வெவ்வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம் (ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு திசையன், இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன், மூன்று புள்ளிகள், முதலியன). இதைக் கருத்தில் கொண்டுதான் விமானச் சமன்பாடு வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். மேலும், சில நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு, விமானங்கள் இணையாக, செங்குத்தாக, வெட்டும், முதலியன இருக்கலாம். இதைப் பற்றி இந்த கட்டுரையில் பேசுவோம். ஒரு விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் பலவற்றைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

சமன்பாட்டின் இயல்பான வடிவம்

செவ்வக XYZ ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கொண்ட ஸ்பேஸ் R 3 உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். வெக்டார் α ஐ வரையறுப்போம், இது ஆரம்ப புள்ளி O இலிருந்து வெளியிடப்படும். திசையன் α முடிவின் மூலம் நாம் ஒரு விமானம் P வரைகிறோம், அது அதற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.

P இல் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை Q = (x, y, z) எனக் குறிப்பிடுவோம். புள்ளி Q இன் ஆரம் வெக்டரை p என்ற எழுத்தில் கையொப்பமிடுவோம். இந்த வழக்கில், திசையன் α இன் நீளம் р=IαI மற்றும் Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) க்கு சமமாக இருக்கும்.

இது திசையன் α போன்ற பக்கத்திற்கு இயக்கப்படும் ஒரு அலகு திசையன் ஆகும். α, β மற்றும் γ ஆகியவை திசையன் Ʋ மற்றும் x, y, z ஆகிய விண்வெளி அச்சுகளின் நேர்மறை திசைகளுக்கு இடையே உருவாகும் கோணங்களாகும். திசையன் Ʋ மீது எந்தப் புள்ளி QϵП ப்ராஜெக்ஷன் என்பது p: (p,Ʋ) = p(p≥0) க்கு சமமான ஒரு நிலையான மதிப்பாகும்.

மேலே உள்ள சமன்பாடு p=0 ஆக இருக்கும் போது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், இந்த வழக்கில் உள்ள விமானம் P ஆனது O (α = 0) புள்ளியை வெட்டும், இது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் ஆகும், மேலும் O புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்படும் அலகு திசையன் Ʋ அதன் திசையில் இருந்தாலும், P க்கு செங்குத்தாக இருக்கும். திசையன் Ʋ குறிக்கு துல்லியமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது. முந்தைய சமன்பாடு எங்கள் விமானம் P இன் சமன்பாடு ஆகும், இது திசையன் வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஆனால் ஒருங்கிணைப்புகளில் இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கே P என்பது 0 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ உள்ளது. விண்வெளியில் உள்ள விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கண்டறிந்துள்ளோம்.

பொது சமன்பாடு

ஆய சமன்பாட்டை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத எந்த எண்ணாலும் பெருக்கினால், இந்த சமன்பாட்டிற்கு சமமான ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அந்த விமானத்தை வரையறுக்கிறோம். இது இப்படி இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒரே நேரத்தில் வேறுபட்ட எண்கள். இந்த சமன்பாடு பொது விமானச் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

விமானங்களின் சமன்பாடுகள். சிறப்பு வழக்குகள்

பொதுவான வடிவத்தில் உள்ள சமன்பாடு கூடுதல் நிபந்தனைகளின் முன்னிலையில் மாற்றியமைக்கப்படலாம். அவற்றில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்.

குணகம் A 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம். இதன் பொருள் இந்த விமானம் கொடுக்கப்பட்ட ஆக்ஸ் அச்சுக்கு இணையாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்: Ву+Cz+D=0.

இதேபோல், பின்வரும் நிபந்தனைகளின் கீழ் சமன்பாட்டின் வடிவம் மாறும்:

• முதலில், B = 0 எனில், சமன்பாடு Ax + Cz + D = 0 ஆக மாறும், இது Oy அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• இரண்டாவதாக, C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+D=0 ஆக மாற்றப்படும், இது கொடுக்கப்பட்ட Oz அச்சுக்கு இணையான தன்மையைக் குறிக்கும்.
• மூன்றாவதாக, D=0 எனில், சமன்பாடு Ax+By+Cz=0 போல இருக்கும், அதாவது விமானம் O (தோற்றம்) வெட்டுகிறது.
• நான்காவதாக, A=B=0 எனில், சமன்பாடு Cz+D=0 ஆக மாறும், இது Oxy க்கு இணையாக இருக்கும்.
• ஐந்தாவதாக, B=C=0 எனில், சமன்பாடு Ax+D=0 ஆக மாறும், அதாவது Oyzக்கு விமானம் இணையாக உள்ளது.
• ஆறாவது, A=C=0 என்றால், சமன்பாடு Ву+D=0 வடிவத்தை எடுக்கும், அதாவது, அது Oxz க்கு இணையான தன்மையைப் புகாரளிக்கும்.

பிரிவுகளில் சமன்பாட்டின் வகை

A, B, C, D எண்கள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டால், சமன்பாட்டின் வடிவம் (0) பின்வருமாறு இருக்கலாம்:

x/a + y/b + z/c = 1,

இதில் a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

இதன் விளைவாக, இந்த விமானம் ஆக்ஸ் (a,0,0), Oy - (0,b,0) மற்றும் Oz - (0,0,c) உடன் ஒரு புள்ளியில் எருது அச்சில் வெட்டும் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. )

x/a + y/b + z/c = 1 என்ற சமன்பாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய விமானத்தின் இடத்தை கற்பனை செய்வது கடினம் அல்ல.

சாதாரண திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

சாதாரண திசையன் n முதல் விமானம் வரை, இந்த விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டின் குணகங்கள், அதாவது n (A, B, C) ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

சாதாரண n இன் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை அறிந்தால் போதும்.

x/a + y/b + z/c = 1 வடிவத்தைக் கொண்ட பிரிவுகளில் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் எந்த சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளையும் எழுதலாம்: (1/a + 1/b + 1/ உடன்).

சாதாரண திசையன் பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்க்க உதவுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு. மிகவும் பொதுவானவை, விமானங்களின் செங்குத்தாக அல்லது இணையான தன்மையை நிரூபிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள், விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணங்களைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கல்கள் அல்லது விமானங்கள் மற்றும் நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணங்கள் ஆகியவை அடங்கும்.

புள்ளி மற்றும் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளின்படி விமானச் சமன்பாட்டின் வகை

கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் n கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு இயல்பானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒருங்கிணைப்பு இடத்தில் (செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு) Oxyz கொடுக்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

• புள்ளி Mₒ ஒருங்கிணைப்புகளுடன் (xₒ,yₒ,zₒ);
• பூஜ்ஜிய திசையன் n=A*i+B*j+C*k.

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக Mₒ புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.

விண்வெளியில் உள்ள தன்னிச்சையான புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து அதை M (x y, z) என்று குறிப்பிடுகிறோம். எந்தப் புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k என்றும், புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. திசையன் MₒM திசையன் n க்கு செங்குத்தாக இருந்தால் புள்ளி M கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு சொந்தமானது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி ஆர்த்தோகனாலிட்டி நிலையை எழுதுவோம்:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ என்பதால், விமானத்தின் திசையன் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு மற்றொரு வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். இதைச் செய்ய, அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் மாற்றப்படுகிறது. = - . நாம் அதை c எனக் குறிப்பிட்டால், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: - c = 0 அல்லது = c, இது விமானத்திற்குச் சொந்தமான புள்ளிகளின் ஆரம் திசையன்களின் சாதாரண திசையன் மீது கணிப்புகளின் நிலைத்தன்மையை வெளிப்படுத்துகிறது.

இப்போது நாம் நமது விமானத்தின் திசையன் சமன்பாட்டை எழுதுவதற்கான ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தைப் பெறலாம் = 0. ஏனெனில் r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, மற்றும் n = A*i+B *j+С*k, எங்களிடம் உள்ளது:

சாதாரண n க்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாடு நம்மிடம் உள்ளது.

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் விமானத்திற்கு ஒரு திசையன் கோலினியர் ஆகியவற்றின் படி விமான சமன்பாட்டின் வகை

இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகள் M′ (x′,y′,z′) மற்றும் M″ (x″,y″,z″), அத்துடன் ஒரு திசையன் a (a′,a″,a‴) ஆகியவற்றை வரையறுப்போம்.

தற்போதுள்ள M′ மற்றும் M″ புள்ளிகள் வழியாகவும், கொடுக்கப்பட்ட திசையன் a க்கு இணையான ஆயத்தொகுதிகளுடன் (x, y, z) எந்தப் புள்ளி M ஐயும் கடந்து செல்லும் ஒரு சமன்பாட்டை இப்போது உருவாக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், திசையன்களான M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) மற்றும் M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ஆகியவை திசையன் உடன் இணையாக இருக்க வேண்டும். a=(a′,a″,a‴), அதாவது (M′M, M″M, a)=0.

எனவே, விண்வெளியில் நமது விமானச் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

மூன்று புள்ளிகளை வெட்டும் விமானத்தின் சமன்பாட்டின் வகை

நம்மிடம் மூன்று புள்ளிகள் உள்ளன என்று வைத்துக் கொள்வோம்: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), இவை ஒரே வரியில் இல்லை. கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை எழுதுவது அவசியம். வடிவவியலின் கோட்பாடு இந்த வகையான விமானம் உண்மையில் உள்ளது என்று கூறுகிறது, ஆனால் அது ஒரே ஒரு மற்றும் தனித்துவமானது. இந்த விமானம் புள்ளியை (x′,y′,z′) வெட்டுவதால், அதன் சமன்பாட்டின் வடிவம் பின்வருமாறு இருக்கும்:

இங்கே A, B, C ஆகியவை ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபட்டவை. மேலும், கொடுக்கப்பட்ட விமானம் மேலும் இரண்டு புள்ளிகளை வெட்டுகிறது: (x″,y″,z″) மற்றும் (x‴,y‴,z‴). இது சம்பந்தமாக, பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்:

இப்போது நாம் தெரியாத u, v, w: உடன் ஒரே மாதிரியான அமைப்பை உருவாக்கலாம்:

எங்கள் விஷயத்தில், x, y அல்லது z என்பது சமன்பாட்டை (1) பூர்த்தி செய்யும் தன்னிச்சையான புள்ளியாகும். சமன்பாடு (1) மற்றும் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு (2) மற்றும் (3), மேலே உள்ள படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட சமன்பாடுகளின் அமைப்பு N (A,B,C) திசையன் மூலம் திருப்திப்படுத்தப்படுகிறது, இது அற்பமானது அல்ல. அதனால்தான் இந்த அமைப்பின் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நாம் பெற்ற சமன்பாடு (1) விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். இது சரியாக 3 புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது, இதை சரிபார்க்க எளிதானது. இதைச் செய்ய, முதல் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளில் நமது தீர்மானிப்பதை விரிவாக்க வேண்டும். நிர்ணயிப்பவரின் தற்போதைய பண்புகளிலிருந்து, நமது விமானம் ஆரம்பத்தில் கொடுக்கப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளை (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) ஒரே நேரத்தில் வெட்டுகிறது. . அதாவது, எங்களுக்கு ஒதுக்கப்பட்ட பணியை நாங்கள் தீர்த்துவிட்டோம்.

விமானங்களுக்கு இடையில் இருமுனை கோணம்

ஒரு டைஹெட்ரல் கோணம் என்பது ஒரு நேர் கோட்டில் இருந்து வெளிப்படும் இரண்டு அரை-தளங்களால் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு இடஞ்சார்ந்த வடிவியல் உருவமாகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த அரை-விமானங்களால் வரையறுக்கப்பட்ட இடத்தின் பகுதி இதுவாகும்.

பின்வரும் சமன்பாடுகளுடன் இரண்டு விமானங்கள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

N=(A,B,C) மற்றும் N¹=(A¹,B¹,C¹) ஆகிய திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்ட விமானங்களின்படி செங்குத்தாக இருப்பதை நாம் அறிவோம். இது சம்பந்தமாக, N மற்றும் N¹ ஆகிய திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் φ இந்த விமானங்களுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள கோணத்திற்கு (இரண்டு ஹெட்ரல்) சமமாக இருக்கும். புள்ளி தயாரிப்பு வடிவம் உள்ளது:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

துல்லியமாக ஏனெனில்

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤φ≤π என்பதை கணக்கில் கொண்டால் போதும்.

உண்மையில், வெட்டும் இரண்டு விமானங்கள் இரண்டு கோணங்களை (டைஹெட்ரல்) உருவாக்குகின்றன: φ 1 மற்றும் φ 2. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை π (φ 1 + φ 2 = π) க்கு சமம். அவற்றின் கொசைன்களைப் பொறுத்தவரை, அவற்றின் முழுமையான மதிப்புகள் சமமாக இருக்கும், ஆனால் அவை அடையாளத்தில் வேறுபடுகின்றன, அதாவது cos φ 1 = -cos φ 2. சமன்பாட்டில் (0) நாம் A, B மற்றும் C ஐ முறையே -A, -B மற்றும் -C எண்களுடன் மாற்றினால், நாம் பெறும் சமன்பாடு அதே விமானத்தை, ஒரே ஒரு, சமன்பாட்டில் φ கோணத்தை தீர்மானிக்கும். φ= NN 1 /|. N||N 1 | π-φ ஆல் மாற்றப்படும்.

செங்குத்தாக விமானத்தின் சமன்பாடு

90 டிகிரி கோணத்தில் இருக்கும் விமானங்கள் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகின்றன. மேலே வழங்கப்பட்ட பொருளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை மற்றொன்றுக்கு செங்குத்தாகக் காணலாம். எங்களிடம் இரண்டு விமானங்கள் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்: Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D=0. cosφ=0 எனில் அவை செங்குத்தாக இருக்கும் என்று சொல்லலாம். இதன் பொருள் NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

இணை விமானச் சமன்பாடு

பொதுவான புள்ளிகள் இல்லாத இரண்டு விமானங்கள் இணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நிபந்தனை (அவற்றின் சமன்பாடுகள் முந்தைய பத்தியில் உள்ளதைப் போலவே இருக்கும்) அவற்றிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் N மற்றும் N¹ திசையன்கள் கோலினியர் ஆகும். இதன் பொருள் பின்வரும் விகிதாசார நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

விகிதாச்சார நிபந்தனைகள் நீட்டிக்கப்பட்டால் - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

இந்த விமானங்கள் இணைந்திருப்பதை இது குறிக்கிறது. அதாவது Ax+By+Cz+D=0 மற்றும் A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 ஆகிய சமன்பாடுகள் ஒரு விமானத்தை விவரிக்கின்றன.

புள்ளியிலிருந்து விமானத்திற்கான தூரம்

எங்களிடம் ஒரு விமானம் P உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம், இது சமன்பாடு (0) மூலம் வழங்கப்படுகிறது. ஆய (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ கொண்ட ஒரு புள்ளியில் இருந்து அதற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் P விமானத்தின் சமன்பாட்டை சாதாரண வடிவத்தில் கொண்டு வர வேண்டும்:

(ρ,v)=р (р≥0).

இந்த வழக்கில், ρ (x, y, z) என்பது P இல் அமைந்துள்ள Q இன் ஆரம் திசையன் ஆகும், p என்பது பூஜ்ஜியப் புள்ளியில் இருந்து வெளியிடப்பட்ட செங்குத்தாக P இன் நீளம், v என்பது அலகு திசையன், இதில் அமைந்துள்ளது. திசை a.

சில புள்ளி Q = (x, y, z) இன் வேறுபாடு ρ-ρº ஆரம் திசையன், P க்கு சொந்தமானது, அதே போல் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் ஆரம் திசையன் Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) அத்தகைய திசையன், V இல் இருக்கும் ப்ரொஜெக்ஷனின் முழுமையான மதிப்பு, Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) இலிருந்து P வரை காணப்பட வேண்டிய தூரம் dக்கு சமம்:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ஆனால்

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

எனவே அது மாறிவிடும்

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

இவ்வாறு, விளைந்த வெளிப்பாட்டின் முழுமையான மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம், அதாவது விரும்பிய டி.

அளவுரு மொழியைப் பயன்படுத்தி, நாம் தெளிவாகப் பெறுகிறோம்:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி Q 0 என்பது ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் போன்ற P இன் விமானத்தின் மறுபக்கத்தில் இருந்தால், திசையன் ρ-ρ 0 மற்றும் v க்கு இடையில் எனவே:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

புள்ளி Q 0, ஒருங்கிணைப்புகளின் தோற்றத்துடன் சேர்ந்து, P இன் ஒரே பக்கத்தில் அமைந்திருந்தால், உருவாக்கப்பட்ட கோணம் கடுமையானது, அதாவது:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

இதன் விளைவாக, முதல் வழக்கில் (ρ 0 ,v)>р, இரண்டாவது (ρ 0 ,v)<р.

தொடு விமானம் மற்றும் அதன் சமன்பாடு

Mº தொடர்பு புள்ளியில் மேற்பரப்புக்கு தொடும் விமானம் என்பது மேற்பரப்பில் இந்த புள்ளியின் வழியாக வரையப்பட்ட வளைவுகளுக்கு சாத்தியமான அனைத்து தொடுகோடுகளையும் கொண்ட ஒரு விமானமாகும்.

இந்த வகையான மேற்பரப்பு சமன்பாடு F(x,y,z)=0 உடன், Mº(xº,yº,zº) என்ற தொடு புள்ளியில் உள்ள தொடுவான விமானத்தின் சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

நீங்கள் மேற்பரப்பை வெளிப்படையான வடிவத்தில் z=f (x,y) இல் குறிப்பிட்டால், தொடுவான விமானம் சமன்பாட்டால் விவரிக்கப்படும்:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு

ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் (செவ்வக) Oxyz அமைந்துள்ளது, இரண்டு விமானங்கள் П′ மற்றும் П″ கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, அவை வெட்டும் மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை. ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் அமைந்துள்ள எந்த விமானமும் ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுவதால், P′ மற்றும் P″ ஆகியவை A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x சமன்பாடுகளால் வழங்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். +B″y+ С″z+D″=0. இந்த வழக்கில், நாம் P′ விமானத்தின் இயல்பான n′ (A′,B′,C′) மற்றும் P″ விமானத்தின் சாதாரண n″ (A″,B″,C″) ஐக் கொண்டுள்ளோம். எங்கள் விமானங்கள் இணையாக இல்லை மற்றும் ஒத்துப்போவதில்லை என்பதால், இந்த திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல. கணிதத்தின் மொழியைப் பயன்படுத்தி, இந்த நிபந்தனையை பின்வருமாறு எழுதலாம்: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P′ மற்றும் P″ குறுக்குவெட்டில் இருக்கும் நேர்கோட்டை a என்ற எழுத்தால் குறிக்கலாம், இந்த வழக்கில் a = P′ ∩ P″.

a என்பது P′ மற்றும் P″ விமானங்களின் (பொதுவான) அனைத்து புள்ளிகளின் தொகுப்பையும் கொண்ட ஒரு நேர்கோடு. இதன் பொருள், ஒரு வரியைச் சேர்ந்த எந்தப் புள்ளியின் ஆயங்களும் ஒரே நேரத்தில் A′x+B′y+C′z+D′=0 மற்றும் A″x+B″y+C″z+D″=0 ஆகிய சமன்பாடுகளை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும். . இதன் பொருள், புள்ளியின் ஆயங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளின் ஒரு பகுதி தீர்வாக இருக்கும்:

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் (பொது) தீர்வு கோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளையும் தீர்மானிக்கும், இது P′ மற்றும் P″ வெட்டும் புள்ளியாக செயல்படும் மற்றும் நேர்கோட்டை தீர்மானிக்கும். விண்வெளியில் Oxyz (செவ்வக) ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் a.

விண்வெளியில் ஏதேனும் மூன்று புள்ளிகள் வழியாக ஒரு விமானம் வரையப்படுவதற்கு, இந்த புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் இருக்காமல் இருப்பது அவசியம்.

பொது கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள்.

ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) M 1, M 2, M 3 புள்ளிகளுடன் ஒரே விமானத்தில் இருக்க, திசையன்கள் கோப்லனராக இருப்பது அவசியம்.

(
) = 0

இதனால்,

மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு:

விமானத்திற்கு இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் ஒரு திசையன் கோலினியர் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

புள்ளிகள் M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) மற்றும் திசையன் கொடுக்கப்பட வேண்டும்
.

கொடுக்கப்பட்ட M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M (x, y, z) .

திசையன்கள்
மற்றும் திசையன்
coplanar இருக்க வேண்டும், அதாவது.

(
) = 0

விமானச் சமன்பாடு:

ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு,

விமானத்திற்கு நேர்கோட்டு.

இரண்டு திசையன்களை கொடுக்கலாம்
மற்றும்
, கோலினியர் விமானங்கள். பின்னர் விமானத்தைச் சேர்ந்த ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, திசையன்கள்
கோப்ளனாராக இருக்க வேண்டும்.

விமானச் சமன்பாடு:

புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் மூலம் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு .

தேற்றம். விண்வெளியில் ஒரு புள்ளி M கொடுக்கப்பட்டால் 0 (எக்ஸ் 0 , ஒய் 0 , z 0 ), பின்னர் புள்ளி எம் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு 0 சாதாரண வெக்டருக்கு செங்குத்தாக (ஏ, பி, சி) வடிவம் உள்ளது:

ஏ(எக்ஸ் – எக்ஸ் 0 ) + பி(ஒய் – ஒய் 0 ) + சி(z – z 0 ) = 0.

ஆதாரம். விமானத்திற்குச் சொந்தமான ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி M(x, y, z) க்கு, நாம் ஒரு வெக்டரை உருவாக்குகிறோம். ஏனெனில் திசையன் சாதாரண திசையன், பின்னர் அது விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே, திசையன் செங்குத்தாக
. பின்னர் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு

= 0

இவ்வாறு, விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

பொதுச் சமன்பாட்டில் Ax + Bi + Cz + D = 0 எனில் இரு பக்கங்களையும் (-D) ஆல் வகுக்கிறோம்

,

பதிலாக
, விமானத்தின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் பெறுகிறோம்:

எண்கள் a, b, c ஆகியவை முறையே x, y, z அச்சுகளுடன் கூடிய விமானத்தின் வெட்டுப்புள்ளிகள் ஆகும்.

திசையன் வடிவத்தில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

எங்கே

- தற்போதைய புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M(x, y, z),

ஒரு செங்குத்து திசையைக் கொண்ட ஒரு அலகு திசையன் தோற்றத்திலிருந்து ஒரு விமானத்தில் கைவிடப்பட்டது.

,  மற்றும்  ஆகியவை இந்த திசையன் x, y, z அச்சுகளுடன் உருவாகும் கோணங்கள்.

p என்பது இந்த செங்குத்து நீளம்.

ஒருங்கிணைப்புகளில், இந்த சமன்பாடு இதுபோல் தெரிகிறது:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கான தூரம்.

தன்னிச்சையான புள்ளி M 0 (x 0, y 0, z 0) இலிருந்து Ax+By+Cz+D=0 வரையிலான தூரம்:

உதாரணமாக.புள்ளி P(4; -3; 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கைவிடப்பட்ட செங்குத்தான அடித்தளம் என்பதை அறிந்து, விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

எனவே A = 4/13; பி = -3/13; சி = 12/13, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

A(x – x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

உதாரணமாக. P(2; 0; -1) மற்றும் இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

Q(1; -1; 3) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 3x + 2y – z + 5 = 0.

விமானத்தின் இயல்பான திசையன் 3x + 2y – z + 5 = 0
விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக.

நாங்கள் பெறுகிறோம்:

உதாரணமாக. A(2, -1, 4) மற்றும் புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

B(3, 2, -1) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக எக்ஸ் + மணிக்கு + 2z – 3 = 0.

விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: ஏ எக்ஸ்+பி ஒய்+சி z+ D = 0, இந்த விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் (ஏ, பி, சி). திசையன்
(1, 3, -5) விமானத்திற்கு உரியது. எங்களுக்கு கொடுக்கப்பட்ட விமானம், விரும்பிய ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக, ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது (1, 1, 2). ஏனெனில் புள்ளிகள் A மற்றும் B இரண்டு விமானங்களுக்கும் சொந்தமானது, மேலும் விமானங்கள் பரஸ்பர செங்குத்தாக இருக்கும்

எனவே சாதாரண திசையன் (11, -7, -2). ஏனெனில் புள்ளி A விரும்பிய விமானத்திற்கு சொந்தமானது, அதன் ஒருங்கிணைப்புகள் இந்த விமானத்தின் சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்ய வேண்டும், அதாவது. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

மொத்தத்தில், விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 11 எக்ஸ் - 7ஒய் – 2z – 21 = 0.

உதாரணமாக.விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும், புள்ளி P(4, -3, 12) என்பது இந்த விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கீழே இறக்கப்பட்ட செங்குத்தாக அடித்தளம் என்பதை அறிந்து கொள்ளுங்கள்.

சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை கண்டறிதல்
= (4, -3, 12). விமானத்தின் தேவையான சமன்பாடு படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: 4 எக்ஸ் – 3ஒய் + 12z+ D = 0. குணகம் D ஐக் கண்டுபிடிக்க, நாம் புள்ளி P இன் ஆயங்களை சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

16 + 9 + 144 + D = 0

மொத்தத்தில், தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்: 4 எக்ஸ் – 3ஒய் + 12z – 169 = 0

உதாரணமாக. A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1) என்ற பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

விளிம்பு A 1 A 2 இன் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 மற்றும் A 1 A 4 விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

விளிம்பு A 1 A 4 மற்றும் முகம் A 1 A 2 A 3 ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

முதலில் A 1 A 2 A 3 முகத்திற்கு சாதாரண திசையன் இருப்பதைக் காண்கிறோம் திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியாக
மற்றும்
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

சாதாரண வெக்டருக்கும் வெக்டருக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்
.

-4 – 4 = -8.

திசையன் மற்றும் விமானம் இடையே விரும்பிய கோணம்  = 90 0 -  சமமாக இருக்கும்.

முகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் A 1 A 2 A 3.

பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்.

A 1 A 2 A 3 விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

மூன்று புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டிற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

கணினி பதிப்பைப் பயன்படுத்தும் போது " உயர் கணிதப் படிப்பு” நீங்கள் ஒரு நிரலை இயக்கலாம், அது மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்கும் பிரமிட்டின் முனைகளின் எந்த ஆயத்தொலைவுகளுக்கும்.

நிரலைத் தொடங்க, ஐகானில் இருமுறை கிளிக் செய்யவும்:

திறக்கும் நிரல் சாளரத்தில், பிரமிட்டின் முனைகளின் ஆயங்களை உள்ளிட்டு Enter ஐ அழுத்தவும். இந்த வழியில், அனைத்து முடிவு புள்ளிகளையும் ஒவ்வொன்றாகப் பெறலாம்.

குறிப்பு: நிரலை இயக்க, MapleV வெளியீடு 4 இல் தொடங்கி எந்தப் பதிப்பின் Maple நிரல் ( Waterloo Maple Inc.) உங்கள் கணினியில் நிறுவப்பட்டிருக்க வேண்டும்.

விமானங்களின் இணை மற்றும் செங்குத்தாக தீர்மானிக்க, அதே போல் இந்த வடிவியல் பொருள்களுக்கு இடையிலான தூரத்தை கணக்கிட, ஒன்று அல்லது மற்றொரு வகை எண் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது. பிரிவுகளில் விமானச் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது என்ன சிக்கல்களுக்கு வசதியானது? இந்த கட்டுரையில் அது என்ன, நடைமுறை பணிகளில் அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

ஒரு வரி சமன்பாடு என்றால் என்ன?

ஒரு விமானத்தை முப்பரிமாண இடத்தில் பல வழிகளில் வரையறுக்கலாம். இந்த கட்டுரையில், பல்வேறு வகையான சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அவற்றில் சில வழங்கப்படும். விமானத்தின் பிரிவுகளில் சமன்பாட்டின் விரிவான விளக்கத்தை இங்கே தருவோம். பொதுவாக, இது பின்வரும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

p, q, r ஆகிய குறியீடுகள் சில குறிப்பிட்ட எண்களைக் குறிக்கும். இந்த சமன்பாட்டை ஒரு பொதுவான வெளிப்பாடு மற்றும் விமானத்திற்கான பிற எண்சார் செயல்பாடுகளாக எளிதாக மொழிபெயர்க்கலாம்.

ஒரு சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுதுவதற்கான வசதி என்னவென்றால், அது செங்குத்தாக ஆய அச்சுகளுடன் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டின் வெளிப்படையான ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்துடன் தொடர்புடைய x அச்சில், விமானம் நீளம் p இன் ஒரு பகுதியை வெட்டுகிறது, y அச்சில் - q க்கு சமம், z இல் - நீளம் r உடன்.

மூன்று மாறிகளில் ஏதேனும் சமன்பாட்டில் இல்லை என்றால், விமானம் தொடர்புடைய அச்சின் வழியாக செல்லவில்லை என்று அர்த்தம் (கணித வல்லுநர்கள் அது முடிவிலியில் வெட்டுவதாகக் கூறுகிறார்கள்).

சமன்பாடுகளின் பொது மற்றும் பிரிவுகளுக்கு இடையிலான உறவு

விமானம் பின்வரும் சமத்துவத்தால் வழங்கப்படுகிறது என்பது அறியப்படுகிறது:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

விமானத்தின் இந்த பொதுவான சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுதுவது அவசியம்.

இதேபோன்ற சிக்கல் எழும் போது, ​​நீங்கள் இந்த நுட்பத்தை பின்பற்ற வேண்டும்: சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்திற்கு இலவச காலத்தை நகர்த்தவும். முழு சமன்பாட்டையும் இந்த வார்த்தையால் பிரித்து, முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தில் அதை வெளிப்படுத்த முயற்சிக்கிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

ஆரம்பத்தில் பொதுவான வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் பிரிவுகளில் பெற்றோம். x, y மற்றும் z அச்சுகளுக்கு முறையே 3, 2 மற்றும் 6 நீளம் கொண்ட பகுதிகளை விமானம் வெட்டுவது கவனிக்கத்தக்கது. y-அச்சு எதிர்மறை ஒருங்கிணைப்பு பகுதியில் விமானத்தை வெட்டுகிறது.

பிரிவுகளில் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கும்போது, ​​​​அனைத்து மாறிகளும் "+" அடையாளத்தால் முன்வைக்கப்படுவது முக்கியம். இந்த வழக்கில் மட்டுமே, இந்த மாறி பிரிக்கப்பட்ட எண் அச்சில் ஆய துண்டிக்கப்பட்டதைக் காண்பிக்கும்.

விமானத்தில் இயல்பான திசையன் மற்றும் புள்ளி

சில விமானங்களில் (3; 0; -1) இருப்பதாக அறியப்படுகிறது. இது புள்ளி (1; 1; 1) வழியாக செல்கிறது என்றும் அறியப்படுகிறது. இந்த விமானத்திற்கு நீங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுத வேண்டும்.

இந்த சிக்கலை தீர்க்க, நீங்கள் முதலில் இந்த இரு பரிமாண வடிவியல் பொருளுக்கு ஒரு பொதுவான படிவத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். பொது வடிவம் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

முதல் மூன்று குணகங்கள் இங்கே வழிகாட்டி வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் ஆகும், இது சிக்கல் அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அதாவது:

D என்ற இலவசச் சொல்லைக் கண்டறிய இது உள்ளது. பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்மானிக்கலாம்:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

குறியீட்டு 1 உடன் ஒருங்கிணைப்பு மதிப்புகள் விமானத்திற்குச் சொந்தமான ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்திருக்கும் இடத்தில். சிக்கல் நிலைமைகளிலிருந்து அவற்றின் மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

இப்போது நாம் சமன்பாட்டை முழுமையாக எழுதலாம்:

இந்த வெளிப்பாட்டை விமானப் பிரிவுகளில் சமன்பாடாக மாற்றும் நுட்பம் ஏற்கனவே மேலே நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. அதைப் பயன்படுத்துவோம்:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

பிரச்சனைக்கான பதில் கிடைத்துள்ளது. இந்த விமானம் x மற்றும் z அச்சுகளை மட்டுமே வெட்டுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. y க்கு இது இணையாக உள்ளது.

ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கும் இரண்டு நேர்கோடுகள்

இடஞ்சார்ந்த வடிவவியலில் ஒரு பாடத்தில் இருந்து, இரண்டு தன்னிச்சையான நேர்கோடுகள் முப்பரிமாண இடத்தில் ஒரு விமானத்தை தனித்துவமாக வரையறுக்கின்றன என்பதை ஒவ்வொரு பள்ளிக்குழந்தைக்கும் தெரியும். இதேபோன்ற சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

அறியப்பட்ட இரண்டு வரி சமன்பாடுகள் உள்ளன:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

இந்த கோடுகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுதுவது அவசியம்.

இரண்டு கோடுகளும் விமானத்தில் இருக்க வேண்டும் என்பதால், அவற்றின் திசையன்கள் (இயக்குனர்கள்) விமானத்திற்கான திசையன் (இயக்குனர்) க்கு செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும் என்பதாகும். அதே நேரத்தில், தன்னிச்சையான இரண்டு இயக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் திசையன் தயாரிப்பு, இரண்டு அசல்வற்றுக்கு செங்குத்தாக, மூன்றாவது ஆய வடிவத்தில் முடிவை அளிக்கிறது என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த சொத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், விரும்பிய விமானத்திற்கு வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளை நாங்கள் பெறுகிறோம்:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

இது ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணால் பெருக்கப்படலாம் என்பதால், இந்த வழக்கில் அசல் ஒன்றிற்கு இணையாக ஒரு புதிய இயக்கிய பிரிவு உருவாகிறது, பின்னர் பெறப்பட்ட ஆயங்களின் அடையாளத்தை எதிர் (-1 ஆல் பெருக்கப்படுகிறது) மாற்றலாம்:

திசை வெக்டரை நாம் அறிவோம். ஒரு வரியில் தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்து விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டை உருவாக்க இது உள்ளது:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

இந்த சமத்துவத்தை பிரிவுகளில் ஒரு வெளிப்பாடாக மொழிபெயர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

இவ்வாறு, விமானம் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் நேர்மறை பகுதியில் மூன்று அச்சுகளையும் வெட்டுகிறது.

இரண்டு நேர் கோடுகளைப் போலவே, மூன்று புள்ளிகள் முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானத்தை தனித்துவமாக வரையறுக்கின்றன. விமானத்தில் இருக்கும் புள்ளிகளின் பின்வரும் ஆயத்தொலைவுகள் தெரிந்தால், தொடர்புடைய சமன்பாட்டை பிரிவுகளில் எழுதுவோம்:

பின்வருமாறு தொடரலாம்: இந்த புள்ளிகளை இணைக்கும் இரண்டு தன்னிச்சையான திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கணக்கிடவும், பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இயக்கப்பட்ட பிரிவுகளின் பலனைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் திசையன் n¯ சாதாரண விமானத்தைக் கண்டறியவும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

புள்ளி P ஐ எடுத்துக்கொள்வோம் மற்றும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 அல்லது z = 0.

கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள xy விமானத்திற்கு ஒத்த எளிய வெளிப்பாடு எங்களிடம் உள்ளது. x மற்றும் y அச்சுகள் விமானத்தைச் சேர்ந்தவை என்பதாலும், z அச்சில் துண்டிக்கப்பட்ட பிரிவின் நீளம் பூஜ்ஜியமாக இருப்பதாலும் (புள்ளி (0; 0; 0) விமானத்திற்கு உரியது) என்பதால், இதைப் பிரிவுகளில் எழுத முடியாது.

1. கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு (கோலினியர் அல்லாத) திசையன்களுக்கு இணையாக கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

குறிப்பு: 1 வழி . விமானம் M (x, y, z) இன் தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம். திசையன்கள் இணை விமானங்களில் அமைந்திருப்பதால் அவை கோப்லனராக இருக்கும். எனவே, அவர்களின் கலப்பு தயாரிப்பு
இந்த நிலையை ஒருங்கிணைப்புகளில் எழுதுவதன் மூலம், விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

முதல் வரியுடன் விரிவாக்குவதன் மூலம் இந்த தீர்மானிப்பைக் கணக்கிடுவது மிகவும் வசதியானது.

முறை 2 . திசையன்கள்
விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக. எனவே, திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்திக்கு சமமான திசையன்
இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக , அதாவது
மற்றும்
. திசையன் விமானத்தின் ஒரு சாதாரண திசையன் . என்றால்
மற்றும்
, பின்னர் திசையன் சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

விமானச் சமன்பாடு புள்ளி மூலம் கண்டுபிடிக்க
மற்றும் சாதாரண திசையன்

2. கொடுக்கப்பட்ட வெக்டருக்கு இணையாக கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்
.(
கோலினியர் அல்லாதது).

குறிப்பு: 1 வழி. M (x, y, z) விமானத்தில் தன்னிச்சையான புள்ளியாக இருக்கட்டும். பின்னர் திசையன்கள் மற்றும்
இணை விமானங்களில் அமைந்துள்ளன, எனவே, coplanar, அதாவது. அவர்களின் கலவையான வேலை
இந்த நிபந்தனையை ஆயத்தொகுப்புகளில் எழுதி, விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் .

முறை 2 . விரும்பிய விமானத்திற்கான சாதாரண திசையன் திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்
, அதாவது
அல்லது ஆயங்களில்:

விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாடு சாதாரண திசையன் மூலம் கண்டறியப்பட்டது மற்றும் புள்ளி
(அல்லது புள்ளி
)சூத்திரத்தால் (2.1.1)

(எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்).

3. புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்
விமானத்திற்கு இணையாக 2x – 6y – 3z +5 =0.

குறிப்பு:சாதாரண திசையன் இந்த விமானத்தின் பொதுச் சமன்பாட்டிலிருந்து 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1) என்று காண்கிறோம்.
திசையன் கொடுக்கப்பட்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக, எனவே, அதற்கு இணையான எந்த விமானத்திற்கும் செங்குத்தாக உள்ளது. திசையன் விரும்பிய விமானத்தின் சாதாரண வெக்டராக எடுத்துக்கொள்ளலாம். புள்ளியின் அடிப்படையில் விரும்பிய விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் சாதாரண திசையன்
(எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்:

4. ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
2x + y – 2z + 1 =0 மற்றும் விமானங்களின் வெட்டுக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக

x + y + z – 5 = 0.

குறிப்பு: 1 வழி. அதன் ஒவ்வொரு விமானத்திற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன்கள் (திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகளிலிருந்து காணப்படுகின்றன, சூத்திரம் (2.2.1)) அவற்றின் குறுக்குவெட்டுக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும், எனவே, விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும். விரும்பிய விமானம் புள்ளி வழியாக செல்கிறது
இரண்டு திசையன்களுக்கு இணையாக
(பணி 1 புள்ளி 5 ஐப் பார்க்கவும்).

விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது:

முதல் வரியுடன் மூன்றாம் வரிசையை நிர்ணயிப்பதை விரிவுபடுத்தி, தேவையான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

முறை 2. ஒரு புள்ளியின் அடிப்படையில் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் சாதாரண திசையன் சூத்திரத்தின் படி (2.2.1). சாதாரண திசையன் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்திக்கு சமம்
,அவை.
திசையன்கள் என்பதால்
விமானங்களின் குறுக்குவெட்டுக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் திசையன் விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு வரிக்கு இணையாக மற்றும் விரும்பிய விமானத்திற்கு செங்குத்தாக.

திசையன்கள் (சூத்திரம் 2.2.1 ஐப் பார்க்கவும்), பின்னர்

ஒரு புள்ளியின் அடிப்படையில் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் சாதாரண திசையன்

(எடுத்துக்காட்டு 1 பிரிவு 2.2 ஐப் பார்க்கவும்)

பதில்:

5. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்
மற்றும்
விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 3x – y + 3z +15 = 0.

குறிப்பு: 1 வழி. கொடுக்கப்பட்ட n இன் சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களை எழுதுவோம் பளபளப்பு

3x – y + 3z +15 = 0:
விமானங்கள் செங்குத்தாக இருப்பதால், பின்னர் திசையன் விரும்பிய விமானத்திற்கு இணையாக விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
வெக்டருக்கு இணையாக இருக்கும் மற்றும் புள்ளிகள் வழியாக செல்கிறது
(சிக்கல் 2, புள்ளி 5; முறை 1க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

முறை 2. விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் புள்ளி மூலம்
மற்றும் சாதாரண திசையன்
திசையன்

விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (சிக்கல் 2, புள்ளி 5; முறை 2 ஐப் பார்க்கவும்). சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5 ஆல் வகுக்கவும்.

2x + 3y – z – 14 = 0.

பதில்: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்

மற்றும்

குறிப்பு:மூன்று புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.3, சூத்திரம் 2.3.1 ஐப் பார்க்கவும்).

தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்துவது, நாம் பெறுகிறோம்

பதில்:

கருத்து.தீர்மானிப்பவரின் கணக்கீட்டின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க, இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களை மாற்ற பரிந்துரைக்கப்படுகிறது, இதன் மூலம் விமானம் விளைவாக சமன்பாட்டிற்குள் செல்கிறது. முடிவு ஒரு அடையாளமாக இருக்க வேண்டும்; இல்லையெனில், கணக்கீடுகளில் பிழை உள்ளது.

7. ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
x விமானத்திற்கு இணையாக – 4y + 5z + 1 = 0.

குறிப்பு:கொடுக்கப்பட்ட விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டிலிருந்து
x – 4y + 5z + 1 = 0 சாதாரண வெக்டரைக் கண்டறியவும்
(சூத்திரம் 2.2.1). திசையன் விரும்பிய விமானத்திற்கு செங்குத்தாக
ஒரு புள்ளியின் அடிப்படையில் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் சாதாரண திசையன்
(எடுத்துக்காட்டு 1; பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

பதில்: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
திசையன்களுக்கு இணையாக

குறிப்பு:சிக்கல் 1, புள்ளி 5க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்க்கிறோம்.

பதில்: x – y – z – 1 = 0.

9. ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
3x – 2y – z + 1 = 0 மற்றும் x – y – z = 0 ஆகிய விமானங்களின் வெட்டுக் கோட்டிற்கு செங்குத்தாக.

குறிப்பு:சிக்கல் 4, புள்ளி 5க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும். சுட்டிக்காட்டப்பட்ட முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்க்கிறோம்.

பதில்: x +2y – z – 8 = 0.

10. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 3x – y – 4z = 0.

குறிப்பு:பிரச்சனை 5, புள்ளி 5க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்.

பதில்: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்

புள்ளிகள் A (5; –2; 3) மற்றும் B (6; 1; 0) மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட வரிக்கு இணையாக.

குறிப்பு:விரும்பிய விமானம் கோடு AB க்கு இணையாக உள்ளது, எனவே இது வெக்டருக்கு இணையாக உள்ளது
விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாடு பத்தி 5 இன் சிக்கல் 2 இல் உள்ளதைப் போல (முறைகளில் ஒன்றின் மூலம்) நாங்கள் காண்கிறோம்.

பதில்: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. புள்ளி P (2; –1; –2) ஒரு செங்குத்தாக விமானத்தின் தோற்றத்திலிருந்து கைவிடப்பட்டது. இந்த விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்.

குறிப்பு:சாதாரண திசையன் விரும்பிய விமானத்திற்கு திசையன் உள்ளது
P (2; –1; –2) மற்றும் O(0; 0; 0) ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்.

அந்த.
விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் புள்ளி மற்றும் சாதாரண திசையன் மூலம்
(எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
விமானத்திற்கு இணையாக: a)xoy; b) yoz; c) xoz.

குறிப்பு:திசையன்
- அலகு அச்சு திசையன் oz xoy விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே, இது விரும்பிய விமானத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது
A (0; –1; 2) மற்றும் புள்ளியில் விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்

= (0; 0; 1), ஏனெனில்
(சிக்கல் 3க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும், புள்ளி 5).
z – 2 = 0.

நாங்கள் சிக்கல்களை தீர்க்கிறோம் b) மற்றும் c) இதேபோல்.

b)
எங்கே
(1; 0; 0).

V)
எங்கே (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

பதில்: a) z – 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
மற்றும்

B (2; 1; –1) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக: a) xoy; b) xoz.

குறிப்பு: Xoy விமானத்தின் சாதாரண திசையன் திசையன் ஆகும்

= (0; 0; 1) - oz அச்சின் அலகு திசையன். இரண்டு புள்ளிகளைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்
மற்றும் B (2; 1; –1) மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் கொண்ட விமானத்திற்கு செங்குத்தாக
(0; 0; 1), பத்தி 5 இன் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்துதல்.
y – 1 = 0.

இதேபோல் பிரச்சனை b):
எங்கே = (0; 1; 0).

பதில்: a) y – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
மற்றும்

B (2; 3; –1) oz அச்சுக்கு இணையாக.

குறிப்பு: oz அச்சில் நாம் ஒரு அலகு வெக்டரை எடுக்கலாம் = (0; 0; 1). சிக்கலுக்கான தீர்வு சிக்கல் 2, புள்ளி 5 (எந்த முறையிலும்) தீர்வுக்கு ஒத்ததாகும்.

பதில்: x – y + 1 = 0.

16. எருது அச்சு மற்றும் புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்

குறிப்பு:விமானம்
அச்சு எருது வழியாக செல்கிறது, எனவே, புள்ளி O(0; 0; 0) மூலம். எருது அச்சில் நாம் ஒரு அலகு வெக்டரை எடுக்கலாம் = (1; 0; 0). A (2; –1; 6) மற்றும் O (0; 0; 0) மற்றும் திசையன் ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம். விமானத்திற்கு இணையாக. (சிக்கல் 2, புள்ளி 5க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

பதில்: 6y + z = 0.

17. A இன் எந்த மதிப்பில் Ax + 2y – 7z – 1 = 0 மற்றும் 2x – y + 2z = 0 ஆகிய விமானங்கள் செங்குத்தாக இருக்கும்?

குறிப்பு:விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகளிலிருந்து

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 மற்றும்
2x – y + 2z = 0 சாதாரண திசையன்கள்

= (A; 2; –7) மற்றும்
= (2; –1; 2) (2.2.1). இரண்டு விமானங்களின் செங்குத்தாக இருப்பதற்கான நிபந்தனை (2.6.1).

பதில்: A = 8.

18. விமானத்தின் A எந்த மதிப்பில் 2x + 3y – 6z – 23 = 0 மற்றும்

4x + Ay – 12z + 7 = 0 இணையாக இருக்குமா?

குறிப்பு:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 மற்றும்
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) மற்றும்
= (4;A; –12) (2.2.1). ஏனெனில்
(2.5.1)

பதில்: A = 6.

19. 2x + y + z + 7 = 0 மற்றும் x – 2y + 3z = 0 ஆகிய இரண்டு விமானங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

குறிப்பு:
2x + y + z + 7 = 0 மற்றும்
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) மற்றும்
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

பதில்:

20. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்

A (1; 2; –3) வெக்டருக்கு இணையாக =(1; –2; 1).

குறிப்பு:பத்தி 3.1 இன் உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்.

பதில்:

21. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டிற்கான அளவுரு சமன்பாடுகளை எழுதவும்

A (–2; 3; 1) வெக்டருக்கு இணையாக =(3; –1; 2).

குறிப்பு:பத்தி 3.2 இல் உள்ள உதாரணத்திற்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்.

பதில்:
.

22. புள்ளிகள் A (1; 0; –2) மற்றும் B (1; 2; –4) வழியாக செல்லும் கோட்டின் நியமன மற்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்.

குறிப்பு:பிரிவு 3.3ன் உதாரணம் 1க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்.

பதில்: A)
b)

23. x – 2y +3z – 4 = 0 மற்றும் 3x + 2y – 5z – 4 = 0 ஆகிய இரண்டு விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு என வரையறுக்கப்பட்ட கோட்டின் நியதி மற்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்.

குறிப்பு:எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 3.4 ஐப் பார்க்கவும். z = 0, பின்னர் புள்ளியின் x மற்றும் y ஆயத்தொகுப்புகள்
அமைப்பின் தீர்விலிருந்து நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

எனவே, புள்ளி
, விரும்பிய வரியில் பொய், ஆய உள்ளது

(2; –1; 0). விமானங்களின் பொதுவான சமன்பாடுகளிலிருந்து விரும்பிய நேர்க்கோட்டின் திசை திசையன் கண்டுபிடிக்க
x – 2y +3z – 4 = 0 மற்றும்
3x + 2y – 5z – 4 = 0

சாதாரண திசையன்களைக் கண்டறியவும் =(1; –2; 3) மற்றும்
=(3; 2; –5).

ஒரு புள்ளியில் இருந்து நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளைக் காண்கிறோம்
(2; –1; 0) மற்றும் திசை திசையன்

(சூத்திரத்தைப் பார்க்கவும் (3.1.1)).

ஒரு நேர்கோட்டின் அளவுரு சமன்பாடுகளை சூத்திரம் (3.2.1) அல்லது நியமன சமன்பாடுகள் மூலம் காணலாம்:
எங்களிடம் உள்ளது:

பதில்:
;
.

24. புள்ளி மூலம்
(2; –3; –4) கோட்டிற்கு இணையாக ஒரு கோட்டை வரையவும்

.

குறிப்பு:விரும்பிய வரியின் நியமன சமன்பாடுகள் புள்ளி மூலம் கண்டுபிடிப்போம்
மற்றும் திசை திசையன் ஏனெனில்
பின்னர் திசை வெக்டருக்கு நேராக திசை வெக்டரை நீங்கள் எடுக்கலாம் நேராக எல். அடுத்து, சிக்கல் 23, பத்தி 5 அல்லது உதாரணம் 1, பத்தி 3.4க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்.

பதில்:

25. கொடுக்கப்பட்ட முக்கோண முனைகள் A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) மற்றும் C (–1; 3; 5). முனை B இலிருந்து வரையப்பட்ட ABC முக்கோணத்தின் இடைநிலையின் சமன்பாட்டைக் கண்டறியவும்.

குறிப்பு: AM = MC (BM என்பது ஏபிசி முக்கோணத்தின் சராசரி) என்ற நிலையில் இருந்து புள்ளி M இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்.

உடன் இரண்டு புள்ளிகள் B (2; 4; –1) மற்றும் BM என்ற நேர் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை விட்டுவிடுவோம்.
(எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 3.3 பார்க்கவும்).

பதில்:

26. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் நியமன மற்றும் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்
(–1; –2; 2) எருது அச்சுக்கு இணையாக.

குறிப்பு:திசையன்
- யூனிட் வெக்டார் ஆக்சிசாக்ஸ் விரும்பிய கோட்டிற்கு இணையாக உள்ளது. எனவே, இது நேர்கோட்டின் இயக்கும் திசையன் என எடுத்துக்கொள்ளலாம்
= (1; 0; 0). ஒரு புள்ளியில் இருந்து நேர்கோட்டின் சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்

(–1; –2: 2) மற்றும் திசையன் = (1; 0; 0) (எடுத்துக்காட்டாக, பத்தி 3.1 மற்றும் எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 3.2 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்:
;

27. ஒரு புள்ளியின் வழியாக செல்லும் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்
(3; –2; 4) விமானத்திற்கு செங்குத்தாக 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

குறிப்பு:விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாட்டிலிருந்து
5x + 3y – 7z + 1 = 0 சாதாரண வெக்டரைக் கண்டறியவும் = (5; 3; –7). நிபந்தனையின் படி, தேவையான நேர் கோடு
எனவே திசையன்
அந்த. திசையன் வரி L இன் திசை திசையன்: = (5; 3; –7). ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நேர் கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளை உருவாக்குகிறோம்
(3; –2; 4) மற்றும் திசை திசையன்

= (5; 3; –7). (உதாரண புள்ளி 3.1 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்:

28. மூலத்திலிருந்து 4x – y + 2z – 3 = 0 க்கு செங்குத்தாக கைவிடப்பட்ட அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்கவும்.

குறிப்பு:விரும்பிய செங்குத்தாக ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம், அதாவது. விமானத்திற்கு செங்குத்தாக நேர்கோடு
4x – y + 2z – 3 = 0 மற்றும் புள்ளி O (0; 0; 0) வழியாக செல்கிறது. (சிக்கல் 27, பத்தி 5 மற்றும் உதாரணம் 1, பத்தி 3.2க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும்).

பதில்:

29. ஒரு கோடு வெட்டும் புள்ளியைக் கண்டறியவும்
மற்றும் விமானங்கள்

x – 2y + z – 15 = 0.

குறிப்பு:ஒரு கோட்டின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி M ஐக் கண்டறிய

எல்:
மற்றும் விமானங்கள்

x – 2y + z – 15 = 0, சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாம் தீர்க்க வேண்டும்:

;

அமைப்பைத் தீர்க்க, கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளை அளவுரு சமன்பாடுகளாக மாற்றுகிறோம். (பணி 23, பத்தி 5 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்:

30. x + 2y – z – 3 = 0 என்ற விமானத்தில் புள்ளி M (4; –3; 1) இன் ப்ராஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும்.

குறிப்பு:விமானத்தின் மீது புள்ளி M இன் திட்டமானது புள்ளி P - புள்ளி p ஆக இருக்கும் புள்ளி M இலிருந்து ஒரு விமானத்திற்கு செங்குத்தாக வெட்டப்பட்டது
மற்றும் தட்டையானது செங்குத்து MR இன் அளவுரு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம் (சிக்கல் 28க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும், புள்ளி 5).

P புள்ளியை கண்டுபிடிப்போம் - MR மற்றும் விமானத்தின் நேர்கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளி (சிக்கல் 29க்கான தீர்வைப் பார்க்கவும், புள்ளி 5).

பதில்:

31. கோட்டின் மீது புள்ளி A(1; 2; 1) இன் ப்ராஜெக்ஷனைக் கண்டறியவும்

குறிப்பு:புள்ளி A இன் ப்ராஜெக்ஷன் L இன் கோடு:
டி ஆகும் புள்ளிகள் B நேர்கோடு L மற்றும் விமானத்தின் குறுக்குவெட்டு
இது புள்ளி A வழியாக செல்கிறது மற்றும் L கோட்டிற்கு செங்குத்தாக உள்ளது. L இன் நேர்கோட்டின் நியமன சமன்பாடுகளிலிருந்து திசை திசையன்களை எழுதுகிறோம் =(3; –1; 2). விமானம் வரி L க்கு செங்குத்தாக உள்ளது, எனவே,
எனவே திசையன் விமானத்தின் சாதாரண வெக்டராக எடுத்துக்கொள்ளலாம்
= (3; –1; 2). விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் புள்ளி A(1; 2; 1) மற்றும் = (3; –1; 2) (எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. ஒரு நேர் கோடு மற்றும் ஒரு விமானத்தின் குறுக்குவெட்டின் புள்ளி B ஐக் கண்டறியவும் (சிக்கல் 29, பத்தி 5 ஐப் பார்க்கவும்):

பதில்:

32. புள்ளி M (3; –1; 0) மூலம் x – y + z – 3 = 0 மற்றும் x + y + 2z – 3 = 0 ஆகிய இரண்டு விமானங்களுக்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டை வரையவும்.

குறிப்பு:விமானங்கள்
x – y + z – 3 = 0 மற்றும்
x + y + 2z – 3 = 0 இணையாக இல்லை, ஏனெனில் நிபந்தனை (2.5.1) பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை:
விமானங்கள்
வெட்டுகின்றன. தேவையான நேர்கோடு L, விமானங்களுக்கு இணையாக
இந்த விமானங்களின் வெட்டுக் கோட்டிற்கு இணையாக. (சிக்கல்களுக்கான தீர்வு 24 மற்றும் 23, பத்தி 5 ஐப் பார்க்கவும்).

பதில்:

33. இரண்டு கோடுகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு ஒரு சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்

குறிப்பு:1 வழி. விரும்பிய விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் புள்ளி மூலம்
, நேர்கோட்டில் பொய் , மற்றும் சாதாரண திசையன் . திசையன் நேர் கோடுகளின் திசை திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்
, கோடுகளின் நியதிச் சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் கண்டறிகிறோம்
(சூத்திரம் 3.1.1): = (7; 3; 5) மற்றும்

= (5; 5; –3)

புள்ளி ஒருங்கிணைப்புகள்
நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்

விமானத்தின் சமன்பாட்டை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் புள்ளி மூலம்
மற்றும் சாதாரண திசையன் =(–34; 46; 20) (எடுத்துக்காட்டு 1, பத்தி 2.2 ஐப் பார்க்கவும்)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

முறை 2. திசை திசையன்களைக் கண்டறிதல் = (7; 3; 5) மற்றும் = (5; 5; –3) கோடுகளின் நியதிச் சமன்பாடுகளிலிருந்து
முற்றுப்புள்ளி
(0; 2; –1) சமன்பாட்டிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது

. விமானத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக்கொள்வோம்

M(x;y;z). திசையன்கள்
- கோப்லனர், எனவே,
இந்த நிலையில் இருந்து நாம் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

பதில்: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. ஒரு புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்திற்கான சமன்பாட்டை எழுதுங்கள்
(2; 0; 1) மற்றும் நேர் கோடு

குறிப்பு:புள்ளி என்பதை முதலில் உறுதி செய்வோம்
இந்த நேர்கோட்டில் ஹெட்ஜ்ஸ்:
முற்றுப்புள்ளி
மற்றும் திசை திசையன் நேர்கோட்டின் நியதிச் சமன்பாடுகளிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்
:
(1; –1; –1) மற்றும்

= (1; 2; –1). விரும்பிய விமானத்தின் இயல்பான திசையன்
ஆயங்களை அறிந்து, சாதாரண வெக்டரின் ஆயங்களைக் காண்கிறோம் =(1; 2; –1) மற்றும்

= (1; 1; 2):

ஒரு புள்ளியில் இருந்து விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறோம்
(2; 0; 1) மற்றும் சாதாரண திசையன் = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

பதில்: 5x – 3y – z – 9 = 0.

ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு. ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு எழுதுவது?
விமானங்களின் பரஸ்பர ஏற்பாடு. பணிகள்

இடஞ்சார்ந்த வடிவியல் "பிளாட்" வடிவவியலை விட மிகவும் சிக்கலானது அல்ல, மேலும் விண்வெளியில் எங்கள் விமானங்கள் இந்த கட்டுரையுடன் தொடங்குகின்றன. தலைப்பில் தேர்ச்சி பெற, நீங்கள் நன்கு புரிந்து கொள்ள வேண்டும் திசையன்கள், கூடுதலாக, விமானத்தின் வடிவவியலை நன்கு அறிந்திருப்பது அறிவுறுத்தப்படுகிறது - பல ஒற்றுமைகள், பல ஒப்புமைகள் இருக்கும், எனவே தகவல் மிகவும் சிறப்பாக செரிக்கப்படும். எனது பாடங்களின் தொடரில், 2D உலகம் ஒரு கட்டுரையுடன் திறக்கிறது ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர்கோட்டின் சமன்பாடு. ஆனால் இப்போது பேட்மேன் பிளாட் டிவி திரையை விட்டு வெளியேறி பைகோனூர் காஸ்மோட்ரோமில் இருந்து தொடங்குகிறார்.

வரைபடங்கள் மற்றும் சின்னங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம். திட்டவட்டமாக, விமானத்தை ஒரு இணையான வரைபடத்தின் வடிவத்தில் வரையலாம், இது இடத்தின் தோற்றத்தை உருவாக்குகிறது:

விமானம் எல்லையற்றது, ஆனால் அதன் ஒரு பகுதியை மட்டுமே சித்தரிக்க எங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது. நடைமுறையில், இணையான வரைபடத்திற்கு கூடுதலாக, ஒரு ஓவல் அல்லது ஒரு மேகம் கூட வரையப்படுகிறது. தொழில்நுட்ப காரணங்களுக்காக, விமானத்தை சரியாக இந்த வழியில் மற்றும் சரியாக இந்த நிலையில் சித்தரிப்பது எனக்கு மிகவும் வசதியானது. நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளில் நாங்கள் கருதும் உண்மையான விமானங்கள் எந்த வகையிலும் அமைந்திருக்கலாம் - மனதளவில் வரைபடத்தை உங்கள் கைகளில் எடுத்து விண்வெளியில் சுழற்றுங்கள், விமானத்திற்கு எந்த சாய்வையும், எந்த கோணத்தையும் கொடுக்கும்.

பதவிகள்: விமானங்கள் பொதுவாக சிறிய கிரேக்க எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன, அவை குழப்பமடையக்கூடாது என்பதற்காக ஒரு விமானத்தில் நேர் கோடுஅல்லது உடன் விண்வெளியில் நேர்கோடு. நான் கடிதத்தைப் பயன்படுத்தப் பழகிவிட்டேன். வரைபடத்தில் இது "சிக்மா" என்ற எழுத்து, மற்றும் ஒரு துளை அல்ல. இருப்பினும், துளை விமானம் நிச்சயமாக மிகவும் வேடிக்கையானது.

சில சந்தர்ப்பங்களில், விமானங்களை நியமிக்க குறைந்த சந்தாக்களுடன் அதே கிரேக்க எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது, எடுத்துக்காட்டாக, .

ஒரே கோட்டில் இல்லாத மூன்று வெவ்வேறு புள்ளிகளால் விமானம் தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, விமானங்களின் மூன்று எழுத்து பெயர்கள் மிகவும் பிரபலமாக உள்ளன - அவற்றிற்கு சொந்தமான புள்ளிகள், எடுத்துக்காட்டாக, முதலியன. பெரும்பாலும் எழுத்துக்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன: விமானத்தை மற்றொரு வடிவியல் உருவத்துடன் குழப்ப வேண்டாம்.

அனுபவம் வாய்ந்த வாசகர்களுக்கு நான் தருகிறேன் விரைவான அணுகல் மெனு:

• ஒரு புள்ளி மற்றும் இரண்டு திசையன்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது?
• ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண வெக்டரைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது?

நீண்ட காத்திருப்புகளில் நாங்கள் சோர்வடைய மாட்டோம்:

பொதுவான விமானச் சமன்பாடு

விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது , குணகங்கள் ஒரே நேரத்தில் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்காது.

பல கோட்பாட்டுக் கணக்கீடுகள் மற்றும் நடைமுறைச் சிக்கல்கள் வழக்கமான ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையிலும் இடத்தின் அஃபைன் அடிப்படையிலும் செல்லுபடியாகும் (எண்ணெய் எண்ணெயாக இருந்தால், பாடத்திற்குத் திரும்பு. திசையன்களின் நேரியல் (அல்லாத) சார்பு. திசையன்களின் அடிப்படை) எளிமைக்காக, அனைத்து நிகழ்வுகளும் ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையிலும் கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பிலும் நிகழ்கின்றன என்று கருதுவோம்.

இப்போது நமது இடஞ்சார்ந்த கற்பனையை கொஞ்சம் பயிற்சி செய்வோம். உன்னுடையது மோசமாக இருந்தால் பரவாயில்லை, இப்போது அதை கொஞ்சம் அபிவிருத்தி செய்வோம். நரம்புகளில் விளையாடுவதற்கு கூட பயிற்சி தேவை.

மிகவும் பொதுவான வழக்கில், எண்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாதபோது, ​​விமானம் மூன்று ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளையும் வெட்டுகிறது. உதாரணமாக, இது போன்றது:

விமானம் எல்லா திசைகளிலும் காலவரையின்றி தொடர்கிறது என்பதை நான் மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறேன், மேலும் அதன் ஒரு பகுதியை மட்டுமே சித்தரிக்க எங்களுக்கு வாய்ப்பு உள்ளது.

விமானங்களின் எளிய சமன்பாடுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

இந்த சமன்பாட்டை எவ்வாறு புரிந்துகொள்வது? இதைப் பற்றி யோசித்துப் பாருங்கள்: "X" மற்றும் "Y" இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் "Z" எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இது "சொந்த" ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் சமன்பாடு ஆகும். உண்மையில், முறையாக சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: , "x" மற்றும் "y" மதிப்புகள் என்ன என்பதை நாங்கள் பொருட்படுத்தவில்லை என்பதை நீங்கள் தெளிவாகக் காண முடியும், "z" என்பது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பது முக்கியம்.

அதேபோல்:
- ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் சமன்பாடு;
- ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தின் சமன்பாடு.

சிக்கலை கொஞ்சம் சிக்கலாக்குவோம், ஒரு விமானத்தை கருத்தில் கொள்வோம் (இங்கே மேலும் பத்தியில் எண் குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்று கருதுகிறோம்). சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்: . அதை எப்படி புரிந்து கொள்வது? ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுக்கு சமமான "y" மற்றும் "z" இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் "X" எப்போதும் இருக்கும். இந்த விமானம் ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது. உதாரணமாக, ஒரு விமானம் ஒரு விமானத்திற்கு இணையாக உள்ளது மற்றும் ஒரு புள்ளி வழியாக செல்கிறது.

அதேபோல்:
- ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு;
- ஒருங்கிணைப்பு விமானத்திற்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

உறுப்பினர்களைச் சேர்ப்போம்: . சமன்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்: , அதாவது "zet" எதுவாகவும் இருக்கலாம். இதற்கு என்ன அர்த்தம்? "எக்ஸ்" மற்றும் "ஒய்" ஆகியவை உறவின் மூலம் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, இது விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட நேர் கோட்டை வரைகிறது (நீங்கள் கண்டுபிடிப்பீர்கள் ஒரு விமானத்தில் ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு?). "z" எதுவாகவும் இருக்கலாம் என்பதால், இந்த நேர்கோடு எந்த உயரத்திலும் "பிரதி" செய்யப்படுகிறது. இவ்வாறு, சமன்பாடு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு இணையான ஒரு விமானத்தை வரையறுக்கிறது

அதேபோல்:
- ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு;
- ஒருங்கிணைப்பு அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாடு.

இலவச விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், விமானங்கள் நேரடியாக தொடர்புடைய அச்சுகள் வழியாக செல்லும். எடுத்துக்காட்டாக, கிளாசிக் "நேரடி விகிதாசாரம்": . விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டை வரைந்து, மனதளவில் அதை மேலும் கீழும் பெருக்கவும் ("Z" ஏதேனும் இருப்பதால்). முடிவு: சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட விமானம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சின் வழியாக செல்கிறது.

நாங்கள் மதிப்பாய்வை முடிக்கிறோம்: விமானத்தின் சமன்பாடு தோற்றம் வழியாக செல்கிறது. சரி, இங்கே புள்ளி இந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

இறுதியாக, வரைபடத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வழக்கு: - விமானம் அனைத்து ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடனும் நட்பாக உள்ளது, அதே நேரத்தில் அது எப்போதும் ஒரு முக்கோணத்தை "துண்டிக்கிறது", இது எட்டு எண்களில் ஏதேனும் ஒன்றில் அமைந்திருக்கும்.

விண்வெளியில் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள்

தகவலைப் புரிந்து கொள்ள, நீங்கள் நன்றாகப் படிக்க வேண்டும் விமானத்தில் நேரியல் ஏற்றத்தாழ்வுகள், ஏனெனில் பல விஷயங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். நடைமுறையில் பொருள் மிகவும் அரிதாக இருப்பதால், பத்தி பல எடுத்துக்காட்டுகளுடன் சுருக்கமான கண்ணோட்டம் இயல்புடையதாக இருக்கும்.

சமன்பாடு ஒரு விமானத்தை வரையறுத்தால், ஏற்றத்தாழ்வுகள்
கேட்க அரை இடைவெளிகள். சமத்துவமின்மை கண்டிப்பாக இல்லை என்றால் (பட்டியலில் கடைசி இரண்டு), பின்னர் சமத்துவமின்மையின் தீர்வு, அரை இடைவெளிக்கு கூடுதலாக, விமானத்தையும் உள்ளடக்கியது.

எடுத்துக்காட்டு 5

விமானத்தின் அலகு சாதாரண வெக்டரைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு: அலகு திசையன் என்பது ஒரு திசையன், அதன் நீளம் ஒன்று. இந்த திசையன் மூலம் குறிப்போம். திசையன்கள் கோலினியர் என்பது முற்றிலும் தெளிவாக உள்ளது:

முதலில், விமானத்தின் சமன்பாட்டிலிருந்து சாதாரண வெக்டரை அகற்றுவோம்: .

யூனிட் வெக்டரை எப்படி கண்டுபிடிப்பது? யூனிட் வெக்டரைக் கண்டுபிடிக்க, உங்களுக்குத் தேவை ஒவ்வொருதிசையன் ஒருங்கிணைப்பை திசையன் நீளத்தால் வகுக்கவும்.

சாதாரண திசையனை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதி அதன் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மேலே உள்ள படி:

பதில்:

சரிபார்ப்பு: சரிபார்க்கப்பட வேண்டியவை.

பாடத்தின் கடைசிப் பத்தியை கவனமாகப் படித்த வாசகர்கள் அதைக் கவனித்திருக்கலாம் யூனிட் வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்:

பிரச்சனையில் இருந்து ஓய்வு எடுப்போம்: உங்களுக்கு தன்னிச்சையான பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் வழங்கப்படும் போது, மற்றும் நிபந்தனையின் படி அதன் திசை கோசைன்களைக் கண்டறிய வேண்டும் (பாடத்தின் கடைசி சிக்கல்களைப் பார்க்கவும் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு), பின்னர் நீங்கள், உண்மையில், இதற்கு ஒரு யூனிட் வெக்டார் கோலினியரைக் கண்டறியலாம். உண்மையில் ஒரு பாட்டில் இரண்டு பணிகள்.

அலகு சாதாரண திசையன் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியம் கணித பகுப்பாய்வு சில சிக்கல்களில் எழுகிறது.

ஒரு சாதாரண திசையனை எவ்வாறு வெளியேற்றுவது என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம், இப்போது எதிர் கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்:

ஒரு புள்ளி மற்றும் ஒரு சாதாரண வெக்டரைப் பயன்படுத்தி ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை எவ்வாறு உருவாக்குவது?

ஒரு சாதாரண திசையன் மற்றும் ஒரு புள்ளியின் இந்த திடமான கட்டுமானம் டார்ட்போர்டுக்கு நன்கு தெரியும். தயவு செய்து உங்கள் கையை முன்னோக்கி நீட்டி, விண்வெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியை மனதளவில் தேர்ந்தெடுக்கவும், எடுத்துக்காட்டாக, பக்க பலகையில் ஒரு சிறிய பூனை. வெளிப்படையாக, இந்த கட்டத்தில் நீங்கள் உங்கள் கைக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தை வரையலாம்.

வெக்டருக்கு செங்குத்தாக ஒரு புள்ளி வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: