இந்த சமன்பாட்டிற்கு எங்களிடம் உள்ளது:

; (5.22)

. (5.23)

கடைசி டிடர்மினண்ட் நிபந்தனைக்கு 3 > 0 கொடுக்கிறது. நிபந்தனை Δ 2 > 0, 0 > 0, 1 > 0 மற்றும் 3 > 0 ஆகியவை 2 > 0 க்கு மட்டுமே திருப்திப்படுத்தப்படும்.

இதன் விளைவாக, ஒரு மூன்றாம் வரிசை சமன்பாட்டிற்கு, பண்புச் சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களின் நேர்மறையும் போதுமானதாக இருக்காது. a 1 a 2 > a 0 a 3 குணகங்களுக்கிடையில் ஒரு குறிப்பிட்ட உறவை நிறைவேற்றுவதும் அவசியம்.

4. நான்காவது வரிசை சமன்பாடு

மேலே செய்யப்பட்டதைப் போலவே, நான்காவது வரிசை சமன்பாட்டிற்கு, அனைத்து குணகங்களின் நேர்மறைத் தன்மைக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும் என்று நாம் பெறலாம்:

ஹர்விட்ஸ் அளவுகோல் உட்பட இயற்கணித அளவுகோல்களின் குறிப்பிடத்தக்க குறைபாடு என்னவென்றால், உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளுக்கு, சிறந்த முறையில், தானியங்கி கட்டுப்பாட்டு அமைப்பு நிலையானதா அல்லது நிலையற்றதா என்பதற்கான பதிலைப் பெறலாம். மேலும், நிலையற்ற அமைப்பில், கணினியின் அளவுருக்கள் எவ்வாறு நிலையானதாக மாற்றப்பட வேண்டும் என்பதற்கு அளவுகோல் பதிலளிக்கவில்லை. இந்த சூழ்நிலை பொறியியல் நடைமுறையில் மிகவும் வசதியாக இருக்கும் பிற அளவுகோல்களைத் தேட வழிவகுத்தது.

5.3 மிகைலோவ் ஸ்திரத்தன்மை அளவுகோல்

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் (5.7) இடது பக்கத்தை தனித்தனியாகக் கருதுவோம், இது ஒரு பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவையில் முற்றிலும் கற்பனையான மதிப்பு p = j ஐ மாற்றுவோம், இதில்  என்பது குணாதிசயமான தீர்வுக்கான முற்றிலும் கற்பனையான மூலத்துடன் தொடர்புடைய அலைவுகளின் கோண அதிர்வெண்ணைக் குறிக்கிறது. இந்த வழக்கில் நாம் சிறப்பியல்பு வளாகத்தைப் பெறுகிறோம்

உண்மையான பகுதி அதிர்வெண்ணின் சக்திகளைக் கொண்டிருக்கும்

மற்றும் கற்பனையான - அதிர்வெண்ணின் ஒற்றைப்படை சக்திகள்

ஈ

அரிசி. 5.4 மிகைலோவின் ஹோடோகிராஃப்

அனைத்து குணகங்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் மதிப்பும் கொடுக்கப்பட்டால், D(j) மதிப்பு சிக்கலான விமானத்தில் U மற்றும் V ஆயத்தொலைவுகளுடன் அல்லது இந்த புள்ளியை தோற்றத்துடன் இணைக்கும் திசையனாக சித்தரிக்கப்படும். அதிர்வெண் மதிப்பு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு தொடர்ந்து மாற்றப்பட்டால், திசையன் அளவு மற்றும் திசையில் மாறும், அதன் முடிவில் ஒரு குறிப்பிட்ட வளைவை (ஹோடோகிராப்) விவரிக்கிறது, இது அழைக்கப்படுகிறது. மிகைலோவ் வளைவு (படம் 5.4).

நடைமுறையில், மிகைலோவ் வளைவு புள்ளியின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதிர்வெண்ணின் வெவ்வேறு மதிப்புகள் குறிப்பிடப்படுகின்றன மற்றும் U () மற்றும் V () சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (5.28), (5.29) கணக்கிடப்படுகின்றன. கணக்கீட்டு முடிவுகள் அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. 5.1

அட்டவணை 5.1

மிகைலோவ் வளைவின் கட்டுமானம்

இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, வளைவு தன்னை உருவாக்குகிறது (படம் 5.4).

அதிர்வெண்  பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு மாறும்போது திசையன் D(j) இன் சுழற்சி கோணம் எதற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, பண்புக்கூறு பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளின் விளைபொருளாக எழுதுகிறோம்

இதில்  1 –  n என்பது பண்புச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

குணாதிசயமான திசையன் பின்வருவனவற்றைக் குறிப்பிடலாம்:

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியும் ஒரு கலப்பு எண்ணைக் குறிக்கிறது. எனவே, D(j) என்பது n கலப்பு எண்களின் பெருக்கமாகும். பெருக்கும்போது, ​​கலப்பு எண்களின் வாதங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன. எனவே, திசையன் D(j) இன் சுழற்சியின் கோணமானது, அதிர்வெண் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு மாறும்போது தனிப்பட்ட காரணிகளின் (5.31) சுழற்சியின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

(5.31) உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லையும் தனித்தனியாக வரையறுப்போம். சிக்கலைப் பொதுமைப்படுத்த, பல்வேறு வகையான வேர்களைக் கவனியுங்கள்.

1. சில ரூட், எடுத்துக்காட்டாக  1, இருக்கட்டும் உண்மையான மற்றும் எதிர்மறை , அதாவது 1 = – 1 . வெளிப்பாட்டின் காரணி (5.31), இந்த மூலத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, வடிவம் ( 1 + j) இருக்கும். அதிர்வெண் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு மாறும்போது சிக்கலான விமானத்தில் இந்த வெக்டரின் ஹோடோகிராப்பை உருவாக்குவோம் (படம் 5.5, ஏ) எப்போது= 0, உண்மையான பகுதி U= 1, மற்றும் கற்பனை பகுதி V= 0. இது உண்மையான அச்சில் இருக்கும் புள்ளி A க்கு ஒத்திருக்கிறது. 0 மணிக்கு, திசையன் அதன் உண்மையான பகுதி இன்னும் சமமாக இருக்கும் வகையில் மாறும், மேலும் கற்பனை பகுதி V = (வரைபடத்தில் புள்ளி B). அதிர்வெண் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​திசையன் முடிவிலிக்கு செல்கிறது, மேலும் திசையன் முடிவு எப்போதும் A புள்ளி வழியாக செல்லும் செங்குத்து நேர்கோட்டில் இருக்கும், மேலும் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும்.

அரிசி. 5.5 உண்மையான வேர்கள்

திசையன்  1 = +( / 2) சுழற்சியின் விளைவாக வரும் கோணம்.

2. இப்போது ரூட்  1 ஆக இருக்கட்டும் உண்மையான மற்றும் நேர்மறை , அதாவது 1 = + 1. இந்த மூலத்தால் தீர்மானிக்கப்படும் (5.31) இன் காரணி வடிவம் (– 1 + j) கொண்டிருக்கும். இதே போன்ற கட்டுமானங்கள் (படம் 5.5, பி) சுழற்சியின் விளைவாக வரும் கோணம் 1 = –( / 2) ஆக இருக்கும். மைனஸ் அடையாளம் திசையன் கடிகார திசையில் சுழல்கிறது என்பதைக் குறிக்கிறது.

3. இரண்டு இணை வேர்கள், எடுத்துக்காட்டாக  2 மற்றும்  3, இருக்கட்டும் எதிர்மறை உண்மையான பகுதியுடன் சிக்கலானது , அதாவது 2;3 = –±j. இதேபோல், இந்த வேர்களால் தீர்மானிக்கப்படும் வெளிப்பாட்டின் காரணிகள் (5.31), வடிவம் (–j + j)( + j + j) இருக்கும்.

போது = 0, இரண்டு திசையன்களின் ஆரம்ப நிலைகள் A 1 மற்றும் A 2 புள்ளிகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன (படம் 5.6, ஏ) முதல் திசையன் arctg ( / ) க்கு சமமான கோணத்தில் உண்மையான அச்சுடன் தொடர்புடைய கடிகார திசையில் சுழற்றப்படுகிறது, மேலும் இரண்டாவது திசையன் அதே கோணத்தில் எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றப்படுகிறது. பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு  படிப்படியான அதிகரிப்புடன், இரண்டு திசையன்களின் முனைகளும் முடிவிலிக்கு செல்கின்றன மற்றும் இரண்டு திசையன்களும் இறுதியில் கற்பனை அச்சுடன் ஒன்றிணைகின்றன.

முதல் திசையன் சுழற்சியின் விளைவாக வரும் கோணம்  2 = ( / 2) + . இரண்டாவது திசையன் சுழற்சியின் விளைவாக வரும் கோணம் 3 = ( / 2) –. தயாரிப்புடன் தொடர்புடைய திசையன் (–j + j)( + j + j) கோணம் 2 +  3 = 2 / 2 = மூலம் சுழலும்.

அரிசி. 5.6 சிக்கலான வேர்கள்

4. அவை அப்படியே இருக்கட்டும் சிக்கலான வேர்கள் நேர்மறையான உண்மையான பகுதியைக் கொண்டுள்ளன , அதாவது 2;3 = +±j.

முன்னர் கருதப்பட்ட வழக்கைப் போலவே கட்டுமானத்தை மேற்கொள்வது (படம் 5.6, பி), இதன் விளைவாக சுழற்சியின் கோணத்தைப் பெறுகிறோம் 2 +  3 = –2 / 2 = –.

எனவே, பண்புச் சமன்பாடு நேர்மறை உண்மையான பகுதியுடன் f வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், இந்த வேர்கள் எதுவாக இருந்தாலும் (உண்மையான அல்லது சிக்கலானது), அவை –f ( / 2) க்கு சமமான சுழற்சி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒத்திருக்கும். எதிர்மறை உண்மையான பகுதிகளைக் கொண்ட சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் மற்ற அனைத்து (n - f) வேர்களும் +(n - f)( / 2) க்கு சமமான சுழற்சி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு ஒத்திருக்கும். இதன் விளைவாக, சூத்திரத்தின்படி (5.32) அதிர்வெண் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு மாறும்போது திசையன் D(j) இன் சுழற்சியின் மொத்த கோணம் வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்.

 = (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)

இந்த வெளிப்பாடு மிகைலோவ் வளைவின் வடிவத்திற்கும் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் உண்மையான பகுதிகளின் அறிகுறிகளுக்கும் இடையே தேவையான தொடர்பை தீர்மானிக்கிறது. 1936 இல் ஏ.வி. மிகைலோவ் எந்த வரிசையின் நேரியல் அமைப்புகளுக்கும் பின்வரும் நிலைத்தன்மை அளவுகோலை வகுத்தார்.

ஒரு n வது வரிசை அமைப்பின் ஸ்திரத்தன்மைக்கு அது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது திசையன் D(j  ), மாற்றும் போது மிகைலோவ் வளைவை விவரிக்கிறது  பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு சுழற்சி கோணம் இருந்தது  = n (  / 2).

இந்த உருவாக்கம் நேரடியாக (5.33) இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. கணினி நிலையானதாக இருக்க, அனைத்து வேர்களும் இடது அரை விமானத்தில் இருப்பது அவசியம். இங்கிருந்து தேவையான விளைவாக திசையன் சுழற்சி கோணம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

Mikhailov ஸ்திரத்தன்மை அளவுகோல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: ஒரு நேரியல் ஏசிஎஸ் நிலைத்தன்மைக்கு, அதிர்வெண் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து முடிவிலிக்கு மாறும்போது, ​​நேர்மறை அரை-தளத்தில் தொடங்கி, ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தைக் கடக்காமல், மிகைலோவ் ஹோடோகிராஃப், வளாகத்தின் பல நாற்கரங்களை வரிசையாக வெட்டுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது. அமைப்பின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் வரிசையாக விமானம்.

பற்றி

அரிசி. 5.7 எதிர்ப்பு ஏடிஎஸ்

நிலையான அமைப்புகளுக்கான Mikhailov வளைவு எப்போதும் ஒரு மென்மையான சுழல் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்று தோன்றுகிறது, மேலும் அதன் முடிவு சிக்கலான விமானத்தின் அந்த நாற்கரத்தில் முடிவிலிக்கு செல்கிறது, இதன் எண்ணிக்கை குணாதிசய சமன்பாட்டின் அளவிற்கு சமமாக இருக்கும் (படம் 5.7). மிகைலோவ் வளைவு n எண்ணிக்கைக்கு மேல் நாற்கரங்கள் வழியாக செல்ல முடியாது. எனவே, அமைப்பின் உறுதியற்ற தன்மை எப்போதும் மிகைலோவ் வளைவில் நாற்கரங்களின் பத்தியின் வரிசை சீர்குலைந்துள்ளது என்ற உண்மையுடன் தொடர்புடையது, இதன் விளைவாக திசையன் டி (ஜே) சுழற்சியின் கோணம் குறைவாக இருக்கும். n ( / 2) ஐ விட (படம் 5.8).

ஒரு நிலையான அமைப்பிற்கு, மிகைலோவ் வளைவு சிக்கலான விமானத்தின் n quadrants வழியாக தொடர்கிறது.

மூன்று வகைகளின் நிலைத்தன்மை எல்லைகள் இருப்பதை மிகைலோவ் வளைவில் இருந்து பின்வருமாறு தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரு ஸ்திரத்தன்மை எல்லை முன்னிலையில் முதல் வகை (பூஜ்ஜிய ரூட்) குணாதிசயமான பல்லுறுப்புக்கோவை n = 0 இன் இலவச சொல் இல்லை, மேலும் மிகைலோவ் வளைவு தோற்றத்திலிருந்து வெளியேறுகிறது (படம் 5.9, வளைவு 1)

அரிசி. 5.8 நிலையற்ற ஏடிஎஸ்

அரிசி. 5.9 நிலைப்புத்தன்மை வரம்புகள்

நிலைத்தன்மை வரம்பில் இரண்டாவது வகை (ஊசலாட்ட நிலைப்பு எல்லை) பண்புச் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம், அதாவது பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை, p = j 0 ஐ மாற்றும்போது பூஜ்ஜியமாகிறது

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)

இது இரண்டு சமத்துவங்களைக் குறிக்கிறது: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. இதன் பொருள், மிகைலோவ் வளைவில் உள்ள புள்ளி  =  0 ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் விழுகிறது (படம் 5.9, வளைவு 2). இந்த வழக்கில், மதிப்பு  0 என்பது அமைப்பின் குறைக்கப்படாத அலைவுகளின் அதிர்வெண் ஆகும்.

ஸ்திரத்தன்மை எல்லைக்கு மூன்றாவது வகை (முடிவிலா ரூட்) மிகைலோவ் வளைவின் முடிவு முடிவிலி வழியாக ஒரு நாற்கரத்திலிருந்து மற்றொரு இடத்திற்கு வீசப்படுகிறது (படம் 5.9, வளைவு 3). இந்த வழக்கில், குணகம் a 0 பண்பு பல்லுறுப்புக்கோவை (5.7) பூஜ்ஜிய மதிப்பைக் கடந்து, குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தலுக்கு மாற்றும்.

தீர்க்கப்படக்கூடிய உயர் வரிசை சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் (DEs) முக்கிய வகைகள் பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன. அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் சுருக்கமாக கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளன. தீர்வு முறைகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகள் பற்றிய விரிவான விளக்கங்களுடன் பக்கங்களுக்கான இணைப்புகள் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

உள்ளடக்கம்

மேலும் பார்க்க: முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்
முதல் வரிசையின் நேரியல் பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், வரிசையைக் குறைக்க அனுமதிக்கிறது

நேரடி ஒருங்கிணைப்பு மூலம் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படுகின்றன

பின்வரும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
.
n முறைகளை ஒருங்கிணைக்கிறோம்.
;
;
மற்றும் பல. நீங்கள் சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம்:
.
நேரடியாக தீர்க்கக்கூடிய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் ஒருங்கிணைப்பு >>>

y சார்பு மாறியை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத சமன்பாடுகள்

மாற்றீடு சமன்பாட்டின் வரிசையை ஒன்று குறைக்கிறது. இங்கிருந்து ஒரு செயல்பாடு உள்ளது.
ஒரு செயல்பாட்டை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்காத உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

சுயாதீன மாறி x ஐ வெளிப்படையாக சேர்க்காத சமன்பாடுகள்

.
இது ஒரு செயல்பாடு என்று நாங்கள் கருதுகிறோம். பிறகு
.
இதேபோல் மற்ற வழித்தோன்றல்களுக்கும். இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வரிசை ஒன்று குறைக்கப்படுகிறது.
வெளிப்படையான மாறியைக் கொண்டிருக்காத உயர் வரிசைகளின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

சமன்பாடுகள் y, y′, y′′, ...

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
,
ஒரு செயல்பாடு எங்கே. பிறகு
.
இதேபோல் டெரிவேடிவ்கள் போன்றவற்றை மாற்றுகிறோம். இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் வரிசை ஒன்று குறைக்கப்படுகிறது.
ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல்களைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியான உயர்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளைப் பார்க்கவும் > > >

உயர் வரிசைகளின் நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடு:
(1) ,
சார்பற்ற மாறியின் செயல்பாடுகள் எங்கே. இந்த சமன்பாட்டிற்கு n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகள் இருக்கட்டும். பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு (1) வடிவம் உள்ளது:
(2) ,
தன்னிச்சையான மாறிலிகள் எங்கே. செயல்பாடுகளே தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகின்றன.
அடிப்படை தீர்வு அமைப்பு n வது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் n இந்த சமன்பாட்டிற்கான நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள்.

கருத்தில் கொள்வோம் n வது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபாடு சமன்பாடு:
.
இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட (ஏதேனும்) தீர்வு இருக்கட்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
,
ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு எங்கே (1).

நிலையான குணகங்கள் மற்றும் அவற்றைக் குறைக்கக்கூடிய நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

இவை படிவத்தின் சமன்பாடுகள்:
(3) .
இங்கே உண்மையான எண்கள் உள்ளன. இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு பொதுவான தீர்வைக் காண, தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்கும் n நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் கண்டறிய வேண்டும். பின்னர் பொதுவான தீர்வு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (2):
(2) .

படிவத்தில் தீர்வைத் தேடுகிறோம். நாம் பெறுகிறோம் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு:
(4) .

இந்த சமன்பாடு இருந்தால் பல்வேறு வேர்கள், பின்னர் தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு வடிவம் கொண்டது:
.

கிடைத்தால் சிக்கலான வேர்
,
பின்னர் ஒரு சிக்கலான இணைந்த வேர் உள்ளது. இந்த இரண்டு வேர்களும் தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன மற்றும் சிக்கலான தீர்வுகளுக்குப் பதிலாக அடிப்படை அமைப்பில் சேர்க்கிறோம் மற்றும் .

பல வேர்கள்பெருக்கங்கள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுக்கு ஒத்திருக்கும்: .

சிக்கலான வேர்கள் பலபெருக்கங்கள் மற்றும் அவற்றின் சிக்கலான கூட்டு மதிப்புகள் நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன:
.

ஒரு சிறப்பு ஒத்திசைவற்ற பகுதியுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்

படிவத்தின் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்
,
டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எங்கே 1 மற்றும் எஸ் 2 ; - நிரந்தர.

முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு (3) பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம். சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4) வேர் கொண்டிருக்கவில்லை, பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
,
எங்கே
;
;
s - பெரிய s 1 மற்றும் எஸ் 2 .

சிறப்பியல்பு சமன்பாடு என்றால் (4) ஒரு வேர் உள்ளதுபன்முகத்தன்மை, பின்னர் வடிவத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தேடுகிறோம்:
.

இதற்குப் பிறகு நாம் பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம்:
.

நிலையான குணகங்களுடன் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடுகள்

இங்கே மூன்று சாத்தியமான தீர்வுகள் உள்ளன.

1) பெர்னோலி முறை.
முதலில், ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வைக் காணலாம்
.
பின்னர் நாங்கள் மாற்றீடு செய்கிறோம்
,
x என்ற மாறியின் செயல்பாடு எங்கே. u க்கான வேறுபட்ட சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதில் x ஐப் பொறுத்தவரை u என்பதன் வழித்தோன்றல்கள் மட்டுமே உள்ளன. மாற்றீட்டைச் செய்து, n என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் - 1 - வது உத்தரவு.

2) நேரியல் மாற்று முறை.
ஒரு மாற்று செய்வோம்
,
பண்புச் சமன்பாட்டின் (4) வேர்களில் ஒன்று எங்கே. இதன் விளைவாக, வரிசையின் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். இந்த மாற்றீட்டை தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதன் மூலம், அசல் சமன்பாட்டை முதல்-வரிசை சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறோம்.

3) லாக்ரேஞ்ச் மாறிலிகளின் மாறுபாட்டின் முறை.
இந்த முறையில், நாம் முதலில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை (3) தீர்க்கிறோம். அவரது தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:
(2) .
மாறிலிகள் x மாறியின் செயல்பாடுகள் என்று நாம் மேலும் கருதுகிறோம். பின்னர் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு வடிவம் உள்ளது:
,
அறியப்படாத செயல்பாடுகள் எங்கே. அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றியமைத்து, சில கட்டுப்பாடுகளை விதித்து, நாம் செயல்பாடுகளின் வகையைக் கண்டறியக்கூடிய சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்.

ஆய்லரின் சமன்பாடு

இது மாற்றீடு மூலம் நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது:
.
இருப்பினும், ஆய்லர் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அத்தகைய மாற்றீடு செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை. வடிவத்தில் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நீங்கள் உடனடியாகத் தேடலாம்
.
இதன் விளைவாக, நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டிற்கான அதே விதிகளைப் பெறுகிறோம், இதில் மாறிக்கு பதிலாக நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்.

குறிப்புகள்:
வி வி. ஸ்டெபனோவ், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பாடநெறி, "LKI", 2015.
என்.எம். குந்தர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.

மேலும் பார்க்க:

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு இது ஒரு சுயாதீன மாறி, இந்த மாறியின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் பல்வேறு ஆர்டர்களின் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஒரு சமன்பாடு ஆகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை அதில் உள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சாதாரண சமன்பாடுகளுடன் கூடுதலாக, பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடுகளும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. இவை சுயாதீன மாறிகள் தொடர்பான சமன்பாடுகள், இந்த மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதே மாறிகள் தொடர்பான அதன் பகுதி வழித்தோன்றல்கள். ஆனால் நாங்கள் மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எனவே, சுருக்கத்திற்காக, "சாதாரண" என்ற வார்த்தையைத் தவிர்ப்போம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

சமன்பாடு (1) நான்காவது வரிசை, சமன்பாடு (2) மூன்றாவது வரிசை, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) இரண்டாவது வரிசை, சமன்பாடு (5) முதல் வரிசை.

வகையீட்டு சமன்பாடு nவது வரிசையில் ஒரு வெளிப்படையான செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, முதலில் இருந்து அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் n-வது வரிசை மற்றும் சுயாதீன மாறி. இது சில ஆர்டர்கள், செயல்பாடு அல்லது ஒரு சுயாதீன மாறியின் வழித்தோன்றல்களை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் (1) தெளிவாக மூன்றாம் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் இல்லை, அதே போல் ஒரு செயல்பாடும் இல்லை; சமன்பாட்டில் (2) - இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடு; சமன்பாட்டில் (4) - சுயாதீன மாறி; சமன்பாட்டில் (5) - செயல்பாடுகள். சமன்பாடு (3) மட்டுமே வெளிப்படையாக அனைத்து வழித்தோன்றல்கள், செயல்பாடு மற்றும் சுயாதீன மாறி ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அழைக்கப்படுகிறது y = f(x), சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 1.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதன் வழித்தோன்றலில் இருந்து செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே தீர்வு. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் இருந்து அறியப்படும் அசல் செயல்பாடு, இதற்கு ஒரு எதிர் வழித்தோன்றலாகும், அதாவது.

அது தான் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு . அதில் மாற்றம் சி, நாங்கள் வெவ்வேறு தீர்வுகளைப் பெறுவோம். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு nவது வரிசை அதன் தீர்வாகும், இது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் கொண்டிருக்கும் nசுயாதீன தன்னிச்சையான மாறிலிகள், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பொதுவானது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகள் வழங்கப்படும் ஒரு தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வெவ்வேறு சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக பல முறை ஒருங்கிணைப்போம்.

,

.

இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெற்றோம் -

கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

இப்போது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, தன்னிச்சையான குணகங்களுக்குப் பதிலாக அவற்றின் மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்

.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஆரம்ப நிலை வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . மதிப்புகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுக்கு பதிலாக ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் சி, பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு சி. இதுவே கௌசி பிரச்சனைக்கு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை எடுத்துக்காட்டு 1 க்கு உட்பட்டது.

தீர்வு. ஆரம்ப நிலையில் இருந்து மதிப்புகளை பொது தீர்வுக்கு மாற்றுவோம் ஒய் = 3, எக்ஸ்= 1. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, எளிமையானவை கூட, சிக்கலான செயல்பாடுகள் உட்பட நல்ல ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வழித்தோன்றல் திறன்கள் தேவை. இதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சமன்பாடு அத்தகைய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

.

மாறி (மாற்று) மாற்றத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அப்போது இருக்கட்டும்.

எடுக்க வேண்டும் dxஇப்போது - கவனம் - ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதிகளின்படி இதைச் செய்கிறோம் எக்ஸ்மற்றும் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது (“ஆப்பிள்” என்பது ஒரு சதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பது அல்லது அதே விஷயம், “ஒரு பாதி” சக்திக்கு உயர்த்துவது, மற்றும் “துண்டு துண்தாக வெட்டப்பட்ட இறைச்சி” என்பது வேரின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு):

நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் காண்கிறோம்:

மாறிக்கு திரும்புகிறது எக்ஸ், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

இந்த முதல் நிலை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இதுவாகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உயர் கணிதத்தின் முந்தைய பிரிவுகளின் திறன்கள் மட்டுமல்ல, தொடக்கநிலை, அதாவது பள்ளிக் கணிதத்தின் திறன்களும் தேவைப்படும். ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலும் ஒரு சுயாதீன மாறி, அதாவது ஒரு மாறி இருக்கக்கூடாது. எக்ஸ். பள்ளியில் இருந்து மறக்கப்படாத (இருப்பினும், யாரைப் பொறுத்து) பள்ளியின் விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றிய அறிவு இந்த சிக்கலை தீர்க்க உதவும். இது அடுத்த உதாரணம்.

இந்த கட்டுரையில் என்ன நடக்கிறது என்பதைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலுக்கு, நீங்கள் படிக்கலாம்.

மூன்றாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்பைக் கவனியுங்கள்

இங்கே x(t), y(t), z(t) ஆகியவை இடைவெளியில் (a, b) தேவையான செயல்பாடுகளாகவும், ij (i, j =1, 2, 3) உண்மையான எண்களாகவும் இருக்கும்.

அசல் அமைப்பை மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் எழுதுவோம்
,
எங்கே

வடிவில் உள்ள அசல் அமைப்பிற்கான தீர்வை நாங்கள் தேடுவோம்
,
எங்கே , C 1 , C 2 , C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பண்புச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுவதைத் தீர்க்க வேண்டும்

இந்த சமன்பாடு மூன்றாவது வரிசை இயற்கணித சமன்பாடு ஆகும், எனவே இது 3 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1. வேர்கள் (eigenvalues) உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை.

2. வேர்கள் (eigenvalues) மத்தியில் சிக்கலான conjugate உள்ளன, நாம்
- உண்மையான வேர்
=

3. வேர்கள் (eigenvalues) உண்மையானவை. வேர்களில் ஒன்று பல.

இந்த ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் எவ்வாறு செயல்படுவது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க, நமக்கு இது தேவைப்படும்:
தேற்றம் 1.
மேட்ரிக்ஸ் A இன் ஜோடிவரிசையிலான தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகளாக இருக்கட்டும், மேலும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டர்களாக இருக்கட்டும். பிறகு

அசல் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது.

கருத்து .
அணி A இன் உண்மையான ஈஜென் மதிப்பு (பண்புச் சமன்பாட்டின் உண்மையான ரூட்) மற்றும் தொடர்புடைய ஈஜென்வெக்டராக இருக்கட்டும்.
= - அணி A இன் சிக்கலான ஈஜென் மதிப்புகள், - தொடர்புடைய - ஈஜென்வெக்டர். பிறகு

(மறு - உண்மையான பகுதி, இம் - கற்பனை பகுதி)
அசல் அமைப்புக்கான தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது. (அதாவது மற்றும் = ஒன்றாக கருதப்படுகிறது)

தேற்றம் 3.
பன்முகத்தன்மையின் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேராக இருக்கட்டும் 2. பின்னர் அசல் அமைப்பு வடிவத்தின் 2 நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது.
,
எங்கே, திசையன் மாறிலிகள். பெருக்கல் 3 என்றால், படிவத்தின் 3 நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள் உள்ளன
.
அசல் அமைப்பில் தீர்வுகளை (*) மற்றும் (**) மாற்றுவதன் மூலம் திசையன்கள் கண்டறியப்படுகின்றன.
படிவத்தின் (*) மற்றும் (**) தீர்வுகளைக் கண்டறியும் முறையை நன்கு புரிந்து கொள்ள, கீழே உள்ள பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்.

இப்போது மேலே உள்ள ஒவ்வொரு வழக்குகளையும் இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

1. சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களின் விஷயத்தில் மூன்றாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.
அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டது

1) நாம் ஒரு சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்

- இந்த சமன்பாட்டின் 9 வேர்களின் உண்மையான மற்றும் தனித்துவமான ஈஜென் மதிப்புகள்).
2) நாங்கள் எங்கு கட்டுகிறோம்

3) நாங்கள் எங்கு கட்டுகிறோம்
- அணி A இன் ஈஜென்வெக்டர், உடன் தொடர்புடையது, அதாவது. - எந்த அமைப்பு தீர்வு

4) நாங்கள் எங்கு கட்டுகிறோம்
- அணி A இன் ஈஜென்வெக்டர், உடன் தொடர்புடையது, அதாவது. - எந்த அமைப்பு தீர்வு

5)

தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது. அடுத்து அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை வடிவத்தில் எழுதுகிறோம்
,
இங்கே C 1, C 2, C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள்,
,
அல்லது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில்

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:
எடுத்துக்காட்டு 1.




2) கண்டுபிடி


3) நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்


4) திசையன் செயல்பாடுகள்



அல்லது ஒருங்கிணைப்பு குறிப்பில்

எடுத்துக்காட்டு 2.

1) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்:

2) கண்டுபிடி


3) நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்


4) கண்டுபிடி


5) திசையன் செயல்பாடுகள்

ஒரு அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது. பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது

அல்லது ஒருங்கிணைப்பு குறிப்பில்

2. சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் சிக்கலான இணைந்த வேர்களின் விஷயத்தில் மூன்றாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.


- உண்மையான வேர்,

2) நாங்கள் எங்கு கட்டுகிறோம்

3) நாங்கள் கட்டுகிறோம்

- அணி A இன் ஈஜென்வெக்டர், உடன் தொடர்புடையது, அதாவது. அமைப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது

இங்கே Re உண்மையான பகுதி
இம் - கற்பனை பகுதி
4) தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பை உருவாக்குகிறது. அடுத்து அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை எழுதுகிறோம்:
, எங்கே
C 1, C 2, C 3 ஆகியவை தன்னிச்சையான மாறிலிகள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

1) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கவும்

2) நாங்கள் கட்டுகிறோம்

3) நாங்கள் கட்டுகிறோம்
, எங்கே

முதல் சமன்பாட்டை 2 ஆல் குறைப்போம். பிறகு 2i ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் சமன்பாட்டை இரண்டாவது சமன்பாட்டுடன் கூட்டவும், மூன்றாவது சமன்பாட்டிலிருந்து 2 ஆல் பெருக்கப்படும் முதல் சமன்பாட்டை கழிக்கவும்.

மேலும்

எனவே,

4) - தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு. அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை எழுதுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2.

1) சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்


2) நாங்கள் கட்டுகிறோம்

(அதாவது, மற்றும் ஒன்றாக கருதப்படுகிறது), எங்கே

இரண்டாவது சமன்பாட்டை (1-i) ஆல் பெருக்கி 2 ஆல் குறைக்கவும்.


எனவே,

3)
அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வு

அல்லது

2. சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் பல வேர்களின் விஷயத்தில் மூன்றாம் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரே மாதிரியான அமைப்புகளைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம்.
சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்

இரண்டு சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன:

வழக்கைக் கவனியுங்கள் a) 1), எங்கே

- மேட்ரிக்ஸ் A இன் ஈஜென்வெக்டர், உடன் தொடர்புடையது, அதாவது அமைப்பை திருப்திப்படுத்துகிறது

2) தேற்றம் 3 ஐப் பார்ப்போம், அதில் இருந்து படிவத்தின் இரண்டு நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள் உள்ளன.
,
எங்கே, நிலையான திசையன்கள். அவற்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.
3) - தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு. அடுத்து அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை எழுதுகிறோம்:

வழக்கைக் கவனியுங்கள் b):
1) தேற்றம் 3 ஐப் பார்ப்போம், அதில் இருந்து படிவத்தின் மூன்று நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகள் உள்ளன.
,
எங்கே, , நிலையான திசையன்கள். அவற்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.
2) - தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு. அடுத்து அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை எழுதுகிறோம்.

படிவத்தின் (*) தீர்வுகளை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நன்கு புரிந்து கொள்ள, பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்கி தீர்க்கிறோம்:

எங்களிடம் வழக்கு உள்ளது a)
1) நாங்கள் கட்டுகிறோம்
, எங்கே

இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து நாம் முதலில் கழிக்கிறோம்:

? மூன்றாவது வரி இரண்டாவது போன்றது, நாம் அதை கடக்கிறோம். முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்:

2) = 1 (2 இன் பெருக்கல்)
T.3 இன் படி, இந்த ரூட் படிவத்தின் இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற தீர்வுகளுடன் ஒத்திருக்க வேண்டும்.
அனைத்து நேரியல் சுயாதீன தீர்வுகளையும் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம், அதாவது. படிவத்தின் தீர்வுகள்
.
ஈஜென்வெக்டர் =1 உடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால் மட்டுமே அத்தகைய திசையன் ஒரு தீர்வாக இருக்கும், அதாவது.
, அல்லது
, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகள் முதல் ஒத்த, அவற்றை வெளியே எறியுங்கள்.

அமைப்பு ஒரு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்பட்டது. இதன் விளைவாக, இரண்டு இலவச அறியப்படாதவை உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, மற்றும் . முதலில் அவர்களுக்கு 1, 0 மதிப்புகளைக் கொடுப்போம்; பின்னர் மதிப்புகள் 0, 1. பின்வரும் தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம்:
.
எனவே, .
3) - தீர்வுகளின் அடிப்படை அமைப்பு. அசல் அமைப்பின் பொதுவான தீர்வை எழுதுவதற்கு இது உள்ளது:
. .. எனவே, இந்த அமைப்பில் X 3 ஐ மாற்றியமைப்போம் படிவத்தின் ஒரே ஒரு தீர்வு உள்ளது: மூன்றாவது வரியைக் கடக்கவும் (இது இரண்டாவது போன்றது). எந்த c க்கும் கணினி சீரானது (ஒரு தீர்வு உள்ளது). c=1 என்று விடுங்கள்.
அல்லது