Palindrome sa matematika. Suriin kung ang isang apat na digit na numero ay isang palindrome Palindromes na binubuo ng k digit

Pinagmulan ng trabaho: Solusyon 4954. Pinag-isang State Exam 2016 Mathematics, I.V. Yashchenko. 36 mga pagpipilian. Sagot.

Gawain 19. Tawagan natin ang isang natural na numero bilang palindrome kung sa notasyong desimal nito ang lahat ng mga numero ay nakaayos nang simetriko (ang una at huling mga numero ay pareho, ang pangalawa at penultimate, atbp.). Halimbawa, ang mga numerong 121 at 953359 ay mga palindrom, ngunit ang mga numerong 10 at 953953 ay hindi mga palindrome.

a) Magbigay ng halimbawa ng palindromic number na nahahati sa 45.

b) Ilang limang-digit na palindromic na numero ang mayroon na nahahati sa 45?

c) Hanapin ang ikasampung pinakamalaking palindrome number na nahahati sa 45.

Solusyon.

a) Ang pinakasimpleng opsyon ay ang palindromic number 5445, na nahahati sa 45.

Sagot: 5445.

b) I-decompose natin ang bilang 45 sa prime factors, nakukuha natin

ibig sabihin, ang numero ay dapat na mahahati sa parehong 5 at 9. Ang isang palatandaan na ang isang numero ay nahahati sa 5 ay ang pagkakaroon ng numero 5 sa dulo ng numero (hindi namin isinasaalang-alang ang numero 0, dahil ito ay hindi kasya). Nakakakuha tayo ng palindromic number sa form na 5aba5, kung saan ang a, b ay ang mga digit ng numero. Ang isang palatandaan na ang isang numero ay nahahati sa 9 ay ang kabuuan ng mga digit

dapat nahahati sa 9. Mula sa kundisyong ito mayroon tayong:

Para sa b=0: ;

Para sa b=1: ;

Para sa b=2: ;

Para sa b=3: ;

Para sa b=5: ;

Para sa b=6: ;

Para sa b=7: ;

Paglalarawan ng pagtatanghal sa pamamagitan ng mga indibidwal na slide:

1 slide

Paglalarawan ng slide:

Ano ang palindrome? Ang gawain ay ginawa ng guro ng matematika na si Galina Vladimirovna Prikhodko

2 slide

Paglalarawan ng slide:

Problema Ang isang motorista ay tumingin sa metro ng kanyang sasakyan at nakita ang isang simetriko na numero (palindrome) 15951 km (basahin ang parehong mula kaliwa hanggang kanan o vice versa). Naisip niya na, malamang, ang isa pang simetriko na numero ay hindi lilitaw anumang oras sa lalong madaling panahon. Gayunpaman, pagkatapos ng 2 oras ay natuklasan niya ang isang bagong simetriko na numero. Sa anong patuloy na bilis ang biyahe ng motorista sa loob ng dalawang oras na ito? Solusyon: Ang susunod na simetriko na numero ay 16061. Ang pagkakaiba ay 16061 - 15951 = 110 km. Kung hinati mo ang 110 km sa 2 oras, makakakuha ka ng bilis na 55 km/h. Sagot: 55 km/h

3 slide

Paglalarawan ng slide:

Gawain ng Unified State Examination a) Magbigay ng halimbawa ng isang palindrome number na nahahati sa 15. b) Ilang limang digit na palindrome number ang mayroon na nahahati sa 15? c) Hanapin ang ika-37 pinakamalaking palindromic number na nahahati sa 15. Mga sagot: a) 5115; b) 33; c) 59295

4 slide

Paglalarawan ng slide:

Ano ang ibig sabihin ng palindrome? Ang salitang palindrome ay nagmula sa salitang Griyego na palindromos, na nangangahulugang "patakbong muli." Ang mga Palindrome ay maaaring hindi lamang mga numero, kundi pati na rin ang mga salita, pangungusap at kahit na mga teksto.

5 slide

Paglalarawan ng slide:

Sa matematika, ang mga numero - palindrome ay binabasa pareho mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa. Ang mga halimbawa ay ang lahat ng single-digit na numero, dalawang-digit na numero ng anyong αα, gaya ng 11 at 99, tatlong-digit na numero ng anyong αβα, gaya ng 535, at iba pa. Bukod dito, ang lahat ng dalawang-digit na numero ay nagbibigay ng mga palindrome (ang pinakamalaking bilang ng mga hakbang - 24 - ay nangangailangan ng mga numero 89 at 98). Ngunit kung ang bilang na 196 ay nagbibigay ng palindrome ay hindi pa rin alam. Numerical palindromes 676 (ang pinakamaliit na palindrome number na parisukat ng isang non-palindrome ay 26). 121 (ang pinakamaliit na palindrome number na parisukat ng palindrome ay 11).

6 slide

Paglalarawan ng slide:

Superpalindrome Ang ilang mga palindromic na parirala at parirala ay kilala na natin mula pa noong sinaunang panahon. Pagkatapos ay madalas silang binibigyan ng mahiwagang kahulugan. Kasama rin sa mga mahiwagang palindrome ang mga mahiwagang parisukat, halimbawa, SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS (isinalin bilang “Ang manghahasik ng Arepo ay halos hindi mapanatili ang kanyang mga gulong”).

7 slide

Paglalarawan ng slide:

Sa kasalukuyan, ang palindrome ay wala ng lahat ng mahiwagang kapangyarihan at ito ay isang simpleng laro ng salita na nagbibigay-daan sa iyo na gamitin nang kaunti ang iyong utak. Karamihan sa mga palindrome ay medyo magkakaugnay na hanay ng mga salita, ngunit mayroon ding mga kawili-wiling integral at naiintindihan na mga parirala, halimbawa, "Ngunit ang hindi nakikitang Arkanghel ay humiga sa templo at siya ay kamangha-mangha." Kung pag-uusapan natin ang tungkol sa mga salitang palindromic, ang pinakamahabang salita sa mundo ay itinuturing na "SAIPPUAKIVIKAUPPIAS", na isinalin mula sa Finnish ay nangangahulugang "nagbebenta ng sabon".

8 slide

Paglalarawan ng slide:

Gawain: alamin kung gaano kadalas nangyayari ang mga simetriko na numero sa mga prime number. Para sa mga numerong mas mababa sa 1000, ito ay madaling malaman mula sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Sa mga simpleng dalawang-digit na numero, mayroon lamang isang simetriko na numero - 11. Pagkatapos ay natagpuan namin: 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 797, 919, 929.

Slide 9

Paglalarawan ng slide:

Patunay Sa mga apat na digit na numero ay walang simetriko prime number. Patunayan natin. Ang apat na digit na simetriko na numero ay may anyong abba. Ayon sa criterion ng divisibility sa pamamagitan ng 11, ang pagkakaiba sa pagitan ng kabuuan ng mga numero sa mga kakaibang lugar at ang kabuuan ng mga numero sa mga kakaibang lugar: (a + b) - (b + a) = 0. Nangangahulugan ito na ang lahat ng apat na digit na simetriko na numero ay nahahati sa 11, ibig sabihin, composite. Katulad nito, mapapatunayan ng isa na walang magiging prime number sa lahat ng 2n-digit na symmetric na numero.

10 slide

Paglalarawan ng slide:

Hanggang sa 100 mayroong 25 prime number, kasama ng mga ito ang isa ay simetriko, na 4%. Hanggang 1000 prime numbers ay nagiging 168. Symmetric numbers - 16. Ito ay humigit-kumulang 9.5%. Hanggang sa 10000, hindi nagbabago ang bilang ng mga simetriko na numero. Hanggang 1000000 - 78498 prime number. Mayroon na ngayong 109 symmetric na numero. Ito ay humigit-kumulang 0.13%. Malinaw na ang porsyento ng mga simetriko na numero ay bumababa, ngunit hindi imposibleng sabihin na sa napakalaking bilang ang mga prime na numero ay simetriko.

11 slide

Paglalarawan ng slide:

May ideya ako. Ang mga numeric palindrome ay maaaring resulta ng mga operasyon sa iba pang mga character. Si Martin Gardner, ang may-akda ng aklat na "There Is an Idea!", bilang isang medyo kilalang popularizer ng agham, ay naglalagay ng isang tiyak na hypothesis. Kung kukuha ka ng isang natural na numero (anuman) at idagdag dito ang kabaligtaran nito (binubuo ng parehong mga numero, ngunit sa reverse order), pagkatapos ay ulitin ang aksyon, ngunit sa nagresultang kabuuan, pagkatapos ay sa isa sa mga hakbang makakakuha ka ng isang palindrome . Sa ilang mga kaso, sapat na upang maisagawa ang karagdagan nang isang beses: 213 + 312 = 525. Ngunit kadalasan hindi bababa sa dalawang operasyon ang kinakailangan. Kaya, halimbawa, kung kukuha tayo ng numero 96, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sunud-sunod na karagdagan, ang isang palindrome ay makukuha lamang sa ikaapat na antas: 96 + 69 = 165 165 + 651 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Ang Ang kakanyahan ng hypothesis ay kung kukuha ka ng anumang numero, pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga aksyon ay tiyak na makakakuha ka ng isang palindrome. Ang mga halimbawa ay matatagpuan hindi lamang bilang karagdagan, kundi pati na rin sa exponentiation, pagkuha ng mga ugat at iba pang mga operasyon.

12 slide

Paglalarawan ng slide:

Halimbawa1 Kunin natin ang numerong 619 Basahin natin ito ng 1 hakbang mula kanan pakaliwa 916 Idagdag natin ang dalawang numero 1535 “ibaliktad” 5351 2nd step Idagdag natin ang 6886 Ang bilang na 6886 ay isang palindrome. Bukod dito, nakuha ito sa 2 hakbang lamang. Ang pagbabasa nito mula kanan pakaliwa o kaliwa pakanan, makukuha natin ang parehong numero.

Slide 13

Paglalarawan ng slide:

Halimbawa2 Gawin natin ang bilang 95 1 hakbang. Hakbang 1 "Ibalik natin ito" 59 Idagdag ito 154 Hakbang 2. “Ibaliktad natin” 451 2nd step Idagdag natin ang 605 3rd step “Ibaliktad natin” 506 3rd step Idagdag natin ang 1111 Ang numerong 1111 ay palindrome.

Slide 14

Paglalarawan ng slide:

Pinocchio Malamang naaalala mo ang libro tungkol sa mga pakikipagsapalaran ni Pinocchio. Naaalala mo ba kung gaano siya kahigpit na tinuruan ni Malvina na magsulat? Sinabi niya sa kanya na isulat ang sumusunod na parirala: AT NAlaglag ANG ROSE SA PAW NI AZOR - isa pang palindrome iyon.

15 slide

Paglalarawan ng slide:

Palindromes sa panitikan ANG BOAR DINIPIN ANG TONG, IKAW, SASHA, PUNO, SA NOO, BOOM ARGENTINA AY NAGING NEGRA PERO PAAYAT KA, TULAD NG MGA TALA NG TONO, ADA HUNTERS AT DECAY.

16 slide

Paglalarawan ng slide:

Words-palindromes SHALASH, NAGAN, COSSACK, KOK, STOMP, ROTOR, KABAC, PULP, GRANDFATHER, RADAR

Slide 17

Paglalarawan ng slide:

Palindromic phrases TUMIGIL ANG GULONG, HINDI AKO KUYA SENYA KUMAIN AKO NG AHAS AT ANG ASO NA SI BOSA ARGENTINA AY SUMASA SA NEGRO UPANG MAGHAHANAP NG TAXI PINAHALAGAHAN ANG ISANG NEGRO ANG ARGENTINEAN LYOSHA AY NAKAKAKITA NG BUG SA ISANG SHELF

18 slide

Paglalarawan ng slide:

Palindromes sa mga wikang banyaga "Madam, I'm Adam" - ang pagpapakilala ng isang lalaki sa isang babae (Madam, I'm Adam). Dito ang babae ay maaaring mahinhin na sumagot sa isang "shifter": "Eve" (Eve). Hindi lang mga pangungusap o set ng mga titik ang simetriko. Race fast, safe car (Race fast, safe car) Nakikita mo ba ang Diyos? (Nakikita ba ng mga gansa ang Diyos?) Hindi kailanman kakaiba o kahit na (Never odd or even) Huwag tumango (Huwag tumango) Dogma: Ako ay Diyos (Dogma: Ako ay Diyos) Ginang, sa Eden ako si Adan (Madam, sa paraiso) Ako si Adam) Ah, nakita ni Satanas si Natasha (Ah, nakita ni Satanas si Natasha) Nakita ng Diyos na ako ay aso (Nakita ng Diyos na ako ay isang aso) Mas gusto ko si Pi (Mas gusto ko ang π) Masyadong mainit para mag-hoot )

Slide 19

Paglalarawan ng slide:

Palindromes-poems Bihira akong humawak ng upos ng sigarilyo sa aking kamay... Ako ay nakaupo dito ng taimtim, lumilikha ng galit na galit sa katahimikan, minsan ako ay tatawa, magkakaroon ako ng suwerte, ako ay tatawa minsan - Oo, ako'y natutuwa ! Maaari mong basahin ito mula sa simula o mula sa dulo.

20 slide

Paglalarawan ng slide:

Sa musika, ang Palindromic na mga piraso ng musika ay tinutugtog "gaya ng dati," ayon sa mga patakaran. Kapag ang piraso ay nakumpleto, ang mga tala ay baligtad. Pagkatapos ay tinutugtog muli ang piyesa, ngunit hindi magbabago ang himig. Maaaring mayroong anumang bilang ng mga pag-ulit, ngunit hindi alam kung ano ang ibaba at kung ano ang nasa itaas. Ang mga piraso ng musika ay maaaring tugtugin ng dalawang tao, habang binabasa ang mga tala sa magkabilang panig nang sabay. Kabilang sa mga halimbawa ng naturang palindromic na gawa ang The Way of the World, na isinulat ni Moscheles, at Table Tune for Two, na binubuo ni Mozart.

Pagbubuo. Isang apat na digit na numero ang ibinibigay. Suriin kung ito ay isang palindrome. Tandaan: Ang palindrome ay isang numero, salita o teksto na magkapareho ang pagbabasa mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa. Halimbawa, sa aming kaso ito ang mga numero 1441, 5555, 7117, atbp.

Mga halimbawa ng iba pang palindromic na numero ng arbitrary na decimal place, na hindi nauugnay sa problemang niresolba: 3, 787, 11, 91519, atbp.

Solusyon. Para magpasok ng numero mula sa keyboard gagamit kami ng variable n. Ang ipinasok na numero ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero at apat na digit, kaya malinaw na mas malaki ito sa 255, kaya ang uri byte ay hindi angkop para sa amin upang ilarawan ito. Pagkatapos ay gagamitin namin ang uri salita.

Anong mga katangian ang mayroon ang mga palindromic number? Mula sa mga halimbawa sa itaas ay madaling makita na, dahil sa kanilang magkaparehong "kakayahang mabasa" sa magkabilang panig, ang una at huling mga numero, ang pangalawa at penultimate, atbp., ay pantay sa kanila, hanggang sa gitna. Bukod dito, kung ang numero ay may kakaibang bilang ng mga digit, kung gayon ang gitnang digit ay maaaring balewalain kapag sinusuri, dahil kapag natupad ang panuntunan sa itaas, ang numero ay isang palindrome, anuman ang halaga nito.

Sa aming problema, ang lahat ay medyo mas simple, dahil ang input ay isang apat na digit na numero. Nangangahulugan ito na upang malutas ang problema kailangan lamang nating ihambing ang 1st digit ng numero sa ika-4 at ang 2nd digit sa ika-3. Kung ang parehong pagkakapantay-pantay na ito ay totoo, kung gayon ang numero ay isang palindrome. Ang natitira lamang ay upang makuha ang kaukulang mga digit ng numero sa mga indibidwal na variable, at pagkatapos, gamit ang isang conditional operator, suriin ang katuparan ng parehong pagkakapantay-pantay gamit ang isang Boolean (lohikal) na expression.

Gayunpaman, hindi ka dapat magmadali sa isang desisyon. Siguro maaari nating gawing simple ang resultang circuit? Kunin, halimbawa, ang numerong 1441 na nabanggit na sa itaas. Ano ang mangyayari kung hahatiin natin ito sa dalawang dalawang-digit na numero, ang una ay maglalaman ng libu-libo at daan-daang lugar ng orihinal, at ang pangalawa ay maglalaman ng sampu at unit na lugar ng orihinal. Nakukuha namin ang mga numero 14 at 41. Ngayon, kung ang pangalawang numero ay papalitan ng reverse notation nito (ginawa namin ito sa gawain 5), pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang pantay na numero 14 at 14! Ang pagbabagong ito ay medyo halata, dahil ang palindrome ay binabasa nang pareho sa parehong direksyon, ito ay binubuo ng isang kumbinasyon ng mga numero na inuulit nang dalawang beses, at ang isa sa mga kopya ay ibinabalik lamang.

Kaya ang konklusyon: kailangan mong hatiin ang orihinal na numero sa dalawang dalawang digit, baligtarin ang isa sa mga ito, at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang numero gamit ang conditional operator kung. Sa pamamagitan ng paraan, upang makakuha ng reverse recording ng ikalawang kalahati ng isang numero, kailangan naming lumikha ng dalawa pang mga variable upang i-save ang mga digit na ginamit. Tukuyin natin sila bilang a At b, at sila ay magiging katulad byte.

Ngayon ilarawan natin ang algorithm mismo:

1) Ipasok ang numero n;

2) Italaga ang unit digit ng numero n variable a, pagkatapos ay itapon ito. Pagkatapos ay itinalaga namin ang lugar ng sampu n variable b at itapon din ito:

3) Magtalaga sa isang variable a isang numero na kumakatawan sa reverse entry na nakaimbak sa mga variable a At b ikalawang bahagi ng orihinal na numero n ayon sa kilalang formula:

4) Ngayon ay maaari na tayong gumamit ng Boolean expression test para sa pagkakapantay-pantay ng mga resultang numero n At a tulong ng operator kung at ayusin ang output ng tugon gamit ang mga sangay:

kung n = a then writeln('Yes') else writeln('No');

Dahil ang pahayag ng problema ay hindi tahasang nagsasabi sa kung anong anyo ang dapat ipakita ang sagot, isasaalang-alang namin na lohikal na ipakita ito sa isang antas na madaling maunawaan ng gumagamit, na naa-access sa wika mismo Pascal. Alalahanin na gamit ang operator magsulat (writeln) maaari mong ipakita ang resulta ng isang Boolean type expression, at kung ang expression na ito ay totoo, ang salitang 'TRUE' ay ipapakita (true sa English ay nangangahulugang "true"), kung false - ang salitang FALSE (false sa English) English ay nangangahulugang "false"). Pagkatapos ay ang nakaraang konstruksiyon na may kung maaaring palitan ng

programang PalindromeNum;
n: salita;
a, b: byte;
magsimula
readln(n);
a:= n mod 10;
n:= n div 10;
b:= n mod 10;
n:= n div 10;
a:= 10 * a + b;
writeln(n = a)

Yakovlev Danil

Halos lahat ng mga konsepto ng matematika, isang paraan o iba pa, ay umaasa sa konsepto ng numero, at ang huling resulta ng anumang teorya ng matematika, bilang panuntunan, ay ipinahayag sa wika ng mga numero. Marami sa kanila, lalo na ang mga natural na numero, ayon sa ilang mga katangian at katangian, ay pinagsama-sama sa magkakahiwalay na istruktura (mga koleksyon) at may sariling mga pangalan. Kaya, ang layunin ng pag-aaral ay maging pamilyar sa mga palindromic na numero

I-download:

Preview:

PEDERASYON NG RUSSIA

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

"Secondary School No. 7"

lungsod ng Nizhnevartovsk

Gawaing pananaliksik
sa pang-agham at praktikal na kumperensya ng paaralan ng mga batang mananaliksik

Palindromes sa matematika

2016

PANIMULA 4

PANGUNAHING BAHAGI................................................ ................................................... ...... .....................5

KONKLUSYON 9

MGA SANGGUNIAN 11

Hypothesis
Ang mga pangunahing numero ay bahagi ng mga numerong bumubuo sa lahat ng natural na numero.
Sa pamamagitan ng paggalugad sa hanay ng mga prime number, makakakuha ang isang tao ng kamangha-manghang mga numerical set gamit ang kanilang mga hindi pangkaraniwang katangian.

Layunin ng pag-aaral
Halos lahat ng mga konsepto ng matematika, isang paraan o iba pa, ay umaasa sa konsepto ng numero, at ang huling resulta ng anumang teorya ng matematika, bilang panuntunan, ay ipinahayag sa wika ng mga numero. Marami sa kanila, lalo na ang mga natural na numero, ayon sa ilang mga katangian at katangian, ay pinagsama-sama sa magkakahiwalay na istruktura (mga koleksyon) at may sariling mga pangalan. kaya,layunin ng pag-aaralay isang panimula sa mga palindromic na numero.

Mga layunin ng pananaliksik

1. Pag-aralan ang literatura sa paksa ng pananaliksik.

2. Isaalang-alang ang mga katangian ng palindromes.

3. Alamin kung ano ang papel na ginagampanan ng mga prime number sa pagbabago ng mga katangian ng mga numero na kinagigiliwan natin.

Paksa ng pag-aaral– isang hanay ng mga pangunahing numero.

Layunin ng pag-aaral– ang mga numero ay palindromes..

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

teoretikal
survey
pagsusuri

PANIMULA

Isang araw, habang nagbo-bowling, napansin ko ang mga hindi pangkaraniwang numero: 44, 77, 99, 101 at naisip ko kung ano ang mga numerong ito? Sa pagtingin sa Internet, nalaman ko na ang mga numerong ito ay mga palindrome.

Palindrome (mula sa Griyegong πάλιν - "bumalik, muli" at ang Griyegong δρóμος - "tumakbo"), minsan din palindromone, mula sa gr. palindromos na tumatakbo pabalik).

Sa pagsasalita tungkol sa kung ano ang palindrome, dapat sabihin na ang "mga changer" ay kilala mula pa noong sinaunang panahon. Kadalasan ay binibigyan sila ng isang mahiwagang sagradong kahulugan. Lumitaw ang mga Palindrome, ang mga halimbawa nito ay matatagpuan sa iba't ibang wika, marahil sa Middle Ages.

Ang isang palindrome ay maaaring makuha bilang isang resulta ng mga operasyon sa iba pang mga numero. Kaya, sa aklat na "Mayroon akong ideya!" Binanggit ng sikat na popularizer ng agham na si Martin Gardner ang "palindrome hypothesis" na may kaugnayan sa problemang ito.Kung kukuha ka ng isang natural na numero (anuman) at idagdag dito ang kabaligtaran nito (binubuo ng parehong mga numero, ngunit sa reverse order), pagkatapos ay ulitin ang aksyon, ngunit sa nagresultang kabuuan, pagkatapos ay sa isa sa mga hakbang makakakuha ka ng isang palindrome . Sa ilang mga kaso, sapat na upang maisagawa ang karagdagan nang isang beses: 213 + 312 = 525. Ngunit kadalasan hindi bababa sa dalawang operasyon ang kinakailangan. Kaya, halimbawa, kung kukuha tayo ng numero 96, pagkatapos ay sa pamamagitan ng pagsasagawa ng sunud-sunod na karagdagan, ang isang palindrome ay makukuha lamang sa ikaapat na antas: 96 + 69 = 165 165 + 561 = 726 726 + 627 = 1353 1353 + 3531 = 4884 Ang Ang kakanyahan ng hypothesis ay kung kukuha ka ng anumang numero, pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga aksyon ay tiyak na makakakuha ka ng palindrome.

PANGUNAHING BAHAGI

Ang mga numero ay mga palindrome

Ang paghahanap ng mga numero - ang mga palindrome sa matematika ay hindi mahirap. Sinubukan kong magsulat ng isang numero para sa mga numerong ito - palindromes.

Sa dalawang-digit na numero - palindromes, ang bilang ng mga yunit ay tumutugma sa bilang ng sampu.

– sa tatlong-digit na mga numero – palindrome, ang bilang ng daan-daan ay palaging kasabay ng bilang ng isa.

Sa apat na digit na mga numero - palindromes, ang bilang ng mga yunit ng libu-libo ay tumutugma sa bilang ng mga yunit, at ang bilang ng daan-daan na may bilang ng sampu, atbp.

Ang mga formula ay mga palindrome

Ang mga palindromic formula ay pumukaw sa aking interes. Sa pamamagitan ng mga formula - palindromes, ang ibig kong sabihin ay isang expression (binubuo ng kabuuan o pagkakaiba ng mga numero) na ang resulta ay hindi nagbabago bilang isang resulta ng pagbabasa ng expression mula kanan hanggang kaliwa.

Kung magdadagdag ka ng mga numero na palindrome, hindi magbabago ang kabuuan. Ang pagdaragdag ng dalawang-digit na numero ay medyo simple, nagpasya akong isulat ang kabuuan para sa tatlong-digit na mga numero.

Halimbawa: 121+343=464

Sa pangkalahatan, maaari itong isulat tulad nito:

+ = +

(100x + 10x+ x) + (100y + 10y + y) = (100y + 10y + y) + (100x + 10x + x)

100x + 10x+ x + 100y + 10y + y = 100y + 10y + y + 100x +10x + x

111x + 111y = 111y + 111x

111(x + y) = 111(y + x)

x + y = y + x

Ang muling pagsasaayos ng mga tuntunin ay hindi nagbabago sa kabuuan(commutative property ng karagdagan).

Maaari itong mapatunayan sa eksaktong parehong paraan para sa 4, 5 at n-digit na mga numero.

Isaalang-alang natin ang lahat ng mga pares ng naturang dalawang-digit na mga numero upang ang resulta ng kanilang pagbabawas ay hindi magbago bilang resulta ng pagbabasa ng pagkakaiba mula kanan papuntang kaliwa.

Anumang dalawang-digit na numero ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng mga digit na termino:

10x 1 + y 1 = 10x 2 + y 2

- = (10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2)

- = (10у 2 + x 2) – (10у 1 + x 1)

(10x 1 + y 1) – (10x 2 + y 2) = (10y 2 + x 2) – (10y 1 + x 1)

10x 1 + y 1 – 10x 2 - y 2 = 10y 2 + x 2 – 10y 1 - x 1

10x 1 + x 1 + y 1 + 10y 1 = 10y 2 + y 2 + 10x 2 + x 2

11 x 1 + 11 y 1 = 11 x 2 + 11 y 2

11(x 1 + y 1) = 11(x 2 + y 2)

x 1 + y 1 = x 2 + y 2

Ang mga naturang numero ay may pantay na kabuuan ng mga digit.

Ngayon ay maaari mong gawin ang mga sumusunod na pagkakaiba:

41 – 32 = 23 – 14

46 – 28 = 82 – 64

52 –16 = 61 – 25, atbp.

Mga nominal na palindrome

Ang mga Palindrome ay matatagpuan sa ilang hanay ng mga numero na may sariling mga pangalan: Fibonacci number, Smith number, Repdigit, Repunit.

Mga numero ng Fibonaccipangalanan ang mga elemento ng pagkakasunod-sunod ng numero. Sa loob nito, ang bawat susunod na numero sa isang serye ay nakuha sa pamamagitan ng pagsusuma ng dalawang naunang numero.

Halimbawa: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Numero ng Smith - isang pinagsama-samang numero na ang kabuuan ng mga digit ay katumbas ng kabuuan ng mga digit ng mga prime divisors nito.

Halimbawa: 202=2+0+2=4

Repdigit - isang natural na numero kung saan ang lahat ng mga digit ay pareho.

Muling pagsasama - isang natural na numero na isinulat gamit ang mga yunit lamang

Tagabuo ng numero

Mula sa mga prime palindromic na numero, pag-aayos ng mga ito sa isang tiyak na paraan, sabihin linya sa pamamagitan ng linya, maaari kang lumikha ng simetriko figure, na nakikilala sa pamamagitan ng isang orihinal na pattern ng paulit-ulit na mga numero.

Narito, halimbawa, ay isang magandang kumbinasyon ng mga simpleng palindrome na nakasulat sa 1 at 3 (Larawan 1). Ang kakaiba ng numerong tatsulok na ito ay ang parehong fragment ay paulit-ulit nang tatlong beses nang hindi sinisira ang simetrya ng pattern.

kanin. 1

Madaling makita na ang kabuuang bilang ng mga row at column ay isang prime number (17). Bilang karagdagan, ang mga pangunahing numero at kabuuan ng mga digit: mga fragment na naka-highlight sa pula (17); bawat linya maliban sa una (5, 11, 17, 19, 23); ang ikatlo, ikalima, ikapito at ikasiyam na hanay (7, 11) at ang "hagdan" ng mga yunit na bumubuo sa mga gilid ng tatsulok (11). Sa wakas, kung lumipat tayo parallel sa ipinahiwatig na "mga gilid" at idagdag ang mga numero ng ikatlo at ikalimang hanay nang hiwalay (Larawan 2), makakakuha tayo ng dalawa pang pangunahing numero (17, 5).

kanin. 2

Sa pagpapatuloy ng pagtatayo, maaari kang bumuo ng mas kumplikadong mga numero batay sa tatsulok na ito. Kaya, hindi mahirap makakuha ng isa pang tatsulok na may katulad na mga katangian sa pamamagitan ng paglipat mula sa dulo, iyon ay, simula sa huling numero, pagtawid sa bawat hakbang ng dalawang magkaparehong simetriko na matatagpuan na mga numero at muling pag-aayos o pagpapalit ng iba - 3 sa 1 at vice versa . Sa kasong ito, ang mga numero mismo ay dapat piliin sa paraang ang resultang numero ay naging simple. Ang pagsasama-sama ng parehong mga numero, nakakakuha kami ng isang rhombus na may katangian na pattern ng mga numero, nagtatago ng maraming mga pangunahing numero (Larawan 3). Sa partikular, ang kabuuan ng mga numerong naka-highlight sa pula ay 37.

kanin. 3

Maaari ka ring gumawa ng mga polygonal na figure mula sa mga numero na may ilang partikular na katangian. Ipagpalagay na kailangan mong bumuo ng isang figure mula sa mga simpleng palindrome na nakasulat gamit ang 1 at 3, ang bawat isa ay may matinding mga digit na isa, at ang kabuuan ng lahat ng mga digit at ang kabuuang bilang ng mga nasa linya ay mga prime number (ang exception ay isang solong numero. -digit na palindrome). Bilang karagdagan, ang isang simpleng numero ay dapat na ipahayag ang kabuuang bilang ng mga linya, pati na rin ang mga digit 1 o 3, na matatagpuan sa talaan.

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 4 ang isa sa mga solusyon sa problema - isang "bahay" na ginawa mula sa 11 iba't ibang palindrome.

kanin. 4

Siyempre, hindi kinakailangang limitahan ang iyong sarili sa dalawang digit at kailangan ang pagkakaroon ng lahat ng tinukoy na digit sa talaan ng bawat numerong ginamit. Sa halip, sa kabaligtaran: pagkatapos ng lahat, ito ay ang kanilang hindi pangkaraniwang mga kumbinasyon na nagbibigay ng pagka-orihinal sa pattern ng figure. Upang kumpirmahin ito, nagbibigay kami ng ilang mga halimbawa ng magagandang palindromic dependencies (Larawan 5−7).

kanin. 5

kanin. 6

kanin. 7

KONGKLUSYON

Sa aking trabaho, tumingin ako sa mga numero - palindrome, formula - palindrome para sa kabuuan ng tatlong-digit na mga numero at pagkakaiba ng dalawang-digit na numero at napatunayan ko ang mga ito. Nakilala ko ang mga kamangha-manghang natural na numero: palindrome at repunites. Lahat sila ay may utang sa kanilang mga ari-arian sa mga pangunahing numero.
Intuitively, nag-compile ako ng mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga n-digit na numero, ang produkto at quotient ng dalawang-digit na numero.

Sa kaso ng multiplikasyon mayroon tayong:

63 ∙ 48 = 84 ∙ 36

82 ∙ 14 = 41 ∙ 28

26 ∙ 31 = 62 ∙ 13, atbp.

Ang produkto ng mga unang digit ay katumbas ng produkto ng kanilang pangalawang digit x 1 ∙ x 2 = y 1 ∙ y 2

Para sa dibisyon, nakukuha namin ang mga sumusunod na halimbawa:

62: 31 = 26: 13

96:32 = 69:23, atbp.

Hindi ko pa napatunayan ang mga pahayag na ito, ngunit sa palagay ko ay magagawa ko ito sa hinaharap.

Sa panitikan, nakahanap ako ng mga formula - palindrome para sa pagpaparami ng mga multi-digit na numero

20646 ∙ 35211 = 11253 ∙ 64602 203313 ∙ 657624 = 426756 ∙ 313302

726966306 = 726966306 133703508312 = 133703508312

Naabot ko ang layunin ng aking trabaho. Tumingin ako sa mga numero - palindrome at isinulat ang mga ito sa pangkalahatang anyo. Nagbigay siya ng mga halimbawa at napatunayang mga formula - palindrome para sa pagdaragdag at pagbabawas ng dalawang-digit na numero. Natukoy ko ang ilang mga isyu na kailangan ko pa ring pag-aralan at tuklasin ang mga formula - palindrome. Nangangahulugan ito na kinumpirma ko ang hypothesis na ang mga prime number ay bahagi ng mga numero na bumubuo sa lahat ng natural na numero. Sa pamamagitan ng paggalugad sa hanay ng mga prime number, makakakuha ang isang tao ng kamangha-manghang mga numerical set gamit ang kanilang mga hindi pangkaraniwang katangian.

Preview:

Upang gumamit ng mga preview ng presentasyon, gumawa ng Google account at mag-sign in:

Natalya Karpushina.

PAURONG

Ang numeric palindrome ay isang natural na numero na pareho ang pagbabasa mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa. Sa madaling salita, ito ay nakikilala sa pamamagitan ng simetrya ng notasyon (ang pag-aayos ng mga numero), at ang bilang ng mga character ay maaaring maging kahit na o kakaiba. Ang mga Palindrome ay matatagpuan sa ilang hanay ng mga numero na may sariling mga pangalan: kabilang sa mga numero ng Fibonacci - 8, 55 (ika-6 at ika-10 na miyembro ng pagkakasunud-sunod ng parehong pangalan); may korte na mga numero - 676, 1001 (parisukat at pentagonal, ayon sa pagkakabanggit); Mga numero ng Smith - 45454, 983389. Anumang repdigit, halimbawa 2222222 at, sa partikular, repunit, ay mayroon ding property na ito.

165 + 561 = 726,

726 + 627 = 1353,

1353 + 3531 = 4884.

At ang kakanyahan ng hypothesis ay, ang pagkuha ng anumang numero, pagkatapos ng isang tiyak na bilang ng mga aksyon ay tiyak na makakakuha tayo ng isang palindrome.

Maaari mong isaalang-alang hindi lamang ang karagdagan, kundi pati na rin ang iba pang mga operasyon, kabilang ang exponentiation at pagkuha ng mga ugat. Narito ang ilang mga halimbawa kung paano sila magagamit upang lumikha ng iba mula sa ilang palindrome:

NUMBERS GAMES

Sa ngayon, higit sa lahat ay tinitingnan namin ang mga pinagsama-samang numero. Ngayon ay buksan natin ang mga simpleng numero. Sa kanilang walang katapusang pagkakaiba-iba mayroong maraming mga kakaibang specimen at maging ang buong pamilya ng mga palindrome. Kabilang lamang sa unang daang milyong natural na mga numero ay mayroong 781 simpleng palindrome, na may dalawampung bumabagsak sa unang libo, kung saan apat ang mga single-digit na numero - 2, 3, 5, 7 at isang dalawang-digit lamang - 11. Maraming mga kagiliw-giliw na katotohanan at magagandang pattern ay nauugnay sa naturang mga numero.

Una, mayroong isang natatanging simpleng palindrome na may pantay na bilang ng mga digit - 11. Sa madaling salita, anumang palindrome na may pantay na bilang ng mga digit na higit sa dalawa ay isang pinagsama-samang numero, na madaling patunayan batay sa pagsubok ng divisibility ng 11 .

Pangalawa, ang una at huling mga numero ng anumang simpleng palindrome ay maaari lamang maging 1, 3, 7 o 9. Ito ay sumusunod sa mga kilalang palatandaan ng divisibility ng 2 at 5. Nakakapagtaka na ang lahat ng simpleng dalawang-digit na numero ay nakasulat gamit ang mga nakalistang digit. (maliban sa 19), ay maaaring hatiin sa mga pares ng "inverted" na mga numero (mutual inverted na mga numero) ng form at , kung saan ang mga numerong a at b ay magkaiba. Ang bawat isa sa kanila, anuman ang numero ang mauna, ay binabasa nang pareho mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa:

13 at 31, 17 at 71,

37 at 73, 79 at 97.

Sa pagtingin sa talahanayan ng mga pangunahing numero, makakahanap tayo ng magkatulad na mga pares, sa pag-record kung saan mayroon ding iba pang mga numero, lalo na, kabilang sa mga tatlong-digit na numero ay magkakaroon ng labing-apat na mga pares.

Bilang karagdagan, sa mga simpleng tatlong-digit na palindrome mayroong mga pares ng mga numero na ang gitnang digit ay naiiba lamang ng 1:

18 1 at 1 9 1, 37 3 at 3 8 3,

78 7 at 7 9 7, 91 9 at 9 2 9.

Ang isang katulad na larawan ay sinusunod para sa mas malalaking prime number, halimbawa:

948 49 at 94 9 49,

1177 711 at 117 8 711.

Ang mga palindromic prime number ay maaaring "itakda" ng iba't ibang simetriko na mga formula, na nagpapakita ng mga tampok ng kanilang notasyon. Ito ay malinaw na nakikita sa halimbawa ng limang-digit na mga numero:

Sa pamamagitan ng paraan, ang mga simpleng multi-digit na numero ng form ay tila matatagpuan lamang sa mga Repunite. Mayroong limang mga kilala tulad ng mga numero. Kapansin-pansin na para sa bawat isa sa kanila ang bilang ng mga digit ay ipinahayag bilang isang prime number: 2, 19, 23, 317, 1031. Ngunit kabilang sa mga prime number, kung saan ang lahat ng mga digit maliban sa gitnang isa, isang palindrome ng napaka-kahanga-hangang haba. ay natuklasan - mayroon itong 1749 na numero :

Sa pangkalahatan, sa mga pangunahing numero ng palindromic mayroong mga kamangha-manghang halimbawa. Narito ang isang halimbawa lamang - isang higanteng numero

At ito ay kawili-wili dahil naglalaman ito ng 11,811 digit, na maaaring hatiin sa tatlong palidromic group, at sa bawat grupo ang bilang ng mga digit ay ipinahayag bilang isang prime number (5903 o 5).

NOTABLE COUPLES

Ang mga kakaibang palindromic pattern ay makikita rin sa mga pangkat ng mga prime number na naglalaman ng ilang partikular na digit. Sabihin nating, ang mga numero 1 at 3 lamang, at sa bawat numero. Kaya, ang dalawang-digit na prime number ay bumubuo ng mga nakaayos na pares 13 - 31 at 31 - 13, sa anim na tatlong-digit na prime number, limang numero nang sabay-sabay, kung saan mayroong dalawang palindrome: 131 at 313, at dalawa pang numero ang bumubuo ng mga pares ng "reversals" 311 - 113 at 113 - 311 Sa lahat ng mga kasong ito, ang mga pares na ginawa ay biswal na kinakatawan sa anyo ng mga numerical na parisukat (Fig. 1).

kanin. 1

Ang kanilang mga ari-arian ay kahawig ng magic at Latin squares. Halimbawa, sa isang average na parisukat, ang kabuuan ng mga numero sa bawat hilera at bawat haligi ay 444, sa mga dayagonal - 262 at 626. Ang pagdaragdag ng mga numero mula sa lahat ng mga cell, makakakuha tayo ng 888. At kung ano ang karaniwan, ang bawat kabuuan ay isang palindrome. Kahit na nagsusulat lamang ng ilang numero mula sa isang talahanayan nang walang espasyo, nakakakuha tayo ng mga bagong palindrome: 3113, 131313131, atbp. Ano ang pinakamalaking bilang na maaaring mabuo sa ganitong paraan? Magiging palindrome ba ito?

Kung magdadagdag tayo ng 131 o 313 sa bawat isa sa mga pares 311 - 113 at 113 - 311, apat na palindromic triplet ang mabubuo. Isulat natin ang isa sa mga ito sa isang hanay:

Tulad ng nakikita natin, ang mga numero mismo at ang nais na kumbinasyon ng mga ito ay nagpapadama sa kanilang sarili kapag binasa sa iba't ibang direksyon. Bilang karagdagan, ang pag-aayos ng mga numero ay simetriko, at ang kanilang kabuuan sa bawat hilera, bawat haligi at sa isa sa mga diagonal ay ipinahayag ng isang simpleng numero - 5.

Dapat sabihin na ang mga numero na isinasaalang-alang ay kawili-wili sa kanilang sarili. Halimbawa, ang palindrome 131 ay isang cyclic prime number: anumang sunud-sunod na rearrangements ng unang digit hanggang sa huling lugar ay gumagawa ng mga prime number na 311 at 113. Maaari mo bang ituro ang iba pang prime palindrome na may parehong katangian?

Ngunit ang mga pares ng "inverted" na mga numero 13 - 31 at 113 - 311, kapag squared, ay nagbibigay din ng mga pares ng "inverted" na mga numero: 169 - 961 at 12769 - 96721. Nakakapagtaka na kahit na ang mga kabuuan ng kanilang mga digit ay naging nauugnay sa isang tusong paraan:

(1 + 3) 2 = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3) 2 = 1 + 2 + 7 + 6 + 9.

Idagdag natin na kabilang sa mga natural na numero ay may iba pang mga pares ng "reversals" na may katulad na katangian: 103 - 301, 1102 - 2011, 11113 - 31111, atbp. Ano ang nagpapaliwanag sa naobserbahang pattern? Upang masagot ang tanong na ito, kailangan mong maunawaan kung ano ang espesyal tungkol sa pag-record ng mga numerong ito, kung anong mga numero at kung anong dami ang maaaring naroroon dito.

NUMERICAL CONSTRUCTOR

Narito, halimbawa, ay isang magandang kumbinasyon ng mga simpleng palindrome na nakasulat na may 1 at 3 (maliban sa una, Fig. 2). Ang kakaiba ng numerong tatsulok na ito ay ang parehong fragment ay paulit-ulit nang tatlong beses nang hindi sinisira ang simetrya ng pattern.

kanin. 2

Madaling makita na ang kabuuang bilang ng mga row at column ay isang prime number (17). Bilang karagdagan, ang mga pangunahing numero at kabuuan ng mga digit: mga fragment na naka-highlight sa pula (17); bawat linya maliban sa una (5, 11, 17, 19, 23); ang ikatlo, ikalima, ikapito at ikasiyam na hanay (7, 11) at ang "hagdan" ng mga yunit na bumubuo sa mga gilid ng tatsulok (11). Sa wakas, kung lumipat tayo parallel sa ipinahiwatig na "mga gilid" at idagdag ang mga numero ng ikatlo at ikalimang hanay nang hiwalay (Larawan 3), makakakuha tayo ng dalawa pang pangunahing numero (17, 5).

kanin. 3

Sa pagpapatuloy ng pagtatayo, maaari kang bumuo ng mas kumplikadong mga numero batay sa tatsulok na ito. Kaya, hindi mahirap makakuha ng isa pang tatsulok na may katulad na mga katangian sa pamamagitan ng paglipat mula sa dulo, iyon ay, simula sa huling numero, pagtawid sa bawat hakbang ng dalawang magkaparehong simetriko na matatagpuan na mga numero at muling pag-aayos o pagpapalit ng iba - 3 sa 1 at vice versa . Sa kasong ito, ang mga numero mismo ay dapat piliin sa paraang ang resultang numero ay naging simple. Ang pagsasama-sama ng parehong mga numero, nakakakuha kami ng isang rhombus na may isang katangian na pattern ng mga numero, nagtatago ng maraming mga pangunahing numero (Larawan 4). Sa partikular, ang kabuuan ng mga numerong naka-highlight sa pula ay 37.

kanin. 4

Ang isa pang halimbawa ay isang tatsulok na nakuha mula sa orihinal pagkatapos magdagdag ng anim na simpleng palindrome dito (Larawan 5). Ang pigura ay agad na umaakit ng pansin sa kanyang eleganteng frame ng mga yunit. Ito ay napapaligiran ng dalawang simpleng repunite na may parehong haba: 23 unit ang bumubuo sa "base" at ang parehong numero ay bumubuo sa "mga gilid" ng tatsulok.

kanin. 5

Ilang figures pa

Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 6 ang isa sa mga solusyon sa problema - isang "bahay" na ginawa mula sa 11 iba't ibang palindrome.

kanin. 6

kanin. 7

kanin. 8

kanin. 9

Ngayon, armado ng isang talahanayan ng mga prime number, ikaw mismo ay makakagawa ng mga figure tulad ng mga iminungkahi namin.

At sa wakas, isa pang kuryusidad - isang tatsulok, literal na tinusok ang haba at crosswise na may palindromes (Larawan 10). Mayroon itong 11 row ng mga prime number, at ang mga column ay nabuo sa pamamagitan ng repdigits. At ang pinakamahalaga: ang palindrome 193111111323111111391 na naglilimita sa figure mula sa mga gilid ay isang prime number!

Portal para sa mga mag-aaral. Paghahanda sa sarili

Pinagmulan ng trabaho: Solusyon 4954. Pinag-isang State Exam 2016 Mathematics, I.V. Yashchenko. 36 mga pagpipilian. Sagot.

I-download:

Preview:

Preview:

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO