Anumang kumpletong quadratic equation ax2 + bx + c = 0 maaaring maalala x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, kung hahatiin muna natin ang bawat termino sa coefficient a before x2. At kung magpapakilala tayo ng bagong notasyon (b/a) = p at (c/a) = q, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng equation x 2 + px + q = 0, na sa matematika ay tinatawag pinababang quadratic equation.
Ang mga ugat ng pinababang quadratic equation at ang mga coefficient p at q magkakaugnay. Ito ay nakumpirma Ang teorama ni Vieta, na ipinangalan sa Pranses na matematiko na si Francois Vieta, na nabuhay sa pagtatapos ng ika-16 na siglo.
Teorama. Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 + px + q = 0 katumbas ng pangalawang koepisyent p, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat - sa libreng termino q.
Isinulat namin ang mga ratios na ito sa sumusunod na anyo:
Hayaan x 1 at x2 iba't ibang mga ugat ng pinababang equation x 2 + px + q = 0. Ayon sa teorama ni Vieta x1 + x2 = -p at x 1 x 2 = q.
Upang patunayan ito, palitan natin ang bawat isa sa mga ugat na x 1 at x 2 sa equation. Nakakakuha tayo ng dalawang tunay na pagkakapantay-pantay:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Ibawas ang pangalawa sa unang pagkakapantay-pantay. Nakukuha namin: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Pinalawak namin ang unang dalawang termino ayon sa pagkakaiba ng formula ng mga parisukat:
(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0
Sa kondisyon, ang mga ugat x 1 at x 2 ay magkaiba. Samakatuwid, maaari nating bawasan ang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng (x 1 - x 2) ≠ 0 at ipahayag ang p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Ang unang pagkakapantay-pantay ay napatunayan.
Upang patunayan ang pangalawang pagkakapantay-pantay, pinapalitan namin ang unang equation
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 sa halip na ang coefficient p, ang katumbas na numero nito ay (x 1 + x 2):
x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Ang pagbabago sa kaliwang bahagi ng equation, nakukuha natin:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, na dapat patunayan.
Maganda ang theorem ni Vieta dahil, kahit na hindi alam ang mga ugat ng quadratic equation, maaari nating kalkulahin ang kanilang kabuuan at produkto .
Nakakatulong ang theorem ng Vieta na matukoy ang mga integer na ugat ng ibinigay na quadratic equation. Ngunit para sa maraming mga mag-aaral, nagdudulot ito ng mga paghihirap dahil sa katotohanan na hindi nila alam ang isang malinaw na algorithm ng pagkilos, lalo na kung ang mga ugat ng equation ay may iba't ibang mga palatandaan.
Kaya, ang ibinigay na quadratic equation ay may anyo na x 2 + px + q \u003d 0, kung saan ang x 1 at x 2 ang mga ugat nito. Ayon sa Vieta theorem x 1 + x 2 = -p at x 1 x 2 = q.
Magagawa natin ang sumusunod na konklusyon.
Kung sa equation ang huling termino ay pinangungunahan ng isang minus sign, kung gayon ang mga ugat na x 1 at x 2 ay may magkakaibang mga palatandaan. Bilang karagdagan, ang tanda ng mas maliit na ugat ay kapareho ng tanda ng pangalawang koepisyent sa equation.
Batay sa katotohanan na kapag nagdaragdag ng mga numero na may iba't ibang mga palatandaan, ang kanilang mga module ay ibinabawas, at ang tanda ng mas malaking numero sa modulus ay inilalagay sa harap ng resulta, dapat kang magpatuloy tulad ng sumusunod:
- tukuyin ang mga kadahilanan ng numerong q upang ang kanilang pagkakaiba ay katumbas ng bilang p;
- ilagay ang tanda ng pangalawang koepisyent ng equation sa harap ng mas maliit sa mga nakuhang numero; ang pangalawang ugat ay magkakaroon ng kabaligtaran na tanda.
Tingnan natin ang ilang halimbawa.
Halimbawa 1.
Lutasin ang equation x 2 - 2x - 15 = 0.
Desisyon.
Subukan nating lutasin ang equation na ito gamit ang mga panuntunang iminungkahi sa itaas. Pagkatapos ay masasabi nating sigurado na ang equation na ito ay magkakaroon ng dalawang magkaibang ugat, dahil D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Ngayon, mula sa lahat ng mga kadahilanan ng numero 15 (1 at 15, 3 at 5), pipiliin namin ang mga pagkakaiba na katumbas ng 2. Ito ang magiging mga numero 3 at 5. Naglalagay kami ng minus sign sa harap ng mas maliit na numero , ibig sabihin. ang tanda ng pangalawang koepisyent ng equation. Kaya, nakukuha namin ang mga ugat ng equation x 1 \u003d -3 at x 2 \u003d 5.
Sagot. x 1 = -3 at x 2 = 5.
Halimbawa 2.
Lutasin ang equation x 2 + 5x - 6 = 0.
Desisyon.
Suriin natin kung ang equation na ito ay may mga ugat. Upang gawin ito, nakita namin ang discriminant:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat.
Ang mga posibleng salik ng numero 6 ay 2 at 3, 6 at 1. Ang pagkakaiba ay 5 para sa isang pares ng 6 at 1. Sa halimbawang ito, ang coefficient ng pangalawang termino ay may plus sign, kaya ang mas maliit na bilang ay magkakaroon ng parehong tanda. Ngunit bago ang pangalawang numero ay magkakaroon ng minus sign.
Sagot: x 1 = -6 at x 2 = 1.
Ang teorama ni Vieta ay maaari ding isulat para sa isang kumpletong quadratic equation. Kaya kung ang quadratic equation ax2 + bx + c = 0 ay may mga ugat x 1 at x 2 , pagkatapos ay natutugunan nila ang mga pagkakapantay-pantay
x 1 + x 2 = -(b/a) at x 1 x 2 = (c/a). Gayunpaman, ang aplikasyon ng theorem na ito sa buong quadratic equation ay medyo may problema, dahil kung may mga ugat, kahit isa sa kanila ay isang fractional number. At ang pagtatrabaho sa pagpili ng mga fraction ay medyo mahirap. Ngunit mayroon pa ring paraan.
Isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi nito sa coefficient a. Ang equation ay kukuha ng anyo (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Ngayon ay ipakilala natin ang isang bagong variable, halimbawa t = ax.
Sa kasong ito, ang resultang equation ay magiging isang pinababang quadratic equation ng form na t 2 + bt + ac = 0, ang mga ugat kung saan ang t 1 at t 2 (kung mayroon man) ay maaaring matukoy ng Vieta theorem.
Sa kasong ito, ang mga ugat ng orihinal na quadratic equation ay magiging
x 1 = (t 1 / a) at x 2 = (t 2 / a).
Halimbawa 3.
Lutasin ang equation na 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Desisyon.
Gumagawa kami ng auxiliary equation. I-multiply natin ang bawat term ng equation sa 15:
15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.
Ginagawa namin ang pagbabago t = 15x. Meron kami:
t 2 - 11t + 30 = 0.
Ayon sa Vieta theorem, ang mga ugat ng equation na ito ay magiging t 1 = 5 at t 2 = 6.
Bumalik kami sa kapalit na t = 15x:
5 = 15x o 6 = 15x. Kaya x 1 = 5/15 at x 2 = 6/15. Binabawasan namin at nakuha ang huling sagot: x 1 = 1/3 at x 2 = 2/5.
Sagot. x 1 = 1/3 at x 2 = 2/5.
Upang makabisado ang solusyon ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem, kailangan ng mga mag-aaral na magsanay hangga't maaari. Ito ang tiyak na sikreto ng tagumpay.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Ang isa sa mga pamamaraan para sa paglutas ng isang quadratic equation ay ang aplikasyon Mga formula ng VIETA, na ipinangalan sa FRANCOIS VIETE.
Siya ay isang sikat na abogado, at nagsilbi noong ika-16 na siglo kasama ang haring Pranses. Sa kanyang libreng oras nag-aral siya ng astronomiya at matematika. Nagtatag siya ng koneksyon sa pagitan ng mga ugat at coefficient ng isang quadratic equation.
Mga kalamangan ng formula:
1 . Sa pamamagitan ng paglalapat ng formula, mabilis mong mahahanap ang solusyon. Dahil hindi mo kailangang ipasok ang pangalawang koepisyent sa parisukat, pagkatapos ay ibawas ang 4ac mula dito, hanapin ang discriminant, palitan ang halaga nito sa formula para sa paghahanap ng mga ugat.
2 . Kung walang solusyon, maaari mong matukoy ang mga palatandaan ng mga ugat, kunin ang mga halaga ng mga ugat.
3 . Ang pagkakaroon ng malutas ang sistema ng dalawang talaan, hindi mahirap hanapin ang mga ugat mismo. Sa itaas na quadratic equation, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng halaga ng pangalawang coefficient na may minus sign. Ang produkto ng mga ugat sa itaas na quadratic equation ay katumbas ng halaga ng ikatlong koepisyent.
4 . Ayon sa ibinigay na mga ugat, sumulat ng isang quadratic equation, iyon ay, lutasin ang kabaligtaran na problema. Halimbawa, ang paraang ito ay ginagamit sa paglutas ng mga problema sa theoretical mechanics.
5 . Maginhawang ilapat ang formula kapag ang nangungunang koepisyent ay katumbas ng isa.
Mga disadvantages:
1
. Ang formula ay hindi pangkalahatan.
Vieta's theorem Grade 8
Formula
Kung ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation x 2 + px + q \u003d 0, kung gayon:
Mga halimbawa
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - ang mga ugat ng equation x 2 - 2x - 3 \u003d 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Inverse theorem
Formula
Kung ang mga numero x 1 , x 2 , p, q ay konektado ng mga kundisyon:
Kung gayon ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng equation na x 2 + px + q = 0.
Halimbawa
Gumawa tayo ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng mga ugat nito:
X 1 \u003d 2 -? 3 at x 2 \u003d 2 +? 3 .
P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
Ang nais na equation ay may anyo: x 2 - 4x + 1 = 0.
I. Vieta's theorem para sa pinababang quadratic equation.
Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation x 2 +px+q=0 ay katumbas ng pangalawang koepisyent, kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Hanapin ang mga ugat ng ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.
Halimbawa 1) x 2 -x-30=0. Ito ang pinababang quadratic equation ( x 2 +px+q=0), ang pangalawang koepisyent p=-1, at ang libreng termino q=-30. Una, siguraduhin na ang ibinigay na equation ay may mga ugat, at ang mga ugat (kung mayroon man) ay ipapakita bilang mga integer. Para dito, sapat na na ang discriminant ay ang buong parisukat ng isang integer.
Paghahanap ng discriminant D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Ngayon, ayon sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ay dapat na katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha sa kabaligtaran na tanda, i.e. ( -p), at ang produkto ay katumbas ng libreng termino, i.e. ( q). Pagkatapos:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Kailangan nating pumili ng gayong dalawang numero upang ang kanilang produkto ay katumbas ng -30 , at ang kabuuan ay yunit. Ito ang mga numero -5 at 6 . Sagot: -5; 6.
Halimbawa 2) x 2 +6x+8=0. Mayroon kaming pinababang quadratic equation na may pangalawang coefficient p=6 at libreng miyembro q=8. Tiyaking mayroong mga integer na ugat. Hanapin natin ang discriminant D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Ang discriminant D 1 ay ang perpektong parisukat ng numero 1 , kaya ang mga ugat ng equation na ito ay mga integer. Pinipili namin ang mga ugat ayon sa Vieta theorem: ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng –p=-6, at ang produkto ng mga ugat ay q=8. Ito ang mga numero -4 at -2 .
Sa totoo lang: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Sagot: -4; -2.
Halimbawa 3) x 2 +2x-4=0. Sa pinababang quadratic equation na ito, ang pangalawang coefficient p=2, at ang libreng termino q=-4. Hanapin natin ang discriminant D1, dahil ang pangalawang coefficient ay isang even na numero. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Ang discriminant ay hindi perpektong parisukat ng isang numero, kaya ginagawa namin konklusyon: ang mga ugat ng equation na ito ay hindi integer at hindi mahahanap gamit ang teorem ni Vieta. Kaya, malulutas namin ang equation na ito, gaya ng dati, ayon sa mga formula (sa kasong ito, ayon sa mga formula). Nakukuha namin:
Halimbawa 4). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Desisyon. Ang nais na equation ay isusulat sa form: x 2 +px+q=0, bukod dito, batay sa Vieta theorem –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo: x2 +3x-28=0.
Halimbawa 5). Sumulat ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito kung:
II. Ang teorama ni Vieta para sa kumpletong quadratic equation ax2+bx+c=0.
Ang kabuuan ng mga ugat ay minus b hinati ng a, ang produkto ng mga ugat ay kasama hinati ng a:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Ngayon ay nararapat itong kantahin sa taludtod
Sa mga katangian ng mga ugat, ang teorama ni Vieta.
Alin ang mas mabuti, sabihin nating, ang pagiging matatag nito:
Pinarami mo ang mga ugat - at handa na ang bahagi
Sa numerator kasama, sa denominator a.
At ang kabuuan ng mga ugat ay isang fraction din
Kahit na may minus ang fraction na ito
Ano ang problema
Sa mga numerator sa, sa denominator a.
(Mula sa alamat ng paaralan)
Sa epigraph, ang kahanga-hangang teorama ng François Vieta ay ibinigay na hindi eksakto. Sa katunayan, maaari nating isulat ang isang quadratic equation na walang mga ugat at isulat ang kanilang kabuuan at produkto. Halimbawa, ang equation x 2 + 2x + 12 = 0 ay walang tunay na ugat. Ngunit, papalapit nang pormal, maaari nating isulat ang kanilang produkto (x 1 x 2 \u003d 12) at ang kabuuan (x 1 + x 2 \u003d -2). Ang aming ang mga bersikulo ay tumutugma sa theorem na may caveat: "kung ang equation ay may mga ugat", i.e. D ≥ 0.
Ang unang praktikal na aplikasyon ng theorem na ito ay ang compilation ng isang quadratic equation na nagbigay ng mga ugat. Pangalawa: pinapayagan ka nitong lutasin nang pasalita ang maraming quadratic equation. Sa pagbuo ng mga kasanayang ito, una sa lahat, ang pansin ay iginuhit sa mga aklat-aralin sa paaralan.
Dito ay isasaalang-alang natin ang mas kumplikadong mga problema na nalutas gamit ang Vieta theorem.
Halimbawa 1
Ang isa sa mga ugat ng equation na 5x 2 - 12x + c \u003d 0 ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa pangalawa. Maghanap gamit ang.
Desisyon.
Hayaang ang pangalawang ugat ay x2.
Pagkatapos ang unang ugat x1 = 3x2.
Ayon sa Vieta theorem, ang kabuuan ng mga ugat ay 12/5 = 2.4.
Gawin natin ang equation na 3x2 + x2 = 2.4.
Samakatuwid x 2 \u003d 0.6. Samakatuwid x 1 \u003d 1.8.
Sagot: c \u003d (x 1 x 2) a \u003d 0.6 1.8 5 \u003d 5.4.
Halimbawa 2
Alam na ang x 1 at x 2 ay ang mga ugat ng equation na x 2 - 8x + p = 0, at 3x 1 + 4x 2 = 29. Hanapin ang p.
Desisyon.
Ayon sa Vieta theorem x 1 + x 2 = 8, at sa kondisyon 3x 1 + 4x 2 = 29.
Nang malutas ang sistema ng dalawang equation na ito, nakita namin ang halaga x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5.
At samakatuwid p = 15.
Sagot: p = 15.
Halimbawa 3
Nang hindi kinakalkula ang mga ugat ng equation na 3x 2 + 8 x - 1 \u003d 0, hanapin ang x 1 4 + x 2 4
Desisyon.
Tandaan na ayon sa Vieta theorem x 1 + x 2 = -8/3 at x 1 x 2 = -1/3 at ibahin ang anyo ng expression
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 - 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) 2 - 2 (x 1 x 2) 2 \u003d ((-8/3) 2 - 2 (-1/3)) 2 - 2 (-1/3) 2 \u003d 4898/9
Sagot: 4898/9.
Halimbawa 4
Sa anong mga halaga ng parameter a ang pagkakaiba sa pagitan ng pinakamalaki at pinakamaliit na ugat ng equation
2x 2 - (a + 1) x + (a - 1) \u003d 0 ay katumbas ng kanilang produkto.
Desisyon.
Ito ay isang quadratic equation. Magkakaroon ito ng 2 magkaibang ugat kung D > 0. Sa madaling salita, (a + 1) 2 - 8 (a - 1) > 0 o (a - 3) 2 > 0. Samakatuwid, mayroon tayong 2 ugat para sa lahat ng a, para maliban sa a = 3.
Para sa katiyakan, ipinapalagay namin na x 1 > x 2 at makakuha ng x 1 + x 2 \u003d (a + 1) / 2 at x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Batay sa kondisyon ng problema x 1 - x 2 \u003d (a - 1) / 2. Ang lahat ng tatlong mga kondisyon ay dapat matugunan nang sabay-sabay. Isaalang-alang ang una at huling mga equation bilang isang sistema. Ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng algebraic na paraan ng pagdaragdag.
Nakukuha namin ang x 1 \u003d a / 2, x 2 \u003d 1/2. Suriin natin kung ano a ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay matutupad: x 1 x 2 \u003d (a - 1) / 2. Palitan natin ang mga natanggap na halaga at magkakaroon tayo ng: а/4 = (а – 1)/2. Pagkatapos, a = 2. Ito ay malinaw na kung a = 2, kung gayon ang lahat ng mga kondisyon ay nasiyahan.
Sagot: kapag a = 2.
Halimbawa 5
Ano ang pinakamaliit na halaga ng a kung saan ang kabuuan ng mga ugat ng equation
x 2 - 2a (x - 1) - 1 \u003d 0 ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat nito.
Desisyon.
Una sa lahat, dalhin natin ang equation sa canonical form: x 2 - 2ax + 2a - 1 \u003d 0. Magkakaroon ito ng mga ugat kung D / 4 ≥ 0. Samakatuwid: a 2 - (2a - 1) ≥ 0. O (a - 1 ) 2 ≥ 0. At ang kundisyong ito ay wasto para sa alinmang a.
Inilapat namin ang Vieta theorem: x 1 + x 2 \u003d 2a, x 1 x 2 \u003d 2a - 1. Kinakalkula namin
x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2. O pagkatapos palitan ang x 1 2 + x 2 2 \u003d (2a) 2 - 2 (2a - 1) \u003d 4a 2 - 4a + 2. Nananatili itong gumawa ng pagkakapantay-pantay na tumutugma sa kondisyon ng problema: x 1 + x 2 \u003d x 1 2 + x 2 2 . Nakukuha namin ang: 2a \u003d 4a 2 - 4a + 2. Ang quadratic equation na ito ay may 2 ugat: isang 1 \u003d 1 at isang 2 \u003d 1/2. Ang pinakamaliit sa kanila ay -1/2.
Sagot: 1/2.
Halimbawa 6
Hanapin ang ugnayan sa pagitan ng mga coefficient ng equation ax 2 + bx + c \u003d 0 kung ang kabuuan ng mga cube ng mga ugat nito ay katumbas ng produkto ng mga parisukat ng mga ugat na ito.
Desisyon.
Magpapatuloy tayo mula sa katotohanan na ang equation na ito ay may mga ugat at, samakatuwid, ang teorama ng Vieta ay maaaring ilapat dito.
Pagkatapos ang kondisyon ng problema ay isusulat tulad ng sumusunod: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 x 2 2. O kaya: (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 x 2) 2.
Kailangan mong i-convert ang pangalawang kadahilanan. x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2 \u003d ((x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2) - x 1 x 2.
Nakukuha namin ang (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2) \u003d (x 1 x 2) 2. Ito ay nananatiling palitan ang mga kabuuan at mga produkto ng mga ugat sa pamamagitan ng mga coefficient.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ang expression na ito ay madaling ma-convert sa form b (3ac - b 2) / a \u003d c 2. Nahanap ang ratio.
Magkomento. Dapat itong isaalang-alang na ang nagreresultang kaugnayan ay makatuwiran upang isaalang-alang lamang pagkatapos matupad ang iba: D ≥ 0.
Halimbawa 7
Hanapin ang halaga ng variable a kung saan ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation x 2 + 2ax + 3a 2 - 6a - 2 \u003d 0 ang pinakamalaking halaga.
Desisyon.
Kung ang equation na ito ay may mga ugat x 1 at x 2, kung gayon ang kanilang kabuuan x 1 + x 2 \u003d -2a, at ang produkto x 1 x 2 \u003d 3a 2 - 6a - 2.
Kinakalkula namin ang x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 \u003d (-2a) 2 - 2 (3a 2 - 6a - 2) \u003d -2a 2 + 12a + 4 \u003d -2 (a – 3) 2 + 22.
Malinaw na ngayon na ang expression na ito ay kumukuha ng pinakamalaking halaga sa a = 3.
Ito ay nananatiling suriin kung ang orihinal na quadratic equation ay talagang may mga ugat sa isang \u003d 3. Sinusuri namin sa pamamagitan ng pagpapalit at nakuha namin ang: x 2 + 6x + 7 \u003d 0 at para dito D \u003d 36 - 28\u003e 0.
Samakatuwid, ang sagot ay: para sa a = 3.
Halimbawa 8
Ang equation na 2x 2 - 7x - 3 \u003d 0 ay may mga ugat na x 1 at x 2. Hanapin ang triple sum ng mga coefficient ng ibinigay na quadratic equation, ang mga ugat nito ay ang mga numero X 1 \u003d 1 / x 1 at X 2 \u003d 1 / x 2. (*)
Desisyon.
Malinaw, x 1 + x 2 \u003d 7/2 at x 1 x 2 \u003d -3/2. Binubuo namin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng mga ugat nito sa anyo x 2 + px + q \u003d 0. Upang gawin ito, ginagamit namin ang assertion na kabaligtaran sa Vieta theorem. Nakukuha namin ang: p \u003d - (X 1 + X 2) at q \u003d X 1 X 2.
Matapos palitan ang mga formula na ito, batay sa (*), pagkatapos ay: p \u003d - (x 1 + x 2) / (x 1 x 2) \u003d 7/3 at q \u003d 1 / (x 1 x 2) \ u003d - 2/3.
Ang nais na equation ay kukuha ng anyo: x 2 + 7/3 x - 2/3 = 0. Ngayon ay madali nating makalkula ang triple sum ng mga coefficient nito:
3(1 + 7/3 - 2/3) = 8. Natanggap ang sagot.
May tanong ka ba? Hindi alam kung paano gamitin ang theorem ni Vieta?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!
blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Ang teorama ni Vieta
Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng pinababang quadratic equation
(1)
.
Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent sa kinuha na may kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
;
.
Isang tala tungkol sa maraming ugat
Kung ang discriminant ng equation (1) ay zero, ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit, upang maiwasan ang masalimuot na mga pormulasyon, karaniwang tinatanggap na sa kasong ito, ang equation (1) ay may dalawang maramihang, o pantay, na mga ugat:
.
Isang patunay
Hanapin natin ang mga ugat ng equation (1). Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa mga ugat ng quadratic equation:
;
;
.
Paghahanap ng kabuuan ng mga ugat:
.
Upang mahanap ang produkto, inilalapat namin ang formula:
.
Pagkatapos
.
Napatunayan na ang theorem.
Dalawang patunay
Kung ang mga numero at ang mga ugat ng quadratic equation (1), kung gayon
.
Binuksan namin ang mga bracket.
.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng anyo:
.
Kung ihahambing sa (1) makikita natin:
;
.
Napatunayan na ang theorem.
Inverse Vieta theorem
Hayaang magkaroon ng mga arbitrary na numero. Pagkatapos at ang mga ugat ng quadratic equation
,
saan
(2)
;
(3)
.
Patunay ng converse theorem ni Vieta
Isaalang-alang ang quadratic equation
(1)
.
Kailangan nating patunayan na kung at , pagkatapos at ang mga ugat ng equation (1).
Palitan ang (2) at (3) sa (1):
.
Ipangkat namin ang mga tuntunin ng kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4)
.
Palitan sa (4):
;
.
Palitan sa (4):
;
.
Natupad ang equation. Ibig sabihin, ang numero ay ang ugat ng equation (1).
Napatunayan na ang theorem.
Vieta's theorem para sa kumpletong quadratic equation
Ngayon isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation
(5)
,
kung saan , at ilang mga numero. At .
Hinahati namin ang equation (5) sa pamamagitan ng:
.
Iyon ay, nakuha namin ang equation sa itaas
,
saan ; .
Pagkatapos ang Vieta theorem para sa kumpletong quadratic equation ay may sumusunod na anyo.
Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng kumpletong quadratic equation
.
Pagkatapos ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay tinutukoy ng mga formula:
;
.
Vieta's theorem para sa isang cubic equation
Katulad nito, maaari tayong magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang cubic equation. Isaalang-alang ang cubic equation
(6)
,
kung saan ang , , , ay ilang mga numero. At .
Hatiin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng:
(7)
,
saan , , .
Hayaang , , ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Pagkatapos
.
Ang paghahambing sa equation (7) ay makikita natin:
;
;
.
Vieta's theorem para sa isang nth degree equation
Sa parehong paraan, makakahanap ka ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat , , ... , , para sa equation ng nth degree
.
Ang theorem ng Vieta para sa isang nth degree equation ay may sumusunod na anyo:
;
;
;
.
Upang makuha ang mga formula na ito, isinusulat namin ang equation sa sumusunod na form:
.
Pagkatapos ay tinutumbasan natin ang mga koepisyent sa , , , ... , at ihambing ang libreng termino.
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: isang aklat-aralin para sa ika-8 baitang ng mga institusyong pang-edukasyon, Moscow, Edukasyon, 2006.
