Ang mga karagdagang katangian ay nauugnay sa mga konsepto ng minor at algebraic complement
menor de edad Ang elemento ay tinatawag na determinant, na binubuo ng mga elementong natitira pagkatapos tumawid sa row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong ito. Ang menor de edad na elemento ng determinant ng order ay may kaayusan. Ipakikilala natin ito sa pamamagitan ng .
Halimbawa 1. Hayaan 
, Pagkatapos 
.
Ang menor de edad na ito ay nakuha mula sa A sa pamamagitan ng pagtawid sa ikalawang hanay at ikatlong hanay.
Algebraic na pandagdag elemento ay tinatawag na katumbas na minor na pinarami ng , i.e. 
, nasaan ang bilang ng row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong ito.
VIII.(Pagbulok ng determinant sa mga elemento ng isang tiyak na string). Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng isang tiyak na hilera at ang kanilang katumbas na algebraic complements.
Halimbawa 2. Hayaan 
, Pagkatapos
Halimbawa 3. Hanapin natin ang determinant ng matrix , nabubulok ito sa mga elemento ng unang hilera.
Sa pormal, ang theorem na ito at iba pang mga katangian ng mga determinant ay naaangkop lamang para sa mga determinant ng mga matrice na hindi mas mataas kaysa sa ikatlong pagkakasunud-sunod, dahil hindi namin isinasaalang-alang ang iba pang mga determinant. Ang sumusunod na kahulugan ay magbibigay-daan sa amin na palawigin ang mga katangiang ito sa mga determinant ng anumang pagkakasunud-sunod.
Determinant ng matrix utos ay isang numero na kinakalkula sa pamamagitan ng sequential application ng expansion theorem at iba pang mga katangian ng mga determinant.
Maaari mong suriin na ang resulta ng mga kalkulasyon ay hindi nakasalalay sa pagkakasunud-sunod kung saan inilapat ang mga katangian sa itaas at kung saan ang mga hilera at haligi. Gamit ang kahulugang ito, ang determinant ay natatanging natagpuan.
Bagama't ang kahulugan na ito ay hindi naglalaman ng isang tahasang pormula para sa paghahanap ng determinant, pinapayagan nito ang isa na mahanap ito sa pamamagitan ng pagbabawas nito sa mga determinant ng mga matrice na may mababang pagkakasunud-sunod. Ang mga ganitong kahulugan ay tinatawag paulit-ulit.
Halimbawa 4. Kalkulahin ang determinant: 
Bagama't maaaring ilapat ang factorization theorem sa anumang row o column ng isang ibinigay na matrix, mas kaunting kalkulasyon ang nakukuha sa pamamagitan ng factoring kasama ang column na naglalaman ng pinakamaraming zero hangga't maaari.
Dahil ang matrix ay walang zero na elemento, nakukuha namin ang mga ito gamit ang property VII. I-multiply ang unang linya nang sunud-sunod sa mga numero 
at idagdag ito sa mga linya at makakuha ng:
Palawakin natin ang nagreresultang determinant kasama ang unang column at makuha ang:
dahil ang determinant ay naglalaman ng dalawang proporsyonal na hanay.
Ang ilang mga uri ng matrice at ang kanilang mga determinant
Ang isang parisukat na matrix na may zero na elemento sa ibaba o sa itaas ng pangunahing dayagonal () ay tinatawag tatsulok.
Ang kanilang eskematiko na istraktura ay ganito ang hitsura: 
o
.
Mag-ehersisyo. Kalkulahin ang determinant sa pamamagitan ng pag-decompose nito sa mga elemento ng ilang row o ilang column.
Solusyon. Magsagawa muna tayo ng mga elementarya na pagbabago sa mga row ng determinant, na gumagawa ng pinakamaraming zero hangga't maaari sa row o sa column. Upang gawin ito, ibawas muna ang siyam na ikatlo mula sa unang linya, limang ikatlo mula sa pangalawa, at tatlong ikatlong bahagi mula sa ikaapat, nakukuha natin ang:
I-decompose natin ang nagresultang determinant sa mga elemento ng unang column:
Papalawakin din namin ang magreresultang third-order determinant sa mga elemento ng row at column, na dati nang nakakuha ng mga zero, halimbawa, sa unang column. Upang gawin ito, ibawas ang pangalawang dalawang linya mula sa unang linya, at ang pangalawang linya mula sa pangatlo:
Sagot. 
12. Slough 3rd order
1. Triangle rule
Sa eskematiko, ang panuntunang ito ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod:
Ang produkto ng mga elemento sa unang determinant na konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na linya ay kinuha gamit ang isang plus sign; katulad nito, para sa pangalawang determinant, ang mga kaukulang produkto ay kinuha na may minus sign, i.e.
2. Pamumuno ni Sarrus
Sa kanan ng determinant, idagdag ang unang dalawang hanay at kunin ang mga produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal at sa mga diagonal na kahanay nito na may plus sign; at ang mga produkto ng mga elemento ng pangalawang dayagonal at ang mga diagonal na kahanay nito, na may isang minus sign:
3. Pagpapalawak ng determinant sa isang row o column
Ang determinant ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng row ng determinant at ang kanilang mga algebraic complements. Karaniwan ang row/column na naglalaman ng mga zero ay pinipili. Ang row o column kung saan isinasagawa ang agnas ay ipahiwatig ng isang arrow.
Mag-ehersisyo. Pagpapalawak sa kahabaan ng unang hilera, kalkulahin ang determinant
Solusyon.
Sagot. 
4. Pagbabawas ng determinant sa triangular na anyo
Gamit ang mga elementarya na pagbabago sa mga hilera o column, ang determinant ay binabawasan sa isang triangular na anyo at pagkatapos ang halaga nito, ayon sa mga katangian ng determinant, ay katumbas ng produkto ng mga elemento sa pangunahing dayagonal.
Halimbawa
Mag-ehersisyo. Compute determinant 
dinadala ito sa isang tatsulok na anyo.
Solusyon. Una gumawa kami ng mga zero sa unang hanay sa ilalim ng pangunahing dayagonal. Ang lahat ng mga pagbabagong-anyo ay magiging mas madaling gawin kung ang elemento ay katumbas ng 1. Upang gawin ito, papalitan natin ang una at ikalawang hanay ng determinant, na, ayon sa mga katangian ng determinant, ay magiging sanhi upang baguhin nito ang sign nito sa kabaligtaran:
Susunod, nakakakuha kami ng mga zero sa pangalawang hanay bilang kapalit ng mga elemento sa ilalim ng pangunahing dayagonal. Muli, kung ang elemento ng dayagonal ay katumbas ng , kung gayon ang mga kalkulasyon ay magiging mas simple. Upang gawin ito, palitan ang pangalawa at pangatlong linya (at sa parehong oras ay lumipat sa kabaligtaran na tanda ng determinant):
Susunod, gumawa kami ng mga zero sa pangalawang hanay sa ilalim ng pangunahing dayagonal, upang gawin ito ay nagpapatuloy kami tulad ng sumusunod: nagdaragdag kami ng tatlong pangalawang hilera sa ikatlong hilera, at dalawang pangalawang hilera sa ikaapat, nakukuha namin:
Susunod, mula sa ikatlong linya ay kinukuha namin ang (-10) mula sa determinant at gumawa ng mga zero sa ikatlong hanay sa ilalim ng pangunahing dayagonal, at upang gawin ito, idinagdag namin ang pangatlo sa huling linya:
Pagbubuo ng problema
Ang gawain ay nangangailangan ng user na maging pamilyar sa mga pangunahing konsepto ng mga numerical na pamamaraan, tulad ng determinant at inverse matrix, at iba't ibang paraan ng pagkalkula ng mga ito. Ang teoretikal na ulat na ito ay unang nagpapakilala ng mga pangunahing konsepto at kahulugan sa simple at madaling ma-access na wika, sa batayan kung saan isinasagawa ang karagdagang pananaliksik. Maaaring walang espesyal na kaalaman ang gumagamit sa larangan ng mga numerical na pamamaraan at linear algebra, ngunit madaling magamit ang mga resulta ng gawaing ito. Para sa kalinawan, ang isang programa para sa pagkalkula ng determinant ng isang matrix gamit ang ilang mga pamamaraan, na nakasulat sa C++ programming language, ay ibinigay. Ang programa ay ginagamit bilang isang laboratory stand para sa paglikha ng mga ilustrasyon para sa ulat. Ang isang pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay isinasagawa din. Ang kawalang-silbi ng pagkalkula ng inverse matrix ay napatunayan, kaya ang trabaho ay nagbibigay ng mas pinakamainam na paraan upang malutas ang mga equation nang hindi ito kinakalkula. Ipinapaliwanag nito kung bakit napakaraming iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice at tinatalakay ang kanilang mga pagkukulang. Ang mga error sa pagkalkula ng determinant ay isinasaalang-alang din at ang nakamit na katumpakan ay tinasa. Bilang karagdagan sa mga terminong Ruso, ginagamit din ng gawain ang kanilang mga katumbas sa Ingles upang maunawaan sa ilalim ng kung anong mga pangalan ang hahanapin para sa mga numerical na pamamaraan sa mga aklatan at kung ano ang ibig sabihin ng mga parameter nito.
Mga pangunahing kahulugan at pinakasimpleng katangian
Determinant
Ipakilala natin ang kahulugan ng determinant ng isang square matrix ng anumang pagkakasunud-sunod. Ang kahulugan na ito ay magiging paulit-ulit, iyon ay, upang maitatag kung ano ang determinant ng order matrix, kailangan mong malaman na kung ano ang determinant ng order matrix. Tandaan din na ang determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice.
Ipatukoy natin ang determinant ng isang square matrix ng o det.
Kahulugan 1. Determinant parisukat na matris 
tinatawag ang pangalawang numero ng order 
.
Determinant 
square matrix ng order , ay tinatawag na numero 
saan ang determinant ng order matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal sa unang row at column na may numero .
Para sa kalinawan, isulat natin kung paano mo makalkula ang determinant ng isang fourth-order matrix: 
Magkomento. Ang aktwal na pagkalkula ng mga determinant para sa mga matrice sa itaas ng ikatlong order batay sa kahulugan ay ginagamit sa mga pambihirang kaso. Karaniwan, ang pagkalkula ay isinasagawa gamit ang iba pang mga algorithm, na tatalakayin sa ibang pagkakataon at nangangailangan ng mas kaunting computational work.
Magkomento. Sa Depinisyon 1, magiging mas tumpak na sabihin na ang determinant ay isang function na tinukoy sa hanay ng mga square matrice ng order at pagkuha ng mga halaga sa hanay ng mga numero.
Magkomento. Sa panitikan, sa halip na ang terminong "determinant", ang terminong "determinant" ay ginagamit din, na may parehong kahulugan. Mula sa salitang "determinant" lumabas ang designation det.
Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga determinant, na ating bubuuin sa anyo ng mga pahayag.
Pahayag 1. Kapag nag-transpos ng isang matrix, ang determinant ay hindi nagbabago, iyon ay, .
Pahayag 2. Ang determinant ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng mga determinants ng mga kadahilanan, iyon ay.
Pahayag 3. Kung ang dalawang row sa isang matrix ay pinagpalit, ang determinant nito ay magbabago ng sign.
Pahayag 4. Kung ang isang matrix ay may dalawang magkatulad na hanay, kung gayon ang determinant nito ay zero.
Sa hinaharap, kakailanganin nating magdagdag ng mga string at i-multiply ang isang string sa isang numero. Gagawin namin ang mga pagkilos na ito sa mga hilera (column) sa parehong paraan tulad ng mga aksyon sa row matrice (column matrice), iyon ay, elemento sa pamamagitan ng elemento. Ang resulta ay isang hilera (haligi), na, bilang panuntunan, ay hindi nag-tutugma sa mga hilera ng orihinal na matrix. Kung mayroong mga operasyon ng pagdaragdag ng mga hilera (mga haligi) at pagpaparami ng mga ito sa isang numero, maaari rin nating pag-usapan ang tungkol sa mga linear na kumbinasyon ng mga hilera (mga haligi), iyon ay, mga kabuuan na may mga numerical coefficient.
Pahayag 5. Kung ang isang hilera ng isang matrix ay pinarami ng isang numero, ang determinant nito ay i-multiply sa numerong ito.
Pahayag 6. Kung ang isang matrix ay naglalaman ng zero row, ang determinant nito ay zero.
Pahayag 7. Kung ang isa sa mga hilera ng matrix ay katumbas ng isa pa, pinarami ng isang numero (ang mga hilera ay proporsyonal), kung gayon ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero.
Pahayag 8. Hayaang ang i-th row sa matrix ay may anyo . Pagkatapos , kung saan ang matrix ay nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row , at ang matrix ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row .
Pahayag 9. Kung magdadagdag ka ng isa pang row sa isa sa mga row ng matrix, na pinarami ng isang numero, hindi magbabago ang determinant ng matrix.
Pahayag 10. Kung ang isa sa mga hilera ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga hilera nito, kung gayon ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero.
Kahulugan 2. Algebraic na pandagdag sa isang elemento ng matrix ay isang numero na katumbas ng , kung saan ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal sa i-th row at j-th column. Ang algebraic complement ng isang elemento ng matrix ay tinutukoy ng .
Halimbawa. Hayaan 
. Pagkatapos 
Magkomento. Gamit ang mga algebraic na pagdaragdag, ang kahulugan ng 1 determinant ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 
Pahayag 11. Pagpapalawak ng determinant sa isang arbitrary string.
Ang formula para sa determinant ng matrix ay 
Halimbawa. Kalkulahin 
.
Solusyon. Gamitin natin ang pagpapalawak kasama ang ikatlong linya, ito ay mas kumikita, dahil sa ikatlong linya dalawa sa tatlong numero ay mga zero. Nakukuha namin 
Pahayag 12. Para sa isang parisukat na matrix ng pagkakasunud-sunod sa, ang kaugnayan ay mayroong: 
.
Pahayag 13. Ang lahat ng mga katangian ng determinant na binuo para sa mga hilera (mga pahayag 1 - 11) ay may bisa din para sa mga column, lalo na, ang agnas ng determinant sa j-th column ay wasto 
at pagkakapantay-pantay 
sa .
Pahayag 14. Ang determinant ng isang triangular matrix ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal nito.
Bunga. Ang determinant ng identity matrix ay katumbas ng isa, .
Konklusyon. Ginagawang posible ng mga katangiang nakalista sa itaas na makahanap ng mga determinant ng mga matrice ng sapat na mataas na mga order na may medyo maliit na halaga ng mga kalkulasyon. Ang algorithm ng pagkalkula ay ang mga sumusunod.
Algorithm para sa paglikha ng mga zero sa isang column. Ipagpalagay na kailangan nating kalkulahin ang determinant ng order. Kung , pagkatapos ay palitan ang unang linya at anumang iba pang linya kung saan ang unang elemento ay hindi zero. Bilang resulta, ang determinant , ay magiging katumbas ng determinant ng bagong matrix na may kabaligtaran na tanda. Kung ang unang elemento ng bawat hilera ay katumbas ng zero, kung gayon ang matrix ay may zero na haligi at, ayon sa mga pahayag 1, 13, ang determinant nito ay katumbas ng zero.
Kaya, naniniwala kami na nasa orihinal na matrix . Iniwan namin ang unang linya na hindi nagbabago. Idagdag sa pangalawang linya ang unang linya na pinarami ng numero . Pagkatapos ang unang elemento ng pangalawang linya ay magiging katumbas ng 
.
Tinutukoy namin ang natitirang mga elemento ng bagong pangalawang hilera sa pamamagitan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa pahayag 9 ay katumbas ng . I-multiply ang unang linya sa isang numero at idagdag ito sa pangatlo. Ang unang elemento ng bagong ikatlong linya ay magiging katumbas ng 
Tinutukoy namin ang natitirang mga elemento ng bagong ikatlong hilera sa pamamagitan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa pahayag 9 ay katumbas ng .
Ipagpapatuloy namin ang proseso ng pagkuha ng mga zero sa halip na ang mga unang elemento ng mga linya. Panghuli, i-multiply ang unang linya sa isang numero at idagdag ito sa huling linya. Ang resulta ay isang matrix, sabihin natin ito, na mayroong anyo 
at . Upang kalkulahin ang determinant ng matrix, ginagamit namin ang pagpapalawak sa unang hanay
Simula noon 
Sa kanang bahagi ay ang determinant ng order matrix. Inilapat namin ang parehong algorithm dito, at ang pagkalkula ng determinant ng matrix ay mababawasan sa pagkalkula ng determinant ng order matrix. Inuulit namin ang proseso hanggang sa maabot namin ang second-order determinant, na kinakalkula ayon sa kahulugan.
Kung ang matrix ay walang anumang mga tiyak na katangian, kung gayon hindi posible na makabuluhang bawasan ang dami ng mga kalkulasyon kumpara sa iminungkahing algorithm. Ang isa pang magandang aspeto ng algorithm na ito ay madaling gamitin ito upang lumikha ng isang computer program para sa pagkalkula ng mga determinant ng mga matrice ng malalaking order. Ginagamit ng mga karaniwang programa para sa pagkalkula ng mga determinant ang algorithm na ito na may mga maliliit na pagbabago na nauugnay sa pagliit ng impluwensya ng mga error sa pag-round at mga error sa input ng data sa mga kalkulasyon ng computer.
Halimbawa. Compute determinant ng matrix 
.
Solusyon. Iniwan namin ang unang linya na hindi nagbabago. Sa pangalawang linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:
Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:
Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ika-apat na linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero:
Ang determinant ay hindi nagbabago. Bilang resulta nakukuha namin 
Gamit ang parehong algorithm, kinakalkula namin ang determinant ng matrix ng order 3, na matatagpuan sa kanan. Iniwan namin ang unang linya na hindi nagbabago, idagdag ang unang linya na pinarami ng numero sa pangalawang linya 
:
Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero 
:
Bilang resulta nakukuha namin 
Sagot. .
Magkomento. Kahit na ang mga praksiyon ay ginamit sa mga kalkulasyon, ang resulta ay naging isang buong numero. Sa katunayan, gamit ang mga katangian ng mga determinant at ang katotohanan na ang mga orihinal na numero ay mga integer, ang mga operasyong may mga fraction ay maaaring iwasan. Ngunit sa pagsasanay sa engineering, ang mga numero ay napakabihirang integer. Samakatuwid, bilang panuntunan, ang mga elemento ng determinant ay magiging mga decimal fraction at hindi naaangkop na gumamit ng anumang mga trick upang pasimplehin ang mga kalkulasyon.
baligtad na matris
Kahulugan 3. Ang matrix ay tinatawag baligtad na matris para sa isang square matrix, kung .
Mula sa kahulugan, sumusunod na ang inverse matrix ay magiging isang parisukat na matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix (kung hindi, isa sa mga produkto o hindi matukoy).
Ang kabaligtaran ng isang matrix ay tinutukoy ng . Kaya, kung mayroon, kung gayon .
Mula sa kahulugan ng isang kabaligtaran na matris ito ay sumusunod na ang matris ay ang kabaligtaran ng matris, iyon ay, . Masasabi natin ang tungkol sa mga matrice na sila ay inverse sa isa't isa o mutually inverse.
Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon ang kabaligtaran nito ay hindi umiiral.
Dahil upang mahanap ang inverse matrix mahalaga kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero o hindi, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan.
Kahulugan 4. Tawagan natin ang square matrix mabulok o espesyal na matris, kung hindi nabubulok o non-singular matrix, Kung .
Pahayag. Kung ang inverse matrix ay umiiral, kung gayon ito ay natatangi.
Pahayag. Kung ang isang parisukat na matrix ay hindi isahan, kung gayon ang kabaligtaran nito ay umiiral at 
(1) nasaan ang mga algebraic na pandagdag sa mga elemento.
Teorama. Ang isang inverse matrix para sa isang square matrix ay umiiral kung at kung ang matrix ay hindi isahan, ang inverse matrix ay natatangi, at ang formula (1) ay wasto.
Magkomento. Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa mga lugar na inookupahan ng mga algebraic na pagdaragdag sa inverse matrix formula: ang unang index ay nagpapakita ng numero hanay, at ang pangalawa ay ang numero mga linya, kung saan kailangan mong isulat ang kalkuladong algebraic na karagdagan.
Halimbawa. 
.
Solusyon. Paghahanap ng determinant
Dahil , kung gayon ang matrix ay hindi degenerate, at ang kabaligtaran nito ay umiiral. Paghahanap ng mga algebraic na pandagdag: 
Binubuo namin ang kabaligtaran na matrix, inilalagay ang nahanap na mga pagdaragdag ng algebraic upang ang unang index ay tumutugma sa haligi, at ang pangalawa sa hilera: 
(2)
Ang resultang matrix (2) ay nagsisilbing sagot sa problema.
Magkomento. Sa nakaraang halimbawa, magiging mas tumpak na isulat ang sagot tulad nito: 
(3)
Gayunpaman, ang notasyon (2) ay mas compact at mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga kalkulasyon dito, kung kinakailangan. Samakatuwid, mas mainam na isulat ang sagot sa anyong (2) kung ang mga elemento ng matrix ay mga integer. At kabaligtaran, kung ang mga elemento ng matrix ay mga decimal fraction, kung gayon mas mahusay na isulat ang kabaligtaran na matrix nang walang kadahilanan sa harap.
Magkomento. Kapag nahanap ang inverse matrix, kailangan mong magsagawa ng napakaraming kalkulasyon at ang panuntunan para sa pag-aayos ng mga algebraic na karagdagan sa huling matrix ay hindi karaniwan. Samakatuwid, mayroong isang mataas na posibilidad ng pagkakamali. Upang maiwasan ang mga error, dapat mong suriin ang: kalkulahin ang produkto ng orihinal na matrix at ang huling matrix sa isang pagkakasunud-sunod o iba pa. Kung ang resulta ay isang identity matrix, kung gayon ang inverse matrix ay natagpuan nang tama. Kung hindi, kailangan mong maghanap ng error.
Halimbawa. Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix 
.
Solusyon.
- umiiral.
Sagot: 
.
Konklusyon. Ang paghahanap ng inverse matrix gamit ang formula (1) ay nangangailangan ng masyadong maraming kalkulasyon. Para sa mga matrice ng ika-apat na order at mas mataas, ito ay hindi katanggap-tanggap. Ang aktwal na algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ibibigay sa ibang pagkakataon.
Kinakalkula ang determinant at inverse matrix gamit ang Gaussian method
Ang Gaussian method ay maaaring gamitin upang mahanap ang determinant at inverse matrix.
Ibig sabihin, ang determinant ng matrix ay katumbas ng det.
Ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Gaussian elimination method:
Nasaan ang j-th column ng identity matrix, ay ang gustong vector.
Ang mga resultang vectors ng solusyon ay malinaw na bumubuo ng mga haligi ng matrix, dahil .
Mga formula para sa determinant
1. Kung ang matrix ay hindi isahan, kung gayon at (produkto ng mga nangungunang elemento).
Alalahanin natin ang teorama ni Laplace:
Ang teorama ni Laplace:
Hayaang piliin ang k row (o k column) sa determinant d ng order n, . Pagkatapos ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng kth order minors na nakapaloob sa mga napiling row at ang kanilang mga algebraic complement ay katumbas ng determinant d.
Upang kalkulahin ang mga determinant, sa pangkalahatang kaso, ang k ay kinuha katumbas ng 1. Iyon ay, sa determinant d ng order n, isang row (o column) ang arbitraryong pinili. Pagkatapos ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng elementong nakapaloob sa napiling row (o column) at ang kanilang mga algebraic complements ay katumbas ng determinant d.
Halimbawa:
Compute determinant 
Solusyon:
Pumili tayo ng arbitrary na row o column. Para sa isang kadahilanan na magiging malinaw sa ibang pagkakataon, lilimitahan namin ang aming pagpipilian sa alinman sa ikatlong hanay o ikaapat na hanay. At huminto tayo sa ikatlong linya.
Gamitin natin ang theorem ni Laplace.
Ang unang elemento ng napiling row ay 10, lumilitaw ito sa ikatlong row at unang column. Kalkulahin natin ang algebraic complement dito, i.e. Hanapin natin ang determinant na nakuha sa pamamagitan ng pagtawid sa column at row kung saan nakatayo ang elementong ito (10) at alamin ang sign.
“plus kung ang kabuuan ng mga numero ng lahat ng row at column kung saan matatagpuan ang minor M ay pantay, at minus kung kakaiba ang kabuuan na ito.”
At kinuha namin ang menor de edad, na binubuo ng isang solong elemento 10, na nasa unang hanay ng ikatlong hilera.
Kaya: 
Ang ikaapat na termino ng kabuuan na ito ay 0, kaya naman sulit na pumili ng mga row o column na may maximum na bilang ng mga zero na elemento.
Sagot: -1228
Halimbawa:
Kalkulahin ang determinant: 
Solusyon:
Piliin natin ang unang column, dahil... dalawang elemento sa loob nito ay katumbas ng 0. Palawakin natin ang determinant sa unang hanay. 
Pinapalawak namin ang bawat isa sa mga determinant ng third-order sa unang pangalawang row 
Pinapalawak namin ang bawat isa sa mga determinant ng pangalawang order sa unang column 
Sagot: 48
Komento: kapag nilutas ang problemang ito, ang mga formula para sa pagkalkula ng mga determinant ng ika-2 at ika-3 na order ay hindi ginamit. row o column decomposition lang ang ginamit. Na humahantong sa pagbaba sa pagkakasunud-sunod ng mga determinant.
