Dahil ang radian na sukat ng isang anggulo ay nailalarawan sa pamamagitan ng paghahanap ng magnitude ng anggulo sa haba ng arko, posibleng graphical na ilarawan ang relasyon sa pagitan ng radian measure at ng degree na sukat. Upang gawin ito, gumuhit ng bilog na radius 1 sa coordinate plane upang ang sentro nito ay nasa pinanggalingan. Ang mga positibong anggulo ay ilalagay sa counterclockwise, at ang mga negatibong anggulo ay clockwise.
Tinutukoy namin ang sukat ng antas ng isang anggulo gaya ng dati, at ang sukat ng radian sa tulong ng mga arko na nakahiga sa isang bilog. P 0 - ang pinagmulan ng anggulo. Ang natitira ay mga tuldok. 
intersection ng mga gilid ng isang anggulo na may bilog.
Kahulugan: Ang bilog na may radius 1 na nakasentro sa pinanggalingan ay tinatawag na unit circle.
Bilang karagdagan sa pagtatalaga ng mga anggulo, ang bilog na ito ay may isa pang tampok: maaari itong kumatawan sa anumang tunay na numero na may isang punto ng bilog na ito. Magagawa ito sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa linya ng numero. Tila baluktot namin ang linya ng numero sa paraang nakahiga ito sa isang bilog.
Ang P 0 ay ang pinagmulan, ang punto ng numero 0. Ang mga positibong numero ay minarkahan sa isang positibong direksyon (counterclockwise), at ang mga negatibong numero ay minarkahan sa isang negatibong direksyon (clockwise). Ang segment na katumbas ng α ay ang arc P 0 P α .
Ang anumang numero ay maaaring katawanin ng isang punto P α sa isang bilog, at ang puntong ito ay natatangi para sa bawat numero, ngunit makikita mo na ang hanay ng mga numero α+2πn, kung saan ang n ay isang integer, ay tumutugma sa parehong puntong P α .
Ang bawat punto ay may sariling mga coordinate, na may mga espesyal na pangalan.
Kahulugan:Ang cosine ng α ay tinatawag na abscissa ng punto na tumutugma sa bilang na α sa bilog ng yunit.
Kahulugan:Ang sine ng α ay ang ordinate ng punto na tumutugma sa bilang na α sa bilog ng yunit.
Pα (cosα, sinα).
Mula sa geometry:
Cosine ng isang anggulo sa isang hugis-parihaba ang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na anggulo sa hypotenuse. Sa kasong ito, ang hypotenuse ay katumbas ng 1, iyon ay, ang cosine ng anggulo ay sinusukat ng haba ng segment OA.
Sine ng isang anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse. Iyon ay, ang sine ay sinusukat ng haba ng segment na OB.
Isulat natin ang mga kahulugan ng tangent at cotangent ng isang numero.
Kung saan ang cos α≠0
Kung saan sinα≠0
Ang gawain ng paghahanap ng mga halaga ng sine, cosine, tangent at cotangent ng isang arbitrary na numero sa pamamagitan ng paglalapat ng ilang mga formula ay nabawasan sa paghahanap ng mga halaga ng sinα, cosα, tgα at ctgα, kung saan 0≤α≤π/2 .
Talaan ng mga pangunahing halaga ng mga function ng trigonometriko
| α | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2 pi | |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° | |
| sinα | |||||||
| cosα | ½ | -1 | |||||
| tgα | - | ||||||
| ctgα | - | - | - |
Hanapin ang halaga ng mga expression.
Ang isa sa mga sangay ng matematika na kung saan ang mga mag-aaral ay nakayanan ang pinakamalaking paghihirap ay trigonometry. Hindi nakakagulat: upang malayang makabisado ang lugar na ito ng kaalaman, kailangan mo ng spatial na pag-iisip, ang kakayahang makahanap ng mga sine, cosine, tangent, cotangent gamit ang mga formula, gawing simple ang mga expression, at magamit ang numerong pi sa mga kalkulasyon. Bilang karagdagan, kailangan mong makapag-apply ng trigonometry kapag nagpapatunay ng mga theorems, at nangangailangan ito ng alinman sa isang binuo na memorya ng matematika o ang kakayahang maghinuha ng mga kumplikadong lohikal na chain.
Pinagmulan ng trigonometrya
Ang kakilala sa agham na ito ay dapat magsimula sa kahulugan ng sine, cosine at tangent ng anggulo, ngunit kailangan mo munang malaman kung ano ang ginagawa ng trigonometry sa pangkalahatan.
Sa kasaysayan, ang mga tamang tatsulok ay naging pangunahing bagay ng pag-aaral sa seksyong ito ng agham sa matematika. Ang pagkakaroon ng isang anggulo ng 90 degrees ay ginagawang posible na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na nagpapahintulot sa isa na matukoy ang mga halaga ng lahat ng mga parameter ng figure na isinasaalang-alang gamit ang dalawang panig at isang anggulo o dalawang anggulo at isang gilid. Noong nakaraan, napansin ng mga tao ang pattern na ito at nagsimulang aktibong gamitin ito sa pagtatayo ng mga gusali, nabigasyon, astronomiya, at maging sa sining.
Unang yugto
Sa una, pinag-uusapan ng mga tao ang ugnayan ng mga anggulo at panig ng eksklusibo sa halimbawa ng mga tamang tatsulok. Pagkatapos ay natuklasan ang mga espesyal na formula na naging posible upang mapalawak ang mga hangganan ng paggamit sa pang-araw-araw na buhay ng seksyong ito ng matematika.
Ang pag-aaral ng trigonometrya sa paaralan ngayon ay nagsisimula sa mga tamang tatsulok, pagkatapos kung saan ang nakuhang kaalaman ay ginagamit ng mga mag-aaral sa pisika at paglutas ng mga abstract na trigonometrikong equation, na gumagana kung saan nagsisimula sa mataas na paaralan.
Spherical trigonometrya
Nang maglaon, nang maabot ng agham ang susunod na antas ng pag-unlad, ang mga formula na may sine, cosine, tangent, cotangent ay nagsimulang gamitin sa spherical geometry, kung saan nalalapat ang iba pang mga patakaran, at ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay palaging higit sa 180 degrees. Ang seksyong ito ay hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit kailangang malaman ang tungkol sa pag-iral nito, hindi bababa sa dahil ang ibabaw ng mundo, at ang ibabaw ng anumang iba pang planeta, ay matambok, na nangangahulugan na ang anumang marka sa ibabaw ay magiging "hugis arko" sa tatlong-dimensional na espasyo.
Kunin ang globo at thread. Ikabit ang sinulid sa alinmang dalawang punto sa globo upang ito ay mahigpit. Bigyang-pansin - nakuha nito ang hugis ng isang arko. Ito ay may ganitong mga anyo na ang spherical geometry, na ginagamit sa geodesy, astronomy, at iba pang teoretikal at inilapat na mga patlang, ay nakikipag-ugnayan.
Kanang tatsulok
Ang pagkakaroon ng natutunan ng kaunti tungkol sa mga paraan ng paggamit ng trigonometrya, bumalik tayo sa pangunahing trigonometrya upang higit na maunawaan kung ano ang sine, cosine, tangent, anong mga kalkulasyon ang maaaring gawin sa kanilang tulong at kung anong mga formula ang gagamitin.
Ang unang hakbang ay upang maunawaan ang mga konsepto na nauugnay sa isang tamang tatsulok. Una, ang hypotenuse ay ang gilid sa tapat ng 90 degree na anggulo. Siya ang pinakamatagal. Naaalala namin na, ayon sa Pythagorean theorem, ang numerical value nito ay katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng iba pang dalawang panig.
Halimbawa, kung ang dalawang panig ay 3 at 4 na sentimetro ayon sa pagkakabanggit, ang haba ng hypotenuse ay magiging 5 sentimetro. Sa pamamagitan ng paraan, alam ng mga sinaunang Egyptian ang tungkol dito mga apat at kalahating libong taon na ang nakalilipas.
Ang dalawang natitirang panig na bumubuo ng tamang anggulo ay tinatawag na mga binti. Bilang karagdagan, dapat nating tandaan na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok sa isang rectangular coordinate system ay 180 degrees.
Kahulugan
Sa wakas, na may matatag na pag-unawa sa geometric na base, maaari nating buksan ang kahulugan ng sine, cosine at tangent ng isang anggulo.
Ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na binti (i.e., ang gilid sa tapat ng nais na anggulo) sa hypotenuse. Ang cosine ng isang anggulo ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse.
Tandaan na alinman sa sine o cosine ay hindi maaaring mas malaki sa isa! Bakit? Dahil ang hypotenuse ay bilang default ang pinakamahaba. Kahit gaano kahaba ang binti, ito ay magiging mas maikli kaysa sa hypotenuse, na nangangahulugan na ang kanilang ratio ay palaging mas mababa sa isa. Kaya, kung nakakuha ka ng sine o cosine na may halagang higit sa 1 sa sagot sa problema, maghanap ng error sa mga kalkulasyon o pangangatwiran. Ang sagot na ito ay malinaw na mali.
Sa wakas, ang tangent ng isang anggulo ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi. Ang parehong resulta ay magbibigay ng dibisyon ng sine sa pamamagitan ng cosine. Tingnan: alinsunod sa pormula, hinahati namin ang haba ng gilid sa hypotenuse, pagkatapos ay hinahati namin sa haba ng pangalawang panig at i-multiply ng hypotenuse. Kaya, nakukuha namin ang parehong ratio tulad ng sa kahulugan ng tangent.
Ang cotangent, ayon sa pagkakabanggit, ay ang ratio ng gilid na katabi ng sulok sa kabaligtaran. Nakukuha namin ang parehong resulta sa pamamagitan ng paghahati ng yunit ng tangent.
Kaya, isinasaalang-alang namin ang mga kahulugan kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, at maaari naming harapin ang mga formula.
Ang pinakasimpleng mga formula
Sa trigonometrya, hindi magagawa ng isang tao nang walang mga formula - kung paano makahanap ng sine, cosine, tangent, cotangent nang wala sila? At ito mismo ang kinakailangan kapag nilutas ang mga problema.
Ang unang formula na kailangan mong malaman kapag nagsisimula sa pag-aaral ng trigonometrya ay nagsasabi na ang kabuuan ng mga parisukat ng sine at cosine ng isang anggulo ay katumbas ng isa. Ang formula na ito ay direktang kinahinatnan ng Pythagorean theorem, ngunit nakakatipid ito ng oras kung gusto mong malaman ang halaga ng anggulo, hindi ang gilid.
Maraming mga mag-aaral ang hindi matandaan ang pangalawang pormula, na napakapopular din kapag nilulutas ang mga problema sa paaralan: ang kabuuan ng isa at ang parisukat ng tangent ng isang anggulo ay katumbas ng isa na hinati sa parisukat ng cosine ng anggulo. Tingnang mabuti: pagkatapos ng lahat, ito ay ang parehong pahayag tulad ng sa unang pormula, ang magkabilang panig lamang ng pagkakakilanlan ay hinati sa parisukat ng cosine. Lumalabas na ang isang simpleng mathematical operation ay ginagawang ganap na hindi nakikilala ang trigonometriko formula. Tandaan: ang pag-alam kung ano ang sine, cosine, tangent at cotangent, ang mga panuntunan sa conversion at ilang pangunahing formula, maaari mong independiyenteng makuha anumang oras ang kinakailangang mas kumplikadong mga formula sa isang sheet ng papel.
Mga formula ng dobleng anggulo at pagdaragdag ng mga argumento
Dalawang higit pang mga formula na kailangan mong matutunan ay nauugnay sa mga halaga ng sine at cosine para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga anggulo. Ang mga ito ay ipinapakita sa figure sa ibaba. Pakitandaan na sa unang kaso, ang sine at cosine ay pinarami ng parehong beses, at sa pangalawa, ang pairwise na produkto ng sine at cosine ay idinagdag.
Mayroon ding mga formula na nauugnay sa mga argumento ng double angle. Ang mga ito ay ganap na nagmula sa mga nauna - bilang isang kasanayan, subukang kunin ang mga ito sa iyong sarili, kunin ang anggulo ng alpha na katumbas ng anggulo ng beta.
Panghuli, tandaan na ang mga formula ng dobleng anggulo ay maaaring ma-convert upang mapababa ang antas ng sine, cosine, tangent alpha.
Theorems
Ang dalawang pangunahing teorema sa pangunahing trigonometrya ay ang sine theorem at ang cosine theorem. Sa tulong ng mga theorems na ito, madali mong maunawaan kung paano hanapin ang sine, cosine at tangent, at samakatuwid ay ang lugar ng figure, at ang laki ng bawat panig, atbp.
Ang sine theorem ay nagsasaad na bilang resulta ng paghahati ng haba ng bawat panig ng tatsulok sa halaga ng kabaligtaran na anggulo, nakukuha natin ang parehong numero. Bukod dito, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng dalawang radii ng circumscribed na bilog, iyon ay, ang bilog na naglalaman ng lahat ng mga punto ng ibinigay na tatsulok.
Ang cosine theorem ay nagsa-generalize ng Pythagorean theorem, na ipinapalabas ito sa anumang mga tatsulok. Ito ay lumiliko na mula sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig, ibawas ang kanilang produkto na pinarami ng dobleng cosine ng anggulo na katabi ng mga ito - ang resultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng ikatlong panig. Kaya, ang Pythagorean theorem ay lumalabas na isang espesyal na kaso ng cosine theorem.
Mga pagkakamali dahil sa kawalan ng pansin
Kahit na alam kung ano ang sine, cosine at tangent, madaling magkamali dahil sa kawalan ng pag-iisip o pagkakamali sa pinakasimpleng mga kalkulasyon. Upang maiwasan ang gayong mga pagkakamali, kilalanin natin ang pinakasikat sa kanila.
Una, hindi mo dapat i-convert ang mga ordinaryong fraction sa mga decimal hanggang sa makuha ang huling resulta - maaari mong iwanan ang sagot bilang isang ordinaryong fraction, maliban kung iba ang sinasabi ng kundisyon. Ang ganitong pagbabago ay hindi matatawag na isang pagkakamali, ngunit dapat itong alalahanin na sa bawat yugto ng problema ay maaaring lumitaw ang mga bagong ugat, na, ayon sa ideya ng may-akda, ay dapat mabawasan. Sa kasong ito, mag-aaksaya ka ng oras sa mga hindi kinakailangang operasyon sa matematika. Ito ay totoo lalo na para sa mga halaga tulad ng ugat ng tatlo o dalawa, dahil nangyayari ang mga ito sa mga gawain sa bawat hakbang. Ang parehong naaangkop sa pag-round ng "pangit" na mga numero.
Dagdag pa, tandaan na ang cosine theorem ay nalalapat sa anumang tatsulok, ngunit hindi ang Pythagorean theorem! Kung nagkakamali kang nakalimutan na ibawas nang dalawang beses ang produkto ng mga panig na pinarami ng cosine ng anggulo sa pagitan nila, hindi ka lamang makakakuha ng isang ganap na maling resulta, ngunit nagpapakita rin ng isang kumpletong hindi pagkakaunawaan ng paksa. Ito ay mas masahol pa sa isang walang ingat na pagkakamali.
Pangatlo, huwag malito ang mga halaga para sa mga anggulo na 30 at 60 degrees para sa mga sine, cosine, tangent, cotangent. Tandaan ang mga halagang ito, dahil ang sine ng 30 degrees ay katumbas ng cosine ng 60, at vice versa. Madaling ihalo ang mga ito, bilang isang resulta kung saan hindi mo maaaring hindi makakuha ng isang maling resulta.
Aplikasyon
Maraming mga mag-aaral ang hindi nagmamadali upang simulan ang pag-aaral ng trigonometrya, dahil hindi nila naiintindihan ang inilapat na kahulugan nito. Ano ang sine, cosine, tangent para sa isang engineer o astronomer? Ito ang mga konsepto salamat sa kung saan maaari mong kalkulahin ang distansya sa malalayong mga bituin, hulaan ang pagbagsak ng isang meteorite, magpadala ng isang pagsisiyasat sa pananaliksik sa ibang planeta. Kung wala ang mga ito, imposibleng magtayo ng isang gusali, magdisenyo ng kotse, kalkulahin ang pagkarga sa ibabaw o ang tilapon ng isang bagay. At ito ang mga pinaka-halatang halimbawa! Pagkatapos ng lahat, ang trigonometrya sa isang anyo o iba pa ay ginagamit sa lahat ng dako, mula sa musika hanggang sa medisina.
Sa wakas
Kaya ikaw ay sine, cosine, tangent. Maaari mong gamitin ang mga ito sa mga kalkulasyon at matagumpay na malutas ang mga problema sa paaralan.
Ang buong kakanyahan ng trigonometrya ay bumababa sa katotohanan na ang hindi kilalang mga parameter ay dapat kalkulahin mula sa kilalang mga parameter ng tatsulok. Mayroong anim na parameter sa kabuuan: ang haba ng tatlong panig at ang magnitude ng tatlong anggulo. Ang buong pagkakaiba sa mga gawain ay nakasalalay sa katotohanan na ang iba't ibang data ng pag-input ay ibinigay.
Paano mahahanap ang sine, cosine, tangent batay sa mga kilalang haba ng mga binti o hypotenuse, alam mo na ngayon. Dahil ang mga terminong ito ay nangangahulugan na walang higit sa isang ratio, at ang isang ratio ay isang fraction, ang pangunahing layunin ng trigonometriko problema ay upang mahanap ang mga ugat ng isang ordinaryong equation o isang sistema ng mga equation. At dito ay tutulungan ka ng ordinaryong matematika ng paaralan.
Ang mga konsepto ng sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing kategorya ng trigonometry - isang sangay ng matematika, at inextricably na nauugnay sa kahulugan ng isang anggulo. Ang pagkakaroon ng mathematical science na ito ay nangangailangan ng pagsasaulo at pag-unawa sa mga formula at theorems, pati na rin ang pagbuo ng spatial na pag-iisip. Iyon ang dahilan kung bakit ang mga kalkulasyon ng trigonometriko ay kadalasang nagdudulot ng mga paghihirap para sa mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malampasan ang mga ito, dapat kang maging mas pamilyar sa mga function at formula ng trigonometriko.
Mga konsepto sa trigonometrya
Upang maunawaan ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kailangan mo munang magpasya kung ano ang isang tamang tatsulok at isang anggulo sa isang bilog, at kung bakit ang lahat ng mga pangunahing kalkulasyon ng trigonometriko ay nauugnay sa kanila. Ang isang tatsulok kung saan ang isa sa mga anggulo ay 90 degrees ay isang tamang tatsulok. Sa kasaysayan, ang figure na ito ay madalas na ginagamit ng mga tao sa arkitektura, nabigasyon, sining, astronomiya. Alinsunod dito, ang pag-aaral at pag-aaral ng mga katangian ng figure na ito, ang mga tao ay dumating sa pagkalkula ng kaukulang ratios ng mga parameter nito.
Ang mga pangunahing kategorya na nauugnay sa mga tamang tatsulok ay ang hypotenuse at ang mga binti. Ang hypotenuse ay ang gilid ng isang tatsulok na nasa tapat ng tamang anggulo. Ang mga binti, ayon sa pagkakabanggit, ay ang iba pang dalawang panig. Ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180 degrees.
Ang spherical trigonometry ay isang seksyon ng trigonometry na hindi pinag-aaralan sa paaralan, ngunit sa mga inilapat na agham tulad ng astronomy at geodesy, ginagamit ito ng mga siyentipiko. Ang isang tampok ng isang tatsulok sa spherical trigonometrya ay na ito ay palaging may kabuuan ng mga anggulo na higit sa 180 degrees.
Mga anggulo ng isang tatsulok
Sa isang tamang tatsulok, ang sine ng isang anggulo ay ang ratio ng binti sa tapat ng nais na anggulo sa hypotenuse ng tatsulok. Alinsunod dito, ang cosine ay ang ratio ng katabing binti at hypotenuse. Ang parehong mga halagang ito ay palaging may halaga na mas mababa sa isa, dahil ang hypotenuse ay palaging mas mahaba kaysa sa binti.
Ang tangent ng isang anggulo ay isang halaga na katumbas ng ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing binti ng nais na anggulo, o sine sa cosine. Ang cotangent, sa turn, ay ang ratio ng katabing binti ng nais na anggulo sa kabaligtaran na cactet. Ang cotangent ng isang anggulo ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa halaga ng tangent.
bilog na yunit
Ang unit circle sa geometry ay isang bilog na ang radius ay katumbas ng isa. Ang nasabing bilog ay itinayo sa Cartesian coordinate system, na ang gitna ng bilog ay tumutugma sa punto ng pinagmulan, at ang paunang posisyon ng radius vector ay tinutukoy ng positibong direksyon ng X axis (abscissa axis). Ang bawat punto ng bilog ay may dalawang coordinate: XX at YY, iyon ay, ang mga coordinate ng abscissa at ordinate. Ang pagpili ng anumang punto sa bilog sa XX na eroplano, at pagbaba ng patayo mula dito sa abscissa axis, nakakakuha tayo ng isang tamang tatsulok na nabuo sa pamamagitan ng isang radius sa napiling punto (ipahiwatig natin ito sa pamamagitan ng titik C), isang patayo na iginuhit sa ang X axis (ang intersection point ay tinutukoy ng letrang G), at isang segment ang abscissa axis sa pagitan ng pinanggalingan (ang punto ay tinutukoy ng letrang A) at ang intersection point G. Ang resultang tatsulok na ACG ay isang tamang tatsulok na nakasulat sa isang bilog, kung saan ang AG ay ang hypotenuse, at ang AC at GC ay ang mga binti. Ang anggulo sa pagitan ng radius ng bilog AC at ang segment ng abscissa axis na may pagtatalagang AG, tinukoy namin bilang α (alpha). Kaya, cos α = AG/AC. Dahil ang AC ay ang radius ng bilog ng yunit, at ito ay katumbas ng isa, lumalabas na cos α=AG. Katulad nito, kasalanan α=CG.
Bilang karagdagan, sa pag-alam sa mga datos na ito, posibleng matukoy ang coordinate ng point C sa bilog, dahil cos α=AG, at sin α=CG, na nangangahulugan na ang point C ay may ibinigay na mga coordinate (cos α; sin α). Alam na ang tangent ay katumbas ng ratio ng sine sa cosine, matutukoy natin na tg α \u003d y / x, at ctg α \u003d x / y. Isinasaalang-alang ang mga anggulo sa isang negatibong sistema ng coordinate, maaaring kalkulahin ng isa na ang mga halaga ng sine at cosine ng ilang mga anggulo ay maaaring negatibo.
Mga kalkulasyon at pangunahing mga formula
Mga halaga ng trigonometriko function
Ang pagkakaroon ng pagsasaalang-alang sa kakanyahan ng mga pag-andar ng trigonometriko sa pamamagitan ng bilog ng yunit, maaari nating makuha ang mga halaga ng mga pag-andar na ito para sa ilang mga anggulo. Ang mga halaga ay nakalista sa talahanayan sa ibaba.
Ang pinakasimpleng trigonometriko pagkakakilanlan
Ang mga equation kung saan mayroong hindi kilalang halaga sa ilalim ng tanda ng trigonometric function ay tinatawag na trigonometric. Ang mga pagkakakilanlan na may halagang sin x = α, k ay anumang integer:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- kasalanan x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- kasalanan x = a, |a| > 1, walang solusyon.
- kasalanan x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Mga pagkakakilanlan na may value na cos x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, walang solusyon.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Mga pagkakakilanlan na may halagang tg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Mga pagkakakilanlan na may halagang ctg x = a, kung saan ang k ay anumang integer:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Mga formula ng cast
Ang kategoryang ito ng mga pare-parehong formula ay nagsasaad ng mga pamamaraan kung saan maaari kang pumunta mula sa mga trigonometriko na pag-andar ng anyo hanggang sa mga pag-andar ng argumento, iyon ay, i-convert ang sine, cosine, tangent at cotangent ng isang anggulo ng anumang halaga sa mga kaukulang tagapagpahiwatig ng anggulo ng ang pagitan mula 0 hanggang 90 degrees para sa higit na kaginhawahan ng mga kalkulasyon.
Ang mga formula para sa pagbabawas ng mga function para sa sine ng isang anggulo ay ganito ang hitsura:
- kasalanan(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- kasalanan(1800 - α) = kasalanan α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- kasalanan(3600 + α) = kasalanan α.
Para sa cosine ng isang anggulo:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Ang paggamit ng mga formula sa itaas ay posibleng napapailalim sa dalawang panuntunan. Una, kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang isang halaga (π/2 ± a) o (3π/2 ± a), ang halaga ng function ay nagbabago:
- mula sa kasalanan hanggang sa cos;
- mula sa cos hanggang sa kasalanan;
- mula tg hanggang ctg;
- mula ctg hanggang tg.
Ang halaga ng function ay nananatiling hindi nagbabago kung ang anggulo ay maaaring katawanin bilang (π ± a) o (2π ± a).
Pangalawa, ang tanda ng pinababang pag-andar ay hindi nagbabago: kung ito ay positibo sa una, ito ay nananatiling gayon. Ang parehong ay totoo para sa mga negatibong function.
Mga Formula sa Pagdaragdag
Ang mga formula na ito ay nagpapahayag ng mga halaga ng sine, cosine, tangent, at cotangent ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang anggulo ng pag-ikot sa mga tuntunin ng kanilang mga trigonometric na function. Ang mga anggulo ay karaniwang tinutukoy bilang α at β.
Ang mga formula ay ganito ang hitsura:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Ang mga formula na ito ay wasto para sa anumang mga anggulo α at β.
Mga formula ng doble at triple anggulo
Ang mga trigonometric na formula ng doble at triple na anggulo ay mga formula na nag-uugnay sa mga function ng mga anggulo 2α at 3α, ayon sa pagkakabanggit, sa mga trigonometric na function ng angle α. Nagmula sa mga formula ng karagdagan:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Paglipat mula sa kabuuan patungo sa produkto
Isinasaalang-alang na ang 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), na pinasimple ang formula na ito, nakuha natin ang pagkakakilanlan sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Katulad nito, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Paglipat mula sa produkto hanggang sa kabuuan
Ang mga formula na ito ay sumusunod mula sa mga pagkakakilanlan para sa paglipat ng kabuuan sa produkto:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Mga formula ng pagbabawas
Sa mga pagkakakilanlan na ito, ang mga parisukat at kubiko na kapangyarihan ng sine at cosine ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng sine at cosine ng unang kapangyarihan ng maraming anggulo:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Pangkalahatang pagpapalit
Ang mga unibersal na trigonometric substitution formula ay nagpapahayag ng mga function na trigonometriko sa mga tuntunin ng tangent ng kalahating anggulo.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), habang x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kung saan x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kung saan x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), habang x \u003d π + 2πn.
Mga espesyal na kaso
Ang mga partikular na kaso ng pinakasimpleng trigonometric equation ay ibinibigay sa ibaba (k ay anumang integer).
Pribado para sa sine:
| sin x halaga | x na halaga |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk o 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk o -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk o 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk o -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk o 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk o -2π/3 + 2πk |
Cosine quotients:
| cos x na halaga | x na halaga |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Pribado para sa tangent:
| halaga ng tg x | x na halaga |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Cotangent quotients:
| halaga ng ctg x | x na halaga |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Theorems
Sine theorem
Mayroong dalawang bersyon ng theorem - simple at extended. Simple sine theorem: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Sa kasong ito, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α, β, γ ay ang magkasalungat na mga anggulo, ayon sa pagkakabanggit.
Extended sine theorem para sa isang arbitrary triangle: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Sa pagkakakilanlang ito, ang R ay tumutukoy sa radius ng bilog kung saan ang ibinigay na tatsulok ay nakasulat.
Cosine theorem
Ang pagkakakilanlan ay ipinapakita sa ganitong paraan: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Sa formula, ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, at ang α ay ang anggulo sa tapat ng panig a.
Tangent theorem
Ang formula ay nagpapahayag ng ugnayan sa pagitan ng mga tangent ng dalawang anggulo, at ang haba ng mga panig sa tapat ng mga ito. Ang mga gilid ay may label na a, b, c, at ang katumbas na magkasalungat na anggulo ay α, β, γ. Ang formula ng tangent theorem: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Cotangent theorem
Iniuugnay ang radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok na may haba ng mga gilid nito. Kung ang a, b, c ay ang mga gilid ng isang tatsulok, at ang A, B, C, ayon sa pagkakabanggit, ay ang kanilang magkasalungat na mga anggulo, ang r ay ang radius ng inscribed na bilog, at ang p ay ang kalahating perimeter ng tatsulok, ang mga sumusunod na pagkakakilanlan hawakan:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Mga aplikasyon
Ang trigonometrya ay hindi lamang isang teoretikal na agham na nauugnay sa mga mathematical formula. Ang mga katangian, teorema at tuntunin nito ay ginagamit sa pagsasanay ng iba't ibang sangay ng aktibidad ng tao - astronomiya, nabigasyon sa himpapawid at dagat, teorya ng musika, geodesy, chemistry, acoustics, optika, electronics, arkitektura, ekonomiya, mechanical engineering, pagsukat ng trabaho, computer graphics, cartography, oceanography, at marami pang iba.
Ang sine, cosine, tangent at cotangent ay ang mga pangunahing konsepto ng trigonometrya, kung saan maaari mong mathematically ipahayag ang ugnayan sa pagitan ng mga anggulo at haba ng mga gilid sa isang tatsulok, at hanapin ang nais na dami sa pamamagitan ng mga pagkakakilanlan, teorema at panuntunan.
I think you deserve more than that. Narito ang aking susi sa trigonometrya:
- Iguhit ang simboryo, dingding at kisame
- Ang mga function ng trigonometric ay walang iba kundi mga porsyento ng tatlong mga form na ito.
Metapora para sa sine at cosine: simboryo
Sa halip na tingnan lamang ang mga tatsulok mismo, isipin ang mga ito sa pagkilos sa pamamagitan ng paghahanap ng ilang partikular na halimbawa sa totoong buhay.
Isipin na ikaw ay nasa gitna ng isang simboryo at nais mong ibaba ang isang screen ng projector ng pelikula. Itinuro mo ang iyong daliri sa simboryo sa ilang "x" na anggulo, at isang screen ay dapat mag-hang mula sa puntong iyon.
Tinutukoy ng anggulong itinuturo mo:
- sine(x) = sin(x) = taas ng screen (floor to dome mounting point)
- cosine(x) = cos(x) = distansya mula sa iyo papunta sa screen (sa sahig)
- hypotenuse, ang distansya mula sa iyo hanggang sa tuktok ng screen, palaging pareho, katumbas ng radius ng simboryo
Gusto mo bang maging kasing laki ng screen hangga't maaari? Ibitin ito sa itaas mo.
Gusto mo bang mag-hang ang screen nang malayo sa iyo hangga't maaari? Ibitin ito nang patayo. Ang screen ay magkakaroon ng zero na taas sa posisyong ito at mag-hang sa likod gaya ng hiniling mo.
Ang taas at distansya mula sa screen ay inversely proportional: mas malapit ang screen na naka-hang, mas mataas ang taas nito.
Ang sine at cosine ay mga porsyento
Walang sinuman sa aking mga taon ng pag-aaral, sayang, ang nagpaliwanag sa akin na ang trigonometric function na sine at cosine ay walang iba kundi mga porsyento. Ang kanilang mga halaga ay mula sa +100% hanggang 0 hanggang -100%, o mula sa positibong maximum hanggang zero hanggang sa negatibong maximum.
Sabihin nating nagbayad ako ng buwis na 14 rubles. Hindi mo alam kung magkano ito. Pero kung sasabihin mong 95% ang ibinayad ko sa buwis, maiintindihan mo na binalatan lang ako na parang malagkit.
Walang ibig sabihin ang ganap na taas. Ngunit kung ang halaga ng sine ay 0.95, naiintindihan ko na ang TV ay nakabitin halos sa ibabaw ng iyong simboryo. Sa lalong madaling panahon maabot nito ang pinakamataas na taas nito sa gitna ng simboryo, at pagkatapos ay magsisimulang tanggihan muli.
Paano natin makalkula ang porsyento na ito? Napakasimple: hatiin ang kasalukuyang taas ng screen sa maximum na posible (ang radius ng simboryo, tinatawag ding hypotenuse).
kaya lang sinabihan tayo na “cosine = opposite leg / hypotenuse”. Ito ay lahat upang makakuha ng isang porsyento! Ang pinakamahusay na paraan upang tukuyin ang sine ay "ang porsyento ng kasalukuyang taas mula sa pinakamataas na posible". (Ang sine ay nagiging negatibo kung ang iyong anggulo ay tumuturo sa "ilalim ng lupa". Ang cosine ay nagiging negatibo kung ang anggulo ay tumuturo sa simboryo sa likod mo.)
Pasimplehin natin ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pag-aakalang nasa gitna tayo ng bilog ng yunit (radius = 1). Maaari nating laktawan ang dibisyon at kunin lamang ang sine na katumbas ng taas.
Ang bawat bilog, sa katunayan, ay isang solong, pinalaki o pinaliit sa sukat sa nais na laki. Kaya tukuyin ang mga ugnayan sa bilog ng yunit at ilapat ang mga resulta sa iyong partikular na laki ng bilog.
Eksperimento: kumuha ng anumang sulok at tingnan kung anong porsyento ng taas sa lapad ang ipinapakita nito:
Ang graph ng paglaki ng halaga ng sine ay hindi lamang isang tuwid na linya. Ang unang 45 degrees ay sumasakop sa 70% ng taas, at ang huling 10 degrees (mula 80° hanggang 90°) ay sumasaklaw lamang sa 2%.
Ito ay gagawing mas malinaw sa iyo: kung pupunta ka sa isang bilog, sa 0 ° tumaas ka halos patayo, ngunit habang papalapit ka sa tuktok ng simboryo, ang taas ay nagbabago nang mas kaunti.
Tangent at secant. Pader
Isang araw may kapitbahay na nagtayo ng pader kanan pabalik sa likod sa iyong simboryo. Sumigaw ang iyong view ng bintana at magandang resale na presyo!
Ngunit posible bang manalo sa ganitong sitwasyon?
Oo naman. Paano kung magsabit kami ng screen ng pelikula sa mismong dingding ng kapitbahay? Layunin mo ang sulok (x) at makuha ang:
- tan(x) = tan(x) = taas ng screen sa dingding
- distansya mula sa iyo sa dingding: 1 (ito ang radius ng iyong simboryo, ang dingding ay hindi gumagalaw kahit saan mula sa iyo, tama?)
- secant(x) = sec(x) = "haba ng hagdan" mula sa iyong nakatayo sa gitna ng simboryo hanggang sa tuktok ng nasuspinde na screen
Linawin natin ang ilang bagay tungkol sa tangent, o taas ng screen.
- nagsisimula ito sa 0, at maaaring tumaas nang walang katapusan. Maaari mong i-stretch ang screen nang mas mataas at mas mataas sa dingding upang makakuha lamang ng walang katapusang canvas para sa panonood ng iyong paboritong pelikula! (Para sa isang napakalaking isa, siyempre, kakailanganin mong gumastos ng maraming pera).
- ang tangent ay isang pinalaki na bersyon lamang ng sine! At habang ang paglaki ng sine ay bumagal habang lumilipat ka patungo sa tuktok ng simboryo, ang padaplis ay patuloy na lumalaki!
May ipagyayabang din si Sekansu:
- ang secant ay nagsisimula sa 1 (ang hagdan ay nasa sahig, malayo sa iyo patungo sa dingding) at nagsisimulang umakyat mula doon
- Ang secant ay palaging mas mahaba kaysa sa padaplis. Kailangang mas mahaba ang sloped ladder kung saan mo isinasabit ang iyong screen, di ba? (Sa mga hindi makatotohanang laki, kapag ang screen ay napakahaba at ang hagdan ay kailangang ilagay nang halos patayo, ang kanilang mga sukat ay halos pareho. Ngunit kahit na ang secant ay medyo mas mahaba).
Tandaan ang mga halaga ay porsyento. Kung magpasya kang isabit ang screen sa 50 degree na anggulo, tan(50)=1.19. Ang iyong screen ay 19% na mas malaki kaysa sa distansya sa dingding (dome radius).
(Ipasok ang x=0 at subukan ang iyong intuwisyon - tan(0) = 0 at sec(0) = 1.)
Cotangent at cosecant. Kisame
Hindi kapani-paniwala, nagpasya na ngayon ang iyong kapitbahay na magtayo ng kisame sa ibabaw ng iyong simboryo. (Anong problema niya? Parang ayaw niyang sinisilip mo siya habang hubo't hubad siyang naglalakad sa bakuran...)
Buweno, oras na upang bumuo ng isang labasan sa bubong at makipag-usap sa kapitbahay. Pipiliin mo ang anggulo ng pagkahilig, at simulan ang pagbuo:
- ang patayong distansya sa pagitan ng saksakan ng bubong at sahig ay palaging 1 (radius ng simboryo)
- cotangent(x) = cot(x) = distansya sa pagitan ng dome top at exit point
- cosecant(x) = csc(x) = haba ng iyong landas patungo sa bubong
Ang tangent at secant ay naglalarawan sa dingding, habang ang cotangent at cosecant ay naglalarawan sa sahig.
Ang aming mga intuitive na konklusyon sa oras na ito ay katulad ng mga nauna:
- Kung kukuha ka ng isang anggulo na 0°, ang iyong paglabas sa bubong ay magtatagal nang walang hanggan dahil hindi ito aabot sa kisame. Problema.
- Ang pinakamaikling "hagdan" patungo sa bubong ay makukuha kung itatayo mo ito sa isang anggulo na 90 degrees sa sahig. Ang cotangent ay magiging katumbas ng 0 (hindi kami gumagalaw sa bubong, mahigpit kaming lumabas nang patayo), at ang cosecant ay magiging katumbas ng 1 ("ang haba ng hagdan" ay magiging minimal).
I-visualize ang Mga Koneksyon
Kung ang lahat ng tatlong kaso ay iginuhit sa kumbinasyon ng dome-wall-floor, ang mga sumusunod ay makukuha:
Well, wow, ito ay ang lahat ng parehong tatsulok, pinalaki sa laki upang maabot ang pader at kisame. Mayroon kaming mga patayong gilid (sine, tangent), pahalang na gilid (cosine, cotangent), at "hypotenuses" (secant, cosecant). (Makikita mo mula sa mga arrow kung gaano kalayo ang naaabot ng bawat elemento. Ang cosecant ay ang kabuuang distansya mula sa iyo patungo sa bubong).
Isang maliit na magic. Ang lahat ng mga tatsulok ay nagbabahagi ng parehong pagkakapantay-pantay:
Mula sa Pythagorean theorem (a 2 + b 2 = c 2) nakikita natin kung paano konektado ang mga gilid ng bawat tatsulok. Bilang karagdagan, ang mga ratio ng taas-sa-lapad ay dapat ding pareho para sa lahat ng mga tatsulok. (Umurong lang mula sa pinakamalaking tatsulok patungo sa mas maliit. Oo, nagbago ang laki, ngunit ang mga proporsyon ng mga gilid ay mananatiling pareho).
Alam kung aling panig sa bawat tatsulok ang 1 (ang radius ng simboryo), madali nating makalkula na "sin/cos = tan/1".
Palagi kong sinusubukang alalahanin ang mga katotohanang ito sa pamamagitan ng simpleng visualization. Sa larawan maaari mong malinaw na makita ang mga dependency na ito at maunawaan kung saan sila nanggaling. Ang pamamaraan na ito ay mas mahusay kaysa sa pagsasaulo ng mga tuyong formula.
Huwag Kalimutan ang Iba Pang Anggulo
Shh... Hindi na kailangang mabitin sa isang graph, iniisip na ang tangent ay palaging mas mababa sa 1. Kung tataasan mo ang anggulo, maaabot mo ang kisame nang hindi umabot sa dingding:
Palaging gumagana ang mga koneksyon ng Pythagorean, ngunit maaaring magkaiba ang mga kamag-anak na laki.
(Marahil ay napansin mo na ang ratio ng sine at cosine ay palaging pinakamaliit dahil ang mga ito ay nakapaloob sa loob ng isang simboryo.)
Upang buod: ano ang kailangan nating tandaan?
Para sa karamihan sa atin, sasabihin ko na ito ay sapat na:
- Ipinapaliwanag ng trigonometrya ang anatomy ng mga bagay na pangmatematika tulad ng mga bilog at paulit-ulit na pagitan
- ang dome/wall/roof analogy ay nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng iba't ibang trigonometriko function
- ang resulta ng trigonometriko function ay ang mga porsyento na inilalapat namin sa aming senaryo.
Hindi mo kailangang kabisaduhin ang mga formula tulad ng 1 2 + cot 2 = csc 2 . Ang mga ito ay angkop lamang para sa mga hangal na pagsusulit kung saan ang kaalaman sa isang katotohanan ay ipinakita bilang pag-unawa dito. Maglaan ng isang minuto upang gumuhit ng kalahating bilog sa anyo ng isang simboryo, isang pader at isang bubong, lagdaan ang mga elemento, at ang lahat ng mga formula ay hihilingin para sa iyo sa papel.
Paglalapat: Baliktad na Mga Pag-andar
Ang anumang trigonometric function ay tumatagal ng isang anggulo bilang input at ibinabalik ang resulta bilang isang porsyento. sin(30) = 0.5. Nangangahulugan ito na ang isang 30 degree na anggulo ay tumatagal ng 50% ng pinakamataas na taas.
Ang inverse trigonometric function ay isinulat bilang sin -1 o arcsin (“arxine”). Madalas din itong isinulat ng asin sa iba't ibang programming language.
Kung ang ating taas ay 25% ng taas ng simboryo, ano ang ating anggulo?
Sa aming talahanayan ng mga proporsyon, mahahanap mo ang ratio kung saan ang secant ay nahahati sa 1. Halimbawa, ang secant ng 1 (ang hypotenuse sa pahalang) ay magiging katumbas ng 1 na hinati ng cosine:
Sabihin nating ang secant natin ay 3.5, i.e. 350% ng radius ng bilog ng unit. Anong anggulo ng pagkahilig sa dingding ang katumbas ng halagang ito?
Apendise: Ilang halimbawa
Halimbawa: Hanapin ang sine ng anggulo x.
Nakakainip na gawain. Gawin nating kumplikado ang banal na "hanapin ang sine" sa "Ano ang taas bilang isang porsyento ng maximum (hypotenuse)?".
Una, pansinin na ang tatsulok ay pinaikot. Wala namang masama dun. Ang tatsulok ay mayroon ding taas, ito ay ipinapakita sa berde sa figure.
Ano ang katumbas ng hypotenuse? Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, alam natin na:
3 2 + 4 2 = hypotenuse 2 25 = hypotenuse 2 5 = hypotenuse
ayos lang! Ang sine ay ang porsyento ng taas mula sa pinakamahabang bahagi ng tatsulok, o ang hypotenuse. Sa aming halimbawa, ang sine ay 3/5 o 0.60.
Siyempre, maaari tayong pumunta sa maraming paraan. Ngayon alam natin na ang sine ay 0.60 at mahahanap lang natin ang arcsine:
Asin(0.6)=36.9
At narito ang isa pang diskarte. Tandaan na ang tatsulok ay "harapan sa dingding", kaya maaari naming gamitin ang tangent sa halip na sine. Ang taas ay 3, ang distansya sa dingding ay 4, kaya ang padaplis ay ¾ o 75%. Maaari naming gamitin ang arc tangent upang pumunta mula sa porsyento pabalik sa anggulo:
Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Halimbawa: Lumalangoy ka ba sa pampang?
Nasa bangka ka at mayroon kang sapat na gasolina para maglayag ng 2 km. 0.25 km ka na ngayon mula sa baybayin. Sa anong pinakamataas na anggulo sa baybayin maaari kang lumangoy dito upang magkaroon ka ng sapat na gasolina? Karagdagan sa kondisyon ng problema: mayroon lamang kaming talahanayan ng mga halaga ng arc cosine.
Kung anong meron tayo? Ang baybayin ay maaaring ilarawan bilang isang "pader" sa aming sikat na tatsulok, at ang "haba ng hagdan" na nakakabit sa dingding ay maaaring ilarawan bilang ang maximum na posibleng distansya sa pamamagitan ng bangka patungo sa baybayin (2 km). Lumilitaw ang isang secant.
Una, kailangan mong lumipat sa mga porsyento. Mayroon kaming 2 / 0.25 = 8, na nangangahulugang maaari kaming lumangoy ng 8 beses ang tuwid na distansya sa baybayin (o sa dingding).
Ang tanong ay lumitaw na "Ano ang secant 8?". Ngunit hindi kami makapagbigay ng sagot dito, dahil mayroon lamang kaming mga arc cosine.
Ginagamit namin ang aming dating nagmula na mga dependency upang i-map ang secant sa cosine: "sec/1 = 1/cos"
Ang secant ng 8 ay katumbas ng cosine ng ⅛. Ang isang anggulo na ang cosine ay ⅛ ay acos(1/8) = 82.8. At ito ang pinakamalaking anggulo na maaari nating bayaran sa isang bangka na may tinukoy na dami ng gasolina.
Hindi masama, tama? Kung wala ang pagkakatulad ng dome-wall-ceiling, malito ako sa isang grupo ng mga formula at kalkulasyon. Ang visualization ng problema ay lubos na pinapasimple ang paghahanap para sa isang solusyon, bukod pa, ito ay kagiliw-giliw na upang makita kung aling trigonometriko function ay sa wakas ay makakatulong.
Para sa bawat gawain, mag-isip ng ganito: interesado ba ako sa isang simboryo (sin/cos), isang pader (tan/sec), o isang kisame (cot/csc)?
At ang trigonometrya ay magiging mas kaaya-aya. Madaling kalkulasyon para sa iyo!
Kung saan isinasaalang-alang ang mga gawain para sa paglutas ng isang right-angled triangle, nangako akong magpapakita ng isang pamamaraan para sa pagsasaulo ng mga kahulugan ng sine at cosine. Gamit ito, palagi mong maaalala kung aling binti ang kabilang sa hypotenuse (katabi o kabaligtaran). Nagpasya akong huwag ipagpaliban ito nang walang katiyakan, ang kinakailangang materyal ay nasa ibaba, mangyaring basahin ito 😉
Ang katotohanan ay paulit-ulit kong naobserbahan kung paano nahihirapang alalahanin ng mga estudyante sa grade 10-11 ang mga kahulugang ito. Natatandaan nilang mabuti na ang binti ay tumutukoy sa hypotenuse, ngunit alin- kalimutan at nalilito. Ang presyo ng isang pagkakamali, tulad ng alam mo sa pagsusulit, ay isang nawalang marka.
Ang impormasyon na ipapakita ko nang direkta sa matematika ay walang kinalaman. Ito ay nauugnay sa matalinghagang pag-iisip, at sa mga pamamaraan ng verbal-logical na koneksyon. Tama, ako mismo, once and for all remembereddata ng kahulugan. Kung nakalimutan mo pa rin ang mga ito, pagkatapos ay sa tulong ng ipinakita na mga diskarte ay palaging madaling matandaan.
Hayaan akong ipaalala sa iyo ang mga kahulugan ng sine at cosine sa isang tamang tatsulok:
Cosine Ang talamak na anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
Sinus Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse:
Kaya, anong mga asosasyon ang dulot ng salitang cosine sa iyo?
Malamang lahat ay may kanya-kanyang sariliTandaan ang link:
Sa gayon, magkakaroon ka kaagad ng isang pagpapahayag sa iyong memorya -
«… ratio ng ADJACENT leg sa hypotenuse».
Nalutas ang problema sa kahulugan ng cosine.
Kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng sine sa isang tamang tatsulok, pagkatapos ay maalala ang kahulugan ng cosine, madali mong maitatag na ang sine ng isang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa hypotenuse. Pagkatapos ng lahat, mayroon lamang dalawang binti, kung ang katabing binti ay "sinasakop" ng cosine, kung gayon ang kabaligtaran na bahagi lamang ang nananatili para sa sine.
Paano ang tangent at cotangent? Parehong pagkalito. Alam ng mga mag-aaral na ito ang ratio ng mga binti, ngunit ang problema ay tandaan kung alin ang tinutukoy - alinman sa kabaligtaran sa katabi, o kabaliktaran.
Mga Kahulugan:
Tangent ang isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi:
Cotangent Ang talamak na anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran:
Paano maalala? Mayroong dalawang paraan. Ang isa ay gumagamit din ng isang verbal-logical na koneksyon, ang isa - isang matematikal.
PARAAN NG MATHEMATICAL
Mayroong ganoong kahulugan - ang tangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng sine ng isang anggulo sa cosine nito:
* Ang pag-alala sa formula, maaari mong palaging matukoy na ang tangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi.
Ganun din.Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay ang ratio ng cosine ng isang anggulo sa sine nito:
Kaya! Ang pag-alala sa mga formula na ito, palagi mong matutukoy na:
- ang padaplis ng isang matinding anggulo sa isang kanang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabing
- ang cotangent ng isang matinding anggulo sa isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran.
VERBAL-LOGICAL METHOD
Tungkol sa tangent. Tandaan ang link:
Iyon ay, kung kailangan mong tandaan ang kahulugan ng tangent, gamit ang lohikal na koneksyon na ito, madali mong matandaan kung ano ito
"... ang ratio ng kabaligtaran na binti sa katabi"
Kung ito ay dumating sa cotangent, pagkatapos ay naaalala ang kahulugan ng tangent, madali mong maipahayag ang kahulugan ng cotangent -
"... ang ratio ng katabing binti sa kabaligtaran"
Mayroong isang kawili-wiling pamamaraan para sa pagsasaulo ng tangent at cotangent sa site " Tandem sa matematika " , tingnan mo.
PARAAN UNIVERSAL
Gumiling ka na lang.Ngunit bilang nagpapakita ng kasanayan, salamat sa mga koneksyon sa pandiwa-lohikal, naaalala ng isang tao ang impormasyon sa loob ng mahabang panahon, at hindi lamang sa matematika.
Umaasa ako na ang materyal ay naging kapaki-pakinabang sa iyo.
Taos-puso, Alexander Krutitskikh
P.S: Magpapasalamat ako kung sasabihin mo ang tungkol sa site sa mga social network.
