Seksyon 5 MGA PAGPAPAHAYAG AT EQUATIONS

Sa seksyong matututunan mo:

ü o mga expression at ang kanilang mga pagpapasimple;

ü ano ang mga katangian ng pagkakapantay-pantay;

ü kung paano lutasin ang mga equation batay sa mga katangian ng pagkakapantay-pantay;

ü anong mga uri ng mga problema ang malulutas sa tulong ng mga equation; ano ang mga perpendikular na linya at kung paano bumuo ng mga ito;

ü anong mga linya ang tinatawag na parallel at kung paano bumuo ng mga ito;

ü ano ang coordinate plane;

ü kung paano matukoy ang mga coordinate ng isang punto sa isang eroplano;

ü ano ang dependency graph sa pagitan ng mga dami at kung paano ito bubuo;

ü kung paano ilapat ang natutunan na materyal sa pagsasanay

§ 30. MGA PAGPAPAHAYAG AT ANG KANILANG SIMPLIFIKASYON

Alam mo na kung ano ang mga literal na expression at alam mo kung paano gawing simple ang mga ito gamit ang mga batas ng pagdaragdag at pagpaparami. Halimbawa, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Sa resultang expression, ang numero -8 ay tinatawag na coefficient ng expression.

Ginagawa ang expression cd koepisyent? Kaya. Ito ay katumbas ng 1 dahil cd - 1 ∙ cd .

Tandaan na ang pag-convert ng expression na may panaklong sa isang expression na walang panaklong ay tinatawag na pagpapalawak ng panaklong. Halimbawa: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Ang kabaligtaran na aksyon sa halimbawang ito ay ang alisin ang karaniwang kadahilanan sa mga bracket.

Ang mga terminong naglalaman ng parehong literal na mga salik ay tinatawag na magkatulad na termino. Sa pamamagitan ng pag-alis ng karaniwang salik sa mga bracket, itinatayo ang mga katulad na termino:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

Mga panuntunan sa pagpapalawak ng bracket

1. Kung mayroong isang "+" sign sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay kapag binubuksan ang mga bracket, ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket ay napanatili;

2. Kung mayroong “-” sign sa harap ng mga bracket, pagkatapos ay kapag binuksan ang mga bracket, ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket ay binabaligtad.

Gawain 1 . Pasimplehin ang expression:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Mga solusyon. 1. May “+” sign sa harap ng mga bracket, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ay napanatili:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. May "-" sign sa harap ng mga bracket, samakatuwid, sa panahon ng pagbubukas ng mga bracket: ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino ay nababaligtad:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Upang buksan ang mga bracket, gamitin ang distributive property ng multiplication: a( b + c) = ab + ac. Kung a > 0, kung gayon ang mga palatandaan ng mga termino b at sa huwag magbago. Kung ang< 0, то знаки слагаемых b at mula sa ay baligtad.

Gawain 2. Pasimplehin ang expression:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Mga solusyon. 1. Ang factor 2 sa harap ng mga bracket e ay positibo, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, pinapanatili namin ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Ang kadahilanan -5 sa harap ng mga bracket e ay negatibo, samakatuwid, kapag binubuksan ang mga bracket, binabago namin ang mga palatandaan ng lahat ng mga termino sa kabaligtaran:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Alamin ang higit pa

1. Ang salitang "sum" ay nagmula sa Latin summa , na nangangahulugang "kabuuan", "kabuuan".

2. Ang salitang "plus" ay nagmula sa Latin plus, na nangangahulugang "higit pa", at ang salitang "minus" - mula sa Latin minus, na nangangahulugang "mas mababa". Ang mga palatandaang "+" at "-" ay ginagamit upang ipahiwatig ang mga operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas. Ang mga palatandaang ito ay ipinakilala ng Czech scientist na si J. Vidman noong 1489 sa aklat na "A quick and pleasant account for all merchants"(Larawan 138).

kanin. 138

TANDAAN ANG MGA PANGUNAHING BAGAY

1. Anong mga termino ang tinatawag na magkatulad? Paano nabuo ang mga katulad na termino?

2. Paano mo binubuksan ang mga bracket na pinangungunahan ng “+” sign?

3. Paano mo binubuksan ang mga bracket na pinangungunahan ng "-" sign?

4. Paano mo binubuksan ang mga bracket na nauunahan ng positibong salik?

5. Paano mo binubuksan ang mga bracket na nauunahan ng negatibong salik?

1374". Pangalanan ang coefficient ng expression:

1) 12 a; 3) -5.6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Pangalanan ang mga terminong naiiba lamang sa coefficient:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Ano ang tawag sa mga terminong ito?

1376". Mayroon bang mga katulad na termino sa expression:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Kailangan bang baguhin ang mga palatandaan ng mga termino sa mga bracket, na binubuksan ang mga bracket sa expression:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Pasimplehin ang expression at salungguhitan ang coefficient:

1379°. Pasimplehin ang expression at salungguhitan ang coefficient:

1380°. Bawasan ang like terms:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Bawasan ang like terms:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:

1) 1.2 a +1.2 b; 3) -3 n - 1.8 m; 5) -5p + 2.5k -0.5t;

2) 0.5 s + 5d; 4) 1.2 n - 1.8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Alisin ang karaniwang salik sa mga bracket:

1) 6a-12b; 3) -1.8 n -3.6 m;

2) -0.2 s + 1 4 d; A) 3p - 0.9k + 2.7t.

1384°. Buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Palawakin ang mga bracket at hanapin ang kahulugan ng expression:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Palawakin ang mga bracket at hanapin ang kahulugan ng expression:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Buksan ang panaklong:

1) 0.5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2.4 p);

2)-s ∙ (2.7-1.2 d ); 5) 3 ∙ (-1.5 p + k - 0.2 t);

3) 1.6 ∙ (2n + m); 6) (4.2 p - 3.5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Buksan ang panaklong:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0.5 y );

2) -2 ∙ (1.2 n - m); 4) 6- (-p + 0.3 k - 1.2 t).

1390. Pasimplehin ang expression:

1391. Pasimplehin ang expression:

1392. Bawasan ang mga katulad na termino:

1393. Bawasan ang like terms:

1394. Pasimplehin ang expression:

1) 2.8 - (0.5 a + 4) - 2.5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4.5 ∙ (-6 y - 3.2);

4) (-12.8 m + 24.8 n) ∙ (-0.5)-(3.5 m -4.05 m) ∙ 2.

1395. Pasimplehin ang expression:

1396. Hanapin ang kahulugan ng expression;

1) 4-(0.2 a-3) - (5.8 a-16), kung isang \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), kung = -0.8;

m = 0.25, n = 5.7.

1397. Hanapin ang halaga ng expression:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), kung x = -0.25;

1398*. Hanapin ang error sa solusyon:

1) 5- (a-2.4) -7 ∙ (-a + 1.2) \u003d 5a - 12-7a + 8.4 \u003d -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2.3 a - 6) + 4.2 ∙ (-6 - 3.5 a) \u003d -9.2 a + 46 + 4.26 - 14.7 a \u003d -5.5 a + 8.26.

1399*. Palawakin ang mga bracket at pasimplehin ang expression:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ayusin ang mga panaklong upang makuha ang tamang pagkakapantay-pantay:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Patunayan na para sa anumang mga numero a at b kung a > b , pagkatapos ay ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay hawak:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Magiging tama ba ang pagkakapantay-pantay na ito kung: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Patunayan na para sa anumang natural na bilang a, ang arithmetic mean ng nauna at kasunod na mga numero ay katumbas ng a.

MAG-APPLY SA PAGSASANAY

1403. Upang maghanda ng dessert ng prutas para sa tatlong tao, kailangan mo ng: 2 mansanas, 1 orange, 2 saging at 1 kiwi. Paano gumawa ng literal na pagpapahayag upang matukoy ang dami ng prutas na kailangan upang maghanda ng dessert para sa mga bisita? Tulungan si Marin na kalkulahin kung ilang prutas ang kailangan niyang bilhin kung bibisita siya: 1) 5 kaibigan; 2) 8 kaibigan.

1404. Gumawa ng literal na pagpapahayag upang matukoy ang oras na kinakailangan upang makumpleto ang takdang-aralin sa matematika, kung:

1) isang minuto ang ginugol sa paglutas ng mga problema; 2) ang pagpapasimple ng mga expression ay 2 beses na higit pa kaysa sa paglutas ng mga problema. Ilang oras ginawa ni Vasilko ang kanyang takdang-aralin kung gumugol siya ng 15 minuto sa paglutas ng mga problema?

1405. Ang tanghalian sa kantina ng paaralan ay binubuo ng salad, borscht, cabbage roll at compote. Ang halaga ng salad ay 20%, borscht - 30%, repolyo roll - 45%, compote - 5% ng kabuuang halaga ng buong pagkain. Sumulat ng isang expression upang mahanap ang halaga ng tanghalian sa cafeteria ng paaralan. Magkano ang halaga ng tanghalian kung ang presyo ng isang salad ay 2 UAH?

PAG-UULIT NA GAWAIN

1406. Lutasin ang equation:

1407. Gumastos si Tanya sa ice creamlahat ng magagamit na pera, at para sa matamis -yung iba. Magkano ang pera ni Tanya?

kung ang matamis ay nagkakahalaga ng 12 UAH?

Ang ilang mga algebraic na halimbawa ng isang uri ay may kakayahang nakakatakot sa mga mag-aaral. Ang mga mahabang expression ay hindi lamang nakakatakot, ngunit napakahirap ding kalkulahin. Sinusubukang agad na maunawaan kung ano ang kasunod at kung ano ang kasunod, upang hindi malito nang matagal. Ito ay para sa kadahilanang ito na ang mga mathematician ay palaging nagsisikap na gawing simple ang "kakila-kilabot" na gawain hangga't maaari at pagkatapos lamang magpatuloy upang malutas ito. Kakatwa, ang gayong panlilinlang ay lubos na nagpapabilis sa proseso.

Ang pagpapasimple ay isa sa mga pangunahing punto sa algebra. Kung sa mga simpleng gawain posible pa ring gawin nang wala ito, kung gayon ang mas mahirap na kalkulahin ang mga halimbawa ay maaaring "masyadong matigas". Dito nagagamit ang mga kasanayang ito! Higit pa rito, hindi kinakailangan ang kumplikadong kaalaman sa matematika: sapat na upang matandaan at matutunan kung paano isabuhay ang ilang mga pangunahing pamamaraan at formula.

Anuman ang pagiging kumplikado ng mga kalkulasyon, kapag nilulutas ang anumang expression, ito ay mahalaga sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon na may mga numero:

1. panaklong;
2. exponentiation;
3. pagpaparami;
4. dibisyon;
5. karagdagan;
6. pagbabawas.

Ang huling dalawang puntos ay maaaring ligtas na mapalitan at hindi ito makakaapekto sa resulta sa anumang paraan. Ngunit ang pagdaragdag ng dalawang kalapit na numero, kapag sa tabi ng isa sa mga ito ay may isang tanda ng pagpaparami, ay ganap na imposible! Ang sagot, kung mayroon man, ay mali. Samakatuwid, kailangan mong tandaan ang pagkakasunud-sunod.

Ang paggamit ng ganyan

Ang mga nasabing elemento ay kinabibilangan ng mga numero na may variable ng parehong pagkakasunud-sunod o parehong antas. Mayroon ding mga tinatawag na libreng miyembro na wala sa tabi nila ang letter designation of the unknown.

Ang ilalim na linya ay na sa kawalan ng panaklong Maaari mong pasimplehin ang expression sa pamamagitan ng pagdaragdag o pagbabawas ng like.

Ang ilang mga mapaglarawang halimbawa:

• 8x 2 at 3x 2 - ang parehong mga numero ay may parehong pangalawang variable na pagkakasunud-sunod, kaya sila ay magkatulad at kapag idinagdag, sila ay pinasimple sa (8+3)x 2 =11x 2, habang kapag binabawasan, ito ay lumalabas na (8-3)x 2 =5x 2;
• 4x 3 at 6x - at dito ang "x" ay may ibang degree;
• 2y 7 at 33x 7 - naglalaman ng iba't ibang mga variable, samakatuwid, tulad ng sa nakaraang kaso, hindi sila kabilang sa mga katulad.

Pag-factor ng Numero

Ang maliit na mathematical trick na ito, kung matututunan mo kung paano gamitin ito nang tama, ay makakatulong sa iyo na makayanan ang isang nakakalito na problema nang higit sa isang beses sa hinaharap. At madaling maunawaan kung paano gumagana ang "system": ang isang agnas ay isang produkto ng ilang mga elemento, ang pagkalkula kung saan ay nagbibigay ng orihinal na halaga. Kaya, ang 20 ay maaaring katawanin bilang 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2, o iba pang paraan.

Sa isang tala: ang mga multiplier ay palaging pareho sa mga divisors. Kaya kailangan mong maghanap ng gumaganang "pares" para sa pagpapalawak sa mga numero kung saan ang orihinal ay nahahati nang walang natitira.

Maaari kang magsagawa ng naturang operasyon kapwa sa mga libreng miyembro at may mga digit na naka-attach sa isang variable. Ang pangunahing bagay ay hindi mawala ang huli sa panahon ng mga kalkulasyon - kahit na pagkatapos ng agnas, ang hindi alam ay hindi maaaring dalhin at "wala saan." Ito ay nananatili sa isa sa mga kadahilanan:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 \u003d (15y 2) 4.

Ang mga pangunahing numero na maaari lamang hatiin ng kanilang mga sarili o 1 hindi kailanman kadahilanan - ito ay walang katuturan..

Pangunahing Paraan ng Pagpapasimple

Ang unang bagay na nakakakuha ng mata:

• ang pagkakaroon ng mga bracket;
• mga fraction;
• mga ugat.

Ang mga algebraic na halimbawa sa kurikulum ng paaralan ay madalas na pinagsama-sama sa pag-aakalang maaari silang pasimplehin nang maganda.

Mga Pagkalkula ng Bracket

Bigyang-pansin ang karatula sa harap ng mga bracket! Ang multiplikasyon o paghahati ay inilalapat sa bawat elemento sa loob, at minus - binabaligtad ang umiiral na "+" o "-" na mga palatandaan.

Ang mga panaklong ay kinakalkula ayon sa mga patakaran o ayon sa mga pormula ng pinaikling multiplikasyon, pagkatapos kung saan ang mga katulad ay ibinigay.

Pagbabawas ng fraction

Bawasan ang mga fraction ay madali din. Sila mismo ay "kusang tumakas" paminsan-minsan, ito ay nagkakahalaga ng paggawa ng mga operasyon sa pagdadala ng mga naturang miyembro. Ngunit maaari mong pasimplehin ang halimbawa kahit na bago ito: bigyang pansin ang numerator at denominator. Kadalasan ay naglalaman ang mga ito ng tahasan o nakatagong mga elemento na maaaring bawasan sa isa't isa. Totoo, kung sa unang kaso kailangan mo lamang tanggalin ang labis, sa pangalawa ay kailangan mong mag-isip, na nagdadala ng bahagi ng expression sa form para sa pagpapasimple. Mga paraan na ginamit:

• paghahanap at bracketing ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator;
• paghahati sa bawat nangungunang elemento ng denominator.

Kapag ang isang ekspresyon o bahagi nito ay nasa ilalim ng ugat, ang pangunahing problema sa pagpapasimple ay halos kapareho ng kaso sa mga fraction. Kinakailangan na maghanap ng mga paraan upang ganap na mapupuksa ito o, kung hindi ito posible, upang mabawasan ang tanda na nakakasagabal sa mga kalkulasyon. Halimbawa, sa hindi mapanghimasok √(3) o √(7).

Ang isang tiyak na paraan upang pasimplehin ang radikal na pagpapahayag ay ang subukang i-factor ito, ang ilan sa mga ito ay nasa labas ng karatula. Isang mapaglarawang halimbawa: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

Iba pang maliliit na trick at nuances:

• ang pagpapasimpleng operasyon na ito ay maaaring isagawa gamit ang mga praksyon, na alisin ito mula sa pag-sign pareho sa kabuuan at hiwalay bilang isang numerator o denominator;
• imposibleng mabulok at kumuha ng bahagi ng kabuuan o pagkakaiba sa kabila ng ugat;
• kapag nagtatrabaho sa mga variable, siguraduhing isaalang-alang ang antas nito, dapat itong katumbas ng o isang multiple ng root para sa posibilidad ng pag-render: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 ×x)=x√( x);
• minsan pinahihintulutan na alisin ang radical variable sa pamamagitan ng pagtaas nito sa fractional power: √ (y 3)=y 3/2.

Pagpapasimple ng Power Expression

Kung sa kaso ng mga simpleng kalkulasyon sa pamamagitan ng minus o plus, ang mga halimbawa ay pinasimple sa pamamagitan ng pagdadala ng mga katulad, paano naman kapag nagpaparami o naghahati ng mga variable na may iba't ibang kapangyarihan? Madali silang gawing simple sa pamamagitan ng pag-alala sa dalawang pangunahing punto:

1. Kung mayroong multiplication sign sa pagitan ng mga variable, idaragdag ang mga exponent.
2. Kapag sila ay hinati sa isa't isa, ang parehong denominator ay ibabawas mula sa antas ng numerator.

Ang tanging kundisyon para sa naturang pagpapasimple ay ang parehong mga termino ay may parehong batayan. Mga halimbawa para sa kalinawan:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4)x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

Napansin namin na ang mga operasyon na may mga numerong halaga sa harap ng mga variable ay nangyayari ayon sa karaniwang mga panuntunan sa matematika. At kung titingnan mong mabuti, nagiging malinaw na ang mga elemento ng kapangyarihan ng expression na "gumagana" sa katulad na paraan:

• Ang pagpapataas ng isang miyembro sa isang kapangyarihan ay nangangahulugan ng pagpaparami nito sa sarili nitong isang tiyak na bilang ng beses, ibig sabihin, x 2 \u003d x × x;
• Ang dibisyon ay magkatulad: kung palawakin mo ang antas ng numerator at denominator, kung gayon ang ilan sa mga variable ay mababawasan, habang ang iba ay "natipon", na katumbas ng pagbabawas.

Tulad ng sa anumang negosyo, kapag pinasimple ang mga expression ng algebraic, hindi lamang ang kaalaman sa mga pangunahing kaalaman ay kinakailangan, kundi pati na rin ang pagsasanay. Pagkatapos lamang ng ilang mga aralin, ang mga halimbawa na minsan ay tila kumplikado ay mababawasan nang walang kahirap-hirap, na magiging maikli at madaling malutas.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan at matandaan kung paano pinasimple ang mga expression.

Hindi nakuha ang sagot sa iyong tanong? Magmungkahi ng paksa sa mga may-akda.

Kabilang sa iba't ibang mga expression na isinasaalang-alang sa algebra, ang mga kabuuan ng monomials ay sumasakop sa isang mahalagang lugar. Narito ang mga halimbawa ng gayong mga expression:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Ang kabuuan ng monomials ay tinatawag na polynomial. Ang mga termino sa isang polynomial ay tinatawag na mga miyembro ng polynomial. Ang mga monomial ay tinutukoy din bilang mga polynomial, na isinasaalang-alang ang isang monomial bilang isang polynomial na binubuo ng isang miyembro.

Halimbawa, polynomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
maaaring gawing simple.

Kinakatawan namin ang lahat ng mga termino bilang monomials ng karaniwang anyo:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Nagbibigay kami ng mga katulad na termino sa nagresultang polynomial:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Ang resulta ay isang polynomial, ang lahat ng mga miyembro nito ay monomials ng karaniwang anyo, at kasama ng mga ito ay walang mga katulad. Ang ganitong mga polynomial ay tinatawag polynomial ng karaniwang anyo.

sa likod polynomial degree karaniwang anyo ang pinakamalaki sa mga kapangyarihan ng mga miyembro nito. Kaya, ang binomial \(12a^2b - 7b \) ay may ikatlong antas, at ang trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) ay may pangalawa.

Karaniwan, ang mga tuntunin ng mga karaniwang anyo na polynomial na naglalaman ng isang variable ay nakaayos sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga exponent nito. Halimbawa:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Ang kabuuan ng ilang polynomial ay maaaring i-convert (pinasimple) sa isang karaniwang anyo na polynomial.

Minsan ang mga miyembro ng isang polynomial ay kailangang hatiin sa mga grupo, na nakapaloob sa bawat pangkat sa mga panaklong. Dahil ang mga panaklong ay kabaligtaran ng mga panaklong, madali itong bumalangkas mga panuntunan sa pagbubukas ng panaklong:

Kung ang + sign ay inilalagay bago ang mga bracket, ang mga terminong nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may parehong mga palatandaan.

Kung ang isang "-" na palatandaan ay inilagay sa harap ng mga bracket, ang mga termino na nakapaloob sa mga bracket ay nakasulat na may kabaligtaran na mga palatandaan.

Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng isang monomial at isang polynomial

Gamit ang distributive property ng multiplication, maaaring ibahin (pasimplehin) ng isa ang produkto ng isang monomial at isang polynomial sa isang polynomial. Halimbawa:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Ang produkto ng isang monomial at isang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng monomial na ito at bawat isa sa mga termino ng polynomial.

Ang resultang ito ay kadalasang binabalangkas bilang panuntunan.

Upang i-multiply ang isang monomial sa isang polynomial, dapat isa paramihin ang monomial na ito sa bawat isa sa mga tuntunin ng polynomial.

Paulit-ulit naming ginamit ang panuntunang ito para sa pagpaparami ng kabuuan.

Ang produkto ng polynomials. Pagbabago (pagpapasimple) ng produkto ng dalawang polynomial

Sa pangkalahatan, ang produkto ng dalawang polynomial ay magkaparehong katumbas ng kabuuan ng produkto ng bawat termino ng isang polynomial at bawat termino ng isa.

Karaniwang gamitin ang sumusunod na panuntunan.

Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa at idagdag ang mga resultang produkto.

Mga pinaikling pormula ng pagpaparami. Mga parisukat ng Kabuuan, Pagkakaiba, at Pagkakaiba

Ang ilang mga expression sa algebraic transformations ay kailangang harapin nang mas madalas kaysa sa iba. Marahil ang pinakakaraniwang mga expression ay \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) at \(a^2 - b^2 \), iyon ay, ang parisukat ng kabuuan, ang parisukat ng pagkakaiba, at parisukat na pagkakaiba. Napansin mo na ang mga pangalan ng mga expression na ito ay tila hindi kumpleto, kaya, halimbawa, \((a + b)^2 \) ay, siyempre, hindi lamang ang parisukat ng kabuuan, ngunit ang parisukat ng kabuuan ng a at b. Gayunpaman, ang parisukat ng kabuuan ng a at b ay hindi pangkaraniwan, bilang panuntunan, sa halip na mga titik a at b, naglalaman ito ng iba't ibang, minsan medyo kumplikadong mga expression.

Ang mga ekspresyong \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ay madaling i-convert (pasimplehin) sa mga polynomial ng karaniwang anyo, sa katunayan, natugunan mo na ang ganoong gawain kapag nagpaparami ng mga polynomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Ang mga resultang pagkakakilanlan ay kapaki-pakinabang na tandaan at ilapat nang walang mga intermediate na kalkulasyon. Ang mga maikling pormulasyon sa salita ay nakakatulong dito.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - ang parisukat ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat at ang dobleng produkto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - ang parisukat ng pagkakaiba ay ang kabuuan ng mga parisukat nang hindi nadodoble ang produkto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - ang pagkakaiba ng mga parisukat ay katumbas ng produkto ng pagkakaiba at ang kabuuan.

Ang tatlong pagkakakilanlang ito ay nagpapahintulot sa mga pagbabagong palitan ang kanilang mga kaliwang bahagi ng mga kanan at vice versa - mga kanang bahagi ng mga kaliwa. Ang pinakamahirap na bagay sa kasong ito ay upang makita ang kaukulang mga expression at maunawaan kung ano ang mga variable na a at b ay pinalitan sa kanila. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga pinaikling formula ng multiplikasyon.

Noong ikalimang siglo BC, ang sinaunang pilosopong Griyego na si Zeno ng Elea ay nagbalangkas ng kanyang tanyag na aporias, na ang pinakatanyag ay ang aporia na "Achilles at ang pagong". Narito kung paano ito tunog:

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at nasa likod nito ng isang libong hakbang. Sa panahon kung saan tumatakbo si Achilles sa distansyang ito, gumagapang ang pagong ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay nakatakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Magpapatuloy ang proseso nang walang hanggan, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Lahat sila, sa isang paraan o iba pa, ay itinuturing na aporias ni Zeno. Napakalakas ng shock kaya" ... ang mga talakayan ay nagpapatuloy sa kasalukuyang panahon, ang komunidad na pang-agham ay hindi pa nakarating sa isang karaniwang opinyon tungkol sa kakanyahan ng mga kabalintunaan ... mathematical analysis, set theory, bagong pisikal at pilosopiko na mga diskarte ay kasangkot sa pag-aaral ng isyu ; wala sa kanila ang naging isang pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Naiintindihan ng lahat na sila ay niloloko, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang panlilinlang.

Mula sa pananaw ng matematika, malinaw na ipinakita ni Zeno sa kanyang aporia ang paglipat mula sa halaga hanggang. Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng paglalapat sa halip na mga constant. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paglalapat ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailalapat sa aporia ni Zeno. Ang paggamit ng aming karaniwang lohika ay humahantong sa amin sa isang bitag. Tayo, sa pamamagitan ng pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa kapalit. Sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling naabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na maabutan ni Achilles ang pagong.

Kung ibabalik natin ang lohika na nakasanayan natin, lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na segment ng landas nito ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa mga katumbas na halaga. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras, katumbas ng una, si Achilles ay tatakbo ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang mga hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi masusupil na bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles at ang pagong". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ni Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nakapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang lumilipad na arrow ay nakapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. May isa pang punto na dapat pansinin dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada, imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy ang katotohanan ng paggalaw ng kotse, dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto sa oras ay kailangan, ngunit hindi ito magagamit upang matukoy ang distansya. Upang matukoy ang distansya sa kotse, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa magkakaibang mga punto sa espasyo nang sabay, ngunit hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw mula sa kanila (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya) . Ang gusto kong ituro sa partikular ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay dalawang magkaibang bagay na hindi dapat malito dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa paggalugad.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Napakahusay na inilarawan sa Wikipedia ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset. Tumingin kami.

Tulad ng nakikita mo, "ang set ay hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento", ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa set, ang nasabing set ay tinatawag na "multiset". Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong lohika ng kahangalan. Ito ang antas ng pakikipag-usap ng mga parrot at sinanay na unggoy, kung saan ang isip ay wala sa salitang "ganap." Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay sa panahon ng mga pagsubok sa tulay. Kung gumuho ang tulay, namatay ang pangkaraniwang inhinyero sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makayanan ang karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo, nasa bahay ako", o sa halip ay "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto", mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash desk, nagbabayad ng suweldo. Narito ang isang mathematician ay pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga perang papel ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang bill mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical salary set". Ipinaliwanag namin ang matematika na matatanggap niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "maaari mong ilapat ito sa iba, ngunit hindi sa akin!" Dagdag pa, magsisimula ang mga katiyakan na mayroong iba't ibang mga numero ng banknote sa mga banknote ng parehong denominasyon, na nangangahulugan na hindi sila maaaring ituring na magkaparehong elemento. Well, binibilang namin ang suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito maaalala ng mathematician ang pisika: ang iba't ibang mga barya ay may iba't ibang dami ng dumi, ang kristal na istraktura at pag-aayos ng mga atomo para sa bawat barya ay natatangi ...

At ngayon mayroon akong pinaka-kagiliw-giliw na tanong: nasaan ang hangganan kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham dito ay hindi kahit na malapit.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang lugar ng mga patlang ay pareho, na nangangahulugang mayroon kaming multiset. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, marami tayong makukuha, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset sa parehong oras. Paano tama? At dito ang mathematician-shaman-shuller ay kumuha ng isang trump ace mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa alinman sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman sa teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit sila ay mga shaman para doon, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahina ng "Sum of Digits of a Number". Wala siya. Walang formula sa matematika kung saan makikita mo ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo kung saan namin isinusulat ang mga numero, at sa wika ng matematika, ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga mathematician ang problemang ito, ngunit magagawa ito ng mga shamans.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At kaya, sabihin nating mayroon tayong numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano'ng nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang numerong graphic na simbolo. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang natanggap na larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng magkakahiwalay na mga numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na character sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Pagsamahin ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong 12345 ay 15. Ito ang "mga kurso sa pagputol at pananahi" mula sa mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa punto ng view ng matematika, hindi mahalaga kung aling sistema ng numero ang isinusulat namin ang numero. Kaya, sa iba't ibang mga sistema ng numero, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa isang malaking bilang ng 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi namin isasaalang-alang ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo, nagawa na namin iyon. Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero, ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta kapag tinutukoy ang lugar ng isang rektanggulo sa metro at sentimetro.

Ang zero sa lahat ng mga sistema ng numero ay mukhang pareho at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanan na . Isang tanong para sa mga mathematician: paano ito tinutukoy sa matematika na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician, walang iba kundi mga numero ang umiiral? Para sa mga shaman, maaari kong payagan ito, ngunit para sa mga siyentipiko, hindi. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resultang nakuha ay dapat ituring bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat ng mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang mga resulta pagkatapos ihambing ang mga ito, kung gayon ito ay walang kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta ng isang mathematical na aksyon ay hindi nakasalalay sa halaga ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit, at kung sino ang nagsasagawa ng pagkilos na ito.

Sign sa pinto Binuksan ang pinto at sinabing:

Aray! Hindi ba ito ang palikuran ng mga babae?
- Batang babae! Ito ay isang laboratoryo para sa pag-aaral ng walang katapusang kabanalan ng mga kaluluwa sa pag-akyat sa langit! Nimbus sa itaas at arrow pataas. Anong palikuran?

Babae... Isang halo sa itaas at isang arrow pababa ay lalaki.

Kung mayroon kang isang gawa ng sining ng disenyo na kumikislap sa harap ng iyong mga mata nang maraming beses sa isang araw,

Kung gayon hindi nakakagulat na bigla kang makakita ng kakaibang icon sa iyong sasakyan:

Sa personal, nagsusumikap ako sa aking sarili na makita ang minus apat na degree sa isang taong tumatae (isang larawan) (komposisyon ng ilang larawan: minus sign, numero apat, pagtatalaga ng degree). At hindi ko itinuturing ang babaeng ito na isang tanga na hindi marunong sa pisika. Mayroon lang siyang arc stereotype ng perception ng mga graphic na larawan. At itinuturo ito sa amin ng mga mathematician sa lahat ng oras. Narito ang isang halimbawa.

Ang 1A ay hindi "minus four degrees" o "one a". Ito ay "pooping man" o ang bilang na "dalawampu't anim" sa hexadecimal number system. Ang mga taong patuloy na nagtatrabaho sa sistema ng numero na ito ay awtomatikong nakikita ang numero at titik bilang isang graphic na simbolo.

Ang pagpapasimple ng mga algebraic expression ay isa sa mga susi sa pag-aaral ng algebra at isang lubhang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa lahat ng mathematician. Binibigyang-daan ka ng pagpapasimple na bawasan ang isang kumplikado o mahabang expression sa isang simpleng expression na madaling gamitin. Ang mga pangunahing kasanayan sa pagpapasimple ay mabuti kahit para sa mga hindi masigasig sa matematika. Sa pamamagitan ng pagsunod sa ilang simpleng panuntunan, marami sa mga pinakakaraniwang uri ng algebraic na expression ay maaaring gawing simple nang walang anumang espesyal na kaalaman sa matematika.

Mga hakbang

Mahahalagang kahulugan

1. Mga katulad na miyembro. Ito ay mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro (mga miyembrong walang variable). Sa madaling salita, ang mga kagaya ng termino ay kinabibilangan ng isang variable sa parehong lawak, may kasamang ilang magkakaparehong variable, o hindi nagsasama ng variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga termino sa expression ay hindi mahalaga.

   • Halimbawa, ang 3x 2 at 4x 2 ay katulad ng mga termino dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng pangalawang order (sa pangalawang kapangyarihan). Gayunpaman, ang x at x 2 ay hindi magkatulad na mga miyembro, dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng magkakaibang mga order (una at pangalawa). Katulad nito, ang -3yx at 5xz ay hindi magkatulad na miyembro dahil naglalaman ang mga ito ng magkaibang mga variable.

2. Factorization. Ito ay paghahanap ng mga naturang numero, ang produkto na humahantong sa orihinal na numero. Anumang orihinal na numero ay maaaring magkaroon ng ilang mga kadahilanan. Halimbawa, ang numero 12 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na serye ng mga kadahilanan: 1 × 12, 2 × 6 at 3 × 4, kaya masasabi nating ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 at 12 ay mga kadahilanan ng numero 12. Ang mga kadahilanan ay pareho sa mga divisors , iyon ay, ang mga numero kung saan ang orihinal na numero ay nahahati.

   • Halimbawa, kung gusto mong i-factor ang numerong 20, isulat ito nang ganito: 4×5.
   • Tandaan na kapag ang factoring, ang variable ay isinasaalang-alang. Halimbawa, 20x = 4(5x).
   • Ang mga pangunahing numero ay hindi maaaring i-factor dahil sila ay nahahati lamang sa kanilang mga sarili at 1.

3. Tandaan at sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon upang maiwasan ang mga pagkakamali.

   • Mga panaklong
   • Degree
   • Pagpaparami
   • Dibisyon
   • Dagdag
   • Pagbabawas

   Pag-cast Tulad ng mga Miyembro

   1. Isulat ang ekspresyon. Ang pinakasimpleng algebraic expression (na hindi naglalaman ng mga fraction, ugat, at iba pa) ay maaaring malutas (pinasimple) sa ilang hakbang lamang.

      • Halimbawa, pasimplehin ang expression 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tukuyin ang mga katulad na miyembro (mga miyembrong may variable ng parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro).

      • Maghanap ng mga katulad na termino sa expression na ito. Ang mga terminong 2x at 4x ay naglalaman ng variable ng parehong pagkakasunud-sunod (una). Gayundin, ang 1 at -3 ay mga libreng miyembro (hindi naglalaman ng variable). Kaya, sa expression na ito, ang mga termino 2x at 4x ay magkatulad, at ang mga miyembro 1 at -3 ay katulad din.

   3. Magbigay ng mga katulad na termino. Nangangahulugan ito ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga ito at pagpapasimple ng expression.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Isulat muli ang expression na isinasaalang-alang ang mga ibinigay na termino. Makakakuha ka ng isang simpleng expression na may mas kaunting termino. Ang bagong expression ay katumbas ng orihinal.

      • Sa aming halimbawa: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ibig sabihin, ang orihinal na expression ay pinasimple at mas madaling gamitin.

   5. Obserbahan ang pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga operasyon kapag nag-cast ng mga katulad na termino. Sa aming halimbawa, madaling magdala ng mga katulad na termino. Gayunpaman, sa kaso ng mga kumplikadong expression kung saan ang mga miyembro ay nakapaloob sa mga bracket at mga fraction at mga ugat ay naroroon, ito ay hindi napakadaling dalhin ang mga naturang termino. Sa mga kasong ito, sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dito ay isang pagkakamali na agad na tukuyin ang 3x at 2x bilang mga terminong katulad at sipiin ang mga ito, dahil kailangan mo munang palawakin ang mga panaklong. Samakatuwid, gawin ang mga operasyon sa kanilang pagkakasunud-sunod.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ngayon, kapag ang expression ay naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, maaari kang mag-cast ng mga katulad na termino.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Paglalagay ng panaklong sa multiplier

   1. Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ng lahat ng coefficient ng expression. Ang GCD ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang lahat ng coefficient ng expression ay nahahati.

      • Halimbawa, isaalang-alang ang equation na 9x 2 + 27x - 3. Sa kasong ito, gcd=3, dahil ang anumang coefficient ng expression na ito ay nahahati sa 3.

   2. Hatiin ang bawat termino ng expression sa gcd. Ang mga resultang termino ay maglalaman ng mas maliliit na coefficient kaysa sa orihinal na expression.

      • Sa aming halimbawa, hatiin ang bawat termino ng expression sa pamamagitan ng 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ito pala ang expression 3x2 + 9x-1. Hindi ito katumbas ng orihinal na ekspresyon.

   3. Isulat ang orihinal na expression bilang katumbas ng produkto ng gcd na beses ang resultang expression. Iyon ay, ilakip ang nagresultang expression sa mga bracket, at ilagay ang GCD sa mga bracket.

      • Sa aming halimbawa: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pagpapasimple ng mga fractional na expression sa pamamagitan ng pag-alis ng multiplier sa mga bracket. Bakit alisin na lang ang multiplier sa mga bracket, gaya ng ginawa kanina? Pagkatapos, upang matutunan kung paano gawing simple ang mga kumplikadong expression, tulad ng mga fractional na expression. Sa kasong ito, ang paglalagay ng factor sa labas ng mga bracket ay makakatulong na maalis ang fraction (mula sa denominator).

      • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (9x 2 + 27x - 3)/3. Gumamit ng mga panaklong upang gawing simple ang expression na ito.
        • I-factor out ang factor 3 (gaya ng ginawa mo dati): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Tandaan na ang numerator at denominator ay mayroon na ngayong numero 3. Maaari itong bawasan, at makukuha mo ang expression: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Dahil ang anumang fraction na may numero 1 sa denominator ay katumbas lamang ng numerator, ang orihinal na fractional na expression ay pinasimple sa: 3x2 + 9x-1.

   Karagdagang Mga Teknik sa Pagpapasimple

4. Isaalang-alang ang isang simpleng halimbawa: √(90). Ang bilang na 90 ay maaaring mabulok sa mga sumusunod na salik: 9 at 10, at mula sa 9, kunin ang square root (3) at kunin ang 3 mula sa ilalim ng ugat.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pinapasimple ang mga expression na may kapangyarihan. Sa ilang expression, may mga operasyon ng multiplikasyon o paghahati ng mga termino na may degree. Sa kaso ng pagpaparami ng mga termino na may isang base, ang kanilang mga degree ay idinagdag; sa kaso ng paghahati ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga degree ay ibabawas.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Sa kaso ng multiplikasyon, idagdag ang mga exponent, at sa kaso ng paghahati, ibawas ang mga ito.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Ang sumusunod ay isang paliwanag ng panuntunan para sa pagpaparami at paghahati ng mga termino na may isang degree.
     • Ang pagpaparami ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng mga termino sa kanilang sarili. Halimbawa, dahil x 3 = x × x × x at x 5 = x × x × x × x × x x, pagkatapos x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
     • Katulad nito, ang paghahati ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng paghahati ng mga termino sa kanilang sarili. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Dahil ang magkatulad na termino na nasa numerator at denominator ay maaaring bawasan, ang produkto ng dalawang "x", o x 2, ay nananatili sa numerator.

• Palaging magkaroon ng kamalayan sa mga palatandaan (plus o minus) sa harap ng mga termino ng isang expression, dahil maraming tao ang nahihirapang pumili ng tamang sign.
• Humingi ng tulong kung kinakailangan!
• Ang pagpapasimple ng mga algebraic na expression ay hindi madali, ngunit kung makuha mo ang iyong mga kamay dito, maaari mong gamitin ang kasanayang ito sa habambuhay.