ஒரு எண்ணின் வர்க்கமூலம் என்பது ஒரு எண்ணின் வர்க்கம் a க்கு சமமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, எண்கள் -5 மற்றும் 5 எண்கள் 25 இன் வர்க்க வேர்கள். அதாவது, x^2=25 என்ற சமன்பாட்டின் வேர்கள் 25 ஆம் எண்ணின் வர்க்க வேர்கள். இப்போது நீங்கள் சதுரத்துடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். ரூட் செயல்பாடு: அதன் அடிப்படை பண்புகளை ஆய்வு.

தயாரிப்பின் சதுர வேர்

√(a*b) =√a*√b

இரண்டு எதிர்மில்லாத எண்களின் பெருக்கத்தின் வர்க்கமூலம் இந்த எண்களின் வர்க்க மூலங்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

தீவிர வெளிப்பாடு மூன்று, நான்கு, முதலியவற்றின் விளைபொருளாக இருக்கும் போது இந்த பண்பு வழக்குக்கும் பொருந்தும் என்பதைப் புரிந்துகொள்வது அவசியம். எதிர்மறை காரணிகள்.

சில நேரங்களில் இந்த சொத்தின் மற்றொரு உருவாக்கம் உள்ளது. a மற்றும் b எதிர்மறை எண்கள் என்றால், பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: √(a*b) =√a*√b. அவற்றுக்கிடையே முற்றிலும் வேறுபாடு இல்லை;

ஒரு பகுதியின் சதுர வேர்

a>=0 மற்றும் b>0 எனில், பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையானது:

√(a/b) =√a/√b.

எடுத்துக்காட்டாக, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

இந்த சொத்து வேறுபட்ட சூத்திரத்தையும் கொண்டுள்ளது, இது என் கருத்துப்படி, மனப்பாடம் செய்வதற்கு மிகவும் வசதியானது.
விகுதியின் வர்க்கமூலம், வேர்களின் விகுதிக்கு சமம்.

இந்த சூத்திரங்கள் இடமிருந்து வலமாகவும் வலமிருந்து இடமாகவும் செயல்படுகின்றன என்பது கவனிக்கத்தக்கது. அதாவது, தேவைப்பட்டால், வேர்களின் தயாரிப்பை ஒரு பொருளின் வேராகக் குறிப்பிடலாம். இரண்டாவது சொத்துக்கும் இது பொருந்தும்.

நீங்கள் கவனித்தபடி, இந்த பண்புகள் மிகவும் வசதியானவை, மேலும் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பிற்கான அதே பண்புகளை நான் விரும்புகிறேன்:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

ஆனால் துரதிருஷ்டவசமாக இத்தகைய பண்புகள் சதுரமாக உள்ளன வேர்கள் இல்லை, அதனால் தான் அப்படி கணக்கீடுகளில் செய்ய முடியாது.

பகுத்தறிவு குறிகாட்டியுடன் பட்டம்,

சக்தி செயல்பாடு IV

§ 79. ஒரு தயாரிப்பு மற்றும் ஒரு பகுதியிலிருந்து வேர்களை பிரித்தெடுத்தல்

தேற்றம் 1.வேர் பி நேர்மறை எண்களின் பெருக்கத்தின் வது சக்தி வேர்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம் பி காரணிகளின் அளவு, அதாவது எப்போது ஏ > 0, பி > 0 மற்றும் இயற்கை பி

n √ab = n √அ n √பி . (1)

ஆதாரம்.ரூட் என்று நினைவு பி நேர்மறை எண்ணின் -வது சக்தி ab நேர்மறை எண் உள்ளது பி - வது பட்டம் சமம் ab . எனவே, சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (1) சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது போன்றது

(n √அ n √பி ) n = ab .

தயாரிப்பு பட்டம் சொத்து மூலம்

(n √அ n √பி ) n = (n √அ ) n (n √பி ) n =.

ஆனால் ஒரு ரூட் வரையறை மூலம் பி வது பட்டம் ( n √அ ) n = ஏ , (n √பி ) n = பி .

அதனால்தான் ( n √அ n √பி ) n = ab . தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேவை ஏ > 0, பி > 0 என்பது சமத்திற்கு மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்கது பி , ஏனெனில் எதிர்மறைக்கு ஏ மற்றும் பி மற்றும் கூட பி வேர்கள் n √அ மற்றும் n √பி வரையறுக்கப்படவில்லை. என்றால் பி ஒற்றைப்படை, பின்னர் சூத்திரம் (1) எதற்கும் செல்லுபடியாகும் ஏ மற்றும் பி (நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை இரண்டும்).

எடுத்துக்காட்டுகள்: √16 121 = √16 √121 = 4 11 = 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

ஃபார்முலா (1) வேர்களைக் கணக்கிடும் போது, ​​தீவிர வெளிப்பாடு சரியான சதுரங்களின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படும்போது பயன்படுத்த பயனுள்ளதாக இருக்கும். உதாரணத்திற்கு,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

சூத்திரத்தின் (1) இடது பக்கத்தில் உள்ள தீவிர அடையாளம் இரண்டு நேர்மறை எண்களின் பெருக்கமாக இருக்கும் போது, ​​தேற்றம் 1 ஐ நிரூபித்தோம். உண்மையில், இந்தத் தேற்றம் எந்தவொரு நேர்மறை காரணிகளுக்கும், அதாவது எந்த இயற்கைக்கும் பொருந்தும் கே > 2:

விளைவு.இந்த அடையாளத்தை வலமிருந்து இடமாகப் படித்தால், ஒரே அடுக்குகளுடன் வேர்களைப் பெருக்குவதற்கு பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்;

ஒரே குறிகாட்டிகளுடன் வேர்களைப் பெருக்க, மூலக் குறிகாட்டியை அப்படியே விட்டுவிட்டு, தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்க போதுமானது.

எடுத்துக்காட்டாக, √3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

தேற்றம் 2. வேர் பிஎண் மற்றும் வகுப்பின் நேர்மறை எண்களைக் கொண்ட ஒரு பின்னத்தின் வது சக்தியானது, அந்த எண்ணின் அதே சக்தியின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் எண்ணின் மூலப் பகுதிக்கு சமம்., அதாவது, எப்போது ஏ > 0 மற்றும் பி > 0

(2)

சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது (2) என்றால் அதைக் காட்டுவது

ஒரு பகுதியை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தி மூலத்தை நிர்ணயிப்பதற்கான விதியின்படி n -எங்களிடம் உள்ள பட்டம்:

இவ்வாறு தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேவை ஏ > 0 மற்றும் பி > 0 என்பது சமத்திற்கு மட்டுமே குறிப்பிடத்தக்கது பி . என்றால் பி ஒற்றைப்படை, பின்னர் சூத்திரம் (2) எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு உண்மையாகும் ஏ மற்றும் பி .

விளைவு.வாசிப்பு அடையாளம் வலமிருந்து இடமாக, ஒரே அடுக்குகளுடன் வேர்களைப் பிரிப்பதற்கான பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரே குறிகாட்டிகளுடன் வேர்களை பிரிக்க, தீவிர வெளிப்பாடுகளை பிரிக்க போதுமானது, ரூட் காட்டி அதே போல் இருக்கும்.

உதாரணத்திற்கு,

பயிற்சிகள்

554. தேற்றம் 1 இன் ஆதாரத்தில் எந்தப் புள்ளியில் அந்த உண்மையைப் பயன்படுத்தினோம் ஏ மற்றும் பி அவை நேர்மறையானதா?

ஏன் முரண்பாடாக பி சூத்திரம் (1) எதிர்மறை எண்களுக்கும் பொருந்தும் ஏ மற்றும் பி ?

என்ன மதிப்புகளில் எக்ஸ் சமத்துவ தரவு சரியானது (எண். 555-560):

555. √x 2 - 9 = √x -3 √x + 3 .

556. 4 √ (எக்ஸ் - 2) (8 - எக்ஸ் ) = 4 √x - 2 4 √ 8 - எக்ஸ்

557. 3 √ (எக்ஸ் + 1) (எக்ஸ் - 5) = 3 √x +1 3 √x - 5 .

558. √ எக்ஸ் (எக்ஸ் + 1) (எக்ஸ் + 2) = √ எக்ஸ் √ (எக்ஸ் + 1) √ (எக்ஸ் + 2)

559. √ (x - a ) 3 = (√ x - a ) 3 .

560. 3 √ (எக்ஸ் - 5) 2 = (3 √ எக்ஸ் - 5 ) 2 .

561. கணக்கிடு:

a) √ 173 2 - 52 2; V) √ 200 2 - 56 2 ;

b) √ 373 2 - 252 2; ஜி) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. ஒரு வலது முக்கோணத்தில், ஹைப்போடென்யூஸ் 205 செ.மீ., மற்றும் ஒரு கால் 84 செ.மீ.

563. எத்தனை முறை:

555. எக்ஸ் > 3. 556. 2 < எக்ஸ் < 8. 557. எக்ஸ் - எந்த எண். 558. எக்ஸ் > 0. 559. எக்ஸ் > ஏ . 560. எக்ஸ் - எந்த எண். 563. அ) மூன்று முறை.

வாழ்த்துக்கள், பூனைகள்! கடந்த முறை வேர்கள் என்ன என்பதை விரிவாக விவாதித்தோம் (உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், அதைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறேன்). அந்த பாடத்தில் இருந்து முக்கிய குறிப்பு: வேர்களுக்கு ஒரே ஒரு உலகளாவிய வரையறை உள்ளது, அதை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். மீதமுள்ளவை முட்டாள்தனம் மற்றும் நேரத்தை வீணடிக்கும்.

இன்று நாம் மேலும் செல்கிறோம். நாம் வேர்களைப் பெருக்கக் கற்றுக்கொள்வோம், பெருக்கத்துடன் தொடர்புடைய சில சிக்கல்களைப் படிப்போம் (இந்த சிக்கல்கள் தீர்க்கப்படாவிட்டால், அவை தேர்வில் ஆபத்தானவை) மற்றும் ஒழுங்காக பயிற்சி செய்வோம். எனவே பாப்கார்னை சேமித்து வைக்கவும், வசதியாக இருங்கள், தொடங்குவோம் :)

நீங்களும் இன்னும் புகைபிடிக்கவில்லை, இல்லையா?

பாடம் மிகவும் நீளமாக மாறியது, எனவே நான் அதை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரித்தேன்:

1. முதலில் பெருக்கல் விதிகளைப் பார்ப்போம். தொப்பி குறிப்பதாகத் தெரிகிறது: இது இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்போது, ​​அவற்றுக்கிடையே ஒரு "பெருக்கி" அடையாளம் உள்ளது - மேலும் நாங்கள் அதைச் செய்ய விரும்புகிறோம்.
2. பின்னர் எதிர் நிலைமையைப் பார்ப்போம்: ஒரு பெரிய வேர் உள்ளது, ஆனால் அதை இரண்டு எளிய வேர்களின் தயாரிப்பாகக் குறிப்பிட நாங்கள் ஆர்வமாக இருந்தோம். இது ஏன் அவசியம் என்பது ஒரு தனி கேள்வி. நாங்கள் அல்காரிதத்தை மட்டுமே பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

உடனடியாக இரண்டாம் பகுதிக்குச் செல்ல காத்திருக்க முடியாதவர்களுக்கு, நீங்கள் வரவேற்கப்படுகிறீர்கள். மீதமுள்ளவற்றை வரிசையில் தொடங்குவோம்.

பெருக்கல் அடிப்படை விதி

எளிமையான விஷயத்துடன் தொடங்குவோம் - கிளாசிக் சதுர வேர்கள். $\sqrt(a)$ மற்றும் $\sqrt(b)$ ஆகியவற்றால் குறிக்கப்பட்டவை. அவர்களுக்கு எல்லாம் தெளிவாக உள்ளது:

பெருக்கல் விதி. ஒரு வர்க்க மூலத்தை மற்றொன்றால் பெருக்க, அவற்றின் தீவிர வெளிப்பாடுகளைப் பெருக்கி, பொதுவான தீவிரத்தின் கீழ் முடிவை எழுதவும்:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

வலது அல்லது இடதுபுறத்தில் உள்ள எண்களுக்கு கூடுதல் கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்படவில்லை: மூல காரணிகள் இருந்தால், தயாரிப்பும் உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டுகள். ஒரே நேரத்தில் எண்களுடன் நான்கு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த விதியின் முக்கிய பொருள் பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவதாகும். முதல் எடுத்துக்காட்டில் நாமே 25 மற்றும் 4 இன் வேர்களை புதிய விதிகள் இல்லாமல் பிரித்தெடுத்திருந்தால், விஷயங்கள் கடினமாகிவிடும்: $\sqrt(32)$ மற்றும் $\sqrt(2)$ ஆகியவை தாங்களாகவே கருதப்படுவதில்லை, ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பு ஒரு சரியான சதுரமாக மாறும், எனவே அதன் வேர் விகிதமுறு எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்.

குறிப்பாக கடைசி வரியை எடுத்துரைக்க விரும்புகிறேன். அங்கு, இரண்டு தீவிர வெளிப்பாடுகளும் பின்னங்கள். தயாரிப்புக்கு நன்றி, பல காரணிகள் ரத்து செய்யப்படுகின்றன, மேலும் முழு வெளிப்பாடும் போதுமான எண்ணாக மாறும்.

நிச்சயமாக, விஷயங்கள் எப்போதும் அழகாக இருக்காது. சில நேரங்களில் வேர்களின் கீழ் ஒரு முழுமையான குழப்பம் இருக்கும் - அதை என்ன செய்வது, பெருக்கத்திற்குப் பிறகு அதை எவ்வாறு மாற்றுவது என்பது தெளிவாகத் தெரியவில்லை. சிறிது நேரம் கழித்து, நீங்கள் பகுத்தறிவற்ற சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது, ​​அனைத்து வகையான மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் இருக்கும். மேலும் அடிக்கடி, பிரச்சனை எழுதுபவர்கள் சில ரத்துசெய்யும் விதிமுறைகள் அல்லது காரணிகளை நீங்கள் கண்டுபிடிப்பீர்கள் என்று நம்புகிறார்கள், அதன் பிறகு பிரச்சனை பல மடங்கு எளிமைப்படுத்தப்படும்.

கூடுதலாக, சரியாக இரண்டு வேர்களை பெருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் மூன்று, நான்கு அல்லது பத்தை பெருக்கலாம்! இதனால் விதி மாறாது. பாருங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இரண்டாவது உதாரணத்தில் மீண்டும் ஒரு சிறிய குறிப்பு. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ரூட்டின் கீழ் மூன்றாவது காரணியில் ஒரு தசம பின்னம் உள்ளது - கணக்கீடுகளின் செயல்பாட்டில் நாம் அதை வழக்கமான ஒன்றை மாற்றுகிறோம், அதன் பிறகு எல்லாம் எளிதில் குறைக்கப்படுகிறது. எனவே: எந்தவொரு பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடுகளிலும் தசம பின்னங்களை அகற்ற நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன் (அதாவது குறைந்தபட்சம் ஒரு தீவிரமான சின்னம் உள்ளது). இது எதிர்காலத்தில் உங்களுக்கு நிறைய நேரத்தையும் நரம்புகளையும் மிச்சப்படுத்தும்.

ஆனால் இது ஒரு பாடல் வரியாக மாறியது. இப்போது ஒரு பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம் - ரூட் அடுக்கு ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணைக் கொண்டிருக்கும் போது $n$, மற்றும் "கிளாசிக்கல்" இரண்டை மட்டும் அல்ல.

தன்னிச்சையான காட்டி வழக்கு

எனவே, நாங்கள் சதுர வேர்களை வரிசைப்படுத்தியுள்ளோம். கன சதுரத்தை என்ன செய்வது? அல்லது தன்னிச்சையான பட்டம் $n$ இன் வேர்களுடன் கூடவா? ஆம், எல்லாம் ஒன்றுதான். விதி அப்படியே உள்ளது:

பட்டம் $n$ இன் இரண்டு வேர்களை பெருக்க, அவற்றின் தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்க போதுமானது, பின்னர் ஒரு தீவிரத்தின் கீழ் முடிவை எழுதவும்.

பொதுவாக, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. கணக்கீடுகளின் அளவு அதிகமாக இருக்கலாம் என்பதைத் தவிர. ஓரிரு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டுகள். தயாரிப்புகளை கணக்கிடுங்கள்:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \right))^(3))=\frac(4)(25). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

மீண்டும், இரண்டாவது வெளிப்பாட்டிற்கு கவனம் செலுத்துங்கள். நாம் கனசதுர வேர்களைப் பெருக்கி, தசமப் பகுதியிலிருந்து விடுபட்டு, 625 மற்றும் 25 என்ற எண்களின் பெருக்கத்தில் வகுத்து முடிவடைகிறோம். இது மிகப் பெரிய எண் - தனிப்பட்ட முறையில், தனிப்பட்ட முறையில், மேலே இருந்து என்ன சமம் என்பதை என்னால் கண்டுபிடிக்க முடியவில்லை. என் தலை.

எனவே, எண் மற்றும் வகுப்பில் துல்லியமான கனசதுரத்தை தனிமைப்படுத்தி, $n$th மூலத்தின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்றை (அல்லது, நீங்கள் விரும்பினால், வரையறை) பயன்படுத்தினோம்:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\இடது| ஒரு\வலது|. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இத்தகைய "தந்திரங்கள்" ஒரு தேர்வு அல்லது சோதனையில் உங்களுக்கு நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும், எனவே நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

தீவிர வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்களைப் பெருக்க அவசரப்பட வேண்டாம். முதலில், சரிபார்க்கவும்: எந்த வெளிப்பாட்டின் சரியான அளவு அங்கு "குறியாக்கம்" செய்யப்பட்டிருந்தால் என்ன செய்வது?

இந்தக் குறிப்பின் வெளிப்படையான தன்மை இருந்தபோதிலும், பெரும்பாலான ஆயத்தமில்லாத மாணவர்கள் புள்ளி-வெற்று வரம்பில் சரியான பட்டங்களைக் காணவில்லை என்பதை நான் ஒப்புக்கொள்ள வேண்டும். அதற்கு பதிலாக, அவர்கள் எல்லாவற்றையும் நேரடியாகப் பெருக்குகிறார்கள், பின்னர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள்: அவர்கள் ஏன் இத்தகைய மிருகத்தனமான எண்களைப் பெற்றனர்?

இருப்பினும், இப்போது நாம் படிப்பதை ஒப்பிடும்போது இவை அனைத்தும் குழந்தை பேச்சு.

வெவ்வேறு அடுக்குகளுடன் வேர்களைப் பெருக்குதல்

சரி, இப்போது நாம் அதே குறிகாட்டிகளுடன் வேர்களை பெருக்கலாம். குறிகாட்டிகள் வேறுபட்டால் என்ன செய்வது? ஒரு சாதாரண $\sqrt(2)$ ஐ $\sqrt(23)$ போன்ற சில தந்திரங்களால் எப்படி பெருக்குவது என்று சொல்லலாம். இதைச் செய்வது கூட சாத்தியமா?

ஆம் நிச்சயமாக உங்களால் முடியும். எல்லாம் இந்த சூத்திரத்தின் படி செய்யப்படுகிறது:

வேர்களை பெருக்குவதற்கான விதி. $\sqrt[n](a)$ ஐ $\sqrt[p](b)$ ஆல் பெருக்க, பின்வரும் மாற்றத்தைச் செய்தால் போதும்:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

இருப்பினும், இந்த சூத்திரம் இருந்தால் மட்டுமே செயல்படும் தீவிர வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறையானவை அல்ல. இது ஒரு மிக முக்கியமான குறிப்பு, நாங்கள் சிறிது நேரம் கழித்து திரும்புவோம்.

இப்போதைக்கு, இரண்டு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கலான எதுவும் இல்லை. எதிர்மறை இல்லாத தேவை எங்கிருந்து வந்தது, அதை மீறினால் என்ன நடக்கும் என்பதை இப்போது கண்டுபிடிப்போம்.

வேர்களை பெருக்குவது எளிது

தீவிர வெளிப்பாடுகள் ஏன் எதிர்மறையாக இருக்க வேண்டும்?

நிச்சயமாக, நீங்கள் பள்ளி ஆசிரியர்களைப் போல இருக்க முடியும் மற்றும் பாடப்புத்தகத்தை ஒரு ஸ்மார்ட் லுக்குடன் மேற்கோள் காட்டலாம்:

எதிர்மின்மையின் தேவை சம மற்றும் ஒற்றைப்படை அளவுகளின் வேர்களின் வெவ்வேறு வரையறைகளுடன் தொடர்புடையது (அதன்படி, அவற்றின் வரையறையின் களங்களும் வேறுபட்டவை).

சரி, தெளிவாகிவிட்டதா? தனிப்பட்ட முறையில், நான் 8 ஆம் வகுப்பில் இந்த முட்டாள்தனத்தைப் படித்தபோது, ​​​​பின்வருவதைப் போன்ற ஒன்றை நான் புரிந்துகொண்டேன்: "எதிர்மறையின் தேவை *#&^@(*#@^#)~% உடன் தொடர்புடையது" - சுருக்கமாக, நான் செய்யவில்லை அந்த நேரத்தில் ஒன்றும் புரியவில்லை :)

எனவே இப்போது நான் எல்லாவற்றையும் ஒரு சாதாரண வழியில் விளக்குகிறேன்.

முதலில், மேலே உள்ள பெருக்கல் சூத்திரம் எங்கிருந்து வருகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, ரூட்டின் ஒரு முக்கியமான சொத்தை உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எந்தவொரு இயற்கை சக்தியான $k$ ​​க்கும் தீவிர வெளிப்பாட்டை நாம் எளிதாக உயர்த்தலாம் - இந்த விஷயத்தில், மூலத்தின் அடுக்கு அதே சக்தியால் பெருக்கப்பட வேண்டும். எனவே, எந்தவொரு வேர்களையும் ஒரு பொதுவான அடுக்குக்கு எளிதாகக் குறைக்கலாம், பின்னர் அவற்றைப் பெருக்கலாம். இங்கிருந்து பெருக்கல் சூத்திரம் வருகிறது:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

ஆனால் இந்த சூத்திரங்கள் அனைத்தையும் பயன்படுத்துவதை கடுமையாக கட்டுப்படுத்தும் ஒரு சிக்கல் உள்ளது. இந்த எண்ணைக் கவனியுங்கள்:

இப்போது கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின்படி, எந்த பட்டத்தையும் சேர்க்கலாம். $k=2$ ஐ சேர்க்க முயற்சிப்போம்:

\[\sqrt(-5)=\sqrt((\இடது(-5 \வலது))^(2))=\sqrt(((5)^(2)))\]

சதுரம் மைனஸை எரிப்பதால் (வேறு எந்த சீரான பட்டத்தையும் போல) மைனஸைத் துல்லியமாக அகற்றினோம். இப்போது தலைகீழ் மாற்றத்தைச் செய்வோம்: அடுக்கு மற்றும் சக்தியில் இரண்டையும் "குறைக்கவும்". எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எந்த சமத்துவத்தையும் இடமிருந்து வலமாகவும், வலமிருந்து இடமாகவும் படிக்கலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](அ); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \முடிவு(சீரமை)\]

ஆனால் அது ஒருவித முட்டாள்தனமாக மாறிவிடும்:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

இது நடக்காது, ஏனெனில் $\sqrt(-5) \lt 0$, மற்றும் $\sqrt(5) \gt 0$. அதாவது சம சக்திகள் மற்றும் எதிர்மறை எண்களுக்கு எங்கள் சூத்திரம் இனி வேலை செய்யாது. அதன் பிறகு எங்களுக்கு இரண்டு விருப்பங்கள் உள்ளன:

1. "சில விதிகள் உள்ளன, ஆனால் இவை தவறானவை" என்று சுவரைத் தாக்கி, கணிதம் ஒரு முட்டாள் அறிவியல் என்று கூறுவது;
2. சூத்திரம் 100% வேலை செய்யும் கூடுதல் கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்துங்கள்.

முதல் விருப்பத்தில், "வேலை செய்யாத" வழக்குகளை நாம் தொடர்ந்து பிடிக்க வேண்டும் - இது கடினமானது, நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் மற்றும் பொதுவாக கடினமானது. எனவே, கணிதவியலாளர்கள் இரண்டாவது விருப்பத்தை விரும்பினர்.

ஆனால் கவலைப்படாதே! நடைமுறையில், இந்த வரம்பு கணக்கீடுகளை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது, ஏனெனில் விவரிக்கப்பட்ட அனைத்து சிக்கல்களும் ஒற்றைப்படை பட்டத்தின் வேர்களை மட்டுமே பாதிக்கின்றன, மேலும் அவற்றிலிருந்து மைனஸ்கள் எடுக்கப்படலாம்.

எனவே, மேலும் ஒரு விதியை உருவாக்குவோம், இது பொதுவாக வேர்களைக் கொண்ட அனைத்து செயல்களுக்கும் பொருந்தும்:

வேர்களைப் பெருக்குவதற்கு முன், தீவிர வெளிப்பாடுகள் எதிர்மறையானவை அல்ல என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்.

உதாரணமாக. $\sqrt(-5)$ என்ற எண்ணில், ரூட் அடையாளத்தின் கீழ் இருந்து மைனஸை நீக்கலாம் - பிறகு எல்லாம் இயல்பாக இருக்கும்:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

வித்தியாசத்தை உணர்கிறீர்களா? நீங்கள் ரூட்டின் கீழ் ஒரு மைனஸை விட்டால், தீவிர வெளிப்பாடு சதுரமாக இருக்கும்போது, ​​​​அது மறைந்துவிடும், மேலும் முட்டாள்தனம் தொடங்கும். நீங்கள் முதலில் மைனஸை எடுத்தால், உங்கள் முகத்தில் நீல நிறமாக இருக்கும் வரை நீங்கள் சதுரமாக/அகற்றலாம் - எண் எதிர்மறையாகவே இருக்கும் :)

எனவே, வேர்களை பெருக்க மிகவும் சரியான மற்றும் நம்பகமான வழி பின்வருமாறு:

1. தீவிரவாதிகளிடமிருந்து அனைத்து எதிர்மறைகளையும் அகற்றவும். ஒற்றைப்படை பெருக்கத்தின் வேர்களில் மட்டுமே மைனஸ்கள் உள்ளன - அவை வேரின் முன் வைக்கப்படலாம், தேவைப்பட்டால், குறைக்கப்படலாம் (எடுத்துக்காட்டாக, இந்த இரண்டு கழித்தல்கள் இருந்தால்).
2. இன்றைய பாடத்தில் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட விதிகளின்படி பெருக்கல் செய்யவும். வேர்களின் குறிகாட்டிகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், நாம் வெறுமனே தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்குகிறோம். மேலும் அவை வேறுபட்டால், தீய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. முடிவு மற்றும் நல்ல மதிப்பெண்களை அனுபவிக்கவும். :)

சரி? நாம் பயிற்சி செய்வோமா?

எடுத்துக்காட்டு 1: வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

இது எளிமையான விருப்பம்: வேர்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் ஒற்றைப்படை, ஒரே பிரச்சனை இரண்டாவது காரணி எதிர்மறையானது. இந்த மைனஸை படத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கிறோம், அதன் பிறகு எல்லாம் எளிதாக கணக்கிடப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 2: வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( சீரமை)\]

இங்கே, வெளியீடு ஒரு விகிதாசார எண்ணாக மாறியதால் பலர் குழப்பமடைவார்கள். ஆம், அது நடக்கும்: எங்களால் வேரை முழுவதுமாக அகற்ற முடியவில்லை, ஆனால் குறைந்தபட்சம் நாங்கள் வெளிப்பாட்டை கணிசமாக எளிதாக்கினோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3: வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((((\)) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

இந்த பணியில் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்க விரும்புகிறேன். இங்கே இரண்டு புள்ளிகள் உள்ளன:

1. ரூட் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண் அல்லது சக்தி அல்ல, ஆனால் மாறி $a$. முதல் பார்வையில், இது கொஞ்சம் அசாதாரணமானது, ஆனால் உண்மையில், கணித சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் பெரும்பாலும் மாறிகளைக் கையாள வேண்டும்.
2. முடிவில், தீவிரமான காட்டி மற்றும் தீவிர வெளிப்பாட்டின் பட்டத்தை "குறைக்க" முடிந்தது. இது அடிக்கடி நடக்கும். நீங்கள் அடிப்படை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தாவிட்டால் கணக்கீடுகளை கணிசமாக எளிதாக்குவது சாத்தியமாகும் என்பதே இதன் பொருள்.

உதாரணமாக, நீங்கள் இதைச் செய்யலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\left(((a)^) 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\முடிவு(சீரமை)\]

உண்மையில், அனைத்து மாற்றங்களும் இரண்டாவது தீவிரத்துடன் மட்டுமே செய்யப்பட்டன. நீங்கள் அனைத்து இடைநிலை படிகளையும் விரிவாக விவரிக்கவில்லை என்றால், இறுதியில் கணக்கீடுகளின் அளவு கணிசமாகக் குறைக்கப்படும்.

உண்மையில், மேலே உள்ள $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ உதாரணத்தைத் தீர்க்கும் போது, ​​இதேபோன்ற பணியை நாங்கள் ஏற்கனவே சந்தித்துள்ளோம். இப்போது அதை மிகவும் எளிமையாக எழுதலாம்:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt((( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

சரி, வேர்களின் பெருக்கத்தை நாங்கள் வரிசைப்படுத்தியுள்ளோம். இப்போது தலைகீழ் செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்: ரூட்டின் கீழ் ஒரு தயாரிப்பு இருக்கும்போது என்ன செய்வது?

இந்த பிரிவில் நாம் எண்கணித வர்க்க வேர்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நேரடியான தீவிர வெளிப்பாட்டின் விஷயத்தில், மூல அடையாளத்தின் கீழ் உள்ள எழுத்துக்கள் எதிர்மறை எண்களைக் குறிக்கின்றன என்று கருதுவோம்.

1. வேலையின் வேர்.

இந்த உதாரணத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

மறுபுறம், 2601 என்ற எண் இரண்டு காரணிகளின் விளைபொருளாகும், அதில் இருந்து மூலத்தை எளிதில் பிரித்தெடுக்கலாம்:

ஒவ்வொரு காரணியின் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து இந்த வேர்களை பெருக்கலாம்:

மூலத்தின் கீழ் உள்ள தயாரிப்பிலிருந்து வேரை பிரித்தெடுத்தபோதும், ஒவ்வொரு காரணியிலிருந்தும் தனித்தனியாக பிரித்தெடுத்து முடிவுகளைப் பெருக்கும்போதும் அதே முடிவுகளைப் பெற்றோம்.

பல சந்தர்ப்பங்களில், இரண்டாவது முறை முடிவைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது, ஏனெனில் நீங்கள் சிறிய எண்களின் மூலத்தை எடுக்க வேண்டும்.

தேற்றம் 1. ஒரு பொருளின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, ஒவ்வொரு காரணியிலிருந்தும் தனித்தனியாக பிரித்தெடுத்து முடிவுகளைப் பெருக்கலாம்.

மூன்று காரணிகளுக்கான தேற்றத்தை நிரூபிப்போம், அதாவது சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம்:

எண்கணித மூலத்தின் வரையறையின் அடிப்படையில், நேரடி சரிபார்ப்பு மூலம் ஆதாரத்தை செயல்படுத்துவோம். நாம் சமத்துவத்தை நிரூபிக்க வேண்டும் என்று சொல்லலாம்:

(A மற்றும் B என்பது எதிர்மில்லாத எண்கள்). ஒரு வர்க்க மூலத்தின் வரையறையின்படி, இதன் பொருள்

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்ட சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தை சதுரப்படுத்தி, இடது புறத்தின் தீவிர வெளிப்பாடு பெறப்படுவதை உறுதிசெய்தால் போதும்.

இந்த நியாயத்தை சமத்துவத்தின் சான்றாகப் பயன்படுத்துவோம் (1). வலது பக்கம் சதுரம் செய்வோம்; ஆனால் வலது பக்கத்தில் தயாரிப்பு உள்ளது, மற்றும் தயாரிப்பு சதுரம், அது ஒவ்வொரு காரணி சதுர மற்றும் முடிவுகளை பெருக்க போதும் (பார்க்க, § 40);

இதன் விளைவாக இடது பக்கத்தில் ஒரு தீவிர வெளிப்பாடு உள்ளது. இதன் பொருள் சமத்துவம் (1) உண்மை.

மூன்று காரணிகளுக்கான தேற்றத்தை நிரூபித்துள்ளோம். ஆனால் மூலத்தின் கீழ் 4, முதலிய காரணிகள் இருந்தால் பகுத்தறிவு அப்படியே இருக்கும். தேற்றம் பல காரணிகளுக்கு உண்மையாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக வாய்வழியாக எளிதாகக் கண்டறியப்படுகிறது.

2. ஒரு பின்னத்தின் வேர்.

கணக்கிடுவோம்

பரீட்சை.

மறுபுறம்,

தேற்றத்தை நிரூபிப்போம்.

தேற்றம் 2. ஒரு பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பிலிருந்து தனித்தனியாக வேரைப் பிரித்தெடுத்து முதல் முடிவை இரண்டால் வகுக்கலாம்.

சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை நிரூபிக்க இது அவசியம்:

இதை நிரூபிக்க, முந்தைய தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்ட முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

வலது பக்கத்தை சதுரமாக்குவோம். கொண்டிருக்கும்:

இடது பக்கத்தில் ஒரு தீவிர வெளிப்பாடு கிடைத்தது. இதன் பொருள் சமத்துவம் (2) உண்மை.

எனவே, பின்வரும் அடையாளங்களை நாங்கள் நிரூபித்துள்ளோம்:

மற்றும் உற்பத்தியின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான தொடர்புடைய விதிகள் மற்றும் விகிதத்தை உருவாக்கியது. சில நேரங்களில் மாற்றங்களைச் செய்யும்போது, ​​​​இந்த அடையாளங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும், அவற்றை வலமிருந்து இடமாகப் படிக்க வேண்டும்.

இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை மறுசீரமைத்து, நிரூபிக்கப்பட்ட அடையாளங்களை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

வேர்களை பெருக்க, நீங்கள் தீவிர வெளிப்பாடுகளை பெருக்கலாம் மற்றும் தயாரிப்பிலிருந்து வேரை பிரித்தெடுக்கலாம்.

வேர்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் தீவிர வெளிப்பாடுகளைப் பிரிக்கலாம் மற்றும் மூலத்திலிருந்து மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கலாம்.

3. பட்டத்தின் வேர்.

கணக்கிடுவோம்

அதை வரிசைப்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது வேர் பிரித்தெடுத்தல் முறைகள். அவை வேர்களின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை, குறிப்பாக, சமத்துவத்தின் அடிப்படையில், இது எந்த எதிர்மில்லாத எண்ணுக்கும் பொருந்தும்.

வேர்களை பிரித்தெடுக்கும் முக்கிய முறைகளை ஒவ்வொன்றாக கீழே பார்ப்போம்.

எளிமையான வழக்குடன் தொடங்குவோம் - சதுரங்களின் அட்டவணை, க்யூப்ஸ் அட்டவணை போன்றவற்றைப் பயன்படுத்தி இயற்கை எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல்.

சதுரங்கள், கனசதுரங்கள் போன்றவற்றின் அட்டவணைகள் என்றால். உங்களிடம் அது இல்லையென்றால், மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் முறையைப் பயன்படுத்துவது தர்க்கரீதியானது, இதில் தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது அடங்கும்.

ஒற்றைப்படை அடுக்குகளைக் கொண்ட வேர்களுக்கு என்ன சாத்தியம் என்பதைக் குறிப்பிடுவது சிறப்புக்குரியது.

இறுதியாக, ரூட் மதிப்பின் இலக்கங்களை வரிசையாகக் கண்டறிய அனுமதிக்கும் ஒரு முறையைப் பார்ப்போம்.

ஆரம்பிக்கலாம்.

சதுரங்களின் அட்டவணை, க்யூப்ஸ் அட்டவணை போன்றவற்றைப் பயன்படுத்துதல்.

எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில், சதுரங்கள், க்யூப்ஸ், முதலியன அட்டவணைகள் நீங்கள் வேர்களை பிரித்தெடுக்க அனுமதிக்கின்றன. இந்த அட்டவணைகள் என்ன?

0 முதல் 99 வரையிலான முழு எண்களின் சதுரங்களின் அட்டவணை (கீழே காட்டப்பட்டுள்ளது) இரண்டு மண்டலங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நெடுவரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் அட்டவணையின் முதல் மண்டலம் சாம்பல் பின்னணியில் அமைந்துள்ளது, இது 0 முதல் 99 வரையிலான எண்ணை உருவாக்க அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 8 பத்துகளின் வரிசையையும் 3 அலகுகளின் நெடுவரிசையையும் தேர்ந்தெடுப்போம், இதன் மூலம் 83 என்ற எண்ணை சரிசெய்தோம். இரண்டாவது மண்டலம் மீதமுள்ள அட்டவணையை ஆக்கிரமித்துள்ளது. ஒவ்வொரு கலமும் ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட நெடுவரிசையின் குறுக்குவெட்டில் அமைந்துள்ளது மற்றும் 0 முதல் 99 வரையிலான தொடர்புடைய எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் தேர்ந்தெடுத்த 8 பத்துகளின் வரிசை மற்றும் நெடுவரிசை 3 இன் குறுக்குவெட்டில் 6,889 எண்ணுடன் ஒரு செல் உள்ளது, இது எண் 83 இன் வர்க்கமாகும்.

க்யூப்ஸ் அட்டவணைகள், 0 முதல் 99 வரையிலான எண்களின் நான்காவது அதிகாரங்களின் அட்டவணைகள் மற்றும் பல சதுரங்களின் அட்டவணையைப் போலவே இருக்கும், அவை மட்டுமே இரண்டாவது மண்டலத்தில் க்யூப்ஸ், நான்காவது சக்திகள், முதலியவற்றைக் கொண்டிருக்கின்றன. தொடர்புடைய எண்கள்.

சதுரங்கள், கனசதுரங்கள், நான்காவது சக்திகள் போன்றவற்றின் அட்டவணைகள். சதுர வேர்கள், கனசதுர வேர்கள், நான்காவது வேர்கள் போன்றவற்றைப் பிரித்தெடுக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. அதன்படி இந்த அட்டவணையில் உள்ள எண்களில் இருந்து. வேர்களை பிரித்தெடுக்கும் போது அவற்றின் பயன்பாட்டின் கொள்கையை விளக்குவோம்.

a என்ற எண்ணின் n வது மூலத்தை பிரித்தெடுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம், அதே நேரத்தில் a எண் nth அதிகாரங்களின் அட்டவணையில் உள்ளது. இந்த அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, a=b n என்ற எண்ணைக் கண்டுபிடிக்கிறோம். பிறகு , எனவே, எண் b என்பது nவது பட்டத்தின் விரும்பிய வேராக இருக்கும்.

உதாரணமாக, 19,683 கனசதுர மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க ஒரு கனசதுர அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் காண்பிப்போம். க்யூப்ஸ் அட்டவணையில் 19,683 என்ற எண்ணைக் காண்கிறோம், அதிலிருந்து இந்த எண் 27 என்ற எண்ணின் கனசதுரம் என்பதைக் காண்கிறோம். .

n வது அதிகாரங்களின் அட்டவணைகள் வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க மிகவும் வசதியானவை என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், அவை பெரும்பாலும் கையில் இல்லை, மேலும் அவற்றை தொகுக்க சிறிது நேரம் தேவைப்படுகிறது. மேலும், தொடர்புடைய அட்டவணையில் இல்லாத எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பது பெரும்பாலும் அவசியம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ரூட் பிரித்தெடுத்தல் மற்ற முறைகளை நாட வேண்டும்.

ஒரு தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக காரணியாக்குதல்

இயற்கை எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க மிகவும் வசதியான வழி (நிச்சயமாக, வேர் பிரித்தெடுக்கப்பட்டால்) தீவிர எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது. அவரது விஷயம் இதுதான்: அதன் பிறகு, விரும்பிய அடுக்குடன் அதை ஒரு சக்தியாகக் குறிப்பிடுவது மிகவும் எளிதானது, இது ரூட்டின் மதிப்பைப் பெற உங்களை அனுமதிக்கிறது. இந்த விஷயத்தை தெளிவுபடுத்துவோம்.

ஒரு இயல் எண்ணின் n வது மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் மதிப்பு bக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வழக்கில், சமத்துவம் a=b n உண்மை. எந்த இயற்கை எண்ணையும் போலவே, பி எண்ணையும் அதன் அனைத்து முதன்மை காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடலாம் p 1 , p 2 , ..., p m வடிவத்தில் p 1 ·p 2 ·…·p m , மற்றும் இந்த வழக்கில் தீவிர எண் a (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ஆகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு எண்ணை பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பது தனித்துவமானது என்பதால், தீவிர எண்ணை முதன்மை காரணிகளாக சிதைப்பது வடிவத்தை (p 1 ·p 2 ·…·p m) n கொண்டிருக்கும், இது மூலத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. என.

ஒரு தீவிர எண்ணின் பிரதான காரணிகளாக சிதைவதை (p 1 ·p 2 ·...·p m) n வடிவத்தில் குறிப்பிட முடியாது என்றால், அத்தகைய எண்ணின் n வது வேர் முழுமையாக பிரித்தெடுக்கப்படவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க.

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

உதாரணமாக.

144 இன் வர்க்க மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

தீர்வு.

முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதுரங்களின் அட்டவணையைப் பார்த்தால், 144 = 12 2 என்பதை நீங்கள் தெளிவாகக் காணலாம், அதில் இருந்து 144 இன் வர்க்கமூலம் 12 க்கு சமம் என்பது தெளிவாகிறது.

ஆனால் இந்த புள்ளியின் வெளிச்சத்தில், தீவிர எண் 144 ஐ பிரதான காரணிகளாக சிதைப்பதன் மூலம் வேர் எவ்வாறு பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது என்பதில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இந்த தீர்வைப் பார்ப்போம்.

சிதைப்போம் 144 முதல் முக்கிய காரணிகள்:

அதாவது, 144=2·2·2·2·3·3. இதன் விளைவாக சிதைவின் அடிப்படையில், பின்வரும் மாற்றங்கள் மேற்கொள்ளப்படலாம்: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. எனவே, .

பட்டத்தின் பண்புகள் மற்றும் வேர்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, தீர்வை சற்று வித்தியாசமாக உருவாக்கலாம்: .

பதில்:

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, மேலும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணமாக.

ரூட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

தீர்வு.

தீவிர எண் 243 இன் முதன்மை காரணியாக்கம் 243=3 5 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இதனால், .

பதில்:

உதாரணமாக.

மூல மதிப்பு முழு எண்ணா?

தீர்வு.

இந்தக் கேள்விக்குப் பதிலளிக்க, தீவிர எண்ணை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கருதி, அதை முழு எண்ணின் கனசதுரமாகக் குறிப்பிட முடியுமா என்பதைப் பார்ப்போம்.

எங்களிடம் 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 உள்ளது. விளைவான விரிவாக்கத்தை முழு எண்ணின் கனசதுரமாகக் குறிப்பிட முடியாது, ஏனெனில் பிரதான காரணி 7 இன் சக்தி மூன்றின் பெருக்கமாக இல்லை. எனவே, 285,768 கனசதுரத்தை முழுமையாக பிரித்தெடுக்க முடியாது.

பதில்:

இல்லை.

பின்ன எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுத்தல்

ஒரு பகுதி எண்ணின் மூலத்தை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய நேரம் இது. பின்னம் ரேடிகல் எண்ணை p/q என எழுதலாம். ஒரு விகுதியின் மூலத்தின் சொத்தின்படி, பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும். இந்த சமத்துவத்திலிருந்து அது பின்வருமாறு ஒரு பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி: ஒரு பின்னத்தின் மூலமானது, வகுப்பின் மூலத்தால் வகுக்கப்படும் எண்ணின் மூலத்தின் பங்கிற்குச் சமம்.

ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

25/169 என்ற பொதுவான பின்னத்தின் வர்க்கமூலம் என்ன?

தீர்வு.

சதுரங்களின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி, அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமூலம் 5 க்கும், வகுப்பின் வர்க்கமூலம் 13 க்கும் சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். பிறகு . இது பொதுவான பின்னம் 25/169 இன் மூலத்தை பிரித்தெடுப்பதை நிறைவு செய்கிறது.

பதில்:

ஒரு தசம பின்னம் அல்லது கலப்பு எண்ணின் வேர் தீவிர எண்களை சாதாரண பின்னங்களுடன் மாற்றிய பின் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக.

474.552 என்ற தசம பின்னத்தின் கன மூலத்தை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

தீர்வு.

அசல் தசமப் பகுதியை ஒரு சாதாரண பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்: 474.552=474552/1000. பிறகு . இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பில் இருக்கும் கனசதுர வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க இது உள்ளது. ஏனெனில் 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 மற்றும் 1 000 = 10 3, பின்னர் மற்றும் . கணக்கீடுகளை முடிக்க மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது .

பதில்:

.

எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுத்துக்கொள்வது

எதிர்மறை எண்களிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதில் கவனம் செலுத்துவது பயனுள்ளது. வேர்களைப் படிக்கும் போது, ​​மூல அடுக்கு ஒற்றைப்படை எண்ணாக இருக்கும்போது, ​​மூல அடையாளத்தின் கீழ் எதிர்மறை எண்ணாக இருக்கலாம் என்று கூறினோம். இந்த உள்ளீடுகளுக்கு பின்வரும் அர்த்தத்தை வழங்கினோம்: எதிர்மறை எண் -a மற்றும் ரூட் 2 n−1 இன் ஒற்றைப்படை அடுக்கு, . இந்த சமத்துவம் அளிக்கிறது எதிர்மறை எண்களிலிருந்து ஒற்றைப்படை வேர்களைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதி: எதிர்மறை எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் எதிர் நேர்மறை எண்ணின் மூலத்தை எடுத்து, முடிவின் முன் ஒரு கழித்தல் குறியை வைக்க வேண்டும்.

உதாரண தீர்வைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

மூலத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மூல அடையாளத்தின் கீழ் நேர்மறை எண் இருக்கும்படி அசல் வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்: . இப்போது கலப்பு எண்ணை ஒரு சாதாரண பின்னத்துடன் மாற்றவும்: . ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துகிறோம்: . இதன் விளைவாக வரும் பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள வேர்களைக் கணக்கிட இது உள்ளது: .

தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் இங்கே: .

பதில்:

.

ரூட் மதிப்பின் பிட்வைஸ் நிர்ணயம்

பொது வழக்கில், ரூட்டின் கீழ் ஒரு எண் உள்ளது, மேலே விவாதிக்கப்பட்ட நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி, எந்த எண்ணின் n வது சக்தியாக குறிப்பிட முடியாது. ஆனால் இந்த விஷயத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு குறிப்பிட்ட அடையாளம் வரை கொடுக்கப்பட்ட ரூட்டின் அர்த்தத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டிய அவசியம் உள்ளது. இந்த வழக்கில், ரூட்டைப் பிரித்தெடுக்க, நீங்கள் விரும்பிய எண்ணின் போதுமான எண்ணிக்கையிலான இலக்க மதிப்புகளை தொடர்ச்சியாகப் பெற அனுமதிக்கும் ஒரு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழிமுறையின் முதல் படி, ரூட் மதிப்பின் மிக முக்கியமான பிட் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். இதைச் செய்ய, 0, 10, 100, ... எண்கள் ரேடிகல் எண்ணை மீறும் தருணம் வரை n சக்திக்கு தொடர்ச்சியாக உயர்த்தப்படும். முந்தைய கட்டத்தில் நாம் சக்தி n க்கு உயர்த்திய எண் தொடர்புடைய மிக முக்கியமான இலக்கத்தைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஐந்தின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுக்கும் போது வழிமுறையின் இந்தப் படியைக் கவனியுங்கள். 0, 10, 100, ... எண்களை எடுத்து 5 ஐ விட பெரிய எண்ணைப் பெறும் வரை அவற்றை வர்க்கப்படுத்தவும். எங்களிடம் 0 2 =0 உள்ளது<5 , 10 2 =100>5, அதாவது மிக முக்கியமான இலக்கம் ஒரு இலக்கமாக இருக்கும். இந்த பிட்டின் மதிப்பு, அதே போல் குறைந்தவை, ரூட் பிரித்தெடுத்தல் வழிமுறையின் அடுத்த படிகளில் காணப்படும்.

அல்காரிதத்தின் அனைத்து அடுத்தடுத்த படிகளும், ரூட்டின் விரும்பிய மதிப்பின் அடுத்த பிட்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் ரூட்டின் மதிப்பை தொடர்ச்சியாக தெளிவுபடுத்துவதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளன, மிக உயர்ந்தவற்றிலிருந்து தொடங்கி, மிகக் குறைந்தவைக்கு நகரும். எடுத்துக்காட்டாக, முதல் படியில் ரூட்டின் மதிப்பு 2 ஆகவும், இரண்டாவது - 2.2 ஆகவும், மூன்றாவது - 2.23 ஆகவும், மற்றும் 2.236067977 ஆகவும் மாறும். இலக்கங்களின் மதிப்புகள் எவ்வாறு காணப்படுகின்றன என்பதை விவரிப்போம்.

இலக்கங்கள் அவற்றின் சாத்தியமான மதிப்புகளான 0, 1, 2, ..., 9 மூலம் தேடுவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகின்றன. இந்த வழக்கில், தொடர்புடைய எண்களின் n வது சக்திகள் இணையாக கணக்கிடப்படுகின்றன, மேலும் அவை தீவிர எண்ணுடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன. சில கட்டத்தில் பட்டத்தின் மதிப்பு தீவிர எண்ணை விட அதிகமாக இருந்தால், முந்தைய மதிப்புடன் தொடர்புடைய இலக்கத்தின் மதிப்பு கண்டறியப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் இது நடக்கவில்லை என்றால், ரூட் பிரித்தெடுத்தல் வழிமுறையின் அடுத்த கட்டத்திற்கு மாறுகிறது. இந்த இலக்கத்தின் மதிப்பு 9 ஆகும்.

ஐந்தின் வர்க்க மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான அதே உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த புள்ளிகளை விளக்குவோம்.

முதலில் நாம் அலகு இலக்கத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். 0, 1, 2, ..., 9, 0 2, 1 2, ..., 9 2 ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவதன் மூலம், தீவிர எண் 5 ஐ விட அதிகமான மதிப்பைப் பெறும் வரை முறையே 0, 1, 2, ..., 9 ஆகியவற்றைக் கணக்கிடுவோம். இந்த கணக்கீடுகள் அனைத்தையும் அட்டவணை வடிவத்தில் வழங்குவது வசதியானது:

எனவே அலகு இலக்கத்தின் மதிப்பு 2 (2 2 முதல்<5 , а 2 3 >5 ) பத்தாவது இடத்தின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்குச் செல்லலாம். இந்த வழக்கில், நாம் 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 எண்களை சதுரப்படுத்துவோம், இதன் விளைவாக வரும் மதிப்புகளை தீவிர எண் 5 உடன் ஒப்பிடுகிறோம்:

2.2 முதல் 2<5 , а 2,3 2 >5, பிறகு பத்தாம் இடத்தின் மதிப்பு 2. நூறாவது இடத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய நீங்கள் தொடரலாம்:

ஐந்தின் மூலத்தின் அடுத்த மதிப்பு இப்படித்தான் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, அது 2.23க்கு சமம். எனவே நீங்கள் தொடர்ந்து மதிப்புகளைக் கண்டறியலாம்: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

பொருளை ஒருங்கிணைக்க, கருதப்படும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி நூறில் ஒரு பங்கு துல்லியத்துடன் வேரின் பிரித்தெடுத்தலை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

முதலில் நாம் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தை தீர்மானிக்கிறோம். இதைச் செய்ய, 0, 10, 100 போன்ற எண்களை க்யூப் செய்கிறோம். 2,151,186 ஐ விட அதிகமான எண்ணைப் பெறும் வரை. எங்களிடம் 0 3 =0 உள்ளது<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , எனவே மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கமானது பத்து இலக்கமாகும்.

அதன் மதிப்பை தீர்மானிப்போம்.

10 3 முதல்<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, பின்னர் பத்து இடத்தின் மதிப்பு 1 ஆகும். அலகுகளுக்கு செல்லலாம்.

எனவே, ஒரு இலக்கத்தின் மதிப்பு 2 ஆகும். பத்தாவதுக்கு செல்லலாம்.

12.9 3 கூட தீவிர எண் 2 151.186 ஐ விட குறைவாக இருப்பதால், பத்தாவது இடத்தின் மதிப்பு 9 ஆகும். அல்காரிதத்தின் கடைசிப் படியைச் செய்ய இது உள்ளது; இது தேவையான துல்லியத்துடன் ரூட்டின் மதிப்பைக் கொடுக்கும்

இந்த கட்டத்தில், ரூட்டின் மதிப்பு நூறில் ஒரு பங்கு வரை துல்லியமாகக் காணப்படுகிறது: .

இந்த கட்டுரையின் முடிவில், வேர்களைப் பிரித்தெடுக்க இன்னும் பல வழிகள் உள்ளன என்று நான் கூற விரும்புகிறேன். ஆனால் பெரும்பாலான பணிகளுக்கு, நாம் மேலே படித்தவையே போதுமானது.

நூல் பட்டியல்.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., சுவோரோவா S.B. இயற்கணிதம்: 8 ஆம் வகுப்புக்கான பாடநூல். பொது கல்வி நிறுவனங்கள்.
• கோல்மோகோரோவ் ஏ.என்., அப்ரமோவ் ஏ.எம்., டட்னிட்சின் யூ.பி. மற்றும் பிற இயற்கணிதம் மற்றும் பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம்: பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களின் 10 - 11 வகுப்புகளுக்கான பாடநூல்.
• குசெவ் வி.ஏ., மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி. கணிதம் (தொழில்நுட்பப் பள்ளிகளில் சேருபவர்களுக்கான கையேடு).