Ang dalawang-variable na linear equation ay anumang equation na may sumusunod na anyo: a*x + b*y =c. Narito ang x at y ay dalawang variable, ang a,b,c ay ilang mga numero.
Ang solusyon ng linear equation na a*x + b*y = c, ay anumang pares ng mga numero (x, y) na nakakatugon sa equation na ito, ibig sabihin, ginagawa nitong tamang pagkakapantay-pantay ang equation na may mga variable na x at y. Ang isang linear equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.
Kung ang bawat pares ng mga numero na solusyon sa isang linear equation na may dalawang variable ay kinakatawan sa coordinate plane bilang mga puntos, ang lahat ng mga puntong ito ay bumubuo ng isang graph ng isang linear equation na may dalawang variable. Ang aming mga halaga ng x at y ay magsisilbing mga coordinate para sa mga puntos. Sa kasong ito, ang x value ay ang abscissa, at ang y value ay ang ordinate.
Graph ng isang linear equation na may dalawang variable
Ang graph ng isang linear equation na may dalawang variable ay ang set ng lahat ng posibleng punto ng coordinate plane, ang mga coordinate kung saan ang mga solusyon ng linear equation na ito. Madaling hulaan na ang graph ay magiging isang tuwid na linya. Samakatuwid, ang mga naturang equation ay tinatawag na linear.
Algoritmo ng konstruksiyon
Algorithm para sa paglalagay ng linear equation na may dalawang variable.
1. Gumuhit ng coordinate axes, lagdaan ang mga ito at markahan ang unit scale.
2. Sa isang linear equation, ilagay ang x = 0, at lutasin ang resultang equation para sa y. Markahan ang resultang punto sa graph.
3. Sa isang linear equation, kunin ang numerong 0 bilang y, at lutasin ang resultang equation para sa x. Markahan ang nakuhang punto sa graph
4. Kung kinakailangan, kumuha ng arbitraryong halaga ng x, at lutasin ang resultang equation para sa y. Markahan ang resultang punto sa graph.
5. Ikonekta ang mga natanggap na puntos, ipagpatuloy ang graph para sa kanila. Lagdaan ang resultang linya.
Halimbawa: I-plot ang equation na 3*x - 2*y =6;
Ilagay natin ang х=0, pagkatapos - 2*y=6; y=-3;
Ilagay natin ang y=0, pagkatapos ay 3*x = 6; x=2;
Minarkahan namin ang mga nakuha na puntos sa graph, gumuhit ng isang tuwid na linya sa kanila at lagdaan ito. Tingnan ang larawan sa ibaba, ang graph ay dapat magmukhang ganito.
Hayaan ang ibinigay equation na may dalawang variable F(x; y). Natutunan mo na kung paano lutasin ang mga naturang equation nang analytical. Ang hanay ng mga solusyon ng naturang mga equation ay maaari ding katawanin sa anyo ng isang graph.
Ang graph ng equation na F(x; y) ay ang set ng mga punto ng coordinate plane xOy na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation.
Upang magplano ng dalawang-variable na equation, ipahayag muna ang y variable sa mga tuntunin ng x variable sa equation.
Tiyak na alam mo na kung paano bumuo ng iba't ibang mga graph ng mga equation na may dalawang variable: ax + b \u003d c ay isang tuwid na linya, yx \u003d k ay isang hyperbola, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R Ang 2 ay isang bilog na ang radius ay R, at ang sentro ay nasa puntong O(a; b).
Halimbawa 1
I-plot ang equation x 2 - 9y 2 = 0.
Solusyon.
I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation.
(x - 3y)(x+ 3y) = 0, ibig sabihin, y = x/3 o y = -x/3.
Sagot: figure 1.
Ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng pagtatalaga ng mga numero sa eroplano sa pamamagitan ng mga equation na naglalaman ng tanda ng ganap na halaga, na tatalakayin natin nang detalyado. Isaalang-alang ang mga yugto ng paglalagay ng mga equation ng anyong |y| = f(x) at |y| = |f(x)|.
Ang unang equation ay katumbas ng system
(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) o y = -f(x).
Ibig sabihin, ang graph nito ay binubuo ng mga graph ng dalawang function: y = f(x) at y = -f(x), kung saan f(x) ≥ 0.
Upang i-plot ang graph ng pangalawang equation, ang mga graph ng dalawang function ay naka-plot: y = f(x) at y = -f(x).
Halimbawa 2
I-plot ang equation |y| = 2 + x.
Solusyon.
Ang ibinigay na equation ay katumbas ng system
(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 o y = -x - 2.
Bumubuo kami ng isang hanay ng mga puntos.
Sagot: figure 2.
Halimbawa 3
I-plot ang equation |y – x| = 1.
Solusyon.
Kung y ≥ x, kung gayon y = x + 1, kung y ≤ x, kung gayon y = x - 1.
Sagot: figure 3.
Kapag gumagawa ng mga graph ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng module sign, ito ay maginhawa at makatuwiran na gamitin paraan ng lugar, batay sa paghahati sa coordinate plane sa mga bahagi kung saan ang bawat submodule expression ay nagpapanatili ng sign nito.
Halimbawa 4
I-plot ang equation na x + |x| + y + |y| = 2.
Solusyon.
Sa halimbawang ito, ang sign ng bawat submodule expression ay nakasalalay sa coordinate quadrant.
1) Sa unang quarter ng coordinate x ≥ 0 at y ≥ 0. Pagkatapos palawakin ang module, ang ibinigay na equation ay magiging ganito:
2x + 2y = 2, at pagkatapos ng pagpapasimple x + y = 1.
2) Sa ikalawang quarter, kung saan ang x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.
3) Sa ikatlong quarter x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.
4) Sa ikaapat na quarter, para sa x ≥ 0 at y< 0 получим, что x = 1.
I-plot namin ang equation na ito sa quarters.
Sagot: figure 4.
Halimbawa 5
Gumuhit ng isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay |x – 1| + |y – 1| = 1.
Solusyon.
Ang mga zero ng submodule na expression na x = 1 at y = 1 ay naghahati sa coordinate plane sa apat na rehiyon. Hatiin natin ang mga module ayon sa rehiyon. Ilagay natin ito sa anyo ng isang mesa.
| Rehiyon |
Sign ng expression ng submodule |
Ang resultang equation pagkatapos palawakin ang module |
| ako | x ≥ 1 at y ≥ 1 | x + y = 3 |
| II | x< 1 и y ≥ 1 | -x+y=1 |
| III | x< 1 и y < 1 | x + y = 1 |
| IV | x ≥ 1 at y< 1 | x – y = 1 |
Sagot: figure 5.
Sa coordinate plane, maaaring tukuyin ang mga numero at hindi pagkakapantay-pantay.
Grap ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ay ang set ng lahat ng mga punto ng coordinate plane na ang mga coordinate ay mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.
Isipin mo algorithm para sa pagbuo ng isang modelo para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:
- Isulat ang equation na tumutugma sa hindi pagkakapantay-pantay.
- I-plot ang equation mula sa hakbang 1.
- Pumili ng isang arbitrary na punto sa isa sa mga kalahating eroplano. Suriin kung ang mga coordinate ng napiling punto ay nakakatugon sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.
- Iguhit nang grapiko ang hanay ng lahat ng solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang, una sa lahat, ang hindi pagkakapantay-pantay na ax + bx + c > 0. Ang equation na ax + bx + c = 0 ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Sa bawat isa sa kanila, ang function na f(x) = ax + bx + c ay sign-preserveing. Upang matukoy ang sign na ito, sapat na kumuha ng anumang punto na kabilang sa kalahating eroplano at kalkulahin ang halaga ng function sa puntong ito. Kung ang tanda ng pag-andar ay tumutugma sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang kalahating eroplano na ito ang magiging solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay.
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga graphical na solusyon sa mga pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable.
1) ax + bx + c ≥ 0. Larawan 6.
2)
|x| ≤ a, a > 0. Larawan 7.
3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Larawan 8.
4) y ≥ x2. Larawan 9
5)
xy ≤ 1. Larawan 10. 
Kung mayroon kang mga tanong o gustong magsanay sa pagmomodelo ng mga hanay ng lahat ng solusyon ng dalawang-variable na hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mathematical modeling, maaari mong libreng 25 minutong aralin na may online na tutor pagkatapos mong magparehistro. Para sa karagdagang trabaho kasama ang guro, magkakaroon ka ng pagkakataong pumili ng plano ng taripa na nababagay sa iyo.
May tanong ka ba? Hindi mo alam kung paano gumuhit ng figure sa coordinate plane?
Upang makakuha ng tulong ng isang tutor - magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.
Sa araling ito, susuriin natin ang mga equation ng paglalagay. Una, alalahanin natin kung ano ang rational equation at ang hanay ng mga solusyon nito na bumubuo sa graph ng equation. Tingnan natin ang graph ng isang linear equation at ang mga katangian ng isang linear function, alamin kung paano basahin ang mga graph. Susunod, isaalang-alang ang graph ng isang quadratic equation at ang mga katangian ng isang quadratic function. Isaalang-alang ang isang hyperbolic function at ang graph nito at ang graph ng equation ng isang bilog. Susunod, bumaling tayo sa pagbuo at pag-aaral ng isang hanay ng mga graph.
Paksa: Sistema ng mga Equation
Aralin: Mga Equation Graph
Isinasaalang-alang namin ang isang rational equation ng form at mga sistema ng rational equation ng form
Sinabi namin na ang bawat equation sa sistemang ito ay may sariling graph, maliban kung siyempre may mga solusyon sa mga equation. Tumingin kami sa ilang mga graph ng iba't ibang mga equation.
Ngayon ay sistematikong isasaalang-alang namin ang bawat isa sa mga equation na kilala sa amin, i.e. gumawa ng pagsusuri sa mga equation graph.
1. Linear equation na may dalawang variable 
x, y - sa unang antas; a,b,c - mga tiyak na numero.
Halimbawa: 
Ang graph ng equation na ito ay isang tuwid na linya.
Kumilos kami na may katumbas na pagbabago - iniwan namin ang y sa lugar, lahat ng iba pa ay inilipat sa kabilang panig na may kabaligtaran na mga palatandaan. Ang orihinal at nagresultang mga equation ay katumbas, i.e. magkaroon ng parehong hanay ng mga solusyon. Maaari tayong bumuo ng isang graph ng equation na ito, at ang paraan para sa pagbuo nito ay ang mga sumusunod: hinahanap natin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes at bumuo ng isang tuwid na linya sa kanila.
Sa kasong ito
Alam ang graph ng equation, marami tayong masasabi tungkol sa mga solusyon sa orihinal na equation, ibig sabihin: kung 
kung 
Ang function na ito ay tumataas, i.e. habang lumalaki ang x, tumataas ang y. Nakatanggap kami ng dalawang partikular na solusyon, ngunit paano isulat ang hanay ng lahat ng solusyon?
Kung ang isang punto ay may abscissa x, kung gayon ang ordinate ng puntong iyon
Kaya ang mga numero
Nagkaroon kami ng equation, gumawa kami ng graph, nakakita kami ng mga solusyon. Ang hanay ng lahat ng mga pares - ilan ang mayroon? Hindi mabilang.
Ito ay isang rational equation
Hanapin natin ang y, sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong nakuha natin 
Nagtakda kami at kumuha ng isang quadratic function, alam namin ang graph nito.
Halimbawa: Mag-plot ng rational equation.
Ang graph ay isang parabola, ang mga sanga ay nakadirekta paitaas.
Hanapin natin ang mga ugat ng equation:
Ilarawan sa eskematiko ang graph ( kanin. 2).
Sa tulong ng isang graph, nakukuha namin ang lahat ng uri ng impormasyon tungkol sa parehong function at mga solusyon ng isang rational equation. Natukoy namin ang mga agwat ng pag-sign constancy, ngayon ay makikita namin ang mga coordinate ng tuktok ng parabola.
Ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon, i.e. hindi mabilang na mga pares na nagbibigay-kasiyahan sa equation, ngunit lahat At ano ang maaaring maging x? Sinuman!
Kung nagtakda kami ng anumang x, makakakuha kami ng isang punto
Ang solusyon ng orihinal na equation ay ang hanay ng mga pares
3. I-plot ang equation
Kailangan mong ipahayag y. Isaalang-alang natin ang dalawang pagpipilian.
Ang graph ng function ay isang hyperbola, ang function ay hindi tinukoy para sa
Bumababa ang function.
Kung kukuha tayo ng isang punto na may abscissa, kung gayon ang ordinate nito ay magiging katumbas ng
Ang solusyon ng orihinal na equation ay ang hanay ng mga pares
Ang itinayong hyperbola ay maaaring ilipat nang may kaugnayan sa mga coordinate axes.
Halimbawa, ang graph ng function 
- isa ring hyperbola - ay ililipat ng isa sa kahabaan ng y-axis.
4. Equation ng isang bilog
Ito ay isang rational equation na may dalawang variable. Ang hanay ng mga solusyon ay ang mga punto ng bilog. Ang center point radius ay katumbas ng R (Larawan 4).
Isaalang-alang natin ang mga tiyak na halimbawa.
a. 
Dinadala namin ang equation sa karaniwang anyo ng equation ng bilog, para dito pipiliin namin ang buong parisukat ng kabuuan:
- nakuha ang equation ng isang bilog na nakasentro sa 
.
Bumuo tayo ng isang graph ng equation 
(Larawan 5).
b. Plot Equation
Alalahanin na ang produkto ay katumbas ng zero kung at kung ang isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, at ang pangalawa ay umiiral.
Ang graph ng isang ibinigay na equation ay binubuo ng isang set ng mga graph ng una at pangalawang equation, i.e. dalawang tuwid na linya.
Buuin natin ito (Larawan 6).
Bumuo tayo ng graph ng function Ang tuwid na linya ay dadaan sa punto (0; -1). Ngunit paano ito lilipas - tataas ba ito o bababa? Ang angular coefficient ay makakatulong sa amin na matukoy ito, ang coefficient sa x, ito ay negatibo, na nangangahulugan na ang function ay bumababa. Hanapin ang punto ng intersection sa ox axis, ito ang punto (-1; 0).
Katulad nito, bumuo kami ng isang graph ng pangalawang equation. Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto (0; 1), ngunit tumataas, dahil positibo ang slope.
Ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng dalawang itinayong linya ay ang solusyon ng equation.
Kaya, sinuri namin ang mga graph ng pinakamahalagang rational equation, gagamitin ang mga ito kapwa sa graphical na pamamaraan at sa paglalarawan ng iba pang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation.
1. Mordkovich A.G. at iba pa.Algebra Ika-9 na baitang: Proc. Para sa pangkalahatang edukasyon Mga institusyon. - ika-4 na ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: ill.
2. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Taskbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill.
3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Baitang 9: aklat-aralin. para sa mga mag-aaral sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - Ika-7 ed., Rev. at karagdagang - M .: Mnemosyne, 2008.
4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Baitang 9 ika-16 na ed. - M., 2011. - 287 p.
5. Mordkovich A. G. Algebra. Baitang 9 Sa 2 pm Part 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12th ed., nabura. — M.: 2010. — 224 p.: may sakit.
6. Algebra. Baitang 9 Sa 2 oras. Bahagi 2. Isang aklat ng gawain para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina at iba pa; Ed. A. G. Mordkovich. - ika-12 ed., Rev. — M.: 2010.-223 p.: may sakit.
1. College.ru seksyon sa matematika ().
2. Proyekto sa Internet na "Mga Gawain" ().
3. Portal na pang-edukasyon "SOLVE USE" ().
1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Taskbook para sa mga mag-aaral ng mga institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4th ed. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 p.: ill. 95-102.
LAYUNIN: 1) Upang ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng "isang equation na may dalawang variable";
2) Matutong matukoy ang antas ng isang equation na may dalawang variable;
3) Matutong matukoy sa pamamagitan ng isang ibinigay na function kung aling figure ang isang graph
ibinigay na equation;
4) Isaalang-alang ang mga pagbabagong-anyo ng mga graph na may dalawang variable;
isang ibinigay na dalawang-variable na equation gamit ang Agrapher program;
6) Paunlarin ang lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral.
I. Bagong materyal - isang paliwanag na panayam na may mga elemento ng isang pag-uusap.
(Ang lecture ay isinasagawa gamit ang mga slide ng may-akda; ang pag-plot ay ginawa sa programa ng Agrapher)
U: Kapag nag-aaral ng mga linya, may dalawang problema:
Batay sa mga geometric na katangian ng isang linya, hanapin ang equation nito;
Baliktad na problema: ayon sa ibinigay na equation ng linya, siyasatin ang mga geometric na katangian nito.
Isinasaalang-alang namin ang unang problema sa kurso ng geometry na may kaugnayan sa isang bilog at isang tuwid na linya.
Ngayon ay isasaalang-alang natin ang kabaligtaran na problema.
Isaalang-alang ang mga equation ng form:
A) x(x-y)=4; b) 2y-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.
ay mga halimbawa ng mga equation na may dalawang variable.
Mga equation na may dalawang variable X At sa may porma f(x,y)=(x,y), Saan f At – mga expression na may mga variable X At y.
Kung sa equation x(x-y)=4 kapalit ng variable X ang halaga nito ay -1, at sa halip na sa- halaga 3, pagkatapos ay lalabas ang tamang pagkakapantay-pantay: 1*(-1-3)=4,
Isang pares ng (-1; 3) mga variable na halaga X At sa ay isang solusyon sa equation x(x-y)=4.
Yan ay solusyon ng equation na may dalawang variable ay tinatawag ang hanay ng mga nakaayos na pares ng mga variable na halaga na bumubuo sa equation na ito sa isang tunay na pagkakapantay-pantay.
Ang isang equation na may dalawang variable ay karaniwang may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Mga pagbubukod bumubuo, halimbawa, mga equation tulad ng X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 o
2x 2 + sa 2 = 0 .
Ang una sa kanila ay may dalawang solusyon (0; -2) at (0; 2), ang pangalawa ay may isang solusyon (0; 0).
Ang equation na x 4 + y 4 + 3 = 0 ay walang mga solusyon. Ito ay kawili-wili kapag ang mga halaga ng mga variable sa equation ay mga integer. Ang paglutas ng mga naturang equation na may dalawang variable, maghanap ng mga pares ng integer. Sa ganitong mga kaso, ang mga equation ay sinasabing malulutas sa mga integer.
Dalawang equation na may parehong hanay ng mga solusyon ay tinatawag katumbas na equation. Halimbawa, ang equation x (x + y 2) \u003d x + 1 ay isang equation ng ikatlong degree, dahil maaari itong ma-convert sa isang equation na xy 2 + x 2 - x-1 \u003d 0, ang kanang bahagi ng na isang polynomial ng karaniwang anyo ng ikatlong antas.
Ang antas ng isang equation na may dalawang variable, na kinakatawan bilang F(x, y) = 0, kung saan ang F(x, y) ay isang polynomial ng karaniwang anyo, ay ang antas ng polynomial F(x, y).
Kung ang lahat ng mga solusyon ng isang equation na may dalawang variable ay kinakatawan ng mga puntos sa coordinate plane, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang graph ng isang equation na may dalawang variable.
iskedyul Ang equation na may dalawang variable ay isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nagsisilbing solusyon sa equation na ito.
Kaya, ang graph ng equation ax + by + c = 0 ay isang tuwid na linya kung hindi bababa sa isa sa mga coefficient a o b ay hindi katumbas ng zero (Fig. 1). Kung a=b=c=0, kung gayon ang graph ng equation na ito ay coordinate plane (Larawan 2), kung a=b=0, A c0, kung gayon ang graph ay walang laman na hanay (Larawan 3).
Equation Graph y = isang x 2 + ni + c ay isang parabola (Fig. 4), ang graph ng equation xy=k (k0) – hyperbole (Larawan 5). equation graph X 2 + y 2 = r, kung saan ang x at y ay mga variable, ang r ay isang positibong numero, ay bilog nakasentro sa pinanggalingan at radius na katumbas ng r(Larawan 6). Ang graph ng equation ay ellipse, Saan a At b- ang major at minor semiaxes ng ellipse (Fig. 7).
Ang pag-plot ng ilang mga equation ay pinadali sa pamamagitan ng paggamit ng kanilang mga pagbabago. Isipin mo pagbabago ng mga graph ng mga equation na may dalawang variable at bumalangkas ng mga tuntunin kung saan ang pinakasimpleng pagbabago ng mga graph ng mga equation ay ginaganap
1) Ang graph ng equation F (-x, y) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F (x, y) = 0 gamit ang symmetry tungkol sa axis y.
2) Ang graph ng equation F(x, -y) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F(x, y) = 0 gamit ang symmetry tungkol sa axis X.
3) Ang graph ng equation F (-x, -y) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F (x, y) = 0 gamit ang central symmetry tungkol sa pinagmulan.
4) Ang graph ng equation F (x-a, y) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F (x, y) = 0 sa pamamagitan ng paglipat ng parallel sa x-axis ng |a| mga yunit (sa kanan kung a> 0, at sa kaliwa kung A < 0).
5) Ang graph ng equation F (x, y-b) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F (x, y) = 0 sa pamamagitan ng paggalaw |b| mga yunit parallel sa axis sa(pataas kung b> 0, at pababa kung b < 0).
6) Ang graph ng equation F (ax, y) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F (x, y) = 0 sa pamamagitan ng pag-urong sa y-axis at isang beses kung A> 1, at sa pamamagitan ng pag-unat mula sa y-axis sa mga oras kung 0< A < 1.
7) Ang graph ng equation F(x, by) = 0 ay nakuha mula sa graph ng equation F(x, y) = 0 sa pamamagitan ng paggamit ng compression sa x-axis sa b beses kung b> 1, at sa pamamagitan ng pag-uunat mula sa x-axis sa mga oras kung 0 < b < 1.
Kung ang graph ng ilang equation ay pinaikot ng ilang anggulo malapit sa pinanggalingan, ang bagong graph ay magiging graph ng isa pang equation. Ang mga partikular na kaso ng pag-ikot sa mga anggulo 90 0 at 45 0 ay mahalaga.
8) Ang graph ng equation F (x, y) \u003d 0 bilang resulta ng pag-ikot sa pinagmulan sa pamamagitan ng isang anggulo na 90 0 clockwise ay napupunta sa graph ng equation F (-y, x) \u003d 0, at counterclockwise - sa graph ng equation F (y , -x) = 0.
9) Ang graph ng equation F (x, y) \u003d 0 bilang resulta ng pag-ikot malapit sa pinanggalingan ng isang anggulo ng 45 0 clockwise ay napupunta sa graph ng equation F \u003d 0, at counterclockwise - sa graph ng ang equation F 
= 0.
Mula sa mga tuntunin na aming isinasaalang-alang para sa pagbabago ng mga graph ng mga equation na may dalawang variable, ang mga panuntunan para sa pagbabago ng mga graph ng mga function ay madaling makuha.
Halimbawa 1. Ipakita natin na ang graph ng equation X 2 + y 2 + 2x - 8y + 8 = 0 ay isang bilog (Larawan 17).
Ibahin natin ang equation tulad ng sumusunod:
1) pangkatin ang mga terminong naglalaman ng variable X at naglalaman ng variable sa, at kinakatawan ang bawat pangkat ng mga termino bilang isang buong parisukat ng trinomial: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2 * 4 * y + 16) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;
2) isinusulat namin ang mga nakuhang trinomyal bilang isang parisukat ng kabuuan (pagkakaiba) ng dalawang expression: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 = 0;
3) pag-aralan, ayon sa mga patakaran para sa pag-convert ng mga graph ng mga equation na may dalawang variable, ang equation (x + 1) 2 + (y - 4) 2 \u003d 3 2: ang graph ng equation na ito ay isang bilog na may sentro sa punto (-1; 4) at isang radius ng 3 unit .
Halimbawa 2. I-plot ang equation X 2 + 4y 2 = 9 .
Kinakatawan natin ang 4y 2 sa anyo (2y) 2, nakukuha natin ang equation x 2 + (2y) 2 \u003d 9, ang graph kung saan maaaring makuha mula sa bilog x 2 + y 2 \u003d 9 sa pamamagitan ng compression sa x -axis ng 2 beses.
Gumuhit tayo ng bilog na nakasentro sa pinanggalingan at may radius na 3 unit.
Bawasan natin ng 2 beses ang distansya ng bawat isa sa mga punto nito mula sa X axis, makuha natin ang graph ng equation
x 2 + (2y) 2 = 9.
Nakuha namin ang figure sa pamamagitan ng pag-urong ng bilog sa isa sa mga diameter nito (sa diameter na nasa x-axis). Ang nasabing figure ay tinatawag na ellipse (Larawan 18).
Halimbawa 3. Alamin kung ano ang kinakatawan ng graph ng equation x 2 - y 2 \u003d 8.
Gamitin natin ang formula F= 0.
Palitan sa equation na ito sa halip na X at sa halip na Y, nakukuha natin ang:
U: Ano ang graph ng equation na y = ?
D: Ang graph ng equation na y = ay isang hyperbola.
Y: Na-convert namin ang isang equation ng form na x 2 - y 2 = 8 sa isang equation na y = .
Aling linya ang magiging graph ng equation na ito?
D: Kaya, ang graph ng equation x 2 - y 2 \u003d 8 ay isang hyperbola.
Y: Aling mga linya ang asymptotes ng hyperbola y = .
D: Ang mga asymptotes ng hyperbola y = ay ang mga linyang y = 0 at x = 0.
Y: Kapag ang pagliko ay ginawa, ang mga linyang ito ay pupunta sa mga linya = 0 at = 0, ibig sabihin, sa mga linya y \u003d x at y \u003d - x. (fig.19).
Halimbawa 4: Alamin natin kung anong anyo ang kukunin ng equation na y \u003d x 2 ng isang parabola kapag pinaikot sa pinanggalingan ng isang anggulo na 90 0 clockwise.
Gamit ang formula F (-y; x) \u003d 0, pinapalitan namin ang variable na x ng - y sa equation na y \u003d x 2, at ang variable na y ng x. Nakukuha namin ang equation x \u003d (-y) 2, i.e. x \u003d y 2 (Larawan 20).
Sinuri namin ang mga halimbawa ng mga graph ng mga equation ng pangalawang degree na may dalawang variable at nalaman na ang mga graph ng naturang mga equation ay maaaring isang parabola, hyperbola, ellipse (sa partikular, isang bilog). Bilang karagdagan, ang isang graph ng isang equation ng ikalawang antas ay maaaring maging isang pares ng mga linya (nagsa-intersecting o parallel). Ito ang tinatawag na degenerate case. Kaya ang graph ng equation x 2 - y 2 \u003d 0 ay isang pares ng intersecting lines (Fig. 21a), at ang graph ng equation x 2 - 5x + 6 + 0y \u003d 0 ay parallel lines.
II Pagsasama-sama.
(Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng "Mga Instruction Card" para sa pagpapatupad ng mga graph ng mga equation na may dalawang variable sa Agrapher program (Appendix 2) at "Praktikal na gawain" card (Appendix 3) na may pagbabalangkas ng mga gawain 1-8 Ang guro ay nagpapakita ng mga graph ng equation para sa mga gawain 4-5 sa mga slide ).
Ehersisyo 1. Alin sa mga pares (5; 4), (1; 0), (-5; -4) at (-1; -) ang mga solusyon sa equation:
a) x 2 - y 2 \u003d 0, b) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6y?
Solusyon:
Ang pagpapalit sa ibinigay na equation, naman ang mga coordinate ng mga puntong ito, tinitiyak namin na walang isang ibinigay na pares ang solusyon sa equation x 2 - y 2 \u003d 0, at ang mga solusyon ng equation x 3 - 1 \u003d Ang x 2 y + 6y ay mga pares (5; 4), ( 1;0) at (-1; -).
125 - 1 = 100 + 24 (I)
1 - 1= 0 + 0 (AT)
125 - 1 \u003d -100 - 24 (L)
1 - 1 = - - (AT)
Sagot: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).
Gawain 2. Maghanap ng mga naturang solusyon sa equation xy 2 - x 2 y \u003d 12, kung saan ang halaga X katumbas ng 3.
Solusyon: 1) Palitan ang halaga 3 sa halip na X sa ibinigay na equation.
2) Nakukuha namin ang isang quadratic equation na may paggalang sa variable Y, na may anyo:
3y 2 - 9y = 12.
4) Lutasin natin ang equation na ito:
3y 2 - 9y - 12 = 0
D \u003d 81 + 144 \u003d 225
Sagot: ang mga pares (3; 4) at (3; -1) ay mga solusyon ng equation na xy 2 - x 2 y \u003d 12
Gawain3. Tukuyin ang antas ng equation:
a) 2y 2 - 3x 3 + 4x \u003d 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;
b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; d) (2y - x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4xy + 1).
Sagot: a) 3; b) 5; sa 4; d) 4.
Gawain 4. Aling figure ang graph ng equation:
a) 2x \u003d 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;
d) (x - 1.5) (x - 4) = 0; e) xy - 1.2 = 0; f) x 2 + y 2 = 9.
Gawain 5. Sumulat ng isang equation na ang graph ay simetriko sa graph ng equation x 2 - xy + 3 \u003d 0 (Fig. 24) na may paggalang sa: a) ang axis X; b) mga palakol sa; c) tuwid na linya y \u003d x; d) tuwid na linya y \u003d -x.
Gawain6. Gumawa ng isang equation, ang graph kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng pag-stretch ng graph ng equation y \u003d x 2 -3 (Larawan 25):
a) mula sa x-axis 2 beses; b) mula sa y-axis nang 3 beses.
Gamitin ang programang Agrapher upang suriin ang kawastuhan ng gawain.
Sagot: a) y - x 2 + 3 = 0 (Larawan 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Larawan 25b).
b) ang mga linya ay parallel, gumagalaw parallel sa x-axis ng 1 unit sa kanan at parallel sa y-axis ng 3 units pababa (Fig. 26b);
c) mga linya ay bumalandra, simetriko na pagpapakita tungkol sa x-axis (Larawan 26c);
d) mga linyang bumalandra, simetriko na pagpapakita tungkol sa y-axis (Larawan 26d);
e) ang mga linya ay parallel, simetriko na pagpapakita na may kaugnayan sa pinagmulan (Larawan 26e);
f) ang mga linya ay nagsalubong, lumiko sa pinanggalingan sa pamamagitan ng 90 clockwise at nagpapakita ng simetriko tungkol sa x-axis (Larawan 26f).
III. Malayang gawain na may likas na pagtuturo.
(Ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga card na "Malayang gawain" at "Talahanayan ng pag-uulat ng mga resulta ng independiyenteng gawain", kung saan isusulat ng mga mag-aaral ang kanilang mga sagot at, pagkatapos ng pagsusuri sa sarili, suriin ang gawain ayon sa iminungkahing pamamaraan) Appendix 4 ..
I. opsyon.
a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 \u003d 2 (x + y).
a) x 3 + y 3 -5x 2 \u003d 0; b) x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x 3 + y 4 \u003d 1.
x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.
a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;
b) x 2 -y 2 \u003d 1;
c) x - y 2 \u003d 9.
x 2 - 2x + y 2 - 4y \u003d 20.
Tukuyin ang mga coordinate ng gitna ng bilog at ang radius nito.
6. Paano dapat ilipat ang hyperbola y \u003d sa coordinate plane upang ang equation nito ay makuha ang form na x 2 - y 2 \u003d 16?
Suriin ang iyong sagot sa pamamagitan ng paglalagay ng grapiko gamit ang Agrapher.
7. Paano ilipat ang parabola y \u003d x 2 sa coordinate plane upang ang equation nito ay makuha ang form x \u003d y 2 - 1
II opsyon.
1. Tukuyin ang antas ng equation:
a) 3xy \u003d (y-x 3) (x 2 + y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 \u003d 0.
2. Ang isang pares ng mga numero (-2; 3) ay isang solusyon sa equation:
a) x 2 -y 2 -3x \u003d 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6x 2 + y 3 \u003d -1.
3. Maghanap ng isang hanay ng mga solusyon sa equation:
x 2 + y 2 -2x - 8y + 17 \u003d 0.
4. Aling curve (hyperbola, circle, parabola) ang set ng mga puntos kung ang equation ng curve na ito ay may anyo:
a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9
b) y 2 - x 2 \u003d 1
c) x \u003d y 2 - 1.
(suriin sa tulong ng programa ng Agrapher ang kawastuhan ng gawain)
5. I-plot, gamit ang Agrapher program, isang graph ng equation:
x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.
6. Paano dapat ilipat ang hyperbola y \u003d sa coordinate plane upang ang equation nito ay makuha ang form na x 2 - y 2 \u003d 28?
7. Paano ilipat ang parabola y \u003d x 2 sa coordinate plane upang ang equation nito ay makuha ang form na x \u003d y 2 + 9.
