme jeho vlastnosti.

Téma: Pohyb

Lekcia: Pohyb. Vlastnosti pohybu

Dokážme vetu: pri pohybe segment prechádza do segmentu.

Rozlúštime formuláciu vety pomocou obr. 1. Ak sú konce určitého segmentu MN počas pohybu zobrazené v niektorých bodoch M 1 a N 1, potom ktorýkoľvek bod P segmentu MN nevyhnutne pôjde do nejakého bodu P 1 segmentu M 1 N 1, a naopak, ku každému bodu Q 1 segmentu M 1 N 1 sa zobrazí nejaký bod Q segmentu MN.

Dôkaz.

Ako je zrejmé z obrázku, MN = MP + PN.

Nechajte bod P ísť do nejakého bodu P 1 "roviny. Definícia pohybu znamená rovnosť dĺžok segmentov MN \u003d M 1 N 1, MP \u003d M 1 P 1", PN \u003d P 1 "N 1. Z týchto rovnosti vyplýva, že M 1 Р 1 ", M 1 Р 1 "+ Р 1 "N 1 = MP + РN = MN = M 1 N 1, teda bod Р 1 "patrí do úsečka M 1 N 1 a zhoduje sa s bodom P 1, inak by namiesto vyššie uvedenej rovnosti platila nerovnosť trojuholníka M 1 P 1 "+ P 1" N 1 > M 1 N 1. To znamená, že sme dokázali že pri pohybe ľubovoľného bodu, ľubovoľného bodu P úsečky MN nevyhnutne pôjde do nejakého bodu P 1 úsečky M 1 N 1. Druhá časť vety (týkajúca sa bodu Q 1) sa dokáže presne tým istým spôsobom. .

Dokázaná veta platí pre všetky pohyby!

Veta: pri pohybe uhol prechádza do rovnakého uhla.

Nech je daný RAOB (obr. 2). A nech je daný nejaký pohyb, v ktorom vrchol РО ide do bodu О 1 a body A a B - respektíve do bodov А 1 a В 1 .

Uvažujme trojuholníky AOB a A 1 O 1 B 1 . Podľa podmienky vety sa body A, O a B počas pohybu presúvajú do bodov A 1, O 1 a B 1, resp. Preto existuje rovnosť dĺžok AO \u003d A 1 O 1, OB \u003d O 1 B 1 a AB \u003d A 1 B 1. Teda AOB \u003d A 1 O 1 B 1 na troch stranách. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich uhlov O a O 1.

Takže každý pohyb zachováva uhly.

Mnoho dôsledkov vyplýva zo základných vlastností pohybu, najmä z toho, že každá figúra počas pohybu je mapovaná na figúru, ktorá je jej rovná.

Zvážte iný typ pohybu - paralelný prenos.

Paralelný prenos na nejaký daný vektor sa nazýva také zobrazenie roviny na seba, pri ktorom každý bod M roviny smeruje do takého bodu M 1 tej istej roviny, ktorý (obr. 3).

Dokážme to paralelný preklad je pohyb.

Dôkaz.

Uvažujme ľubovoľný segment MN (obr. 4). Pri paralelnom prenose nech sa bod M presunie do bodu M 1 a bod N - do bodu N 1. V tomto prípade sú splnené podmienky paralelného prevodu: a . Zvážte štvoruholník

MM 1 N 1 N. Jeho dve protiľahlé strany (MM 1 a NN 1) sú rovnaké a rovnobežné, ako to diktujú podmienky paralelnej translácie. Preto je tento štvoruholník rovnobežníkom podľa jedného z jeho atribútov. To znamená, že ďalšie dve strany (MN a M 1 N 1) rovnobežníka majú rovnakú dĺžku, čo sa malo dokázať.

Paralelný prenos je teda skutočne pohyb.

Poďme si to zhrnúť. Poznáme už tri typy pohybu: osová súmernosť, stredová súmernosť a paralelná translácia. Dokázali sme, že pri pohybe segment prechádza do segmentu a uhol do uhla, ktorý sa mu rovná. Okrem toho sa dá ukázať, že priamka prechádza pri pohybe do priamky a kružnica prechádza do kružnice s rovnakým polomerom.

1. Atanasyan L. S. a ďalší. Geometria ročníky 7-9. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Farkov A. V. Testy z geometrie: 9. ročník. K učebnici L. S. Atanasyana a iných - M .: Skúška, 2010.

3. A. V. Pogorelov, Geometria, úč. pre 7-11 buniek. všeobecný inšt. - M.: Osveta, 1995.

1. Ruský vzdelávací portál ().

2. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().

1. Atanasyan (pozri odkazy), s. 293, § 1, bod 114.

Vlastnosť 1. Nech f je pohyb bodov v rovine, A", B" a C" sú obrazy bodov A, B a C pri pohybe f. Potom body A", B" a C" ležia na jednej priamke vtedy a len vtedy, keď sú body A, B a C kolineárne.

Vlastnosť 4. Pri pohybe sa premení na jemu rovnú úsečku Vlastnosť 5. Pri pohybe sa lúč premení na lúč.

Vlastnosť 7. Nech je daná kružnica s polomerom r so stredom v bode O. Potom sa pri pohybe premení na kružnicu s rovnakým polomerom so stredom v bode, ktorý sa zhoduje s obrazom stredu O.

Pod afinným rovinným rámcom rozumieme usporiadanú trojicu nekolineárnych bodov. Vlastnosť 7. Pri pohybe sa rám premení na rám a ortonormálny rám na ortonormálny rám.

Veta (Základná veta o pohyboch). Nech sú v rovine dané ortonormálne rámce u. Potom je tu jedinečný ťah g, ktorý prenesie snímku R do R": .

Dôsledok. Ak f je pohyb roviny: preloženie ortonormálneho rámca R do ortonormálneho rámca R“, potom každý bod M roviny so súradnicami x a y relatívne k R zodpovedá bodu M"= f(M) s rovnakým súradnice x a y relatívne k R".

„Skúmanie pohybov roviny a niektorých ich vlastností“. strana 21 z 21

Skúmanie pohybov roviny

a niektoré ich vlastnosti

Obsah

Z histórie vývoja teórie pohybov.

Definícia a vlastnosti pohybov.

Zhoda čísel.

Druhy pohybov.

4.1. Paralelný prenos.

4.2. Otočte sa.

4.3. Symetria okolo priamky.

4.4. Posuvná symetria.

5. Štúdium špeciálnych vlastností osovej súmernosti.

6. Skúmanie možnosti existencie iných typov pohybov.

7. Veta o mobilite. Dva druhy pohybov.

8. Klasifikácia pohybov. Challova veta.

Pohyby ako skupina geometrických transformácií.

Aplikácia pohybov pri riešení problémov.

Literatúra.

História vývoja teórie pohybov.

Za prvého, kto začal dokazovať niektoré geometrické tvrdenia, sa považuje starogrécky matematik Táles z Milétu(625-547 pred Kr.). Práve vďaka Thalesovi sa geometria začala meniť zo súboru praktických pravidiel na skutočnú vedu. Pred Thalesom dôkazy jednoducho neexistovali!

Ako vykonal Thales svoje dôkazy? Na tento účel používal pohyby.

Pohyb - ide o transformáciu obrazcov, pri ktorej sú zachované vzdialenosti medzi bodmi. Ak sú dve figúry navzájom presne spojené pomocou pohybu, potom sú tieto figúry rovnaké, rovnaké.

Týmto spôsobom Thales dokázal množstvo prvých geometrických teorémov. Ak sa rovina otáča ako tuhý celok okolo nejakého bodu O 180 o, lúč OA pôjde na jeho pokračovanie OA ’ . S takými sústruženie (tiež nazývaný stredová symetria vycentrovaný O ) každý bod ALE presunie sa do bodu ALE ’ , čo O je stredom segmentu AA ’ (obr. 1).

Obr.1 Obr.2

Nechať byť O - spoločný vrchol zvislých rohov AOB a ALE ’ OV ’ . Potom je ale jasné, že pri otočení o 180° budú strany jedného z dvoch vertikálnych uhlov len prechádzať na strany druhého, t.j. tieto dva rohy sú zarovnané. To znamená, že vertikálne uhly sú rovnaké (obr. 2).

Thales použil na dôkaz rovnosti uhlov v základni rovnoramenného trojuholníka osová súmernosť : skombinoval dve polovice rovnoramenného trojuholníka ohnutím kresby pozdĺž osi uhla na vrchole (obr. 3). Rovnakým spôsobom Thales dokázal, že priemer pretína kruh.

Obr.3 Obr.4

Aplikovaný Thales a ďalšie hnutie - paralelný prenos , pri ktorej sú všetky body obrazca posunuté v určitom smere o rovnakú vzdialenosť. S jeho pomocou dokázal vetu, ktorá teraz nesie jeho meno:

ak sú rovnaké segmenty odložené na jednej strane uhla a cez konce týchto segmentov sú nakreslené rovnobežné čiary, až kým sa nepretínajú s druhou stranou uhla, potom sa rovnaké segmenty získajú aj na druhej strane uhla(obr. 4).

V dávnych dobách myšlienku pohybu používali aj slávni Euklides, autor knihy „Začiatky“ – knihy, ktorá prežila viac ako dve tisícročia. Euklides bol súčasníkom Ptolemaia I., ktorý vládol v Egypte, Sýrii a Macedónii v rokoch 305-283 pred Kristom.

Pohyby boli implicitne prítomné napríklad v Euklidovom uvažovaní pri dokazovaní znakov rovnosti trojuholníkov: „Vnucujme jeden trojuholník druhému tak a onak.“ Podľa Euklida sa dve postavy nazývajú rovnocenné, ak sa dajú „spojiť“ všetkými svojimi bodmi, t.j. posunutím jednej figúry ako pevného celku ju možno presne navrstviť na druhú figúrku. Pre Euklida pohyb ešte nebol matematickým pojmom. Systém axióm, ktorý prvýkrát uviedol v „Princípoch“ sa stal základom geometrickej teórie tzv. Euklidovská geometria.

V modernej dobe pokračuje rozvoj matematických disciplín. Analytická geometria bola vytvorená v 11. storočí. Profesor matematiky na Univerzite v Bologni Bonaventure Cavalieri(1598-1647) publikuje esej "Geometria, vyjadrená novým spôsobom pomocou nedeliteľného spojitého." Podľa Cavalieriho možno akúkoľvek plochú postavu považovať za súbor rovnobežných čiar alebo „stôp“, ktoré čiara zanecháva, keď sa pohybuje rovnobežne so sebou samým. Podobne sa dáva predstava o telesách: vznikajú pri pohybe rovín.

Ďalší rozvoj teórie pohybu je spojený s menom francúzskeho matematika a historika vedy Michel Chall(1793-1880). V roku 1837 vydal prácu „Historický prehľad o vzniku a vývoji geometrických metód“. V procese vlastného geometrického výskumu Schall dokazuje najdôležitejšiu vetu:

každý orientačný pohyb roviny je buď

paralelný posun alebo rotácia,

každý pohyb roviny meniaci orientáciu je buď axiálny

symetria alebo posuvná symetria.

Dôkaz Challovej vety je plne vykonaný v bode 8 tohto abstraktu.

Významným obohatením, za ktoré geometria vďačí 19. storočiu, je vytvorenie teórie geometrických transformácií, najmä matematickej teórie pohybov (posunov). Do tejto doby bolo potrebné klasifikovať všetky existujúce geometrické systémy. Tento problém vyriešil nemecký matematik Christian Felix Klein(1849-1925).

V roku 1872, keď sa ujal post profesora na univerzite v Erlangene, mal Klein prednášku na tému „Porovnávací prehľad najnovších geometrických výskumov“. Nazvala sa ním myšlienka prehodnotiť celú geometriu na základe teórie pohybov "Program Erlangen".

Podľa Kleina, aby ste vytvorili konkrétnu geometriu, musíte špecifikovať množinu prvkov a skupinu transformácií. Úlohou geometrie je študovať tie vzťahy medzi prvkami, ktoré zostávajú invariantné pri všetkých transformáciách danej skupiny. Napríklad Euklidova geometria študuje tie vlastnosti postáv, ktoré zostávajú počas pohybu nezmenené. Inými slovami, ak je jedna postava získaná od druhej pohybom (takéto postavy sa nazývajú kongruentné), potom tieto postavy majú rovnaké geometrické vlastnosti.

V tomto zmysle tvoria pohyby základ geometrie a päť axiómy kongruencie sú vyčlenené samostatnou skupinou v systéme axióm modernej geometrie. Tento úplný a dosť prísny systém axióm, zhŕňajúci všetky predchádzajúce štúdie, navrhol nemecký matematik David Gilbert(1862-1943). Jeho systém dvadsiatich axióm, rozdelených do piatich skupín, bol prvýkrát publikovaný v roku 1899 v knihe "Základy geometrie".

V roku 1909 nemecký matematik Friedrich Schur(1856-1932) podľa myšlienok Thalesa a Kleina vyvinul ďalší systém axióm geometrie - založený na zvažovaní pohybov. V jeho systéme najmä namiesto Hilbertovej skupiny axióm kongruencie skupina troch axiómy pohybu.

Typy a niektoré dôležité vlastnosti pohybov sú podrobne diskutované v tejto eseji, ale možno ich stručne vyjadriť takto: pohyby tvoria skupinu, ktorá definuje a určuje euklidovskú geometriu.

Definícia a vlastnosti pohybov.

Posunutím každého bodu tohto obrazca nejakým spôsobom sa získa nový obrazec. Hovorí sa, že toto číslo je prijaté transformácia z tohto. Premena jednej figúry na druhú sa nazýva pohyb, ak zachováva vzdialenosti medzi bodmi, t.j. preloží ľubovoľné dva body X a Y jeden tvar na bod X ’ a Y ’ inú postavu tak XY = X ’Y ’.

Definícia. Transformácia tvaru, ktorá zachováva vzdialenosť

medzi bodmi sa nazýva pohyb tohto útvaru.

! komentár: pojem pohybu v geometrii je spojený s obvyklou myšlienkou posunu. Ale ak si pri premiestňovaní predstavíme kontinuálny proces, tak v geometrii nám bude záležať len na počiatočnej a konečnej (obrazovej) polohe obrazca. Tento geometrický prístup sa líši od fyzikálneho.

Pri pohybe zodpovedajú rôzne body rôznym obrázkom a každému bodu X jeden údaj zodpovedá jedinému bodka X ’ ďalšia postava. Tento typ transformácie sa nazýva one-to-one alebo bijective.

Pokiaľ ide o pohyby, namiesto pojmu „rovnosť“ obrazcov (priamky, segmenty, roviny atď.) sa používa pojem "kongruencia" a používa sa symbol  . Symbol є sa používa na označenie príslušnosti. S ohľadom na to môžeme poskytnúť presnejšiu definíciu pohybu:

Pohyb je bijektívna transformácia φ roviny π, pod ktorou pre ľubovoľné

rôzne body X, Y є π vzťah XY  φ (X ) φ (Y ).

Výsledkom postupného vykonania dvoch pohybov je tzv zloženie. Ak sa najprv vykoná ťah φ , po ktorom nasleduje pohyb ψ , potom sa zloženie týchto pohybov označí ψ ◦ φ .

Najjednoduchším príkladom pohybu je zobrazenie identity (zvyčajne sa označuje - ε ), v ktorom každý bod X , prislúchajúci rovine, porovnáva sa tento samotný bod, t.j. ε (X ) = X .

Pozrime sa na niektoré dôležité vlastnosti pohybov.

C nehnuteľnosť 1.

Lema 2. 1. Zloženieφ ◦ ψ dva pohybyψ , φ je pohyb.

Dôkaz.

Nechajte postavu F preložené pohybom ψ do postavy F “ a obrázok F “ sa prekladá pohybom φ do postavy F ''. Nechajte bod X postavy F ide k veci X ' tvary F “ a počas druhej časti bod X ' tvary F “ ide k veci X '' čísla F ''. Potom premena postavy F do postavy F '', v ktorom je ľubovoľný bod X postavy F ide k veci X '' čísla F '', zachováva vzdialenosť medzi bodmi, a preto je tiež pohybom.

Všimnite si, že nahrávanie skladby vždy začína od poslednej časti, pretože výsledkom kompozície je výsledný obrázok - dáva sa do súladu s originálom:

X ’’= ψ (X ’) = ψ (φ (X )) = ψ ◦ φ (X )

C nehnuteľnosť 2.

Lema 2.2 . Akφ – pohyb, potom premenaφ -1 je tiež pohyb.

Dôkaz.

Nechajte transformáciu tvaru F do postavy F “ prekladá rôzne body obrázku F na rôznych miestach na obrázku F '. Nechajte svojvoľný bod X postavy F pod touto transformáciou ide do bodu X ' tvary F ’.

Transformácia tvaru F do postavy F , na ktorom je bod X “ ide k veci X , sa volá transformácia inverzná k danej. Za každý pohyb φ je možné definovať spätný pohyb, ktorý je označený φ -1 .

Argumentovaním podobne ako pri dôkaze vlastnosti 1 môžeme overiť, že inverzná transformácia k pohybu je tiež pohybom.

Je zrejmé, že transformácia φ -1 spĺňa rovnosť:

f ◦ f -1 = f -1 ◦ f = ε , kde ε je identický displej.

Nehnuteľnosť 3 (asociatívnosť skladieb).

Lema 2.3. Nech φ 1 , φ 2 , φ 3 - dobrovoľné pohyby. Potom φ 1 ◦(φ 2 ◦ φ 3 ) = (φ 1 ◦φ 2 )◦φ 3 .

Skutočnosť, že skladba pohybov má vlastnosť asociatívnosti, nám umožňuje určiť stupeň φ s prirodzeným indikátorom n .

Položme φ 1 = φ a φ n+1 = φ n ◦ φ , ak n ≥ 1 . Teda pohyb φ n získané od n -viacnásobné sekvenčné použitie pohybu φ .

C nehnuteľnosť 4 (udržiavanie priamosti).

Veta 2. 1. Body ležiace na rovnakej priamke pri pohybe prechádzajú do bodov,

Pohyb telesá pod vplyvom gravitácie

Kurz >> Fyzika

Typ trajektórií ich pohyby potvrdzuje zvýšený ... aero- a hydrodynamika je štúdium pohyby tuhé látky v plyne a ... trenie) je nehnuteľnosť skutočné tekutiny odolávajú... sud a lietadlo obzor ramená vytvorený niektoré injekcia,...

Štúdium rozvody elektrickej vodivosti v pretlakových detonačných vlnách v kondenzovaných výbušninách

Diplomová práca >> Chémia

... výskumu elektrofyzikálne vlastnosti... výsledky a ich analýza 2.1 ... produkty detonácie v lietadlo Chapman-Jouguet ... vám umožňuje počítať pohybu elektrónový semiklasický. ... Kartashov A. M., Svih V. G. O niektoré systematické chyby v meraní vodivosti ...

Vlastnosti inžinierske materiály (2)

Praktická práca >> Priemysel, výroba

ODDIEL I Konštrukčné ocele a zliatiny Konštrukčné ocele sú tie, ktoré sú určené na výrobu častí strojov (strojárenské ocele), konštrukcií a konštrukcií (stavebné ocele). Uhlíkové konštrukčné ocele Uhlíkové konštrukčné...

Úvod.

Geometrické transformácie sú pomerne neskorým odvetvím matematiky. O prvých geometrických premenách sa začalo uvažovať v 17. storočí, zatiaľ čo projektívne premeny sa objavili až začiatkom 19. storočia.

V algebre sa berú do úvahy rôzne funkcie. Funkcia f priradí každému číslu x z definičného oboru funkcie určité číslo f(x) - hodnotu funkcie f v bode x. V geometrii sa berú do úvahy funkcie, ktoré majú iné domény definície a množiny hodnôt. Každej bodke pridelia bod. Tieto funkcie sa nazývajú geometrické transformácie.

Geometrické transformácie majú v geometrii veľký význam. Pomocou geometrických transformácií sú definované také dôležité geometrické pojmy ako rovnosť a podobnosť obrazcov. Vďaka geometrickým transformáciám mnohé odlišné fakty geometrie zapadajú do koherentnej teórie.

V abstrakte budeme hovoriť hlavne o premenách priestoru. Do úvahy sa budú brať všetky pohyby, podobnosti, kruhové a afinné premeny priestoru, ako aj afinné a projektívne premeny roviny. Pre každú transformáciu budú zvážené jej vlastnosti a príklady aplikácie pri riešení geometrických úloh.

Najprv sa pozrime na niektoré základné pojmy, ktoré budeme potrebovať pri práci s transformáciami. Zastavme sa pri dvoch pojmoch: vzdialenosť a premena. Čo teda myslíme týmito slovami:

Definícia. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi budeme nazývať dĺžku segmentu s koncami v týchto bodoch.

Definícia. Transformácia množina sa nazýva mapovanie jednej ku jednej tejto množine na seba.

Teraz prejdime k úvahám o určitých typoch geometrických transformácií.

Časť I. Pohyby priestoru.

Všeobecné vlastnosti pohybov.

Definícia. Premena priestoru je tzv pohyb, ak zachová vzdialenosti medzi bodmi.

Vlastnosti pohybu.

1. Transformácia inverzná k pohybu je pohyb.
2. Zloženie pohybov je pohyb.
3. Pri pohybe sa priamka mení na priamku, lúč na lúč, úsečka na úsečku, rovina na rovinu, polrovina na polrovinu.
4. Obraz rovinného uhla v pohybe je rovinný uhol rovnakej veľkosti.
5. Pohyb zachováva uhol medzi priamkami, medzi priamkou a rovinou, medzi rovinami.
6. Pohyb zachováva rovnobežnosť priamok, priamky a roviny, rovín.

Doklady o nehnuteľnostiach.

1 a 2. Vyplývajte z definície pohybu.

1. Nech body A, X a B ležia na tej istej priamke a bod X leží medzi A a B. Potom AX + XB = AB. Nech sú body А´, Х´, В´ obrazmi bodov А, Х, В počas pohybu. Potom А´Х´+Х´В´=А´В´ (z definície pohybu). A z toho vyplýva, že body A´, X´, B´ ležia na jednej priamke a X´ leží medzi A´ a B´.
   Z osvedčeného tvrdenia hneď vyplýva, že pri pohybe sa priamka mení na priamku, lúč na lúč, úsečka na úsečku.

Pre rovinu možno dôkaz vykonať nasledovne. Nech a, b sú dve priesečníky našej roviny α, a´, b´ ich obrazy. Je zrejmé, že a´ a b´ sa pretínajú. Nech α´ je rovina obsahujúca priamky a´, b´. Dokážme, že α´ je obrazom roviny α. Nech М je ľubovoľný bod roviny α, ktorý neleží na priamkach a a b. Nakreslite priamku c až M, ktorá pretína priamky a a b v rôznych bodoch. Obrazom tejto priamky je priamka c´ pretínajúca priamky a´, b´ v rôznych bodoch. To znamená, že aj M´, obraz bodu M, leží v rovine α´. Obraz ľubovoľného bodu roviny α teda leží v rovine α´. Podobne je dokázané, že predobraz ľubovoľného bodu roviny α´ leží v rovine α. α´ je teda obrazom roviny α.

Teraz nie je ťažké dokázať tvrdenie aj pre polrovinu. Treba len doplniť polrovinu do roviny, zvážiť priamku a, ktorá ohraničuje polrovinu, a jej obraz a´ a potom protirečením dokázať, že obrazy ľubovoľných dvoch bodov polroviny ležia na rovnaká strana a'.

1. Vyplýva z vlastnosti 3.
2. Vyplýva to z vlastnosti 4 a definície uhla medzi priamkami (priamka a rovina, dve roviny) v priestore.
3. Predpokladajme opak, t.j. nech sa obrazy našich rovnobežiek (priamka a rovina, roviny) pretínajú (pri rovnobežkách je ešte potrebné ukázať, že ich obrazy nemôžu byť šikmé priamky, ale to hneď vyplýva z toho, že rovina obsahujúca tieto čiary prejdú do roviny). Potom zvážte ich spoločný bod. Bude mať dva prototypy, čo je podľa definície transformácie nemožné.

Definícia. Obrázok F sa nazýva rovnýčíslo Ф´, ak existuje pohyb, ktorý premieňa Ф na Ф´.

Druhy pohybov.

3.1. Transformácia identity.

Definícia. Transformácia identity Priestor E sa nazýva transformácia, v ktorej každý bod priestoru prechádza do seba.

Je zrejmé, že identická transformácia je pohyb.

3.2. Paralelný prenos.

Definícia. Nech je vektor daný v priestore. Paralelný prenos priestor na vektor sa nazýva transformácia, v ktorej je každý bod M zobrazený do bodu M´ tak, že .

Veta 3.2. Paralelný prenos - pohyb.

Dôkaz. Nech А´, В´ sú obrazy bodov А, В pri paralelnom prenose do vektora . Stačí ukázať, že AB=A´B´, čo vyplýva z rovnosti:

Prevod majetku. Paralelný preklad preloží priamku (rovinu) do seba alebo na priamku s ňou rovnobežnú (rovinu).

Dôkaz. Pri dokazovaní vety 3.2 sme dokázali, že vektory sú zachované pri paralelnom preklade. To znamená, že smerové vektory priamok a normálové vektory rovín sú zachované. Tu nasleduje naše tvrdenie.

stredová symetria.

Definícia. Symetria vzhľadom na bod O ( stredová symetria) priestoru je transformácia priestoru, ktorá mapuje bod O na seba a mapuje akýkoľvek iný bod M na bod M´ tak, že bod O je stredom segmentu MM´. Bod O sa nazýva stred symetrie.

Veta 3.4. Stredová symetria - pohyb.

Dôkaz.

Nech A, B sú dva ľubovoľné body, A´, B´ ich obrazy, О stred symetrie. Potom .

vlastnosť stredovej symetrie. Stredová symetria berie priamku (rovinu) do seba alebo do priamky rovnobežnej s ňou (rovinu).

Dôkaz. Pri dokazovaní vety 3.4 sme dokázali, že vektory sú pri paralelnom preklade obrátené. To znamená, že smerové vektory priamok a normálové vektory rovín so stredovou symetriou menia iba smery. Tu nasleduje naše tvrdenie.

Veta o priradení pohybu.

Veta 5.1. (teorém o špecifikácii pohybu) Ak sú dané dva štvorsteny ABCD a A´B´C´D´ s príslušnými rovnakými hranami, potom existuje jeden a len jeden pohyb priestoru, ktorý mapuje body A, B, C, D v tomto poradí na body A´, B´, C´, D'.

Dôkaz.

ja Existencia. Ak sa A zhoduje s A´, B sa zhoduje s B´, C sa zhoduje s C´, D sa zhoduje s D´, potom je daná jednoducho transformácia identity. Ak nie, potom s určitosťou predpokladáme, že A sa nezhoduje s A'. Uvažujme rovinu α symetrie bodov A a A´. Nech symetria S α prenesie štvorsten ABCD do štvorstenu A´B 1 C 1 D 1 .

Ak sa В 1 zhoduje s В´, С 1 - s С´, D 1 - s D´, potom je dôkaz hotový. Ak nie, potom môžeme bez straty všeobecnosti predpokladať, že body ´´ a ´ 1 sa nezhodujú. Uvažujme rovinu β súmernosti bodov B 1 a B´. Bod A´ je rovnako vzdialený od bodov B1 a B´, preto leží v rovine β. Nech symetria S β prenesie štvorsten A´B 1 C 1 D 1 do štvorstenu A´B´C 2 D 2 .

Ak sa С 2 zhoduje s С´ a D 2 sa zhoduje s D´, potom je dôkaz hotový. Ak nie, potom môžeme bez straty všeobecnosti predpokladať, že body С´ a С 2 sa nezhodujú. Uvažujme rovinu γ symetrie bodov С 2 a С´. Body А´, В´ sú rovnako vzdialené od bodov С 2 a С´, preto ležia v rovine γ. Nech symetria S γ prenesie štvorsten A´B´C 2 D 2 do štvorstenu A´B´C´D 3 .

Ak sa D 3 zhoduje s D´, potom je dôkaz hotový. Ak nie, potom uvažujme rovinu δ symetrie bodov D 3 a D´. Body А´, В´, С´ sú rovnako vzdialené od bodov D 3 a D´, preto ležia v rovine δ. Preto symetria S δ preberá štvorsten A´B´C´D 3 do štvorstenu A´B´C´D´.

Zložením požadovaného počtu zrkadlových symetrií sa teda zmení štvorsten ABCD na štvorsten A´B´C´D´. A táto premena je pohyb (vlastnosť 2 pohybov).

II. Jedinečnosť. Nech existujú 2 pohyby f a g, ktoré vedú z A do A´, B do B´, C do C´, D do D´. Potom je pohyb identickou transformáciou, keďže necháva body A, B, C, D pevné. Takže f=g.

V dôkaze vety 5.1 (existencia) je v skutočnosti

Veta 5.2. Akýkoľvek pohyb priestoru je kompozíciou nie viac ako štyroch zrkadlových symetrií.

Homoteta priestoru.

Uvažujme najprv o dôležitom konkrétnom prípade podobnosti, homotete.

Definícia. Homothety so stredom O a koeficientom je transformácia priestoru, v ktorej obrazom každého bodu X je bod X´ taký, že .

Vlastnosti rovnorodosti.

Doklady o nehnuteľnostiach.

1 a 2. Vyplývajte z definície homotetity.

3. Dokazuje sa podobne ako príslušná veta o rovine. Skutočne, ak uvažujeme ľubovoľný bod X priestoru, bude nám stačiť dokázať našu vetu pre rovinu (AXB).

4. Dokázané protirečením.

1. Vyplýva z vlastnosti 1.

vlastnosti podobnosti.

Veta 2.1. Podobnosť priestoru môže byť reprezentovaná zložením homotety a pohybu f:

Dôkaz. Urobme rovnosť so stredom v ľubovoľnom bode. Uvažujme transformáciu f takú, že (existencia takejto transformácie vyplýva z definície transformácie). Transformácia f bude pohybom podľa definície pohybu.

Všimnite si, že výberom pre pohyb f môžeme získať reprezentáciu našej podobnosti aj v tejto forme.

vlastnosti podobnosti.

Doklady o nehnuteľnostiach.

1 a 2. Dôsledky z vety 2.1.

3. Vyplýva z definície podobnosti.

4. Pre kocku veta zjavne platí. Pre telo zložené z kociek samozrejme tiež.

Na kubickú mriežku možno vložiť ľubovoľný mnohosten M. Túto mriežku prebrúsime. Keďže strana jednej kocky našej mriežky má tendenciu k nule, objemy dvoch telies: telesa I, pozostávajúceho z kociek ležiacich úplne vo vnútri M, a telesa S, pozostávajúceho z kociek, ktoré majú spoločné body s M, majú tendenciu k objemu. mnohostenu M (vyplýva to z toho, že pre každú plochu nášho mnohostenu M bude objem kociek pretínajúcich túto plochu inklinovať k nule). Zároveň pre obraz M´ mnohostenu M s našou podobnosťou majú objemy telies I´, S´ (obrazy telies I, S) tendenciu k objemu mnohostenu M´. Pre telesá I a S platí naša veta, čo znamená, že platí aj pre mnohosten M.

Objem ľubovoľného telesa je určený z hľadiska objemov príslušných mnohostenov, takže veta platí aj pre ľubovoľné teleso.

Veta 2.2. (o nastavení podobnosti priestoru) Ak sú zadané dva štvorsteny ABCD a A´B´C´D´ tak, že , potom existuje práve jedna podobnosť priestoru, pre ktorú A→A´, B→B´, С→С´, D→D´.

Dôkaz. To, že takáto podobnosť existuje, vyplýva z vety 2.1 a vety o špecifikácii pohybu priestoru (časť I, veta 5.1). Nech sú dve takéto transformácie: P a Р´. Potom je transformáciou pohyb, ktorý má pevné body A, B, C, D, t.j. f je transformácia identity. Preto P = P'.

Úloha 1.

Body M, N, P sa nachádzajú na stranách AB, BC, AC trojuholníka ABC. Body M´, N´, P´ sú symetrické k bodom M, N, P vzhľadom na strany AB, BC, AC. Dokážte, že obsahy trojuholníkov MNP a M´N´P´ sú rovnaké.

rozhodnutie.

Pre pravidelný trojuholník je tvrdenie zrejmé.

Rovnakým spôsobom možno afinnou transformáciou premeniť akýkoľvek lichobežník na rovnoramenný, t.j. stačí dokázať akékoľvek afinné tvrdenie pre rovnoramenný lichobežník.

Úloha 2.

V lichobežníku ABCD so základňami AD a BC je bodom B vedená priamka rovnobežná so stranou CD a pretínajúca uhlopriečku AC v bode P a bodom C priamka rovnobežná so stranou AB a pretínajúca uhlopriečku BD v bode Q. Dokážte že čiara PQ je rovnobežná so základňami lichobežníka.

rozhodnutie.

Pre rovnoramenný lichobežník je tvrdenie zrejmé.

Kompresia na priamku.

Definícia. Kompresia na priamkuℓ s koeficientom k () je transformácia, ktorá vezme ľubovoľný bod M do bodu M´ tak, že a , kde .

Veta 2.1. Kontrakcia na priamku je afinná transformácia.

Dôkaz. Priamou kontrolou sa presvedčíme, že priamka prechádza do priamky. Môžete si dokonca všimnúť, že zmenšenie na priamku je špeciálny prípad rovnobežného premietania (keď je smer premietania kolmý na priesečník rovín).

Veta 2.2. Pre akúkoľvek afinnú transformáciu existuje štvorcová mriežka, ktorá sa pri tejto transformácii premení na obdĺžnikovú mriežku.

Dôkaz. Zoberme si ľubovoľnú štvorcovú mriežku a uvažujme jeden z jej štvorcov OABS. Našou transformáciou sa zmení na rovnobežník О´А´В´С´. Ak je O'A'B'C' obdĺžnik, potom je náš dôkaz úplný. V opačnom prípade s určitosťou predpokladáme, že uhol А´О´В´ je ostrý. Otočíme štvorec OABS a celú našu mriežku okolo bodu O. Keď sa štvorec OABS zapne (takže bod A sa presunie do bodu B), bod A´ pôjde do bodu B´ a B´ do vrcholu rovnobežník susediaci s O´A´ W´S´. Tie. uhol A´O´B´ sa stáva tupým. Podľa princípu kontinuity bol v určitom momente rovný. V tejto chvíli sa štvorcový OABS zmenil na obdĺžnik a naša mriežka na obdĺžnikovú mriežku atď.

Veta 2.3. Afinná transformácia môže byť reprezentovaná kompozíciou kontrakcie na priamku a podobnosťou.

Dôkaz. Vyplýva z vety 2.2.

Veta 2.4. Afinná transformácia, ktorá premieňa určitý kruh na kruh, je podobnosť.

Dôkaz. Opíšeme štvorec v blízkosti nášho kruhu a otočíme ho tak, aby sa pri našej transformácii zmenil na obdĺžnik (Veta 2.2.). Náš kruh prejde do kruhu vpísaného do tohto obdĺžnika, takže tento obdĺžnik je štvorec. Teraz môžeme určiť štvorcovú sieť, ktorú naša transformácia premení na štvorcovú sieť. Je zrejmé, že naša transformácia je podobná.

3. Afinné premeny priestoru.

Definícia. afinný priestorová transformácia je priestorová transformácia, ktorá premieňa každú rovinu na rovinu.

Vlastnosti.

1. Pri afinnej transformácii sa z priamych čiar stanú priame čiary.
2. Afinná transformácia priestoru vyvoláva afinné mapovanie každej roviny na jej obraz.
3. Pri afinnej transformácii prechádzajú rovnobežné roviny (priamky) do rovnobežných rovín (priamky).

Doklady o nehnuteľnostiach.

1. Vyplýva to zo skutočnosti, že priamka je priesečníkom dvoch rovín a z definície afinnej transformácie.
2. Vyplýva to z definície afinnej transformácie a vlastnosti 1.
3. Pre roviny sa to dokazuje protikladom, pre priamky - vlastnosťou 2 a vlastnosťou afinnej transformácie roviny.

Veta 3.1. (pri špecifikovaní transformácie afinného priestoru) Pre každý daný štvorsten ABCD a A´B´C´D´ existuje jedinečná afinná transformácia, ktorá preberá A na A´, B na B´, C na C´, D na D´.

Dôkaz. Dôkaz je podobný ako veta 1.1. (sú konštruované mriežky rovnobežnostenov).

Z dôkazu vety 3.1 vyplýva, že ak máme nejaký šikmý súradnicový systém W a W´ je jeho obrazom pri afinnej transformácii, tak súradnice ľubovoľného bodu v priestore v súradnicovom systéme W sa rovnajú súradniciam jeho súradnicového systému. obraz v súradnicovom systéme W´.

Z toho hneď vyplývajú ďalšie vlastnosti afinná transformácia.

1. Afinná transformácia je afinná.
2. Afinné transformácie zachovávajú pomery dĺžok paralelných segmentov.

Teraz nech je súradnicový systém (O, , , ) daný v priestore a afinná transformácia f naberá O na O´ a základné vektory na vektory , , resp. Nájdite súradnice x´, y´, z´ obrazu M´(x´,y´,z´) bodu M(x,y,z) pri transformácii f.

Budeme vychádzať z toho, že bod M v súradnicovom systéme (О, , , ) má rovnaké súradnice ako bod М´ v súradnicovom systéme (О´, , , ). Odtiaľ

Preto máme rovnosti (*):

Za zmienku tiež stojí , pretože vektory , , sú lineárne nezávislé.

Tento determinant sa nazýva afinný transformačný determinant.

Veta 3.2. Transformácia daná rovnosťami (*) at je afinná.

Dôkaz. Stačí skontrolovať, či je inverzná transformácia k transformácii (*) afinná (vlastnosť 4). Zoberme si ľubovoľnú rovinu Аx´+Вy´+Сz´+D=0, kde А, В, С sa zároveň nerovnajú nule. Vykonaním substitúcií (*) získame rovnicu jeho predobrazu:

Zostáva len skontrolovať, či koeficienty pri x, y, z vo výslednej rovnici nie sú súčasne rovné nule. To je pravda, pretože inak systém

s nenulovým determinantom by malo iba nulové riešenie: A=B=C=0, čo nie je pravda.

Veta 3.3. Pre objemy V a V´ telies zodpovedajúcich afinnej premene existuje závislosť .

Dôkaz. Nech nekoplanárne vektory , , tvoria vektorový základ priestoru a nech vektory , a . Výpočtom zmiešaného produktu týchto vektorov dostaneme:

.

Využime fakt, že objem orientovaného rovnobežnostena postaveného na vektoroch ako na hranách sa rovná zmiešanému súčinu týchto vektorov:

,

kde V 0 je objem kvádra postaveného na základných vektoroch.

Afinná transformácia nemení súradnice zodpovedajúcich vektorov v zodpovedajúcich bázach. Preto pre objem V´ obrazu rovnobežnostena objemu V máme:

,

kde je objem kvádra postaveného na vektoroch ako na hranách.

Odtiaľto dostávame: . Ďalej , tak pre neorientované objemy máme . Túto rovnosť možno rozšíriť na všetky orgány obdobným spôsobom ako pri preukazovaní vlastnosti 4 podobnosti (časť II, § 2).

Úloha.

Vrchol kvádra je spojený so stredmi troch plôch, ktoré ho neobsahujú. Nájdite pomer objemu výsledného štvorstenu k objemu daného rovnobežnostena.

rozhodnutie.

Vypočítajme tento pomer pre kocku a po premene kocky na rovnobežnosten afinnou transformáciou využijeme fakt, že afinná transformácia zachová pomer objemov. Pre kocku sa pomer ľahko vypočíta. Rovná sa 1:12.

odpoveď: 1:12.

Vzťah priestoru.

Definícia. Afinná transformácia priestoru s rovinou pevných bodov sa nazýva súvisiaca premena ρ (príbuzenstvo), a nazýva sa rovina jeho pevných bodov príbuzenská rovina. Prvky, ktoré spolu súvisia, sa nazývajú súvisiace.

Definícia. Smer čiar spájajúcich súvisiace body sa nazýva smer príbuzenstva.

príbuzenské vlastnosti.

1. Súvisiace čiary (roviny) sa pretínajú na rovine príbuzenstva alebo sú s ňou rovnobežné.
2. (Správnosť určenia smeru príbuzenstva)Čiary, z ktorých každá spája dva súvisiace body, sú rovnobežné.
3. Ak smer vzťahu nie je rovnobežný s rovinou tohto vzťahu, potom každý segment spájajúci dva súvisiace body je rozdelený rovinou vzťahu v rovnakom pomere.
4. Akákoľvek rovina rovnobežná so smerom príbuzenstva je v tomto príbuzenstve nehybná. V nej sa indukuje vzťah roviny (afinná transformácia, ktorá má priamku pevných bodov, nazývanú os vzťahu), ktorej osou je priamka jej priesečníka s rovinou daného priestorového vzťahu.

Doklady o nehnuteľnostiach.

1. Dôkaz je podobný dôkazu vlastnosti zrkadlovej symetrie (časť I, § 3.5).

2. Nech A, B sú dva odlišné body; A´, B´ sú ich obrazy vo vzťahu, α je rovina vzťahu. Nechať byť. Potom (vlastnosť afinnej transformácie), t.j. AA´||BB´ atď.

3 a 4. Vyplývajte z dokladu o majetku 2.

Definícia. Povrch reprezentovaný rovnicou , sa volá elipsoid. Špeciálnym prípadom elipsoidu je guľa.

Nastáva nasledujúca skutočnosť, ktorú nebudeme dokazovať, avšak pri dôkaze nasledujúcich viet to budeme potrebovať:

Veta 4.1. Afinná transformácia transformuje elipsoid na elipsoid.

Veta 4.2.Ľubovoľná afinná transformácia priestoru môže byť reprezentovaná kompozíciou podobnosti a vzťahu.

Dôkaz. Nech afinná transformácia f zobrazí guľu σ na elipsoid σ´. Z vety 3.1 vyplýva, že f môže byť dané týmito číslami. Uvažujme rovinu α´, ktorá obsahuje stred elipsoidu a pretína ho pozdĺž nejakej kružnice ω´ (existenciu takejto roviny možno ľahko dokázať z úvah o spojitosti). Nech α je predobraz α´, je predobraz ω´ a β je guľa, ktorej priemerom je kružnica ω´. Existuje vzťah ρ pri zobrazení β na σ´ a existuje podobnosť P pri zobrazení σ na β. Potom je požadovaná reprezentácia.

Veta 4.3 bezprostredne vyplýva z dôkazu predchádzajúcej vety:

Veta 4.3. Afinná transformácia, ktorá zachováva guľu, je podobnosť.

Časť IV. Projektívne transformácie.

1. Projektívne transformácie roviny.

Definícia. Projektívna rovina– obyčajná (euklidovská) rovina, dotvorená bodmi v nekonečne a priamkou v nekonečne, tzv. nevhodné prvky. V tomto prípade je každá priamka doplnená jedným nesprávnym bodom, celá rovina - jednou nesprávnou priamkou; rovnobežné čiary sú doplnené spoločným nesprávnym bodom, nerovnobežné - rôznymi; nevlastné body dopĺňajúce všetky možné priamky roviny patria k nevlastnej priamke.

Definícia. Nazýva sa projektívna rovinná transformácia, ktorá prenesie ľubovoľnú priamku do priamky projektívny.

Dôsledok. Projektívna transformácia, ktorá zachováva čiaru v nekonečne, je afinná; Akákoľvek afinná transformácia je projektívna a zachováva čiaru v nekonečne.

Definícia. centrálny dizajn rovina α na rovinu β so stredom v bode O, ktorý neleží v týchto rovinách, sa nazýva zobrazenie, ktoré spája ľubovoľný bod A roviny α s bodom A´ priesečníka priamky OA s rovinou β.

Navyše, ak roviny α a β nie sú rovnobežné, potom v rovine α existuje priamka ℓ taká, že rovina prechádzajúca bodom O a priamka ℓ je rovnobežná s rovinou β. Budeme predpokladať, že ℓ počas našej projekcie smeruje k priamke v nekonečne roviny β (v tomto prípade každý bod B priamky ℓ smeruje k tomu bodu priamky v nekonečne, ktorý dopĺňa priamky rovnobežné s OB). V rovine β je priamka ℓ´ taká, že rovina prechádzajúca bodom O a priamka ℓ´ je rovnobežná s rovinou α. Budeme uvažovať ℓ´ obraz priamky α v nekonečne. Zavolajú sa riadky ℓ a ℓ´ oddaný.

Dá sa povedať, že je daná jednoduchá transformácia projektívnej roviny (ak skombinujeme roviny α a β).

Hneď to vyplýva z definície vlastnosti centrálnej projekcie:

1. Centrálny dizajn je projektívnou transformáciou.
2. Transformáciou inverznou k centrálnemu dizajnu je centrálny dizajn s rovnakým stredom.
3. Čiary rovnobežné s vybranými sa stanú rovnobežnými.

Definícia. Nech body A, B, C, D ležia na tej istej priamke. Dvojitý postoj(AB; CD) týchto bodov sa nazýva hodnota. Ak je jeden z bodov v nekonečne, potom je možné skrátiť dĺžky segmentov, ktorých koniec je tento bod.

Veta 1.1. Centrálna projekcia zachováva duálny vzťah.

Dôkaz. Nech О je stred premietania, А, В, С, D – štyri body ležiace na jednej priamke, A´, B´, C´, D´ – ich obrazy.

Podobne .

Vydelením jednej rovnice druhou dostaneme .

Podobne namiesto bodu C, berúc do úvahy bod D, dostaneme .

Odtiaľ , t.j. .

Aby bol dôkaz úplný, zostáva poznamenať, že všetky segmenty, oblasti a uhly možno považovať za orientované.

Veta 1.2. Nech štyri body A, B, C, D roviny π neležia na jednej priamke a štyri body M, N, P, Q roviny π´ neležia na jednej priamke. Potom existuje kompozícia centrálnej (paralelnej) projekcie a podobnosti, ktorá mapuje A na M, B na N, C na P, D na Q.

Dôkaz.

Pre pohodlie povieme, že ABCD a MNPQ sú štvoruholníky, hoci to v skutočnosti nie je potrebné (napríklad segmenty AB a CD sa môžu pretínať). Z dôkazu, ktorý nikde nepoužívame, bude zrejmé, že body A, B, C, D a M, N, P, Q tvoria štvoruholníky v tomto poradí.

.

Teraz nakreslíme čiary AK, BL, CF, DG cez body A, B, C, D rovnobežné s X 1 X 2 (K, L ležia na DC; G, F ležia na AB) a cez body N, M - priamky NT , MS rovnobežné s Y 1 Y 2 (T, S ležia na PQ). Pomocou stredovej (paralelnej) projekcie f transformujeme lichobežník ABLK na lichobežník A´B´L´K´ roviny π´, ktorý je podobný lichobežníku MNTS (možné je to podľa časti I nášho dôkazu) . Navyše z výberu bodov X 1 , X 2 vyplýva, že priamka X 1 X 2 je charakteristickou priamkou roviny π´. Označme body С´, D´ na priamke L´K´ tak, aby lichobežník ABCD bol podobný lichobežníku A´B´C´D´. Nakreslite čiary C´F´, D´G´ rovnobežné s čiarou B´L´ (F´, G´ ležia na А´В´) a vyznačte bod Y 1´ na čiare A´B´ tak, aby , . Na čiare C´D´ označte bod Y 2 ´ tak, že Y 1 ´Y 2 ´||A´K´ (pozri obrázok). Z výberu bodov Y 1 ´ a Y 2 ´ vyplýva, že priamka Y 1 ´Y 2 ´ je charakteristickou priamkou roviny π´. Pri transformácii f ide bod E do bodu E´ priesečníka priamok A´B´ a L´K´. Bod С ide do nejakého bodu С 0 ´ priamky С´D´.

Dokážme, že С 0 sa zhoduje s С´. Zo skutočnosti, že X 2 pri transformácii f ide do bodu v nekonečne priamky C´D´ a Y 2 ´ je obrazom bodu v nekonečne priamky CD a stredová projekcia zachováva dvojité vzťahy, vyplýva že , kde . Teraz zvážte transformáciu g, zloženie centrálnej projekcie a podobnosť, ktorá vedie z lichobežníka CDGF na lichobežník C´D´G´F´. Pre transformáciu g to možno podobne ukázať . Z toho vyplýva, že body С 0 a С´ sa zhodujú. Podobne je možné ukázať, že D 0 - obraz bodu D pri transformácii f - sa zhoduje s D´. Transformácia f teda podľa potreby transformuje štvoruholník ABCD na štvoruholník A´B´C´D´ podobný štvoruholníku MNPQ.

Veta 1.3. Nech sú dané štyri body, z ktorých žiadne tri neležia na tej istej priamke: A, B, C, D a A´, B´, C´, D´. Potom je tu jedinečná projektívna transformácia, ktorá vedie z A do A´, B do B´, C do C´, D do D´.

Existencia takáto transformácia vyplýva z vety 1.1.

jedinečnosť možno dokázať rovnakým spôsobom ako jedinečnosť afinnej transformácie (veta 1.1, časť III): uvažujte štvorcovú mriežku, vytvorte jej obraz a potom ju spresnite. Obíďte ťažkosti, ktorým sme čelili

Veta o pohybe ťažiska.

V niektorých prípadoch na určenie povahy pohybu sústavy (najmä tuhého telesa) stačí poznať zákon pohybu jej ťažiska. Ak napríklad hodíte kameň na cieľ, nemusíte vôbec vedieť, ako sa počas letu zrúti, dôležité je zistiť, či zasiahne cieľ alebo nie. Na to stačí zvážiť pohyb niektorého bodu tohto telesa.

Aby sme našli tento zákon, obrátime sa na pohybové rovnice systému a pridáme ich ľavú a pravú časť po členoch. Potom dostaneme:

Transformujme ľavú stranu rovnosti. Zo vzorca pre vektor polomeru ťažiska máme:

Keď vezmeme z oboch častí tejto rovnosti druhú deriváciu času a všimneme si, že derivácia súčtu sa rovná súčtu derivácií, zistíme:

kde je zrýchlenie ťažiska sústavy. Keďže podľa vlastnosti vnútorných síl sústavy , potom nahradením všetkých nájdených hodnôt nakoniec dostaneme:

Rovnica a vyjadruje vetu o pohybe ťažiska sústavy: súčin hmotnosti sústavy a zrýchlenia jej ťažiska sa rovná geometrickému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu. Porovnaním s pohybovou rovnicou hmotného bodu dostaneme ďalšie vyjadrenie vety: ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti celej sústavy a na ktorý pôsobia všetky vonkajšie sily pôsobiace na sústavu.

Premietnutím oboch strán rovnosti na súradnicové osi dostaneme:

Tieto rovnice sú diferenciálne rovnice pohybu ťažiska v projekciách na osi karteziánskeho súradnicového systému.

Význam dokázanej vety je nasledujúci.

1) Veta poskytuje zdôvodnenie metód bodovej dynamiky. Z rovníc je vidieť, že riešenia, ktoré dostaneme, keď budeme dané teleso považovať za hmotný bod, určujú zákon pohybu ťažiska tohto telesa, tie. majú veľmi špecifický význam.

Najmä ak sa teleso pohybuje dopredu, potom je jeho pohyb úplne určený pohybom ťažiska. Postupne sa pohybujúce teleso teda možno vždy považovať za hmotný bod s hmotnosťou rovnajúcou sa hmotnosti telesa. V iných prípadoch možno teleso považovať za hmotný bod len vtedy, keď v praxi na určenie polohy telesa stačí poznať polohu jeho ťažiska.

2) Veta umožňuje pri určovaní zákona pohybu ťažiska ľubovoľného systému vylúčiť z úvahy všetky dovtedy neznáme vnútorné sily. To je jeho praktická hodnota.

Pohyb auta po vodorovnej rovine teda môže nastať iba pôsobením vonkajších síl, trecích síl pôsobiacich na kolesá zo strany vozovky. A brzdenie auta je tiež možné len týmito silami a nie trením medzi brzdovými doštičkami a brzdovým bubnom. Ak je cesta hladká, bez ohľadu na to, ako veľmi brzdia kolesá, budú sa šmýkať a auto nezastavia.

Alebo po výbuchu letiaceho projektilu (pod vplyvom vnútorných síl) sa jeho úlomky rozptýlia tak, že ich ťažisko sa bude pohybovať po rovnakej trajektórii.

Veta o pohybe ťažiska mechanického systému by sa mala použiť na riešenie problémov v mechanike, ktoré vyžadujú:

Podľa síl pôsobiacich na mechanickú sústavu (najčastejšie na pevné teleso) určte zákon pohybu ťažiska;

Podľa daného zákona pohybu telies zaradených do mechanickej sústavy nájdite reakcie vonkajších obmedzení;

Na základe daného vzájomného pohybu telies zaradených do mechanickej sústavy určte zákon pohybu týchto telies voči nejakej pevnej vzťažnej sústave.

Pomocou tejto vety možno zostaviť jednu z pohybových rovníc mechanického systému s niekoľkými stupňami voľnosti.

Pri riešení úloh sa často využívajú dôsledky vety o pohybe ťažiska mechanického systému.

Dôsledok 1. Ak je hlavný vektor vonkajších síl pôsobiacich na mechanický systém rovný nule, potom je ťažisko systému v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro. Keďže zrýchlenie ťažiska je nulové, .

Dôsledok 2. Ak je priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os rovný nule, potom ťažisko systému buď nemení svoju polohu voči tejto osi, alebo sa voči nej pohybuje rovnomerne.

Napríklad, ak na teleso začnú pôsobiť dve sily, ktoré tvoria dvojicu síl (obr. 38), potom ťažisko S bude sa pohybovať po rovnakej trajektórii. A samotné telo sa bude otáčať okolo ťažiska. A je jedno, kde sa pár síl aplikuje.

Mimochodom, v statike sme dokázali, že účinok dvojice na teleso nezávisí od toho, kde sa aplikuje. Tu sme si ukázali, že rotácia tela bude okolo stredovej osi S.

Obr.38

Veta o zmene kinetického momentu.

Kinetický moment mechanického systému vzhľadom na pevný stred O je mierou pohybu systému okolo tohto stredu. Pri riešení úloh sa väčšinou nepoužíva samotný vektor, ale jeho projekcie na osi pevného súradnicového systému, ktoré sa nazývajú kinetické momenty okolo osi. Napríklad - kinetický moment systému vzhľadom na pevnú os Oz .

Kinetický moment mechanického systému je súčtom kinetických momentov bodov a telies zahrnutých v tomto systéme. Zvážte metódy na určenie momentu hybnosti hmotného bodu a tuhého telesa v rôznych prípadoch ich pohybu.

Pre hmotný bod s hmotnosťou, ktorá má rýchlosť, moment hybnosti okolo nejakej osi Oz je definovaný ako moment vektora hybnosti tohto bodu okolo zvolenej osi:

Moment hybnosti bodu sa považuje za kladný, ak zo strany kladného smeru osi nastáva pohyb bodu proti smeru hodinových ručičiek.

Ak bod vykonáva zložitý pohyb, na určenie jeho momentu hybnosti by sa mal vektor hybnosti považovať za súčet veličín relatívnych a prenosných pohybov (obr. 41).

Ale , kde je vzdialenosť od bodu k osi otáčania, a

Ryža. 41

Druhá zložka vektora momentu hybnosti môže byť definovaná rovnakým spôsobom ako moment sily okolo osi. Pokiaľ ide o moment sily, hodnota je nulová, ak vektor relatívnej rýchlosti leží v rovnakej rovine ako os translačnej rotácie.

Kinetický moment tuhého telesa vo vzťahu k pevnému stredu možno definovať ako súčet dvoch zložiek: prvá z nich charakterizuje translačnú časť pohybu telesa spolu s jeho ťažiskom, druhá charakterizuje pohyb telesa. systém okolo ťažiska:

Ak teleso vykonáva translačný pohyb, potom sa druhá zložka rovná nule

Kinetický moment tuhého telesa sa najjednoduchšie vypočíta, keď sa otáča okolo pevnej osi

kde je moment zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania.

Veta o zmene momentu hybnosti mechanického systému pri jeho pohybe okolo pevného stredu je formulovaná takto: celková časová derivácia vektora momentu hybnosti mechanického systému vzhľadom na nejaký pevný stred. O vo veľkosti a smere sa rovná hlavnému momentu vonkajších síl pôsobiacich na mechanický systém, definovaným vzhľadom na ten istý stred

kde - hlavný moment všetkých vonkajších síl okolo stredu O.

Pri riešení problémov, v ktorých sa telesá považujú za rotujúce okolo pevnej osi, používajú vetu o zmene momentu hybnosti vzhľadom na pevnú os.

Pokiaľ ide o vetu o pohybe ťažiska, veta o zmene momentu hybnosti má dôsledky.

Dôsledok 1. Ak je hlavný moment všetkých vonkajších síl voči nejakému pevnému stredu rovný nule, potom kinetický moment mechanického systému voči tomuto stredu zostáva nezmenený.

Dôsledok 2. Ak je hlavný moment všetkých vonkajších síl okolo niektorej pevnej osi rovný nule, potom kinetický moment mechanického systému okolo tejto osi zostáva nezmenený.

Veta o zmene hybnosti sa používa na riešenie problémov, v ktorých sa uvažuje o pohybe mechanického systému pozostávajúceho z centrálneho telesa rotujúceho okolo pevnej osi a jedného alebo viacerých telies, ktorých pohyb je spojený s centrálnym. Ak sa vykonáva pomocou závitov, telesá sa môžu pohybovať po povrchu centrálneho telesa alebo v jeho kanáloch v dôsledku vnútorných síl. Pomocou tejto vety je možné určiť závislosť zákona rotácie centrálneho telesa od polohy alebo pohybu zostávajúcich telies.