ГЛАВА 7

СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА

Группа Б

Решить уравнения (1511 -1513):

1516. Разность между третьими биномиальными коэффициентами разложений
(а + b ) n+1 и (а + b ) n равна 225. Найти число рациональных членов разложения
(5 √x + 9 √y ) n

1517. Найти k -й член разложения (√3 +√2 ) m , если известно, что

T k+2 : T k+1 : T k = 28: 8√6 : 9.

1518. Разность между некоторыми членами T k+1 и T k разложения (6 √x + √x - 1) 12 равна 30. Определить, при каких значениях х это возможно, если член T k+1 содержит х в степени, вдвое меньшей, чем член T k

1519. Найти наибольший биномиальный коэффициент разложения (n + 1 / n ) n , если произведение четвертого члена от начала на четвертый член от конца равно 14 400.

1520. При любом допустимом значении z член T k+1 разложения (3 √z + √z ) m в 2 раза меньше члена V k+2 разложенияНайти эти члены.

1521. Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных коэффициентов разложения (4 √3 + 3 √4 ) n равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении?

1522. Третий член разложения не содержит х . При каких значениях х этот член равен второму члену разложения (1+ x 3) 30 ?

1523. Тридцать человек разбиты на три группы, по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

1524. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

1525. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

1526. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

1527. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

1528. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы № 1 и № 2 находились бы в соседних аудиториях?

1529. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж будет доставлен какой-либо один материал?

1530. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

1531. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

1532. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

1533. Три автомашины, № 1, № 2, № 3, должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину № 1?

1534. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

1535. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, кружке художественного слова- 15, в вокальном кружке- 12 и в фотокружке- 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

1536. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

1537. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?

1539. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа, не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

1540. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

Задачи по комбинаторике

1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.

Ответ: 55 440.

2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?

3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?

Ответ: 1 140.

4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?

Ответ: 968.

5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

Ответ: 253.

6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Ответ: 240.

8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Ответ: 124.

9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Ответ: 32 760.

10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?

Ответ: 25!/20!.

11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)

Ответ: 3 126.

12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?

Ответ: 896.

13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?

Ответ: 30!/(10!) .

15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?

17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?

Ответ: 2 520.

19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.

Ответ: 12!/(2!) .

20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?

Ответ: 204.

21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?

Ответ: 2×9!.

22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).

Ответ: 2 027 025.

23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?

Ответ: 5 6 ; 6×4 5 .

24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Ответ: 2 10 .

25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?

Ответ: 16 100 .

26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?

27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 80!(3! ×75!).

28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 10!/48.

29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?

Ответ: 3 6 ×6!.

30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?

Ответ: 2304.

31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?

Ответ: 15 368.

32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?

Ответ: 15!10/7!

33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?

34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 15 015.

35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 3 5 .

36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?

Ответ: 16!/(2 6 ×3 2).

38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).

Ответ: 420.

39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.

Ответ: 1800.

40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 105.

41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?

42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Ответ: 9×10 6 .

43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?

44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?

45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Ответ: 2(6!) 2 .

46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?

Ответ: 2 200 .

47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?

Ответ: 8 6 ; 8 6 –13×7 5 .

48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?

Ответ: 2(11!) 2 .

49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.

Ответ: C 5 10– x × C 5 10+ x (C 5 10) 2 .

50 .Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?

Ответ: 10!/4.

51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?

52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?

53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?

Ответ: 6 × 8! × 2!.

54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.

Ответ: а) 5 × 5 × 4 × 3=300; б) 5 × 6 = 1080; в) 3 4 ; г) 5 × 6 × 6 × 3 = 540.

55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?

56. На одной прямой взято m точек, на параллельной ей прямой n точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?

Ответ:

57 . Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.

Ответ: 9 × 10 × 10 = 900.

58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число

59. В прямоугольной матрице A = {a ij } m строк и n столбцов. Каждое a ij Î{+1, –1}, причем произведение a ij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц?

Ответ: 2 (m –1)(n –1) .

60. В комнате n лампочек. Сколько разных способов освещения комнаты,

при которых горит:

а) ровно k лампочек (k < n );

б) хотя бы одна лампочка.

Ответ: а) ; б) = 2n –1.

61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Ответ: = 126.

62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

Ответ: = 210.

63. Имеется p белых и q черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом (q £ p + 1)?

64. Имеется p разных книг в красных переплетах и q разных книг в синих переплетах (q £ p + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?

65. Сколькими способами можно упорядочить {1, 2, ... n } чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

Ответ: (n – 2)!.

66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.

Ответ: 12 = 3! + 2× 2 +2.

67. Сколькими способами m + n + s предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – n , в третьей – s предметов.

Ответ:

68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение x 1+ x 2+ ... + xm = n.

69. Найти число векторов Z = (a 1a 2... an ), координаты которых удовлетворяют условиям:

1) ai Î {0, 1};

2) ai Î {0, 1, ... k – 1};

3) ai Î {0, 1, ... ki – 1};

4) ai Î {0, 1} и a 1+ a 2+ ... + an = r .

Ответ: 1) 2n ; 2) kn ; 3) k 1k 2... kn ; 4) .

70. Каково число матриц {aij }, где aij Î{0,1} и в которой m строк и n столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.

Ответ: 1) 2m ×n ; 2) .

71. Дано m предметов одного сорта и n другого. Найти число выборок, составленных из r элементов одного сорта и s другого.

72. Сколькими способами число n можно представить в виде суммы k натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).

73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что:

1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;

2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;

3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;

4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.

Ответ: 5 10 , 6 10 -5 10 , 24´5 8 , 630´4 6

74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:

1) 4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3-х (первые 3 цифры различны.);

2) все цифры различны;

3) номер начинается с цифры 5;

4) номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.

Ответ: 5040, , 10 6 , 210.

75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-х местных и в одном 4-х местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-х местный номер?

, .

78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:

1) в колонну по одному;

2) в колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?

Ответ: 9!, .

79. Из n букв, среди которых a встречается α раз, буква b встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных r -буквенных слов, содержащих h раз букву a и k раз букву b ?

80. Имеется колода из 4n (n ³5) карт, которая содержит карты 4-х мастей по n карт каждой масти, занумерованных числами 1,2…n . Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:

1) 5 последовательных карт одной масти;

2) 4 карты из 5-ти с одинаковыми номерами;

3) 3 карты с одним номером и 2 карты с другим;

4) 5 карт одной масти;

5) 5 последовательно занумерованных карт;

6) 3 карты из 5-ти с одним и тем же номером;

7) не более 2-х карт каждой масти.

Ответ: 4(n –4), 4n (n –1), 12n (n –1), , 4 5 (n –4), , .

81. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы между любыми 2-мя единицами находилось не менее m нулей?

Презентация разработана к учебнику«Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Базовый и проф. уровни». Колягин Ю.М. и др. Данную презентацию можно использовать при изучении главы "Элементы теории вероятности" в 11 классе, а также при подготовке к ЕГЭ. В презентации собраны задачи на применение различных элементов комбинаторики при нахождении вероятности.

Просмотр содержимого документа
«Презентация на тему "Элементы комбинаторики в задачах по теории вероятности"»

Элементы комбинаторики в задачах по теории вероятности

Выполнила учитель математики

МБОУ Большемурашкинская СШ Козлова Е.Е.

Применение перестановок

Задача 1 .

На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом 1-й и 2-й тома не стояли рядом?

• - общее количество вариантов расстановки 30 книг;
• - количество вариантов, когда 1-й и 2-й тома стоят рядом и первый слева;
• - количество вариантов, когда первый и второй тома стоят рядом
• -всего вариантов нужного размещения

Применение перестановок

Задача 2.

На книжной полке стояло 30 томов. Ребенок уронил книги с полки, а затем расставил их в случайном порядке. Какова вероятность того, что он не поставил 1-й и 2-й тома рядом?

• - всего вариантов размещения;
• - количество вариантов, когда первый и второй тома стоят рядом;
• - вероятность, что первый и второй тома будут стоять рядом;
• - вероятность, что первый и второй тома не будут стоять рядом.

Применение размещений

Задача 3.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии 30-ти книг?

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Применение размещений

Задача 5.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель, не глядя, берет 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Применение сочетаний

Задача 6.

Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг?

Задача 7.

Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов?

Применение сочетаний

Задача 8.

На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома?

Плотность вероятности составляющей X

f 1 (x) = σ x 1 2π × e − u2 / 2. (1.59)

Найдем функцию регрессии M(Y | x), для чего найдем сначала условный закон распределения величины Y при X = x:

y (y x) = f (x, y). f 1 (x)

Подставив (1.57) и (1.58) в правую часть этой формулы и выполнив выкладки, имеем

		x) =				× e	−(v −ru) 2 /(2(1−r	2 ))
			σ y

Заменив u и v по формулам (1.58), окончательно получим

x) =

× e

(σy

1−r2

Полученное условное распределение нормально с математическим ожиданием (функцией регрессии Y на X)

M(Y x) = a 2 + rσ y (x − a1 )

и дисперсией σ 2 y (1 − r 2 ).

Аналогично можно получить функцию регрессии X на Y:

M(X y) = a1 + rσ x (y − a2 ).

Так как обе функции регрессии линейны, то корреляция между величинами X и Y линейная, что и требовалось доказать.

Принимая во внимание вероятностный смысл параметров двумерного нормального распределения, заключаем, что уравнения прямых регрессии

	2 = r		(x − a1 ),	x − a1 = r		(y − a 2 )

совпадают с уравнениями прямых среднеквадратической регрессии.

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 13 « ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

2. Методические указания для студентов

2.1. КОМБИНАТОРИКА

Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов. Требуется выбрать из них какие-нибудь k элементов и расположить этиk элементов в каком-либо порядке. Такие упорядоченные последовательности называютсяразмещениями из n элементов по k элементов (упорядоченные – следовательно, последовательности{ 1;2} и{ 2;1 } - различные размещения).

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

k = n!A n (n− k) !

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

A k n = nk

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов. Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества{ 1;2} и{ 2;1} − не различны (со единены).

Число сочетаний без повторений

Количество способов переставить n элементов в заданном множестве

(количество перестановок ) вычисляется по формуле

Pn = n!

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу

Число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащегоn элементов

Неупорядоченный Упорядоченный

Без повтора

Сn k

A n k=

k!(n − k)!

(n − k)!

(n + k− 1)!

n k= n k

С повтором

k!(n − 1)!

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

120 .

Примеры решения задач

Пример 2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества {1;2;3} и {3;2;1} – различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку. n = 6; k = 3.

A 3 6 =							120 .
	(6− 3) !

Пример 2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько

трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества {1;2;3} и {3;2;1} дают число 123, т.е. не являются различными.

С3 6

Пример 2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

Решение: А3 6 = 63 = 216 .

Пример 2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

				(6+ 3− 1) !						7 8= 56 .
Решение: С6				(6− 1) !3!

Пример 2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв

слова «комар»?

Решение: P5 = 5!=1 2 3 4 5 =120 .

Пример 2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв

слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза

меньше, то есть 6! = 3! 4 5 6 3! 3!

Пример 2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый.

Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их

Пример 2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

	Номер ученика

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта

выбора класса, то для всех 5 учеников существует 3 3 3 3 3 = 3 5 способов

распределения по классам.

Пример 2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “ от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

1442443 .

30 элементов

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до (29!) 2 , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

Тогда искомое число способов расстановки есть

30!− 2 29!= (30− 2) 29!= 28 29!

Пример 2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой.

Определить, какое количество встреч следует провести.

Решение: По условию задачи из 16 команд для каждой встречи требуется отобрать 2 команды. В данном случае отбор производится без повтора и

порядок отбора не важен, т.е. число вариантов - С16 2 . Так как команды должны играть дважды число вариантов удваивается, т.е. 2 С16 2 .

Пример 2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от

3 до 7 основных цветов?

Решение: По условию задачи отбор цветов для окраски производится без повтора и порядок отбора не важен, т.е. число вариантов зависит лишь от числа отбираемых для окраски цветов - С10 N , N{ 3;4;5;6;7} . Поэтому общее число вариантов есть

С 10 3 +С 10 4 +С 10 5 +С 10 6 +С 10 7 = ∑ С 10 N . N=3

Пример 2.12. Турист прошел маршрут из пункта A в пункт B, из B в C и вернулся обратно. Сколько вариантов маршрута существует, если из пункта A в пункт B ведут 3 дороги, а из B в C - 4 и нельзя возвращаться той дорогой, по

которой уже прошел? Решение: Составим схему

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C

– 4, т.е. всего маршрутов 3 4 =12 .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось 3 2 = 6 . Тогда всего вариантов маршрута 12 6 = 72 .

Пример 2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать С12 6 способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

I вариант				II вариант
	6! вариантов размещений				6! вариантов размещений
II вариант		или I вариант			1;2;3;4;5;6 .
	6! вариантов размещений				6! вариантов размещений
Поэтому всего способов распределения учеников будет
	С12 6 2 (6!)2			2 (6!)2 = 2 12!.

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “ второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!

Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

т.е. 2 способами.

Таким образом, всего способов распределения учеников будет 2 12! По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

Пример 2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей

за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением

гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

Очевидно, что для любого расположения гостей таких одинаковых вариантов, получаемых друг из друга поворотом, - шесть. Тогда общее число вариантов уменьшается в шесть раз и их остается 5!= 120 .

В случае же, когда нас интересует только взаимное расположение гостей, то одинаковыми можно считать и такие симметричные расположения, при которых у каждого гостя остаются те же соседи за столом, только левый и правый меняются местами (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Пример 2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “ хорошо” и “ отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из

них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Студент 1
Студент 2
Студент 3
Студент 17

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 1.8., и получить количество вариантов 2 2 2 2 =16 . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “ дерево решений”, который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

Четвертая

По “ дереву решений”

видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на

“ хорошо”

“ отлично”

результаты будут отличаться, но если

студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов

m способами, а другой объект B может быть выбран n способами, то:

Правило суммы : выбрать либо A , либо B можно m + n способами.Правило произведения . Пара объектов(A, B) в указанном порядке

может быть выбрана m n способами.

2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ПО КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМУЛЕ

Вероятность события A определяется формулой

P(A) =m , n

где m − число элементарных исходов, благоприятствующих событию A ; n− число всех возможных элементарных исходов испытания.

Предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Примеры решения задач

Пример 2.16. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что

выпадет четное число очков.
Решение: Введем события: Е1 –	одно очко; Е2 - два очка; Е3 –	три очка;
Е4 – четыре очка; Е5 – пять очков; Е6 –	шесть очков. Итак, n = 6 .
Рассмотрим событие A − выпадение четного числа очков.

событию благоприятствуют элементарные исходы Е2 , Е4 , Е6 . Следовательно,

m = 3 . Тогда P(A) =3 = 0,5 . 6

Пример 2.17. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помнит лишь то, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти

вероятность того, что набраны нужные цифры. Решение: Событие A− набраны нужные цифры.

n − общее число элементарных исходов опыта равно n = A10 3 == 10 9 8= 720 .

m = 1, так как единственная комбинация цифр благоприятствует событию

A . Тогда P(A) =1 . 720

Пример 2.18. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 6 отличников.

Решение: СобытиеA − среди отобранных студентов окажутся 6 отличников. Число n равно числу способов, которыми можно отобрать 9 студентов из 12

остальных 3 отбираем среди неотличников. Их всего 12-8=4. Троих студентов-

неотличников из четырех можно отобрать С3 4 способами. По теореме умножения комбинаторикиm = C 8 6 C 3 4 . Тогда,

P(A) =	C 8 6C 34
	C 129
		220 55 .

2.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Если опыт сводится к бесконечному числу равновозможных случаев, то применяется геометрическое определение вероятности

P (A ) = mes g, mes G

где mes g равно длине отрезка, если точки множества g расположены на прямой; mes g равно площади фигуры, если точки множества g расположены на плоскости; mes g равно объему тела, если точки множества g расположены

в пространстве.

Примеры решения задач

Пример 2.19. Территория нефтебазы имеет форму прямоугольника со сторонами a= 50 м, b= 30 м. На территории имеется емкость диаметром 10 м.

(рис. 2.1). Какова вероятность поражения

емкости бомбой, попавшей на

территорию нефтебазы, если попадание

бомбы в любую точку равновероятное?

Решение: Событие А - поражение

емкости бомбой, попавшей на территорию

нефтебазы

P(A) =

mes g −

mes G −

площадь заштрихованного

площадь прямоугольника

P(A) =

5 2π

Пример 2.20. Дети бросают мяч диаметром 0,2м в щит с круглым

отверстием диаметром 1м. Какова вероятность попадания в это отверстие? Решение: Ход решения ясен из рисунка 2.2, на котором “ благоприятная” зона

заштрихована и имеет диаметр 2R − 2r , где R=0,5м, r=0,1м.