Distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano: kahulugan at mga halimbawa ng paghahanap. Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Ang paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay isang karaniwang problema na lumilitaw kapag nilutas ang iba't ibang mga problema ng analytical geometry; halimbawa, ang problemang ito ay maaaring bawasan sa paghahanap ng distansya sa pagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya o sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano na parallel sa ito.

Isaalang-alang ang eroplanong $β$ at isang puntong $M_0$ na may mga coordinate na $(x_0;y_0; z_0)$ na hindi kabilang sa eroplanong $β$.

Kahulugan 1

Ang pinakamaikling distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano ay ang patayong iginuhit mula sa puntong $M_0$ hanggang sa eroplanong $β$.

Figure 1. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang eroplano. Author24 - online exchange ng mga gawa ng mag-aaral

Sa ibaba ay tinatalakay natin kung paano hanapin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano gamit ang coordinate method.

Derivation ng formula para sa coordinate na paraan ng paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano sa kalawakan

Isang patayo mula sa puntong $M_0$ na nagsasalubong sa eroplanong $β$ sa puntong $M_1$ na may mga coordinate na $(x_1;y_1; z_1)$ ay nasa isang tuwid na linya na ang vector ng direksyon ay ang normal na vector ng eroplano na $β$. Sa kasong ito, ang haba ng unit vector $n$ ay katumbas ng isa. Alinsunod dito, ang distansya mula sa $β$ hanggang sa puntong $M_0$ ay magiging:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, kung saan ang $\vec(M_1M_0)$ ay ang normal na vector ng $β$ plane, at $\vec( n)$ ay ang unit normal na vector ng eroplanong isinasaalang-alang.

Sa kaso kapag ang equation ng eroplano ay ibinigay sa pangkalahatang anyo na $Ax+ By + Cz + D=0$, ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano ay ang mga coefficient ng equation na $\(A;B;C\ )$, at ang unit normal na vector sa kasong ito ay may mga coordinate , na kinakalkula gamit ang sumusunod na equation:

$\vec(n)= \frac($A;B;C$)(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Ngayon ay mahahanap na natin ang mga coordinate ng normal na vector $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= $x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1$\kaliwa(3\kanan)$.

Ipinapahayag din namin ang koepisyent na $D$ gamit ang mga coordinate ng isang punto na nasa $β$ na eroplano:

$D= Ax_1+Ni_1+Cz_1$

Ang mga coordinate ng unit normal na vector mula sa pagkakapantay-pantay na $(2)$ ay maaaring ipalit sa equation ng $β$ plane, pagkatapos ay mayroon tayong:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\kaliwa(4\kanan)$

Ang pagkakapantay-pantay na $(4)$ ay isang pormula para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano sa kalawakan.

Pangkalahatang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa puntong $M_0$ hanggang sa isang eroplano

Kung ang equation ng eroplano ay hindi ibinigay sa pangkalahatang anyo, kailangan mo munang bawasan ito sa pangkalahatang anyo.
Pagkatapos nito, kinakailangang ipahayag mula sa pangkalahatang equation ng eroplano ang normal na vector ng isang naibigay na eroplano sa pamamagitan ng puntong $M_0$ at isang puntong kabilang sa isang partikular na eroplano, para dito kailangan nating gamitin ang pagkakapantay-pantay na $(3)$ .
Ang susunod na yugto ay naghahanap ng mga coordinate ng unit normal na vector ng eroplano gamit ang formula na $(2)$.
Sa wakas, maaari mong simulang hanapin ang distansya mula sa punto hanggang sa eroplano, ito ay ginagawa sa pamamagitan ng pagkalkula ng scalar product ng mga vectors na $\vec(n)$ at $\vec(M_1M_0)$.

Pagtukoy sa distansya sa pagitan ng: 1 - punto at eroplano; 2 - tuwid at patag; 3 - mga eroplano; 4 - ang pagtawid sa mga tuwid na linya ay isinasaalang-alang nang magkasama, dahil ang algorithm ng solusyon para sa lahat ng mga problemang ito ay mahalagang pareho at binubuo ng mga geometric na konstruksyon na kailangang gawin upang matukoy ang distansya sa pagitan ng isang naibigay na punto A at eroplano α. Kung mayroong anumang pagkakaiba, ito ay binubuo lamang sa katotohanan na sa mga kaso 2 at 3, bago simulan ang paglutas ng problema, dapat mong markahan ang isang di-makatwirang punto A sa tuwid na linya m (kaso 2) o eroplano β (kaso 3). mga distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya, inilalagay muna namin ang mga ito sa magkatulad na mga eroplano α at β at pagkatapos ay tinutukoy ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong ito.

Isaalang-alang natin ang bawat isa sa mga nabanggit na kaso ng paglutas ng problema.

1. Pagtukoy sa distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano.

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay tinutukoy ng haba ng isang patayo na bahagi na iginuhit mula sa isang punto patungo sa eroplano.

Samakatuwid, ang solusyon sa problemang ito ay binubuo ng sunud-sunod na pagsasagawa ng mga sumusunod na graphical na operasyon:

1) mula sa punto A ibinababa namin ang patayo sa eroplano α (Larawan 269);

2) hanapin ang punto M ng intersection ng patayo na ito sa eroplanong M = a ∩ α;

3) tukuyin ang haba ng segment.

Kung ang eroplanong α ay nasa pangkalahatang posisyon, kung gayon upang ibaba ang isang patayo sa eroplanong ito, kinakailangan munang matukoy ang direksyon ng pahalang at pangharap na mga projection ng eroplanong ito. Ang paghahanap ng tagpuan ng patayo na ito sa eroplano ay nangangailangan din ng mga karagdagang geometric na konstruksyon.

Ang solusyon sa problema ay pinasimple kung ang eroplano α ay sumasakop sa isang partikular na posisyon na may kaugnayan sa mga projection na eroplano. Sa kasong ito, ang parehong projection ng patayo at ang paghahanap ng punto ng pagpupulong nito sa eroplano ay isinasagawa nang walang anumang karagdagang mga auxiliary constructions.

HALIMBAWA 1. Tukuyin ang distansya mula sa point A hanggang sa frontally projecting plane α (Fig. 270).

SOLUSYON. Sa pamamagitan ng A" iginuhit namin ang pahalang na projection ng perpendicular l" ⊥ h 0α, at sa pamamagitan ng A" - ang frontal projection nito l" ⊥ f 0α. Minarkahan namin ang puntong M" = l" ∩ f 0α . Simula AM || π 2, pagkatapos ay [A" M"] == |AM| = d.

Mula sa halimbawang isinasaalang-alang, ito ay malinaw kung gaano kasimple ang problema ay nalutas kapag ang eroplano ay sumasakop sa isang projecting na posisyon. Samakatuwid, kung ang isang pangkalahatang posisyon ng eroplano ay tinukoy sa pinagmulan ng data, pagkatapos ay bago magpatuloy sa solusyon, ang eroplano ay dapat ilipat sa isang posisyon na patayo sa anumang projection plane.

HALIMBAWA 2. Tukuyin ang distansya mula sa punto K hanggang sa eroplano na tinukoy ng ΔАВС (Fig. 271).

1. Inilipat namin ang eroplano ΔАВС sa projecting position *. Upang gawin ito, lumipat kami mula sa system xπ 2 /π 1 hanggang x 1 π 3 /π 1: ang direksyon ng bagong x 1 axis ay pinili patayo sa pahalang na projection ng pahalang na eroplano ng tatsulok.

2. I-project ang ΔABC sa isang bagong plane π 3 (ang ΔABC plane ay i-project sa π 3, sa [ C " 1 B " 1 ]).

3. Project point K sa parehong eroplano (K" → K" 1).

4. Sa pamamagitan ng puntong K" 1 gumuhit kami ng (K" 1 M" 1)⊥ ang segment [C" 1 B" 1]. Ang kinakailangang distansya d = |K" 1 M" 1 |

Ang solusyon sa problema ay pinasimple kung ang eroplano ay tinukoy ng mga bakas, dahil hindi na kailangang gumuhit ng mga projection ng mga linya ng antas.

HALIMBAWA 3. Tukuyin ang distansya mula sa punto K hanggang sa eroplano α, na tinukoy ng mga track (Larawan 272).

* Ang pinaka-makatwirang paraan upang ilipat ang tatsulok na eroplano sa projecting na posisyon ay upang palitan ang projection planes, dahil sa kasong ito ito ay sapat na upang bumuo lamang ng isang auxiliary projection.

SOLUSYON. Pinapalitan namin ang eroplano π 1 ng eroplanong π 3, para dito gumuhit kami ng bagong axis x 1 ⊥ f 0α. Sa h 0α ay minarkahan namin ang isang arbitrary na punto 1" at tinutukoy ang bagong pahalang na projection nito sa eroplano π 3 (1" 1). Sa pamamagitan ng mga puntos na X α 1 (X α 1 = h 0α 1 ∩ x 1) at 1" 1 gumuhit kami ng h 0α 1. Tinutukoy namin ang bagong pahalang na projection ng punto K → K" 1. Mula sa puntong K" 1 ibinababa namin ang patayo sa h 0α 1 at markahan ang punto ng intersection nito sa h 0α 1 - M" 1. Ang haba ng segment na K" 1 M" 1 ay magsasaad ng kinakailangang distansya.

2. Pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Ang distansya sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay tinutukoy ng haba ng isang patayo na segment na bumaba mula sa isang arbitrary na punto sa linya patungo sa eroplano (tingnan ang Fig. 248).

Samakatuwid, ang solusyon sa problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng tuwid na linya m at eroplanong α ay hindi naiiba sa mga halimbawang tinalakay sa talata 1 para sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng isang punto at isang eroplano (tingnan ang Fig. 270 ... 272). Bilang isang punto, maaari mong kunin ang anumang punto na kabilang sa linya m.

3. Pagpapasiya ng distansya sa pagitan ng mga eroplano.

Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ay tinutukoy ng laki ng perpendicular segment na bumaba mula sa isang punto na kinuha sa isang eroplano patungo sa isa pang eroplano.

Mula sa kahulugang ito, sumusunod na ang algorithm para sa paglutas ng problema ng paghahanap ng distansya sa pagitan ng mga eroplano α at β ay naiiba sa isang katulad na algorithm para sa paglutas ng problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng linya m at eroplanong α lamang sa linyang iyon m ay dapat na kabilang sa eroplano α , ibig sabihin, upang matukoy ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong α at β ay sumusunod:

1) kumuha ng tuwid na linya m sa α plane;

2) pumili ng arbitrary point A sa linya m;

3) mula sa punto A, ibaba ang patayo l sa eroplano β;

4) matukoy ang punto M - ang tagpuan ng patayo l kasama ang eroplanong β;

5) tukuyin ang laki ng segment.

Sa pagsasagawa, ipinapayong gumamit ng ibang algorithm ng solusyon, na mag-iiba mula sa ibinigay lamang doon, bago magpatuloy sa unang hakbang, ang mga eroplano ay dapat ilipat sa posisyon ng projection.

Ang pagsasama ng karagdagang operasyong ito sa algorithm ay nagpapasimple sa pagpapatupad ng lahat ng iba pang mga punto nang walang pagbubukod, na sa huli ay humahantong sa isang mas simpleng solusyon.

HALIMBAWA 1. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong α at β (Larawan 273).

SOLUSYON. Lumipat kami mula sa system xπ 2 /π 1 hanggang x 1 π 1 /π 3. Sa paggalang sa bagong eroplano π 3, ang mga eroplano α at β ay sumasakop sa isang projecting na posisyon, samakatuwid ang distansya sa pagitan ng mga bagong frontal traces f 0α 1 at f 0β 1 ay ang ninanais.

Sa pagsasanay sa engineering, madalas na kinakailangan upang malutas ang problema ng paggawa ng isang eroplano na kahanay sa isang naibigay na eroplano at inalis mula dito sa isang naibigay na distansya. Ang halimbawa 2 sa ibaba ay naglalarawan ng solusyon sa naturang problema.

HALIMBAWA 2. Kinakailangang gumawa ng mga projection ng isang plane β parallel sa isang naibigay na plane α (m || n), kung alam na ang distansya sa pagitan ng mga ito ay d (Fig. 274).

1. Sa α plane, gumuhit ng mga arbitrary na pahalang na linya h (1, 3) at front lines f (1,2).

2. Mula sa punto 1 ibinabalik namin ang patayo l sa eroplano α(l" ⊥ h", l" ⊥ f").

3. Sa perpendicular l ay minarkahan namin ang isang di-makatwirang punto A.

4. Tukuyin ang haba ng segment - (ang posisyon ay nagpapahiwatig sa diagram ng metrically undistorted direksyon ng tuwid na linya l).

5. Ilatag ang segment = d sa tuwid na linya (1"A 0) mula sa punto 1".

6. Markahan ang mga projection l" at l" points B" at B", na tumutugma sa point B 0.

7. Sa pamamagitan ng punto B iginuhit namin ang eroplano β (h 1 ∩ f 1). Sa β || α, kinakailangang sumunod sa kondisyon h 1 || h at f 1 || f.

4. Pagtukoy sa distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya.

Ang distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya ay tinutukoy ng haba ng perpendikular na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel na eroplano kung saan nabibilang ang mga intersecting na linya.

Upang gumuhit ng magkaparehong magkatulad na mga eroplano α at β sa pamamagitan ng intersecting na mga tuwid na linya m at f, sapat na upang gumuhit sa punto A (A ∈ m) ng isang tuwid na linya p na kahanay ng tuwid na linya f, at sa pamamagitan ng punto B (B ∈ f) isang tuwid na linya k na kahanay ng tuwid na m . Ang mga intersecting na linya m at p, f at k ay tumutukoy sa magkaparehong parallel na eroplanong α at β (tingnan ang Fig. 248, e). Ang distansya sa pagitan ng mga eroplanong α at β ay katumbas ng kinakailangang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya m at f.

Ang isa pang paraan ay maaaring imungkahi para sa pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga intersecting na linya, na binubuo sa katotohanan na, gamit ang ilang paraan ng pagbabago ng orthogonal projection, isa sa mga intersecting na linya ay inililipat sa projecting position. Sa kasong ito, ang isang projection ng linya ay bumababa sa isang punto. Ang distansya sa pagitan ng mga bagong projection ng mga tumatawid na linya (point A" 2 at segment C" 2 D" 2) ay ang kinakailangan.

Sa Fig. Ang 275 ay nagpapakita ng solusyon sa problema ng pagtukoy ng distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya a at b, ibinigay na mga segment [AB] at [CD]. Ang solusyon ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

1. Ilipat ang isa sa mga tumatawid na linya (a) sa isang posisyong parallel sa eroplano π 3; Upang gawin ito, lumipat mula sa system ng projection planes xπ 2 /π 1 hanggang sa bagong x 1 π 1 /π 3, ang x 1 axis ay parallel sa horizontal projection ng straight line a. Tukuyin ang a" 1 [A" 1 B" 1 ] at b" 1.

2. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng eroplanong π 1 ng eroplanong π 4, isinasalin namin ang tuwid na linya

at sa posisyon ng a" 2, patayo sa eroplano π 4 (ang bagong x 2 axis ay iginuhit patayo sa a" 1).

3. Bumuo ng bagong pahalang na projection ng tuwid na linya b" 2 - [ C" 2 D" 2 ].

4. Ang distansya mula sa punto A" 2 hanggang sa tuwid na linya C" 2 D" 2 (segment (A" 2 M" 2 ] (ay ang kinakailangan.

Dapat itong isipin na ang paglipat ng isa sa mga linya ng pagtawid sa posisyon ng projecting ay walang iba kundi ang paglipat ng mga eroplano ng paralelismo, kung saan ang mga linya a at b ay maaaring nakapaloob, gayundin sa posisyon ng projecting.

Sa katunayan, sa pamamagitan ng paglipat ng linya a sa isang posisyong patayo sa eroplano π 4, tinitiyak namin na ang anumang eroplanong naglalaman ng linya a ay patayo sa eroplano π 4, kabilang ang eroplanong α na tinukoy ng mga linya a at m (a ∩ m, m | | b ). Kung gumuhit tayo ngayon ng linya n, parallel sa a at intersecting line b, pagkatapos ay makuha natin ang plane β, na siyang pangalawang plane ng parallelism, na naglalaman ng intersecting lines a at b. Mula noong β || α, pagkatapos ay β ⊥ π 4 .

MGA PROBLEMA C2 NG UNIFORM STATE EXAMINATION SA MATHEMATICS UPANG HANAPIN ANG DISTANSYA MULA SA PUNTO HANGGANG EROPLO

Kulikova Anastasia Yurievna

5th year student, Department of Math. pagsusuri, algebra at geometry EI KFU, Russian Federation, Republic of Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

siyentipikong superbisor, Ph.D. ped. Sciences, Associate Professor EI KFU, Russian Federation, Republic of Tatarstan, Elabuga

Sa mga nakalipas na taon, ang mga gawain sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay lumitaw sa mga gawain sa Unified State Examination sa matematika. Sa artikulong ito, gamit ang halimbawa ng isang problema, ang iba't ibang mga pamamaraan para sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay isinasaalang-alang. Ang pinaka-angkop na paraan ay maaaring gamitin upang malutas ang iba't ibang mga problema. Ang pagkakaroon ng paglutas ng isang problema gamit ang isang paraan, maaari mong suriin ang kawastuhan ng resulta gamit ang isa pang paraan.

Kahulugan. Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano na hindi naglalaman ng puntong ito ay ang haba ng perpendicular segment na iginuhit mula sa puntong ito hanggang sa ibinigay na eroplano.

Gawain. Binigyan ng isang parihabang parallelepiped ABSAD.A. 1 B 1 C 1 D 1 na may mga gilid AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Hanapin ang distansya mula sa punto D sa eroplano ACD 1 .

1 paraan. Gamit kahulugan. Hanapin ang distansya r( D, ACD 1) mula sa punto D sa eroplano ACD 1 (Larawan 1).

Larawan 1. Unang paraan

Isagawa natin D.H.⊥AC, samakatuwid, sa pamamagitan ng theorem ng tatlong perpendiculars D 1 H⊥AC At (DD 1 H)⊥AC. Isagawa natin direkta D.T. patayo D 1 H. Diretso D.T. nakahiga sa isang eroplano DD 1 H, samakatuwid D.T.⊥A.C.. Kaya naman, D.T.⊥ACD 1.

ADC hanapin natin ang hypotenuse AC at taas D.H.

Mula sa isang kanang tatsulok D 1 D.H. hanapin natin ang hypotenuse D 1 H at taas D.T.

Sagot: .

Paraan 2.Paraan ng volume (paggamit ng auxiliary pyramid). Ang isang problema ng ganitong uri ay maaaring mabawasan sa problema ng pagkalkula ng taas ng isang pyramid, kung saan ang taas ng pyramid ay ang kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Patunayan na ang taas na ito ay ang kinakailangang distansya; hanapin ang volume ng pyramid na ito sa dalawang paraan at ipahayag ang taas na ito.

Tandaan na sa pamamaraang ito ay hindi na kailangang bumuo ng isang patayo mula sa isang naibigay na punto patungo sa isang naibigay na eroplano.

Ang cuboid ay isang parallelepiped na ang lahat ng mga mukha ay parihaba.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Ang kinakailangang distansya ay ang taas h mga pyramid ACD 1 D, ibinaba mula sa itaas D sa base ACD 1 (Larawan 2).

Kalkulahin natin ang dami ng pyramid ACD 1 D dalawang paraan.

Kapag nagkalkula, sa unang paraan ay kinukuha namin ang ∆ bilang batayan ACD 1 pagkatapos

Kapag kinakalkula sa pangalawang paraan, kinukuha namin ang ∆ bilang batayan ACD, Pagkatapos

Ipapantay natin ang kanang bahagi ng huling dalawang pagkakapantay-pantay at makuha

Larawan 2. Pangalawang paraan

Mula sa mga tamang tatsulok ACD, ADD 1 , CDD 1 hanapin ang hypotenuse gamit ang Pythagorean theorem

ACD

Kalkulahin ang lugar ng tatsulok ACD 1 gamit ang formula ni Heron

Sagot: .

3 paraan. Pamamaraan ng coordinate.

Magbigay ng punto M(x 0 ,y 0 ,z 0) at eroplano α , na ibinigay ng equation palakol+sa pamamagitan ng+cz+d=0 sa isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system. Distansya mula sa punto M sa eroplano α ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Ipakilala natin ang isang coordinate system (Larawan 3). Pinagmulan ng mga coordinate sa isang punto SA;

Diretso AB- aksis X, tuwid Araw- aksis y, tuwid BB 1 - axis z.

Larawan 3. Pangatlong paraan

B(0,0,0), A(2,0,0), SA(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Hayaan ax+sa pamamagitan ng+ cz+ d=0 – equation ng eroplano ACD 1 . Pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos dito A, C, D 1 makuha natin:

Equation ng eroplano ACD 1 ang kukuha ng form

Sagot: .

4 na paraan. Pamamaraan ng vector.

Ipakilala natin ang batayan (Larawan 4), .

Larawan 4. Ikaapat na paraan

, Kumpetisyon "Pagtatanghal para sa aralin"

klase: 11

Paglalahad para sa aralin

Bumalik pasulong

Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga tampok ng pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.

Mga layunin:

paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral;
pag-unlad ng mga kasanayan sa pagsusuri, paghahambing, paggawa ng mga konklusyon.

Kagamitan:

multimedia projector;
kompyuter;
mga sheet na may mga tekstong may problema

PAG-UNLAD NG KLASE

I. Pansamahang sandali

II. Yugto ng pag-update ng kaalaman(slide 2)

Inuulit namin kung paano tinutukoy ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano

III. Lecture(mga slide 3-15)

Sa araling ito ay titingnan natin ang iba't ibang paraan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Unang paraan: step-by-step computational

Distansya mula sa punto M hanggang sa eroplano α:
– katumbas ng distansya sa eroplanong α mula sa isang di-makatwirang puntong P na nakahiga sa isang tuwid na linya a, na dumadaan sa puntong M at kahanay sa eroplanong α;
– ay katumbas ng distansya sa eroplanong α mula sa isang di-makatwirang puntong P na nakahiga sa eroplanong β, na dumadaan sa puntong M at parallel sa eroplanong α.

Malulutas namin ang mga sumusunod na problema:

№1. Sa cube A...D 1, hanapin ang distansya mula sa punto C 1 hanggang sa eroplano AB 1 C.

Ito ay nananatiling kalkulahin ang halaga ng haba ng segment O 1 N.

№2. Sa isang regular na hexagonal prism A...F 1, lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplanong DEA 1.

Susunod na paraan: paraan ng dami.

Kung ang volume ng pyramid ABCM ay katumbas ng V, kung gayon ang distansya mula sa punto M hanggang sa eroplanong α na naglalaman ng ∆ABC ay kinakalkula ng formula ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Kapag nilulutas ang mga problema, ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga volume ng isang figure, na ipinahayag sa dalawang magkaibang paraan.

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№3. Ang gilid AD ng pyramid DABC ay patayo sa base plane ABC. Hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid AB, AC at AD, kung.

Kapag nilulutas ang mga problema paraan ng coordinate ang distansya mula sa punto M hanggang sa eroplano α ay maaaring kalkulahin gamit ang formula ρ(M; α) = , kung saan ang M(x 0; y 0; z 0), at ang eroplano ay ibinibigay ng equation ax + by + cz + d = 0

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№4. Sa isang unit cube A...D 1, hanapin ang distansya mula sa punto A 1 hanggang sa eroplanong BDC 1.

Ipakilala natin ang isang coordinate system na may pinagmulan sa puntong A, ang y-axis ay tatakbo sa gilid ng AB, ang x-axis sa gilid AD, at ang z-axis sa gilid ng AA 1. Pagkatapos ay ang mga coordinate ng mga puntos B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Gumawa tayo ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa mga punto B, D, C 1.

Pagkatapos – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Samakatuwid, ρ =

Ang sumusunod na paraan na maaaring magamit upang malutas ang mga problema ng ganitong uri ay paraan ng mga problema sa suporta.

Ang aplikasyon ng paraang ito ay binubuo sa paggamit ng mga kilalang problema sa sanggunian, na binabalangkas bilang mga teorema.

Solusyonan natin ang sumusunod na problema:

№5. Sa isang unit cube A...D 1, hanapin ang distansya mula sa punto D 1 hanggang sa eroplano AB 1 C.

Isaalang-alang natin ang aplikasyon paraan ng vector.

№6. Sa isang unit cube A...D 1, hanapin ang distansya mula sa punto A 1 hanggang sa eroplanong BDC 1.

Kaya, tumingin kami sa iba't ibang mga pamamaraan na maaaring magamit upang malutas ang ganitong uri ng problema. Ang pagpili ng isang paraan o iba ay depende sa partikular na gawain at sa iyong mga kagustuhan.

IV. Pangkatang gawain

Subukang lutasin ang problema sa iba't ibang paraan.

№1. Ang gilid ng kubo A...D 1 ay katumbas ng . Hanapin ang distansya mula sa vertex C hanggang sa eroplano BDC 1.

№2. Sa isang regular na tetrahedron ABCD na may gilid, hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplanong BDC

№3. Sa isang regular na tatsulok na prism ABCA 1 B 1 C 1 lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplano BCA 1.

№4. Sa isang regular na quadrilateral pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid ay katumbas ng 1, hanapin ang distansya mula A hanggang sa eroplanong SCD.

V. Buod ng aralin, takdang-aralin, pagninilay

Magkaroon ng eroplano . Gumuhit tayo ng isang normal
sa pamamagitan ng pinagmulan ng mga coordinate O. Hayaan ang ibinigay
– mga anggulo na nabuo ng normal na may mga coordinate axes.
. Hayaan – haba ng normal na segment
hanggang sa mag-intersect ito sa eroplano. Ipagpalagay na ang mga direksyon na cosine ng normal ay kilala , nakukuha namin ang equation ng eroplano .

Hayaan
) ay isang arbitrary na punto sa eroplano. Ang unit normal na vector ay may mga coordinate. Hanapin natin ang projection ng vector
sa normal.

Since the point M pag-aari ng eroplano, kung gayon

Ito ang equation ng isang naibigay na eroplano, na tinatawag normal .

Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano

Hayaang bigyan ng eroplano ,M*
- punto sa espasyo, d – ang layo nito sa eroplano.

Kahulugan. paglihis puntos M* mula sa eroplano ay tinatawag na numero ( + d), Kung M* namamalagi sa kabilang panig ng eroplano kung saan ang positibong direksyon ng normal na mga punto , at numero (- d), kung ang punto ay matatagpuan sa kabilang panig ng eroplano:

Teorama. Hayaan ang eroplano may unit normal ay ibinigay ng normal na equation:

Hayaan M*
– punto sa espasyo Paglihis t. M* mula sa eroplano ay ibinigay ng expression

Patunay. Projection t.
* tinutukoy namin sa pamamagitan ng normal Q. Paglihis ng Punto M* mula sa eroplano ay pantay

Panuntunan. Hanapin paglihis T. M* mula sa eroplano, kailangan mong palitan ang mga coordinate t sa normal na equation ng eroplano. M* . Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay .

Pagbabawas ng pangkalahatang equation ng eroplano sa normal na anyo

Hayaang tukuyin ang parehong eroplano sa pamamagitan ng dalawang equation:

Pangkalahatang equation

Normal na equation.

Dahil ang parehong mga equation ay tumutukoy sa parehong eroplano, ang kanilang mga coefficient ay proporsyonal:

I-square natin ang unang tatlong pagkakapantay-pantay at idagdag ang mga ito:

Mula dito makikita natin - normalizing factor:

. (10)

Sa pamamagitan ng pagpaparami ng pangkalahatang equation ng eroplano sa pamamagitan ng isang normalizing factor, nakukuha natin ang normal na equation ng eroplano:

Mga halimbawa ng mga problema sa paksang "Eroplano".

Halimbawa 1. Lumikha ng isang equation ng eroplano pagdaan sa isang naibigay na punto
(2,1,-1) at parallel sa eroplano.

Solusyon. Normal sa eroplano :
. Dahil ang mga eroplano ay parallel, pagkatapos ay ang normal ay normal din sa nais na eroplano . Gamit ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto (3), nakuha namin para sa eroplano ang equation:

Sagot:

Halimbawa 2. Ang base ng isang patayo ay bumaba mula sa pinanggalingan patungo sa isang eroplano , ay ang punto
. Hanapin ang equation ng eroplano .

Solusyon. Vector
ay normal sa eroplano . Dot M 0 nabibilang sa eroplano. Maaari mong gamitin ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang ibinigay na punto (3):

Sagot:

Halimbawa 3. Gumawa ng eroplano , pagpasa sa mga puntos

at patayo sa eroplano :.

Samakatuwid, para sa ilang mga punto M (x, y, z) ay kabilang sa eroplano , ito ay kinakailangan na tatlong vectors
ay coplanar:

=0.

Ito ay nananatiling ibunyag ang determinant at dalhin ang nagresultang expression sa anyo ng pangkalahatang equation (1).

Halimbawa 4. Eroplano ay ibinigay ng pangkalahatang equation:

Maghanap ng paglihis ng punto
mula sa isang ibinigay na eroplano.

Solusyon. Dalhin natin ang equation ng eroplano sa normal na anyo.

Ipalit natin ang mga coordinate ng punto sa resultang normal na equation M*.

Sagot:
.

Halimbawa 5. Nag-intersect ba ang eroplano sa segment?

Solusyon. Gupitin AB tumawid sa eroplano, deviations At mula sa eroplano dapat magkaroon ng iba't ibang mga palatandaan:

Halimbawa 6. Ang intersection ng tatlong eroplano sa isang punto.

Ang sistema ay may natatanging solusyon, samakatuwid, ang tatlong eroplano ay may isang karaniwang punto.

Halimbawa 7. Paghahanap ng mga bisector ng isang dihedral na anggulo na nabuo ng dalawang ibinigay na eroplano.

Hayaan At - paglihis ng ilang punto
mula sa una at pangalawang eroplano.

Sa isa sa mga bisector plane (naaayon sa anggulo kung saan namamalagi ang pinagmulan ng mga coordinate) ang mga deviation na ito ay pantay sa magnitude at sign, at sa kabilang banda ay pantay ang magnitude at kabaligtaran ng sign.

Ito ang equation ng unang bisector plane.

Ito ang equation ng pangalawang bisector plane.

Halimbawa 8. Pagtukoy sa lokasyon ng dalawang ibinigay na punto At kaugnay sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito.