Ang inverse trigonometriko function ay mathematical function na ang inverse ng trigonometriko function.
Function y=arcsin(x)
Ang arcsine ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan [-π/2;π/2] na ang sine ay katumbas ng α.
Graph ng isang function
Ang function na у= sin(x) sa pagitan [-π/2;π/2], ay mahigpit na tumataas at tuluy-tuloy; samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar, mahigpit na tumataas at tuluy-tuloy.
Ang kabaligtaran na function para sa function na y= sin(x), kung saan ang x ∈[-π/2;π/2], ay tinatawag na arcsine at tinutukoy ang y=arcsin(x), kung saan ang x∈[-1;1 ].
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arcsine ay ang segment [-1;1], at ang hanay ng mga halaga ay ang segment [-π/2;π/2].
Tandaan na ang graph ng function na y=arcsin(x), kung saan ang x ∈[-1;1], ay simetriko sa graph ng function na y= sin(x), kung saan ang x∈[-π/2;π /2], na may paggalang sa bisector ng mga anggulo ng coordinate una at ikatlong quarter.
Saklaw ng pag-andar y=arcsin(x).
Halimbawa Blg. 1.
Hanapin ang arcsin(1/2)?
Dahil ang hanay ng mga halaga ng function na arcsin(x) ay kabilang sa pagitan [-π/2;π/2], kung gayon ang halagang π/6 lamang ang angkop. Samakatuwid, arcsin(1/2) =π/ 6.
Sagot:π/6
Halimbawa Blg. 2.
Hanapin ang arcsin(-(√3)/2)?
Dahil ang hanay ng mga halaga arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], kung gayon ang halaga lamang -π/3 ang angkop. Samakatuwid, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.
Function y=arccos(x)
Ang arc cosine ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan na ang cosine ay katumbas ng α.
Graph ng isang function
Ang function na y= cos(x) sa segment ay mahigpit na bumababa at tuluy-tuloy; samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar, mahigpit na bumababa at tuluy-tuloy.
Ang inverse function para sa function na y= cosx, kung saan x ∈, ay tinatawag arc cosine at tinutukoy ng y=arccos(x), kung saan ang x ∈[-1;1].
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arc cosine ay ang segment [-1;1], at ang set ng mga value ay ang segment.
Tandaan na ang graph ng function na y=arccos(x), kung saan ang x ∈[-1;1] ay simetriko sa graph ng function na y= cos(x), kung saan ang x ∈, na may kinalaman sa bisector ng coordinate anggulo ng una at ikatlong quarter.
Saklaw ng pag-andar y=arccos(x).
Halimbawa Blg. 3.
Maghanap ng mga arccos(1/2)?
Dahil ang hanay ng mga halaga ay arccos(x) x∈, kung gayon ang halagang π/3 lamang ang angkop. Samakatuwid, arccos(1/2) =π/3.
Halimbawa Blg. 4.
Hanapin ang arccos(-(√2)/2)?
Dahil ang saklaw ng mga halaga ng function na arccos(x) ay kabilang sa pagitan, kung gayon ang halaga lamang na 3π/4 ang angkop. Samakatuwid, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.
Sagot: 3π/4
Function y=arctg(x)
Ang arctangent ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan [-π/2;π/2] na ang tangent ay katumbas ng α.
Graph ng isang function 
Ang tangent function ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas sa pagitan (-π/2;π/2); samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar na tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas.
Ang inverse function para sa function na y= tan(x), kung saan x∈(-π/2;π/2); ay tinatawag na arctangent at ipinapahiwatig ng y=arctg(x), kung saan ang x∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arctangent ay ang agwat (-∞;+∞), at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat
(-π/2;π/2).
Tandaan na ang graph ng function na y=arctg(x), kung saan ang x∈R, ay simetriko sa graph ng function na y= tanx, kung saan ang x ∈ (-π/2;π/2), na may kaugnayan sa bisector ng mga coordinate na anggulo ng una at ikatlong quarter.
Ang saklaw ng function na y=arctg(x).
Halimbawa Blg. 5?
Hanapin ang arctan((√3)/3).
Dahil ang hanay ng mga halaga arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), kung gayon ang halagang π/6 lamang ang angkop. Samakatuwid, arctg((√3)/3) =π/6.
Halimbawa Blg. 6.
Hanapin ang arctg(-1)?
Dahil ang hanay ng mga halaga arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), kung gayon ang halaga lamang -π/4 ang angkop. Samakatuwid, arctg(-1) = - π/4.
Function y=arcctg(x)
Ang arc cotangent ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan (0;π) na ang cotangent ay katumbas ng α.
Graph ng isang function
Sa pagitan (0;π), ang cotangent function ay mahigpit na bumababa; bilang karagdagan, ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito; samakatuwid, sa pagitan (0;π), ang function na ito ay may kabaligtaran na function, na mahigpit na bumababa at tuluy-tuloy.
Ang inverse function para sa function na y=ctg(x), kung saan ang x ∈(0;π), ay tinatawag na arccotangent at tinutukoy ang y=arcctg(x), kung saan ang x∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arccotangent ay magiging R, at ang set ng mga value ay ang interval (0;π). Ang graph ng function na y=arcctg(x) , kung saan ang x∈R ay simetriko sa graph ng function na y=ctg(x) x∈(0 ;π), na nauugnay sa bisector ng mga coordinate na anggulo ng una at ikatlong quarter.
Saklaw ng pag-andar y=arcctg(x).
Halimbawa Blg. 7.
Hanapin ang arcctg((√3)/3)?
Dahil ang hanay ng mga halaga arcctg(x) x ∈(0;π), kung gayon ang halagang π/3 lamang ang angkop. Samakatuwid arccos((√3)/3) =π/3.
Halimbawa Blg. 8.
Hanapin ang arcctg(-(√3)/3)?
Dahil ang hanay ng mga halaga ay arcctg(x) x∈(0;π), kung gayon ang halaga lamang na 2π/3 ang angkop. Samakatuwid, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.
Mga editor: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna
Kahulugan at notasyon
Arcsine (y = arcsin x) ay ang inverse function ng sine (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 at ang hanay ng mga halaga -π /2 ≤ y ≤ π/2.kasalanan(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Ang Arcsine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
Graph ng arcsine function
Graph ng function na y = arcsin x
Ang arcsine graph ay nakuha mula sa sine graph kung ang abscissa at ordinate axes ay ipinagpalit. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan kung saan ang function ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arcsine.
Arccosine, arccos
Kahulugan at notasyon
Arc cosine (y = arccos x) ay ang inverse function ng cosine (x = dahil y). Ito ay may saklaw -1 ≤ x ≤ 1 at maraming kahulugan 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Ang Arccosine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
Graph ng arc cosine function
Graph ng function na y = arccos x
Ang arc cosine graph ay nakuha mula sa cosine graph kung ang abscissa at ordinate axes ay pinagpalit. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan kung saan ang function ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arc cosine.
Pagkakapantay-pantay
Ang arcsine function ay kakaiba:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Ang arc cosine function ay hindi pantay o kakaiba:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Properties - extrema, pagtaas, pagbaba
Ang mga function na arcsine at arccosine ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng arcsine at arccosine ay ipinakita sa talahanayan.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Saklaw at pagpapatuloy | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Saklaw ng mga halaga | ||
| Pataas pababa | monotonically pagtaas | monotonically bumababa |
| Highs | ||
| Mga minimum | ||
| Mga zero, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Talaan ng mga arcsine at arcosines
Ang talahanayang ito ay nagpapakita ng mga halaga ng mga arcsine at arcosines, sa mga degree at radian, para sa ilang mga halaga ng argumento.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| granizo | masaya. | granizo | masaya. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Mga pormula
Tingnan din: Derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko functionMga formula ng kabuuan at pagkakaiba
sa o
sa at
sa at
sa o
sa at
sa at
sa
sa
sa
sa
Mga expression sa pamamagitan ng logarithms, kumplikadong mga numero
Tingnan din: Pagkuha ng mga formulaMga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function
Derivatives
;
.
Tingnan ang Derivation ng arcsine at arccosine derivatives > > >
Higher order derivatives:
,
kung saan ay isang polynomial ng degree . Ito ay tinutukoy ng mga formula:
;
;
.
Tingnan ang Derivation ng higher order derivatives ng arcsine at arccosine > > >
Mga integral
Ginagawa namin ang pagpapalit x = kasalanan t. Pinagsasama namin ayon sa mga bahagi, isinasaalang-alang na -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Ipahayag natin ang arc cosine sa pamamagitan ng arc sine:
.
Pagpapalawak ng serye
Kapag |x|< 1
nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
;
.
Mga kabaligtaran na pag-andar
Ang inverses ng arcsine at arccosine ay sine at cosine, ayon sa pagkakabanggit.
Ang mga sumusunod na formula ay may bisa sa buong domain ng kahulugan:
kasalanan(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Ang mga sumusunod na formula ay may bisa lamang sa hanay ng mga halaga ng arcsine at arccosine:
arcsin(sin x) = x sa
arccos(cos x) = x sa .
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Inverse trigonometriko function- ito ay arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.
Una bigyan natin ang ilang mga kahulugan.
Arcsine O, maaari nating sabihin na ito ay isang anggulo na kabilang sa isang segment na ang sine ay katumbas ng bilang na a.
arc cosine ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na
Arctangent ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na
Arccottangent ang numero a ay tinatawag na isang numero tulad na
Pag-usapan natin nang detalyado ang tungkol sa apat na bagong function na ito para sa atin - mga kabaligtaran na trigonometric.
Tandaan mo, nagkita na tayo.
Halimbawa, ang arithmetic square root ng a ay isang di-negatibong numero na ang parisukat ay katumbas ng a.
Ang logarithm ng isang numero b sa base a ay isang numero c tulad na
Kung saan
Naiintindihan namin kung bakit kinailangan ng mga mathematician na "mag-imbento" ng mga bagong function. Halimbawa, ang mga solusyon sa isang equation ay at Hindi namin maisusulat ang mga ito nang walang espesyal na arithmetic square root na simbolo.
Ang konsepto ng logarithm ay naging kinakailangan upang isulat ang mga solusyon, halimbawa, sa equation na ito: Ang solusyon sa equation na ito ay isang hindi makatwirang numero. Ito ay isang exponent ng kapangyarihan kung saan ang 2 ay dapat na itaas upang makakuha ng 7.
Ito ay pareho sa trigonometric equation. Halimbawa, gusto naming lutasin ang equation
Malinaw na ang mga solusyon nito ay tumutugma sa mga punto sa trigonometric na bilog na ang ordinate ay katumbas ng At ito ay malinaw na hindi ito ang tabular na halaga ng sine. Paano isulat ang mga solusyon?
Dito hindi natin magagawa nang walang bagong function, na tumutukoy sa anggulo na ang sine ay katumbas ng isang naibigay na numero a. Oo, nahulaan na ng lahat. Ito ay arcsine.
Ang anggulo na kabilang sa segment na ang sine ay katumbas ng arcsine ng ikaapat na bahagi. At nangangahulugan ito na ang mga serye ng mga solusyon sa aming equation na tumutugma sa tamang punto sa trigonometric circle ay
At ang pangalawang serye ng mga solusyon sa aming equation ay
Matuto pa tungkol sa paglutas ng mga trigonometric equation -.
Ito ay nananatiling alamin - bakit ang kahulugan ng arcsine ay nagpapahiwatig na ito ay isang anggulo na kabilang sa segment?
Ang katotohanan ay mayroong walang katapusang maraming anggulo na ang sine ay katumbas ng, halimbawa, . Kailangan nating pumili ng isa sa kanila. Pinipili namin ang isa na namamalagi sa segment.
Tingnan ang trigonometriko na bilog. Makikita mo na sa segment ang bawat anggulo ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng sine, at isa lamang. At vice versa, ang anumang halaga ng sine mula sa segment ay tumutugma sa isang solong halaga ng anggulo sa segment. Nangangahulugan ito na sa isang segment maaari mong tukuyin ang isang function na kumukuha ng mga halaga mula hanggang
Ulitin natin muli ang kahulugan:
Ang arcsine ng isang numero ay ang numero , ganyan
Pagtatalaga: Ang lugar ng kahulugan ng arcsine ay isang segment. Ang hanay ng mga halaga ay isang segment.
Maaalala mo ang pariralang "nabubuhay ang mga arcsine sa kanan." Huwag lamang kalimutan na ito ay hindi lamang sa kanan, kundi pati na rin sa segment.
Handa na kaming i-graph ang function
Gaya ng dati, inilalagay namin ang mga halaga ng x sa pahalang na axis at ang mga halaga ng y sa vertical axis.
Dahil , samakatuwid, ang x ay nasa hanay mula -1 hanggang 1.
Nangangahulugan ito na ang domain ng kahulugan ng function na y = arcsin x ay ang segment
Sinabi namin na ang y ay kabilang sa segment. Nangangahulugan ito na ang saklaw ng mga halaga ng function na y = arcsin x ay ang segment.
Tandaan na ang graph ng function na y=arcsinx ay ganap na akma sa loob ng lugar na nalilimitahan ng mga linya at
Gaya ng nakasanayan kapag nagpaplano ng isang graph ng isang hindi pamilyar na function, magsimula tayo sa isang talahanayan.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang arcsine ng zero ay isang numero mula sa segment na ang sine ay katumbas ng zero. Ano ang numerong ito? - Ito ay malinaw na ito ay zero.
Katulad nito, ang arcsine ng isa ay isang numero mula sa segment na ang sine ay katumbas ng isa. Malinaw na ito
Nagpapatuloy kami: - ito ay isang numero mula sa segment na ang sine ay katumbas ng . Oo ito
| 0 | |||||
| 0 |
Pagbuo ng isang graph ng isang function
Mga katangian ng pag-andar
1. Saklaw ng kahulugan
2. Saklaw ng mga halaga
3., ibig sabihin, kakaiba ang function na ito. Ang graph nito ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
4. Ang function ay tumataas nang monotonically. Ang pinakamababang halaga nito, katumbas ng - , ay nakakamit sa , at ang pinakamalaking halaga nito, katumbas ng , sa
5. Ano ang ginagawa ng mga graph ng mga function at ? Hindi mo ba iniisip na ang mga ito ay "ginawa ayon sa parehong pattern" - tulad ng tamang sangay ng isang function at ang graph ng isang function, o tulad ng mga graph ng exponential at logarithmic function?
Isipin na pinutol namin ang isang maliit na fragment mula hanggang hanggang mula sa isang ordinaryong sine wave, at pagkatapos ay i-on ito patayo - at makakakuha tayo ng arcsine graph.
Ano ang para sa isang function sa pagitan na ito ay ang mga halaga ng argumento, pagkatapos ay para sa arcsine magkakaroon ng mga halaga ng function. Ganyan dapat! Pagkatapos ng lahat, ang sine at arcsine ay magkabaligtaran na mga function. Ang iba pang mga halimbawa ng mga pares ng magkabaligtaran na function ay sa at , pati na rin ang exponential at logarithmic function.
Alalahanin na ang mga graph ng magkabilang kabaligtaran na mga function ay simetriko na may paggalang sa tuwid na linya
Sa katulad na paraan, tinukoy namin ang function. Kailangan lang namin ng isang segment kung saan ang bawat anggulo na halaga ay tumutugma sa sarili nitong halaga ng cosine, at sa pag-alam sa cosine, maaari naming natatanging mahanap ang anggulo. Bagay sa atin ang isang segment
Ang arc cosine ng isang numero ay ang numero , ganyan
Madaling tandaan: "ang mga arc cosine ay nakatira mula sa itaas," at hindi lamang mula sa itaas, ngunit sa segment
Pagtatalaga: Ang lugar ng kahulugan ng arc cosine ay isang segment. Ang hanay ng mga halaga ay isang segment.
Malinaw, napili ang segment dahil dito kinukuha ang bawat halaga ng cosine nang isang beses lang. Sa madaling salita, ang bawat halaga ng cosine, mula -1 hanggang 1, ay tumutugma sa isang solong halaga ng anggulo mula sa pagitan
Ang arc cosine ay hindi isang even o isang kakaibang function. Ngunit maaari naming gamitin ang sumusunod na malinaw na relasyon:
I-plot natin ang function
Kailangan namin ng isang seksyon ng function kung saan ito ay monotonic, iyon ay, ito ay tumatagal ng bawat halaga nang eksaktong isang beses.
Pumili tayo ng isang segment. Sa segment na ito ang function ay bumababa nang monotonically, iyon ay, ang pagsusulatan sa pagitan ng mga set ay isa-sa-isa. Ang bawat x value ay may katumbas na y value. Sa segment na ito mayroong isang function na kabaligtaran sa cosine, iyon ay, ang function na y = arccosx.
Punan natin ang talahanayan gamit ang kahulugan ng arc cosine.
Ang arc cosine ng isang numerong x na kabilang sa pagitan ay magiging isang numero y na kabilang sa pagitan
Ibig sabihin, dahil ;
Dahil ;
kasi ,
kasi ,
| 0 | |||||
| 0 |
Narito ang arc cosine graph:
Mga katangian ng pag-andar
1. Saklaw ng kahulugan
2. Saklaw ng mga halaga
Ang function na ito ay isang pangkalahatang anyo - hindi ito kahit na o kakaiba.
4. Ang function ay mahigpit na bumababa. Kinukuha ng function na y = arccosx ang pinakamalaking halaga nito, katumbas ng , sa , at ang pinakamaliit na halaga nito, katumbas ng zero, ay tumatagal sa
5. Ang mga function at ay magkabaligtaran.
Ang mga susunod ay arctangent at arccotangent.
Ang arctangent ng isang numero ay ang numero , ganyan
Pagtatalaga: . Ang lugar ng kahulugan ng arctangent ay ang pagitan. Ang lugar ng mga halaga ay ang pagitan.
Bakit ang mga dulo ng pagitan - mga puntos - ay hindi kasama sa kahulugan ng arctangent? Siyempre, dahil ang tangent sa mga puntong ito ay hindi tinukoy. Walang bilang na katumbas ng tangent ng alinman sa mga anggulong ito.
Bumuo tayo ng isang graph ng arctangent. Ayon sa kahulugan, ang arctangent ng isang numerong x ay isang numerong y na kabilang sa pagitan ng ganoon
Malinaw na kung paano gumawa ng graph. Dahil ang arctangent ay ang kabaligtaran na pag-andar ng tangent, nagpapatuloy kami bilang mga sumusunod:
Pumili kami ng isang seksyon ng graph ng function kung saan ang pagsusulatan sa pagitan ng x at y ay isa-sa-isa. Ito ang interval C. Sa seksyong ito ang function ay kumukuha ng mga halaga mula hanggang
Pagkatapos ang kabaligtaran na pag-andar, iyon ay, ang pag-andar, ay may isang domain ng kahulugan na magiging buong linya ng numero, mula hanggang, at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat.
Ibig sabihin,
Ibig sabihin,
Ibig sabihin,
Ngunit ano ang mangyayari para sa walang katapusang malalaking halaga ng x? Sa madaling salita, paano kumikilos ang function na ito habang ang x ay may posibilidad na plus infinity?
Maaari nating itanong sa ating sarili ang tanong: para sa aling numero sa pagitan ang halaga ng tangent ay may posibilidad na infinity? - Malinaw na ito
Nangangahulugan ito na para sa walang katapusang malalaking halaga ng x, ang arctangent graph ay lumalapit sa pahalang na asymptote
Katulad nito, kung ang x ay lumalapit sa minus infinity, ang arctangent graph ay lumalapit sa pahalang na asymptote
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng function
Mga katangian ng pag-andar
1. Saklaw ng kahulugan
2. Saklaw ng mga halaga
3. Ang function ay kakaiba.
4. Ang pag-andar ay mahigpit na tumataas.
6. Functions at magkabaligtaran - siyempre, kapag ang function ay isinasaalang-alang sa pagitan
Katulad nito, tinukoy namin ang inverse tangent function at i-plot ang graph nito.
Ang arccotangent ng isang numero ay ang numero , ganyan
Function graph:
Mga katangian ng pag-andar
1. Saklaw ng kahulugan
2. Saklaw ng mga halaga
3. Ang function ay may pangkalahatang anyo, iyon ay, hindi kahit na o kakaiba.
4. Ang function ay mahigpit na bumababa.
5. Direkta at - pahalang na mga asymptotes ng function na ito.
6. Ang mga function at magkabaligtaran kung isasaalang-alang sa pagitan
Dahil ang mga trigonometriko na pag-andar ay panaka-nakang, ang kanilang mga inverse function ay hindi natatangi. Kaya, ang equation y = kasalanan x, para sa isang naibigay na , ay may walang katapusang maraming mga ugat. Sa katunayan, dahil sa periodicity ng sine, kung ang x ay ganoong ugat, kung gayon ay ganoon din x + 2πn(kung saan ang n ay isang integer) ay magiging ugat din ng equation. kaya, Ang mga inverse trigonometriko function ay multivalued. Upang gawing mas madali ang pakikipagtulungan sa kanila, ipinakilala ang konsepto ng kanilang mga pangunahing kahulugan. Isaalang-alang, halimbawa, sine: y = kasalanan x. Kung nililimitahan natin ang argumento x sa pagitan , pagkatapos ay dito ang function na y = kasalanan x tumataas monotonically. Samakatuwid, mayroon itong natatanging inverse function, na tinatawag na arcsine: x = arcsin y.
Maliban kung iba ang nakasaad, sa pamamagitan ng kabaligtaran na trigonometriko na pag-andar ang ibig naming sabihin ay ang kanilang mga pangunahing halaga, na tinutukoy ng mga sumusunod na kahulugan.
Arcsine ( y = arcsin x) ay ang inverse function ng sine ( x = siny
Arc cosine ( y = arccos x) ay ang inverse function ng cosine ( x = dahil y), pagkakaroon ng isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.
Arctangent ( y = arctan x) ay ang inverse function ng tangent ( x = tg y), pagkakaroon ng isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.
arccotangent ( y = arcctg x) ay ang inverse function ng cotangent ( x = ctg y), pagkakaroon ng isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.
Mga graph ng inverse trigonometriko function
Ang mga graph ng inverse trigonometriko function ay nakuha mula sa mga graph ng trigonometriko function sa pamamagitan ng mirror reflection na may kinalaman sa tuwid na linya y = x. Tingnan ang mga seksyon Sine, cosine, Tangent, cotangent.
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctan x
y = arcctg x
Mga pangunahing formula
Dito dapat mong bigyang-pansin ang mga agwat kung saan wasto ang mga formula.
arcsin(sin x) = x sa
kasalanan(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x sa
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x sa
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x sa
ctg(arcctg x) = x
Mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometriko function
Tingnan din: Derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko functionMga formula ng kabuuan at pagkakaiba
sa o
sa at
sa at
sa o
sa at
sa at
sa
sa
sa
sa
sa
sa
sa
sa
sa
sa
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Inverse cosine function
Ang hanay ng mga halaga ng function na y=cos x (tingnan ang Fig. 2) ay isang segment. Sa segment ang function ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa.
kanin. 2
Nangangahulugan ito na ang function na inverse sa function na y=cos x ay tinukoy sa segment. Ang inverse function na ito ay tinatawag na arc cosine at ipinapahiwatig na y=arccos x.
Kahulugan
Ang arccosine ng isang numero a, kung |a|1, ay ang anggulo na ang cosine ay kabilang sa segment; ito ay tinutukoy ng arccos a.
Kaya, ang arccos a ay isang anggulo na nakakatugon sa sumusunod na dalawang kundisyon: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
Halimbawa, arccos, dahil cos at; arccos, dahil cos at.
Ang function na y = arccos x (Fig. 3) ay tinukoy sa isang segment; ang hanay ng mga value nito ay ang segment. Sa segment, ang function na y=arccos x ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa mula p hanggang 0 (dahil ang y=cos x ay isang tuluy-tuloy at monotonically decreasing function sa segment); sa mga dulo ng segment naabot nito ang mga sukdulang halaga nito: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Tandaan na arccos 0 = . Ang graph ng function na y = arccos x (tingnan ang Fig. 3) ay simetriko sa graph ng function na y = cos x na may kaugnayan sa tuwid na linya y=x.
kanin. 3
Ipakita natin na ang pagkakapantay-pantay na arccos(-x) = p-arccos x ay hawak.
Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan 0? arccos x? R. Pagpaparami ng (-1) lahat ng bahagi ng huling dobleng hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin - p? arccos x? 0. Pagdaragdag ng p sa lahat ng bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin na 0? p-arccos x? R.
Kaya, ang mga halaga ng mga anggulo arccos(-x) at p - arccos x ay nabibilang sa parehong segment. Dahil monotonically bumababa ang cosine sa isang segment, hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang anggulo dito na may pantay na cosine. Hanapin natin ang mga cosine ng mga anggulong arccos(-x) at p-arccos x. Sa pamamagitan ng kahulugan, cos (arccos x) = - x, ayon sa mga pormula ng pagbabawas at ayon sa kahulugan mayroon tayo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Kaya, ang mga cosine ng mga anggulo ay pantay, na nangangahulugang ang mga anggulo mismo ay pantay.
Inverse sine function
Isaalang-alang natin ang function na y=sin x (Larawan 6), na sa segment [-р/2;р/2] ay tumataas, tuluy-tuloy at kumukuha ng mga halaga mula sa segment [-1; 1]. Nangangahulugan ito na sa segment [- p/2; p/2] ang inverse function ng function na y=sin x ay tinukoy.
kanin. 6
Ang kabaligtaran na pagpapaandar na ito ay tinatawag na arcsine at ipinapahiwatig na y=arcsin x. Ipakilala natin ang kahulugan ng arcsine ng isang numero.
Ang arcsine ng isang numero ay isang anggulo (o arko) na ang sine ay katumbas ng numero a at nabibilang sa segment [-р/2; p/2]; ito ay tinutukoy ng arcsin a.
Kaya, ang arcsin a ay isang anggulo na tumutugon sa mga sumusunod na kondisyon: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. Halimbawa, dahil kasalanan at [- p/2; p/2]; arcsin, dahil kasalanan = u [- p/2; p/2].
Ang function na y=arcsin x (Fig. 7) ay tinukoy sa segment [- 1; 1], ang saklaw ng mga halaga nito ay ang segment [-р/2;р/2]. Sa segment [- 1; 1] ang function na y=arcsin x ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotonically mula -p/2 hanggang p/2 (ito ay sumusunod sa katotohanan na ang function na y=sin x sa segment [-p/2; p/2] ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotoniko). Kinakailangan ang pinakamalaking halaga sa x = 1: arcsin 1 = p/2, at ang pinakamaliit sa x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Sa x = 0 ang function ay zero: arcsin 0 = 0.
Ipakita natin na ang function na y = arcsin x ay kakaiba, i.e. arcsin(-x) = - arcsin x para sa anumang x [ - 1; 1].
Sa katunayan, ayon sa kahulugan, kung |x| ?1, mayroon tayong: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Kaya, ang mga anggulo arcsin(-x) at - arcsin x nabibilang sa parehong segment [ - p/2; p/2].
Hanapin natin ang mga sines ng mga ito anggulo: sin (arcsin(-x)) = - x (sa pamamagitan ng kahulugan); dahil ang function na y=sin x ay kakaiba, pagkatapos ay sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Kaya, ang mga sine ng mga anggulo na kabilang sa parehong pagitan [-р/2; p/2], ay pantay, na nangangahulugang ang mga anggulo mismo ay pantay, i.e. arcsin (-x)= - arcsin x. Nangangahulugan ito na ang function na y=arcsin x ay kakaiba. Ang graph ng function na y=arcsin x ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Ipakita natin na ang arcsin (sin x) = x para sa anumang x [-р/2; p/2].
Sa katunayan, ayon sa kahulugan -p/2? arcsin (kasalanan x) ? p/2, at ayon sa kondisyon -p/2? x? r/2. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo x at arcsin (sin x) ay nabibilang sa parehong pagitan ng monotonicity ng function na y=sin x. Kung ang mga sine ng naturang mga anggulo ay pantay, kung gayon ang mga anggulo mismo ay pantay. Hanapin natin ang mga sine ng mga anggulong ito: para sa anggulo x mayroon tayong sin x, para sa anggulo arcsin (sin x) mayroon tayong kasalanan (arcsin(sin x)) = sin x. Natagpuan namin na ang mga sine ng mga anggulo ay pantay, samakatuwid, ang mga anggulo ay pantay, i.e. arcsin(sin x) = x. .
kanin. 7
kanin. 8
Ang graph ng function na arcsin (sin|x|) ay nakukuha ng karaniwang pagbabagong-anyo na nauugnay sa modulus mula sa graph y=arcsin (sin x) (ipinapakita ng dashed line sa Fig. 8). Ang nais na graph y=arcsin (sin |x-/4|) ay nakuha mula dito sa pamamagitan ng paglilipat ng /4 sa kanan kasama ang x-axis (ipinapakita bilang isang solidong linya sa Fig. 8)
Baliktad na pag-andar ng tangent
Ang function na y=tg x sa pagitan ay tumatagal ng lahat ng mga numerical na halaga: E (tg x)=. Sa paglipas ng pagitan na ito ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotonically. Nangangahulugan ito na ang isang function na kabaligtaran sa function na y = tan x ay tinukoy sa pagitan. Ang kabaligtaran na pag-andar na ito ay tinatawag na arctangent at ipinapahiwatig na y = arctan x.
Ang arctangent ng a ay isang anggulo mula sa isang pagitan na ang padaplis ay katumbas ng a. Kaya, ang arctg a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: tg (arctg a) = a at 0? arctg a ? R.
Kaya, ang anumang numero x ay palaging tumutugma sa isang solong halaga ng function na y = arctan x (Larawan 9).
Malinaw na ang D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Ang function na y = arctan x ay tumataas dahil ang function y = tan x ay tumataas sa pagitan. Hindi mahirap patunayan na ang arctg(-x) = - arctgx, i.e. ang arctangent na iyon ay isang kakaibang function.
kanin. 9
Ang graph ng function na y = arctan x ay simetriko sa graph ng function na y = tan x na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x, ang graph y = arctan x ay dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate (dahil arctan 0 = 0) at ay simetriko na nauugnay sa pinagmulan (tulad ng graph ng isang kakaibang function).
Mapapatunayan na ang arctan (tan x) = x kung x.
Cotangent inverse function
Ang function na y = ctg x sa isang interval ay kumukuha ng lahat ng mga numerong halaga mula sa pagitan. Ang hanay ng mga halaga nito ay tumutugma sa hanay ng lahat ng tunay na numero. Sa pagitan, ang function na y = cot x ay tuloy-tuloy at monotonically tumataas. Nangangahulugan ito na sa pagitan na ito ang isang function ay tinukoy na kabaligtaran sa function na y = cot x. Ang kabaligtaran na pag-andar ng cotangent ay tinatawag na arccotangent at ipinapahiwatig na y = arcctg x.
Ang arc cotangent ng a ay isang anggulo na kabilang sa isang interval na ang cotangent ay katumbas ng a.
Kaya, ang аrcctg a ay isang anggulo na nagbibigay-kasiyahan sa mga sumusunod na kondisyon: ctg (arcctg a)=a at 0? arcctg a ? R.
Mula sa kahulugan ng inverse function at ang kahulugan ng arctangent ito ay sumusunod na D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Ang arc cotangent ay isang nagpapababang function dahil ang function na y = ctg x ay bumababa sa pagitan.
Ang graph ng function na y = arcctg x ay hindi bumalandra sa Ox axis, dahil y > 0 R. Para sa x = 0 y = arcctg 0 =.
Ang graph ng function na y = arcctg x ay ipinapakita sa Figure 11.
kanin. 11
Tandaan na para sa lahat ng tunay na halaga ng x ang pagkakakilanlan ay totoo: arcctg(-x) = p-arcctg x.
