Analytical na kahulugan ng isang function

Function na %%y = f(x), x \in X%% na ibinigay sa isang tahasang analitikal na paraan, kung may ibinigay na formula na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng mga pagpapatakbong matematikal na dapat gawin gamit ang argumentong %%x%% upang makuha ang value na %%f(x)%% ng function na ito.

Halimbawa

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Kaya, halimbawa, sa physics, na may pantay na pinabilis na rectilinear motion, ang bilis ng isang katawan ay tinutukoy ng formula t%% ay nakasulat bilang: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Piecewise Defined Function

Minsan ang function na isinasaalang-alang ay maaaring tukuyin ng ilang mga formula na gumagana sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan nito, kung saan nagbabago ang argument ng function. Halimbawa: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Ang mga function ng ganitong uri ay tinatawag minsan bumubuo o pira-piraso. Ang isang halimbawa ng naturang function ay %%y = |x|%%

Saklaw ng pag-andar

Kung ang function ay tinukoy sa isang tahasang analytical na paraan gamit ang isang formula, ngunit ang saklaw ng function sa anyo ng isang set na %%D%% ay hindi tinukoy, pagkatapos ay sa pamamagitan ng %%D%% palagi nating ibig sabihin ang set ng mga halaga ng argumentong %%x%% kung saan may katuturan ang formula na ito . Kaya para sa function na %%y = x^2%%, ang domain ng kahulugan ay ang set na %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, dahil ang argumento %%x% % ay maaaring tumagal ng anumang mga halaga sa linya ng numero. At para sa function na %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%%, ang domain ng definition ay ang set ng mga values ​​​​%%x%% na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay %%1 - x^2 > 0%%, m .e. %%D = (-1, 1)%%.

Mga Benepisyo ng Explicit Analytic Function Definition

Tandaan na ang tahasang analytical na paraan ng pagtukoy sa isang function ay medyo compact (ang formula, bilang panuntunan, ay tumatagal ng maliit na espasyo), madaling kopyahin (ang formula ay madaling isulat), at pinaka-angkop sa pagsasagawa ng mga mathematical na operasyon at pagbabago sa mga function.

Ang ilan sa mga operasyong ito - algebraic (pagdaragdag, pagpaparami, atbp.) - ay kilala sa kursong matematika ng paaralan, ang iba (pagkita ng kaibhan, pagsasama) ay pag-aaralan sa hinaharap. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi palaging malinaw, dahil ang likas na katangian ng pag-asa ng function sa argumento ay hindi palaging malinaw, at kung minsan ang mga masalimuot na kalkulasyon ay kinakailangan upang mahanap ang mga halaga ng function (kung kinakailangan).

Implicit na detalye ng function

Ang function na %%y = f(x)%% ay tinukoy sa isang implicit analytical na paraan, kung ang ugnayang $$F(x,y) = 0 ay ibinigay, ~~~~~~~~~~(1)$$ inuugnay ang mga halaga ng function na %%y%% at ang argumento %% x%%. Kung bibigyan ng mga halaga ng argumento, pagkatapos ay upang mahanap ang halaga ng %%y%% na tumutugma sa isang partikular na halaga ng %%x%%, kinakailangan upang malutas ang equation na %%(1)%% na may paggalang sa %%y%% sa partikular na halagang iyon ng %%x%%.

Dahil sa halagang %%x%%, ang equation na %%(1)%% ay maaaring walang solusyon o higit sa isang solusyon. Sa unang kaso, ang tinukoy na halaga na %%x%% ay wala sa saklaw ng implicit na function, at sa pangalawang kaso ito ay tumutukoy multivalued function, na mayroong higit sa isang halaga para sa isang ibinigay na halaga ng argumento.

Tandaan na kung ang equation na %%(1)%% ay maaaring tahasang malulutas nang may kinalaman sa %%y = f(x)%%, pagkatapos ay makukuha natin ang parehong function, ngunit natukoy na sa isang tahasang analytical na paraan. Kaya, ang equation na %%x + y^5 - 1 = 0%%

at ang pagkakapantay-pantay na %%y = \sqrt(1 - x)%% ay tumutukoy sa parehong function.

Kahulugan ng parametric function

Kapag hindi direktang binigay ang dependence ng %%y%% sa %%x%%, ngunit sa halip ay ibinibigay ang dependences ng parehong variable %%x%% at %%y%% sa ilang ikatlong auxiliary variable %%t%% sa anyo

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$nag-uusap sila parametric ang paraan ng pagtatakda ng function;

pagkatapos ay ang auxiliary variable na %%t%% ay tinatawag na isang parameter.

Kung posibleng ibukod ang parameter na %%t%% mula sa mga equation na %%(2)%%, mapupunta sila sa isang function na ibinigay ng tahasan o implicit na analytical dependence na %%y%% sa %%x%% . Halimbawa, mula sa mga ugnayang $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ maliban para sa parameter na % %t%% nakukuha natin ang dependence %%y = 2 x + 2%%, na nagtatakda ng tuwid na linya sa %%xOy%% plane.

Grapikong paraan

Isang halimbawa ng isang graphical na kahulugan ng isang function

Ang mga halimbawa sa itaas ay nagpapakita na ang analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function ay tumutugma sa nito graphic na larawan, na maaaring ituring bilang isang maginhawa at visual na anyo ng paglalarawan ng isang function. Minsan ginagamit graphic na paraan pagtukoy sa isang function kapag ang dependence ng %%y%% sa %%x%% ay ibinigay ng isang linya sa %%xOy%% plane. Gayunpaman, para sa lahat ng kalinawan nito, nawawala ito sa katumpakan, dahil ang mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function ay maaaring makuha mula sa graph lamang ng humigit-kumulang. Ang resultang error ay depende sa sukat at katumpakan ng pagsukat ng abscissa at ordinate ng mga indibidwal na punto ng graph. Sa hinaharap, itatalaga namin ang papel ng graph ng function upang ilarawan lamang ang pag-uugali ng function, at samakatuwid ay paghihigpitan namin ang aming sarili sa pagbuo ng mga "sketch" ng mga graph na sumasalamin sa mga pangunahing tampok ng mga function.

Tabular na paraan

Tandaan tabular na paraan mga pagtatalaga ng function, kapag ang ilang mga halaga ng argumento at ang kanilang mga katumbas na halaga ng pag-andar ay inilagay sa isang talahanayan sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Ito ay kung paano binuo ang mga kilalang talahanayan ng trigonometriko function, mga talahanayan ng logarithms, atbp. Sa anyo ng isang talahanayan, ang ugnayan sa pagitan ng mga dami na sinusukat sa mga eksperimentong pag-aaral, mga obserbasyon, at mga pagsusulit ay karaniwang ipinakita.

Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang imposibilidad ng direktang pagtukoy ng mga halaga ng pag-andar para sa mga halaga ng argumento na hindi kasama sa talahanayan. Kung may kumpiyansa na ang mga halaga ng argumento na hindi ipinakita sa talahanayan ay nabibilang sa domain ng itinuturing na pag-andar, kung gayon ang kaukulang mga halaga ng pag-andar ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang gamit ang interpolation at extrapolation.

Halimbawa

x	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

Algorithmic at verbal na paraan ng pagtukoy ng mga function

Maaaring itakda ang function algorithmic(o programmatic) sa paraang malawakang ginagamit sa mga kalkulasyon ng computer.

Sa wakas, maaari itong mapansin naglalarawan(o pasalita) isang paraan ng pagtukoy ng isang function, kapag ang panuntunan para sa pagtutugma ng mga halaga ng function sa mga halaga ng argumento ay ipinahayag sa mga salita.

Halimbawa, ang function na %%[x] = m~\forall (x \in , constant (-∞; -5];4. limitado - limitado mula sa ibaba5. ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function - y naim = 0, y naib - ay hindi umiiral;6. pagpapatuloy - tuloy-tuloy sa buong domain ng kahulugan;7. hanay ng mga halaga - , matambok at pataas at pababa (-∞; -5] at [-2; +∞).VI. Pagpaparami ng kaalaman sa isang bagong antas. Alam mo na ang pagbuo at pagsisiyasat ng mga graph ng piecewise na ibinigay na function ay sakop sa ikalawang bahagi ng algebra exam sa function section at sinusuri ng 4 at 6 na puntos. Lumiko tayo sa koleksyon ng mga gawain. Pahina 119 - No. 4.19-1). Solusyon: 1). y \u003d - x, - quadratic function, graph - parabola, mga sanga pababa (a \u003d -1, a 0) . x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 0 1 4 2) y \u003d 3x - 10, - isang linear function, ang graph ay isang tuwid na linyaGumawa tayo ng talahanayan ng ilang halagax 3 3 y 0 -1 3) y \u003d -3x -10, - isang linear function, ang graph ay isang tuwid na linyaGumawa tayo ng talahanayan ng ilang halaga x -3 -3 y 0 -1 4) Bumubuo kami ng mga graph ng mga function sa isang coordinate system at pumili ng mga bahagi ng mga graph sa mga ibinigay na agwat.
Hanapin natin mula sa graph kung saan ang mga halaga ng x ang mga halaga ng function ay hindi negatibo. Sagot: f(x)  0 para sa x = 0 at para sa  3 VII. Gumawa ng mga hindi karaniwang gawain. Blg. 4.29-1), p. 121. Desisyon: 1) Direkta (kaliwa) y \u003d Ang kx + b ay dumadaan sa mga puntos (-4;0) at (-2;2). Kaya -4 k + b = 0, -2 k + b = 2;
k \u003d 1, b \u003d 4, y \u003d x + 4. Sagot: x +4 kung x -2 y = kung -2  x £3 3 kung x  3
VIII.Pagkontrol sa kaalaman. Kaya, sabihin sa sum up ng kaunti. Ano ang inulit natin sa aralin?Function research plan, mga hakbang sa pag-plot ng piecewise function graph, pagtatakda ng function analytically. Suriin natin kung paano mo natutunan ang materyal na ito. Pagsubok para sa "4" - "5", "3" I option No. U
2 1 -1 -1 1 X

D(f) = , matambok at pataas at pababa ng , matambok pataas at pababa ng , bumababa ng ________ Limitado ng ____________ kahit man lang ay hindi umiiral, sa max =_____ Continuous sa buong domain ng kahulugan E(f) = ____________ Matambok at pababa at pataas ng buong domain ng kahulugan

Institusyong pang-edukasyon sa badyet ng munisipyo

sekondaryang paaralan №13

"Piecewise Function"

Sapogova Valentina at

Donskaya Alexandra

Head Consultant:

Berdsk

1. Kahulugan ng mga pangunahing layunin at layunin.

2. Pagtatanong.

2.1. Pagtukoy sa kaugnayan ng gawain

2.2. Praktikal na kahalagahan.

3. Kasaysayan ng mga function.

4. Pangkalahatang katangian.

5. Mga pamamaraan para sa pagtatakda ng mga function.

6. Algoritmo ng pagtatayo.

8. Gamit na panitikan.

1. Kahulugan ng mga pangunahing layunin at layunin.

Target:

Alamin ang isang paraan upang malutas ang mga piecewise function at, batay dito, gumuhit ng isang algorithm para sa kanilang pagbuo.

Mga gawain:

— Kilalanin ang pangkalahatang konsepto ng piecewise function;

- Alamin ang kasaysayan ng terminong "function";

- Magsagawa ng survey;

— Upang matukoy ang mga paraan ng pagtatakda ng mga piecewise function;

- Gumawa ng isang algorithm para sa kanilang pagbuo;

2. Pagtatanong.

Ang isang survey ay isinagawa sa mga mag-aaral sa high school sa kakayahang bumuo ng mga piecewise function. Ang kabuuang bilang ng mga tumugon ay 54 katao. Sa kanila, 6% ang nakakumpleto ng gawain. 28% ay nagawang tapusin ang gawain, ngunit may ilang mga pagkakamali. 62% - hindi magawa ang trabaho, kahit na gumawa sila ng ilang mga pagtatangka, at ang natitirang 4% ay hindi nagsimulang magtrabaho.

Mula sa survey na ito, mahihinuha natin na ang mga mag-aaral ng ating paaralan na dumaan sa programa ay may hindi sapat na base ng kaalaman, dahil ang may-akda na ito ay hindi gaanong binibigyang pansin ang mga gawaing tulad nito. Ito ay mula dito na ang kaugnayan at praktikal na kahalagahan ng aming trabaho ay sumusunod.

2.1. Pagtukoy sa kaugnayan ng gawain.

Kaugnayan:

Ang mga function na piraso ay matatagpuan sa GIA at sa USE, ang mga gawain na naglalaman ng ganitong uri ay sinusuri sa 2 o higit pang mga puntos. At, samakatuwid, ang iyong pagtatasa ay maaaring depende sa kanilang desisyon.

2.2. Praktikal na kahalagahan.

Ang resulta ng aming trabaho ay isang algorithm para sa paglutas ng mga piecewise function, na makakatulong upang maunawaan ang kanilang konstruksiyon. At ito ay magdaragdag ng mga pagkakataong makuha ang grade na gusto mo sa pagsusulit.

3. Kasaysayan ng mga function.

- "Algebra Grade 9", atbp.;

Ang pagpapatuloy at pagplano ng mga piecewise function ay isang kumplikadong paksa. Mas mainam na matutunan kung paano bumuo ng mga graph nang direkta sa isang praktikal na aralin. Dito, pangunahing ipinapakita ang pag-aaral sa pagpapatuloy.

Ito ay kilala na elementarya function(tingnan ang p. 16) ay tuloy-tuloy sa lahat ng punto kung saan ito ay tinukoy. Samakatuwid, ang discontinuity sa elementarya ay posible lamang sa mga punto ng dalawang uri:

a) sa mga punto kung saan ang function ay "na-override";

b) sa mga punto kung saan wala ang function.

Alinsunod dito, ang mga naturang punto lamang ang sinusuri para sa pagpapatuloy sa panahon ng pag-aaral, tulad ng ipinapakita sa mga halimbawa.

Para sa mga non-elementary functions, ang pag-aaral ay mas mahirap. Halimbawa, ang isang function (ang integer na bahagi ng isang numero) ay tinukoy sa buong linya ng numero, ngunit dumaranas ng break sa bawat integer x. Ang mga tanong na tulad nito ay nasa labas ng saklaw ng gabay na ito.

Bago pag-aralan ang materyal, dapat mong ulitin mula sa isang panayam o aklat-aralin kung ano (anong uri) ang mga break point.

Pagsisiyasat ng pira-pirasong ibinigay na mga function para sa pagpapatuloy

Set ng function pira-piraso, kung ito ay ibinibigay ng iba't ibang mga formula sa iba't ibang bahagi ng domain ng kahulugan.

Ang pangunahing ideya sa pag-aaral ng mga naturang function ay upang malaman kung ang function ay tinukoy sa mga punto kung saan ito ay muling tinukoy, at kung paano. Pagkatapos ay sinusuri kung ang mga halaga ng pag-andar sa kaliwa at sa kanan ng naturang mga punto ay pareho.

Halimbawa 1 Ipakita natin na ang function
tuloy-tuloy.

Function
ay elementarya at samakatuwid ay tuloy-tuloy sa mga punto kung saan ito tinukoy. Ngunit, malinaw naman, ito ay tinukoy sa lahat ng mga punto. Samakatuwid, ito ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga punto, kabilang ang sa
, ayon sa kinakailangan ng kondisyon.

Ang parehong ay totoo para sa pag-andar
, at sa
ito ay tuloy-tuloy.

Sa ganitong mga kaso, ang pagpapatuloy ay maaari lamang masira kung saan ang function ay muling tinukoy. Sa aming halimbawa, ito ang punto
. Suriin natin ito, kung saan makikita natin ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan:

Ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan ay pareho. Ito ay nananatiling makikita:

a) kung ang function ay tinukoy sa mismong punto
;

b) kung gayon, tumutugma ba ito?
na may mga halaga ng limitasyon sa kaliwa at kanan.

Sa kondisyon, kung
, pagkatapos
. Kaya
.

Nakikita natin iyan (lahat ay katumbas ng numero 2). Nangangahulugan ito na sa punto
tuloy-tuloy ang function. Kaya ang function ay tuloy-tuloy sa buong axis, kabilang ang punto
.

Mga Tala ng Solusyon

a) Hindi ito gumanap ng papel sa mga kalkulasyon, kapalit tayo ay nasa isang tiyak na formula ng numero
o
. Ito ay karaniwang mahalaga kapag ang paghahati sa isang infinitesimal na halaga ay nakuha, dahil ito ay nakakaapekto sa tanda ng infinity. Dito
at
responsable lamang para sa pagpili ng function;

b) bilang panuntunan, mga pagtatalaga
at
ay pantay, ang parehong naaangkop sa mga pagtatalaga
at
(at totoo para sa anumang punto, hindi lamang para sa
). Sa mga sumusunod, para sa kaiklian, ginagamit namin ang mga notasyon ng form
;

c) kapag ang mga limitasyon sa kaliwa at sa kanan ay pantay, upang subukan para sa pagpapatuloy, sa katunayan, ito ay nananatiling upang makita kung ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay maluwag. Sa halimbawa, ito ay naging ika-2 hindi pagkakapantay-pantay.

Halimbawa 2 Sinisiyasat namin ang pagpapatuloy ng function
.

Para sa parehong mga kadahilanan tulad ng sa Halimbawa 1, ang pagpapatuloy ay maaari lamang masira sa punto
. Suriin natin:

Ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan ay pantay, ngunit sa punto mismo
ang pag-andar ay hindi tinukoy (ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit). Ibig sabihin nito ay
- tuldok naaayos na puwang.

Ang ibig sabihin ng "naaalis na puwang" ay sapat na upang gawing hindi mahigpit ang alinman sa mga hindi pagkakapantay-pantay, o gumawa ng isang hiwalay na punto.
function, ang halaga nito sa
ay -5, o ipahiwatig lamang iyon
upang ang buong pag-andar
naging tuloy-tuloy.

Sagot: tuldok
– break point.

Puna 1. Sa panitikan, ang isang naaalis na puwang ay karaniwang itinuturing na isang espesyal na kaso ng isang puwang ng unang uri, gayunpaman, ang mga mag-aaral ay mas madalas na nauunawaan bilang isang hiwalay na uri ng puwang. Upang maiwasan ang mga pagkakaiba, susundin namin ang 1st point of view, at partikular naming itatakda ang "irremovable" gap ng 1st kind.

Halimbawa 3 Suriin kung tuloy-tuloy ang function

Sa punto

Magkaiba ang mga limitasyon sa kaliwa at kanan:
. Natukoy man o hindi ang function
(oo) at kung gayon, kung ano ang katumbas ng (ay katumbas ng 2), punto
–punto ng hindi naaalis na discontinuity ng 1st kind.

Sa punto
nangyayari huling pagtalon(mula 1 hanggang 2).

Sagot: tuldok

Puna 2. sa halip na
at
karaniwang nagsusulat
at
ayon sa pagkakabanggit.

Available tanong: paano naiiba ang mga pag-andar

at
,

at pati na rin ang kanilang mga tsart? Tama sagot:

a) Ang 2nd function ay hindi tinukoy sa punto
;

b) sa graph ng 1st function, ang punto
"painted over", sa graph 2 - hindi ("punctured point").

Dot
kung saan nagtatapos ang graph
, ay hindi naka-shade sa parehong mga plot.

Mas mahirap pag-aralan ang mga function na naiiba ang kahulugan sa tatlo mga plot.

Halimbawa 4 Tuloy-tuloy ba ang pag-andar?
?

Tulad ng sa mga halimbawa 1 - 3, bawat isa sa mga function
,
at ay tuloy-tuloy sa buong numerical axis, kasama ang seksyon kung saan ito ibinigay. Ang puwang ay posible lamang sa punto
o (at) sa punto
kung saan na-override ang function.

Ang gawain ay nahahati sa 2 subtasks: upang siyasatin ang pagpapatuloy ng function

at
,

saka, ang punto
hindi interesado sa function
, at ang punto
- para sa function
.

1st step. Sinusuri ang punto
at function
(hindi namin isinusulat ang index):

Ang mga limitasyon ay tumutugma. Sa kondisyon,
(kung ang mga limitasyon sa kaliwa at sa kanan ay pantay, kung gayon ang pag-andar ay aktwal na tuluy-tuloy kapag ang isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit). Kaya sa punto
tuloy-tuloy ang function.

ika-2 hakbang. Sinusuri ang punto
at function
:

Sa abot ng
, tuldok
ay isang discontinuity point ng unang uri, at ang halaga
(at kung mayroon man) ay hindi na mahalaga.

Sagot: ang function ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga punto maliban sa punto
, kung saan mayroong hindi mababawi na pagkaputol ng unang uri - isang pagtalon mula 6 hanggang 4.

Halimbawa 5 Maghanap ng mga function break point
.

Kumilos kami sa parehong paraan tulad ng sa halimbawa 4.

1st step. Sinusuri ang punto
:

a)
, dahil sa kaliwa ng
ang function ay pare-pareho at katumbas ng 0;

b) (
ay isang pantay na pag-andar).

Ang mga limitasyon ay pareho, ngunit
ang pag-andar ay hindi tinukoy ng kundisyon, at ito ay lumalabas na
– break point.

ika-2 hakbang. Sinusuri ang punto
:

a)
;

b)
- ang halaga ng function ay hindi nakadepende sa variable.

Ang mga limitasyon ay iba: , tuldok
ay ang punto ng hindi matatanggal na discontinuity ng unang uri.

Sagot:
- break point,
ay isang punto ng hindi naaalis na discontinuity ng unang uri, sa iba pang mga punto ang function ay tuloy-tuloy.

Halimbawa 6 Tuloy-tuloy ba ang pag-andar?
?

Function
tinutukoy sa
, kaya ang kondisyon
nagiging kondisyon
.

Sa kabilang banda, ang pag-andar
tinutukoy sa
, ibig sabihin. sa
. Kaya ang kondisyon
nagiging kondisyon
.

Ito ay lumiliko na ang kondisyon ay dapat masiyahan
, at ang domain ng kahulugan ng buong function ay ang segment
.

Ang mga function mismo
at
ay elementarya at samakatuwid ay tuluy-tuloy sa lahat ng mga punto kung saan ang mga ito ay tinukoy—sa partikular, at para sa
.

Ito ay nananatiling suriin kung ano ang nangyayari sa punto
:

a)
;

Sa abot ng
, tingnan kung ang function ay tinukoy sa punto
. Oo, ang 1st inequality ay hindi mahigpit na may kinalaman sa
, at sapat na iyon.

Sagot: ang function ay tinukoy sa pagitan
at tuloy-tuloy dito.

Ang mas kumplikadong mga kaso, kapag ang isa sa mga constituent function ay hindi elementarya o hindi tinukoy sa anumang punto sa segment nito, ay lampas sa saklaw ng manual.

NF1. I-plot ang mga function graph. Bigyang-pansin kung ang function ay tinukoy sa punto kung saan ito ay muling tinukoy, at kung gayon, ano ang halaga ng function (ang salitang " kung” ay tinanggal sa kahulugan ng function para sa kaiklian):

1) a)
b)
sa)
G)

2) a)
b)
sa)
G)

3) a)
b)
sa)
G)

4) a)
b)
sa)
G)

Halimbawa 7 Hayaan
. Pagkatapos sa site
bumuo ng isang pahalang na linya
, at sa balangkas
bumuo ng isang pahalang na linya
. Sa kasong ito, ang punto na may mga coordinate
"gouged out" at ang tuldok
"pininturahan". Sa punto
ang isang discontinuity ng 1st kind ("jump") ay nakuha, at
.

NF2. Siyasatin para sa pagpapatuloy ang mga function na tinukoy nang naiiba sa 3 agwat. I-plot ang mga graph:

1) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

2) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

3) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

Halimbawa 8 Hayaan
. Lokasyon sa
bumuo ng isang tuwid na linya
, kung saan matatagpuan namin
at
. Pagkonekta ng mga tuldok
at
segment. Hindi namin isinama ang mga puntos sa kanilang sarili, dahil para sa
at
ang function ay hindi tinukoy ng kundisyon.

Lokasyon sa
at
bilugan ang OX axis (nito
), ngunit ang mga puntos
at
"natumba". Sa punto
nakakakuha kami ng isang naaalis na discontinuity, at sa punto
– discontinuity ng 1st kind (“tumalon”).

NF3. I-plot ang mga function graph at tiyaking tuluy-tuloy ang mga ito:

1) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

2) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

NF4. Tiyaking tuloy-tuloy ang mga function at buuin ang kanilang mga graph:

1) a)
b)
sa)

2 a)
b)
sa)

3) a)
b)
sa)

NF5. I-plot ang mga function graph. Bigyang-pansin ang pagpapatuloy:

1) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

2) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

3) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

4) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

5) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

NF6. I-plot ang mga graph ng mga hindi tuluy-tuloy na function. Tandaan ang halaga ng function sa punto kung saan muling tinukoy ang function (at kung mayroon man ito):

1) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

2) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

3) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

4) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

5) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

NF7. Parehong gawain tulad ng sa NF6:

1) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

2) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

3) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

4) a)
b)
sa)

G)
e)
e)

Ang mga tunay na prosesong nagaganap sa kalikasan ay mailalarawan gamit ang mga function. Kaya, maaari nating makilala ang dalawang pangunahing uri ng daloy ng mga proseso na kabaligtaran sa bawat isa - ito ay unti-unti o tuloy-tuloy at palpak(isang halimbawa ay isang bola na bumabagsak at rebound). Ngunit kung may mga hindi tuluy-tuloy na proseso, mayroong mga espesyal na paraan para sa kanilang paglalarawan. Para sa layuning ito, ang mga function na may mga discontinuities, jumps ay inilalagay sa sirkulasyon, iyon ay, sa iba't ibang bahagi ng numerical line, ang function ay kumikilos ayon sa iba't ibang mga batas at, nang naaayon, ay ibinibigay ng iba't ibang mga formula. Ang mga konsepto ng discontinuity point at removable discontinuity ay ipinakilala.

Tiyak na nakita mo na ang mga function na tinukoy ng ilang mga formula, depende sa mga halaga ng argumento, halimbawa:

y \u003d (x - 3, na may x\u003e -3;
(-(x - 3), para sa x< -3.

Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag pira-piraso o pira-piraso. Mga seksyon ng linya ng numero na may iba't ibang mga formula ng trabaho, tawagan natin mga nasasakupan domain. Ang unyon ng lahat ng mga bahagi ay ang domain ng piecewise function. Ang mga puntong iyon na naghahati sa domain ng isang function sa mga bahagi ay tinatawag mga boundary point. Tinatawag ang mga formula na tumutukoy sa isang piecewise function sa bawat constituent domain ng definition mga papasok na function. Ang mga graph ng piecewise na ibinigay na mga function ay nakuha bilang resulta ng pagsasama-sama ng mga bahagi ng mga graph na binuo sa bawat isa sa mga pagitan ng partition.

Mga ehersisyo.

Bumuo ng mga graph ng piecewise functions:

1) (-3, na may -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, para sa x = 0,
(1, sa 0< x ≤ 5.

Ang graph ng unang function ay isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong y = -3. Nagmumula ito sa puntong may mga coordinate (-4; -3), napupunta parallel sa abscissa axis hanggang sa punto na may mga coordinate (0; -3). Ang graph ng pangalawang function ay isang punto na may mga coordinate (0; 0). Ang ikatlong graph ay katulad ng una - ito ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto y \u003d 1, ngunit nasa lugar na mula 0 hanggang 5 kasama ang axis ng Ox.

Sagot: figure 1.

2) (3 kung x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| kung -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 kung x > 4.

Isaalang-alang ang bawat function nang hiwalay at i-plot ang graph nito.

Kaya, ang f(x) = 3 ay isang tuwid na linya na kahanay sa axis ng Ox, ngunit kailangan lamang itong iguhit sa lugar kung saan ang x ≤ -4.

Graph ng function na f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| ay maaaring makuha mula sa parabola y \u003d x 2 - 4x + 3. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng graph nito, ang bahagi ng figure na nasa itaas ng Ox axis ay dapat na iwanang hindi nagbabago, at ang bahagi na nasa ilalim ng abscissa axis ay dapat na maipakita nang simetriko kaugnay sa axis ng Ox. Pagkatapos ay simetriko ipakita ang bahagi ng graph kung saan
x ≥ 0 tungkol sa Oy axis para sa negatibong x. Ang graph na nakuha bilang resulta ng lahat ng pagbabago ay naiwan lamang sa lugar mula -4 hanggang 4 sa kahabaan ng abscissa.

Ang graph ng ikatlong function ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta pababa, at ang vertex ay nasa puntong may mga coordinate (4; 3). Ang pagguhit ay inilalarawan lamang sa lugar kung saan ang x > 4.

Sagot: figure 2.

3) (8 - (x + 6) 2 kung x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| kung -6 ≤ x< 5,
(3 kung x ≥ 5.

Ang pagbuo ng iminungkahing piecewise na ibinigay na function ay katulad ng nakaraang talata. Dito, ang mga graph ng unang dalawang function ay nakuha mula sa mga pagbabagong parabola, at ang graph ng pangatlo ay isang tuwid na linya na kahanay ng Ox.

Sagot: figure 3.

4) I-plot ang function na y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Desisyon. Ang domain ng function na ito ay lahat ng tunay na numero maliban sa zero. Buksan natin ang modyul. Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang kaso:

1) Para sa x > 0, nakukuha natin ang y = x - x + (x - 1-1) 2 = (x - 2) 2 .

2) Para sa x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Kaya, mayroon kaming isang piecewise na ibinigay na function:

y = ((x - 2) 2 , para sa x > 0;
( x 2 + 2x, para sa x< 0.

Ang mga graph ng parehong mga function ay mga parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas.

Sagot: figure 4.

5) I-plot ang function na y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Desisyon.

Madaling makita na ang domain ng function ay lahat ng tunay na numero maliban sa zero. Pagkatapos palawakin ang modyul, nakakakuha kami ng isang pirasong ibinigay na function:

1) Para sa x > 0, nakukuha natin ang y = (x + 1-1) 2 = x 2 .

2) Para sa x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Isulat muli natin.

y \u003d (x 2, para sa x\u003e 0;
((x – 2) 2 , para sa x< 0.

Ang mga graph ng mga function na ito ay mga parabola.

Sagot: figure 5.

6) Mayroon bang function na ang graph sa coordinate plane ay may karaniwang punto sa anumang linya?

Desisyon.

Oo meron.

Ang isang halimbawa ay ang function na f(x) = x 3 . Sa katunayan, ang graph ng cubic parabola ay nag-intersect sa patayong linyang x = a sa punto (a; a 3). Ngayon hayaan ang tuwid na linya na ibigay ng equation na y = kx + b. Tapos yung equation
x 3 - kx - b \u003d 0 ay may tunay na ugat x 0 (dahil ang isang polynomial ng kakaibang degree ay palaging may hindi bababa sa isang tunay na ugat). Samakatuwid, ang graph ng function ay nag-intersect sa tuwid na linya y \u003d kx + b, halimbawa, sa punto (x 0; x 0 3).

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.