Ang graph ng isang function ng 2 variable na z = f(x,y) ay isang surface na naka-project sa XOY plane sa domain ng kahulugan ng function na D.
Isaalang-alang ang ibabaw σ , na ibinigay ng equation na z = f(x,y), kung saan ang f(x,y) ay isang differentiable function, at hayaan ang M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) na maging fixed point sa surface σ, i.e. z 0 = f(x 0 ,y 0). Layunin. Ang online na calculator ay idinisenyo upang mahanap tangent plane at surface normal na equation. Ang solusyon ay iginuhit sa format na Word. Kung kailangan mong hanapin ang equation ng isang tangent sa isang curve (y = f(x)), kailangan mong gamitin ang serbisyong ito.

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga function:

Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga function:

Padaplis na eroplano sa ibabaw σ sa punto niya M Ang 0 ay ang eroplano kung saan ang mga tangent sa lahat ng mga kurba na iginuhit sa ibabaw ay namamalagi σ sa pamamagitan ng punto M 0 .
Ang equation ng tangent plane sa ibabaw na tinukoy ng equation na z = f(x,y) sa puntong M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ay may anyo:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Ang vector ay tinatawag na surface normal vector σ sa punto M 0. Ang normal na vector ay patayo sa tangent plane.
Normal sa ibabaw σ sa punto M 0 ay isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at may direksyon ng vector N.
Ang mga kanonikal na equation ng normal sa ibabaw na tinukoy ng equation na z = f(x,y) sa puntong M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), kung saan z 0 = f(x 0 ,y 0), magkaroon ng form:

Halimbawa Blg. 1. Ang ibabaw ay ibinibigay ng equation x 3 +5y. Hanapin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa puntong M 0 (0;1).
Solusyon. Isulat natin ang mga tangent equation sa pangkalahatang anyo: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0 )
Ayon sa mga kondisyon ng problema, x 0 = 0, y 0 = 1, pagkatapos z 0 = 5
Hanapin natin ang mga partial derivatives ng function z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Sa puntong M 0 (0,1) ang mga halaga ng mga partial derivatives ay:
f" x (0;1) = 0
f" y (0;1) = 5
Gamit ang formula, nakukuha natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) o -5 y+z = 0

Halimbawa Blg. 2. Ang ibabaw ay implicitly na tinukoy y 2 -1/2*x 3 -8z. Hanapin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa puntong M 0 (1;0;1).
Solusyon. Paghahanap ng mga partial derivatives ng isang function. Dahil ang function ay implicitly na tinukoy, naghahanap kami ng mga derivatives gamit ang formula:

Para sa aming function:

Pagkatapos:

Sa puntong M 0 (1,0,1) na mga halaga ng mga partial derivatives:
f" x (1;0;1) = -3 / 16
f" y (1;0;1) = 0
Gamit ang formula, nakukuha natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa punto M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) o 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Halimbawa. Ibabaw σ ibinigay ng equation z= y/x + xy – 5x 3. Hanapin ang equation ng tangent plane at normal sa ibabaw σ sa punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), na pagmamay-ari niya, kung x 0 = –1, y 0 = 2.
Hanapin natin ang mga partial derivatives ng function z= f(x,y) = y/x + xy – 5x 3:
f x '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
f y '( x,y) = (y/x + xy – 5x 3)’ y = 1/x + x.
Dot M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ay kabilang sa ibabaw σ , para makalkula natin z 0 , pinapalitan ang ibinigay x 0 = –1 at y 0 = 2 sa surface equation:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Sa punto M 0 (–1, 2, 1) mga bahagyang derivative na halaga:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Gamit ang formula (5) nakukuha natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw σ sa punto M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(y – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2y + z + 10 = 0.
Gamit ang formula (6) nakukuha natin ang mga canonical equation ng normal sa ibabaw σ sa punto M 0: .
Mga sagot: tangent plane equation: 15 x + 2y + z+ 10 = 0; normal na equation: .

Halimbawa Blg. 1. Nabigyan ng function na z=f(x,y) at dalawang puntos A(x 0, y 0) at B(x 1, y 1). Kinakailangan: 1) kalkulahin ang halaga z 1 ng function sa punto B; 2) kalkulahin ang tinatayang halaga z 1 ng function sa punto B batay sa halaga z 0 ng function sa punto A, na pinapalitan ang pagtaas ng function kapag lumilipat mula sa punto A hanggang sa punto B na may kaugalian; 3) lumikha ng equation para sa tangent plane sa ibabaw z = f(x,y) sa punto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Solusyon.
Isulat natin ang mga tangent equation sa pangkalahatang anyo:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Ayon sa mga kondisyon ng problema, x 0 = 1, y 0 = 2, pagkatapos z 0 = 25
Hanapin natin ang mga partial derivatives ng function z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Sa puntong M 0 (1,2) ang mga halaga ng mga partial derivatives ay:
f" x (1;2) = 26
f" y (1;2) = 36
Gamit ang formula, nakuha namin ang equation ng tangent plane sa ibabaw sa punto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
o
-26 x-36 y+z+73 = 0

Halimbawa Blg. 2. Isulat ang mga equation ng tangent plane at normal sa elliptic paraboloid z = 2x 2 + y 2 sa punto (1;-1;3).

Magkaroon tayo ng isang ibabaw na tinukoy ng isang equation ng form

Ipakilala natin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1. Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na padaplis sa ibabaw sa isang punto kung ito ay

padaplis sa anumang kurba na nakahiga sa ibabaw at dumadaan sa punto.

Dahil ang isang walang katapusang bilang ng iba't ibang mga kurba na nakahiga sa ibabaw ay dumadaan sa puntong P, kung gayon, sa pangkalahatan, magkakaroon ng walang katapusang bilang ng mga tangent sa ibabaw na dumadaan sa puntong ito.

Ipakilala natin ang konsepto ng isahan at ordinaryong mga punto ng isang ibabaw

Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay katumbas ng zero o hindi bababa sa isa sa mga derivatives na ito ay wala, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang singular na punto ng ibabaw. Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay umiiral at tuluy-tuloy, at hindi bababa sa isa sa mga ito ay naiiba mula sa zero, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang ordinaryong punto ng ibabaw.

Ngayon ay maaari nating bumalangkas ang sumusunod na teorama.

Teorama. Ang lahat ng mga tangent na linya sa isang ibinigay na ibabaw (1) sa ordinaryong puntong P ay nasa parehong eroplano.

Patunay. Isaalang-alang natin ang isang tiyak na linya L sa ibabaw (Larawan 206) na dumadaan sa isang ibinigay na punto P ng ibabaw. Hayaang ibigay ang curve na isinasaalang-alang ng mga parametric equation

Ang padaplis sa kurba ay magiging tangent sa ibabaw. Ang mga equation ng tangent na ito ay may anyo

Kung ang mga expression (2) ay pinapalitan sa equation (1), ang equation na ito ay magiging isang pagkakakilanlan na may paggalang sa t, dahil ang curve (2) ay nasa ibabaw (1). Differentiating ito sa pamamagitan ng makuha natin

Ang mga projection ng vector na ito ay nakasalalay sa - ang mga coordinate ng point P; tandaan na dahil ang point P ay ordinaryo, ang mga projection na ito sa point P ay hindi sabay-sabay na nawawala at samakatuwid

padaplis sa isang kurba na dumadaan sa punto P at nakahiga sa ibabaw. Ang mga projection ng vector na ito ay kinakalkula batay sa mga equation (2) sa halaga ng parameter t na tumutugma sa point P.

Kalkulahin natin ang scalar product ng mga vectors N at kung saan ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng projection ng parehong pangalan:

Batay sa pagkakapantay-pantay (3), ang expression sa kanang bahagi ay katumbas ng zero, samakatuwid,

Mula sa huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod na ang vector LG at ang tangent vector sa curve (2) sa puntong P ay patayo. Ang pangangatwiran sa itaas ay wasto para sa anumang kurba (2) na dumadaan sa punto P at nakahiga sa ibabaw. Dahil dito, ang bawat tangent sa ibabaw sa puntong P ay patayo sa parehong vector N at samakatuwid ang lahat ng mga tangent na ito ay namamalagi sa parehong eroplano na patayo sa vector LG. Ang teorama ay napatunayan.

Depinisyon 2. Ang eroplano kung saan matatagpuan ang lahat ng tangent na linya sa mga linya sa ibabaw na dumadaan sa ibinigay nitong puntong P ay tinatawag na tangent plane sa ibabaw sa puntong P (Fig. 207).

Tandaan na sa mga singular na punto ng ibabaw ay maaaring walang tangent na eroplano. Sa ganitong mga punto, ang mga padaplis na linya sa ibabaw ay maaaring hindi nasa parehong eroplano. Halimbawa, ang vertex ng isang conical surface ay isang singular point.

Ang mga tangent sa conical surface sa puntong ito ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (sila mismo ay bumubuo ng conical surface).

Isulat natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw (1) sa isang ordinaryong punto. Dahil ang eroplanong ito ay patayo sa vector (4), samakatuwid, ang equation nito ay may anyo

Kung ang equation ng ibabaw ay ibinigay sa anyo o ang equation ng tangent plane sa kasong ito ay kukuha ng anyo

Magkomento. Kung ilalagay natin ang formula (6), ang formula na ito ay kukuha ng form

ang kanang bahagi nito ay ang kumpletong pagkakaiba ng function. Kaya naman, . Kaya, ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable sa isang punto na tumutugma sa mga pagtaas ng mga independiyenteng variable na x at y ay katumbas ng katumbas na pagtaas ng applicate ng tangent plane sa ibabaw, na siyang graph ng function na ito.

Depinisyon 3. Ang isang tuwid na linya na iginuhit sa pamamagitan ng isang punto sa ibabaw (1) patayo sa tangent na eroplano ay tinatawag na normal sa ibabaw (Larawan 207).

Isulat natin ang mga normal na equation. Dahil ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng vector N, ang mga equation nito ay magkakaroon ng anyo

Kahulugan 1 : Ang tangent plane sa ibabaw sa isang naibigay na punto P (x 0, y 0, z 0) ay isang eroplanong dumadaan sa punto P at naglalaman ng lahat ng mga tangent na itinayo sa punto P sa lahat ng posibleng kurba sa ibabaw na ito na dumadaan sa punto P.

Hayaang ibigay ang surface s ng equation F (X, sa, z) = 0 at punto P (x 0 , y 0 , z 0) ay kabilang sa ibabaw na ito. Pumili tayo ng ilang kurba sa ibabaw L, dumadaan sa punto R.

Hayaan X = X(t), sa = sa(t), z = z(t) - parametric equation ng linya L.

Ipagpalagay natin na: 1) function F(X, sa, z) ay naiba sa punto R at hindi lahat ng mga partial derivatives nito sa puntong ito ay katumbas ng zero; 2) mga function X(t), sa(t), z(t) ay naiba-iba din.

Dahil ang curve ay kabilang sa surface s, ang mga coordinate ng anumang punto sa curve na ito, na inihahalili sa equation ng surface, ay gagawin itong isang pagkakakilanlan. Kaya, ang magkatulad na pagkakapantay-pantay ay totoo: F [x(t), sa(t), z (t)]= 0.

Pag-iiba ng pagkakakilanlang ito na may paggalang sa variable t, gamit ang chain rule, nakakakuha tayo ng bagong magkaparehong pagkakapantay-pantay, valid sa lahat ng punto ng curve, kasama na sa punto P (x 0 , y 0 , z 0):

Hayaang tumutugma ang punto P sa halaga ng parameter t 0, iyon ay x 0 = x (t 0), y 0 = y (t 0), z 0 = z (t 0). Pagkatapos ay kinakalkula ang huling kaugnayan sa punto R, kukuha ng form

Ang formula na ito ay ang scalar product ng dalawang vectors. Ang una ay isang pare-parehong vector

independyente sa pagpili ng kurba sa ibabaw.

Ang pangalawang vector ay padaplis sa punto R sa linya L, na nangangahulugang ito ay nakasalalay sa pagpili ng linya sa ibabaw, iyon ay, ito ay isang variable na vector.

Sa ipinakilalang notasyon, ang pagkakapantay-pantay ay:

isulat muli natin kung paano.

Ang kahulugan nito ay ito: ang scalar product ay katumbas ng zero, samakatuwid, ang mga vectors ay patayo. Pagpili ng lahat ng posibleng curve na dumadaan sa isang punto R sa surface s, magkakaroon tayo ng iba't ibang tangent vectors na itinayo sa punto R sa mga linyang ito; ang vector ay hindi nakasalalay sa pagpipiliang ito at magiging patayo sa alinman sa mga ito, iyon ay, ang lahat ng mga tangent vector ay matatagpuan sa parehong eroplano, na, sa pamamagitan ng kahulugan, ay tangent sa ibabaw s, at ang punto R sa kasong ito ito ay tinatawag na tangent point. Ang vector ay ang surface normal na vector ng direksyon.

Kahulugan 2: Ang normal sa surface s sa point P ay isang tuwid na linya na dumadaan sa point P at patayo sa tangent plane na itinayo sa puntong ito.

Napatunayan namin ang pagkakaroon ng isang tangent na eroplano, at, dahil dito, isang normal sa ibabaw. Isulat natin ang kanilang mga equation:

Equation ng tangent plane na binuo sa point P (x0, y0, z0) sa surface s na ibinigay ng equation na F(x, y, z) = 0;

Equation ng normal na itinayo sa isang punto R sa ibabaw s.

Halimbawa: Hanapin ang equation ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabola:

z 2 = 2p (y +2)

sa paligid ng y axis, kalkulahin kung ang punto M(3, 1, - 3) nabibilang sa ibabaw. Hanapin ang mga equation ng normal at tangent na eroplano sa ibabaw sa punto M.

Solusyon. Gamit ang panuntunan para sa pagsulat ng ibabaw ng pag-ikot, nakukuha namin ang:

z 2 + x 2 = 2p (y +2) .

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng point M sa equation na ito, kinakalkula namin ang halaga ng parameter p: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . Itinatala namin ang huling pagtingin sa ibabaw ng rebolusyon na dumadaan sa punto M:

z 2 + x 2 = 6(y +2).

Ngayon ay mahahanap natin ang mga equation ng normal at tangent na eroplano gamit ang mga formula, kung saan una nating kinakalkula ang mga bahagyang derivatives ng function:

F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (y +2):

Pagkatapos ang equation ng tangent plane ay kumukuha ng form 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 o x - y - z - 5 = 0;

1°

1°. Mga equation ng tangent plane at normal para sa kaso ng tahasang kahulugan ng ibabaw.

Isaalang-alang natin ang isa sa mga geometric na aplikasyon ng mga partial derivatives ng isang function ng dalawang variable. Hayaan ang function z = f (x ;y) differentiable sa punto (x 0; y 0) ilang lugar DÎ R 2. Gupitin natin ang ibabaw S, kumakatawan sa function z, mga eroplano x = x 0 At y = y 0(Larawan 11).

Eroplano X = x 0 bumabagtas sa ibabaw S sa ilang linya z 0 (y ), ang equation na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa expression ng orihinal na function z ==f (x ;y) sa halip na X numero x 0 . Dot M 0 (x 0 ;y 0,f (x 0 ;y 0)) nabibilang sa kurba z 0 (y). Dahil sa differentiable function z sa punto M 0 function z 0 (y) ay din differentiable sa punto y =y 0 . Samakatuwid, sa puntong ito sa eroplano x = x 0 sa kurba z 0 (y) maaaring iguhit ang isang padaplis l 1.

Pagsasagawa ng katulad na pangangatwiran para sa seksyon sa = y 0, bumuo tayo ng tangent l 2 sa kurba z 0 (x) sa punto X = x 0 - Direkta 1 1 At 1 2 tukuyin ang tinatawag na eroplano padaplis na eroplano sa ibabaw S sa punto M 0.

Gawin natin ang equation nito. Dahil ang eroplano ay dumaan sa punto Mo(x 0 ;y 0 ;z 0), kung gayon ang equation nito ay maaaring isulat bilang

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

na maaaring muling isulat tulad nito:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(paghahati sa equation sa pamamagitan ng -C at denoting ).

Hahanapin natin A 1 at B1.

Tangent equation 1 1 At 1 2 kamukha

ayon sa pagkakabanggit.

Tangent l 1 nakahiga sa eroplano a , samakatuwid, ang mga coordinate ng lahat ng mga punto l 1 satisfy equation (1). Ang katotohanang ito ay maaaring isulat sa anyo ng isang sistema

Ang paglutas ng sistemang ito na may paggalang sa B 1, nakuha natin iyon. Nagsasagawa ng katulad na pangangatwiran para sa padaplis l 3, madaling itatag iyon.

Pagpapalit ng mga halaga A 1 at B 1 sa equation (1), nakukuha namin ang kinakailangang tangent plane equation:

Linya na dumadaan sa isang punto M 0 at patayo sa tangent plane na itinayo sa puntong ito sa ibabaw ay tinatawag nito normal.

Gamit ang kondisyon ng perpendicularity ng linya at ng eroplano, madaling makuha ang canonical normal equation:

Magkomento. Ang mga formula para sa tangent na eroplano at normal sa ibabaw ay nakuha para sa ordinaryong, ibig sabihin, hindi espesyal, mga punto ng ibabaw. Dot M 0 ibabaw ay tinatawag espesyal, kung sa puntong ito lahat ng partial derivatives ay katumbas ng zero o kahit isa sa mga ito ay wala. Hindi namin isinasaalang-alang ang gayong mga punto.

Halimbawa. Sumulat ng mga equation para sa tangent plane at normal sa ibabaw sa punto nito M(2; -1; 1).

Solusyon. Hanapin natin ang mga bahagyang derivatives ng function na ito at ang kanilang mga halaga sa punto M

Mula dito, ang paglalapat ng mga formula (2) at (3), magkakaroon tayo ng: z-1=2(x-2)+2(y+1) o 2х+2у-z-1=0- tangent plane equation at - normal na mga equation.

2°. Mga equation ng tangent plane at normal para sa kaso ng implicit na kahulugan ng ibabaw.

Kung ang ibabaw S ibinigay ng equation F (x ; y;z)= 0, pagkatapos ay ang mga equation (2) at (3), na isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga partial derivatives ay matatagpuan bilang mga derivatives ng isang implicit function.

Normal na equation ng eroplano

1.

4.

Tangent plane at surface normal

Hayaang maibigay ang ilang ibabaw, ang A ay isang nakapirming punto ng ibabaw at ang B ay isang variable na punto ng ibabaw,

(Larawan 1).

Hindi zero na vector

→

n

tinawag normal na vector sa ibabaw sa punto A, kung

lim B → A j = π 2 .

Ang surface point F (x, y, z) = 0 ay tinatawag na ordinaryo kung sa puntong ito

1. ang mga partial derivatives F " x , F " y , F " z ay tuluy-tuloy;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Kung hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ang nilabag, ang surface point ay tinatawag espesyal na punto ng ibabaw .

Teorama 1. Kung ang M(x 0 , y 0 , z 0 ) ay isang ordinaryong punto ng ibabaw F (x , y , z) = 0 , pagkatapos ay ang vector

→ n = grad F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → i + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

ay normal sa ibabaw na ito sa puntong M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Patunay ibinigay sa aklat ni I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova `` Kurso ng mas mataas na matematika: Integral calculus. Mga pag-andar ng ilang mga variable. Differential equation. M.: Publishing house MPEI, 2002 (p. 128).

Normal sa ibabaw sa ilang mga punto ay may isang tuwid na linya na ang vector ng direksyon ay normal sa ibabaw sa puntong ito at na dumadaan sa puntong ito.

Canonical normal na equation maaaring katawanin sa anyo

x − x 0 F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Tangent na eroplano sa ibabaw sa isang tiyak na punto ay isang eroplano na dumadaan sa puntong ito patayo sa normal sa ibabaw sa puntong ito.

Mula sa kahulugang ito ay sinusundan iyon tangent plane equation ay may anyo:

(3)

Kung ang isang punto sa ibabaw ay singular, kung gayon sa puntong iyon ang vector na normal sa ibabaw ay maaaring wala, at, samakatuwid, ang ibabaw ay maaaring walang normal at isang tangent na eroplano.

Geometric na kahulugan ng kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable

Hayaan ang function na z = f (x, y) na maging differentiable sa puntong a (x 0, y 0). Ang graph nito ay ang ibabaw

f (x, y) − z = 0.

Ilagay natin ang z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Pagkatapos ay ang punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) ay kabilang sa ibabaw.

Ang mga partial derivatives ng function F (x, y, z) = f (x, y) − z ay

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

at sa puntong A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sila ay tuluy-tuloy;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Samakatuwid, ang A ay isang ordinaryong punto ng ibabaw F (x, y, z) at sa puntong ito mayroong isang tangent na eroplano sa ibabaw. Ayon sa (3), ang tangent plane equation ay may anyo:

f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 ) − (z − z 0 ) = 0.

Ang patayong displacement ng isang punto sa tangent plane kapag lumilipat mula sa point a (x 0, y 0) patungo sa isang arbitrary point p (x, y) ay B Q (Fig. 2). Ang kaukulang pagtaas ng mga aplikante ay

(z − z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )

Dito sa kanang bahagi ay may pagkakaiba d z function z = f (x, y) sa punto a (x 0, x 0). Kaya naman,
d f (x 0 , y 0 ). ay ang pagtaas ng applicate ng isang tangent plane point sa graph ng function na f (x, y) sa punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Mula sa kahulugan ng isang kaugalian, sumusunod na ang distansya sa pagitan ng punto P sa graph ng isang function at point Q sa tangent plane ay isang infinitesimal ng isang mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa distansya mula sa punto p hanggang point a.