Тема: «Применение производной к построению графиков функции»

Цели урока:

1) образовательная : знакомство студентов с общей схемой исследования функции методом построения графика четной и нечетной функции, обучение проведению исследования и по­строению графика;

2) воспитательная : воспитание требовательно­го отношения к себе при самостоятельном изучении нового мате­риала;

3) развивающая : развитие наблюдательности, умения рассу­ждать и аргументировать свои действия.

Оборудование: записи на доске, карточки, сигнальные карточки (зеленая-красная), компьютер, мультимедиапроектор, таблица производных, правила дифференцирования.

Тип урока: урок - теоретическое и практическое исследование.

Ход урока

I. Организационный момент

Настрой к уроку. Музыка – «Зимнее утро», приветствие гостей (слайд 2-4) .

Сообщение темы и целей урока (слайд 5) .

Разбор значения слов Анатоль Франс: «Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». (слайд 6)

Новая тема (слайд 7)

Зарядка для памяти (слайд 8,9,10)

П. Проверка домашнего задания

При изучении нового материала необходимы знания, полученные ранее: «Возрастание и убывание функции», «Экстремумы функции», «Формулы производных». (Выполняется устно.)

Назовите промежутки убывания, возрастания, экстремумы функции. (Слайд 11,12)

Работа по графикам (слайд 13-14)

(Задания выполняются по вариантам с последующей взаимопро­веркой на компьютере.)

По изображенному графику установите соответствие между каждым интервалом (А-Е) и характером поведения функции на этом интервале.

Обменяйтесь тетрадями, проверьте работу соседа по компьютеру. Поднимите руки, те у кого нет ошибок. Поднимите теперь те у кого ошибки.

III. Актуализация опорных знаний

На начальном этапе создаются условия для дальнейшей эффективной работы на уроке: организация рабочего пространства, привлечение внимания обучающихся к предстоящей учебной деятельности, учебному предмету.

Игра «Карусель» (для проверки темы «Производные»).

IV. Работа с учебником (стр 145 - 154 - высветить на экран)

Самостоятельное изучение нового материала по плану, записан­ному на доске.

Записать в тетрадь схему исследования функции.

Записать с преподавателем образец решения заданий 2 и 3. Преподаватель строит работу таким образом, чтобы получить информацию об уровне усвоения учебного материала различными обучающимися.

Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере одной из задач учебника.

Образцы решений.

Задание 2. Постройте график функции у= (х) = х 3 - 2х 2 + х.

1. Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x ) = (х 3 - 2х 2 + х)" = 3х 2 - 4х +1.


f "(x ) = 0. 3х 2 - 4х + 1 = 0,

(3х-1) (х-1) = 0

х 1 =1, х 2 = 1/3

4. Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков.

Функция возрастает на промежутках: (-∞, 1/3) и (1,+ ∞), так как f "(x )

Так как f "(x ) на промежутке (1/3, 1), значит, функция убывает на этом промежутке.

5. При переходе через точку х = - знак производной меняется с «+» на «-», значит, это точка максимума. При переходе через точку х = 1 знак производной меняется с «-» на «+», значит, это точка минимума. Значения в экстремумах равны:

f (1/3)= (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3= 4/27;

Составим таблицу по результатам исследования

f "(x )
f (х)

7. Найдем абсциссы точек пересечения графика с осью Ох:
х 3 -2х 2 + х = 0, х (х 2 -2х + 1) =0,

х (х -1) 2 =0, х = 0 или х = 1.

8. Построим график функции.

Физминутка

Работа по учебнику

Задание 3. Постройте график функции f (х) = 1- 5/2 х 2 -х 5 .

Решение.

Область определения D (f ) = R .

Найдем производную f "(x = -5х - 5х 4 = -5 х (1 +х 3).

Найдем критические точки, решив уравнение f "(x ) = 0. -5х(1 + х 3) = 0, следовательно,

Х 1 =0, х 2 = -1.

4.Найдем промежутки возрастания и убывания, используя метод интервалов и правило чередования знаков:

для производной
f "(x =-5х (1+х 3) имеем 3 интервала знак постоянства:

(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).

f "( x )0 на промежутке (-1; 0), значит, функция возрастает на этом промежутке.

Аналогично f "( x ) 0 на промежутках (-∞;-1) и (0; +∞), зна­чит, функция на них убывает.

5. При переходе через точку х = -1 производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка мак­симума. Значения в экстремумах равны:

f (-1)=-0,5 f (0)=1

5.Творческое задание

Задачи, выделенные преподавателем, конкретизируют цель, представляя собой промежуточный результат, способствующий достижению основной цели урока.

Материал представлен в доступной обучающимся форме в соответствии с дидактическими принципами.

Задание 4.

Завершите эскиз графика функции, зная, что у = f (x ) - четная функция,

Ответ:

Ответ:

VI. Закрепление изученного материала

Задачи способствуют развитию познавательных способностей обучающихся.

Задание 8. Постройте график функции.

Работа в группах по 4 человека. Один из учащихся каждой груп­пы решает на обратной стороне доски. Группы решают примеры по очереди, консультируясь друг с другом в группе.(См. приложение.)

а) у = 2 + 5х 3 -Зх 5 ;

б) у = 4х 5 -5х 4 ;

в) у = Зх 5 -5х 3 .

VII. Подведение итогов урока

По какой схеме проводится исследование свойств функции?

Ответ:

Надо найти:

Область определения функции ( D ( f ) = R a ).

Производную (f"(x)).

Стационарные точки (f"(x = 0)

Промежутки возрастания и убывания (методом интервалов).

Точки экстремума и значение функции в этих точках.

а) Точки пересечения с осью Ох (если возможно);

б) несколько дополнительных точек графика (для более точно­го построения).

А сейчас проведем аукцион понимания графиков.

Дома. Закончить задания

Построить график функции:

a)у= 3х +1/3х б) у = 2 + 3 х - х 3 .

Задание 9. Назовите как можно больше свойств функции, график которой изображен.

(На экран по очереди проецируются графики функций на компьютере. Студенты дают ответы. Каждый правильный ответ оцени­вается 1 баллом, а самый последний - 3 баллами. Студенты, на­бравшие наибольшее количество баллов, получают оценку «5».)

Свойства:

1. возрастает;

   точки минимума;

   точки максимума;

   точки перегиба;

   четность (нечетность);

   область определения;

область значений;

точки пересечения с Ох;

точки пересечения с Оу;

симметричность графика функции;

функция принимает положительные значения;

функция принимает отрицательные значения;

наибольшее значение функции;

наименьшее значение функции.

Домашнее задание

Задание 10.

Построить график функции:

a)у= = 3х +1/3х

б) у = хе х ;

в) у = 2 + Зх - х 3 .

Приложение

Решения Задание 7.

а) Решение.

1.D ( f ) = R .

2. Функция у(-х) = 6(-х) 4 -4(-х) 6 = 6х 4 -4х 6 = у(х) четная, гра-
фик симметричен относительно Оу.

Исследуем на (0; +∞),

3. Находим производную у" =24х 3 -24х 5 .

4.Находим критические точки: у" = 0, 24х 3 (1 –х 2 ) = 0, х 1 = 0,
х 2,3 =±1.

f"(x
f (x )
Экстремум

График

б) Решение.

Функция у(-х) = 1/10(-х) 5 – 5/6(-х") + 2(-х) = -1/10х 5 + 5/6х 3 -

2х = -у(х) нечетная, график симметричен относительно начала координат. Исследуем на (0; + ∞).

Находим производную f "( x ) = ½ х 4 -5/2х 2 +2.

Находим критические точки: f "( x = 0, х 4 -5х 2 + 4 = = (х 2 - 4)(х 2 - I) = (х - 2)(х + 2)(х - 1)(х +1) = 0,

Х 1= +2, х 2=-2, х 3 =+1, х 4 =-1

						(2; ∞+)
f "( x )
f (x )
Экстремум

График

В)Решение

Находим производную у" = -Зх 2 +8х-4.

Находим критические точки: у" = 0, -Зх 2 + 8х - 4 =

= -(Зх-2)(х-2) = 0, х 1 =2, х 2 =2/3.

5. Знаки производной.

6. Промежутки возрастания и убывания.

					(2; + ∞)
f "( x )
f (x )
Экстремум

.

Задание 8.

а) Решение.

5.Промежутки возрастания и убывания.

	(-∞-1)		(1 ;0)				(1; + ∞)
У"
У
				Точка перегиба

б) Решение.

D (y) = R.

Находим производную у" = 20х 4 -20х 3 .

Находим критические точки: у" = 0, 20х 3 (х-1) = 0,

4. Знаки производной.

5. Промежутки возрастания и убывания.

в) Решение.

D (y) = R.

2. Функция у(-х) = 3(-х) 5 -5(-х) 3 = -Зх 5 +5х 3 = -(Зх 5 -5х 3) не-
четная, график функции симметричен относительно начала коор-
динат. Исследуем функцию на (0; +оо).

3. Находим производную у" = 15х 4 - 15х 2 = 15х 2 (х 2 -1).

Находим критические точки: у" = 0, 15х 2 (х 2 -1) = 0, х, =0, х 2,3 =±1.

Знаки производной.

______________________________________________

6. Промежутки возрастания и убывания.

у"
У
	Точка перегиба

Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. В качестве примера рассмотрим график функции, которая на промежутках и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке не является непрерывной. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, – это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Например, функция
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

Рассмотрим построение графиков с помощью производной.

Построить график функции f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Решение.

1) Эта функция определена при всех х € R.

2) Найдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. Производная равна f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Найдем стационарные точки:
3x 2 – 4x + 1 = 0, откуда х 1 = 1/3, х 2 = 1.

Для определения знака производной разложим квадратные трехчлен 3x 2 – 4x + 1 на множители:
f "(x) = 3(х – 1/3)(х – 1). Следовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производная положительна; значит, функция возрастает на этих промежутках.

Производная отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Точка х 1 = 1/3 является точкой максимума, так как справа от этой точки функция убывает, а слева – возрастает. В этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Точкой минимума является точка х 2 = 1, так как слева от этой точки функция убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равняется f (1) = 0.

3) При построение графика обычно находят точки пересечения графика с осями координат. Так как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. Решая уравнение f(0) = 0, находим точки пересечения графика с осью абсцисс:

x 3 – 2x 2 + x = 0, х(x 2 – 2х + 1) = 0, х(х – 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) Для более точного построение графика найдем значения функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Используя результаты исследования (пункты 1 – 4), строим график функции у = x 3 – 2x 2 + x.

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

Таким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определения;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастания и убывания;

5) точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и – при необходимости – еще несколько точек графика.

Если же мы сталкиваемся с четной или нечетной функцией, то для построения ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Например, анализируя функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данная функция нечетная: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). Выполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х > 0 относительно начала координат.

Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно.

Также отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнуться с необходимостью исследования функции не на всей области определения, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x 2 – x 4 на отрезке [-1; 2].

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Данные об авторе

Осипцова Галина Петровна

Место работы, должность:

МБОУ "Средняя общеобразовательная школа №12" города Выборга, учитель математики.

Ленинградская область

Характеристики урока (занятия)

Уровень образования:

Среднее (полное) общее образование

Целевая аудитория:

Учитель (преподаватель)

Класс(ы):

Предмет(ы):

Алгебра

Предмет(ы):

Математика

Цель урока:

Сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков.

Развивать логическое мышление, умение анализировать, умение ставить проблему, решать ее.

Воспитывать желание высказывать свое мнение.

Тип урока:

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Учеников в классе:

Используемые учебники и учебные пособия:

УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин

Используемая методическая литература:

М.К. Потапов, А.В.Шевкин "Алгебра и начала математического анализа, 10". Книга для учителя. М: "Просвещение" 2010.

Используемое оборудование:

Компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Краткое описание:

1. Системно-деятельностный подход при построении урока алгебры и начал анализа в 11 классе.

Урок алгебры и начал анализа в 11 классе

(УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин)

Тема урока : «Применение производной к построению графиков функций»

Основные цели урока:

сформировать умение применять производную к исследованию функций и построению графиков;

развивать умение ставить проблему, решать ее, логическое мышление, умение анализировать;

воспитывать желание высказывать свое мнение.

Оборудование и раздаточный материал: компьютер, документ камера, таблица с алгоритмом исследования функции, карточки с заданиями.

Ход урока

Мотивация учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята.

Что нового вы узнали на предыдущих уроках? (как с помощью производной найти критические точки, промежутки возрастания, убывания функции, ее экстремумы, наибольшее (наименьшее) значение).

На этом уроке мы продолжим исследовать функции с помощью производной.

Актуализация знаний.

На экране вы видите график функции y = f (x):

Какие свойства функции можно определить по графику? Назовите их.

Ответ: 1) D(f) = R;

2) функция непрерывна

3) Функция возрастает на отрезке [-2; 0,5] и на промежутке и на , а, значит, f "(x) < 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

точки максимума функции:x точки минимума: x = -2 x = 3;

4)наибольшее значение функции не существует, наименьшее равно-2 при = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Как найти точки экстремумов функции? (Если производная при переходе через критическую точку меняет знак с «+» на «-», то данная точка является точкой максимума, если же производная при переходе через критическую точку меняет знак с

«-»на «+», то данная точка является точкой минимума, если производная при переходе через критическую точку знак не меняет, то данная критическая точка не является точкой экстремума.

− Сформулируйте алгоритм нахождения промежутков возрастания, убывания и экстремумов функции у = f (x ), заданной аналитически.

Учащиеся формулируют, на экране последовательно открываются шаги алгоритма.

Алгоритм.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти критические точки.

4. Отметить на числовой прямой область определения и критические точки. Пользуясь обобщенным методом интервалов, определить знаки производной на полученных промежутках.

5. Пользуясь достаточными признаками, найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

А теперь исследуйте функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Учитель записывает на доске под диктовку учащихся. Учащиеся работают в тетрадях.

1. D(f) = R, f(x) непрерывна на D(f).

   Функция ни четная, ни нечетная, непериодическая.

Точки пересечения

с осью х: (0; 0) и (-3; 0), т. к.

f(x) = 0, т. е. ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x (x² + 6 x + 9) = 0

⅓x (х + 3)² = 0

с осью у: (0; 0).

Производная функции: f "(x) = x² + 4х + 3, D(f "(x)) =R

критические точки: f "(x) = 0 при х = -3, х = -1.

Отмечаем на числовой прямой критические точки и определяем знаки производной на полученных промежутках:

f "(x) > 0 на (-∞; -3) и на (-1; +∞); f "(x) < 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

fmax = 0 при х = -3, fmin = -4 при х = -1

4) Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Что вы повторили?

Как вы думаете, какое следующее задание я вам предложу?

Итак, вы провели исследование функции. А теперь вам надо, используя результаты исследования, построить график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Возникнут ли у вас затруднения?

3. Выявление затруднений, проблемы

Учитель предлагает нескольким учащимся озвучить затруднения.

Какое задание вы должны были выполнить? (Используя данные исследования, построить график функции).

Почему у вас возникли затруднения? (Не знаем способа построения графиков по данным исследования функции).

Что вы используете для исследования функции? (Производную).

4. Построение проекта выхода из затруднения .

Сформулируйте цель вашей деятельности. (Узнать способ построения графика, используя исследование функций с помощью производной).

Сформулируйте тему урока. (Применение производной для построения графиков функций).

Тема урока открывается на доске.

Итак, у вас возникло затруднение при построении графика функции. Что вы раньше использовали для построения графиков функций? (таблицы с некоторыми точками, принадлежащими графику).

Но часто точки не дают объективной картинки графика. И теперь, зная алгоритм исследования функции, какие данные будете вносить в таблицу? (нужно внести в таблицу результаты исследования функции, затем по таблице построить график).

5. Реализация построенного проекта

На доске открывается пустая таблица:

Вы исследовали функцию f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Перечислите шаги, которые вы выполняли при исследовании функции.(По ходу заполняется таблица)

Результаты, полученные в таблице, переносим на координатную плоскость.

Что еще можно сделать, чтобы более точно построить график? (Можно найти несколько дополнительных точек, принадлежащих графику функции).

На доске появляется график функции f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Вы построили график функции.

Как вы это сделали? (Мы создали алгоритм построения графика). (Еще раз проговариваем этапы исследования функции и построения ее графика).

Алгоритм построения графика с помощью производной..

1. D (f), непрерывность f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) не существует;

дополнительные точки;

6. Первичное закрепление приобретенных знаний.

Что теперь необходимо сделать? (надо научиться использовать алгоритм для построения графиков).

Постройте теперь график функции. f (x ) = х + .

Один ученик работает у доски, комментируя свои действия, остальные работают в тетрадях.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) непрерывна на D (f).
2. Производная функции:f "(x) = 1 - 4/ x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

Критические точки: = 0 при х = 2 и х = -2, точек, в которых f"() не существует - нет.

5. Дополнительные точки:

6. График функции:

Попытайтесь изобразить график самостоятельно.

На экране появляется график для проверки.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по образцу

А теперь давайте проверим, как каждый из вас понял, как применять построенный алгоритм.

	Вариант 1. Исследовать функцию и построить ее график Вариант 2. По частично проведенному исследованию построить график функции

Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения работы учащиеся сопоставляют свои работы с подробным образцом:

Вариант 1 .

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D (f | ) = R

х 1 = 0; х 2 = 2

¦ / (х )

Вариант 2.

1) D (f) = R , функция непрерывна.

2) y ¢ = 6x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D (f | ) = R

х 1 = − 1; х 2 = 1

− У кого задание вызвало затруднение?

− На каком шаге алгоритма?

− В чем причина возникшего затруднения?

− У кого задание выполнено правильно?

8. Включение в систему знаний и повторение.

Давайте теперь посмотрим, в каких заданиях ЕГЭ можно применить полученные знания.

Решите задачи:

1. Найдите множество значений функции .

2. При каких значениях параметра р уравнение = p имеет 2 корня, 1 корень, не имеет корней?

1) Ответ: (− ¥; − 4] U }